专题探究 二次函数和定点问题

专题探究二次函数与定点问题
方法技巧：
运用韦达定理，通过设参数、消参数等手法求出定点坐标。

一、无论参数怎么变化图象都过一个定点
例1．求证上：无论a（a≠0）取何值，二次函数y=ax2－2x+a－4都经过一个定点P，并求P的坐标。

例2．已知抛物线C：y=ax2+bx－4a－2b与抛物线l：y=4ax2－2bx+c的一个交点在y轴上，求抛物线l所经过的定点坐标。

二、符合几何条件的定点
例3．已知抛物线y=1
2x
2与直线y=mx+n交于点A、B，交y轴于点C，是否存在定点C，使得OA⊥OB，若
存在，求C点坐标，若不存在，说明理由。

三、对称点与定点
例4．过为P(1，－2)的任一直线交抛物线y=1
2x
2－x于A、B两点，点B与点C关于对称轴对称，连AC，
求证直线AC必经过一定点，并求这个定点煌坐标。

练习：
1．如图，抛物线C1：y=ax2+bx+c(a≠0)过y轴上一点(0,4)，C1与直线y=kx交于点E、F，P为y轴上一定
点，过P的直线y=bx+n与直线y=kx交于点Q，若1
OE+1
OF=2
OQ，求定点P的坐标。

2．如图，抛物线的顶点为(2，0)，且经过点(4,1)，直线y=1
4x与抛物线交于A、B两点。

（1）求抛物线的解析式；
（2）点F为平面内一定点，M为抛物线上一动点，且点M到直线y=－1的距离与到点F的距离始终相等，求定点的坐标。

3．如图，抛物线y=1
2(x－1)
2上任意一点P(x
o
，m)，过点P作直线y=(x o－1)x+b与直线x=1交于点A，对于
点F（1，n），恒有PF=FA，求点F的坐标。