中国石油大学高数(2-2)历年期末试题参考答案

2007—2008学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案

一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面1:0y z -=∏与平面2:0x y +=∏的夹角为

3

π

.

2. 函数2

2y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为3

21+.

3. 设(,)f x y 是有界闭区域2

22:a y x D ≤+上的连续函数，则当0→a 时，

=

⎰⎰→D

a dxdy y x f a ),(1

lim

20π)

0,0(f .

4. 区域Ω由圆锥面2

2

2

x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分

f dv ⎰⎰⎰

Ω

在柱面坐标系下

化为三次积分为

211

()πθ⎰

⎰⎰r

d dr f r rdz .

5. 设Γ为由曲线3

2,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续

三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：

Pdx Qdy Rdz Γ

++=

⎰

6. 将函数()1(0)f x x x π=+≤≤展开成余弦级数为

)0()5cos 51

3cos 31(cos 4

12

122ππ

π

≤≤+++

-

+=

+x x x x x .

二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.

7. 若(,)z f x y =有连续的二阶偏导数，且(,)xy

f x y K ''= (常数)，则(,)y f x y '=（ D ） (A) 2

2

K ； (B) Ky ； (C) ()ϕ+Ky x ； (D) ()ϕ+Kx y .

8. 设()f x 是连续的奇函数，()g x 是连续的偶函数，区域{(,)01,D x y x y =≤≤-≤≤，则

下列结论正确的是（ A ）. (A)

()()0D

f y

g x dxdy =⎰⎰； (B) ()()0D

f x

g y dxdy =⎰⎰；

(C)

[()()]0D

f x

g y dxdy +=⎰⎰； (D) [()()]0D

f y

g x dxdy +=⎰⎰.

9. 已知空间三角形三顶点)5,0,0(),1,1,1(),3,2,1(C B A -，则ABC ∆的面积为（ A ） (A)

92； (B) 73； (C) 29； (D)37

. 10. 曲面积分

2

z dxdy ⎰⎰∑

在数值上等于( C ). (A) 流速场i z v 2=穿过曲面Σ指定侧的流量；(B) 密度为2z =ρ的曲面片Σ的质量；

(C) 向量场k z F 2=穿过曲面Σ指定侧的通量；(D) 向量场k z F 2

=沿Σ边界所做的功.

11．若级数

1

(2)

n

n n c x ∞

=+∑在 4x =- 处是收敛的，则此级数在 1x = 处 ( D )

(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定.

12.级数1

21(1)n p

n n -∞

=-∑的敛散性为 ( A ) (A) 当12p >时，绝对收敛； （B ）当1

2p >时，条件收敛；

(C) 当102p <≤时，绝对收敛； （D ）当1

02

p <≤时，发散.

三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过

程或演算步骤. 13. （本题满分6分）设()

x y z x y z e

-++++=确定(,)z z x y =，求全微分dz .

解：两边同取微分 ()

(1)()x y z dx dy dz e

dx dy dz -++++=⋅-⋅++ ， 整理得 dz dx dy =--.

14. （本题满分8分）求曲线22230

23540

x y z x x y z ⎧++-=⎨-+-=⎩ 在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.

解：两边同时关于x 求导22232350dy dz x y z dx dx

dy dz dx dx ⎧+⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得(1,1,1)(1,1,1)9474dy dx dz dx ⎧=⎪⎪⎨⎪=-

⎪⎩，

所以切向量为：91{1,,}1616T =-， 切线方程为： 111

1691

x y z ---==

-； 法平面方程为：16(1)9(1)(1)0x y z -+---=，即169240x y z +--=.

15.（本题满分8分）求幂级数

(21)n

n n x

∞

=+∑的和函数.

解：求得此幂级数的收敛域为(1,1)-，

(21)n

n n x

∞=+∑0

2∞==+∑n

n nx 0

∞

=∑n n x ，

1

122∞

∞

-===∑∑n

n n n nx

x nx

，设1

1

()∞

-==

∑n n A x nx

，则

1

1

1

(),(11);1∞

∞

-=====-<<-∑∑⎰

⎰

x x n n

n n x A x dx nx dx x x x 2

1(),1(1)'

⎛⎫∴== ⎪--⎝⎭x A x x x