切线长定理
切线长定理—知识讲解
切线长定理—知识讲解【学习目标】1.了解切线长定义,掌握切线长定理；2.了解圆外切四边形定义及性质；3. 利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.要点二、圆外切四边形的性质1.圆外切四边形四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形.2.圆外切四边形性质圆外切四边形的两组对边之和相等.【典型例题】类型一、切线长定理1．（2015秋•湛江校级月考）已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．（1）若PA=6，求△PCD的周长．（2）若∠P=50°求∠DOC．【答案与解析】解：（1）连接OE，∵P A、PB与圆O相切，∴PA=PB=6，同理可得：AC=CE，BD=DE，△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12；（2）∵PA PB 与圆O 相切，∴∠OAP=∠OBP=90°∠P=50°，∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，在Rt△AOC 和Rt△EOC 中，，∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL ），∴∠AOC=∠COE，同理：∠DOE=∠BOD， ∴∠COD=∠AOB=65°．【总结升华】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键．2． 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于D ，E 为BC 中点.求证：DE 是⊙O 切线.【答案与解析】连结OD 、CD ，AC 是直径，∴OA=OC=OD ，∴∠OCD=∠ODC ，∠ADC=90°，∴△CDB 是直角三角形.∵E 是BC 的中点，∴DE=EB=EC ，∴∠ECD=∠EDC ，∠ECD+∠OCD=90°，∴∠EDC+∠ODC=90°，即OD ⊥ED ，∴DE 是⊙O 切线.【总结升华】自然连接OD ，可证OD ⊥DE.举一反三：【变式】已知：如图，⊙O 为ABC ∆的外接圆，BC 为⊙O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分CBF ∠，过点A 作AD BF ⊥于点D .求证：DA 为⊙O 的切线. O FDC B A3421O F D CB A【答案】连接AO .∵ AO BO∠=∠.=，∴ 23∵ BA CBF∠平分，∴ 12∠=∠. ∴ 31∠=∠ .∴ DB∥AO.∵ AD DB⊥,∴ 90∠=︒.DAOBDA∠=︒.∴ 90∵ AO是⊙O半径，∴ DA为⊙O的切线.3．如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（）A.12B.24C.8D.6【答案】D；【解析】∵AE与圆O切于点F，显然根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC，设EF=EC=xcm，则DE=（4﹣x）cm，AE=（4+x）cm，在三角形ADE中由勾股定理得：（4﹣x）2+42=（4+x）2，∴x=1cm，∴CE=1cm，∴DE=4﹣1=3cm，∴S△ADE=AD•DE÷2=3×4÷2=6cm2．【总结升华】此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出AB=AF，EF=EC．类型二、圆外切四边形4.（西青区二模）已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；（Ⅲ）如图2，若F是AD的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO的长．【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O为四边形ABCD的内切圆，∴AD、AB、CD为⊙O的切线，∴OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，即∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC，∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°，∴∠ODA+∠OAD=90°，∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD中，∵AO=8cm，DO=6cm，∴AD==10（cm），∵AD切⊙O于E，∴OE⊥AD，∴OE•AD=OD•OA，∴OE==（cm）；（Ⅲ）∵F是AD的中点，∴FO=AD=×10=5（cm）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理．举一反三：【变式】在圆外切四边形ABCD中，AB:BC:CD:AD只可能是（）.A.2:3:4:5B.3:4:6:5C.5:4:1:3D.3:4:2:5【答案】B.。
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
（PA长）2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.（特殊情况）用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理（记忆的方法方法）圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
切线长定理
O
P
一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一 块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大 呢？
A N O
内 心
思考
A
M
B C
B D C
三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
A
三角形的内心：
三角形的内切圆的圆心
（即三角形三条角平分线的交点）
O B
C
例题：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别 相切于点D、E、F，且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm， 求AF、BD、CE的长。
因此
练 习 1
如图，△ABC中，∠ ABC=50°，∠ACB=75 °，点O
是⊙O的内心，求∠ BOC的度数。
A
解：∵点O是⊙O的内心
∴∠OBC=1/2∠ABC=25°
O
∠OCB=1/2∠ACB=37.5°
∴ ∠BOC=180°﹣25°﹣37.5°
=117.5°
B C
练 习 2
△ABC的内切圆半径为 r , △ABC的周长为 l ,求△ABC
A
O
P
B
根据圆的轴对称性，存在与A点重合的点 你能发现OA与PA，OB B，且落在圆上，连接OB，则它也是⊙o PA、PB所在的直线分别是⊙o两条切线。 与PB之间的关系吗？ 的一条半径。
A
O
P
B
如图，P 是⊙O外 一点， PA，PB 是⊙O的 两条切 线，我 们把线 段PA， PB叫做 点P到 ⊙O的切 线长。
P101 T3,T11,T12,T15
的面积。 （提示：设内心为O，连接OA、OB、OC。）
A
解：连接OA、OB、OC，则
切线长定理及其应用
切线长定理及其应用知识点一 切线长定义及切线长定理1. 切线长定义：过圆外一点作圆的切线，这点和 之间的线段长叫作这点到圆的切线长.注意切线长和切线的区别和联系:切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。
2. 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，即PA=PB.推论：（1）△PAB 是等腰三角形；（2）OP 平分△APB ，即△APO=△BPO ；（3）弧AM=弧BM ；（4）在Rt OAP ∆和Rt OBP ∆中，由AB OP ⊥，可通过相似得相关结论；如：222222,,OA OB OE OP AP BP PE PO AE BE OE EP ==⋅==⋅==⋅（5）图中全等的三角形有对，分别是：题型一 切线长定理的直接应用【例1】如图所示，△O 的半径为3cm ，点P 和圆心O 的距离为6cm ，经过点P 的两条切线与△O 切于点E 、F ，求这两条切线的夹角及切线长.【例2】如图，P A 、PB 、DE 分别切△O 于A 、B 、C ，△O 的半径长为6 cm ，PO ＝10 cm ，求△PDE 的周长．【例3】如图所示，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为__________.【过关练习】1.如图所示，PA、PB是△O的切线，A、B为切点，△OAB=30°.（1）求△APB的度数.（2）当OA=3时，求AP的长.2.如图所示，已知PA、PB、DE分别切O于A、B、C三点，△O的半径为5cm，△PED的周长为24cm，△APB=50°.求：（1）PO的长；（2）△EOD的度数.3.如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,AB ⊥BC,以BC 为直径的△O 与AD 相切,点E 为AD 的中点,下列结论正确的个数是( )(1)AB+CD=AD;(2)DCE ABE BCE S S S △△△+=; (3)241BC CD AB =⋅; (4)∠ABE=∠DCE. A.1B.2C.3D.4知识点二 圆外切四边形1、四边形的内切圆定义：四边形的四条边都与圆相切，把这个四边形叫作圆外切四边形，把这个圆叫作圆的内切圆.2、圆外切四边形的性质：圆外切四边形两组对边之和.（如图，即AB +CD =AD +BC ） 题型一 四边形的内切圆计算【例1】已知四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 与△O 相切于P 、Q 、M 、N ，求证：AB+CD=AD+BC 。
切线长定理
O B
C
P
返回
已知:PA、PB切O于A、B 能推出？……
O、A、P、B四点在同一个圆上吗？
A O B P
返回
已知:PA、PB切O于A、B 能推出？……
C点是△APB的什么心？ A H
已知：两圆为同心圆，外圆上一点P 作内圆的两条切线PA、PB交外圆于C，
过A、B的直线交外圆于D、E。
求证：（1）EA=BD (2)
P E A H O
B
PB PD BD DC
D
C
已知：P为O外一点，PA、PB切 O于A、B，OP交AB于M,过M作CD。
求证： MDO=MPC
P
A
D
M
O
A O B P
从圆外一点可以作___条直线与圆相切 你会用尺规作图作出这条切线吗？
给 起 个 名 字 吧 以 后 说 起 来 方 便
PA
从圆外一点可以作___条直线与圆相切 你会用尺规作图作出这条切线吗？
A
O
P
切线长 PA、PB切O于A、B PA=PB APO=BOP
A O B P
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切 线,他们的切线长相等,圆心和这一点 的连线平分两条切线的夹角. PA、PB切O于A、B PA=PB APO=BOP
A
PD垂直平分AB
PБайду номын сангаас
D
H
O B C
返回
已知:PA、PB切O于A、B 能推出？……
A
AC=BC;AD=BD.
C
D
H
O B
切线长定理
复 习 (1)和圆有唯一公共点的直线叫 圆的切线
（2）圆的切线
垂直于 过切点的半径。
（3）四边形ABCD各边都和⊙O相切，则四边形
ABCD叫做这个圆的 外切四边形
“切线长”
1、经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做 这点到圆的切线长. B 点A到⊙O的切线长
从圆外一点可以引圆的____ 两 条切线，它们的切线长______ 相等 ， 平分 两条切线的夹角. 这一点和圆心的连线_____ 几何语言：∵PA、PB切⊙O于A、B ∴PA＝PB ∠APO＝∠BPO
已知：四边形ABCD的边 AB，BC，CD，DA和圆O分别 相切于L，M，N，P。
探索圆外切四边形边的关系。 D N C P O M A L （1）找出图中所有相等的线段
8
8
3、如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，BC是⊙O的直径， 求证：AC∥OP. 证明： ∵BC是⊙O的直径
1 2 3 4
∴∠1＝90° ∵PA、PB是⊙O的切线 ∴PA＝PB ∴PD⊥AB ∴∠4＝90° ∵∠1＝∠4 ∠2＝∠3
∴AC∥OP
1、如图，AB、AC与⊙O相切于B、C两点，∠A=50°，点P是圆上异 65° 于B、C的一动点，则∠P＝______.
? 130° 50° 65°
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、 B为切点，AC是⊙O的直径， ∠BAC＝25°，求∠P的度数.
3、如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD， BO＝6cm，CO＝8cm，求BC的长
·
·
A
切线长定理
巩固练习： 1.P100练习1：如图，△ABC中， ∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC 的内心，求∠BOC的度数. 解： ∵点O是△ABC 的内心， OB,OC分别平分ABC 和ACB BOC 180 1 ABC 1 ACB 117.5 2 2 2.P100练习2：△ABC的内切圆半径为r, △ABC的周长为l，求△ABC的面积.（提示： 设△ABC的内心为O，连接OA,OB,OC.） 如图所示，S S S S △ABC △OAB △OBC △AOC 1 ( AB BC CA) r 1 lr 2 2 总结：三角形的面积等于周长乘以其内切圆的半径，即
几何语言：
∵PA，PB与⊙O分别相切于点A，B， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. (∠POA=∠POB)
巩固练习：
1.已知⊙O的半径为6，圆心O到圆外
一点P的距离为10，则点P到圆的切线
长PM为（ ）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
2.如图，PA，PB是⊙O的两条切线， 切点分别为A，B，点C在⊙O上.如果 ∠P=50°，那么∠C= .
2
思考：如图是一块三角形铁 皮，如何在它上面截下一块圆形 的用料，并且使截下来的圆与三 角形的面积最大？
Байду номын сангаас
切线长定理.gsp
分析：假设符合条件的圆已经作出，那么这个圆 的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径 . 如图所示：OD=OE=OF. 那么如何找到这个圆心呢？ 由OD=OF可知，点O到∠B 两边的距离相等，则点O在∠B 同理可知，点O在 的角平分线上， ∠C的角平分线，那么两条角平分线的交点即为圆心O. 点O到BC的距离OD为半径作圆，则⊙O与△ABC三边 都相切，⊙O为所求作的圆.
切线长定理
证明：连接OA、OB
∵PA、PB是⊙O的切线
∴PA⊥OA、PB⊥OB
即△POA、△POB是直角三角形
倍
又∵OA=OB、OP=OP
速 课
∴△POA≌△POB
时 学
∴PA=PB、∠APO=∠BPO
练
如右图所示
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，
倍 它们的切线长相等，
速 课
这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
C E
D
F
倍
A
·O B
速
课
时
学
练
C E D
A
·O B
小 结：
1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切
线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
B
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
E
。
OC
D
P OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角
倍 速
A
相等，弧相等，垂直关系提供了理论
倍
+MC+DP
速 课
即 AB+CD=AD+BC
AL
B
时
学 补充：圆的外切四边形的两组对边的和 练 相等．
练习1.（口答）如图所示PA、PB分别切
圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于
C、D，已知PA=7cm，
(1)求△PCD的周长．
(2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数
A
D
倍
速 课 时
P
·O
E
倍 速
（4）写出图中相等的圆弧
课
时 学
切线长定理—知识讲解
切线长定理—知识讲解责编：常春芳【学习目标】1.了解切线长定义,掌握切线长定理；2.了解圆外切四边形定义及性质；3. 利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线长定理1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.要点二、圆外切四边形的性质1.圆外切四边形四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形.2.圆外切四边形性质圆外切四边形的两组对边之和相等.【典型例题】类型一、切线长定理1．（2015秋•湛江校级月考）已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．（1）若PA=6，求△PCD的周长．（2）若∠P=50°求∠DOC．【答案与解析】解：（1）连接OE，∵PA、PB与圆O相切，∴PA=PB=6，同理可得：AC=CE，BD=DE，△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12；（2）∵PA PB与圆O相切，∴∠OAP=∠OBP=90°∠P=50°，∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，在Rt△AOC和Rt△EOC 中，，∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL），∴∠AOC=∠COE，同理：∠DOE=∠BOD，∴∠COD=∠AOB=65°．【总结升华】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键．2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，E为BC中点.求证：DE是⊙O切线.【答案与解析】连结OD、CD，AC是直径，∴OA=OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∠ADC=90°，∴△CDB是直角三角形.∵E是BC的中点，∴DE=EB=EC，∴∠ECD=∠EDC，∠ECD+∠OCD=90°，∴∠EDC+∠ODC=90°，即OD⊥ED，∴DE是⊙O切线.【总结升华】自然连接OD，可证OD⊥DE.举一反三：【变式】已知：如图，⊙O为ABC∆的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF∠，过点A作AD BF⊥于点D.求证：DA为⊙O的切线.FCFC【答案】连接AO.∵AO BO=，∴23∠=∠.∵ BA CBF ∠平分，∴ 12∠=∠. ∴ 31∠=∠ .∴ DB ∥AO .∵ AD DB ⊥,∴ 90BDA ∠=︒.∴ 90DAO ∠=︒.∵ AO 是⊙O 半径，∴ DA 为⊙O 的切线. 3．如图，正方形ABCD 边长为4cm ，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ADE 的面积（ ）A.12B.24C.8D.6【答案】D ；【解析】∵AE 与圆O 切于点F ，显然根据切线长定理有AF=AB=4cm ，EF=EC ，设EF=EC=xcm ，则DE=（4﹣x）cm ，AE=（4+x ）cm ，在三角形ADE 中由勾股定理得：（4﹣x）2+42=（4+x ）2，∴x=1cm，∴CE=1cm，∴DE=4﹣1=3cm，∴S △ADE =AD•DE÷2=3×4÷2=6cm 2．【总结升华】此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出AB=AF ，EF=EC ．类型二、圆外切四边形 4.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD 中，AB∥CD，⊙O 为内切圆，E 为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD 的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm ，DO=6cm ，求AD 、OE 的长；（Ⅲ）如图2，若F 是AD 的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO 的长．【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O为四边形ABCD的内切圆，∴AD、AB、CD为⊙O的切线，∴OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，即∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC，∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°，∴∠ODA+∠OAD=90°，∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD中，∵AO=8cm，DO=6cm，∴AD==10（cm），∵AD切⊙O于E，∴OE⊥AD，∴OE•AD=OD•OA，∴OE==（cm）；（Ⅲ）∵F是AD的中点，∴FO=AD=×10=5（cm）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理．举一反三：【变式】在圆外切四边形ABCD中，AB:BC:CD:AD只可能是（）.A.2:3:4:5B.3:4:6:5C.5:4:1:3D.3:4:2:5【答案】B.。
37切线长定理
费
曼
学
习
法
费曼学习法--
简介 理查德·菲利普斯·费 曼 （Richard Phillips Feynman）
（图片来自网络）
费曼学习法出自著名物理学家费曼，他曾获 的 1965年诺贝尔物理学奖，费曼不仅是一 名杰出的 物理学家，并且是一位伟大的教 育家，他能用很 简单的语言解释很复杂的 概念，让其他人能够快 速理解，实际上， 他在学习新东西的时候，也会 不断的研究 思考，直到研究的概念能被自己直观 轻松 的理解，这也是这个学习法命名的由来！
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑 模型
2
内 脑 -思 考 内 化
Know--X分类法
费曼学习法--
实操
第二步 根据参考，复述你所获得的主要内容
（二） 根 据 参 考 复 述
1. 参照教材、辅导书或笔记复述主要内容； 2.复述并不是照着读出来或死记硬背，而是用自己的话去 理解 ，想象如果你要把这个讲给别人听，你会怎样讲。 就像你按照前面的步骤对定于从句的理解是“定语部分是个从句”，就没必要死记 硬背“在复合句中，修饰某一名词或代词的从句叫做定语从句”这个概念。
3. 这个步骤可以使用思维导图或流程图，可以更好加深自己的理解哦~
费曼学习法--
实操
第三步 没有任何参考的情况下，仅靠大脑，复述你所获得的主要内容
（三） 仅 靠 大 脑 复 述
切线长定理
B
例题1
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是 A、B，Q为弧AB上一点，过Q点作⊙O的切线， 交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，求△PEF ∵EA、EQ是⊙O的切线，切点为A、Q 的周长。
∴EQ=EA，同理可得FQ=FB,PA=PB
A E Q P B F O
∴ PA=PE+AE=PE+EQ=12cm PB=PF+BF=PF+FQ=PA=12cm ∴△PEF的周长为24cm
O
∠AOB+∠APB=180 °
P B
探究2
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得 出什么新的结论?并给出证明. B OP垂直平分AB
O
M
P
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
即△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB
（2）连结两切点 （3）连结圆心和圆外一点
巩固练习
已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的 切线，A、B为切点，BC是直径。 求证：AC∥OP A C O
D
P
B
O · P
B
B
思考1：切线与切线长是一回事吗？
切线:是直线，不可以度量。切线长：是线段，可以度量。
A
O · P
B
B
思考2：两条切线长的大小关系如何？
相等
证一证
B
已知PA、PB是⊙O的两条 切线，求证：PA=PB
P O
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
变式：如图所示PA、PB分别切 圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于 C、D，已知PA=7cm， (1)求△PCD的周长． (2) 如果∠P=46°,求∠COD 的度数 A
切线长定理
若∠BEF=600， 求四边形BEFC 的周长.
E
K F
B
C
如图，AB是⊙O的直径，AC、DC、BD是 切线，点A、E、B为切点， (1)求证：OD ⊥ OC (2)若BD=9，AC=4，求OE的长.
A C E
O
D
B
4.如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆
上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O的切
C D A O E F
B
点分别是D、E.过半圆上一点F作半圆的切 BM CN 线，分别交AB、AC于M、N，那么 2 BC A 的值等于_________.
F N E O C
M D B
6.如图，已知AB为⊙O的直径，CD,CB 为⊙O的切线，D,B为切点，OC交⊙O与 点E，AE的延长线交BC于点F，连接 AD,BD.求证：E为△CDB的内心.
切线长定理的几何语言表达：
A
O ·
1 2
B
∵PA、PB分别切⊙O于A、B ∴ PA = PB ∠1=∠2
数学探究 思考：连结AB，则AB与PO有怎样的关系？ 为什么？ 你还能得出什么结论？ A
· O ·E
B
·
P
反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们 构建基本图形。 A
。
O
P B
（1）分别连结圆心和切点
切线长定理
你会过点P画圆的一条切线吗？
O·
P
在经过圆外一点的圆的切线上，这 点和切点之间的线段的长叫做这点 到圆的切线长 A
O·
P
思考： 切线和切线长这两个概念 有何区别？
观察与思考: （1）PA、PB有怎样的数量关系？ （2）PO与∠APB又有怎样的关系？
切线长定理的证明及其运用
周长。
易证EQ=EA, FQ=FB,
A
E
O
PA=PB ∴ PE+EQ=PA=12cm
PF+FQ=PB=PA=12cm
Q
∴周长为24cm
P
B
F
结论拓展1、
已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条 切线，PC、PD是小圆的两条切线，A、B、 C、D为切点。 求证：AC=BD
A C
O·
P
D B
结论拓展2、
P· ·O
A
P·
·O
问题2、经过圆外一点P，作已知⊙O的 切线可以作几条？
A
O
P
B
过圆外一点作圆的切线，这点 和切点之间的线段的长，叫做这点 到圆的切线长。
A
1
O
M2
⌒
P
B
关键是作辅助 线~
根据图形判断：猜想图中PA是否等于 PB？∠1与∠2又有什么关系？
已知：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为 切点； 证明 ：PA=PB, ∠APO=∠BPO A
（3 ）经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线.（判定定理）
证明一条直线是圆的切线的常见的 两种方法：
1、“有交点、连半径，证垂直”
2、“无交点、作垂直，证半径”
切线的性质定理:圆的切线垂直于 过切点的半径。
探究 问题1：经过平面上一个已知点，作已 知圆的切线会有怎样的情形？
P ·O
(1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB
A
(2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB △ACP≌△BCP.
E
O
D
C
P
(3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm)
(完整版)切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
相交弦定 COO 中，AB 为直径，CDLABPC = PA- PB.理的推论/于P.|（特殊情况）|127用相交弦定理切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］ 1. 切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线 上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
（PA 长）2. 切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等； （2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得4.弦切角定理： 弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5. 弄清和圆有关的角： 圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6. 遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定7. 与圆有关的比例线段 定理 已知结论证法OO 中，AB CD 为弦，交 PA- PB= PC- PD. 连 结 AC 、 BD ,证： 于 P.△ APCo A DPB.到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角 互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
直线AB 切OO 于P , PC PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个）相交弦定8. 圆幕定理：过一定点P向OO作任一直线，交OO于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数］L「一厂| （R为圆半径），因为--「叫做点对于OO的幕，所以将上述定理统称为圆幕定理。
解：由切线长定理知：AF= AB= 1, EF= CE 设CE为x，在Rt △ ADE中，由勾股定理+巴“丄A1_3「£)5 = 1--恥二1 + —二一4=4 4 43- = 3：5P T2=PA- PBPBPD为OO的两条割线，PA- PB= PC- PD交OO于A COO 中，割线PB交OO 于P'C - P'D = r2A, CD为弦OP'2PA- PB= OP—r2r为OO的半径连结TA、TB ,证：△PTB^A PAT过P作PT切OO于T,用两次切割线定理（记忆的方法方法）延长P'O交OO于M延长OP'交OO于N,用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证OO中，PT切OO于T,割线PB交OO于A【典型例题】例1.如图1,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。
(11)切线长定理
几何语言：
过圆外一点可以 P 引圆的两条切线，它 们的切线长相等，圆 心和这一点的连线平 分两条切线的夹角。
已知： ∵ P为⊙ O外一点，PA、PB为⊙ O的切 线，A、B为切点，连接PO ∴ PA PB, APO BPO 求证：
作用：证线段相等、角相等
探究二： 思考：连接AB，则AB与PO有怎样的位置关系？ 为什么？ 你还能得出什么结论？
例1：如图，过半径为6cm的⊙O外一点P作圆的 切线PA、PB，点F是劣弧AB上一点，过F作⊙O 切线分别交PA、PB于D、E，连接PO， 若PO＝10cm，求△PED的周长。 A D
C△PED＝２PA
F O B E
P
思考：当切点F在弧AB上运动时，
问△PED的周长、∠DOE的度数是 否发生变化，请说明理由。
P71 “例5”
练习：
P72 “练习” T1
①求AD、BC的长。 ②连接OA，OB，求证：OA⊥OB ③延长DE交CB的延长线于G点，求EG的长
G
F
课堂检测
1、如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O 的切线，A，C为切点，∠BAC=30° 则∠P=_____. 若AB=2，则PA的长为_____.
2.5.3 切线长定理
旧知回顾：
切线的性质：
（1）切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径。
见切线 (知切点）， 连半径，得垂直。
O
A l （2）切线和圆只有一个公共点； （3）切线和圆心的距离等于圆的半径；d=r
探究： 如图，纸上有一⊙O ，过圆外一点P作⊙O 的一条切线PA ，沿着直线PO对折，设圆 上与点A重合的点为B。 A 问题： O 1.OB是⊙O的一条半径吗？
4、如图,四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和 ⊙O分别相切于点L、M、N、P.若四边形ABCD的 周长为20,则AB+CD等于( C ) A.5 B.8 C.10 D.12
切线长定理
O P
C
B
P与AOB互补 P BOC
得想 到一 哪想 些： 互根 补据 或图 相形 等你 的还 角可 ？以
练习二
1.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、
A P
B为切点，AC是⊙O的直径， ∠BAC=25°,则∠P 的度数是____
C
O
B A O
2.如图，PA、PB分别切⊙O于A、 B,∠P =70°,则∠C= ____
M
y
┑ F C N
x y y x 122
DC 2 FC 2 DF 2
Yx
xy 36
36 y x
解:过点D做DF⊥BC于F ∵AM、BN切⊙O于A、B，且AB为直径 ∴AB⊥AM，AB⊥BN ∴AM∥BN，DF∥AB ∴ABFD是矩形 ∴DF=AB=12，BF=AD=x ∴FC=y-x 又∵ DE切⊙O于E ∴DE=AD=x，CE=CB=y ∴DC=x+y 在直角△DFC中，
2
A x
D x E
P B
2.如图所示，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是 切点，A、D是⊙O上两点，• 如果∠E=46°， ∠DCF=32°，求∠A的度数． B A
O E C D F
综合应用
┍ O ┑ B y
2
如图：⊙O的直径AB=12，AM和BN是 它的两条切线，DE切⊙O于E，交AM 于D，交BN于C，设AD=x，BC=y，求y 与x的函数关系式。
解：∵ △ABC的三边分别与⊙O切于点D、E、F
∴ AE=AF CE=CD BD=BF 设AE=x (cm), 则AF=x (cm) CD=CE=AC﹣AE=13﹣x BD=BF=AB﹣AF=9﹣x 由 BD+CD=BC可得
切线长定理
A
O C
B
6． △ABC的内切圆半径为 r ， △ABC的周长为 l ，求△ABC的面积． （提 示：设内心为O，连接OA、OB、OC．） 解：连接OA、OB、OC，则
1 1 S= AB × r + AC × r + 1 BC × rA 2 2 2
= =
1 2 1 2
(AB +AC+BC) × r lr
三角形内切圆的圆心．
（即三角形三条角平分线的交点）
随堂练习
1． 已知⊙O的半径为5cm，点O到直线a的距 离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是________; 相交 直线a与⊙O的公共点个数是_______ 两个 ．
2． 已知⊙O的直径是11cm，点O到直线a的距 离是5.5cm，则⊙O与直线a的位置关系是 ______， 直线 a与⊙O的公共点个数是_______．一个 相切
3． 已知⊙O的直径为10cm，点O到直线a的 相离 距离为7cm，则⊙O与直线a的位置关系是 _______; 直线a与⊙O的公共点个数是____ 零 ．
4． 直线m上一点A到圆心O的距离等于⊙O的 相切或相交． 半径，则直线m与⊙O的位置关系是____________
5． △ABC中，∠ ABC=50°∠ACB= 75 °，点O是⊙O的内心，求∠ BOC的度数． 解：∵点O是⊙O的内心 ∴∠OBC=1/2∠ABC=25° ∠OCB=1/2∠ACB=37.5° ∴∠BOC=180°－25°－37.5° =117角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆． 三角形的内心 三角形内切圆的圆心． （即三角形三条角平分线的交点） O B A
C
定理证明
求证：三角形三条角平分线的交点是内切圆的 圆心． A D F O B E C
切线长定理公式及证明
切线长定理公式及证明一、引言在数学中，切线是曲线上的一条特殊直线，它与曲线仅在一个点相切。
切线长定理是描述切线与半径的关系的重要定理，它可以帮助我们计算切线的长度。
本文将介绍切线长定理的公式及其证明过程。
二、切线长定理公式设直径为d的圆上的一条切线与半径的交点距离圆心的距离为x，则切线的长度L可以由以下公式表示：L = 2√(xd)三、切线长定理的证明为了证明切线长定理，我们首先需要了解一些基本的几何概念和性质。
1. 切线的定义与性质：在圆上的一点的切线是与该点相切且仅与该点相切的直线。
切线与半径垂直。
2. 平行四边形的性质：对于平行四边形，对角线互相平分。
现在开始证明切线长定理。
证明：设O为圆心，A为圆上的一点，C为切点，OB为半径，CD为切线。
由于切线与半径垂直，所以∠CDO为直角。
由平行四边形的性质可知，OD平分BC，即BO=OC。
设切点到圆心的距离为x，则BD=2x。
根据勾股定理，可以得到：BC^2 = BO^2 + OC^2(2x)^2 = x^2 + d^24x^2 = x^2 + d^23x^2 = d^2x^2 = d^2/3x = √(d^2/3)x = d/√3再根据切线长公式可以得到：L = 2√(xd)L = 2√(d * d/√3)L = 2√(d^2/√3)L = 2 * d/√3L = (2√3/3) * d切线长定理得到证明。
四、应用举例切线长定理在几何问题的解决中有很多应用，我们来看一个例子。
例：已知圆的直径为10 cm，求切线的长度。
解：根据切线长定理，可以直接套用公式，得到：L = (2√3/3) * dL = (2√3/3) * 10L ≈ 11.54 cm所以，切线的长度约为11.54 cm。
五、总结切线长定理是描述切线与半径的关系的重要定理，它可以帮助我们计算切线的长度。
通过证明过程，我们可以看到切线长定理的推导过程是基于几何性质和勾股定理的。
切线长定理在解决几何问题中有广泛的应用，可以帮助我们快速计算切线的长度。
切线长定理
A
PA = PB
反思：切线长定理为证明线段相等提 供了 新的方法
·A O·
B
切线长定理 过 圆外一点作圆的 两条切线长相等
·P
已知：如图，P为⊙ O外一点，PA、PB为 ⊙ O的切线，A、B为切点，连结PO
求证： PAPB
1、判断
练习
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。
导学卷54页 当堂达标4 课后提高1、2、3题
作业： 课时练55--56页1、4、6--12题
结语
谢谢大家！
。
O
P
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
B
切线长定理为证明 线段相等，角相等，弧 相等，垂直关系提供了 理论依据。必须掌握并 能灵活应用。
例2 如图，已知：在△ABC中，∠B＝90°，O是 AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交AB
于点E，切AC于点D。求证：DE∥OC C
B
PA = PB
。
P
O
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
试用文字语言 叙述你所发现 的结论
∴ PA = PB
二、切线长定理 过圆外一点作圆的两条切线 长相等
B
。
P
O
几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B
O
A
B
C
小 结：
1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切 线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
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切线长定理
教学目标
1．理解切线长的概念，掌握切线长定理；
2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．
3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度．
教学重点:
切线长定理是教学重点
教学难点:
切线长定理的灵活运用是教学难点
教学过程设计:
（一）观察、猜想、证明，形成定理
1、切线长的概念．
如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长．
引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
2、观察
利用电脑变动点P 的位置，观察图形的特征和各量之间的关系．
3、猜想
引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB．PA＝PB．
4、证明猜想，形成定理．
猜想是否正确。
需要证明．
组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB，要证明PA＝PB．
想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？
∠OPA＝∠OPB(如图)等．
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
5、归纳：
把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质
6、切线长定理的基本图形研究
如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．直线OP交⊙O于点D，E，交AP 于C
(1)写出图中所有的垂直关系；
(2)写出图中所有的全等三角形；
(3)写出图中所有的相似三角形；
(4)写出图中所有的等腰三角形．
说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础．（二）应用、归纳、反思
例1、已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，
A和B是切点，BC是直径．
求证：AC∥OP．
分析：从条件想，由P是⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A，B是切点可得PA ＝PB，∠APO＝∠BPO，又由条件BC是直径，可得OB＝OC，由此联想到与直径有关的定理“垂径定理”和“直径所对的圆周角是直角”等．于是想到可能作辅助线AB.
从结论想，要证AC∥OP，如果连结AB交OP于O，转化为证CA⊥AB，OP ⊥AB，或从OD为△ABC的中位线来考虑．也可考虑通过平行线的判定定理来证，可获得多种证法．
证法一．如图．连结AB．
PA，PB分别切⊙O于A，B
∴PA＝PB∠APO＝∠BPO
∴OP ⊥AB
又∵BC为⊙O直径
∴AC⊥AB
∴AC∥OP (学生板书)
证法二．连结AB，交OP于D PA，PB分别切⊙O于A、B ∴PA＝PB∠APO＝∠BPO ∴AD＝BD
又∵BO=DO
∴OD是△ABC的中位线∴AC∥OP。