27.2 与圆有关的位置关系 第二课时 过三点的圆

A

O C

D 图 1

B

课 题：27.2与圆有关的位置关系

第二课时 过三点的圆

＆.教学目标：

1、经历探索确定圆的条件的过程，能作出三角形的外接圆。

2、掌握三角形外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念。

3、会求出特殊三角形的外接圆的半径，渗透方程的思想。

＆.教学重点、难点：

重点：用尺规作三角形的外接圆。

难点：运用方程的思想求特殊三角形的外接圆半径。

＆.教学过程： 一、情景导入

1、回顾并解答下列问题： （1）确定一条直线的条件是什么？ （2）两条直线相交有几个交点？

（3）分别垂直于两条相交直线的两直线必相交吗？有几个交点？为什么？

（4）叙述线段垂直平分线的性质和作法，三角形三边垂直平分线的交点有几个？交点与三角形三个顶点之间在距离上有什么关系？

（5）叙述点与圆的位置关系。

2、如图1，已知矩形ABCD 的边cm AB 8=，cm AD 6=，AC 与BD 相交于点O . （1）以点O 为圆心，以cm 5为半径作⊙O ，则点A 、B 、C 、D 与⊙O 的位置关系如何？

（2）若以点A 为圆心作⊙A ，使B 、C 、D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是什么？

答案：（1）A 、B 、C 、D 四个点在圆

上

；（

2

）

cm r cm 106 .

二、探究新知

§.探究确定圆

问题1：

（1）平面上有一点A ，经过点A 的圆有几个？圆心在哪里？

（2）平面上有两点A 、B ，经过A 、B 两点的圆有几个？圆心在哪里？

（3）平面上有不在同一条直线上三点A 、B 、C ，经过A 、B 、C 三点的圆有几个？圆心在哪里？

（4）随意画出四点，其中任何三点都不在同一条直线上，是否一定可以画一个圆经过这四点？

活动：学生自己经历作图的过程，然后小组充分交流，找到确定圆的条件。

结论：

（1）经过平面上一点的圆有无数个，这些圆的圆心分布在整个平面上；

（2）经过平面上两点的圆也有无数个，这些圆的圆心是在线段AB 的垂直平分线上。 （3）经过A 、B 、C 三点能否作圆呢？确定圆的要素是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小，所以关键的问题是找到圆心和半径。如果A 、B 、C 三点不在一条直线上，那么经过A 、B 两点画的圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上.而经过B 、C 两点画的圆的圆心在线段BC 的垂直平分线上，此时，这两条垂直平分线一定相交，便可画出经过A 、B 、C 三点的圆（如图2）。

（4）经过四点不一定可以作圆。

问题2：如果A 、B 、C 三点在同一条直线上，能画出经过三点的圆吗？为什么？ 理由：任意两点组成的线段的垂直平分线是平行的，没有交点，因此这样的圆不存在。 ＆.归纳确定圆的条件：不在同一条直线上的三点确定一个圆。 注意：不能忽略“不在同一条直线上”的三点。 §.探究过不在同一条直线上的三点的圆的作图： 问题3：作圆，使它经过不在同一条直线上的三个已知点. 已知：不在同一条直线上的三点A 、B 、C . 求作：⊙O ，使它经过点A 、B 、C . 解析：作圆关键是确定圆心。 作法：

1、连结AB ，作线段AB 的垂直平分线DE ；

2、连结BC ，作线段BC 的垂直平分线FG ，交DE 于点O ；

3、以O 为圆心，OB 为半径作圆.（如图3） §.了解外接圆及相关概念：

三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 外心：三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。

外心的性质：三角形的外心就是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。

注意：经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个圆，即三角形的外接圆有且只有一个，而圆的内接三角形则有无数多个。

§.探究外心同三角形的位置关系：

问题4：请同学们分别作出一个直角三角形、锐角三角形、钝角三角形并画出它的外接圆，观察外心的位置，你能得到什么结论？

结论：锐角三角形的外心在三角形的内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心是斜边的中点，因此直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半。

三、讲解例题，巩固新知

§.例1、如图4，已知ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，若cm BC 5=，cm AC 12=，求ABC

∆外接圆的半径。（直角三角形）

解析：根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半即可。 解：由勾股定理得：cm AB 13=

图 3

故ABC ∆的外接圆的半径为cm 5.6.

同步练习：在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，6=AC ，8=BC ，求它外接圆的半径。

§.例2、如图5，已知等边ABC ∆中，边长为cm 6，求ABC ∆外接圆的半径。（等边

三角形）

解：根据外心的定义，BE 垂直平分AC 由三线合一的性质得：BE 平分ABC ∠ 即︒=∠30OBD 在BOD Rt ∆中，cm BC BD 32

1

== 由OB

BD

=

︒30cos ，解得：cm OB 32= 故ABC ∆的外接圆的半径为cm 32.

§.例3、如图6，已知等腰ABC ∆中，cm AC AB 13==，cm BC 10=，求ABC ∆外接

圆的半径。（等腰三角形）

解：过点A 作BC AD ⊥，垂足为点D ，设O 是ABC ∆外接圆的圆心，连结OB ，则OA 、

OB 是ABC ∆外接圆的半径，设xcm OB OA ==

∵AC AB =

∴D 是BC 中点，即cm CD BD 5== 由勾股定理得：cm BD AB AD 1222=-= 在BOD Rt ∆中，cm BC BD 32

1

==

，则()cm x OD -=12 在BOD Rt ∆中，222BD OD OB += ∴()2

22125x x -+=

解得：cm x 24

169

=

答：ABC ∆的外接圆半径为

cm 24

169

. 四、巩固练习

教材45P 练习 2~1

五、课堂小结

通过本节课的学习，要求同学们

1、理解确定圆的条件，了解三角形的外接圆的概念及外心的性质。

2、能求特殊三角形外接圆的半径，注意运用方程的思想解答。

六、课外作业

1.教材54P 习题27.2 4~2