对数求导法导数基本公式高阶导数
导数的运算(二)
例2 设 y xsinx ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
解 方程两边对x求导,
y cos(x y) (1 y)
y cos(x y) ycos(x y)
解得 y cos(x y) 1 cos(x y)
例5 设曲线 C 的方程为 x3 y 3 3 xy , 求过 C上
点
3 (
2
,
3 2
)
的切线方程和法线方程
3
33
例4
设参数方程
x y
a b
cos t，(椭圆方程)确 sint
定了函数 y = y(x)，求 dy .
dx
解 dx a sin t dy b cost
dt
dt
所以 dy b cost b cott. dx a sin t a
例 5 求摆线
x
dx 1 cos t dx tπ
点 P 处的切线方程为
3
y1a 2
3
x
3
a
3 2
a
§2-2 导数的运算(二）
高阶导数的定义
我们把函数 yf(x) 的导数 yf (x) 的导数(如果 可导)叫做函数 yf(x) 的二阶导数 记作
y、f
(x)或
d2y dx2
高数常用求导公式24个
高数常用求导公式24个摘要：一、高数求导概述1.导数的定义与意义2.求导的基本方法二、高数常用求导公式1.常数函数的导数2.幂函数的导数3.指数函数的导数4.对数函数的导数5.三角函数的导数6.反三角函数的导数7.复合函数的导数8.隐函数的导数9.参数方程的导数10.高阶导数的求法11.反函数的导数12.微分方程的求解三、求导公式在实际问题中的应用1.优化问题2.变化率问题3.函数极值与最值问题4.曲线拟合与插值问题5.微分方程在实际问题中的应用四、求导公式的记忆与技巧1.分类整理记忆2.导数与微分的关系3.常见求导错误解析4.求导公式的综合运用正文：一、高数求导概述1.导数的定义与意义导数是描述函数在某一点变化率的数学量，可以反映函数在某一点的瞬时变化情况。
求导是高等数学中的重要内容，为研究函数的性质和解决实际问题提供了有力工具。
2.求导的基本方法求导的基本方法有：直接求导法、反函数求导法、隐函数求导法、参数方程求导法、高阶导数求导法等。
二、高数常用求导公式1.常数函数的导数为0。
2.幂函数y=x^n（n为实数）的导数为nx^(n-1)。
3.指数函数y=a^x（a>0且a≠1）的导数为a^xlna。
4.对数函数y=log_a(x)（a>0且a≠1）的导数为1/(xlna)。
5.三角函数的导数：sin(x)的导数为cos(x)；cos(x)的导数为-sin(x)；tan(x)的导数为1/cos^2(x)。
6.反三角函数的导数：反正弦函数arcsin(x)的导数为1/√(1-x^2)；余弦函数arccos(x)的导数为-1/√(1-x^2)；正切函数arctan(x)的导数为1/(1+x^2)。
7.复合函数的导数：(u*v)" = u"v + uv"；(u/v)" = u"v - uv"。
8.隐函数的导数：设y = f(x)，则y" = f"(x)/(f(x))"。
高阶导数十个常用公式张宇
高阶导数十个常用公式
在微积分中，导数是表示函数变化率的重要指标。
高阶导
数则是导数的导数，反映了函数的曲率、凹凸性等更高阶的特征。
在实际问题中，高阶导数常常用于描述物理过程、工程问题以及经济学模型等各种领域。
下面列举了十个常用的高阶导数公式。
一阶导数
1.对常数函数y=y求导，导数为y′=0。
2.对幂函数y=y y求导，导数为y′=yy(y−1)。
3.对指数函数y=y y求导，导数为y′=y y。
4.对对数函数 $y = \\ln x$ 求导，导数为 $y' =
\\frac{1}{x}$。
二阶导数
5.对一阶导数y′求导，即求二阶导数，常表示为y″。
6.一阶导数为幂函数的情况下，二阶导数为y″=
y(y−1)y(y−2)。
三阶导数
7.对二阶导数y″求导，即求三阶导数，常表示为y‴。
n 阶导数
8.对 n-1 阶导数y(y−1)求导，即求 n 阶导数，常表示
为y(y)。
9.对幂函数y=y y求 n 阶导数，结果是y(y)=y!。
链式法则
10.对复合函数y=y(y(y))求导，应用链式法则，即
可得到高阶导数的求导规则。
这些高阶导数的公式是微积分中的基础内容，对于深入理解函数特性和求解实际问题都非常重要。
学生在学习微积分过程中，应熟练掌握这些高阶导数的计算方法，以便更好地应用于实际问题中。
常用的求导和定积分公式
常用的求导和定积分公式求导和定积分是微积分中的基础概念，求导是一种衡量函数变化率的方法，而定积分是对函数在一定区间上的面积或体积的计算。
在实际问题中，求导和定积分公式的应用非常广泛。
下面是一些常用的求导公式：1.基本导数公式：- 常数函数： $ \frac{d}{dx} (c) = 0$- 幂函数：$ \frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1}$- 指数函数：$ \frac{d}{dx} (e^x) = e^x$- 对数函数：$ \frac{d}{dx} (\ln(x)) = \frac{1}{x}$-三角函数：- 正弦函数：$ \frac{d}{dx} (\sin(x)) = \cos(x)$- 余弦函数：$ \frac{d}{dx} (\cos(x)) = -\sin(x)$- 正切函数：$ \frac{d}{dx} (\tan(x)) = \sec^2(x)$2.基本运算法则：- 常数乘以函数：$ \frac{d}{dx} (cf(x)) = cf'(x)$- 函数的和或差：$ \frac{d}{dx} (f(x) \pm g(x)) = f'(x) \pm g'(x)$- 乘法法则：$ \frac{d}{dx} (f(x)g(x)) = f'(x)g(x) +f(x)g'(x)$- 除法法则：$ \frac{d}{dx} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$- 复合函数法则：$ \frac{d}{dx} (f(g(x))) = f'(g(x))g'(x)$3. 链式法则：如果函数 $y = f(u)$ 和 $u = g(x)$ 都可导，则复合函数 $y = f(g(x))$ 的导数为：$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$4. 高阶导数：将求导的操作应用多次可以得到高阶导数，例如二阶导数表示为 $f''(x)$ 或 $\frac{d^2y}{dx^2}$。
取对数求导法
注意:
求n阶导数时,求出 1-3 或 4 阶后,不要 急于合并.应该在分析结果规律的基础上 直接写出n阶导数.(严格讲，最后写出的结 果应该用数学归纳法证明，但一般不证)
高阶导数求法举例
下面是补充题：
例4 设 y arctan x, 求f (0), f (0).
解
y 1 1 x2
y
1 ( 1 x2
为了方便起见，对数真数的绝对值可以略 去不写.
下面我们再看一个例子
取对数求导法举例
例16 求 y x sinx 的导数 (x 0).
解 两边取对数，有
lny sinx lnx
两边同时对x求导，可得
1 y (sin x) lnx ln x sin x
(2) cu(x cu(x) (c是常数）
(3) u(x)v(x) u(x)v(x) u(x)v(x)
u(x) u(x)v(x) u(x)v(x)
(4) v(x)
v2 (x)
(v(x) 0)
❖ 复合函数的求导法则
设y f (u), 而u (x),则复合函数 y f [ (x)]
(C) 0
(x ) x 1
(sin x) cos x
(cos x) sin x
(tan x) sec2 x (cot x) csc2 x
(sec x) sec x tan x (csc x) csc x cot x
2.2.5 导数基本公式
❖ 常数和基本初等函数的导数公式
(a x ) a x ln a
y(n) (1)n 2n e2x
课堂练习 Ex2 10 (6)
10 (6) 设 y ln(1 x), 求y (n) .
课堂练习解答：
求导法则与高阶导数计算
求导法则与高阶导数计算导数是微积分中一个重要的概念，求导法则是用来计算函数导数的一系列规则。
无论是简单的一次导数还是更高阶的导数，掌握这些求导法则对于解决实际问题和理解函数的性质都具有重要意义。
一、基本导数法则1. 变量的导数对于自变量是单个变量的函数，导数的计算方法如下：- 若函数是常数：导数为零。
- 若函数是自变量的线性函数：导数为常数。
- 若函数是自变量的幂函数（幂指数是常数）：导数为幂函数的幂指数乘以常数。
- 若函数是自变量的指数函数（底数是常数）：导数为指数函数的自然对数乘以常数。
2. 和差的导数法则对于函数的和差，导数的计算方法如下：- 若函数为两个函数的和：导数等于两个函数各自的导数之和。
- 若函数为两个函数的差：导数等于两个函数各自的导数之差。
3. 乘法的导数法则对于函数的乘法，导数的计算方法如下：- 若函数为两个函数的乘积：导数等于一个函数的导数乘以另一个函数加上另一个函数的导数乘以一个函数。
4. 商的导数法则对于函数的商，导数的计算方法如下：- 若函数为两个函数的商：导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数除以分母的平方。
二、高阶导数计算高阶导数是指导函数的导数再次求导的结果。
高阶导数的计算可以使用以下方法：1. 一次求导后再次求导。
2. 利用高阶导数的公式，如幂函数和指数函数的高阶导数规律。
3. 利用递推法则，将高阶导数表示为一阶导数的形式。
三、实例分析下面通过几个实例来说明求导法则和高阶导数的计算方法：例1：求函数f(x) = 3x^2 + 4x + 2的导数和二阶导数。
解：首先求一阶导数：f'(x) = 6x + 4然后求二阶导数：f''(x) = 6例2：求函数f(x) = e^x / x的导数和三阶导数。
解：首先求一阶导数：f'(x) = (e^x * x - e^x) / x^2然后求二阶导数：f''(x) = (2e^x - e^x * x + e^x) / x^3最后求三阶导数：f'''(x) = (6e^x - 6e^x * x + 3e^x * x^2 - e^x) / x^4通过这些例子可以看出，求导法则和高阶导数的计算非常有用，可以帮助我们快速准确地获得函数的导数信息，并进一步分析函数的性质、变化趋势等。
高等数学2-4隐函数+对数求导+参数方程的导数+相关变化率(应用,如灌水速率).
高阶导数的直接求法：逐阶求导然后归纳
高阶导数的间接求法：利用已知的高阶导数公式
(sin x)(n) sin( x n )
2
1 1 x
(n)
(1)n
(1
n! x)n1
(cos x)(n) cos( x n π ) 2
(ax )(n) ax lnn a (a 0)
( x )(n) ( 1)L ( n 1) xn (注意 的n 情况)
例1 3) 设 y y( x) 由方程 sin( x2 y2 ) e x xy2 0 确定, 求 y.
解 cos( x2 y2 ) (2x 2 yy) e x y2 2xyy 0
dy dx
y2 e x 2cos( x2 y2 ) 2 ycos( x2 y2 ) 2xy
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2ln( x 4) x 3
上式两边对 x 求导得：
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
y
( x 1) 3 x 1 ( x 4)2ex
[
1 x 1
1 3( x 1)
x
2
4
1]
例5 设 y xsin x ( x 0), 求 y.
高阶导数的运算法则和莱布尼茨公式
y 1 b ax
y(n)
b
1 ax
(n)
(1)n n! (b ax)n1
an
y ln(b ax),
y(n)
an
(1)n1(n 1)!
ax bn
sin(ax b) (n) an sin(ax b n )
2
cos(ax b) (n) an cos(ax b n )
例2 设曲线 C 的方程为 x3 y3 3xy, 求过 C 上 一点 ( 3 , 的3)切线方程，并证明曲线 C 在该点的法
对数求导法导数基本公式高阶导数
对数求导法导数基本公式高阶导数一、对数求导法1. 令原函数为y=f(x)，其中f(x)是一个复杂函数，将y=f(x)两边取对数得到ln y = ln f(x)。
2. 对等式两边关于x求导，利用对数函数的求导法则，得到(lny)'=(ln f(x))'。
3. 根据对数函数的求导法则，我们有(ln y)'=1/y*(y')。
4. 化简得到ln y' = (ln f(x))'。
5. 对上式两边关于x求导，得到(d/dx)(ln y') = (d/dx)((lnf(x))')。
6. 根据链式法则，我们有(d/dx)(ln y') = y'/y*(y")，(d/dx)((ln f(x))') = (f(x))'/f(x)*(f(x))"。
7.化简得到y'/y*(y")=(f(x))'/f(x)*(f(x))"。
8.将结果回代到原函数中，即可得到原函数的导数。
二、对数函数的求导1. 自然对数函数ln x的导数：自然对数函数的导数为1/x，即(d/dx)(ln x) = 1/x。
2. 一般对数函数loga x的导数：一般对数函数的导数为1/(x*ln a)，即(d/dx)(loga x) = 1/(x*ln a)。
3.指数函数a^x的导数：指数函数的导数为a^x*ln a，即(d/dx)(a^x) = a^x*ln a。
4.对数函数的链式法则：若y=u(x)是一个可导函数，z=f(u)是一个可导函数，则有(dz/dx) = (dz/du)*(du/dx)。
三、基本公式在求导过程中，一些基本公式常常被使用。
1.常数函数的导数：若f(x)=c，其中c为常数，则有(d/dx)(c) = 0。
2.幂函数的导数：若f(x)=x^n，其中n为常数，则有(d/dx)(x^n) = nx^(n-1)。
导数的基本公式表
导数的基本公式表导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某点处的变化率。
导数的基本公式是求导的重要工具，下面是导数的基本公式表及其相关参考内容。
1. 基本导数公式：(1) 常数函数导数公式：f(x) = c ，其中 c 为常数，导数为 f'(x) = 0 。
(2) 幂函数导数公式：f(x) = x^n ，其中 n 为常数，导数为 f'(x) = nx^(n-1) 。
(3) 指数函数导数公式：f(x) = a^x ，其中 a 为常数，导数为f'(x) = ln(a)·a^x 。
(4) 对数函数导数公式：f(x) = log_a(x) ，其中 a 为常数，导数为 f'(x) = 1/(ln(a)·x) 。
(5) 三角函数导数公式：正弦函数导数公式：f(x) = sin(x) ，导数为 f'(x) = cos(x) 。
余弦函数导数公式：f(x) = cos(x) ，导数为 f'(x) = -sin(x) 。
正切函数导数公式：f(x) = tan(x) ，导数为 f'(x) = sec^2(x) 。
2. 基本导数法则：(1) 基本求导法则：常数倍法则：[c·f(x)]' = c·f'(x) ，其中 c 为常数。
和差法则：[f(x)±g(x)]' = f'(x)±g'(x) 。
乘法法则：[f(x)·g(x)]' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x) 。
除法法则：[f(x)/g(x)]' = [f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)]/g^2(x) ，其中g(x) ≠ 0 。
(2) 链式法则：若 y = f(g(x)) ，则 y' = f'(g(x))·g'(x) 。
求导法则和高阶导数
f ( x x ) f ( x ) ( f ( x )) lim x 0 x 存在，则称( f ( x ))是函数f ( x )在点x处的二阶导数.
记作 f ( x ), y,
d y d f ( x) 或 . 2 2 dx dx
2
2
例如，y x
3 2
1 2
y
(n)
x y a ln a a x ln 2 a
x y a ln a
x
ln a a x ln 3 a
2
a ln a
x n
例3.
10 (n) y x y 已知 ，求 。
解.
y 10 x 9
8 y 10 9 x 7 y 10 9 8 x
dy dx d y dx
复合函数求导法则
设y f ( ( x )), y f ( u), u ( x )
f ( ( x )) f ( u) ( x )
y x yu u x
dy dy du dx du dx
求函数 y 3
解.
log ( x ) a
1 特别地， ln x ( x 0) x
六、对数求导法
回忆1 如何求y x
( 0为常数 )的导数.
解.
x 0
x x lim
x x
x
x
lim x
x 0
1
x x
1
x
关于隐函数求导问题，答案中允许既有x又有y
例6. 求由e xy 0所确定的y y ( x )的导数.
对数函数高阶导数
对数函数高阶导数在微积分学中，导数的概念是非常重要的。
导数可以衡量和描述函数在某一点的变化率，从而在实际问题中具有广泛的应用价值。
而对于一些特殊的函数，它们的导数的计算方式也是具有一些独特性质的。
其中，对数函数便是一个非常重要的类型。
对数函数的导数对数函数是一种非常常见的函数，它可以用以下的形式来表示：$$ f(x) = \log_a x $$其中，$a$是对数的底数，$x$是函数的自变量。
对于对数函数而言，其导数计算的方法如下：$$ \frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a} $$这里，$\ln$表示自然对数。
可以看出，对数函数的导数与自变量的值无关，而与底数有关。
事实上，这一结论也是可以通过对数函数的性质进行推导的。
对数函数的高阶导数在对数函数的导数基础上，我们还可以考虑它的高阶导数，即导数的导数。
由于对数函数的导数计算比较简单，因而可以用泰勒公式来进行高阶导数的计算。
以自然对数为例，对数函数的泰勒公式可以表示为：$$ \ln (1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+R_n $$其中，$R_n$表示对数函数在$x=0$处的拉格朗日余项。
我们可以将其展开为：$$ R_n = \frac{(-1)^n}{n(1+\theta)^n}x^n $$其中，$\theta$是介于$0$和$x$之间的某个数。
根据泰勒公式，我们可以得到对数函数的高阶导数，具体计算方法如下：$$ \begin{aligned} \frac{d^n}{dx^n} \ln x &= (-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{x^n} \\ &= (-1)^n\frac{(n-1)!}{x^n} \end{aligned} $$可以看出，对数函数的高阶导数都是一个常数与$x$的幂函数的乘积，而幂次与导数的阶数相等，且系数随着阶数的增加而增加。
第3-4节 隐函数求导法 高阶导数
dn y (n) 阶导数, 导数称为 f ( x ) 的 n 阶导数,记 f ( x ) 或 . n dx
例1 解
1 设 y = arctan + x ln x ， y′′ . 求 x
1 1 1 y′ = ⋅ (− 2 ) + ln x + 1 2 2 x 1+ 2 x 1 1 1 =− + ln x + ， 2 2 1+ x 2 1
19 2x
= 2 e ( x + 20 x + 95) .
20 2x 2
阶导数公式: 常用n阶导数公式
(1) ( a )
x (n)
= a ⋅ ln a (a > 0)
x n
( n) n
(e )
x (n)
=e
x
π ( 2) (sin kx ) = k sin( kx + n ⋅ ) 2 π ( n) n ( 3) (cos kx ) = k cos( kx + n ⋅ ) 2
解得
比较: 比较
y′ = −
x . y
显化后, y = a 2 − x 2 ,
y′ =
−x a2 − x2
x =− ； y
2 2
另一分支: 另一分支: y = − a − x , y ′ =
x a2 − x2
x =− . y
例 2 求由方程 e + xy = e 所确定的隐函数 y = y( x )
1 ( n ) ( −1) n n! 例6 ( ) = x x n+1 1 1 1 1 y= ) = ( + 2 1− x 2 1− x 1+ x 1 ( −1) n n! y(n) = [ ] + n+1 n+1 2 (1 − x ) (1 + x )
求导数公式及运算法则
求导数公式及运算法则求导数公式及运算法则导数是微积分中非常重要的概念，它用来描述函数在某一点的变化率。
在实际应用中，求导数可以帮助我们确定函数的最大值、最小值、驻点等，因此对求导数的理解和掌握是非常重要的。
本文将介绍一些常见的求导数公式及运算法则。
一、求导数的定义假设函数f(x)在区间[a,b]内可导，则函数在某一点x的导数表示为：f'(x) = lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h其中，lim表示极限，h表示x自变量的增量。
二、求导数常用的公式1. 常数函数的导数：若c是常数，则f(x)=c的导数为0。
2. 幂函数的导数：对于任意实数n，f(x)=x^n的导数为：f'(x) = nx^(n-1)特别地，当n=1时，f(x)=x的导数为1。
3. 指数函数的导数：f(x)=e^x的导数为：f'(x) = e^x4. 对数函数的导数：f(x)=log_a(x)的导数为：f'(x) = 1/(x*log_a)其中a为常数，且a>0且a≠1。
5. 三角函数的导数：sin(x)' = cos(x)cos(x)' = -sin(x)tan(x)' = sec^2(x)这里的sec(x)表示secant（正割）函数。
三、四则运算法则求导数不仅可以针对单个函数进行，还可以对多个函数之间进行四则运算。
下面介绍求导数的四则运算法则。
1. 和差法则：若f(x)和g(x)都可导，则有：[f(x)+g(x)]' = f'(x) + g'(x)[f(x)-g(x)]' = f'(x) - g'(x)即求和或求差的导数等于各自的导数之和或差。
2. 乘法法则：若f(x)和g(x)都可导，则有：[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + g'(x)f(x)即求两个函数相乘的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第二个函数的导数乘以第一个函数。
高等数学常用导数公式大全
高等数学常用导数公式大全在高等数学中，导数是描述函数变化率的重要概念之一。
导数的应用十分广泛，特别是在求解极值、曲线切线以及函数图像的特征等方面具有重要作用。
本文将总结高等数学中常用的导数公式，供同学们参考使用。
常见函数的导数公式基本初等函数的导数公式1.常数函数：f(f)=f，导数为f′(f)=0。
2.幂函数：f(f)=f f，导数为f′(f)=ff f−1。
3.指数函数：f(f)=f f，导数为 $f'(x) = a^x \\ln a$。
4.对数函数：$f(x) = \\log_a x$，导数为 $f'(x) =\\frac{1}{x \\ln a}$。
5.三角函数：$f(x) = \\sin x$，导数为 $f'(x) = \\cosx$；$f(x) = \\cos x$，导数为 $f'(x) = -\\sin x$。
6.反三角函数：$f(x) = \\arcsin x$，导数为 $f'(x) =\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$；$f(x) = \\arccos x$，导数为$f'(x) = -\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$。
复合函数的导数公式1.链式法则：若f=f(f)，f=f(f)，则f=f(f(f))的导数为 $\\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx}$。
高阶导数公式1.二阶导数：若f=f(f)的一阶导数为f′，则f″表示f′的导数，即 $y'' = \\frac{d}{dx} (f'(x))$。
隐函数求导公式1.隐函数求导：对于方程f(f,f)=0，当不能解出f对f的显式表达时，可利用隐函数求导公式，即$\\frac{dy}{dx} = - \\frac{F_x}{F_y}$。
常用函数导数总结在高等数学中，经常会遇到一些复杂函数的导数计算，下面给出一些常用函数的导数总结：1.反函数的导数计算：若f=f(f)的反函数为f=f−1(f)，则f−1(f)的导数为 $\\frac{dx}{dy} =\\frac{1}{\\frac{dy}{dx}}$。
高等数学导数公式大全
高等数学导数公式大全一、基本导数公式1. 设常数a为导数常数，则有：（1）导数为零：d(ax)/dx = 0（2）导数为常数：d(ax)/dx = a2. 幂函数导数：（1）常数的幂函数导数：d(x^n)/dx = nx^(n-1)，其中n为正整数（2）自然指数函数的导数：d(e^x)/dx = e^x（3）指数函数的导数：d(a^x)/dx = ln(a)*a^x，其中a>0且a≠1（4）对数函数的导数：d(logₐx)/dx = 1/(xlna)，其中a>0且a≠1 3. 三角函数导数：（1）正弦函数的导数：d(sin x)/dx = cos x（2）余弦函数的导数：d(cos x)/dx = -sin x（3）正切函数的导数：d(tan x)/dx = sec^2 x（4）余切函数的导数：d(cot x)/dx = -csc^2 x（5）正割函数的导数：d(sec x)/dx = sec x * tan x（6）余割函数的导数：d(csc x)/dx = -csc x * cot x4. 反三角函数导数：（1）反正弦函数的导数：d(arcsin x)/dx = 1/√(1-x²)，(-1≤x≤1)（2）反余弦函数的导数：d(arccos x)/dx = -1/√(1-x²)，(-1≤x≤1)（3）反正切函数的导数：d(arctan x)/dx = 1/(1+x²)（4）反余切函数的导数：d(arccot x)/dx = -1/(1+x²)（5）反正割函数的导数：d(arcsec x)/dx = 1/(x√(x²-1))，(x>1或x<-1)（6）反余割函数的导数：d(arccsc x)/dx = -1/(x√(x²-1))，(x>1或x<-1)二、导数运算法则1. 基本导数运算法则：（1）和差法则：d(u±v)/dx = du/dx ± dv/dx（2）常数倍法则：d(cu)/dx = c * du/dx，其中c为常数（3）乘积法则：d(uv)/dx = u * dv/dx + v * du/dx（4）商法则：d(u/v)/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v²，其中v≠02. 复合函数的导数：若y=f(u)和u=g(x)是可导函数，则有：d(f(g(x)))/dx = d(f(u))/du * d(g(x))/dx3. 反函数的导数：若y=f(x)的反函数为x=g(y)，则有：d(g(y))/dy = 1 / d(f(x))/dx，其中d(f(x))/dx≠0三、高级导数公式1. 高阶导数：（1）二阶导数：d²y/dx² = d(dy/dx)/dx（2）三阶导数：d³y/dx³ = d(d²y/dx²)/dx = d²(dy/dx)/dx²2. 高阶导数公式：（1）幂函数的n阶导数：d^n(x^m)/dx^n = (m)(m-1)(m-2)...(m-n+1)x^(m-n)（2）指数函数的n阶导数：d^n(e^x)/dx^n = e^x（3）对数函数的n阶导数：d^n(logₐx)/dx^n = (-1)^(n-1)(n-1)!/x^n四、隐函数求导公式设x和y是关于变量t的函数，则有：dy/dx = dy/dt / dx/dt例如，对于方程x^2 + y^2 = R^2，其中R为常数，可得：dy/dx = -x/y以上是高等数学导数公式的大全，涵盖了基本导数公式、导数运算法则、高级导数公式和隐函数求导公式。
导数的基本公式与运算法则(高阶求导)
二、导数的有限次四则运算法则
三、基本初等函数的求导公式表
四、复合函数求导——链式法则
1、设f ( x) = arcsin x, j ( x) = x2 , 求f [j ⅱ ( x)], f [j ( x)],( f [j ( x)])
( x) = 2 x 解: j ¢
\ f [j ¢ ( x)] = arcsin(2 x)
所以
d 1 1 140 d t 2 500
( rad/ min )
例. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 , 今以 25 cm3 s自顶部向容器内注水 , 试求当容器内水 位等于锥高的一半时水面上升的速度.
h 解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的 x 体积为 V , 则 2 R 3 3 1 R 2 h 1 r 2 (h x) [ h ( h x ) ] 3 3 2 3h 两边对 t 求导 r hx 2 dV R dV h d x 3 R 2 2 (h x) , 而 25 (cm s) hx dt dt h dt r R 2 h dx 100 25h (cm s) , 故 2 2 2 dt R R (h x)
f (cos x2 ) 2 x sin x2
五、隐函数求导
六、对数求导
七、参数方程求导
有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例 解 上式两边取对数，得 a ln y x ln a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] b 上式两边对 x 求导，得 a a b y ln b x x y
f [j ( x)] = arcsin x
2
\ ( f [j ( x)])ⅱ = f [j ( x)] j ( x) 1 2x = 2x = 1- x 4 1- x 4
对数求导法
对数求导法对数求导法是一种常用的求导方法，在高等数学的教学和科研中，都有广泛的应用。
该方法常用于解决一些含有幂函数或指数函数乘积或商的复杂导数问题，大大简化了计算过程。
本文将对该方法进行详细的介绍。
一、基本思想对数求导法的基本思想是，将一个函数先取对数，然后对其求导，最后再根据原函数的性质还原。
对数求导法的数学公式如下：$$\frac{d}{dx}\ln u(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}$$其中，$u(x)$为任意实函数，且$u(x)>0$。
二、基本性质1.对数求导法是一种复合函数求导的方法，通过对函数进行取对数、求导、还原的过程，简化了其中的计算步骤。
2.对数求导法要求被求导函数必须为正函数，即$u(x)>0$，否则无法应用此方法。
3.对数求导法适用于求导数含有幂函数或指数函数乘积或商的函数。
对于其他类型的函数，可能需要采用其他方法。
4.对数求导法可应用于函数的高阶导数的计算，原理与一阶导数计算相同。
三、应用举例1.幂函数的导数当$f(x)=x^n$（$n$为正整数）时，利用对数求导法可得：$$\begin{aligned}\frac{d}{dx}x^n&=\frac{d}{dx}\ln e^{n\lnx}\\&=\frac{1}{e^{n\ln x}}\cdot\frac{d}{dx}(e^{n\lnx})\\&=\frac{1}{x^n}\cdot(nx^{n-1})\\&=nx^{n-1}\end{aligned}$$需要注意的是，当$a=1$时，指数函数为常数函数，其导数为$0$。
需要注意的是，对数函数的自变量必须大于$0$，否则无法应用此方法。
设$f(x)=e^{x^2}$，$g(x)=\ln x$，求$h(x)=f(g(x))$的导数。
利用链式法则可得：因此，$h(x)$的导数为四、总结。
高等数学导数16个基本公式
高等数学导数16个基本公式在高等数学中，导数是一个非常重要的概念，它描述了一个函数在某一点的变化率。
掌握导数的基本公式对于解题至关重要。
在本文中，我们将重点介绍高等数学中的16个导数的基本公式，以帮助读者更好地理解和运用导数的概念。
1. 导数的定义导数描述了函数在某一点的斜率，即函数在该点的瞬时变化率。
若函数f(f)在f0处可导，则其导数定义为:$$ f'(x_0)=\\lim_{{\\Delta x\\to 0}}\\frac{f(x_0+\\Delta x)-f(x_0)}{\\Delta x} $$其中f′(f0)表示f(f)在f0处的导数。
2. 常数函数导数对于常数函数f，其导数为0，即(f)′=0。
3. 幂函数导数对于幂函数f=f f，其中f为常数，则有(f f)′=ff f−1。
4. 指数函数导数对于指数函数f=f f，其中f为常数，则有$(a^x)'=a^x\\ln(a)$。
5. 对数函数导数对于对数函数$y=\\log_ax$，其中f为常数，则有$(\\log_ax)'=\\frac{1}{x\\ln(a)}$。
6. 三角函数导数•$\\sin'(x)=\\cos(x)$•$\\cos'(x)=-\\sin(x)$•$\\tan'(x)=\\sec^2(x)$•$\\csc'(x)=-\\csc(x)\\cot(x)$•$\\sec'(x)=\\sec(x)\\tan(x)$•$\\cot'(x)=-\\csc^2(x)$7. 反三角函数导数•$\\arcsin'(x)=\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$•$\\arccos'(x)=-\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$•$\\arctan'(x)=\\frac{1}{1+x^2}$8. 和差积商导数法则•$(u\\pm v)'=u' \\pm v'$•(ff)′=f′f+ff′•$\\left(\\frac{u}{v}\\right)'=\\frac{u'v-uv'}{v^2}$9. 链式法则如果函数f=f(f(f))为复合函数，则有$y'=f'(g(x))\\cdot g'(x)$。
13 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数与高阶导数
d2y dx 2
d (dy ) dx dx
( tan t) (a cos3 t )
sec2 t 3a cos2 t sin t
sec4 t 3a sin t
22
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铃
练习：
求下列函数y的二阶导数：
(1) y x cos x；
(2) y2 2xy 1；
(3) x2 y2 xy 1；
ey ex
或
( (
x y
1) 1)
y x
.
5
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二、由参数方程所确定的函数的导数
若
参
数
方
程
x y
(t) (t)
确
定
y与x间 的
函
数
关
系,
称 此 为 由 参 数 方 程 所 确定 的 函 数.
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
消去参数 t
y t2 ( x)2 x2 24
y
y
v( x) ln u( x)
v( x)u( x)
u( x)
u(
x)v(
x)
v(
x)
ln
u(
x)
v(
x)u( u( x)
x)
3
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练习. 求下列函数的导数：
(1) y cos( x2 3x) (3) x y sin(xy) (5) y sin(2x2 3) (7) xy sin(x y)
dt
dy
高阶导数的计算技巧
高阶导数的计算技巧导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在实际问题中，我们常常需要计算高阶导数，以便更好地理解函数的性质和行为。
本文将介绍一些计算高阶导数的技巧，帮助读者更加高效地进行导数计算。
一、基本导数公式回顾在计算高阶导数之前，我们首先回顾一下基本导数公式。
对于常见的函数，我们可以通过以下公式来计算其导数：1. 常数函数：对于常数函数f(x) = C，其导数为f'(x) = 0。
2. 幂函数：对于幂函数f(x) = x^n，其中n为正整数，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
3. 指数函数：对于指数函数f(x) = a^x，其中a为正实数且a≠1，其导数为f'(x) = a^x * ln(a)。
4. 对数函数：对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为正实数且a≠1，其导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
5. 三角函数：对于三角函数f(x) = sin(x)，f(x) = cos(x)，f(x) = tan(x)，其导数分别为f'(x) = cos(x)，f'(x) = -sin(x)，f'(x) = sec^2(x)。
二、高阶导数的计算方法在计算高阶导数时，我们可以利用基本导数公式和链式法则来简化计算过程。
下面将介绍两种常用的计算高阶导数的方法。
1. 递推法递推法是一种简单而有效的计算高阶导数的方法。
它基于以下观察：如果我们已经计算出了函数f(x)的n阶导数f^(n)(x)，那么我们可以通过对f^(n)(x)再次求导来计算出f(x)的n+1阶导数f^(n+1)(x)。
例如，对于函数f(x) = x^n，我们可以通过递推法计算出它的高阶导数。
首先，我们计算出f(x)的一阶导数f'(x) = nx^(n-1)。
然后，我们对f'(x)再次求导，得到f''(x) = n(n-1)x^(n-2)。
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f ( x) u( x)
v( x)
v( x)u ( x) [v( x) ln u( x) ] u ( x)
课堂练习
Ex 2 8 (6)
课堂练习解答：
Ex 2 （ 8 6） 两边取对数，有 lny lnx ln sinx 两边同时对 x求导 y 1 ln x cos x ln sin x y x sin x 1 ln x 1 y (sin x) ( ln sin x cos x ln x) x sin x ln x 1 (sin x) ( ln sin x cot x ln x) x
授课内容
取对数求导法 导数基本公式 高阶导数
Math2-4
知 识 点
幂指函数转化成隐函数 反三角函数的求导公式 导数基本公式 二阶导数、高阶导数
重
点
导数基本公式和法则的应用
2.2.4 取对数求导法
有时还会遇到这样一些 情形，虽然给定的函数 是显函数，但直接求它 的导数很困难或很麻烦 ，例 如幂指函数 y u 及一种因子之幂的连乘 积的函数， 如 y3 x(3x - 1) . (5x 3)(2- x)
利用上述公式及法则,初等函数求导问题可完 全解决.
注意: 初等函数的导数仍为初等函数. 关键: 正确分解初等函数的复合结构.
思考题: 幂函数在其定义域（ ）.
（1） 必可导； （3）不一定可导. （2）必不可导；
思考题解答： 正确地选择是（3）
例 f ( x)
2 x3
, x (,) 在 x=0 处不可导;
下面，我们给出四个反 三角函数的求导公 式，证明这些公式需要 用到反函数的求导法 则，这里略去不证 .
(arcsin x )
1 1 x
2
(arccos x)
1 1 x
2
1 1 ( arc cot x ) (arctan x ) 1 x2 1 x2
显然，有
而 f ( x) x , x (,) 在定义域内处处可导.
2
2.3 高阶导数
问题:变速直线运动的加速度.
瞬 时 速 度 为 v(t) f (t) 设 s f (t), 则
加 速 度a是 速 度v对 时 间t的 变 化 率
a(t) v(t) [ f (t)].
解 两边取对数，得 lny sinx ln cosx 两边同时对 x求导，可得 1 sin x y cos x ln cos x ( sin x) y cos x
2 sin x s inx 即 y (cosx) (cos x ln cos x ) cos x
EX 2 8 . 利用对数求 导法求函数 的导数
(C ) 0 (sin x ) cos x
2
( x ) x 1 (cos x) sin x
2
(cot x) csc x (tan x ) sec x (sec x ) sec x tan x (csc x) csc x cot x
( arc cot x )
1 1 x 1 1 x2
2
函数的和、差、积、商的求导法则
设u(x),v(x)可导,则 (1) u ( x) v( x) u ( x) v ( x)
(2) cu(x cu (x) (c是常数） u ( x)v( x) u( x)v( x) (3) u(x)v(x)
(5) y 2 x
解 两边取对数
x
ln y ln(2 x
两边求导
x
) ln 2
x ln x
y 1 x ln x y x 2 x
即 y 2x
x
(
ln x 2 x
1 x
) x x
x
(ln x 2)
10.求下列函数的n阶导数
10(5) y xe
x
x
解 y e x xe x (1 x)e x y e (1 x)e (2 x)e
(arcsinx) (arccosx) (arctanx) (arccot x)
例 17 求下列函数的导数：
(1) y arcsin(3x)
解
y 1 1 - (3x )
2 2
2
(3x 2 )
6x 1 9x
4
例 17 求下列函数的导数：
(2)
x 2 x 解 y 3(arctan ) (arctan ) 2 2
两 边 同 时 对 x求 导 ， 可 得
1 11 3 5 1 y y 3 x 3x 1 5 x 3 2 x
即
1 x(3x 1) y 3 3 (5 x 3)(2 x)
1 3 5 1 x 3x 1 5 x 3 2 x
例1 求下列函数的二阶导数：
(2)
解
y xcosx
y cos x x sin x
y sin x sin x x cos x
2 sin x x cos x
高阶导数求法举例
例2
解
设 f(x) x ln x ,求f (2).
2
f (x) 2x ln x x
相应地, f ( x)称为f ( x)的一阶导数.
高阶导数求法举例 由高阶导数的定义 逐步 求高阶导数.
例1 求下列函数的二阶导数：
(1) y 2x3 3x 2 5
解
2 y 6x 6x
y (6x 2 6x )
12x 6
高阶导数求法举例 由高阶导数的定义 逐步 求高阶导数.
x x x x x y e (2 x)e (3 x)e
y
(n)
( n x )e
x
请同学们注意两点：
利用取对数的方法求导，最终的表达式 中，不允许保留y，而要用相应的x 的表达式代 替；
为了方便起见，对数真数的绝对值可以略 去不写.
下面我们再看一个例子
取对数求导法举例
例 16 求 y x
解
sinx
的导数 ( x 0).
两边取对数，有 lny sinx lnx
两 边 同 时 对 x求 导 ， 可 得 1 y (sin x) ln x sin x(ln x) y
2.2.5 导数基本公式
常数和基本初等函数的导数公式
(a x ) a x ln a 1 (log a x) x ln a 1 (arcsin x) 1 x2 1 (arctan x) 2 1 x
(e x ) e x 1 (ln x) x (arccos x )
f (x) 2ln x 3
2 f ( x ) x
(2) 1 f
高阶导数求法举例
例3 求下列函数的n阶导数 .
(1) y 5
解
x
x y 5 ln 5
y 5 (ln 5)
----------
x
2
y ( n ) 5x (ln 5) n
高阶导数求法举例
1 cos x ln x sin x x
s inx
即 y x
1 cos x ln x x sin x
一般地对于
f ( x) u( x)
v( x)
(u( x) 0)
ln f ( x) v( x) ln u( x)
d 1 d 又 ln f ( x) f ( x) dx f ( x) dx d d f ( x) f ( x) ln f ( x) f ( x) v( x) ln u ( x) dx dx
高阶导数求法举例
下面是补充题： 例4 设 y arctan x, 求f (0), f (0). 解
y 1 1 x2
y (
1 1 x2
)
2x (1 x 2 ) 2
(1 x 2 ) 2 2x f (0) (1 x 2 ) 2
f (0)
y 2! (1 x)
3
y
y
( 4)
1 (1 x) 2
3! (1 x) 4
y
( n)
(1)
n1
(n 1)! (1 x)
n
(n 1, 0! 1)
注意:
求n阶导数时,求出 1-3 或 4 阶后,不要 急于合并.应该在分析结果规律的基础上 直接写出n阶导数.(严格讲，最后写出的结 果应该用数学归纳法证明，但一般不证)
定义 如果函数f ( x)的导数f ( x)在点x处可导,即 f ( x x) f ( x) ( f ( x)) lim x 0 x 存在, 则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
二阶导数记作 f ( x), y ,
d2y dx
2
或
d 2 f ( x) dx
y (
2 x
)
2(3 x 2 1) (1 x 2 ) 3
x0
0
2.
2(3x 2 1) (1 x 2 ) 3
x 0
作业 Ex2 8 (1, 5) 10 (1, 3, 5)
EX 2 8 . 利用对数求 导法求函数 的导数
（ 1 ）y (cosx)
s inx
v
对于这两类函数，可以通过两边取对数， 转化为隐函数，然后按隐函数求导的方法求 出导数y 。这样会使计算简单或更容易，这 种方法称作 对数求导法
取对数求导法举例
例 15 求 y
3