2013-2019历年浙江专升本高等数学真题及解析

【解析】对 y P(x) y Q(x) y 2 两边同时除以 y2 可得 y2 y P(x) y1 Q(x) ，令
z y1 ，原微分方程可化为一阶线性微分方程 z P(x)z Q(x) 进行求解，即 z P(x)z Q(x) ，由一阶微分线性方程的求解公式可求得
z e P(x)dx[
再根据公式与原则设特解形式。
【答案】（B）。
【解析】先求其对应的齐次微分方程 y y 6y 0 的通解为 C1e2x C2e3x ，而原方程可 化为 y y 6y 3 e2x sin 2x ，则可设 y e2x (a cos 2x b sin 2x) ，显然与齐次方程无
2 重根，故 y e2x (a cos 2x b sin 2x) ，故选（B）。
Q(
x)e
P
(
x)
dxdx
C
]
，即
1
e P(x)dx[
Q( x)e P(x)dxdx C] ,所以
y
y
1
。
e P(x)dx[ Q( x)e P(x)dxdx C]
13.法向量是 a (1, 3, 2) 且过点 (1, 0,1) 的平面方程是
。
【思路点拨】平面方程一般通过点法式求解，即利用一个法向量 n(l, n, m) 与平面经过的一
（A） 3 2
（B） 1 2
（C） 1 3
（D） 1 6
【思路点拨】平面图形的面积计算转化为定积分的计算。
【答案】（D）。
【解析】曲线 y x , y x 的交点为 (1,1) ，故其面积
S
1
(
0
x
x)dx
2 3
x
3 2
1 2
x2
1 0
1 6
，故选（D）。
5.二阶微分方程 y y 6y 3e2x sin x cos x ，则其特解的形式为（ ）
1 n
2 sin
2 n
nsin1
用定积分表示
。
【思路点拨】定积分的定义式无穷项求和的形式 lim 0
i 1
f ( xi )xi（ 为 xi 中最大的长度），
考察最多的公式为 lim 1 n
n n i1
f
i n
1
f ( x)dx ，先将被求极限变形成标准形式，再根据该
0
公式进行转化。
1
【答案】 x sin xdx 。 0
x0
3
lim
x0
f (x)
lim x0
ex sin x ax(1 x) sin3 x
lim
x0
ex sin x ax ax 2 x3
lim
x0
ex
sin
x
ex cos 3x2
x
a
2ax
，其中
x
0
时，分母 3x2
0
，要保证其极限要存在，
则 lim (ex sin x ex cos x a 2ax) 0 ，故 a 1。 x0
y
esin
y
xesin
y
cos
y
y
，由此可得
y
1
esin y xesin y cos
y
。
10.
dx x ln x
。
【答案】 ln ln x C 。
【解析】所求积分存在导数关系，可采用第一类换元法（凑微分法）计算
dx x ln x
d ln x ln x
ln
ln
x
C
。
11.极限
lim
n
1 n2
sin
16.设
f
(x)
ex
sin
x ax(1 sin3 x
x)
,
1, 3
x 0, 若 f (x) 连续，求 a 的值。
x 0,
【思路点拨】对于分式极限如果极限存在，若分母趋向 0 ，则分子也必须趋向 0 。
【答案】 a 1。
【 解 析 】 因 为 函 数 连 续 ， 则 函 数 在 x 0 处 连 续 ， 故 有 lim f (x) f (0) 1 ， 而
15.球面 x2 y2 (z 2)2 4 与平面 2x y z 26 0 之间的最短距离
是
。
【思路点拨】球面到平面的最短距离可转化为球心到平面的距离减去半径。
【答案】 4 6 2 。
【解析】球心为 (0, 0, 2) ,根据点到平面的距离公式 d Ax0 By0 Cz0 D 可计算，球心 A2 B2 C 2
一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设 f (x) sin(cos 2x), x R ，则此函数是（ ）
（A）有界函数 【答案】（A）。
（B）奇函数
（C）偶函数
（D）周期函数
【解析】由于1 sin(cos 2x) 1 ，故 f (x) 为有界函数，显然容易验证 f (x) 不是奇偶函数
3. x cos xdx （ ） 0
（A） 0
（B）1
（C） 1
（D） 2
【思路点拨】两类型函数相乘的积分采取分部积分法计算。
【答案】（D）。
【解析】
x cos xdx
π xd sin x (x sin x)
π
sin
xdx
cos x
π
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，故选（D）。
0
0
00
0
4.由曲线 y x , y x 所围成的平面图形的面积是（ ）
个点 A(x1, y1, z1) ，则平面方程为 l(x x1) n( y y1) m(z z1) 0 。 【答案】 x 3y 2z 3 0 。
【解析】由平面方程的点法式可求得其平面方程为 (x 1) 3( y 0) 2(z 1) 0 ，化简可
得 x 3y 2z 3 0 。
x0
x
x0
x
lim f (1 x) f (1) lim f (1 x) f (1) 2 f (1) 2 。
x0
x
x0
x
（隐函数求导）9.若函数 y y(x) 由方程 y 1 xesin y 确定，则 y
。
【答案】
y
1
esin y xesin y cos
y
。
【解析】该题为隐函数求导， y 1 xesin y 两边同时对 x 求导可得
非选择题部分
注意事项：
1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图，可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二．填空题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
6.极限 lim x ln sin(x2)
。
x0
【答案】 0 。
浙江省 2013 年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试
高等数学
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分 注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定 的位置上。 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。
（A） e2x (a cos x b sin x)
（B） e2x (a cos 2x b sin 2x)
（C） xe2x (a cos x b sin x)
（D） xe2x (a cos 2x b sin 2x)
【思路点拨】二阶常系数非齐次微分方程的特解形式，需先求出其对应齐次微分方程的通解，
到平面的距离 d 2 0 1 0 1 2 26 4 6 ，又球面的半径为 2 ，从而可知球面到平 22 12 (1)2
面的最短距离为 4 6 2 。
三、计算题（本题共有 8 小题，其中 16～19 小题每小题 7 分，20～23 小题每小
题 8 分，共 60 分。计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分）
2
4
【解析】
x
sin
2
xdx
1 2
xdcos2x
1 2
x
cos
2x
1 2
cos2xdx
1 x cos 2x 1 sin 2x C 。
【解析】该极限位
0
类型，先转化为
，再使用洛必达法则进行计算，
lim
x0
x
ln
sin( x 2 )
lim
x0
ln
sin( x 2 ) 1
lim
x0
1 sin( x
2
)
cos(
x
2
)2
x
1
lim 2x cos(x2) 0 。 x0
x
x2
7.函数 y sin x 的定义域是
。
【答案】[2kπ, (2k 1)π],k Z 。
1 2
,
上，
f
(
x)
0
，为单调递
增区间。求
y
2e2x (2x2 2x x3
1)
4e 2 x
x
1 2
2
x3
1 4
，在 (, 0) 上，
y
0 ，为其
凸区间，在 (0, ) 上， y 0 ，为其凹区间。
19.讨论方程 3x2 1 cos x 有几个根。
【思路点拨】涉及到方程根的个数问题通常需要结合函数的单调性、零点定理和函数的图像
【解析】要使得 sin x 有意义，则 sin x 0 ，故 x [2kπ, (2k 1)π],k Z 。
8.已知 f (1) 1 ， lim f (1 x) f (1 x)
。
x0
x
【答案】 2 。
【解析】将极限转化成导数的定义式
lim f (1 x) f (1 x) lim f (1 x) f (1) f (1) f (1 x)
除以 yn 可得 yn y P(x) y1n Q(x) ，令 z y1n ，则 z (1 n) y n y ，即 yn y z ， 1 n
原微分方程可化为一阶线性微分方程 z P(x)z Q(x) 进行求解。 1 n
【答案】 y
1
。
e P(x)dx[ Q( x)e P(x)dx dx C]
和周期函数，故选（A）。
2.若函数 y f (x) 是区间[1, 5] 上的连续函数，则该函数一定（ ）
（A）在区间[1, 5] 上可积
（B）在区间 (1, 5) 上有最小值
（C）在区间 (1, 5) 上可导
（D）在区间 (1, 5) 上有最大值
【答案】（A）。 【解析】只有闭区间上的连续函数才满足最值定理，而（B）（D）选项均为开区间，故错误， 而连续不一定可导，故（C）错误，连续函数一定可积故选（A）。
f (x) f (0) x0
1
lim e x2 x0 x
lim x0
1
x
1
e x2
0
，故其导函数
f
(x)
2 x3
1
e x2
,
0,
18.求 y e2x 的单调区间和凹凸区间。 x
x 0, x 0。
【答案】(,
0)， 0,
1 2
为单调递减区间，
1 2
,
为单调递增区间，(,
0)
为其凸区间，
an 1 x n 1 an xn
1。
【答案】 (1,1) 。
(1)n1 x2n3
【解析】 lim n
n 1 (1)n x2n1
1 ，可解得 x2 1 ，故 x 的收敛区间为 (1,1) 。
n
13.常微分方程 y P(x) y Q(x) y 2 的通解是
。
【思路点拨】类似于 y P(x) y Q(x) y n(n 0,1) 的这类微分方程，解法如下，两边同时
【解析】 lim n
1 n2
sin
1 n
2sin
2 n
nsin
1
=
lim
n
1 n
1 n
sin
1 n
2 sin n
2 n
nsin n
n n
，
即 lim 1
n
i sin i
1
xsin xdx 。
n n i1 n n 0
(1)n x2n1
12.
的收敛区间为
。
n1
n
【思路点拨】幂级数的收敛半径半径和收敛区间的计算可运用公式 lim n
进行分析。
【答案】 2 。 【解析】设 f (x) 3x2 1 cos x ，则其导数为 f (x) 6x sin x ，由于一阶导数难以看 出符号，则可求其二阶导数 f (x) 6 cos x 0 ，则 f (x) 6x sin x 在 R 上递增，容 易发现 f (0) 0 ，故在 (, 0) 上， f (x) 0 ， f (x) 单调递减， (, 0) 上， f (x) 0 ，
(0, ) 为其凹区间。
【解析】其定义域为 (, 0) (0, ) ，对其求导
y
2xe2x e2x x2
(2x 1)e2x x2
，令
y 0 ，
则
x
1 2
，又
x0
是其不可导点，将定义域分为
(,
0)， 0,
1 2
,
1 2
,
，在
(,
0)， 0,
1 2
上，
f
(x)
0
，为单调递减区间，而在
17.已知
f
(x)
e
1 x2
,
x 0, 求 f (x) 。
0, x 0,
【思路点拨】求分段函数导数时，分段点的导数必须运用导数的定义式。
【答案】
f
(
x)
2 x3
1
e x2
,
0,
x 0, 。 x 0。
【解析】当
x
0 时，
f
(x)
1
e x2
2 x3
，而
x
0
时，
f (0) lim x0
f (x) 单调递增，故函数在 x 0 处取最小值， f (0) 1 ，又 lim f (x) lim f (x) ，
x+
x
根据单调性与零点存在定理可知， f (x) 3x2 1 cos x=0 有两个根。
20.求 x sin 2xdx 。
【答案】 1 x cos 2x 1 sin 2x C