LatticeClassification晶体晶格种类
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七大晶系中14个Bravais lattice所对应的材料
固体物理调研报告七大晶系中所对应的材料七大晶系，有十四个Bravais lattice，三十二个点群，230种空间群。
（一）三斜晶系：三斜晶系（triclinic system）是七个晶系中对称性最差的晶系，其特点是既无高次对称轴，也无二次轴和对称面，有的可以有对称中心，有的连对称中心都没有。
所以它的三个结晶轴均相互斜交，轴角a≠b≠c≠90°，轴单位口a≠b≠c。
该晶系也具强非均质性，也有三个主折射率。
但其方向与结晶轴无关。
习见的晶形主要是几种平行双面的聚形。
属于这个晶系的材料：胆矾（CuSO4·5H2O）、硅灰石（CaSiO3）、蓝晶石（Al2SiO5）等等胆矾（硫酸铜矿）（Chalcanthite，Copper Vitriol）化学成分：CuSO4·5H2O。
间含少许铁、锌，有时并含钒、钴、镁、锰等。
晶系及晶形：三斜晶系。
晶形呈厚板状，通常为钟乳状、肾状、葡萄状、纤维状、皮壳状及泉华状、粉末状等。
物理特征：其颜色为深蓝色、天蓝色、淡蓝色等。
条痕为白色或淡蓝色，玻璃光泽，透明至微透明。
贝壳状断口。
解理平行（110），不完全。
性脆。
摩氏硬度为2.5，相对密度为2.1～2.3。
光学特征：二轴晶负光性。
折射率Ng=1.546，Nm=1.539，Np=1.516。
用途：用作杀虫剂及化工原料（造纸、印刷、染色术等）。
晶体完美者，可用来观赏。
产状：产于铜矿床氧化带内。
产地：瑞典、法国、美国、中国（云南、新疆等地）。
（二）单斜晶系：属低级晶族。
其对称特点是，无高次轴，且二次对称轴和对称面均不多于一个。
晶体即以此二次对称轴或对称面发现作为b轴。
b轴与a轴、c轴均成正交，a轴与c轴则斜交，轴角α=γ= 90°，β≠90°，轴单位a不等于b不等于c。
属于单斜晶系的有β-S、CaSO4·2H2O 等带有底轴面的棱晶常见于这种晶系中。
属于这个晶系的材料：正长石（K[AlSi3O8]）、钾石膏（K2Ca(SO4)2·2H2O）、雄黄矿（AsS）等等正长石以L2为b轴，两个垂直b轴的晶棱方向为a、b轴。
固体物理 1.2_晶格的基本类型
所属点群
四方 三角 六角 立方
简单四方 体心四方
三角
六角
简单立方 体心立方 面心立方
a=b c
a= b ＝= 90º
a=b=c
a= b ＝ 90º
C4、S4、C4h、D4 C4V、D2d、D4h
C3、S6、D3 C3Ｖ、D3d
a=b c
C6、C3h、C6h、D6、
a= b ＝ 90º, =120º C6V、D3h、D6h
第 1 章 晶体结构
1.2 晶格的基本类型
立方体的对称操作
对称操作 对称操作数
不动
1
6个2度轴
6
总的对称操作数：
4个3度轴
8
24+24=48
3个4度轴
9
旋转反演
24
15
第 1 章 晶体结构
1.2 晶格的基本类型
正四面体的对称操作
对称操作 对称操作数
不动
1
3个2度轴
3
4个3度轴
8
总旋转操作数 1+3+8=12
第 1 章 晶体结构
1.2 晶格的基本类型
点阵（或晶体）中的对称元素：
（ａ）转动轴： 1、2、3、4、6
（ｂ）转动反演： 4
（ｃ）对称心：
ｉ
（ｄ）镜面：
ｍ
一种点阵可以同时存在若干种对称元素。对称操作的一种特 定的组合方式叫做点群。点群在“群论”中有严格的定义 ，点群代表的是点阵或晶体的对称性，也就是点阵或晶体 能进行什么样的对称操作。
第 1 章 晶体结构
1.2 晶格的基本类型
对称操作通常包括两大类： 平移对称操作
点对称操作
第 1 章 晶体结构
Lattice Classification 晶体晶格种类
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
Notation
P: I: Primitive (lattice points only at the corners of the unit cell) Body-centred (lattice points at the corners + one lattice point at the centre of the unit cell)
Rotational symmetry Reflection symmetry
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
Symmetry classification of lattices
Based on rotational and reflection symmetry alone 7 types of lattices 7 crystal systems
three 2-fold axis one 6-fold axis one 3-fold axis one 2-fold axis none
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
Tetragonal symmetry
Cubic symmetry
Shiv K. Gupta Department of Applievais lattices divided into seven crystal systems
Crystal system
1. Cubic 2. Tetragonal
Bravais lattices
Face-centred cubic in the Bravais list ?
Notation
P: I: Primitive (lattice points only at the corners of the unit cell) Body-centred (lattice points at the corners + one lattice point at the centre of the unit cell)
Rotational symmetry Reflection symmetry
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
Symmetry classification of lattices
Based on rotational and reflection symmetry alone 7 types of lattices 7 crystal systems
three 2-fold axis one 6-fold axis one 3-fold axis one 2-fold axis none
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
Tetragonal symmetry
Cubic symmetry
Shiv K. Gupta Department of Applievais lattices divided into seven crystal systems
Crystal system
1. Cubic 2. Tetragonal
Bravais lattices
Face-centred cubic in the Bravais list ?
晶体结构特征、理论及类型
Cs :1个
晶胞中离子的个数: Cl- :811个 8 晶体结构特征、理论及类型
ZnS型(立方型)
晶格: 面心立方
配位比: 4:4
(红球－Zn2+ ,
绿球－S2-)
晶胞中离子的个数: Zn2+ :4个
S2- :61814个
2 晶体结构特征、理论及类型
8
半径比(r+/r-)规则: 其中一层横截面:
晶体结构特征、理论及类型
2.球的密堆积
(1)六方密堆积:(hexagonal closest packing, hcp)
同层每个 球周围有六个 球，第三层与 第一层对齐， 形成ABAB… 排列方式。
配位数：12
晶体结构特征、理论及类型
(2)面心立方密堆积:(cubic closest packing,ccp)
(2) 晶胞的内容：粒子的种类，数目及它在晶 胞中的相对位置。
按晶胞参数的差异将晶体分成七种晶系。
晶系
边长
夹角
晶体实例
立方晶系
三方晶系 四方晶系 六方晶系 正交晶系
单斜晶系 三斜晶系
a=b=c
a=b=c a = b≠c a = b≠c a≠b≠c a≠b≠c a≠b≠c
α=β=γ= 900
α=β=γ≠900 α=β=γ= 900 α=β= 900, γ= 1200 α=β=γ= 900
△ rHm78k6Jmo-1l U 78k6Jmo-1l
晶体结构特征、理论及类型
影响晶格能的因素： ① 离子的电荷(晶体类型相同时)
Z↑,U↑ 例:U(NaCl)<U(MgO) ② 离子的半径(晶体类型相同时)
R↑,U↓ 例:U(MgO)>U(CaO)
晶胞中离子的个数: Cl- :811个 8 晶体结构特征、理论及类型
ZnS型(立方型)
晶格: 面心立方
配位比: 4:4
(红球－Zn2+ ,
绿球－S2-)
晶胞中离子的个数: Zn2+ :4个
S2- :61814个
2 晶体结构特征、理论及类型
8
半径比(r+/r-)规则: 其中一层横截面:
晶体结构特征、理论及类型
2.球的密堆积
(1)六方密堆积:(hexagonal closest packing, hcp)
同层每个 球周围有六个 球，第三层与 第一层对齐， 形成ABAB… 排列方式。
配位数：12
晶体结构特征、理论及类型
(2)面心立方密堆积:(cubic closest packing,ccp)
(2) 晶胞的内容：粒子的种类，数目及它在晶 胞中的相对位置。
按晶胞参数的差异将晶体分成七种晶系。
晶系
边长
夹角
晶体实例
立方晶系
三方晶系 四方晶系 六方晶系 正交晶系
单斜晶系 三斜晶系
a=b=c
a=b=c a = b≠c a = b≠c a≠b≠c a≠b≠c a≠b≠c
α=β=γ= 900
α=β=γ≠900 α=β=γ= 900 α=β= 900, γ= 1200 α=β=γ= 900
△ rHm78k6Jmo-1l U 78k6Jmo-1l
晶体结构特征、理论及类型
影响晶格能的因素： ① 离子的电荷(晶体类型相同时)
Z↑,U↑ 例:U(NaCl)<U(MgO) ② 离子的半径(晶体类型相同时)
R↑,U↓ 例:U(MgO)>U(CaO)
1.1晶格
二.原胞和基矢
既然点阵是等同点的集合，我们只要绘出一个 点阵的最小周期单元（一个阵点及相应空间）即 可，这个最小的周期重复单元称作点阵的原胞 （Primitive cell ）。 二维点阵的原胞是平行四边形，三维点阵的 原胞是平行六面体。 以原胞的边长为点阵基矢构成平移矢量，可 以把原胞复制满空间。
二维点阵的基矢和原胞
a2
Ⅲ a1
a2
Ⅳ
Ⅰ
a1
a2
Ⅱ a1
a2 a1
Ⅰ
这是一个二维简单斜方点阵，原胞和基矢的选取都 不是唯一的，但一定有相同的面积。一般我们选Ⅰ 为代表该点阵的原胞，称作斜方点阵。
另一标准选取法：Wigner-Seitz原胞
以格点为中心，取 和近邻格点连线垂 直平分线（面）围 成的面积（体积） 为原胞。
六角相绿玉 单斜相石膏
三角相石英
非晶琥珀
石膏沿特定方向被切开。这 一过程被称为解理，容易被 切开的面被称为解理面。
切点
切 点
最终被切开
离子晶体沿特定 方向被解理的示 意图。
1.1 晶格（Crystal lattice）
一. 什么是晶格？
X光衍射证实，晶体外形的对称性是其组成原 子在空间做有规律的周期性排列的结果。
三维情况有两种方式：
按ABAB规律层状排列，形成密堆六角点阵：
原子六角密堆(ABABAB…)排列形成六角结构， 每个原子由12近邻，晶体基元有2个原子。
a1 a2 a3
120, 90
120, 90
具有密堆六方点阵排列的元素晶体有： Be,Mg,Zn,Cd,Gd,Tb,Dy,Ho,Er,Tm,等 化合物晶体也很多。
原胞(Primitive unit cell)：产生完全平移覆盖的晶格最小单元。不唯一，以 方便为准。同一晶格中的各种原胞选择之间体积大小相同.Bravais点阵的原胞只 含一个原子 ,非Bravais点阵的原胞含多个原子。 Wigner-Seitz 原胞由Bravais点 阵中以一个格点为中心的最短和次短的格矢量的中垂面围合而成。 单胞(Conventional unit cell)：为更好显示晶格的旋转和镜像反射对称性而选 的一倍或几倍于原胞的晶格单位. 注意单胞的定义与非Bravais点阵无关.晶格常 数a通常指单胞的边长。
LatticeClassification晶体晶格种类
Crystal system
1. Cubic 2. Tetragonal
Bravais lattices
P P I I F
3. Orthorhombic
4. Hexagonal 5. Trigonal 6. Monoclinic 7. Triclinic
P
P P P P
I
F
C
C
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
Rotational symmetry Reflection symmetry
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
Symmetry classification of lattices
Based on rotational and reflection symmetry alone 7 types of lattices 7 crystal systems
Rotation Axis
If an object come into self-coincidence through smallest non-zero rotation angle of then it is said to have an nfold rotation axis where 0
Face-centred cubic in the Bravais list ?
Problem 3.1
Shiv K. Gupta Cubic F = Tetragonal I Department of Applied Mechanics,
14 Bravais lattices divided into seven crystal systems
1. Cubic 2. Tetragonal
Bravais lattices
P P I I F
3. Orthorhombic
4. Hexagonal 5. Trigonal 6. Monoclinic 7. Triclinic
P
P P P P
I
F
C
C
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
Rotational symmetry Reflection symmetry
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
Symmetry classification of lattices
Based on rotational and reflection symmetry alone 7 types of lattices 7 crystal systems
Rotation Axis
If an object come into self-coincidence through smallest non-zero rotation angle of then it is said to have an nfold rotation axis where 0
Face-centred cubic in the Bravais list ?
Problem 3.1
Shiv K. Gupta Cubic F = Tetragonal I Department of Applied Mechanics,
14 Bravais lattices divided into seven crystal systems
晶体的周期性结构(2)(倒格矢)
波恩-卡曼边界条件
• 电荷密度、势能等物理量满足迭加原理，如
V (r )
V
l
原子
r R l
• 理想的无限大晶体具有平移周期性，这样的物 理量满足
F (r R l ) F (r )
• 实际的晶体都是有限大小的， 并不满足严格的 平移对称性
F (r R l ) F (r )
2
N 3是 原 胞 的 总 数 ，
k 是 满 足 波 恩 -卡 曼 周 期 性 边 界 条 件 的 波 矢 量
k
l1 N1
b1
+
l2 N
2
b2+
l3 N
3
b3
• 对于布里渊区中许可波矢 k 的求和可化为对
k 的连续积分
kBZ
(.....)
V ( 2 )
3
( . . . . )d
3
k
正、倒对应关系
• 互为正格子、倒格子
b 1 2 b 2 2 b 3 2 a2 a3 a 1 (a 2 a 3 ) a 3 a1 a 1 (a 2 a 3 ) a1 a 2 a 1 (a 2 a 3 )
a 1 2 a 2 2 a 3 2 b2 b3 b 1 (b 2 b 3 ) b 3 b1 b 1 (b 2 b 3 ) b1 b 2 b 1 (b 2 b 3 )
j
bi a
2
ij
• 那确实可以满足上述关系，确实可以满足Kh所 有的段点为格点（即有可用基矢和整数表示的 平移周期性）
• bi就是倒格子基矢
• 如果确定了正格子基矢，倒格子基矢就不是任 意的。利用矢量关系
固体物理(第3课)晶格分类
自身重合，则此对称操作称为旋转，轴u称为 n度旋转对称轴（n度轴），记作n。 n=1,2,3,4,6
n度旋转
=2/4 =2/2 =2/6 =2/3 =2/1
(2)中心反演：
如果晶体中存在一 个固定点O，当以O 为坐标原点，并将晶 体中任一点（x，y， z）变为（－x，-y，z）时，晶体能与自 身重合，则该对称操 作称为中心反演，点 O为反演中心，记作i。
a1 d h1h2 h3＝ h1
Gh a1 (h1b1 h2b2 h3b3 ) 2 Gh h1 Gh Gh
返回
3.倒易点阵与傅里叶变换
Γ (r ) r x1a1 x2 a2 x3a3 x1、x2、x3 R 若有r ＝r Rl， Rl l1a1 l2 a2 l3 a3 l1、l2、l3 Z 则有Γ (r ) Γ (r ) (示意图) Γ (r )为周期函数 将Γ (r )作傅里叶级数展开，有： Γ (r ) ＝
晶系与布喇菲原胞
结晶学中的布喇菲原胞(晶胞)一般包括几个最小重复 单元，格点不仅在顶角上，而且可以在体心或面心上。 晶轴：晶胞的基矢沿对称轴或在对称面的法向上，构 成了晶体的坐标系，基矢即是晶轴。 晶系：把晶胞基矢 a、b 、c 满足同一类要求(边长a，b， c和夹角α，β，γ)的一种或数种布喇菲格子称为一个 晶系。 七大晶系→14种布喇菲格子（14种布喇菲原胞，14种 晶胞）* (示意图)
晶系示意图
级别 晶系 三斜 布喇菲 原胞数 简单三斜 对称特征 没有对称轴或只有 一个反演中心 坐标系的性质 a≠b≠c α≠β≠γ a≠b≠c α=γ=90º β＞90º a≠b≠c α=β=γ=90º a=b=c α=β=γ≠90º
固体物理：1-2布喇菲空间点阵(Bravais lattice)、原胞、晶胞
即立方体边长为a, a ai ,b a j,c ak
V a Bravais 原胞的体积:
3
晶格(简单格)
(a)简立方（SC)
a1 ai
cb
a2 a j
a
a3 ak
每个Bravais原胞包含1个格点。
固体物理学原胞的体积 Ω a 3
9
(b)体心立方(BCC)
ak
a 1
a 2
a
aj
ai
R l1'a1 l2' a2 l3' a3 a1, a2 , a3为固体物理学原胞基矢 其中l1' , l2' , l3' 为整数， 将l1' , l2' , l3' 化为互质的整数l1, l2 , l3, 设为[l1, l2 , l3 ]，[l1, l2 , l3 ]即为该晶列的晶列指数。 如果遇到负数，将该数的上面加上一横线。 如[121表示l1 1, l2 -2, l3 1
a
b
c
nΩ
(3)维格纳--塞茨(Wigner-Seitz)原胞 构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中
垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积 (或面积)即为W--S原胞。
特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含1
个格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。
6
2.几种晶格的实例 (1)一维原子链 一维单原子链
固体物理学原胞的体积 Ω
a 1
a 2
a 3
1 a3
4
11
晶格(复式格) (a)氯化铯结构
Cl
Cs
氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移1/2的长度 套构而成。 Cl-和Cs+分别组成简立方格子，其Bravais晶格 为简立方，氯化铯结构属简立方。
固体01_02晶格的周期性
a1 = a ˆ ˆ ( j + k) 2 a ˆ a2 = ( k + iˆ ) 2 a ˆ a3 = (i + ˆ) j 2
单胞的基矢为： 单胞的基矢为：
a = a iˆ b = aˆ j ˆ c = ak
原胞的体积： 原胞的体积： 单胞的体积： 单胞的体积：
a 1 ⋅ (a 2 × a 3 ) =
4. 配位数
粒子排列的紧密程度 晶体由全同一种粒子组成，将粒子看作小圆球， 5. 密堆积 晶体由全同一种粒子组成，将粒子看作小圆球， 这些全同的小圆球最紧密的堆积。 这些全同的小圆球最紧密的堆积。 密堆积所对应的配位数是晶体结构中最大的配位数
6. 简单立方晶格 (sc) 每个晶胞内包含1个原子球，配位数： 每个晶胞内包含1个原子球，配位数：6 7. 体心立方晶格 (bcc) 每个晶胞内包含2个原子球，配位数： 每个晶胞内包含2个原子球，配位数：8 8. 六角密排晶格 (hcp) 每个晶胞包含6个原子球，配位数： 每个晶胞包含6个原子球，配位数：12 9. 面心立方晶格 面心立方晶格(fcc) 每个晶胞内包含4个原子，配位数： 每个晶胞内包含4个原子，配位数：12 10. 金刚石晶格结构 11.化合物晶体的晶格 11.化合物晶体的晶格 判断晶胞的类型时，必须只观察同一种点。 判断晶胞的类型时，必须只观察同一种点。
一种是不同原子或离子构成的晶体， 一种是不同原子或离子构成的晶体，如：NaCl、CsCl、 、 、 ZnS 等； 一种是相同原子但几何位置不等价的原子构成的晶体， 一种是相同原子但几何位置不等价的原子构成的晶体， 具有金刚石结构的C Si、 如：具有金刚石结构的C、Si、Ge 以及具有六角密排结构的 Be、Mg、 Be、Mg、Zn 等； 复式格子的特点： 复式格子的特点：不同等价原子各自构成相同的简单晶 子晶格），复式格子由它们的子晶格相套而成。 ），复式格子由它们的子晶格相套而成 格（子晶格），复式格子由它们的子晶格相套而成。 例1：一维复式格子的情况 ： 原胞 复式格子的原胞： 复式格子的原胞：即是相 应简单晶格的原胞， 应简单晶格的原胞，一个 原胞中包含各种等价原子 各一个。 各一个。
单胞的基矢为： 单胞的基矢为：
a = a iˆ b = aˆ j ˆ c = ak
原胞的体积： 原胞的体积： 单胞的体积： 单胞的体积：
a 1 ⋅ (a 2 × a 3 ) =
4. 配位数
粒子排列的紧密程度 晶体由全同一种粒子组成，将粒子看作小圆球， 5. 密堆积 晶体由全同一种粒子组成，将粒子看作小圆球， 这些全同的小圆球最紧密的堆积。 这些全同的小圆球最紧密的堆积。 密堆积所对应的配位数是晶体结构中最大的配位数
6. 简单立方晶格 (sc) 每个晶胞内包含1个原子球，配位数： 每个晶胞内包含1个原子球，配位数：6 7. 体心立方晶格 (bcc) 每个晶胞内包含2个原子球，配位数： 每个晶胞内包含2个原子球，配位数：8 8. 六角密排晶格 (hcp) 每个晶胞包含6个原子球，配位数： 每个晶胞包含6个原子球，配位数：12 9. 面心立方晶格 面心立方晶格(fcc) 每个晶胞内包含4个原子，配位数： 每个晶胞内包含4个原子，配位数：12 10. 金刚石晶格结构 11.化合物晶体的晶格 11.化合物晶体的晶格 判断晶胞的类型时，必须只观察同一种点。 判断晶胞的类型时，必须只观察同一种点。
一种是不同原子或离子构成的晶体， 一种是不同原子或离子构成的晶体，如：NaCl、CsCl、 、 、 ZnS 等； 一种是相同原子但几何位置不等价的原子构成的晶体， 一种是相同原子但几何位置不等价的原子构成的晶体， 具有金刚石结构的C Si、 如：具有金刚石结构的C、Si、Ge 以及具有六角密排结构的 Be、Mg、 Be、Mg、Zn 等； 复式格子的特点： 复式格子的特点：不同等价原子各自构成相同的简单晶 子晶格），复式格子由它们的子晶格相套而成。 ），复式格子由它们的子晶格相套而成 格（子晶格），复式格子由它们的子晶格相套而成。 例1：一维复式格子的情况 ： 原胞 复式格子的原胞： 复式格子的原胞：即是相 应简单晶格的原胞， 应简单晶格的原胞，一个 原胞中包含各种等价原子 各一个。 各一个。
第一章 晶体结构
σ (m)
19
1.3 对称性和布拉维格子的分类
二 基本对称操作
1 i,Cn,σ (m)
2 n度旋转 ─ 反演轴
绕μ轴旋转
2π后再进行中心反演：
n
1，2，3，,4, i, m 八种独立的对称操作。
宏观上看，晶体是有限的，描述晶体宏观对称性 不包含平移对称操作；但从微观上看，晶体是无 限的，为描述晶体结构的对称性，应加上平移对 称操作。
衍射斑点(峰) ↔ 晶格中的一族晶面 倒格子 ↔ 正格子 点子 ↔ 晶面
斑点分布 ↔ 晶格基矢 → 晶体结构
25
1.4 倒格子/倒易点阵
一 定义
设布拉维格子的基矢为：av1 ,av2 , av3
由
v Rl
=
l1av1
+
l2av2
+
l3av3 决定的格子称为正格子
（direct lattice)，
满足
2vπ Gh
4 两点阵位矢的关系
v Rn
•
v Gh
=
2πm
m为整数
利用
aavvii
• •
v bvj bj
= =
2π 0
i= j i≠ j
( ) Rv n •Gvh = (l1av1 + l2av2 + l3av3 )•
v h1b1
+
v h2b2
+
v h3b3
= l1h1 • 2π + l2h2 • 2π + l3h3 • 2π
按坐标系的性质，晶体可划分为七大晶 系，每一晶系有一种或数种特征性的布拉 维原胞，共有14种布拉维原胞：
三斜(简单三斜) 单斜(简单、底心) 正交(简单、底心、体心、面心) 四方(简单、体心) 三角 六角 立方(简单、体心、面心)
19
1.3 对称性和布拉维格子的分类
二 基本对称操作
1 i,Cn,σ (m)
2 n度旋转 ─ 反演轴
绕μ轴旋转
2π后再进行中心反演：
n
1，2，3，,4, i, m 八种独立的对称操作。
宏观上看，晶体是有限的，描述晶体宏观对称性 不包含平移对称操作；但从微观上看，晶体是无 限的，为描述晶体结构的对称性，应加上平移对 称操作。
衍射斑点(峰) ↔ 晶格中的一族晶面 倒格子 ↔ 正格子 点子 ↔ 晶面
斑点分布 ↔ 晶格基矢 → 晶体结构
25
1.4 倒格子/倒易点阵
一 定义
设布拉维格子的基矢为：av1 ,av2 , av3
由
v Rl
=
l1av1
+
l2av2
+
l3av3 决定的格子称为正格子
（direct lattice)，
满足
2vπ Gh
4 两点阵位矢的关系
v Rn
•
v Gh
=
2πm
m为整数
利用
aavvii
• •
v bvj bj
= =
2π 0
i= j i≠ j
( ) Rv n •Gvh = (l1av1 + l2av2 + l3av3 )•
v h1b1
+
v h2b2
+
v h3b3
= l1h1 • 2π + l2h2 • 2π + l3h3 • 2π
按坐标系的性质，晶体可划分为七大晶 系，每一晶系有一种或数种特征性的布拉 维原胞，共有14种布拉维原胞：
三斜(简单三斜) 单斜(简单、底心) 正交(简单、底心、体心、面心) 四方(简单、体心) 三角 六角 立方(简单、体心、面心)
LatticeClassification晶体晶格种类
into 7 crystal systems
and 14 Bravais lattices?
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
Lattices are classified on the
basis of their symmetry
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
Translational symmetry
Lattices also have translational symmetry
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
Symmetry of lattices Lattices have
Translational symmetry Rotational symmetry Reflection symmetry
Unit Cell Shape a=b=c, ===90
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
7 crystal Systems
System 2. Tetragonal
Unit Cell Shape a=bc, ===90
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
Cubic I
Cubic F
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
14 Bravais lattices divided into seven crystal systems
Crystal system
and 14 Bravais lattices?
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
Lattices are classified on the
basis of their symmetry
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
Translational symmetry
Lattices also have translational symmetry
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
Symmetry of lattices Lattices have
Translational symmetry Rotational symmetry Reflection symmetry
Unit Cell Shape a=b=c, ===90
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
7 crystal Systems
System 2. Tetragonal
Unit Cell Shape a=bc, ===90
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
Cubic I
Cubic F
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
14 Bravais lattices divided into seven crystal systems
Crystal system
固体物理第二章第二节 2晶格 (2)
a
(3)三维 立方晶系(cubic) a b b c c a a b c a 取 i , j , k 为坐标轴的单位矢量, 则有 a ai , b aj , c ak c b
(b)面心立方(face-centered cubic,简称fcc )
2). 晶体结构=布拉维格子+基元
3). 布拉维格子是一个无限延展的理想点阵。 它忽略了实际晶体中表面、结构缺陷的存在， 以及T0时晶格的振动.但是它抓住了主要矛 盾----晶体所具有的平移对称性:即平移任一 格矢 ，晶体保持不变的特性。是实际晶体 Rn 的一个理想抽象。 4). 布拉维格子的两个定义是等价的。 在第一种定义的布拉维格子中,取某格点为 原点,它至其他格点的矢量 Rl 称为格矢量.可表 示为 Rl l1a1 l2 a2 l3a3
(a)
(b)
(c)
晶体的内部结构可以概括为是由一些相同 的点子在空间有规则地做周期性无限分布，这 些呈周期性无限分布的几何点的集合形成一个 空间点阵，通过这些点做三组不共面的平行直 线族，形成一些网格，称为晶格。相应的代表 点称为格点
用矢量 点的排列。
R n1a1 n2 a2 n3a3 (n1 , n2 , n3取整数)
Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格
其单胞为面心立方。
氯化钠结构属面心立方。
金刚石结构属面心立方，每个单胞包含4个格点。
金刚石结构每个原胞包含1个 格点,基元由两个碳原子组成, 位于（0,0,0）和处 1 , 1 , 1 4 4 4
所以,单胞包含4个格点,8个原子
(b)氯化钠结构
c c
(3)三维 立方晶系(cubic) a b b c c a a b c a 取 i , j , k 为坐标轴的单位矢量, 则有 a ai , b aj , c ak c b
(b)面心立方(face-centered cubic,简称fcc )
2). 晶体结构=布拉维格子+基元
3). 布拉维格子是一个无限延展的理想点阵。 它忽略了实际晶体中表面、结构缺陷的存在， 以及T0时晶格的振动.但是它抓住了主要矛 盾----晶体所具有的平移对称性:即平移任一 格矢 ，晶体保持不变的特性。是实际晶体 Rn 的一个理想抽象。 4). 布拉维格子的两个定义是等价的。 在第一种定义的布拉维格子中,取某格点为 原点,它至其他格点的矢量 Rl 称为格矢量.可表 示为 Rl l1a1 l2 a2 l3a3
(a)
(b)
(c)
晶体的内部结构可以概括为是由一些相同 的点子在空间有规则地做周期性无限分布，这 些呈周期性无限分布的几何点的集合形成一个 空间点阵，通过这些点做三组不共面的平行直 线族，形成一些网格，称为晶格。相应的代表 点称为格点
用矢量 点的排列。
R n1a1 n2 a2 n3a3 (n1 , n2 , n3取整数)
Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格
其单胞为面心立方。
氯化钠结构属面心立方。
金刚石结构属面心立方，每个单胞包含4个格点。
金刚石结构每个原胞包含1个 格点,基元由两个碳原子组成, 位于（0,0,0）和处 1 , 1 , 1 4 4 4
所以,单胞包含4个格点,8个原子
(b)氯化钠结构
c c
七大晶系单词
七大晶系单词1. 立方晶系（Cubic system）- 单词释义：晶体学中的一种晶系，其特点是具有等长的晶轴且相互垂直，晶胞形状为立方体。
- 单词用法：“This crystal belongs to the cubic system.”（这块晶体属于立方晶系。
）- 近义词：无非常确切的近义词，但可勉强认为正立方晶系（Regular cubic system）与之相近。
- 短语搭配：cubic system crystal（立方晶系晶体）- 双语例句：- I was so amazed when I first saw a crystal of the cubic system. It was like looking at a perfect little cube made by nature. “Look at this!” I said to my friend. “Isn't it just like a tiny building block?”（当我第一次看到立方晶系的晶体时，我太惊讶了。
就好像在看大自然制造的完美小立方体。
“看这个！”我对我的朋友说。
“这难道不就像一个小小的积木吗？）- The cubic system is often studied in materials science. Scientists are always eager to find out more about it. “You know,” my teacher said, “the cubic system can hold so many secrets.”（立方晶系在材料科学中经常被研究。
科学家们总是渴望更多地了解它。
“你知道，”我的老师说，“立方晶系能蕴含很多秘密。
）2. 四方晶系（Tetragonal system）- 单词释义：晶系的一种，有三根晶轴，其中两根等长且相互垂直，第三根垂直于前两根，长度可不同。
1.2晶格的基本类型
正方 六角
轴和角度
布拉伐格子 简单斜方 简单长方 中心长方 简单正方 简单六方
经过某一对称操作，把晶体中任一点 X ( x1, x2 , x3 ) 变为
X ( x1, x2 , x3 ) 可以用线性变换来表示。
X AX
X
x1 x2 x3
A
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23
33
x1 X x2
x3 x3
O
操作前后，两点间的距离保持不变， x1
第二节 晶格的基本类型
本节主要内容: 补充内容： 晶体的对称性 1.2.1 三维晶格的分类 1.2.2 二维晶格的分类
补充内容： 晶体的对称性
1. 对称性与对称操作
对称性：经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。 对称操作：使晶体自身重合的动作。 对称素： 对称操作所依赖的几何要素。 1). 对称操作与线性变换
简单正交(5)，底心正交(6) 体心正交(7)，面心正交(8)
简单四角(9)，体心四角(10)
abc
6.六角晶系： 900 1200
六角(11)
abc
7.立方晶系： 900
简立方(12)，体心立方(13)， 面心立方(14)
1.三斜晶系：
a b c,
简单三斜(1)
2.单斜晶系：
X ( x1, x2 , x3 ) X ( x1, x2 , x3 )
x2
O点和X点间距与O点和 X点间距相等。
x12 x22 x32 x1 2 x2 2 x3 2
X~ X A~X~ AX X~A~AX X~X
A~A I
I为单位矩阵，即：
I
1 0 0
0 1 0
轴和角度
布拉伐格子 简单斜方 简单长方 中心长方 简单正方 简单六方
经过某一对称操作，把晶体中任一点 X ( x1, x2 , x3 ) 变为
X ( x1, x2 , x3 ) 可以用线性变换来表示。
X AX
X
x1 x2 x3
A
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23
33
x1 X x2
x3 x3
O
操作前后，两点间的距离保持不变， x1
第二节 晶格的基本类型
本节主要内容: 补充内容： 晶体的对称性 1.2.1 三维晶格的分类 1.2.2 二维晶格的分类
补充内容： 晶体的对称性
1. 对称性与对称操作
对称性：经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。 对称操作：使晶体自身重合的动作。 对称素： 对称操作所依赖的几何要素。 1). 对称操作与线性变换
简单正交(5)，底心正交(6) 体心正交(7)，面心正交(8)
简单四角(9)，体心四角(10)
abc
6.六角晶系： 900 1200
六角(11)
abc
7.立方晶系： 900
简立方(12)，体心立方(13)， 面心立方(14)
1.三斜晶系：
a b c,
简单三斜(1)
2.单斜晶系：
X ( x1, x2 , x3 ) X ( x1, x2 , x3 )
x2
O点和X点间距与O点和 X点间距相等。
x12 x22 x32 x1 2 x2 2 x3 2
X~ X A~X~ AX X~A~AX X~X
A~A I
I为单位矩阵，即：
I
1 0 0
0 1 0
晶格(1)
二、 晶体的宏观特性
1.自限(范)性:
d a c 1 b2
晶体所具有的自 发地形成封闭凸多面 体的能力称为自限性。
2.晶体的解理性: 晶体具有沿某些确 定方位的晶面劈裂的性 质，称为晶体的解理性， 这样的晶面称为解理面。
晶面的交线称为晶 棱，晶棱互相平行的晶 面的组合称为晶带，如 右图中a，1，b，2。 互相平行的晶棱的 共同方向称为该晶带的 带轴，晶轴是重要的带 轴。如右图中OO´
体
按对称性分 按功能分 导体 立方体 半导体 六角体 绝缘体 磁介质 电介质 超导体 半金属
按结合方式分 分子晶体 离子晶体 共价晶体 金属晶体 氢键晶体
我们研究的主要对象就是晶体
晶体是指组成物质的粒子有规则的排列着， 具有周期性或平移对称性，亦即具有长程有序性。 单晶(金刚石、锗和硅单晶、 晶态材料可分为： 氮化镓等) 多晶(一般的金属和合金材料) 我国在晶体研究方面也取得了巨大的成就， 可以人工制造多种大块晶体 详细的资料可以参考《晶体生长科学与技术》； 张克从 张乐潓 主编;科学出版社出版;1997年 第二版
于是，谢赫特曼向吸引他去NIST 的著名的物理学家 卡恩( John Cahn) 求助，请他看一看自己的数据。卡恩
在忙完其他事后，最终还是看了，接着又向法国晶体学
家格雷希斯( Denis Gratias) 咨询，看看谢赫特曼是否做 错了什么。但是，格雷希斯说，谢赫特曼的实验是可信
的。格雷希斯用同样的方式进行了自己的实验。
准晶体具有长程的取向序，但没有长程的平移对称 序，可以用彭罗斯(R. Penrose)拼接(tilting)图案显示其结 构特点。 如图，具有长程5重旋转对称----取向序，但是 都不能靠一种图案占满整个空间，亦即，不满足--长程平移对称性
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8
14 Bravais lattices divided into seven crystal systems
Crystal system 1. Cubic 2. Tetragonal
Bravais lattices
? P I
F
PI
3. Orthorhombic P I
FC
4. Hexagonal
Crystal system
Bravais lattices
1. Cubic
PI
F
2. Tetragonal
PI
3. Orthorhombic P I
FC
4. Hexagonal
P
5. Trigonal
P
6. Monoclinic
P
C
7. Triclinic
P
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7
Orthorhombic C End-centred orthorhombic Base-centred orthorhombic
Crystal system
Bravais lattices
1. Cubic
PI
F
Simple cubic Primitive cubic Cubic P
Body-centred cubic Cubic I
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Face-centred cubic Cubic F
6
14 Bravais lattices divided into seven crystal systems
15 lattices
14 lattices
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13 lattices
14
What is the basis for classification of lattices
into 7 crystal systems
and 14 Bravais lattices?
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15
Lattices are
System 4. Hexagonal
Unit Cell Shape a=bc, == 90, =120
5. Rhombohedral a=b=c, ==90
6. Monoclinic
abc, ==90
7. Triclinic
abc,
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5
14 Bravais lattices divided into seven crystal systems
Problem 3.1
Cubic F =可T编辑eptprt agonal I
12
14 Bravais lattices divided into seven crystal systems
Crystal system
Bravais lattices
1. Cubic
PI
FC
2. Tetragonal
Classification of lattice
The Seven Crystal System
And
The Fourteen Bravais Lattices
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1
7 crystal Systems
System 1. Cubic
Unit Cell Shape a=b=c, ===90
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non-zero rotation angle of then it is said to have an n-
fold rotation axis where
n
360
0
=180 n=2 2-fold rotation axis
=90 n=4
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4-fold rotation axis
20
classified on the
basis of their
symmetry
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16
What is symmetry?
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17
Symmetry
If an object is brought into selfcoincidence after some operation it said to possess symmetry with respect to that operation.
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18
Rotational symmetry
A rectangle comes into self-coincidence by 180 degrees rotation
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19
Rotation Axis
If an object come into self-coincidence through smallest
PI
3. Orthorhombic P I
FC
4. Hexagonal
P
5. Trigonal
P
6. Monoclinic
P
C
7. Triclinic
P
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13
ML Frankenheim
Auguste Bravais 1811-1863
Couldn’t find his photo
Your photo
Reflection (or mirror symmetry)
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21
Translational symmetry
Lattices also have translational symmetry
2
7 crystal Systems
System 2. Tetragonal
Unit Cell Shape a=bc, ===90
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3
7 crystal Systems
System 3 Orthorhombic
Unit Cell Shape abc, ===90
可编辑ppt
4
7 crystal Systems
P
5. Trigonal
P
6. Monoclinic
P
C
7. Triclinic
P
可编辑ppt
9
End-centred cubic not in the Bravapipmt ple Tetragonal 10
14 Bravais lattices divided into seven crystal systems
Crystal system
Bravais lattices
1. Cubic
PI
FC
2. Tetragonal
PI
3. Orthorhombic P I
FC
4. Hexagonal
P
5. Trigonal
P
6. Monoclinic
P
C
7. Triclinic
P
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11
Face-centred cubic in the Bravais list ?