4月16日两大乘法公式和图形的关系学案
两位数乘法的几何意义探究
两位数乘法的几何意义探究在数学学习的过程中，乘法是一个基础而重要的概念。
而两位数乘法更是乘法运算中的重要部分。
然而，学生往往只停留在机械记忆的层面，没有深入理解乘法的意义和几何背景。
本文将探究两位数乘法的几何意义，从而帮助学生更好地理解和运用乘法。
一、方格模型解释方格模型是解释两位数乘法的常用方法之一。
我们可以通过绘制方格模型的方式，帮助学生直观地理解乘法的意义。
以27 × 15为例，我们可以绘制27行15列的方格，即将27个长方形按照15列排列。
然后，我们计算方格中每个小矩形的面积，最后将所有小矩形的面积相加，即得到27 × 15的值。
利用方格模型解释乘法的过程，可以帮助学生将乘法运算和几何形状相联系，从而更好地理解两者之间的关系。
这种方法可以帮助学生形成乘法的直观印象，同时也提供了一种具体的思维方式，启发学生的空间思维能力。
二、矩阵模型解释除了方格模型，矩阵模型也是解释两位数乘法的一种有力工具。
我们可以将两个两位数看作矩阵的维度，然后利用矩阵相乘的规则，计算两个矩阵相乘的结果。
以32 × 18为例，我们可以将32看作一个2行1列的矩阵，将18看作一个1行2列的矩阵。
然后，根据矩阵相乘的规则，我们可以计算两个矩阵相乘得到一个2行2列的结果矩阵。
最后，我们将结果矩阵中的元素相加，即得到32 × 18的值。
通过矩阵模型解释乘法，可以引导学生理解矩阵乘法的概念和规则，同时也将乘法问题与线性代数中的矩阵运算相联系，帮助学生拓展数学的思维视野。
三、面积模型解释面积模型是解释两位数乘法的另一种常用方法。
我们可以将两个两位数看作一个矩形的长和宽，通过计算矩形的面积，得到乘法的结果。
例如，我们要计算45 × 37，可以将45看作一个长为45的矩形的长，37看作一个宽为37的矩形的宽。
然后，我们计算矩形的面积，即45 ×37的值。
通过面积模型解释乘法，可以帮助学生将乘法运算与几何形状相结合。
乘法公式 课件（22张PPT）学案
浙教版 七年级下
新知导入
靠垫是舒适实用的家庭小点 缀， 一些心灵手巧的人喜 欢自己动手制作靠垫. 图中 右下角的靠垫面子用5块布 料拼合而成，应用了哪些数 学知识？
复习导入
请计算：（ａ＋b）（ａ－b）＝__________ . 比较等号两边的代数式，它们在系数和字母方 面各有什么特点？
课堂练习
解：(1)依题意，得第4个算式为：52-42=9； (2)根据几个等式的规律可知，第n个式子为： (n+1)2-n2=2n+1； (3)由(2)的规律可知， 1+3+5+7+⋯+2005+2007 =1+(22-12)+(32-22)+(42-32)+⋯+(10042-10032) =10042．
（2） 1 b a 1 b a 2 2
新知讲解
解 （1）（3ｘ＋5ｙ）（3ｘ－5ｙ） ＝（3ｘ）2－（5ｙ）2 ＝9ｘ2－25ｙ2
新知讲解
（2） 1 b a 1 b a 2 2
a 1 b a 1 b 2 2
a2
1
2
b
2
a2 1 b2 4
中考链接
已知：
(x-1)(x+1)=x2-1
(x-1)(x2+x+1)=x3-1
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1
(x-1)(x4+x3+x2+x+1)=x5-1……
(1)填空：(x-1)(xn+xn-1+⋯+x2+x+1)=______．
(2)求：36+35+34+33+32+31+1的值．
《图形之间的关系》教学设计
《认识图形-图形之间的关系》整理与复习教学设计教学内容：新北师大版小学数学六年级下册89页第1、2两个问题：《图形的认识》——《图形之间的关系》学习目标：1.系统整理学过的图形，沟通图形之间的联系，构建“图形与几何”知识网络. 2。
结合具体的图形，引导学生明确立体图形与平面图形之间、平面图形与平面图形之间的联系,发展学生的空间观念。
3。
引导学生交流整理知识的方法，培养学生反思和整理知识的能力。
4、在分享互动中培养学生质疑和小组合作的核心素养.学习重点：引导学生系统整理学过的图形，沟通图形之间的联系，形成知识网络。
学习难点：交流、展示知识网络；教学准备：PPT、以正方体、圆柱为例体会面从体上来的微课、各种图形。
学生课前准备：1、让学生回想一下，都学过哪些图形，这些图形各有什么特征,图形之间有哪些联系？2、将这些图形进行分类、整理，尝试根据图形的特征用自己最喜欢的方法整理这些图形之间的关系。
3、你是用什么方法整理的？是怎样整理的？这种整理方法的优点是什么？教学流程：初步分享小组交流，分享互动一深入理解，分享互动二质疑小结学习过程:图圆锥形 ..。
..师：掌声欢送这一组的同学。
2、还有没有其他的整理方法。
听听他们是怎么整理的。
板书:或生1：我们组采用集合图的方法表示图形之间的关系，三角形包含了等腰三角形,等腰三角形包含了等边三角形，三角形包含了锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，平行四边形包含了长方形，长方形包含了正方形，立体图形包含了长方体、正方体、圆柱、圆锥.组长问：我们组有没有质疑或补充，同组质疑补充完后，问：其他组有没有质疑或补充。
质疑：1、三角形的两种分类方法为什么不同？（第一幅图是按边分，三者之间是包含关系，第二幅图是按角分是并列关系，是平等的），2、立体图形也要把正方体包含在长方体里，不能和其他三个图形构成并列关系。
动、质疑、补充，在辨白中更加明了图形之间的关系，从而培养学生的核心素养。
乘法公式与几何图形 导学案
甲乙乘法公式与几何图形 导学案日期： 第 页 姓名：1.如图所示的几何图形可以表示的公式是_____________.2.利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲， 我们可以得到两数和的平方公式：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2．你根据图乙 能得到的数学公式是（ ） A. a 2- b 2=（a-b ）2B.（a+b ）2= a 2+2ab+b2C.（a-b ）2= a 2-2ab+b2D. a 2- b 2=（a +b ）（a-b ）3.如图3（1）是一个长为2m ，宽为2n （2）形状拼成一个正方形。
（1） 你认为图（2）中的阴影部分的正方形边长是多少？（2）请用两种不同的方法求图（2）阴影部分的面积；（3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 三个代数式：（m+n ）2，（m －n ）2，mn 。
（4）根据（3）题中的等量关系，解决下列问题： 若a+b=7，ab=5，求（a －b ）的值。
4.阅读材料并解答问题：我们已经知道，也可以用这种形式表示，例如：()()22322a b a ba ab b ++=++ 就可以用图4或图5等图表示。
（1）请写出图6中所表示的代数恒等式____________； （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：()()a b a b a a b b ++=++34322（3）请仿照上述方法另写一个含有a ，b 的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形。
5、乘法公式的探究及应用．（1）将左图阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形（右图所示），那么这个长方形的宽是 ，长是 ，面积是．（2）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用式子表达）6、如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，请利用甲、乙两图验证我们本学期学过的一个乘法公式．7、乘法公式的探究及应用．（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是，长是，面积是．（写成多项式乘法的形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式．（用式子表达）（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：①10.3×9.7②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）8、乘法公式的探究与应用：（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是（写成两数平方差的形式）（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是，宽是，面积是（写成多项式乘法的形式）．（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（用式子表达）（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．9、将下列左图剪切拼成右图，比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用式子表达）．（2）运用你所得到的乘法公式，计算：（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）．10、如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．（1）图2中的阴影部分的面积为；（2）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是；（3）根据（2）中的结论，若x+y=5，x•y=，则x﹣y=；（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你有什么发现？．11、图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）将图②中的阴影部分面积用2种方法表示可得一个等式，这个等式为．（2）若m+2n=7，mn=3，利用（1）的结论求m﹣2n的值．12、已知图甲是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四小块长方形，然后按图乙的形状拼成一个正方形．（1）你认为图乙中阴影部分的正方形的边长等于多少？．（2）请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积．方法一：；方法二：．（3）观察图乙，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？（m+n）2；（m﹣n）2；mm（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=8，ab=5，求（a﹣b）2的值．13、如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．①图2中的阴影部分的面积为；②观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是；③根据（2）中的结论，若x+y=5，x•y=，则（x﹣y）2=；④实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你发现的等式是．。
图形之间的关系教案
图形之间的关系教案教案标题：图形之间的关系教案教案目标：1. 学生能够理解和识别不同图形之间的关系，包括相似、对称、平行和垂直等。
2. 学生能够应用所学的图形关系知识，解决与图形关系相关的问题。
教案步骤：引入活动：1. 引入活动：展示一些简单的图形，例如正方形、长方形、圆形等，并提问学生这些图形之间是否有任何相似之处。
知识讲解：2. 讲解相似关系：解释相似图形的定义和特征，包括形状相同但大小不同。
3. 讲解对称关系：解释对称图形的定义和特征，包括两侧镜像对称。
4. 讲解平行和垂直关系：解释平行和垂直线的定义和特征，包括平行线永远不会相交，而垂直线会形成直角。
示例练习：5. 给学生展示一些图形，并要求他们识别出其中的相似、对称、平行和垂直关系。
6. 提供一些练习题，让学生应用所学的知识，解决与图形关系相关的问题。
拓展活动：7. 给学生一些更复杂的图形，要求他们描述图形之间的关系，并解释他们的答案。
总结：8. 总结所学的图形关系知识，并强调学生在日常生活中如何应用这些知识。
评估：9. 给学生一份小测验，以评估他们对图形关系的理解程度。
教案扩展：- 可以引入更多的图形关系，如平行四边形、正三角形等，以提高学生的认知能力。
- 可以设计一些实际应用场景的问题，让学生将所学的图形关系知识应用到实际问题中。
教案注意事项：- 在讲解时，使用具体的图形示例和生活中的实际场景，以帮助学生更好地理解和记忆。
- 鼓励学生互相交流和讨论，以促进他们对图形关系的深入理解。
- 针对不同年龄段的学生，教学内容和练习题的难度可以适当调整。
乘法的图形理解与认识教案
乘法的图形理解与认识教案一、教学目标。
1. 知识与技能，学生能够通过图形理解和认识乘法运算的基本概念和方法。
2. 过程与方法，通过教师引导和学生自主探究相结合的方式，培养学生的思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观，激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学思维和创造力。
二、教学重点与难点。
重点，通过图形理解和认识乘法运算的基本概念和方法。
难点，培养学生的思维能力和解决问题的能力。
三、教学过程。
1. 导入新课。
教师出示一张乘法表，让学生观察并回答问题，你们发现乘法表有什么规律？为什么要学乘法？通过学习乘法，我们能够更快地计算大数字的乘积，这对我们日常生活和学习都非常有帮助。
2. 学习新知识。
（1）教师引导学生观察图形，并通过图形认识乘法的基本概念。
比如，让学生画出一个3行4列的矩形，然后问学生这个矩形有多少个小正方形？学生可以通过数数的方法得出答案是12个小正方形。
这时，教师可以引导学生发现，3乘以4等于12，即3×4=12。
（2）教师引导学生观察图形，并通过图形理解乘法的基本方法。
比如，让学生画出一个2行5列的矩形，然后问学生这个矩形有多少个小正方形？学生可以通过数数的方法得出答案是10个小正方形。
这时，教师可以引导学生发现，2乘以5等于10，即2×5=10。
3. 拓展练习。
（1）教师出示一些图形，让学生通过观察图形，用乘法的方法计算出图形中的小正方形个数。
（2）教师出示一些乘法算式，让学生通过乘法的方法画出对应的图形。
4. 归纳总结。
教师引导学生将所学的知识进行总结归纳，强化学生对乘法的图形理解和认识。
5. 练习检测。
布置习题让学生进行练习，巩固所学知识。
6. 课堂小结。
教师对本节课的内容进行总结，强调乘法的图形理解和认识在日常生活和学习中的重要性，并鼓励学生多加练习，掌握好乘法运算的基本概念和方法。
四、教学反思。
通过本节课的教学，学生能够通过图形理解和认识乘法运算的基本概念和方法，培养了学生的思维能力和解决问题的能力。
《乘、除法的意义和各部分间的关系》教案
《乘、除法的意义和各部分间的关系》教案
1.提问：你能说说乘、除法中各部分之间有什么关系吗？
出示学习任务：乘、除法各部分之间有什么关系？请你想一想、写一写。
2.反馈交流：
学生作品1：乘法各部分间的关系。
学生作品2：除法各部分间的关系。
追问：在有余数的除法里，被除数与商、除数和余数之间有什么关系？
引导学生借助具体实例，呈现有余数除法算式，思考如何求被除数，进而概括出关系式：被除数=商×除数＋余数。
呈现有余数除法的验算，引导学生观察验算方法，发现有余数除法就是用“商×除数＋余数=被除数”来验算的。
结合具体的例子，发现（被除数-余数）÷商=除数。
小结：借助具体的例子和已经学过的知识，弄清楚了有余数除法里各部分间的关系，同时也解决了上节课提出的问题。
三、沟通四则运算间的联系
（一）自主提问
学生提出疑问：加、减、乘、除之间有什么关系？
（二）反馈交流
学生作品1：用表格整理四则运算的意义。
学生作品2：画图整理四则运算的关系。
在表达交流中强化对四则运算意义和关系的理解。
小结：通过前面的讨论发现，加、减、乘、除四则运算间存在着紧密的联系，下面做几个练习。
《乘、除法各部分间的关系》数学教案设计
《乘、除法各部分间的关系》数学教案设计《乘、除法各部分间的关系》数学教案设计教学内容：教科书第56页的内容教学目标：1、理解乘除法的意义，理解除法是乘法的逆运算，并会在实际中应用。
2、使学生自己总结乘、除法各部分间的关系，并会应用这些关系进行乘、除法的验算．3、在分析过程中，培养学生的推理、概括能力。
4、培养学生养成良好的验算习惯。
教学重点：掌握乘、除法各部分间的关系，并对乘、除法进行验算。
教学难点：理解乘、除法的互逆关系，以及用除法意义说明一些题为什么用除法解答。
教法设计：引导与讲授相结合。
学法设计：小组讨论、合作交流等方法。
教具准备：教师准备多媒体课件或实物投影仪等。
教学流程：一、谈话导入。
我们已经做过大量的整数乘除法计算和应用题的练习，对于乘除法知识也有了初步的了解．这里我们要在原有的知识基础上，对乘除法的意义加以概括，使同学们能运用这些知识解决实际问题。
二、设置预习案（见练习册第3页第1、2、3题）三、出示学习目标（课件出示）四、检查预习落实情况（学生汇报）五、自主学习合作探究解决疑难问题。
1、乘法的意义出示例1（1）用加法算：3+3+3+3=12用乘法算：3 4=12为什么用乘法呢？那怎样的运算叫做乘法？（小组讨论）根据这两个算式，结合已有的知识讨论并试着用语言表示什么是乘法。
小结：求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。
（出示乘法的意义）说明乘法各部分名称2、理解除法的意义能不能试着把这道乘法应用题改编成除法应用题呢？出示例2（2）（3）（1）与第（1）题相比，第（2）、（3）题分别是已知什么？求什么？怎样算？列式计算：123=4 124=3（2）怎样的运算是除法？（小组讨论）根据这两个算式，结合已有的`知识讨论并试着用语言表示（3）小结：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。
说明除法各部分名称。
（4）教学除法是乘法的逆运算。
引导学生观察：第②、③与①的已知条件和问题有什么变化？明确：在乘法中是已知的，在除法中是未知的；在乘法中未知的，在除法中变成已知的。
名师教案：乘、除法的意义和各部分之间的关系
名师教案：乘、除法的意义和各部分之间的关系一、教学目标：1. 让学生理解乘法的意义，掌握乘法各部分之间的关系。
2. 让学生理解除法的意义，掌握除法各部分之间的关系。
3. 培养学生运用乘、除法解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 乘法的意义：乘法是求几个相同加数的和的简便运算。
2. 乘法各部分之间的关系：乘数×乘数= 积；乘数= 积÷另一个乘数；因数×因数= 积；因数= 积÷另一个因数。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：乘法的意义，乘法各部分之间的关系。
2. 教学难点：乘法各部分之间的转化。
四、教学方法：1. 采用情境教学法，让学生在实际情境中感受乘法的意义。
2. 采用小组合作学习法，让学生通过合作探究，理解乘法各部分之间的关系。
3. 采用讲解法，让学生明确乘法各部分之间的转化方法。
五、教学过程：1. 导入：通过创设情境，引出乘法的意义。
2. 新课讲解：讲解乘法的意义，引导学生理解乘法各部分之间的关系。
3. 实例分析：分析具体实例，让学生运用乘法解决实际问题。
4. 小组讨论：让学生分组讨论，探究乘法各部分之间的转化方法。
5. 练习巩固：布置练习题，让学生巩固乘法各部分之间的关系。
6. 课堂小结：总结本节课所学内容，强调乘法各部分之间的关系。
7. 课后作业：布置课后作业，巩固乘法知识。
六、教学评价：1. 评价学生对乘法意义的理解程度。
2. 评价学生对乘法各部分之间关系的掌握情况。
3. 评价学生运用乘法解决实际问题的能力。
七、教学拓展：1. 引导学生思考：除了乘法，还有哪些运算可以表示几个相同加数的和？2. 引导学生探究：除法与乘法之间的关系。
八、教学资源：1. 课件：乘法的意义和各部分之间的关系。
2. 练习题：含有多项选择的题目，判断乘法各部分之间的关系。
3. 小组讨论工具：卡片、白板等。
九、教学步骤：1. 引导学生回顾上节课所学内容，巩固乘法的意义。
2. 通过实例，让学生理解乘法各部分之间的关系。
几何背景下的乘法公式
(1 m
2
1 2
n )2
1 4
m2
1 mn
2
1 n2
4
(1 a 3b)2 (1 a 3b)2
2
2
1 a4
16
9 a 2b 2
2
81b 4
弄应 清用 公乘 式法 特公 点式 ，时 灵， 活关 套键 用在 ！于
议3·如果我们把大正方形的边长变成3x+y， 小正方形的边长变成2z，你又能得到一个 什么样的乘法算式，它还可以用平方差公 式进行计算吗？
活动二： b
图1是由边长为a和边长为b的正方 形，构成的边长为a+b的正方形， 大正方形的面积有几种计算方法呢？ a 你发现它能验证那个乘法公式呢？
a
b
ab
b2 b
a2
ab a
a 图1
b
大正方形的面积计算方法1： （a b)2
；
大正方形的面积计算方法2： a2 2ab b2 ；
验证的公式： （a b)2 a2 2ab b2 .
4
(a b)2 (a b)2 4ab
四·【练】
解答下列各题：
（1）·已知 ： a b 8 ， ab 7 ，求下列式子的值：
① a2 b2 ; ② a3b ab3; ③ a4 b4.
① 解：∵ 2 b 2 ( b)2 2b
把 b 5,ab 6 代入上式得：
∴原式= 52 -2 6 25 - 12 13
活动三：对于乘法公式有 (a b)(a b) a2 b2 ； (a b)2 a2 2ab b2 ，那么式子 (a b c)2 怎么计算呢？能利用以上乘法公式吗？式子 （a+b+c）(a-b-c)呢？
2）我们知道x-y+y-z等于x-z，若实数x、y、z满足式
八年级数学上册《乘法公式》教案、教学设计
1.教学活动设计：将学生分成若干小组，每组针对以下问题进行讨论：
a.平方差公式和完全平方公式的推导过程；
b.乘法公式在解决实际问题中的应用；
c.运用乘法公式进行整式乘法的优点。
2.教师指导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问，引导学生深入探讨。
（四）课堂练习
1.教学内容：设计以下几类练习题，巩固学生对乘法公式的掌握：
7.信息技术辅助教学：利用多媒体、网络资源等信息技术手段，形象直观地展示乘法公式的推导过程，提高教学效果。
8.关注个体差异，因材施教：针对不同学生的特点，给予个性化的指导，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
9.定期评估，总结提高：通过定期测试和评估，了解学生的学习情况，总结教学经验，不断调整和优化教学方法，提高教学质量。
a.平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b)
通过具体的数值代入，引导学生观察、发现并总结出平方差公式的规律。
b.完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²
同样，通过具体的数值代入，引导学生观察、发现并总结出完全平方公式的规律。
2.教学方法：采用引导式教学，让学生通过观察、思考和总结，自主发现乘法公式的规律。
4.利用信息技术手段，如多媒体、网络资源等，辅助教学，提高课堂教学效果。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发学生学习数学的积极性。
2.培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，使学生养成良好的学习习惯。
3.培养学生合作交流的意识，学会倾听他人意见，提高人际沟通能力。
4.培养学生认识到数学知识在实际生活中的重要性，增强学生的应用意识和实践能力。
八年级数学《第十四章第三节乘法公式》教案（推荐五篇）
八年级数学《第十四章第三节乘法公式》教案（推荐五篇）第一篇：八年级数学《第十四章第三节乘法公式》教案乘法公式【典型例题】一.两数和乘以它们的差： 1.首先计算：(a＋b)(a－b)＝a－b这就是说：两数和与它们差的积，等于这两数的平方差。
上面所列的这个公式，就是平方差公式。
2.公式的结构特征：在平方差公式中，左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项(a)完全相同，另一项(b)和(－b)互为相反数，右边是符号相同的项的平方减去符号相反项的平方。
3.弄清公式的变化形式：公式(a+b)(a－b)=a－b有八种变化形式：①位置变化(a+b)(a－b)=(b+a)(－b+a)=a－b ②符号变化(－a－b)(a －b)=b－a2222 ③系数变化(4a+3b)(4a－3b)=(4a)－(3b)=16a－9b2222222244 ④指数变化(a+b)(a－b)=(a)－(b)=a－b22222 ⑤增项变化(a－b－c)(a－b+c)=(a－b)－c=a+b－c－2ab 2222222 ⑥增因式变化(a+b)(a－b)(－a－b)(－a+b)=(a－b)(a－b)=(a－b)⑦连用公式变化2244(a－b)(a+b)(a+b)(a+b)222244 =(a－b)(a+b)(a+b)4444 =(a－b)(a+b)88 =a－b⑧逆用公式变化(a－b+c－d)－(a+b－c+d)=[(a－b+c－d)+(a+b－c+d)][(a－b+c－d)－(a+b－c+d)] =2a·(－2b+2c－2d)=4ac－4ab－4ad。
4.注意公式的应用条件：字母a、b，它们可以表示具体的数，也可以表示代数式。
应用时，要紧扣“相同项”22和“互为相反项”这两点。
例如(3a+b)(a－b)≠3a－b，因为左边两个因式中的第一项3a和a不是相同项，不符合平方差公式的条件。
而且在运算时要注意要将整个项全部平方。
(3a+2b)(3a－2b)≠3a －2b2222(3a+2b)(3a－2b)=(3a)－(2b)=9a－4b 5.典型例题：例1.计算：（1）(a+3)(a－3)（2）(2a+3b)(2a－3b)（3）(1+2c)(1－2c)（4）(9x+4y)(9x－4y)222 解：（1）(a+3)(a－3)=a－3=a－92222（2）(2a+3b)(2a－3b)=(2a)－(3b)=4a－9b222（3）(1+2c)(1－2c)=1－(2c)=1－4c2222（4）(9x+4y)(9x－4y)=(9x)－(4y)=81x－16y例2.计算：（1）(2m－5)(2m+5)－2m(3m－1)（2）(2x－5y)(2x+5y)－(2x+3y)(2x－3y)2322446232（3）(4ab+5mn)(25mn+16ab)(4ab －5mn)解：（1）(2m－5)(2m+5)－2m(3m－1)222 =(2m)－5－6m+2m 22 =4m－25－6m+2m 2 =－2m+2m－25（2）(2x－5y)(2x+5y)－(2x+3y)(2x－3y)2222 =4x－25y－(4x－9y)2 =－16y 2322446232（3）(4ab+5mn)(25mn+16ab)(4ab－5mn)2322324624 =(4ab+5mn)(4ab－5mn)(16ab+25mn)46244624 =(16ab－25mn)(16ab+25mn)81248 =256ab－625mn例3.用平方差公式计算：（1）103×97（2）118×122（3）2003－2002×2004 解：（1）103×97=(100+3)(100－3)=10000－9=9991（2）118×122=(120－2)(120+2)=120－4=14400－4=14396 22（3）2003－2002×2004=2003－(2003－1)(2003+1)=2003－(2003－1)=1例4.计算：(2+1)(2+1)(2+1)…(2+1)分析：直接计算是不行的，注意到2－1=1，用1乘以原来的式子值不变，再利用公式可以计算。
乘法各部分间的关系_六年级数学教案_模板
乘法各部分间的关系_六年级数学教案_模板乘法各部分间的关系教学内容：教材95—96页例1、例2、例3及做一做练习二十二。
素质教育目标（一）知识教学点：使学生掌握乘法各部分间的关系，并应用这些关系，对乘法进行验算和求乘法算式中的未知数X.（二）能力训练点：培养学生在观察比较中，进行分析、判断、推理、概括的能力以及语言表达能力。
（三）德育渗透点：培养学生严谨的学习态度，同时，让学生体会到“事物是普遍联系”的辩证唯物主义观点。
教学重点：通过实例引导学生做出判断推理，概括出关系式。
教学难点：根据乘法各部分间的关系熟练进行乘法验算和求未知数X.教具、学具准备：投影片、小黑板。
教学步骤一、铺垫孕伏1.口算下面各题：65÷5 17×3 45÷5 17×0×415×5 12×8 480÷16 0÷25×925×（）=100 （）×14=2802.说出下面各题中X的值，并指出计算根据。
X+15=45 X-6=24 90-X=30 36+X=403.引入新课：同学们对加、减法各部分间的关系已经很清楚了，那么乘法各部分间又存在什么样的关系呢？这就是我们今天要学的内容。
板书：“乘法各部分间的关系”二、探究新知1.教学例1（1）出示例1的图：教师口述题意：每盘30个鸡蛋，3盘一共有多少个鸡蛋？引导学生口述算式：30×3=90（个）（板书）学生口述算式中各部分名称及各部分间的关系。
板书：因数×因数=积（2）出示例1的（2）（3）两题学生先口述题意，然后引导学生在书上直接计算，启发学生汇报。
教师板书：90÷3=30（个）90÷30=3（盘）2.观察比较，总结关系。
（1）引导学生观察比较：（2）式和（3）式与（1）式比较，发现了什么？（2）学生思考后，小组讨论，互相讲自己的想法。
乘法各部分间的关系数学教案设计
乘法各部分间的关系数学教案设计乘法各部分间的关系数学教案设计教学时间：教学内容：乘除法各部分间的关系课型：新授课教学目标：1、使学生掌握乘除法各部分间的关系，会利用这些关系对乘法进行验算和求未知数x。
2、培养学生在比较和分析中进行判断、推理、抽象、概括的能力。
3、培养学生严谨的学习态度，同时让学生感受到事物内部是有联系的辩证唯物主义思想。
教学重点：1、掌握乘法各部分间的关系。
2、会利用关系求未知数x.教具准备：投影片教学过程：一、引入：1、说出下面各题里x的值，并说明理由。
X+15=45 34+x=40x-8=17 50-x=302、写出加法各部分间的关系式。
和=加数+加数一个加数=和-另一个加数师：以前我们已经学习了加法各部分间的关系和减法各部分间的关系，今天我们来学习新的`内容：乘法各部分间的关系。
板书课题：乘法各部分间的关系二、新授：（一）；乘法各部分间的关系：1、推导：出示式题30×6=180 20×40=800问：哪位同学能够说明一下这两道乘法算式中各部分的名称？谁能由每一道乘法算式分别改成两道除法算式？30 × 6 = 180 ① 20 × 40 = 800 ①因数因数积因数因数积（）÷（）=（）② （）÷（）=（）②（）÷（）=（）③ （）÷（）=（）③提问：(1) 两组题式题中的②和③式中所得到的数都是式中的什么数？(2) 每个因数是由①式中的什么数除以什么数得来的？(3) 你能试着填写出乘法各部分间的关系吗？试试看，看谁的概括理解力最强？3、师生共同检查板演：两组式题中的②③式与①式比较，发现②③式中的被除数就是①式中的积，第②③式中的除数和商就是①式中的两个因数。
因此，在乘法算式中，只要知道积和其中一个因数，就可以求出另一个因数。
即：一个因数等于积除以另一个因数。
板书：积=因数×因数一个因数=积÷另一个因数（二）验算：应用乘法各部分间的关系，可以对乘法进行验算。
八年级数学上册第十四章乘法公式《数学活动》
教学设计2024 秋季八年级数学上册第十四章乘法公式《数学活动》一、教学目标（核心素养）1. 数学运算：通过数学活动中的计算和推导，提高学生的整式运算能力。
2. 逻辑推理：培养学生分析问题、推理归纳的能力，加深对乘法公式的理解。
3. 创新意识：鼓励学生在活动中尝试不同的方法和思路，培养创新思维。
4. 合作交流：通过小组活动，增强学生的合作意识和交流能力。
二、教学重点1. 运用乘法公式解决数学活动中的问题。
2. 引导学生在活动中进行思考和探索。
三、教学难点1. 对数学活动中问题的深入理解和分析。
2. 激发学生的创新思维，找到多种解决问题的方法。
四、教学资源1. 教材：八年级数学上册教材。
2. 多媒体设备：展示数学活动的相关问题和示例。
3. 学具：卡纸、剪刀等（根据活动需要准备）。
五、教学方法1. 探究式教学法：引导学生自主探究数学活动中的问题。
2. 小组合作学习法：组织学生进行小组讨论和合作完成任务。
3. 启发式教学法：通过提问和引导，启发学生的思维。
六、教学过程1. 导入新课展示一些有趣的数学图案或问题，引发学生的兴趣。
提问：大家知道这些图案和问题与我们学过的乘法公式有什么关系吗？从而引出数学活动。
2. 新课教学活动一：探索图形中的乘法公式展示一个由正方形和长方形组成的图形。
提问：如何用不同的方法计算这个图形的面积？引导学生分别用整体和部分的方法计算。
学生通过计算发现，整体计算时是一个大正方形的面积，部分计算时是几个小图形面积之和，从而得出(a + b)²=a²+ 2ab + b²的公式。
同理，展示另一个图形，引导学生得出(a b)²=a²2ab + b²的公式。
结构图：图形展示→面积计算方法→得出公式。
活动二：乘法公式的应用给出一些实际问题，如计算场地面积、物品包装表面积等。
引导学生分析问题，找出其中的数量关系，然后运用乘法公式进行计算。
二年级上册数学教案：借助图形认识乘法规律
二年级上册数学教案：借助图形认识乘法规律一、题目：借助图形认识乘法规律二、教学目标：1.通过看图形、感觉、理解、背诵等多种方式，掌握乘法规律；2.练习感性计算乘法式，培养运用乘法解决实际问题的能力。
三、教学内容：1.认识乘法的意义，感受“增加”的概念。
2.通过“排列图形”的方式理解乘法式。
例：看图填空（1）=2×3（2）=3×2（3）=2×4（4）=4×2（5）=2×2×2（6）=4×4×23.通过“长方体数目”的方式理解乘法式。
例：看图填空（1）一排2个饮料瓶，共有3排，共有个饮料瓶；（2）一列2个麦当劳，共有4列，共有个麦当劳。
4.通过“小正方形数目”的方式理解乘法式。
例：看图填空（1）一行3个小正方形，共有4行，共有个小正方形；（2）一列3个小正方形，共有4列，共有个小正方形。
四、教学重难点：1.让学生掌握乘法的意义，感受“增加”的概念。
2.让学生学会通过看图形、感觉、理解、背诵等多种方式，掌握乘法规律。
五、教学过程：1.导入新课——“借助图形认识乘法规律”。
2.通过看图形、感觉、理解、背诵等多种方式，让学生掌握乘法规律。
（1）先出一幅图（如下图），让学生看图并回答问题：“这排小鸟共有几只？每排几只？共有几排？这排小鸟总共有几只？”（2）继续出一幅图（如下图），继续询问同上问题的答案。
（3）出大家都没见过的图（如下图），让学生尝试着思考出答案，并说出思考过程。
（4）是时候将前面学到的知识串起来了，让学生来做一个小练习。
出题练习，高屋建瓴：把以下图样填写完整（1）= 1×5（2）= 2×3（3）= 3×3（4）= 5×13．综合理解，计算问题。
（1）通过“排列图形”的方式计算：（2）通过“长方体数目”的方式计算：（3）通过“小正方形数目”的方式计算：4.让学生练习感性计算乘法式，并且渐渐地走向公式化、抽象化。
《五年级数学教案二》通过图形学习乘法,让学生非常轻松
【导读】在五年级数学教学中，图形学习乘法是一种非常有效的方式。
通过图形的形象化呈现，让学生轻松地理解乘法的概念，从而提高对数字计算的理解和掌握，本文将从四个方面，详细地介绍《五年级数学教案二》中通过图形学习乘法的内容。
一、图形学习乘法乘法是数学中非常基础而重要的概念，但对于一些初学者来说，理却常常十分费力。
这时，图形的形象化呈现就显得非常重要了。
图形学习乘法，可以通过图示的方式，生动地展现数字之间的乘法关系，让学生更容易理解。
在《五年级数学教案二》中，主要采用了数字货币为图形，要求学生根据给定的图形，计算出面值之间的乘法关系。
这样的习题既贴近生活实际，又非常容易让学生产生浓厚的兴趣。
学生在观察图形、计算面值的过程中，逐渐理解乘法概念，提高数字计算的能力。
二、从加法到乘法对于大多数学生来说，在理解加法的基础上，再去理解乘法可能更好理解，更加容易。
在《五年级数学教案二》中，很好地将这一思路贯穿在了教学中。
教案在开头阶段通过类似于“分组”这样的加法概念来给予学生“铺垫”，随后再进一步诠释和推导乘法的概念，让学生可以在已有的知识技能前提下渐进地提升。
这种逐步推进的教学方式，不仅可以帮助学生建立更加扎实的数学基础，也可以让学生在愉悦的营造氛围中更好地掌握新的知识点。
三、培养学生观察能力在图形学习乘法的过程中，学生需要观察、辨认数字货币上的面值，以此来进行乘法运算。
这需要学生在如何处理数字的同时，还要察觉各个数字间的规律。
因此，通过图形学习乘法，可以培养学生的观察能力。
在教学中，老师会引导学生仔细观察数字货币的纹理、颜色等细节，从而提高学生对数字图形的敏感度。
这样的活动，可以让学生在寓教于乐的过程中潜移默化地提升自己的思维能力。
四、加强学生的记忆图形学习乘法更好地利用了视觉效应，进而更加深入地加强了学生对数字之间的联系的记忆。
因为，在认知过程中，大脑会优先处理视觉信息，然后再转化为抽象的概念。
而数字货币作为可视化的工具，可以很好地吸引学生对于图形的注意，进而加深对于数字间关系的印象和理解。
六年级下册数学教案-总复习 图形之间的关系｜北师大版
六年级下册数学教案-总复习图形之间的关系教学目标1.了解图形之间的基本关系，如包含、相交、相离、重合等；2.能够分辨图形之间的不同关系，运用所学知识解决一些实际问题；3.训练学生的观察能力、分析能力和判断能力，培养他们的逻辑思维和创造性思维。
教学重难点1.图形之间的关系概念和判断方法；2.运用图形关系方法解决实际问题。
教学内容与方法教学内容1. 图形之间的基本关系包含、相交、相离、重合。
2. 线段之间的关系端点重合、相互连接、相交、平行、斜交。
3. 角之间的关系锐角、直角、钝角、对顶角、邻补角、余角等。
4. 三角形之间的关系全等、相似、等腰、等边、直角等。
5. 四边形之间的关系矩形、平行四边形、菱形、正方形等。
6. 圆之间的关系相离、内切、相交、外切、重合等。
教学方法课堂讲授、写作练习、讨论交流。
教学过程第一步：导入新知1.师生共同回顾图形基本概念，进一步引出图形之间的关系；2.通过展示图片，引导学生根据图形本身特点判断它们之间的关系。
第二步：新课讲解1.介绍图形之间的基本关系概念及其判断方法；2.分别讲解线段之间、角之间、三角形之间、四边形之间及圆之间的关系。
第三步：练习与探究1.给出一些图形，让学生找出它们之间的关系；2.通过解决实际问题，让学生运用所学知识分析、判断、解决问题；3.让学生自己编制图形之间的关系题目，互相交流解答。
第四步：互动评价1.让学生上台展示自己编制的图形关系题目，并对其答案进行讨论；2.师生共同总结本节课所学内容，检查学生的掌握情况。
教学评估1.在课堂上师生互动讨论，检查学生的理解和掌握情况；2.布置课后作业，检查学生对所学内容的掌握情况；3.根据学生的成绩和平时表现，综合评估学生的学习情况。
总结六年级下册数学教案-总复习图形之间的关系，以6个方面为切入点，介绍了图形之间的基本关系概念及其判断方法，并通过实际问题的解决，让学生运用所学知识分析、判断、解决问题。
本节课旨在训练学生的观察能力、分析能力和判断能力，培养他们的逻辑思维和创造性思维，是数学教学中必不可少的一环。
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4月16日初一数学《整式乘法与拼图》课堂学案
姓名：
自我评价： 小组评价：
【学习目标】 通过拼图活动及验证等式的过程，体会数与形之间的密切联系，既可以由数来研究形，也可以由形来研究数，加深对乘法公式的理解，了解公式背后的几何意义.
【自主探究】请你设计一套住房
要求：在一块长为4y ，宽为4x 的长方形
荒地上建成一套两室一厅一厨一卫的房子。
其中，客厅面积6xy ；两卧室面积共为8xy ；
厨房面积为xy ；卫生间面积为xy.
你能尝试着画出平面结构示意图吗？
【慧眼识图】
1、利用如图所示的几何图形的面积可以表示的公式是 .
b
a a b
2、在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）如图（1），把余下的部分拼成一个矩形，如图（2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的公式是 .
b
a
b
b
（1） （2）
【智慧拼图】
1、请你画出几何图形直观的解释：
（3b ）2=9b 2
2、有足够多的长方形和正方形卡片，如图．
1a a 2b b 3b a （1）如果选取1号、2号、3号卡片分别为
1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重
叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并
运用拼图前后面积之间的关系说明这个长
方形的代数意义；
（2）小明想用类似方法解释多项式乘法
22(3)(2)273a b a b a ab b ++=++，那么需
用2号卡片 张，3号卡片 张．
（3）我是小老师：根据本题内容，模仿（2） 等式： . 需用1号卡片 张，2号卡片 张，3号卡片 张．
【综合应用】
如图（1）是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图（2）的形状拼成一个正方形． （1）你认为图（2）中阴影部分的正方形的边长是多少？
（2）请用两种不同的方法求图（2）中阴影部分的面积；
（3）观察图（2），你能写出三个代数式
2()m n +、2()m n -、mn 之间的等量关系
吗？
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若a +b =7，ab =5，求2
()a b -的值．
m
n
n m
（1）
m
n
（2）。