高中数学《球的体积和表面积 》课件

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解析 利用截面圆的性质先求得球的半径长． 如图，设截面圆的圆心为 O′，M 为截面圆上任一点，
则 OO′＝ 2，O′M＝1， ∴OM＝ 22＋1＝ 3，即球的半径为 3， ∴V＝43π×( 3)3＝4 3π.
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【跟踪训练 3】 如图，有一个水平放置的透明无盖的 正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容 器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，若不 计容器厚度，则球的体积为( )
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求球的体积与表面积的方法
(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径 R 或者通过 条件能求出半径 R，然后代入体积或表面积公式求解．
(2)半径和球心是球的关键要素，把握住这两点，计算球 的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.
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(2)求解表面积和体积时，要避免重叠和交叉.
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【跟踪训练 2】 某几何体的三视图如图所示，它的体 积为( )
A．72π B．48π C．30π D．24π
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解析 由三视图可知该几何体是半个球体和一个倒立 圆锥体的组合体，球的半径为 3，圆锥的底面半径为 3，高 为 4，根据体积公式可得组合体的体积为12×43π×33＋13 π×32×4＝30π.
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探究 3 球的截面问题 例 3 一平面截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 α 的距离为 2，则此球的体积为( ) A. 6π B．4 3π C．4 6π D．6 3π
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【跟踪训练 1】 (1)两个球的半径相差 1，表面积之差 364π
为 28π，则它们的体积和为____3____． (2)已知球的大圆周长为 16π cm，求这个球的表面积． 答案 (2)见解析
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探究 2 球的三视图 例 2 某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表 面积和体积．
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解 由三视图可知该几何体的下部是棱长为 2 的正方 体，上部是半径为 1 的半球，该几何体的表面
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探究 1 球的体积与表面积 例 1 (1)已知球的直径为 6 cm，求它的表面积和体积； (2)已知球的表面积为 64π，求它的体积；
(3)已知球的体积为5300π，求它的表面积． 解 (1)∵直径为 6 cm， ∴半径 R＝3 cm. ∴表面积 S 球＝4πR2＝36π(cm2)，
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2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)表面积为 4π 的球的半径是____1____．
4π (2)直径为 2 的球的体积是____3____． (3)(教材改编，P28，T3)已知一个球的体积为43π，则此球 的表面积为___4_π___．
1 43πR3 .
2.球的表面积
□ 如果球的半径为 R，那么它的表面积 S＝ 2 4πR2 .
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1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)决定球的大小的因素是球的半径．( √ ) (2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半 径．( √ ) (3)球的体积 V 与球的表面积 S 的关系为 V＝R3S.( √ )
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第一章 空间几何体
1．3 空间几何体的表面积与体积 1．3.2 球的体积和表面积
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知识点 球的体积和表面积
□ 1.球的体积
如果球的半径为 R，那么它的体积 V＝
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解析 (1)设大、小两球半径分别为 R，r，则由题意可 得
R－r＝1， 4πR2－4πr2＝28π，
∴Rr＝＝34.，
∴它们的体积和为43πR3＋43πr3＝3634π.
(2)设球的半径为 R cm，由题意可知 2πR＝16π，解得 R
＝8，则 S 球＝4πR2＝256π(cm2).
球的截面的性质
(1)球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何 问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键，因此在解决球的有 关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析 解决问题．
(2)利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径 可构成直角三角形，进行相关计算.
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3.(教材改编，P27，例 4)若球的过球心的圆面圆周长是 c，
则这个球的表面积是( )
c2 A.4π
c2 B.2π
c2 C. π
D．2πc2
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S＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π. 该几何体的体积为 V＝23＋12×43π×13＝8＋23π.
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(1)由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积 和体积，关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含 义．
体积 V 球＝43πR3＝36π(cm3)．
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(2)∵S 球＝4πR2＝64π， ∴R2＝16，即 R＝4. ∴V 球＝43πR3＝43π×43＝2356π. (3)∵V 球＝43πR3＝5030π， ∴R3＝125，R＝5. ∴S 球＝4πR2＝100π.