因式分解及提公因式法

8.4因式分解--提取公因式法

教学目标

知识技能目标：1）理解因式分解的概念，以及它与整式乘法的关系

2）能确定多项式各项的公因式，运用提公因式法将多项式分解因式

过程方法目标：初步形成观察、分析、概括的能力和逆向思维方式

情感态度目标：在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性。

教学重点：掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解

教学难点：正确确定多项式各项的公因式

教学过程

一、问题导入：

把下列各数因数分解;

6= 30=

6=2×3 30=2×3×5

与因数分解类似，在整式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式以便于更好的解决一些问题。

回顾上节所学公式，根据完全平方公式和平方差公式得到：

a2 +2ab+b2 = (a+b)2

a2-2ab+b2 = (a-b)2

a2-b2=(a+b)(a-b)

出示课题：因式分解

概念：这种把多项式化为几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，也叫把这个多项式分解因式。

下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是？

(1) ab+ac+d=a(b+c)+d

(2) a2-1=(a+1)(a-1)

(3) 2m(m-n)=2m2-2mn

(4) 2x2y-4xy+6x=2x(xy-2y+3)

二、创设情景，探究新知

学校打算把操场重新规划一下，分为绿化带、运动场、主席台三个部分，如下图，计算操场总面积。

方法一：S = m ( a + b + c )

方法二：S = ma + mb + mc

在式子ma + mb + mc中，m是这个多项式中每一个项都含有的因式，叫做公因式。

整式的乘法练习：

2x(3x2 -y) =2x·3x2 -2x·y= 6x3 -2xy

-3m2 (2m-3)=-3m2·2m+(-3m2)·(-3)=-6m3+9m2

如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

思考：如何准确地找到多项式的公因式呢？

1、先看系数

所有项的系数的最大公因数

2、再看字母

相同字母的最低次幂

3、确定公因式

系数与字母相乘

三、例题分析：

例1.把下列各式分解因式：

（1）4m2-8mn (2)3ax2-6axy+3a

解：（1）4m2-8mn =4m·m-4m·2n=4m(m-2n)

(2)3ax2-6axy+3a=3a·x2-3a·2xy+3a·1=3a(x2-2xy+1)

说明：当多项式的某一项恰好是公因式时，这一项应看成它与1的乘积，提公因

式后剩下的应是1。1作为项的系数通常可省略，但如果单独成一项时，它在因式

分解时不能漏项。这类题常有学生犯下面的错误：4x2-8ax+2x=2x（2x-4a）注意：

提公因式后的项数应与原多项式的项数一样，这样可检查是否漏项。

练一练：说出下列多项式各项的公因式（以抢答的形式）：

(1)ma + mb ；

(2)4kx－ 8ky ；

(3)5y3+20y2；

(4)a2b－2ab2+ab .

小试牛刀：

填空：

(1)6x3 -18x2 =____(x-3)

(2)-7a2 +21a=-7a( ___ )

因式分解：

（1）np-nq (2)-x3 y-x2 y2 +xy 例2.把下列各式分解因式：

（1）2x(b+c)-3y(b+c) (2)3n(x-2)+(2-x)

解：（1）2x(b+c)-3y(b+c) =(b+c)（2x-3y）

(2)3n(x-2)+(2-x)=3n(x-2)-(x-2)=(x-2)(3n-1)

说明：当多项式的某一项恰好是公因式时，这一项应看成它与1的乘积，提公因

式后剩下的应是1。1作为项的系数通常可省略，但如果单独成一项时，它在因式

分解时不能漏项。这类题常有学生犯下面的错误：4x2-8ax+2x=2x（2x-4a）注意：

提公因式后的项数应与原多项式的项数一样，这样可检查是否漏项。

此例题2的设计目的将让学生体会首项为负系数时的特殊处理。先让学生比较1

与2的区别，说出不同，并讨论得出应采取的方法：应先提负号转化，然后再提

公因式，提“-”号时，教师可适当地引出添括号法则。添括号法则：括号前面

是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各

项都要变号。

【反思】(1)当首项系数为负时,通常应提取负因数,在提取“－”号时,余下的各项都变号。

(2)提取公因式要彻底；注意易犯的错误：①提取不尽②漏项③疏忽变号④只提取部分公因式，整个式子未成乘积形式。

（板书）提取公因式的一般步骤：

①确定应提取的公因式:②用公因式去除这个多项式,把所得的商作为另一个因式:③把多项式写成这两个因式的积的形式。

注意：提取公因式后，使多项式余下的各项不再含有公因式。

巩固练习：

把下列各式分解因式;

(1)3(a+b)2+6(a+b)

(2)m(a-b)-n(a-b)

(3)6(x-y)3 -3y(y-x)2

(4) mn(m-n)-m(n-m)2

四、小结：

（1）因式分解的概念

（2）公因式的确定

（3）提公因式法分解因式的步骤和分解要求

（4）添括号法则

五、板书