2016年数学立体几何高考试题及答案

2016年数学立体几何高考试题及答案

1.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.

(1)求证：MN∥平面PAD.

(2)求证：MN⊥CD.

(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.

2如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．

（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；

（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．

解答证明：（Ⅰ）连接CE，则

∵AD∥BC，BC=AD，E为线段AD的中点，

∴四边形ABCE是平行四边形，BCDE是平行四边形，

设AC∩BE=O，连接OF，则O是AC的中点，

∵F为线段PC的中点，

∴PA∥OF，

∵PA⊄平面BEF，OF⊂平面BEF，

∴AP∥平面BEF；

（Ⅱ）∵BCDE是平行四边形，

∴BE∥CD，

∵AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，

∴AP⊥CD，

∴BE⊥AP，

∵AB=BC，四边形ABCE是平行四边形，

∴四边形ABCE是菱形，

∴BE⊥AC，

∵AP∩AC=A，

∴BE⊥平面PAC．

3如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：

（1）直线PA∥平面DEF；

（2）平面BDE⊥平面ABC．

解答：证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，

又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，

∴PA∥平面DEF；

（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；

又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；

∴DE2+EF2=DF2，

∴∠DEF=90°，

∴DE⊥EF；

∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；

∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；

∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．

4如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2，E、F分别是AB、PD 的中点．

（1）求证：AF∥平面PCE；

（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；

（3）求四面体PEFC的体积．

解答：解：（1）证明：设G为PC的中点，连接FG，EG，∵F为PD的中点，E为AB的中点，

∴FG CD，AE CD

∴FG AE，∴AF∥GE

∵GE⊂平面PEC，

∴AF∥平面PCE；

（2）证明：∵PA=AD=2，∴AF⊥PD

又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD=A，

∴CD⊥平面PAD，

∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．

∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，

∴GE⊥平面PCD，

∵GE⊂平面PEC，

∴平面PCE⊥平面PCD；

（3）由（2）知，GE⊥平面PCD，

所以EG为四面体PEFC的高，

又GF∥CD，所以GF⊥PD，

EG=AF=，GF=CD=，

S△PCF=PD•GF=2．

得四面体PEFC的体积V=S△PCF•EG=．

5如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：

（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；

（Ⅱ）BE∥平面PAD；

（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．

解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．

（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD．

又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD．

（Ⅲ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD ①．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．

再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF ②．

而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．

由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．

6如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．

（Ⅰ）证明：EF∥平面A1CD；

（Ⅱ）证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；

（Ⅲ）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．

解答：证明：（I）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC∥A1C1，AC=A1C1，连接ED，可得DE∥AC，DE=AC，又F为棱A1C1的中点．∴A1F=DE，A1F∥DE，

所以A1DEF是平行四边形，所以EF∥DA1，

DA1⊂平面A1CD，EF⊄平面A1CD，∴EF∥平面A1CD

（II）∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，

又AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，

∴AA1⊥CD，又AA1∩AB=A，

∴CD⊥面A1ABB1，又CD⊂面A1CD，

∴平面A1CD⊥平面A1ABB1；

（III）过B作BG⊥A1D交A1D于G，

∵平面A1CD⊥平面A1ABB1，且平面A1CD∩平面A1ABB1=A1D，

BG⊥A1D，

∴BG⊥面A1CD，

则∠BCG为所求的角，

设棱长为a，可得A1D=，由△A1AD∽△BGD，得BG=，

在直角△BGC中，sin∠BCG==，

∴直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．

7如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：

（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；

（2）直线A1F∥平面ADE．