高职二项式定理-课件(最优质)
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中职数学拓展模块课件-二项式定理
解 (1) 因为
所以
= (2) 在二项式定理中，令a=1，b=x，可得
.
a b 7 =C07a7 C17a6b C72a5b2 C37a4b3 C74a3b4 +C57a2b5 +C67ab6 +C77b7
8.3.1 二项式定理
例2
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
可以看出二项式系数具有如下性质：
(1)每一行的两端都是1，其余的每一个数都等于它“肩上”两 个数
的和，事实上，假设表中任一不为1 的数为 可知：
.
(2)每一行中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，
8.3.2
二项式系数的性质
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
某代表队参加校内拔河比賽，需要与其他7个代表 队各赛一场.不难发现，比赛结果可分为8类：赢0场，赢 1场，…，赢7场. 而赢0场有1(记作 )种情况，赢1场 有 种情况 (即在7场中赢1场)，赢2场有 种情况，… 赢7场有 种情况．那么，该班比赛7场，比赛结果共有 多少种？
这一性质可以直接由 8.2节组合数的性质 1 得到：
.
(3)如果二项式(a+b)n的幂指数n是偶数，那么它的展开式正中间一
项的二项式系数最大；如果二项式(a+b)n的幂指数n是奇数，那么它的
展开式中间两项的二项式系数最大并且相等.
(4) (a+b)n的展开式的各个二项式系数之和为 . 根据二项式定理，
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
所以
= (2) 在二项式定理中，令a=1，b=x，可得
.
a b 7 =C07a7 C17a6b C72a5b2 C37a4b3 C74a3b4 +C57a2b5 +C67ab6 +C77b7
8.3.1 二项式定理
例2
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
可以看出二项式系数具有如下性质：
(1)每一行的两端都是1，其余的每一个数都等于它“肩上”两 个数
的和，事实上，假设表中任一不为1 的数为 可知：
.
(2)每一行中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，
8.3.2
二项式系数的性质
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
某代表队参加校内拔河比賽，需要与其他7个代表 队各赛一场.不难发现，比赛结果可分为8类：赢0场，赢 1场，…，赢7场. 而赢0场有1(记作 )种情况，赢1场 有 种情况 (即在7场中赢1场)，赢2场有 种情况，… 赢7场有 种情况．那么，该班比赛7场，比赛结果共有 多少种？
这一性质可以直接由 8.2节组合数的性质 1 得到：
.
(3)如果二项式(a+b)n的幂指数n是偶数，那么它的展开式正中间一
项的二项式系数最大；如果二项式(a+b)n的幂指数n是奇数，那么它的
展开式中间两项的二项式系数最大并且相等.
(4) (a+b)n的展开式的各个二项式系数之和为 . 根据二项式定理，
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
人教版高中数学《二项式定理》教学课件(全国一等奖)
所以
x3
的系数是
(
1)3
C
3 9
84
．
回顾总结
二项式定理，通项，二项式系数；
由特殊到一般；观察、归纳、类比、 猜想、证明．
课下作业
一、P36: 1~3
二、1.求 ( x 3 )12 的展开式的中间一项； 3x
2.求 (1
1 )10 2x
展开式中含1 x5ຫໍສະໝຸດ 的项的系数．思维延伸：
探究 (a b c)5 的展开式中 a2b2c 的系数．
ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab ab ab ab ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab ab ab ab ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)4
(a b)(a b)(a b)(a b)
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)(a b)
a2 ab ba b2 1个a2 2个ab 1个b2
展开式的每一项都是从 这两个因式中各取一个 字母相乘得到．
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)展开式的每一项都是从
艾萨克·牛顿 Isaac Newton (1643—1727) 英国科学 家．他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一．他不仅是一 位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家．
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
高教版中职数学基础模块《二项式定理》总复习课件
B. 10
C. 11
5.(x+1)10的展开式中系数最大的项是(
A. 第5项
B. 第6项
D. 12
)
C. 第4项或第5项
D.第5 项或第6项
6.在(x+ )n的展开式中，只有第6项的系数最大，则展开式的常数项是(
A. 120
B. 210
C. 252
D. 45
)
一课一案 高效复习
【例5】(1)在(1+x)n的二项展开式中，若所有项的系数之和为 64，则第3项是( C
是所有项的系数和.
一课一案 高效复习
【举一反三】
7.(x-y)8展开式的所有项的二项式系数之和等于___________；
8.(3x+ ) n的二项展开式的系数和为64，则n=_______；
9.(x-2)9的展开式中，第4项为________，第4项的二项式系数为______，第4项的系
数为__________.
A. 20
B. -20
【解析】二项式( -
C. 15
D. -15
n
) 的展开式中，中间项的二项式系数最大，因此展开式
有7项，n=6，写出二项展开式的通项公式即可求解.
(2)己知(a+b)n展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则展开式共有( C )
A. 9项
B. 10项
C. 10
D. 6
6-mx-m= x6-2m，
【解析】设第m+1项为常数项，则Tm+1 =
x
令6-2m=0，解得m=3，常数项为 =20.
一课一案 高效复习
第十章 第三节 二项式定理 课件(共47张PPT)
赋值法求系数和的应用技巧 (1)“赋值法”对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展 开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对形如(ax＋by)n(a， b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可． (2)若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)， 偶次项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋2f（－1） ，奇次项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－2f（－1） .令 x＝0，可得 a0＝f(0).
令
x＝1
代入2x－
1 x
6
＝1；
故所有项的系数之和为 1；故选 AC.]
求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量 (常数项、参数值、特定项等)的步骤
(1)利用二项式定理写出二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Crn an－rbr，常把字 母和系数分离开来(注意符号不要出错)；
(2)根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整 数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出 r；
故选 B.]
3．(x＋1x －2)6(x>0)的展开式中含 x3 项的系数为________．
解析：
法一：因为(x＋1x －2)6＝(
x
－
1 x
)12，所以其展开式的通项公
式为 Tr＋1＝C1r2 (
x
)12－r(－
1 x
)r＝Cr12
(－1)r(
x )12－2r＝Cr12 (－1)rx6－r，由 6
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)Ckn an－kbk 是二项展开式的第 k 项．( ) (2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a＋b)n 的展开式中，每一项的二项式系数与 a，b 无关．( ) (4)(a＋b)n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．( ) 答案： (1)× (2)× (3)√ (4)√
高职二项式定理-课件(最优质)
.
二项式定理的应用：
例3、求（x+a)12的展开式中的倒数第4项
解:
(x a)12的展开式有13项,倒数第4项是它的第10项.
T91 C192 x129a9 220x3a9.
课堂练习
1.求（2x 3y）6的展开式的第三项
T3 T21 C622x623y2 2160x4 y2
的展开式通项1注意二项式定理中二项展开式的特征2区别二项式系数项的系数3掌握用通项公式求二项式系数项的系数及项104二项式定理习题104的展开式中若常数项存在则n的最小值
二项式定理
（ a b ) n ?
问题:
(1)今天是星期一，那么7天后的这
一天是星期几呢?
（星期一）
(2)如果是15天后的这一天呢？
尝试二项式定理的发现:
（a b)1 a b
（a b)2 a2 2ab b2 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
（ a b)4 a4 a3b a2b2 ab3 b4
（ a b )n a n an-1b an-2b2 abn-1 bn
问题探究:
今天是星期一，那么 8100 天后
的这一天是星期几？
8100 （7 1）100
C10007100 C1100799 C1r007100r
C1909071
C1 00 100
（7 C100
079
9
C99 10
0）
1
余数是1，所以这一天是星期二
小结：
T21 C（52 2x)2 40x2
（2）.第3项的二项式系数是 10
二项式定理-PPT课件
1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理
1
问题提出
1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等 于什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
2
问题提出
2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3， (a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上统 称为二项式，其一般形式为(a＋b)n
7
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a b)n
Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2
C
n n
1abn
1
C nnb n
如何证明这个猜想？
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
形成结论
(a b)n Cn0an Cn1an 1b
Cnkan kbk
C nnb n
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，2，
…，n)叫做二项式系数.
10
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次
数为n且按降幂排列；字母b的最高
次数为n且按升幂排列；各项中a与
b的指数幂之和都是n；各项的二项
式系数依次为 b无关.
C
n0,C
n1,C
n2,
13
问题探究
在(a＋b)n的二项展开式中，
Tk 1 Cnkan kbk 叫做二项展开式的通
项，那么(a－b)n的二项展开式的通项
是什么？
Tk 1 ( 1)kCnkan kbk
14
问题探究
(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什 么？
1
问题提出
1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等 于什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
2
问题提出
2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3， (a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上统 称为二项式，其一般形式为(a＋b)n
7
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a b)n
Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2
C
n n
1abn
1
C nnb n
如何证明这个猜想？
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
形成结论
(a b)n Cn0an Cn1an 1b
Cnkan kbk
C nnb n
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，2，
…，n)叫做二项式系数.
10
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次
数为n且按降幂排列；字母b的最高
次数为n且按升幂排列；各项中a与
b的指数幂之和都是n；各项的二项
式系数依次为 b无关.
C
n0,C
n1,C
n2,
13
问题探究
在(a＋b)n的二项展开式中，
Tk 1 Cnkan kbk 叫做二项展开式的通
项，那么(a－b)n的二项展开式的通项
是什么？
Tk 1 ( 1)kCnkan kbk
14
问题探究
(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什 么？
1.3.1二项式定理PPT优秀课件
二项式定理: 一般地，对于n N*有
(ab )nC n 0 a n C n 1 a n 1 b C n ka n kb k C n n b n
可用数学归纳法证明
基础训练：展开(p+q)7 解: (pq)7C7 0p7C1 7p6qC7 2p5q2C3 7p4q3 C7 4p3q4C5 7q2q5C7 6pq6C7 7q7
a 3 3 a 2 b 3 a2 bb 3
(a b)4 ？ (ab)100？ (a b)n ？
(n N )
(a＋b)2 ＝ ( a ＋ b ) ( a ＋ b )＝C02 a2＋C12 ab ＋C22 b2
选b
＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)3＝( a＋b )( a＋b )( a＋b )
变式训练：若 求 （ 1 2 x ) 5 的 展 开 式 呢 ？
解: ( 1 2 x ) 5 C 5 0 ( 2 x ) 0 C 1 5 ( - 2 x ) 1 C 2 5 ( 2 x ) 2
C 3 5 ( 23 x C 5 ) 4 ( 24 x C ) 5 5 ( 25 x
＝C0n an＋ C1nan-1b＋ C2nan-2b2＋ C3nan-3b3＋…＋Cknan-kbk＋…＋ Cnn bn
二项式定理: 一般地，对于n N*有
(ab )nC n 0 a n C n 1 a n 1 b C n ka n kb k C n n b n
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式
组合数公式：C n mA A n m m mn(nm 1 ()m (n 1 )2 ()m (2 n )m 11 )
引入：
（a b)2 a22abb2
《二项式定理》(共17张)-完整版PPT课件全文
展开式的第3项是240x
例1.(2)求(2 x 1 )6的展开式 x
对于例1（2）中，请思考： ①展开式中的第3项的系数为多少？ ②展开式中的第3项的二项式系数为多少？ ③你能直接求展开式的第3项吗？
④你能直接求展开式中 x 2的系数吗？
解：④ Tk1 C6k (2
x)6k ( 1 )k x
(1)k 26k C6k x3k
N*)
①项数： 展开式共有n＋1项.
②次数： 各项的次数均为n
字母a的次数按降幂排列，由n递减到0 , 字母b的次数按升幂排列，由0递增到n .
③二项式系数: Cnk (k 0,1,2,, n)
④二项展开式的通项: Tk1 Cnk ankbk
典例剖析
例1.(1)求(1 1 )4的展开式； x
(2)求(2 x 1 )6的展开式. x
N
*
)
(1)二项式系数： Cnk (k 0,1,2,, n)
(2)二项展开式的通项：Tk1 Cnk ankbk
思想方法：
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 类比、等价转换的思想.
巩固型作业： 课本36页习题1.3A组第2，4题
思维拓展型作业
二项式系数Cn0 , Cn1,, Cnk ,, Cnn有何性质?
1) x
C62 (2
x )4 (
1 x
)2
C63
(2
x )3 (
1 x
)3
C64
(2
x )2 (
1 )4 x
C65 (2
x )(
1 x
)5
C66
(
1 )6 x
64x3
192x2
240x
二项式定理优质课课件
二项式定理的应用
展开多项式
通过二项式定理，我们可以 展开一个多项式，以便进行 进一步的计算和分析。
概率计算
在概率计算中，二项式定理 可以帮助我们计算不同事件 发生的概率，从而解决一些 实际问题。
组合问题
二项式定理在组合问题中有 广泛应用，帮助我们计算排 列组合的可能性。
二项式定理的拓展
1
二项式系数推广
其中，C(n, k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
二项式定理的证明
1 数学归纳法
使用数学归纳法可以证明二项式定理。我们将根据n的值来进行归纳证明该定理。
2 组合数的递推关系
利用组合数的递推关系可以简化二项式定理的证明过程，使其更加清晰和简洁。
3 数学推导与变换
通过数学推导和变换，我们可以将二项式拆分为多个组合数的和，证明定理的成立。
二项式定理优质课课件
让我们深入探索二项式定理，了解它的定义、公式、证明、应用、拓展以及 可能的易错点，并最终总结这一重要的数学概念。
什么是重要的定理， 并在代数、概率和组合等领域有广泛应用。
二项式定理的公式
二项式定理的公式如下所示： (a + b)n = C(n, 0)anb0 + C(n, 1)an-1b1 + ... + C(n, n-1)a1bn-1 + C(n, n)a0bn
2
二项式系数推广了二项式定理中的组 合数，使其适用于更广泛的数学问题。
3
多项式定理
多项式定理是二项式定理的推广，用 于展开多项式的幂。
二项式定理在实际中的变形
二项式定理在实际问题中可能出现一 些变形和扩展，需要根据具体情况进 行调整和应用。
二项式定理的易错点
【优质课件】高教版中职数学拓展模块3.2二项式定理1优秀课件.ppt
趣 导 入
情况有
C
3 4
种，所以
a
b3的系数是C34；恰有4个取b的情况有
C
4 4
种，
所以 b4的系数是C44．
因此
（a b)4 C04a4 C14a3b C24a2b2 C34ab3 C44b4．
利用这种方法可以得到二项式定理：
设a , b是任意实数，n是任意给定的正整数，则
巩 固
Tm1 C9m x9m (2)二 系m 数项C是式9m 指系(1数x)6m的是2C系m39数x9C8m439；(而2第)3 =4项-6的72．
知
由9－m=6,得m＝3．
识
即二项展开式中含 x 6的项为第4项．
典
故这一项的系数是
型 例
C39
(1)3
23
987 3 21
知 识
略．
强
2．求 (a 3b)7 的展开式的第4项及含有 a2b5的项．
化
练 习
T4 945a4b3；T6 5103a2b5．
二项式定理的内容是什么？
理
论
(a b)n C0nan C1nan1b Cmn a b求(x 2 y)10 的展开式中二项式系数最大的项．并指出这项的
动 脑
(a b)n C0nan C1nan1b Cmn a b nm m Cnnbn 公式右边的多项式叫(a b)n的二项展开式，共有n+1项，其中
思 每一项的系数 Cmn（m=0，1，2…n）叫该项的二项式系数，第m+1项
考 Cmn anmbm叫做二项式的通项．记作 Tm1，由公式可以看出，二项展开
索
职中二项式定理ppt课件
二项式定理的应用场景
总结词
二项式定理在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用。
详细描述
在数学中，二项式定理常用于解决一些代数问题，如因式分解、求根公式等。在物理中，二项式定理可以用于计 算一些物理量的近似值，如光的波长、电子的能量等。在工程中，二项式定理可以用于解决一些优化问题，如线 性规划、组合优化等。
03
二项式定理的扩展与推广
二项式定理的扩展形式
二项式定理的通项公式
通过组合数和幂运算，推导出二项式定理的通项公式，用于 计算特定项的值。
二项式定理的推广
将二项式定理的适用范围从两项扩展到多项，并推导出相应 的展开式。
二项式定理的几何意义
二项式定理与几何图形的关系
通过图形解释二项式定理的原理，如利用三角形和组合数的关系解释二项式系 数。
习题二及答案
习题二
$(a+b+c)^2$的展开式中，$a^2$的 系数是多少？
答案
根据二项式定理，$(a+b+c)^2$的展 开式中$a^2$的系数是 $C_2^1b^1c^0+C_2^0b^0c^2=2 c+2b$。
习题三及答案
习题三
$(a+b)^5$的展开式中，常数项是多少？
答案
根据二项式定理，$(a+b)^5$的展开式中常 数项是$C_5^4a^1b^4=5b定理简介 • 二项式定理的公式与证明 • 二项式定理的扩展与推广 • 二项式定理的实际应用 • 习题与解答
01
二项式定理简介
二项式定理的定义
总结词
二项式定理是数学中的一个基本定理 ，它描述了两个数的乘积的展开式的 特定规律。
详细描述
二项式定理指出，对于任何两个数a和 b（其中b不为0），它们的乘积可以 展开为(a+b)，(a+b)^2，(a+b)^3等 幂次的各项，这些项的系数遵循特定 的规律。
2022-2023学年高二上学期中职数学高教版(二项式定理课件)
例2 (1)求(1+2x)7的展开式的第4项
(2)求 x 1 9的展开式中x3的系数 x
分析: 先求出x3是展开式的哪一项,再求它的系数
2 解： x 1 9的展开式的通项是
Tm1
x C9m
x9m
1 x
m
1 m C9m x92m
由 9-2m =3得：m =3
x3系数是 (-1)3C93=-84
（3） (2a b)5 ；
（4） ( x 2 )4 ． 2x
2．求 (a 3b)7 的展开式的第4项及含有 a2b5的项．
T4 945a4b3；T6 5103a2b5．
二项式定理：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnmanmbm Cnnbn (n N *)
例3 求 x 1 10的二项展开式的常数项
x
解： Tm1 C1m0 (
x )10m ( 1 )m x
C1m0
10m
x2
m 2
C1m0 x5m
由5 m 0得：m 5
常数项为 C150 252
练习
1． 用二项式定理展开下列各式：
（1） (1 x)8 ；
（2） (x 1)6 ； x
(a b)10 ?
(a b)n ?
……
探究1 推导 (a b)4的展开式.
学习视频
探究2 仿照上述过程,推导 (a b)的3 展开式.
(a
b)2
C
0 2
a
2
C
1 2
ab C22b2
(a b)3
C30a3
C
1 3
a
2b
C
2 3
ab2
C33 b3
(a
中职教育数学《二项式定理》课件
二项式定理，又称牛顿二项式定理， 由艾萨克·牛顿于1664-1665年间提 出．
二项式定理在组合理论、开高次方、 高阶等差数列求和，以及差分法中 都有广泛的应用．
定理应用， 初步体验 例1 写出a b5的展开式
1. 写出x 15的展开式 2. 写出a b4的展开式 3. x 26的展开式中，第 5项为多少？
杨辉，南宋时期杰 出的数学家和数学 教育家
问题1：有2个口袋，每个口袋都同样装有a,b两 个小球，现依次从这2个口袋中各取出一个小球， 共有多少种不同的取法？
列举法：aa，ab，ba，bb
共4种.
分类计数原理：由于b选定后,a也随之确定，因此：
第一类，两次都不取b（即两次都取a），有
C20 1种取法， 第二类，任一次取b（即另一次取a），有
(2) 求二项展开式的第几项及其系数、二项式系数。
(3) 求二项展开式中含x的几次方的项的问题。
利用通项
1、巩固型作业： 课本36页 习题1.3 A组 1、3、4（1）（2）5
2、思维拓展型作业：（查阅相关资料）
（1）查阅有关杨辉一生的主要成就。
（2）探究二项式系数
Cn0，Cn1，Cn2 ，，Cnn 有何性质.
课堂小结
1.二项式定理：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn
(1)二项式系数： Cnk , (k 0,1,2,3n)
(2)二项展开式的通项： Tk 1 Cnk ankbk
2．典型例题
方法
(1) 求形如 (a 的b)展n 开式问题。
直接利用二项式定理
C21 2种取法；
第三类，两次都取b（即两次都不取a），有
C21 1种取法。
1.5二项式定理PPT优秀课件
2）注意区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为 C
r n
；
项的系数为：二项式系数与数字系数的积
3）求二项式系数或项的系数的一种方法是将
二项式展开
例3、求（x+a)12的展开式中的倒数第4项
解: ( x a ) 1 2 的 展 开 式 有 1 3 项 , 倒 数 第 4 项 是 它 的 第 1 0 项 . T 9 1C 1 9 2x1 2 9a 92 2 0x3a 9.
例 4 、 ( 1 ) 求 （ 1 + 2 x ) 7 的 展 开 式 的 第 4 项 的 系 数
( 2 ) 求 （ x 1 )9 的 展 开 式 中 x 3 的 系 数 和 中 间 项 x
解: ( 1 ) T 3 1 C 7 3 1 7 3 ( 2 x ) 3 2 8 0 x 3 第四项系数为280.
第= 6 三C 4 6 项4 x (3 2 的x 二)1 2项9 2 式C x 6 5 系(2 2 数 x为)2 4 CC 0 626 6 x ] 11 56 0 6 x 0 1 x 2 2 x 1 3 第六项的系数为 C652(1)512
注：1）注意对二项式定理的灵活应用
由 9 (2 2 r )T r 3 1, 得 C r 9 rx = 9 3 r . (故 1 x x )3 的 r 系 ( 数 1 )r为 C 9 r( x- 9 1 2r) .3 C 9 3 8 4 .
中 间 一 项 是 第 5 项 ,T 4 1 C 8 4 x 8 4 ( 1 x)4 7 0 .
Cnr an-rbr：二项展开式的通项，记作Tr+1 Cnr ： 二项式系数
注1）．二项展开式共有n+1项 2）．各项中a的指数从n起依次减小1，到0为此
二项式定理 优秀课件
项的系数：二项式系数与数字系数的积.
(a b)n
C?n0a n
Cn1an1(b)
C
k n
a
nk
(b)n
(1 x)n ?Cn0 Cn1 x Cnk xk Cnn xn
此时，二项式系数就等于项的系数！！
(a b)n
C
1 4
a
3b
C42a 2b2
C
3 4
ab3
C
4 4
b
4
(a b)n ?
没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。 ------牛顿
探究3：请分析 (a b)n 的展开过程，证明猜想.
(a b)n (a b)(ab)(ab)
n
①项： a n a n1b L a nkbk L bn
……
(a b)100 ? (a b)n ?
此法 有困难
多项式乘法的再认识
➢问题1: (a1 b1)(a2 b2 ) 的展开式是什么？ 展开式有几项？每一项是怎样构成的？
➢问题2: (a1 b1)(a2 b2 )(a3 b3 ) 展开式中 每一项是怎样构成的？展开式有几项？
C n0a n
Cn1an1b
C
k n
a
nk
bk
Cnnbn(n
N*)
Tk1 Cnkankbk
例1：展开(x 2)5 .
解：(x 2)5 C50x5 20 C51x4 21 C52x3 22
C53x2 23 C54 x124 C55x0 25
②系数：Cn0 Cn1 Cnk Cnn
(a b)n
C?n0a n
Cn1an1(b)
C
k n
a
nk
(b)n
(1 x)n ?Cn0 Cn1 x Cnk xk Cnn xn
此时，二项式系数就等于项的系数！！
(a b)n
C
1 4
a
3b
C42a 2b2
C
3 4
ab3
C
4 4
b
4
(a b)n ?
没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。 ------牛顿
探究3：请分析 (a b)n 的展开过程，证明猜想.
(a b)n (a b)(ab)(ab)
n
①项： a n a n1b L a nkbk L bn
……
(a b)100 ? (a b)n ?
此法 有困难
多项式乘法的再认识
➢问题1: (a1 b1)(a2 b2 ) 的展开式是什么？ 展开式有几项？每一项是怎样构成的？
➢问题2: (a1 b1)(a2 b2 )(a3 b3 ) 展开式中 每一项是怎样构成的？展开式有几项？
C n0a n
Cn1an1b
C
k n
a
nk
bk
Cnnbn(n
N*)
Tk1 Cnkankbk
例1：展开(x 2)5 .
解：(x 2)5 C50x5 20 C51x4 21 C52x3 22
C53x2 23 C54 x124 C55x0 25
②系数：Cn0 Cn1 Cnk Cnn
语文版中职数学拓展模块3.2《二项式定理》ppt课件2
x
的展开式
两题展开式中各项的系数，二项式系数 分别是什么？
二项展开式中每一项的系数与二项式系数相等吗？
题型一. 通项的应用
Tk 1
C
k n
a
nk
b
k
6
例1.求
2
x
1
x
的展开式的第3项和第5项，
并说出它们的系数和二项式系数
变式：在 2
x
1
6
的展
开式中
x
①是否存在常数项和一次项？
二项式定理
b b
a a
(a b)2 a2 2ab b2
公元1世纪 其中提及：
(a b)2 a2 2ab b2
《九章算术》
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
(a b)n ?
二项式定理所研究的内容
探究 (a b)n 的展开式
(a＋b)2 ＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
a2b:相当于有一个括号中取b的情况有
C
1 3
种，
所以a2b的系数是
C
1 3
;
同理，ab2 有
C
2 3
个；
b3
有
C33
个；
(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
展开式应有下面形式的各项：
a4， a3b， a2b2， ab3， b4
如何求各项系数？
你能写出 1 )5 展开式中常数项为－40，则 a=
x
x
题型三. 三项变两项
语文版中职数学拓展模块3.2《二项式定理》ppt课件1
1 7 21 35 35 21 7 1
问题探究
对给定的正整数n，设函数
当f (nr＝) 6=时C，nr函，数r∈f({r0)，的1图，象2，是…什，么n？}，
f(r) 20 15 10 5
O 1234 5 6 r
问题探究
一般地，函数f (r )
=
C
r n
，
r∈{0，1，2，…，n}的图象是什么？
例5 用二项式定理求233除以9的余数.
余数为8
应用举例
例6 求1.028精确到0.001的近似值. 1.028≈1.171
例7 求证：
C
0 n
+
1 2
C
1 n
+
1 3
C
2 n
+
L
+
n
1 +
1
C
n n
=
2n + 1 - 1 n+1
应用举例
例8 设n∈N*，求证：
（1）2n > 2n + 1(n ? 3) ；
•
认真听讲的第一个阶段就是上课时间无条件地“往前看”，上课的时候看书往往很容易开小差。摒除杂念，将视线从摊在眼前的书上移开。老师讲课的时候只看前面，集中注意力听老师嘴里说出来的话，那才是认真听讲的态度。
•
低着头，心情就放松了，但那种放松对学习一点好处也没有，之所以会放松，就是因为觉得即便是自己开小差，老师也不知道。如果你往前看，不时地和老师眼神交会一下，注意力必然会集中起来。和老师眼神交汇的那种紧张感会让你注意力集中，并充
是老师在上课时补充讲解的，如果不听讲很可能就会错过这些重点。
•
所以，上课的时间一定要专注于课堂，决不能打开别的习题集去学习，这样才是高效率的学习，才是提高成绩最快的方法。因此，困难也要先听课，那对你将来的自学一定会很有帮助，哪怕你只是记住了一些经常出现的术语，上课的内容好像马上就忘光
问题探究
对给定的正整数n，设函数
当f (nr＝) 6=时C，nr函，数r∈f({r0)，的1图，象2，是…什，么n？}，
f(r) 20 15 10 5
O 1234 5 6 r
问题探究
一般地，函数f (r )
=
C
r n
，
r∈{0，1，2，…，n}的图象是什么？
例5 用二项式定理求233除以9的余数.
余数为8
应用举例
例6 求1.028精确到0.001的近似值. 1.028≈1.171
例7 求证：
C
0 n
+
1 2
C
1 n
+
1 3
C
2 n
+
L
+
n
1 +
1
C
n n
=
2n + 1 - 1 n+1
应用举例
例8 设n∈N*，求证：
（1）2n > 2n + 1(n ? 3) ；
•
认真听讲的第一个阶段就是上课时间无条件地“往前看”，上课的时候看书往往很容易开小差。摒除杂念，将视线从摊在眼前的书上移开。老师讲课的时候只看前面，集中注意力听老师嘴里说出来的话，那才是认真听讲的态度。
•
低着头，心情就放松了，但那种放松对学习一点好处也没有，之所以会放松，就是因为觉得即便是自己开小差，老师也不知道。如果你往前看，不时地和老师眼神交会一下，注意力必然会集中起来。和老师眼神交汇的那种紧张感会让你注意力集中，并充
是老师在上课时补充讲解的，如果不听讲很可能就会错过这些重点。
•
所以，上课的时间一定要专注于课堂，决不能打开别的习题集去学习，这样才是高效率的学习，才是提高成绩最快的方法。因此，困难也要先听课，那对你将来的自学一定会很有帮助，哪怕你只是记住了一些经常出现的术语，上课的内容好像马上就忘光
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问题探究:
今天是星期一，那么 8100 天后
的这一天是星期几？
8100 （7 1）100
C10007100 C1100799 C1r007100r
C1909071
C1 00 100
（7 C100
079
9
C99 10
0）
1
余数是1，所以这一天是星期二
小结：
(1) (1 1)4 x
(2) (2 x 1 )6 x
解:（1）(1
1)4 x
1
4( 1 ) x
6( 1 )2 x
4( 1 )3 x
(1)4 x
1
4 x
6 x2
4 x3
1 x4
.
(2)
(2
x
1 x
)6
( 2x 1)6 x
1 x3
(2x
1)6
64 x3 192 x2 240 x 160
2.指数规律： （1）各项的次数均为n；即为n次齐次式 （2）a的次数由n逐次降到0， b的次数由0逐次升到n.
对定理的再认识
特别地:
1、把b用-b代替
(a-b)n= Cn0an-Cn1an-1b+ … +(-1)rCnran-rbr + … +(-1)nCnnbn
2、令a=1，b=x
(1 x)n 1 Cn1x Cn2x2 Cnr xr Cnn xn
的展开式中an-rbr的系数是在n个括号中，恰有r个
括号中取b(其余括号中取a)的组合数
C
r n
.那么，
我们能不能写出(a+b)n的展开式？
引出定理，总结特征
（ a b )n Cn0an C1nan1b Crnanrbr Cnnbn
(n N)
二项式定理
的最小值.
课后探究：
1.二项式系数Cn0 , Cn1,Cn2 ,,Cnn有何性质?
2.如何求 1 x 2x2 5展开式中x5项的系数?
求（3y 2x）6的展开式的第三项
T3 T21 C62 3 y 62 2x2 4860y4x2
2.求 x3 2x 7 的展开式的第4项的二
项式系数，并求第4项的系数.
解：展开式的第4项的二项式系数 C73 35
新疆 王新敞
奎屯
第4项的系数 C73 23 280
表示，该项是指展开式的第 r+1 项，展开式共有
_n_+__1_个项.
二项式定理
(a b)n Cn0an C1nan1b Crnanrbr Cnnbn
(n N)
1.项数规律： 展开式共有n+1个项
2.系数规律：
Cn0、Cn1、Cn2、 、Cnn
a3 3a2b 3ab2 b3
(a b)4 ？
(a b)n ？
尝试二项式定理的发现:
（a b)1 a b
（a b)2 a2 2ab b2 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
（ a b)4 a4 a3b a2b2 ab3 b4
(a b)n Cn0an C1nan1b Crnanrbr Cnnbn
(n N)
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式
右边的多项式叫做 (a+b) n的 展开式
，
其中 Crn（r=0,1,2,……,n）叫做 二项式系数 ，
Cnr a b nr r 叫做二项展开式的通项，用 Tr+1
思 考 ：若展开（1 2x)5呢？
（ 1 2x)5 C50(2x)0 C15(-2x)1 C52(2x)2
C35(2x)3 C54(2x)4 C55(2x)5 1-10x 40x2 - 80x3 80x4 32x5 （1 2x)5 1 10x 40x2 80x3 80x4 32x5
尝试二项式定理的应用： 练习：
（1）（.1 2x）5展开式第3项是
T21 C（52 2x)2 40x2
（2）.第3项的二项式系数是 10
(a b)n Cn0an C1nan1b Crnanrbr Cnnbn
例2. 用二项式定理展开下列各式：
（ a b )n a n an-1b an-2b2 abn-1 bn
尝试二项式定理的发现:
（a b)3 (a b)(a b)(a b)
C30a3 C13a2b C32a b2 C33b3
a3 a2b a b2 b3
C
0 3
C13
C 32
C 33
尝试二项式定理的发现:
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2a b n2 2
C C r anrbr n
n bn
n
(n N)
T C (a b)n的展开式通项 r anrbr的特点：
r 1
n
①项数：共n+1项,是关于a与b的齐次多项式
②指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列；
二项式定理
（ a b ) n ?
问题:
(1)今天是星期一，那么7天后的这
一天是星期几呢?
（星期一）
(2)如果是15天后的这一天呢？
（星期二）
(3)如果是 8100 天后的这一天呢？
回顾：
（a b)2 a2 2ab b2
(a b)3 (a b)(a b)(a b) (a b)(a2 ab ba b2 )
尝试二项式定理的应用： 例 1 ： 展开（1 2x)5
（ 1 2x)5 C50(2x)0 C15(2x)1 C52(2x)2
C35(2 x)3 C54(2 x)4 C55(2 x)5 110x 40x 2 80x3 80x4 32x5
尝试二项式定理的应用：
（a b)4 (a b)(a b)(a b（) a b)
C 04 a 4
C14a3b
C 24 a 2 b 2
C34a b3
C
4 4
b
4
a4 a3b a2b2 ab3 b4
C14
C
2 4
C 44
归纳提高 将(a+b)n展开的结果又是怎样呢？ 发现规律： 对于（a+b）n= (a b)(a b) (a b)
b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。
1）注意二项式定理 中二项展开式的特征 2）区别二项式系数，项的系数 3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项
布置作业：
10.4 二项式定理
A . 必做题
习题10.4 T2 、T3 、 T4(1)(2)
B. 选做题
在
(2x3
1 x2
)n
的展开式中，若常数项存在，则n
60 x
12 x2
1 x3
.
二项式定理的应用：
例3、求（x+a)12的展开式中的倒数第4项
解:
(x a)12的展开式有13项,倒数第4项是它的第10项.
T91 C192 x129a9 220x3a9.
课堂练习
1.求（2x 3y）6的展开式的第三项
T3 T21 C622x623y2 2160x4 y2