对数求导法导数基本公式高阶导数

y (
2 x
)
2(3 x 2 1) (1 x 2 ) 3
x0
0
2.
2(3x 2 1) (1 x 2 ) 3
x 0
作业 Ex2 8 (1, 5) 10 (1, 3, 5)
EX 2 8 . 利用对数求 导法求函数 的导数
（ 1 ）y (cosx)
s inx
两 边 同 时 对 x求 导 ， 可 得
1 11 3 5 1 y y 3 x 3x 1 5 x 3 2 x
即
1 x(3x 1) y 3 3 (5 x 3)(2 x)
1 3 5 1 x 3x 1 5 x 3 2 x

u(x) u ( x)v( x) u( x)v( x) (4) (v(x) 0) 2 v ( x) v(x)
复合函数的求导法则
设y f (u), 而u ( x), 则复合函数 y f [ ( x)] 的导数为 dy dy du dx du dx 或 y ( x) f (u) ( x).
( arc cot x )
1 1 x 1 1 x2
2
函数的和、差、积、商的求导法则
设u(x),v(x)可导,则 (1) u ( x) v( x) u ( x) v ( x)
(2) cu(x cu (x) (c是常数） u ( x)v( x) u( x)v( x) (3) u(x)v(x)
2
.
二阶导数的导数称为三阶导数 三阶导数的导数称为四阶导数 f
f ( x), y ,
( 4)
d y
d y dx
4
3
( x), y ,
( 4)
dx 4
3
.
.
一般地,函数f ( x)的n 1 阶导数的导数称为 函数f ( x)的n阶导数, 记作 n n d y d f ( x) ( n) ( n) f ( x), y , 或 . dx n dx n 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
利用上述公式及法则,初等函数求导问题可完 全解决.
注意: 初等函数的导数仍为初等函数. 关键: 正确分解初等函数的复合结构.
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思考题: 幂函数在其定义域（ ）.
（1） 必可导； （3）不一定可导. （2）必不可导；
思考题解答： 正确地选择是（3）
例 f ( x)
2 x3
, x (,) 在 x=0 处不可导;
f (x) 2ln x 3
2 f ( x ) x
(2) 1 f
高阶导数求法举例
例3 求下列函数的n阶导数 .
(1) y 5
解
x
x y 5 ln 5
y 5 (ln 5)
----------
x
2
y ( n ) 5x (ln 5) n
高阶导数求法举例
(C ) 0 (sin x ) cos x
2
( x ) x 1 (cos x) sin x
2
(cot x) csc x (tan x ) sec x (sec x ) sec x tan x (csc x) csc x cot x
而 f ( x) x , x (,) 在定义域内处处可导.
2
2.3 高阶导数
问题:变速直线运动的加速度.
瞬 时 速 度 为 v(t) f (t) 设 s f (t), 则
加 速 度a是 速 度v对 时 间t的 变 化 率
a(t) v(t) [ f (t)].
f ( x) u( x)
v( x)
v( x)u ( x) [v( x) ln u( x) ] u ( x)
课堂练习
Ex 2 8 (6)
课堂练习解答：
Ex 2 （ 8 6） 两边取对数，有 lny lnx ln sinx 两边同时对 x求导 y 1 ln x cos x ln sin x y x sin x 1 ln x 1 y (sin x) ( ln sin x cos x ln x) x sin x ln x 1 (sin x) ( ln sin x cot x ln x) x
1 cos x ln x sin x x
s inx
即 y x
1 cos x ln x x sin x
一般地对于
f ( x) u( x)
v( x)
(u( x) 0)
ln f ( x) v( x) ln u( x)
d 1 d 又 ln f ( x) f ( x) dx f ( x) dx d d f ( x) f ( x) ln f ( x) f ( x) v( x) ln u ( x) dx dx
解 两边取对数，得 lny sinx ln cosx 两边同时对 x求导，可得 1 sin x y cos x ln cos x ( sin x) y cos x
2 sin x s inx 即 y (cosx) (cos x ln cos x ) cos x
EX 2 8 . 利用对数求 导法求函数 的导数
v
对于这两类函数，可以通过两边取对数， 转化为隐函数，然后按隐函数求导的方法求 出导数y 。这样会使计算简单或更容易，这 种方法称作 对数求导法
取对数求导法举例
例 15 求 y
3
x(3x-1) 1 ( x 2) (5x 3)(2 x) 3
解 两 边 取 对 数 ， 有
1 ln y ln x ln(3x 1) ln(5x 3) ln(2 x) 3
定义 如果函数f ( x)的导数f ( x)在点x处可导,即 f ( x x) f ( x) ( f ( x)) lim x 0 x 存在, 则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
二阶导数记作 f ( x), y ,
d2y dx
2
或
d 2 f ( x) dx
y 2! (1 x)
3
y
y
( 4)
1 (1 x) 2
3! (1 x) 4


y
( n)
(1)
n1
(n 1)! (1 x)
n
(n 1, 0! 1)
注意:
求n阶导数时,求出 1-3 或 4 阶后,不要 急于合并.应该在分析结果规律的基础上 直接写出n阶导数.(严格讲，最后写出的结 果应该用数学归纳法证明，但一般不证)
x 2 3(arctan ) 2
x 3 y (arctan ) 2
x 2 3(arctan ) 2
1 x ( ) x 2 2 1 ( ) 2
1
x2 1 6 x 24 (arctan ) 2 4 x2
1 2
2.2.5 导数基本公式
常数和基本初等函数的导数公式
x x x x x y e (2 x)e (3 x)e
y
(n)
( n x )e
x
授课内容
取对数求导法 导数基本公式 高阶导数
Math2-4
知 识 点
幂指函数转化成隐函数 反三角函数的求导公式 导数基本公式 二阶导数、高阶导数
重
点
导数基本公式和法则的应用
2.2.4 取对数求导法
有时还会遇到这样一些 情形，虽然给定的函数 是显函数，但直接求它 的导数很困难或很麻烦 ，例 如幂指函数 y u 及一种因子之幂的连乘 积的函数， 如 y3 x(3x - 1) . (5x 3)(2- x)
请同学们注意两点：
利用取对数的方法求导，最终的表达式 中，不允许保留y，而要用相应的x 的表达式代 替；
为了方便起见，对数真数的绝对值可以略 去不写.
下面我们再看一个例子
取对数求导法举例
例 16 求 y x
解
sinx
的导数 ( x 0).
两边取对数，有 lny sinx lnx
两 边 同 时 对 x求 导 ， 可 得 1 y (sin x) ln x sin x(ln x) y
例3 求下列函数的n阶导数 .
(2)
解
y e -2x
2 2 x 2 2 2 x
y (2)e 2 x (1)1 21 e 2 x
y (2) e
(1) 2 e
n 2 x
-----------
y
(n )
(1) 2 e
n
课堂练习 Ex2 10 (6)
10 (6) 设 y ln( 1 x), 求y(n) . 课堂练习解答： 1 解 y 1 x
高阶导数求法举例
下面是补充题： 例4 设 y arctan x, 求f (0), f (0). 解
y 1 1 x2
y (
1 1 x2
)
2x (1 x 2 ) 2
(1 x 2 ) 2 2x f (0) (1 x 2 ) 2
f (0)
(arcsinx) (arccosx) (arctanx) (arccot x)
例 17 求下列函数的导数：
(1) y arcsin(3x)
解
y 1 1 - (3x )
2 2
2
(3x 2 )

6x 1 9x
4
例 17 求下列函数的导数：
(2)
x 2 x 解 y 3(arctan ) (arctan ) 2 2
(5) y 2 x
解 两边取对数
x
ln y ln(2 x
两边求导
x
) ln 2
x ln x
y 1 x ln x y x 2 x
即 y 2x
x
(
ln x 2 x

1 x
) x x
x
(ln x 2)
10.求下列函数的n阶导数
10(5) y xe
x
x
解 y e x xe x (1 x)e x y e (1 x)e (2 x)e
相应地, f ( x)称为f ( x)的一阶导数.
高阶导数求法举例 由高阶导数的定义 逐步 求高阶导数.
例1 求下列函数的二阶导数：
(1) y 2x3 3x 2 5
解
2 y 6x 6x
y (6x 2 6x )
12x 6
高阶导数求法举例 由高阶导数的定义 逐步 求高阶导数.
例1 求下列函数的二阶导数：
(2)
解
y xcosx
y cos x x sin x
y sin x sin x x cos x
2 sin x x cos x
高阶导数求法举例
例2
解
设 f(x) x ln x ,求f (2).
2
f (x) 2x ln x x
2.2.5 导数基本公式
常数和基本初等函数的导数公式
(a x ) a x ln a 1 (log a x) x ln a 1 (arcsin x) 1 x2 1 (arctan x) 2 1 x
(e x ) e x 1 (ln x) x (arccos x )
下面，我们给出四个反 三角函数的求导公 式，证明这些公式需要 用到反函数的求导法 则，这里略去不证 .
(arcsin x )
1 1 x
2
(arccos x)
1 1 x
2
1 1 ( arc cot x ) (arctan x ) 1 x2 1 x2
显然，有