27.2 与圆有关的位置关系 第二课时 过三点的圆
27.2.3 第2课时 切线长定理及三角形的内切圆(课件)2024-2025九年数学下(华东师大版)
推理验证
已知：如图，PA、PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点.
求证：PA = PB，∠APO =∠BPO.
证明：∵ PA、PB 是☉O 的两条切线， A
∴ OA⊥PA，OB⊥PB.
O.
∵ OA = OB，OP = OP，
∴ Rt△OAP≌Rt△OBP(HL).
∴ PA = PB，∠APO =∠BPO.
∴∠
DOE= ∠
AOB= ×130°=65°.
1-1. (易错题) 如图，直线AB，AD 分别与⊙ O 相切于点B，
D，C 为⊙ O 上一点， 且∠ BCD=130°，则∠ A的度
数是(
A. 70°
B. 85°
C. 80°
D. 100°
)
1-2. 如图，PA，PB切⊙ O 于A，B 两点，CD 切⊙ O 于点
(2)若∠ P=50°，求∠ DOE 的度数.
解：如图27.2-22，连结OA，OC，OB.
∵ PA，PB，DE 是⊙ O 的切线，
∴ OA ⊥ PA，OB ⊥ PB，OC ⊥ DE.
∴∠ DAO= ∠ EBO=90°.∴∠ P+ ∠ AOB=180°.
∴∠ AOB=180°－50°=130°.
易知∠ AOD= ∠ DOC，∠ COE= ∠ BOE，
圆心 I 应满足什么条件？
(2) 在△ABC 的内部，如何找到满足条件的圆心 I 呢？
三角形角平分线的这个
圆心 I 为什么呢？
到三角形三边的距离相等，都等于 r.
性质，你还记得吗？
圆心 I 应是三角形的
三角形三条角平分线交
三条角平分线的交点.
于一点，这一点到三角
三角形的内切圆27 2与圆有关的位置关系
得 快
A
x F
x E
答：AF=4
13-x
9-x
BD=9
略解：设AF＝B x1，3-则x BFD=193-x-xC
CE=5
由切线长定理知:AE=AF=x,BD=BF=13-x,
DC=EC=9-x,又∵BD+CD=14
∴(13-x)+(9-x)=14 解得x=4 ∴AF=4，BD=9，CE=5
看 比 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
一 判断题：
1. 三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ 错） 2. 三角形的外心到三角形各边的距离相等 （错） 3. 等边三角形的内心和外心重合； （对） 4. 三角形的内心一定在三角形的内部（ 对 ）
二 填空：
如图， △ABC的顶点在⊙O上， △ABC的各边
与⊙I都相切，则△ABC是⊙I的 外切 三角形； △ABC是⊙O的 内接 三角形； ⊙I叫△ABC的 内切 圆；
读句画图：
①以点O为圆心，1cm为半径画⊙O;
nm A
②作直线m与⊙O相切于点D， 作直线n与⊙O相切于点E，
D
E
．O
直线m和直线n相交于点A;
B
C
F
l
③作直线l与圆O相切于点F，
直线l分别与直线m、直线n相交于点B、C.
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内
切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外 切三角形.
27.2与圆有关的 位置关系
序言
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冀教版-数学-九年级上册-过三点的圆点与圆的位置关系及应用
初中-数学-打印版点与圆的位置关系及应用一、点与圆的位置关系确定的方法方法1：先求出点到圆心的距离，并与圆的半径作比较，如果P 是圆所在平面内的一点，d 表示点到圆心的距离，r 表示圆的半径，那么：d ＜在圆内；在圆上；d ＞在圆外．方法2：利用圆内角、圆周角、圆外角三种角之间的大小来判断，如果AB 是⊙O 的一条弦，点Q 是⊙O 的一点，P 点、Q 点在直线AB 的同旁，（如图1）则有： （1）∠APB ＞∠点p 在圆内；（2）∠APB=∠点p 在圆上； （3）∠APB ＜∠点p 在圆外． 二、点与圆的位置关系的实际应用点与圆的位置关系在实际生活中的应用非常广泛，下面举几个方面的例子，供同学们参考． 1．航海问题例1．已知如图2，表示一个暗礁区，它的边缘是以AB 为弦的一条圆弧，现已测得暗礁区直径为600米，灯塔A.B 之间的距离为300米，当船在直线AB 一侧航行时，为了使船只S 不进入暗礁区，试问航行中船只S 对两个灯塔A.B 的视角应满足什么条件？ 分析：欲使船只不进入暗礁区，就是要保证点P （船只S ）在圆（暗礁区）外，由点与圆的位置关系判定方法2可知，只需∠P ＜12AB从而把问题转化为只需求出AB 的度数即可．解：过B 作直径交⊙O 于C ，连结AC ，则△ABC 为Rt △，因为AB=300（米），BC=600（米），所以∠ACB=300，所以∠ABC=600，要使船只S 不进入暗礁区只需满足条件：∠APB ＜300． 2．台风问题例2．如图3，据气象卫星显示，有一股强热带台风，10小时后，将在距A 城正东方向300千米的B 城登陆，并陆续以每小时30千米的速度向西偏北300的BN 方向移动，风暴中心200千米的范围内是受风暴的影响的区域，试问A 城是否会受这次风暴的影响？如会，那么A 城受台风影响的时间会有多长？如不会，则说明理由．分析：A 城是否会受风暴的影响，取决于风暴团在沿BN 移动过程中，点A 会不会在以BN 上图1P图2初中-数学-打印版某个点为圆心，以200千米为半径的区域（圆）内，也即取决于A 城与BN 的距离是否小于200千米，而A 到BN 的距离是等于垂线段AE 的长． 因为∠BAC=300，所以AE=12AB=150（千米）＜200（千米），所以A城要受这次风暴的影响，要计算受风暴影响的时间，就计算BF 上哪一段在以A 城为圆心，以200千米为半径的圆内，即计算BF 上到A 的距离小于200千米的线段的长．设BN 上C.D 两点到A 的距离等于200千米，则由AE=150，AD=200，得A城受台风影响的时间为9（小时）．3．爆破问题例3．如图4，在A 地往北90米的B 处有一栋民房，西120米的C 处有一变电设施，在BC 的中点D 处有一古建筑，因施工需要必须在A 处进行一次爆破，为使民房、变电设施、古建筑都不遭破坏，问爆破影响的半径应控制在什么范围之内？分析：要使民房、变电设施、古建筑都不遭破坏，爆破影响的半径只要小于B.C.D 三处距离A 处最近的距离即可．因为AB=90，AC=120，由勾股定理得BC=150，因为D 是斜边BC 的中点，所以AD=12BC=75（米），所以AD ＜AB ＜AC ，所以爆破影响面半径应小于75（米）． 4．噪音问题例4．如图5，公路MN 和公路PQ 在P 处交汇，且∠QPN=300，点A 处有一所中学，PA=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿P Ｎ方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米／小时，那么学校受影响的时间为多少秒？分析：本题是一道研究噪音污染的应用性问题，在阅读理解题意的过程中，可以利用草图，把条件标注在图上，这样数形结合有助于分析，BＣ图5ＭＮＰ·Ａ Ｑ图3初中-数学-打印版比如：A 点周围100米以内受噪音影响，转化为数学问题， 就是看A 到MN 的距离是否小于100．欲求学校受影响的时间，又知拖拉机的速度，只需求出影响的行驶距离，即上述圆与PN 两交点距离，（1）作AB ⊥MN 于B ，（如图6），在Rt △ABP 中，∵∠ABP=900， ∠APB=300，AP=160，∴AB==80，即点A 到直线MN 的距离小于100米，∴这所学校会受到噪音影响．（2）由（1）知，如果以A 为圆心，100米为半径画圆，那么⊙Ａ和直线ＭＮ有两个交点，设两个交点分别为C.D ，连AC.AD ，那么AC ＝AD ＝100米，根据勾股定理和垂径定理，得CB＝DB ＝608010022=-（米），∴CD ＝120米，学校受噪音影响的时间t ＝120米÷18千米／小时＝24秒．图6。
27.2.2点与圆的关系(二) ----点圆最值问题
点������������和远交点������������，点P到圆上所有点距离中的最小值即 为线段P������������的长，最大值为线段P������������的长.
解：如图，连结OA,可得△OAP 。
∵ 在△OAP中, ������������ > ������������ − ������������
（二）点在圆内 ⇔ 点M到圆心的距离 OM < 半径 R （三）点在圆外 ⇔ 点P到圆心的距离 OP > 半径 R
方法总结：判断点和圆的位置关系,就是判断点到 圆心O的距离与半径的大小关系.
经过已知点的圆
（1）经过已知一点作圆，能作无数个圆。
（2）经过两个点也能作出无数个圆，这些圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上。 （3）经过在同一直线上的三点A,B,C无法画圆。
又∵ ������������������ = ������������ 即：������������ + ������������������ > ������������,
∴ ������������������ > ������������, 即：P������������总大于线段PA
A
������������ O
过三点的圆PPT课件
2020年10月2日
2
圆的有关性质 B
试根据圆的定义填空：
1、圆上各点到 定点（圆心）的距离都等 于 定长（半径的长）。
O
A
C
2、到定点的距离等于定长的点都在 圆上 。
定义二：
圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。
圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。
设⊙Ｏ的半径为r，则点P与⊙O的位置关系有：
（１）点Ｐ在⊙Ｏ上 ＯＰ＝r
（２）点Ｐ在⊙Ｏ内 ＯＰ＜r
（３）点Ｐ在⊙Ｏ外 2020年10月2日
ＯＰ＞r
3
矩形ABCD的边AB=6cm，BC=8cm，AC、
BD交于O点。
（1）若以A为圆心，6cm为半径作圆，则点B 在⊙A _上__，点C在⊙A_外__，点D在⊙A__外__， 点O在⊙A__内_。
请同学们来解决一个问题:
已知: A、B、C三个村庄位置如 图，现要修建一个水塔， 使三个 村到水塔的距离相等。请画出水塔 的位置.
A
B
C
如图，O为△ABC的外心，∠BAC=700， 求∠BOC的度数。
注意：把“隐藏”的图画出后，可以将圆心角与 圆周角联系起来，这是三角形外心的一个非常典 型的一种计算题。
圆的有关性质
定义一：在同一平面内，线段OA绕它
O A 固定的一个端点O旋转一周，另一个端 点A随之旋转所形成的图形叫做圆。
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
注意：1、从圆的定义可知:圆是指圆周而不是圆面。
2、确定圆的要素是：圆心、半径。 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，确 定一个圆，两者缺一不可。
（2）若作⊙A，使B、C、O三点中至少有一点 在⊙A内，且至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r 的取值范围是_______。
《过三点的圆》
03
过三点作圆的解析方法
利用两点式方程
总结词：两点式方程是一种通过两个点 的坐标来表达圆的一般方程式的方法。
其中，r是圆的半径，通过解方程组可以 得到圆心的坐标和半径长度。
(x - x2)² + (y - y2)² = r²
详细描述：在解析几何中，通过两个点 A(x1, y1)和B(x2, y2)的圆的方程可以表 示为
利用极坐标系
要点一
总结词
通过建立极坐标系，利用极径和极角的公式来求解圆的 方程。
要点二
详细描述
首先，在平面上建立极坐标系，并标记三个点P1(r1, θ1)，P2(r2, θ2)，P3(r3, θ3)。然后，利用极径和极角 的公式计算出三个点在极坐标系中的极径和极角。接着 ，根据向量的概念计算出三个点之间的向量。最后，根 据向量的概念和距离公式求解出圆心和半径，从而得到 圆的方程。
家居用品中，圆形的设计可以增强 空间的视觉效果，如圆形挂钟、圆 形空调等。
05
过三点作圆的扩展思考
过任意点的圆
定义
过任意三个不在同一直线上的 点都可以作一个圆。
证明
根据圆的定义，过两点确定一条 直线，那么三个点确定一个平面 ，在这个平面上以这三个点为直 径端点可以作一个圆。
应用
在几何学中，这个定理经常被用来 确定一个图形是否是圆形。
(x - x1)² + (y - y1)² = r²
利用截距式方程
总结词：截距式方程是一种通过已知三点在同一 直线上时，利用截距来表达圆的一般方程式的方 法。
详细描述：在解析几何中，通过三个点A(a, b), B(c, d), C(e, f)的圆的方程可以表示为
x/a + y/b = 1
《过三点的圆》PPT课件
它的圆心.
B
A
C
圆心一定在弦的垂直
平分线上.
O
课堂小结
过一点可以作无数个圆
作圆
过两点可以作无数个圆
过不在同一直线上的三个点确定一个圆
注意：过同一直线上的三个点不能作圆
直角三角形的外
心在斜边中点处
线l1和l2.设l1与l2相交于点O.
O
(2)以点O为圆心,OA为半径画圆.
☉O即为所求.
l2
随堂训练
1.下列说法是否正确？
√ )
(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( × )
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆(
(3)经过三点一定可以确定一个圆( × )
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( √ )
半径为这点与点A之间的距离.
问题2 ：过两个点能不能确定一个圆?
如图，经过两个已知点A、B作圆.
解：如图所示.
A
O3
r3 rO2 r1
··
O2
1
r4 r
5
·
O·
4
B
能画出无数个圆，这些圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上。
问题3：经过不在同一条直线上的三点A、B、C能不能作
圆？如果能，如何确定所作的圆心？
（1）经过三角形（△ABC）的三个顶点可以作 一个 圆，
这个圆叫做三角形的 外接 圆（⊙O） ．
（2）外接圆的圆心是三角形三条边的 垂直平分线 交点，叫
A
外心
做这个三角形的
．
作图：三角形三边中垂线的交点.
性质：到三角形三个顶点的距离相等.
●
B
O
C
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再
272与圆有关的位置关系第二课时过三点的圆2021-2022华师大版九年级数学下册教案
AO CD 图 1B课 题：27.2与圆有关的位置关系第二课时 过三点的圆＆.教学目标：1、经历探索确定圆的条件的过程，能作出三角形的外接圆。
2、掌握三角形外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念。
3、会求出特殊三角形的外接圆的半径，渗透方程的思想。
＆.教学重点、难点：重点：用尺规作三角形的外接圆。
难点：运用方程的思想求特殊三角形的外接圆半径。
＆.教学过程： 一、情景导入1、回顾并解答下列问题： （1）确定一条直线的条件是什么？ （2）两条直线相交有几个交点？（3）分别垂直于两条相交直线的两直线必相交吗？有几个交点？为什么？（4）叙述线段垂直平分线的性质和作法，三角形三边垂直平分线的交点有几个？交点与三角形三个顶点之间在距离上有什么关系？（5）叙述点与圆的位置关系。
2、如图1，已知矩形ABCD 的边cm AB 8=，cm AD 6=，AC 与BD 相交于点O . （1）以点O 为圆心，以cm 5为半径作⊙O ，则点A 、B 、C 、D 与⊙O 的位置关系如何？（2）若以点A 为圆心作⊙A ，使B 、C 、D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是什么？答案：（1）A 、B 、C 、D 四个点在圆上；（2）cm r cm 106 .二、探究新知§.探究确定圆问题1：（1）平面上有一点A ，经过点A 的圆有几个？圆心在哪里？（2）平面上有两点A 、B ，经过A 、B 两点的圆有几个？圆心在哪里？（3）平面上有不在同一条直线上三点A 、B 、C ，经过A 、B 、C 三点的圆有几个？圆心在哪里？（4）随意画出四点，其中任何三点都不在同一条直线上，是否一定可以画一个圆经过这四点？活动：学生自己经历作图的过程，然后小组充分交流，找到确定圆的条件。
结论：（1）经过平面上一点的圆有无数个，这些圆的圆心分布在整个平面上；（2）经过平面上两点的圆也有无数个，这些圆的圆心是在线段AB 的垂直平分线上。
圆的定义 点和圆的位置关系 轨迹定义 过三点的圆 人教四年制
圆的定义、点和圆的位置关系、轨迹定义、过三点的圆一. 本周教学内容： 1. 圆的定义 2. 点和圆的位置关系 3. 轨迹定义 4. 过三点的圆 二. 教学重点、难点：1. 重点：圆的定义，三点确定圆。
2. 难点：点的轨迹，及反证法证明。
三. 知识点精讲：1. 圆的描述性定义是：——在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点随它旋转所形成的图形叫做圆。
圆也可以用集合的观点来定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
2.3. 设⊙O （1）点P （2）点P （3）点P4. （1（2）弧：读作弧AB 或AB （3）弓形：——由弦及其所对的弧组成的图形叫弓形。
（4）同心圆：——圆心相同，半径不同的两个圆叫做同心圆。
（5）等圆：——能够互相重合的两圆叫等圆。
同圆或等圆的半径相等。
（6）等弧：——在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。
5. 点的轨迹：常见的平面内的点的轨迹：（1）到定点距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆。
（2）到已知线段两端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线。
（3）到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。
（4）到直线l（56. 【典型例题】[例1] 已知：AB 是⊙O 的弦，证明：连结AO 、BO 又 ∵ C ，D 三等分 ∴ OC=OD ∴ ∆[例2] 已知AB 是⊙O 的直径，的度数。
解：连结OD ∵ DE ∴ =∠=∠E DOE ∴ =∠=∠2CDO C ∴ ∠[例3] 说出以线段分析：BC 的点的轨迹即是以O 与直线BC 解：以线段BC 为半径的圆（⊙O [例4] ABC Rt ∆A 、B 、M 和⊙C分析：要判定点A 、B 、解：∵ AC=3cm ⊙C A B C Rt ∆ ∴ 点B 在⊙C 外 连结MC ∵ M 是斜边AB 的中点 ∴ cm cm AB MC 35.252121<=⨯==∴ 点M 在⊙C 内[例5] 证明：等腰三角形的底角必定是锐角分析：用反证法：结论“两个底角必定是锐角”的反面。
过三点的圆[上学期]
![过三点的圆[上学期]](https://img.taocdn.com/s3/m/438c19c9551810a6f52486a0.png)
O C B
A 三角形的外接圆
圆的内接三角形
O
C
B
外心
三角形的外心 1。三边垂直平分线的交点 2。到三个顶点距离相等
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课堂练习
判断题：
1、过三点一定可以作圆 （错） 2、三角形有且只有一个外接圆 （对） 3、任意一个圆有一个内接三角形，并且只有 一个内接三角形 （错 ） 4、三角形的外心就是这个三角形任意两边垂 直平分线的交点 （对 ） 5、三角形的外心到三边的距离相等 （ 错 ）
C
B
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你强,我更强!
1. 如果直角三角形的两条直角边分别是 6,8,你能求出这个直角三角形的外接圆 的半径吗?是多少?
2.在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,试求这个三 角形的外接圆的面积.
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我学会了什么 ？
实际问题
引入
过一点可以作无数个圆
点与圆的位置关系
第二课时
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确定圆的条件: 三点定圆
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唐朝的铜镜是中国铜镜中的精 品。江西省文物考古研究所日前 从玉山县一座唐代墓葬中出土了 半面铜镜，那么你有什么方பைடு நூலகம்使 得它能“破镜重圆”呢？
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定理：
不在同一直线上的三 点确定一个圆
B
A
O
C
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1。由定理可知：经过三角 形三个顶点可以作一个圆. 并且只能作一个圆.
A
2。经过三角形各顶点的圆 叫做三角形的外接圆。 3。三角形外接圆的圆心叫做 三角形的外心，这个三角形 叫做这个圆的内接三角形。
《过三点的圆》PPT课件 (公开课获奖)2022年冀教版
过三点的圆
请同学们来解决一个问题
有圆形梳妆镜因不慎破碎,请你 用图中破碎镜子的碎片作出和原来 大小一样的镜子,如何确定圆心才能 “破镜重圆” 。
过三点的圆
活动一: 经过A点画圆
任选一点为
圆心(除A外),
A
以这点到A 的
距离为半径,
这样的圆有无
数个.
3
（3）
2 9
周角=_8_0_°，它是_锐__角（填“钝”“锐”或“直”
做一做，比一比
1、请同学们同桌分别画两个角，然后交换用 量角器测量其度数，比较它们的大小．
2、下列说法正确的是（B ）
A,角的边越长，则角越大。 B,角的大小与边的长短无关。 C,角的大小与顶点的位置有关。 D,角的大小决定于始边旋转的方向。
直角
等于90 °的角
∠α=90º
钝角
大于直角而小 于平角的角
90º＜∠α＜180º
图示
┓
平角 等于180 °的角 周角
等于360°的角
∠α=180º ∠α=360º
A OB O A（B）
1
1
（1）1直角=_9_0__°=___2 __平角=__4 ___周角
（2） 2平角=1_2__0 °，它是_钝__角（填“钝”“锐”或“直
温馨提示：角的大小只与开口大小有关，与边的长 短无关;以及要注意角的符号与小于号、大于号书写 时的区别．
根据图解下列问题 如图，点A，O，E在一条直线上
（1）比较∠AOB、∠AOC 、 ∠AOD、∠AOE的大小
（2）找出图中的直角、锐角和钝角
解：（1）由图中可以看出：
A
∠AOB<∠AOC<∠AOD<∠AOE
过三点的圆-ppt课件
锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三
位置
角形的外心为斜边的中点；钝角三角形的外
心在三角形的外部；反之，可以由三角形外
心的位置判断三角形的形状
28.2 过三点的圆
归纳总结
考
点
三角形外心的性质也是判断某点是不是三角形外心的常
清
单 用方法，即到三角形三个顶点距离相等的点→三角形外心.
解
读
28.2 过三点的圆
单 ；∵ 四边形 AMEF 是正方形，∴AM=EM，∴AM=ME=CM，∴
解
读 点 M是△AEC 的外心，点 M 是△BCE 的外心；∵FM=姨2 AM
，∴AM=CM≠FM，∴ 点 M 不是△ACF 的外心.
［答案］C
28.2 过三点的圆
重 ■题型 三角形外接圆的实际应用
难
例 1 如图，小明家的房前有一块空地，空地上有三棵
对点典例剖析
考
点
典例2 如图，在 Rt△ABC 中，点 M 是斜边 BC 的中点
清
单 ，以 AM 为边作正方形 AMEF，下列三角形中，外心不是点
解
读 M 的是 （
）
A．△ABC
B．△AEC
C．△ACF
D．△BCE
28.2 过三点的圆
［解题思路］在题图中连接 FM，在Rt△ABC 中，点 M
考
点
清 是斜边 BC 的中点，∴AM=BM=CM，∴ 点 M 是△ABC的外心
为 AB 所对的圆周角．
【知识回顾】（1）如图 1，⊙O 中，点 B，C位于直线
AO 异侧，∠AOB+∠C=135°．
①求∠C 的度数；
②若⊙O 的半径为 5，AC=8，求 BC 的长；
《过三点的圆》
02
过三点确定一个圆的理论基础
圆的定义及性质
圆的基本定义
圆是平面上所有与给定点（圆心）距 离相等的点的集合。
圆的基本性质
圆心到圆上任意一点的距离都相等； 圆是中心对称图形，对称中心为圆心 ；圆是轴对称图形，对称轴为过圆心 的任意直线。
过三点确定一个圆的定理
定理内容
过平面上不共线的三个点，可以确定一个唯一的圆。
原因
三点在圆上意味着它们都在同一个圆周上， 因此可以形成一个封闭的圆弧。
三点在圆内的情况
结论
当三点在圆内时，可以确定一个唯一的圆。
原因
三点在圆内意味着它们都在同一个圆的内部 ，因此可以形成一个封闭的圆弧。同时，这
三点还可以作为该圆的三个切点。
05
过三点确定一个圆的实际案例 分析
几何作图中的案例
《过三点的圆》
汇报人： 2023-12-13
目录
• 引言 • 过三点确定一个圆的理论基础 • 过三点确定一个圆的实际应用 • 过三点确定一个圆的特殊情况
分析
目录
• 过三点确定一个圆的实际案例 分析
• 过三点确定一个圆的结论与展 望
01
引言
主题介绍
圆的定义
圆是一种平面几何图形，由所有 与给定点（圆心）距离相等的点 组成。
力学应用
在力学中，通过三个点可以确定一个刚体的转动中心。这对于机械设计、工程结构等领域非常重要。
04
过三点确定一个圆的特殊情况 分析
三点共线的情况
结论
当三点共线时，不能确定一个唯一的圆 。
VS
原因
三点共线意味着它们在同一直线上，因此 无法形成一个封闭的圆弧。
三点在圆上的情况
结论
[初中++数学] 点与圆的位置关系++课件+华东师大版数学九年级下册
![[初中++数学] 点与圆的位置关系++课件+华东师大版数学九年级下册](https://img.taocdn.com/s3/m/6942365c0640be1e650e52ea551810a6f524c8f0.png)
(3)点P在圆外.
(3)因为点P在圆外,所以线段OP的长度大于☉O的半
径,即OP>2 cm.
确定圆的条件及方法
要将如图所示的圆轮残片复制完成,怎样确定这个圆轮
残片的圆心和半径?(写出找圆心和半径的步骤)
[分析] 需要确定的是圆心和半径,根
据圆的确定条件可在这个圆轮残片
解:如答案图,连结OB、OC,
连结OA交BC于点D.由圆、
等腰三角形及圆内接三角
形的性质可得OA垂直平分
BC,且OA平分∠BAC.
∵∠BAC=120°,
∴∠BAO=60°,
(答案图)
∴△OAB为等边三角形,∴OA=AB.
1
9
在Rt△ABD中,BD= BC= ,
2
2
则OA=AB=
=
3
60°
过点O作OD⊥AB于点D,可在Rt△AOD中求出AO的长,
由此求出该三角形外接圆的面积.
解:如答案图,在等边△ABC中,O为△ABC外接圆的圆心,连
结AO,过点O作OD⊥AB于点D.由于△ABC为等边三角形,
易得OA平分∠BAC,
1
1
∴∠DAO=2∠BAC=2×60°=30°.
∵OD⊥AB,☉O为△ABC的外接圆.
1
1
∴AD=2AB=2a.
1
2
3
在Rt△AOD中,AO=
=
=
a
,
(答案图)
∠ 30° 3
2
3
3
1
即☉O的半径为 a.∴☉O的面积为π = πa2.
3
3
3
[技巧归纳] 解决圆内接等边三角形问题时,通常过圆心
过三点的圆
过三点的圆1、教材分析（1）知识结构（2）重点、难点分析重点：①确定圆的定理.它是圆中的基础知识，是确定圆的理论依据；②不在同一直线上的三点作圆.“作圆”不仅体现在证明“确定圆的定理”的重要作用，也是解决实际问题中常用的方法；③反证法证明命题的一般步骤.反证法虽是选学内容，但它是证明数学命题的重要的基本方法之一.难点：反证法不是直接以题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题正确，又因为矛盾的多样化，学生刚刚接触，所以反证法不仅是本节的难点，也是本章的难点.2、教学建议本节内容需要两个课时.在第一课时的教学中：（1）把课堂活动设计的重点放在如何调动学生的主体和发现问题、解决问题的能力上.让学生作图、观察、分析、概括出定理.（2）组织学生开展“找直角、锐角和钝角三角形的外心”的位置活动，在激发学生的学习兴趣中，提高作图能力.（3）在教学中，解决过已知点作圆的问题，应紧紧抓住对圆心和半径的探讨，已知圆心和半径就可以作一个圆，这是从圆的定义引出的基本思路，因此作圆的问题就是如何根据已知条件去找圆心和半径的问题.由于作圆要经过已知点，如果圆心的位置确定了，圆的半径也就随之确定，因此作圆的问题又变成了找圆心的问题，是否可以作圆以及能作多少个圆，都取决于能否确定圆心的位置和圆心的个数.在第二课时反证法的教学中：（1）对于A层的学生尽量使学生理解并会简单应用，对B层的学生使学生了解即可.（2）在教学中老师要精讲：①为什么要用反证法；②反证法的基本步骤；③精讲精练.第一课时一、素质教育目标（一）知识教学点1.本节课使学生了解“不在同一条直线上三点确定一个圆”的定理及掌握它的作图方法。
2.了解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念。
（二）能力训练点1.培养学生观察、分析、概括的能力；2.培养学生准确简述自己观点的能力；3.培养学生动手作图的准确操作的能力。
（三）德育渗透点通过引言的教学，激发学生的学习兴趣，培养学生的知识来源于实践又反过来作用于实践的辩证只许物主义观念。
人教初中数学九上 《点和圆之间的关系过三点的圆》课件 (高效课堂)获奖 人教数学20222
则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
B
C
(B在圆内，D在圆上，C在圆外)
（3）以点A为圆心，5厘米为半径作圆A，则点B、C、 D与圆A的位置关系如何？
(B在圆内，D在圆内，C在圆上)
练一练
1、⊙O的半径10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为
8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：
探索新知
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部 分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直 线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条
直线（成轴）对称．
追问 你能举出一些轴对称图形的例子吗？
探索新知
问题2 观察下面每对图形（如图），你能类比前 面的内容概括出它们的共同特征吗？
共同特征： 每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边 的图形重合．
锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外.
练一练
1、判断下列说法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( √ ). (2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( × ) (3)经过三点一定可以确定一个圆( × ) (4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( √ )
2、若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的
形状为( B )
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形 D、等腰三角形
能力提高
爆破时，导火索燃烧的速度是每秒，点导火 索的人需要跑到离爆破点120m以外的的安全 区域，已知这个导火索的长度为18cm，如果 点导火索的人以每秒的速度撤离，那么是否安 全？为什么？
回顾与思考
• 这节课你学到了哪些知识？有 什么感想?
第31讲 与圆有关的位置关系 -考点知识梳理
2．切线的性质 (1)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 半径 ； (2)推论 1：经过切点且垂直于切线的直线必经过 圆心 ； (3)推论 2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过 切点 ．
温馨提示 1.要证的直线与圆有公共点， 且存在连接公共点的 半径，此时可直接根据 “经过半径的外端并且垂直于 这条半径的直线是圆的切线 ” 来证明 .口诀是 “ 见半 径，证垂直 ” .
考点四
切线长定理
1．切线长：在经过圆外一点的切线上，这点和切 点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它 们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分这两条切 线的夹角．
考点五
三角形的内切圆
1．与三角形内切圆有关的一些概念 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆， 内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆 的外切三角形．
2.给出了直线与圆的公共点， 但未给出过这点的半 径，则连接公共点和圆心，然后根据 “经过半径的外 端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ”来证明 .口诀 是 “连半径，证垂直 ” . 3.当直线与圆的公共点不明确时， 则过圆心作该直 线的垂线，然后根据 “圆心到直线的距离等于圆的半 径，该直线是圆的切线 ”来证明 .口诀是 “作垂直，证 相等 ”.
温馨提示 锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的 外心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形．直线与圆的位置关系的有关概念
(1)直线和圆有两个公共点时， 叫做直线和圆相交 ， 这时的直线叫做圆的割线 ；
(2)直线和圆有唯一公共点时， 叫做直线和圆相切 ， 唯一的公共点叫做切点 ，这时的直线叫做圆的切线 ； (3)直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离 ．
2．直线和圆的位置关系的性质与判定
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A
O C
D 图 1
B
课 题：27.2与圆有关的位置关系
第二课时 过三点的圆
＆.教学目标：
1、经历探索确定圆的条件的过程，能作出三角形的外接圆。
2、掌握三角形外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念。
3、会求出特殊三角形的外接圆的半径，渗透方程的思想。
＆.教学重点、难点：
重点：用尺规作三角形的外接圆。
难点：运用方程的思想求特殊三角形的外接圆半径。
＆.教学过程： 一、情景导入
1、回顾并解答下列问题： （1）确定一条直线的条件是什么？ （2）两条直线相交有几个交点？
（3）分别垂直于两条相交直线的两直线必相交吗？有几个交点？为什么？
（4）叙述线段垂直平分线的性质和作法，三角形三边垂直平分线的交点有几个？交点与三角形三个顶点之间在距离上有什么关系？
（5）叙述点与圆的位置关系。
2、如图1，已知矩形ABCD 的边cm AB 8=，cm AD 6=，AC 与BD 相交于点O . （1）以点O 为圆心，以cm 5为半径作⊙O ，则点A 、B 、C 、D 与⊙O 的位置关系如何？
（2）若以点A 为圆心作⊙A ，使B 、C 、D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是什么？
答案：（1）A 、B 、C 、D 四个点在圆
上
；（
2
）
cm r cm 106 .
二、探究新知
§.探究确定圆
问题1：
（1）平面上有一点A ，经过点A 的圆有几个？圆心在哪里？
（2）平面上有两点A 、B ，经过A 、B 两点的圆有几个？圆心在哪里？
（3）平面上有不在同一条直线上三点A 、B 、C ，经过A 、B 、C 三点的圆有几个？圆心在哪里？
（4）随意画出四点，其中任何三点都不在同一条直线上，是否一定可以画一个圆经过这四点？
活动：学生自己经历作图的过程，然后小组充分交流，找到确定圆的条件。
结论：
（1）经过平面上一点的圆有无数个，这些圆的圆心分布在整个平面上；
（2）经过平面上两点的圆也有无数个，这些圆的圆心是在线段AB 的垂直平分线上。
（3）经过A 、B 、C 三点能否作圆呢？确定圆的要素是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小，所以关键的问题是找到圆心和半径。
如果A 、B 、C 三点不在一条直线上，那么经过A 、B 两点画的圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上.而经过B 、C 两点画的圆的圆心在线段BC 的垂直平分线上，此时，这两条垂直平分线一定相交，便可画出经过A 、B 、C 三点的圆（如图2）。
（4）经过四点不一定可以作圆。
问题2：如果A 、B 、C 三点在同一条直线上，能画出经过三点的圆吗？为什么？ 理由：任意两点组成的线段的垂直平分线是平行的，没有交点，因此这样的圆不存在。
＆.归纳确定圆的条件：不在同一条直线上的三点确定一个圆。
注意：不能忽略“不在同一条直线上”的三点。
§.探究过不在同一条直线上的三点的圆的作图： 问题3：作圆，使它经过不在同一条直线上的三个已知点. 已知：不在同一条直线上的三点A 、B 、C . 求作：⊙O ，使它经过点A 、B 、C . 解析：作圆关键是确定圆心。
作法：
1、连结AB ，作线段AB 的垂直平分线DE ；
2、连结BC ，作线段BC 的垂直平分线FG ，交DE 于点O ；
3、以O 为圆心，OB 为半径作圆.（如图3） §.了解外接圆及相关概念：
三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
外心：三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。
外心的性质：三角形的外心就是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。
注意：经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个圆，即三角形的外接圆有且只有一个，而圆的内接三角形则有无数多个。
§.探究外心同三角形的位置关系：
问题4：请同学们分别作出一个直角三角形、锐角三角形、钝角三角形并画出它的外接圆，观察外心的位置，你能得到什么结论？
结论：锐角三角形的外心在三角形的内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心是斜边的中点，因此直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半。
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、如图4，已知ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，若cm BC 5=，cm AC 12=，求ABC
∆外接圆的半径。
（直角三角形）
解析：根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半即可。
解：由勾股定理得：cm AB 13=
图 3
故ABC ∆的外接圆的半径为cm 5.6.
同步练习：在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，6=AC ，8=BC ，求它外接圆的半径。
§.例2、如图5，已知等边ABC ∆中，边长为cm 6，求ABC ∆外接圆的半径。
（等边
三角形）
解：根据外心的定义，BE 垂直平分AC 由三线合一的性质得：BE 平分ABC ∠ 即︒=∠30OBD 在BOD Rt ∆中，cm BC BD 32
1
== 由OB
BD
=
︒30cos ，解得：cm OB 32= 故ABC ∆的外接圆的半径为cm 32.
§.例3、如图6，已知等腰ABC ∆中，cm AC AB 13==，cm BC 10=，求ABC ∆外接
圆的半径。
（等腰三角形）
解：过点A 作BC AD ⊥，垂足为点D ，设O 是ABC ∆外接圆的圆心，连结OB ，则OA 、
OB 是ABC ∆外接圆的半径，设xcm OB OA ==
∵AC AB =
∴D 是BC 中点，即cm CD BD 5== 由勾股定理得：cm BD AB AD 1222=-= 在BOD Rt ∆中，cm BC BD 32
1
==
，则()cm x OD -=12 在BOD Rt ∆中，222BD OD OB += ∴()2
22125x x -+=
解得：cm x 24
169
=
答：ABC ∆的外接圆半径为
cm 24
169
. 四、巩固练习
教材45P 练习 2~1
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、理解确定圆的条件，了解三角形的外接圆的概念及外心的性质。
2、能求特殊三角形外接圆的半径，注意运用方程的思想解答。
六、课外作业
1.教材54P 习题27.2 4~2。