电路学：第10章 耦合电感和变压器电路分析-1

同名端用标志‘.’或‘*’等表示。注意：同 名端不一定满足递推性，故当多个线圈时有 时必需两两标出。 在要V根C据R电中流u参M1 考 方M向ddi和t2 同到名底端取来正确还定是：取负，
当自磁链与互磁链的参考方向一致时取正号， 不一致时取负号。或者说，根据同名端，电 流在本线圈中产生的自感电压与该电流在另 一个线圈中产生的互感电压极性是相同的。
用符号 k表示，即 由于:
k 12 21 11 22
11 L1i1, 21 Mi1, 22 L2i2 , 12 Mi2
得:
k M
L1L2
k 1
当k＝1时称为全耦合，此时一个线圈中电流 产生的磁通全部与另一线圈铰链，互感达到 最大值，即；
若线圈电流变化，则自磁链，互磁链也随之变 化。由电磁感应定律，线圈两端会产生感应电 压，若电压与电流采取关联参考方向，则：
耦合电感伏安关系(VCR)表达式：
u1
d1
dt
d11
dt
d12
dt
uL1
uM1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
d2
dt
d22
dt
d21
dt
uL2
uM 2
L2
di2 dt
M
di1 dt
第二步：按要求(消去假设的变量)改变相 应互感电压的符号。
例 列写伏安关系式，电路模型如下图。
a-
i1
M
i2
-c
u1
uL1
uM1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u1
b+
L*1
L *2
i u2
+d
u2
uL2
uM 2
L2
di2 dt
M
di1 dt
a- 1 M i2 - c
故电路模型也可以用 受控源的形式表示：
(1) 指绕法相同的一对端Fra bibliotek；ab
a、b是同名端
(2)起相同作用的一对端钮；
当线圈电流同时流入(或流出)该对端钮时， 各线圈中产生的磁通方向一致的这对端钮。
或者说:(a)同名端就是当电流分别流入线 圈时，能使磁场加强的一对端钮；
(b)同名端就是当电流分别流入线圈时，能 使电压增加的一对端钮；
(c)产生自感电压与互感电压极性相同的 一对端钮。
12
其中 11 表示线圈1电流在
i1 I
22
11
i2
本线圈中产生的磁链，称
为自感磁链；类此有22 ；
12 表示线圈2的线圈电流
在线圈1中产生的磁链，称
21
为互感磁链，类此有
。
21
图中显示自磁链与互磁链的参考方向一致； 若线圈2改变绕向，如下图所示，则自磁链 与互磁链参考方向将不一致。因此，穿过一
耦合电感：指多个线圈(这里先介绍两个线 圈)相互之间存在磁场的联系。
它是耦合线圈的理想化模型。
复习：单个线圈(电感、或称自感)的VCR：
磁链=匝数乘磁通： N
自感=磁链比电流： L N
若v、i方向关联， 由电磁感应定律：
i
i
u d L di
dt
dt
1.耦合电感的伏安关系
设两线圈的电压和电流参考方向均各自关联。 由图，磁通方向与电流方向符合右手法则。
规则：法1：若耦合电感线圈电压与电流的参 考方向为关联参考方向时，自感电压前取正号， 否则取负号；若耦合电感线圈的电压正极性端 与另一线圈的电流流入端为同名端时，则该线 圈的互感电压前取正号，否则取负号。
或：法2：第一步：总认为电压、电流方向 关联(假设电压或电流的参考方向)，这时， 自感电压总是正的,互感电压总是同一符号；
耦合电感的电路符号：
a+ i1 M i2 + c a+ i1 M i2 + c
u1
L*1
* L2
u2
u1
L*1
L*2
u2
b-
- d b-
-d
VCR中互感电压取+ VCR中互感电压取－
(当各线圈的电压、电流方向关联时只有这两 种可能。)
在绕法无法知道的情况下，同名端的测定：
(1)直流法
K aM c
M
di1 dt
)i2
dt
1 2
L1i12
1 2
L2i2 2
Mi1i2
0
无源元件
也可以用其VCR和上式代入下式来验证
dw(t) dt p(t) u1i1 u2i2
4. 耦合线圈的耦合系数
工程上为了定量地描述两个耦合线圈的耦合
紧密程度，把两个线圈的互感磁链与自感磁
链的比值的几何平均值定义为耦合系数，并
u2
-d
耦合电感的相量(模型)形式为
U1 jL1I1 jMI2 U 2 jL2I2 jMI1
jL1, jL2
自感阻抗
jM
互感阻抗
据此可画出相应的相量模型图
3. 耦合电感的储能
t
t
w(t ) u1i1dt u2i2dt
t
(L1
di1 dt
M
di2 dt
)i1dt
t
(L2
di2 dt
线圈的总磁1链2 有两种可能，分别表示为：
i1
22
i2 1 11 12 L1i1 M12i2
I
11
2 22 21 L2i2 M21i1
21
式 单中 位亨L1(利 )i11H1 ,
L2
22
i2
称为自感系数，
式中M1
12
i2
,M2
21
i1
称为互感系数，
单位亨(利)H
且M12 M21 M
根据其VCR，
+ US-
L1
L2
+
v um2
正偏，a,c同名端
- 反偏，a,d同名端
bd
(2)交流法
原图电源改为正弦电源，开关移去，
aM c
直流电压表改为交流电
+
+ 压表，bd端连接。
U S
-
L1
L2
v um2根据其VCR的相量形式 同样能判定其同名端。
-
bd
根据同名端标记，根据线圈电流和电压的参考 方向，就可以直接列写耦合电感伏安关系。其
式中， uL1 uL2 为自感电压， uM1 uM2 互感电压，
取正号或负号；可见，耦合电感是一种动态、 有记忆的四端元件。(与电感有类似的特性)
耦合电感的VCR中有三个参数：L1、L2和M。
2.耦合线圈的同名端
耦合线圈自磁链和互磁链的参考方向是否 一致，不仅与线圈电流的参考方向有关， 还与线圈的绕向及相对位置有关，后者不 便画出，故引入同名端的概念。
第10章 耦合电感和变压器电路分析
无源元件有：R、L、C
R： 耗能、静态、无记忆；
L、C：储能、动态、有记忆；
它们都是二端元件。本章介绍两种四端元件: （1）耦合电感：具有电感的特性； （2）理想变压器：是静态、无记忆,但不耗能。 受控源也是四端元件，它与将要介绍的耦合电 感均属耦合元件。
10.1 耦合电感元件
u
L 1
1 M di2
+ dt
b
L
2 di
M1 dt
u2
+d
当两线圈的电流、电压参考方向关联时， 相应耦合电感的电路模型为：
a+ i1 M i2 + c a+ i1 M i2 + c
u L1 1 M di2
b-
dt
L2
M di1 dt
u2 u1
- d b-
L1
M di2 dt
L2
M di1 dt