(10.4) 第四节 函数展开为幂级数(同济少学时第三版简约型)

n !
比较这三个展开式却可发现它们有某些相似之处，
因而推想这三个函数之间应该有某种内在联系。
让 e x 泰勒展开式中的 x 取复数值 z = y + ix 有
e z 1 z 1 z 2 1 z 3 1 z 4 1 z n .
2 ! 3 ! 4 !
n !
若取特殊值 z = 0 + ix，则有
f( x )= ln( 2 x2 + x -3 )= ln( 2 x + 3 )( x - 1 ) = ln( 2 x + 3 )+ ln( x - 1 )
= ln[ 9 + 2( x - 3 )]+ ln[ 2 +( x - 3 )]
ln 9 1 2 x 9 3 ln 2 1 x 2 3 l n 9 l n 1 2 x 9 3 l n 2 l n 1 x 2 3 l n 1 8 l n 1 2 x 9 3 l n 1 x 2 3 ,
……………………
由归纳法可求得
f ( 2k-1 )( x )= 2 2k -2sin[ 2 x +( 2k - 2 ) /2 ] = 2 2k -2 sin[ 2 x +( k - 1 ) ]=( -1 )(k-1) 2 2k-2 sin 2 x，
f ( 2k )( x )= 2 2k -1 sin[ 2 x +( 2k - 1 ) /2 ] = 2 2k-1 sin[ 2 x + k - /2 ]
当 x (- , + )时有
s in x x 1x 31x 5 1 k 1x k n 1 ;
3 ! 5 !
2 k 1 !
c o sx 1 1x 21x 4 1 kx 2 k;
2 ! 4 !
2 k !
e x 1 x 1 x 2 1 x 3 1 x 4 1 x n .
2 ! 3 ! 4 !
ln i m R nxln i m fn n 1 1 !xx 0n 1通常是“/”型
不定式，这一不定式的计算常比较困难。
(2) 间接展开法的特点 用间接法求泰勒展开式就是设法利用某些已知的函
数的泰勒展开式，通过相应的代数及分析运算导出求所
求的函数泰勒展开式。
常用的泰勒展开式有 sinx、cosx、ln( 1+ x )、e x、
• 讨论余项 Rn( x )的极限
由 fn 1 x 2 n sin 2 xn 2 有
R n x f n n 1 1 !x n 12 n s in n 2 1 !n 2x n 1
2n x n1 . n 1!
由于余项形式复杂，直接考察是否有 R( x )→ 0 比
较困难，为此考虑幂级数
0 x n 0 t2 n d t n 0 1 n0 x t2 n d t n 0 2 n 1 1 nx 2 n 1 .
例：求 f( x )= ln( 2 x2 + x -3 )在点 x0 = 3 处的泰勒展式。
用间接法求 f( x )的泰勒展开式 给定函数与 ln( 1+ t )形式相近，考虑利用 ln( 1 + t ) 的展开式求其泰勒展开式。
f ( x )=( sin 2 x )= 2cos 2 x = 2sin( 2 x + /2 )，
f ( x )=[ 2sin( 2 x + /2 )]= 2 2 sin( 2 x + )， f ( 4)( x )=[ 2 2sin( 2 x + )]= 2 3 sin( 2 x + 3 /2 )，
(1) 直接展开法的特点
直接法求函数泰勒展开式就是根据泰勒级数的系数
形式及泰勒级数收敛的充分条件确定函数泰勒展式。
用直接法求给定函数的泰勒展式一般比较繁杂，问
题来自两个方面：
① 求 f ( n)( x ), f (n)( 0 )的计算较为繁杂； ② 余项 Rn( x )是否趋于零判别较困难，因为余项极限
2
ln 1 x 2 3 n 0n 1 1 n
x 3n 1 2
n0
2n11nn1x3n1,
于是当 x - 3 < min{ 9/2,2}= 2 时有
f x l n 1 8 l n 1 2 x 9 3 l n 1 x 2 3 l n 1 8 n 0 n 1 1 n9 2 n 1 x 3 n 1 n 0 2 1 n n 1 x n 3 1 n 1 ln 1 8 n 0 n 1 1 n 9 2n 1 1 2n 1 x 3 n 1 .
n0
2n n1!
xn1 的收敛性。
此幂级数不缺项，可按半径公式确定其收敛半径。
l n i m a a n n 1 l n i m n 2 n 2 1 ! n 2 n 1 ! 2 l n i m n 1 2 0 ,
于是对 x ( - ,+ )，幂级数 收敛，由级数收敛的必要条件有
将函数表示成幂级数形式，不仅使得各类可导函数 具有了运算意义，也更深刻地揭示了函数各种性质的内 在联系和本质。
例如，三角函数 sin x、cos x 来源于三角形边角关 系的讨论，指数函数 e x 来源于增长率问题的研究。由 于两类问题之间并没有什么关系，自 然不会想到这两类函数之间有什么 联系，但由它们的幂级数展开式 却可发现二者间存在内在联系， 并由此找出二者间的具体关系。
fx n 0fn n !x 0 x x 0 n , x x 0 R 1 ,
其中 R1 = min{ ,R }，R 为上式泰勒级数的收敛半径。
在端点 x = x 0 R1 处，如果 f( x )有定义且右端的级数 也收敛，则以上幂级数展开式在端点处也成立。
上幂级数展开式又称为函数 f( x )的泰勒展开式。
f( x )可展开成幂级数的充要条件是，f( x )在 x0 的
某邻域 U( x0 , )内具有各阶导数，且
l i m R n x l i m f x S n x 0 .
n
n
定理 初等函数展开定理
设 f( x )为初等函数，且在点 x0 的邻域 x - x0<
内 f( x )具有任意阶导数，则有
n0
0 xtndtn 0n 11 nxn1.
又如，对函数 f( x )= arctan x．
由于 fxarcsinx1 1x2,
1 1 x 2 1 1 x 2 n 0 x 2 n , x 1 ,1 .
因此当 x ( -1 ,1 )时有
f x a r c t a n x 0 x f t d t 0 x 1 d t t2 0 x 1 d tt2
另一种是利用已知函数的泰勒展开式 写出给定函数的泰勒展开式，通常称这 种方法为间接法。
例：将函数 f( x )= sin 2x 展开成 x 的幂级数。
用直接法求 f( x )的马克劳林展开式 • 计算马克劳林级数的系数
求 f ( n)( x ). f( x )= sin 2x ， f ( x )=( sin 2x )= 2sin x cos x = sin 2 x ，
n0
2n n1!
xn1
R nx n2 n 1!xn1 n 0.
即对 x ( - ,+ )，f( x )的马克劳林级数收敛 于 f( x ).
因此求得 f( x )= sin 2 x 的马克劳林展开式为
s i n 2 x x 2 2 4 3 !x 4 1 k 1 2 2 2 k k 1 !x 2 k , x , .
于是求得 f( x )的马克劳林级数为
f 0 f 0 x 2 1 !f 0 x 2 n 1 !f n 0 x n 2 1 !f 0 x 2 4 1 !f 4 0 x 4 2 1 k !f 2 k 0 x 2 k 2 2 !x 2 2 4 3 !x 4 1 k 12 2 2 k k 1 !x 2 k.
考虑选择幂函数数列{( x - x 0 )n }作
为基础函数列去表示一般函数。
于是函数幂级数展开式的一般
形式为
f x anxx0n.
n0
(2) 上述结果的联想与推测
由上述结果容易联想到函数的泰勒公式。
因为此幂级数的部分和函数 Sn( x )是关于 x - x 0 的
n 次多项式，由泰勒公式的唯一性可作如下猜想：
转化为几何级数求其马克劳林展开式：
ft 1 1 t 1 1 t n 0 tn ,t 1 ,1 .
由于幂级数在其收敛区间内可逐项求导，且求导后
所得幂级数的收敛半径不变，故当 x ( -1 ,1 )时有：
ln 1 x fx xftd tx tn d t
0
0n 0
1n
e i x 1 i x 2 1 ! i x 2 3 1 ! i x 3 4 1 ! i x 4 .
1 ix 2 4 1 !ix 4 2 1 k !ix 2 k
ix 3 1 !ix 3 2 k 1 1 !ix 2 k 1
1x24 1 !x4
( 1 + x ) 等函数的马克劳林展开式。最常用的泰勒展开
式是几何级数 n 0xn1 1x, x1,1.
用间接法求函数的泰勒展开式的优点在于不必直接
计算导数和估计余项。由于已知函数的泰勒展开式已是
收敛的，因此不需要再验证收敛性。
例如，对于函数 f( x )= ln( 1 + x )，可按如下方法
1kx2k 2k!
i x3 1 !x3
应用中泰勒展开式最常见的情形是马克劳林展开式, 即泰勒展开式中取 x0 = 0 时的特殊情形，此时函数的泰 勒展开式化为：
fxn 0fn n !0xn , x R 1,R 1.
将函数展开为幂级数就是求收敛于该函数的泰勒级 数。求函数的泰勒展开式通常有两种方法：
一种是直接根据泰勒级数的收敛定理展开，通常称 这种方法为直接法。
f ( 0)=( - 1)2 2 2 sin 20 = 0，