由函数单调性求参数范围
高中数学破题致胜微方法(函数的单调性)：已知函数在某区间上单调求参数范围
我们学习过用导数讨论函数的单调性，今天我们继续用导数的方法研究含参函数的单调性，并求得参数的取值范围。
先看例题：例：已知函数2()21f x ax x -=-在区间[1,2]上是单调函数，求实数a 的取值范围.注意：用导数的方法讨论，可以避免分类讨论a 是否为0的情况。
规律整理：可导函数f (x )在某区间上单调（1）可以转化为0(0)f x f x '≥'≥（）（）在给定区间上恒成立； （2）给定的区间是原函数单调递增区间（或递减区间）的子区间，利用集合间关系求解练：已知函数f (x )=(x 2+ax －2a 2+3a )e x(x ∈R ),其中a ∈R . 当23a ≠时,若函数f (x )在区间(－ 1 ,1)上是增函数,求a 的取值范围. 解：先对函数求导得：()()22[224]x f x x a x a a e '=+++－ 令()0,2,2f x x a x a '===-解得－或 又因为22 2.3a a a ≠≠,－－所以两根不相等，即()0f x '=有两个不等的实根. 进而按a 的大小，分类讨论：()21,2 2.a a a ><若则－－所以f (x )在(,2),(2,)a a ∞+∞－－－内是增函数，在(2,2)a a －－内是减函数. 因为函数在(－ 1 ,1)上是增函数，所以有2121a a -≥-≤-或 解得：213a ≥>()22,2 2.3a a a <>若则－－所以f (x )在(,2),(2,)a a ∞--+∞－内是增函数，在(2,2)a a --内是减函数. 因为函数在(－ 1 ,1)上是增函数，所以有2121a a -≥-≤-或解得：12.23a ≤< 综上所述，a 的取值范围为122[,)(,1]233a ∈ 总结：1.可导函数中，讨论原函数的单调性等价于讨论导函数的正负，在涉及参数时，要结合二者，利用方程或不等式，求得参数的值或取值范围。
核心考点十二含参函数在区间上具有单调性无单调性或存在单调区间求参数范围
核心考点十二含参函数在区间上具有单调性无单调性或存在单调区间求参数范围含参函数在区间上具有单调性、无单调性或存在单调区间，取决于函数的导数的正负情况。
在本篇文章中，我们将介绍含参函数单调性的概念以及如何判断参数范围。
一、含参函数的单调性含参函数的单调性指的是函数在一些区间上的值的增减趋势。
如果函数在整个区间上都递增或者递减，则称该函数在该区间上是单调的。
对于含参函数f(x)，我们可以通过求导来判断其在区间上是否单调。
如果函数在整个区间上的导数恒大于0，则函数在该区间上递增；如果函数在整个区间上的导数恒小于0，则函数在该区间上递减。
换言之，我们可以通过求解方程f'(x)>0或者f'(x)<0来判断函数的单调性。
其中，f'(x)表示函数f(x)的导数。
二、参数范围的确定确定参数范围的方法主要包括以下步骤：1.根据问题的具体内容，确定需要讨论的函数范围，并确定参数的取值范围。
例如，如果需要讨论函数在区间[a,b]上的单调性，那么参数范围可以通过分析函数在区间的特性来确定。
2.找出函数的导数表达式。
通过计算函数f(x)的导数f'(x)，可以得到函数在区间上的单调性。
如果求导的过程中出现了参数，则需要将参数的取值范围考虑进去。
3.解方程f'(x)>0或者f'(x)<0，得到函数在区间上的单调性，并得到参数的取值范围。
4.根据参数的取值范围进行验证。
将参数取值范围代入原函数带入计算，可以验证所得的结论是否正确。
举例说明：问题：求函数f(x)=ax^2+bx+c在区间[-2, 3]上的单调性。
解答：首先求出函数的导数：f'(x)=2ax+b。
接下来我们需要根据参数a的取值范围来判断函数的单调性。
当a>0时，函数f(x)的导数f'(x)=2ax+b恒大于0，说明函数f(x)在区间[-2, 3]上是递增的。
当a<0时，函数f(x)的导数f'(x)=2ax+b恒小于0，说明函数f(x)在区间[-2, 3]上是递减的。
已知函数单调性求参数取值范围
技法点拨已知函数单调性求参数取值范围■欧阳丽丽摘要：利用导数根据函数单调性（区间）求参数的取值范围，是高考考查函数单调性的一个重要考点，下面将这类问题举例分析。
关键词：导数；单调性；参数取值范围一、转化为不等式的恒成立问题求参数取值范围若函数f (x )在(a ,b )上单调递增，则f′(x )≥0；若函数f (x )在(a ,b )上单调递减，则f′(x )≤0，将问题转化为函数最值问题求解。
一般地，分离变量后，若得到a ≥h (x )，则只需a ≥h (x )max ；若得到a ≤h (x )，则只需a ≤h (x )min 。
注意：f (x )在(a ,b )上为增函数（减函数）的充要条件是对任意的x ∈(a ,b )都有f ′(x )≥0(f′(x )≤0)且在(a ,b )内的任一非空子区间上f′(x )≠0。
例1，已知函数f (x )=ln x -12ax 2-2x (a ≠0)在[1,]4上单调递减，求a 的取值范围。
解：因为f (x )在[1,]4上单调递减，所以当x ∈[1,]4时，f′(x )=1x -ax -2≤0恒成立，即a ≥1x 2-2x 恒成立。
设h (x )=1x2-2x ,x ∈[1,]4所以只要a ≥h (x )max 。
而h′(x )=2(x +1)(x +1)x 4。
当x ∈[1,]4，h′(x )>0，所以h (x )在[1,]4上单调递增。
所以当h (x )max =h (4)=-716，所以a ≥-716，即a 的取值范围是éëêöø÷-716,+∞。
评析：由f (x )在[1,]4上单调递增，得到f′(x )≤0，进而分离参数a ，构造新的函数h (x )，本题转化为求h (x )max 。
例2，已知函数f (x )=ax +1x +2在(-2,+)∞内单调递减，求实数a 的取值范围。
函数单调性
函数的单调性与最值题型1．考查求函数单调性和最值的基本方法．2．利用函数的单调性求单调区间．3．利用函数的单调性求最值和参数的取值范围．1．函数的单调性(1)单调函数的定义设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数.区间D 称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D 称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f(x)的单调区间．2．函数的最值 前提设函数y ＝f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件.①对于任意x ∈I ，都有f(x)≤M ； ①对于任意x ∈I ，都有f(x)≥M ； ②存在x0∈I ，使得f(x0)＝M ②存在x0∈I ，使得f(x0)＝M. 结论M 为最大值 M 为最小值注意事项：1、函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．不能用“∪”连接．2、设任意x1，x2∈[a ，b]且x1＜x2，那么①f x1－f x2x1－x2＞0⇔f(x)在[a ，b]上是增函数；f x1－f x2x1－x2＜0⇔f(x)在[a ，b]上是减函数．②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a ，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a ，b]上是减函数．3、(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．4、涉及函数y=f(x)在某区间是单调函数和函数的单调区间D题型中求参数范围的时候一定要注意其含义是不同的。
【教学随笔】例析与对数函数的单调性有关的参数范围的求法
例析与对数函数的单调性有关的参数范围的求法对数函数的单调性是对数函数的一个重要性质，而求与对数函数的单调性有关的参数范围是一个难点.要正确解答此类题型，主要从下面几点考虑：①抓住函数的定义域，在定义域内进行讨论；②抓住对数函数的底数，由此确定函数的单调性；③注意对数函数真数大于零.下面举例说明.例1已知函数f(x)＝lg(ax －1)－lg(x －1)(a ∈R)，若函数f(x)在[10,＋∞)上单调递增，试求a 的取值范围.解：由已知有10a －1＞0，a ＞110，则 因为f(x)＝lg(ax －1)－lg(x －1)＝lg(a ＋a-1x-1)在[10,＋∞)上单调递增， 当a ＞1时，f(x)在[1，∞)上为减函数，因此，f(x)不可能在[10,＋∞)上单调递增，不满足条件；当110＜a ＜1时，f(x)在[1，∞)上为增函数，因此，f(x)在[10,＋∞)上单调递增，满足条件.综上所述，所求a 的取值范围是110＜a ＜1. 点评：本题利用对数的性质转化为函数f(x)＝lg(a ＋a-1x-1)，对a －1的符号进行讨论，并结合反比例函数的单调性及单调性的复合规律进行求解的.例2已知函数f(x)＝2x ，设f(x)的反函数为f －1(x)，若f －1(x ＋a x–3)在区间[2,＋∞)上单调递增，求正实数a 的范围.解：∵f －1(x)＝log 2x ，∴f －1(x ＋a x –3)＝log 2(x ＋a x–3)， 设g(x)＝x ＋a x –3，由于f －1(x ＋a x –3)在区间[2,＋∞)上单调递增，故g(2)＝2＋a 2–3＞0，即a ＞2，当2≤x 1＜x 2时恒有：g(x 1)－g(x 2)＝(x 1－x 2)·x 1x 2-a x 1x 2＜0成立， ∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞4，x 1x 2－a ＞0恒成立，即a ＜x 1x 2恒成立，∴a ≤4，综上所述，a 的取值范围为2＜a ≤4.点评：本题充分利用函数的单调性的定义，通过分离参数，并将a ＜x 1x 2恒成立转化为a ≤x 1x 2无限趋近的一个常数.例3函数f(x)＝log 9(x ＋8–a x)在[1,＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围. 解：由条件知1＋8–a ＞0，得a ＜9.当0＜a ＜9时，易知函数u ＝x ＋8–a x在(0，＋∞)上单调递增，由此可知函数f(x)＝log 9(x ＋8–a x)在[1,＋∞)上单调递增，满足条件； 当a ＝0时，函数f(x)＝log 9(x ＋8)，易知在[1,＋∞)上单调递增，满足条件；当a ＜0时，函数u ＝x ＋8–a x ＝x ＋－a x＋8在[－a,＋∞)上单调递增，所以－a ≤1，解得a ≥－1.综上所述，所求a 的范围是－1≤a ＜9.点评：本题充分利用函数y ＝x ＋m x 的单调性进行求解的.对于函数y ＝x ＋m x：当m ＞0时，函数的单调递增区间为(－∞，－m)，(m ，＋∞)；当m ＝0时为一次函数；当m ＜0时，函数的递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞).例4是否存在实数a ，使函数f(x)＝log a (ax 2－x)在区间[2,4]上是增函数？如果存在，求出a 的变化范围，如果不存在，请说明理由.解：设g(x)＝ax 2－x ，假设符合条件的a 存在，当a ＞1时，为使函数f(x)＝log a (ax 2－x)在区间[2,4]上是增函数，只需g(x)＝ax 2－x在区间[2,4]上是增函数，故应满足⎩⎪⎨⎪⎧ x=12a ≤2g(2)=4a-2＞0⇒a ＞12，当注意到a ＞1时，即a ＞1； 当0＜a ＜1时，为使函数f(x)＝log a (ax 2－x)在区间[2,4]上是增函数，只需g(x)＝ax 2－x 在区间[2,4]上是减函数，故应满足⎩⎪⎨⎪⎧ x=12a ≥4g(4)=16a-4＞0，此不等式组无解， 综上可知，当a ＞1时，f(x)＝log a (ax 2－x)在区间[2,4]上为增函数.点评：本题充分利用二次函数的对称轴位置及单调区间的端点值的符号进行求解的.。
利用函数的单调性求参数的取值范围(使用)
例1：已知函数f (x) x3 ax2 3x 1在[2,4]上是单调递增函数， 求参数a的取值范围.
解 f '(x) 3x2 2ax 3, x [2,4]
： 则f '(x) 0在[2,4]上恒成立
即3x2 2ax 3 0,恒成立x [2,4]
方法：（分离参数）2ax 3x2 3恒成立
f '(x) ax (2a 1) 2 (ax 1)(x 2)
x
x
(1)当a 0时，f '(x) 2 x x
所以f (x)在（0,2）上递增，在（2， ）上递减。
(2)当a
0时，令f
'(x)
0,
得x1
1 a
0.x2
2
结合二次函数图象知 f (x)在（0,2）上递增；
在（2， ）递减。
(3)当a
即3x2 a 3 0,恒成立x [0,)
方法：（分离参数）
a 3x2 3恒成立
a (3x2 3)min a 3
练习 若函数f (x) x3 ax2 1在（0,2）内单调递减, 2： 求实数a的取值范围.
解析： f '(x) 3x2 2ax, x (0,2)
则f '(x) 0在（0,2）上恒成立
利用函数单调性求参数的 取值范围
复习
1 用导数判断函数单调性法则:
、
如果在(a,b)内，f
(x)＞0，则f
(x)在此区间是增函数；
如果在(a,b)内，f (x)＜0，则f (x)在此区间是减函数。
2、求函数单调区间的一般步骤 是
1、求定义 域2、求导
f'(x) 3、令f'(x)>0,求出增区间，令f'(x)<0, 求出减区间。
专题15 已知函数的单调区间求参数的范围(解析版)
专题15已知函数的单调区间求参数的范一、单选题■1.若函数/（］）=空山在区间（0,工）上单调递增，则实数。
的取值范围是（）cosx 2A.a<-\B.a<2C.a>-\D.a<\【答案】C【分析】利用导函数研究原函数的单调性，利用单调性求解实数。
的取值范围.【详解】解：函数/（1）="*COSXnJ”、cosx>cos x+sinx(sin x+a)则/M=；-----cos^xTT•••X£(0,一)上，2/.cos2x>0.要使函数/(幻=吧*在区间(0,工)上单调递增,cosx 271、、二cos2x+sin2x+asinxN0在x G(0,—)上恒成立,2T[即：asinx+120在x£(0,一)上恒成立，2TT•/xe(0,—)±,2sin XG(0,1)故选：C.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.2.已知函数/a）=Lf+s—a）x+（a-l）lnx,（a>l）,函数y=2用的图象过定点（0,1）,对于任意玉,七£（0,+8）,西>々，有/（%）一/（工2）>工2一不，则实数。
的范围为（）B.2<a<5C.2<a<5D.3<a<5【答案】A【分析】 由图象过定点可得人=0,设/(x)=〃x)+x,结合已知条件可得F(x)在(0,+8)递增，求尸(X )的导数，令g(x)=%2一(〃-1)工+。
一1,由二次函数的性质可得g 【详解】解：因为>=2'+〃的图象过定点(0,1),所以2人=1，解得6=0,所以一方+(。
-1)1仪(。
>1),因为对于任意X]，W^(0,-KO ),X]>x 2,有/(%)一/(无2)>W 一%，则/(%)+%>%+/(七)，设/(%)=f(x)+x ，即F (x)=/(%)+%=—x 2-ar+(^-l)lri¥+x=—x 2-(6f-l)x+(^-l)lri¥,所以F(x)=x-(〃-1)+0「2—令且(1)=工2—(。
二次函数的单调性及求参数的范围 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
问题 1 已知函数 f(x)的单调区间是 M 与函数 f(x) 在区间 N 上单调, 则区间 M, N 有怎样的关系?
问题2 二次函数的单调性与它的什么要素有关系?
二次函数的单调性问题
例1已知函数f (x) kx2 2x 1的减区间是[2, ), 则实数 k 的取值范围是 _______;
对抽象函数单调性的判断和证明, 仍要紧扣定义,
结合题目所给的条件, 经常采用"赋值","拆","凑"项
等方法,寻求比较 f (x2 ) f (x1) 与0的大小,比如 :
x1
( x1
x2 )
x2
或 x1
x1 x2
x2
等.
抽象函数单调性的证明与应用问题
例2已知函数 f (x)对任意 x, y R,总有f (x) f ( y) f (x y), 且当 x 0时, f (x) 0, f (1) 2 .
y (1) 判断并证明函数 f (x)的单调性; (2) 若f (2) 1, 解不等式f (x 3) f ( 1) 2.
x
课后思考
练习2 : 若函数 f (x) x2 a x 2 在(0, )上单调递增,
则实数 a的取值范围是 _[__4_,_0_] .
实数 a的取值范围是.
a 1
练习:函数 f (x) ax 1 在区间(2, )上单调递增, 则 x2
实数 a的取值范围是( B ).
A.(0, 1) B.(1 , ) C.(2, ) D.(, 1) (1, )
2
2
已知函数的单调性求参数的范围问题
例3已知函数 f (x) x3 在区间(, )上是增函数,若 f (2a 5) f (1 a),求实数 a的取值范围.
由函数在区间上的单调性求参数(1)
由函数在区间上的单调性求参数江苏镇江韩雨1.若函数y =x 3+x 2+mx +1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是()A. 13,+∞ B. −∞, 13 C. 13,+∞ D.−∞, 132.若函数f (x )=(x 2+ax +2)e x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是()A.(−∞,−2)∪(2,+∞) B. −∞,−2∪2,+∞C.(−2,2) D.−2,23.已知函数f (x )=x 3−ax 2+ax 是R 上的增函数，则a 的取值范围()A. 0,3 B.(−∞,0)∪(3,+∞)C. 0,3D. −∞,0∪3,+∞4.已知函数f (x )=(2x −1)e x +ax 2−3(x >0)在(0,+∞)上为增函数，则a 的取值范围是()A. −2 e ,+∞ B. − 32 e ,+∞ C. −∞,−2 e D.−∞,− 32e 5.函数f x =log m 4x 2+m x (m >0且m ≠1)在 2,3上单调递增，则实数m 的取值范围为()A. 1,36 B. 36,+∞C. 1,16∪ 36,+∞D.1,166.已知函数f x =2xe x -ax 2-2ax 在 1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是()A. -∞,e B. -∞,1 C. e ,+∞ D.1,+∞7.若函数f x =x 3+ax 2-9x +1在区间 -1,2上是单调函数，则实数a 的取值范围为()A.a ≤3或a ≥- 34 B.a <3或a >- 34 C.-3≤a ≤- 34 D.-3<a <- 348.已知函数f x =ax -ln x 在区间 1,+∞上单调递增，则a 的取值范围是()A.a >1 B.a ≥1 C.a <1 D.a ≤19.若函数f x =x 3+x 2+mx +1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是 ()A. 13,+∞ B. -∞, 13 C. 13,+∞ D.-∞, 1310.若函数y =x 3+x 2+mx +1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是 ()A. 13,+∞ B. -∞, 13 C. 12,+∞ D.-∞, 1211.若函数f x =kx -cos x 在区间 π6, 2π3单调递增,则k 的取值范围是()A. 1,+∞ B. - 12,+∞ C. 1,+∞ D.12,+∞12.函数f x =ax 2+2 a +3x +1在区间 -2,+∞上递增，则实数a 的取值范围是()A. -∞,3B. 0,3C. 0,3D.3,+∞13.若函数f x =ln x +mx + 1x 在 1,+∞上是单调函数，则m 的取值范围是()A. -∞,- 14 ∪0,+∞ B. -∞,0∪14,+∞C. - 14,0 D.-∞,114.如果函数f x =x 3+ax 2+bx +c ， a ,b ,c ∈R 在R 上不单调，则()A.a 2<3b B.a 2≤3b C.a 2>3b D.a 2≥3b15.已知函数f x =3x 3-ax 2+x -5在区间[1,2]上单调递增，则a 的取值范围是()A. -∞，5 B. -∞，5 C. -∞， 374 D.-∞， 37416.若函数f (x )=sin2x +4cos x +ax 在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是()A. -∞,-3 B. -∞,-3 C. −∞,6 D.(−∞,6)17.若f (x )=− 12x 2+b ln (x +2)在(−1,+∞)上是减函数，则实数b 的取值范围是()A. -1,+∞ B. -1,+∞ C. -∞,-1 D.(-∞,-1)18.函数f (x )=x 2+ a x ，若函数f (x )在x ∈ 2,+∞上是单调递增的，则实数a 的取值范围为()A.a <8 B.a ≤16 C.a <-8或a >8 D.a ≤-16或a ≥1619.已知函数f (x )=m ln x +8x -x 2在[1，+∞)上单调递减，则实数m 的取值范围为()A. -∞,-8 B.(-∞,-8) C. −∞,−6 D.(−∞,6)20.已知函数f x =2x 3-3x 2+a 的极大值为6，那么a 的值是()A.0 B.1 C.5 D.621.已知a ≥0，函数f (x )=(x 2-2ax )e x ,若f (x )在[-1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是()A.0<a < 34B. 12<a < 34C.a ≥ 34D.0<a < 1222.若函数f x =kx -ln x 在区间 1,+∞上为单调增函数，则k 的取值范围是______23.已知函数f (x )=e x +x 3,若f (x 2)<f (3x −2)，则实数x 的取值范围是____参考答案1.C2.D3.C4.A5.D6.A7.C8.B9.C10.A11.B12.C13.A14.C15.B16.B17.C18.B19.A20.D21.C22.1,+∞23.(1,2)。
利用函数的单调性求参数的取值范围
利用函数的单调性求参数的取值范围函数的单调性是指在一定范围内，函数的增减性质的统一性。
对于有单调性的函数，可以通过研究函数的导数来判断参数的取值范围。
首先，我们来回顾一下导数的定义和性质。
对于函数f(x)，其导数可以表示为f'(x)，导数表示函数在其中一点的变化率。
导数的正负号可以告诉我们函数的单调性。
1.若在[a,b]上f'(x)≥0，则函数在[a,b]上为单调递增函数。
2.若在[a,b]上f'(x)≤0，则函数在[a,b]上为单调递减函数。
3.若在[a,b]上f'(x)>0，则函数在[a,b]上为严格递增函数。
4.若在[a,b]上f'(x)<0，则函数在[a,b]上为严格递减函数。
步骤1：确定函数的定义域，即参数的取值范围。
步骤2：求出函数的导函数。
步骤3：利用导函数的性质来判断函数的单调性。
步骤4：结合定义域和单调性判断，确定参数的取值范围。
步骤5：验证参数的取值范围是否符合要求。
下面我们通过具体例子来说明求解参数取值范围的方法。
例子：求函数f(x) = ax^2 + bx + c 在定义域上的参数a、b、c的取值范围。
步骤1：确定函数的定义域。
对于二次函数，其定义域是整个实数集R。
步骤2：求出函数的导函数。
对f(x)求导得到f'(x) = 2ax + b。
步骤3：利用f'(x)的性质来判断函数的单调性。
-若2a>0，则函数在整个定义域上递增。
-若2a<0，则函数在整个定义域上递减。
步骤4：结合定义域和单调性判断，确定参数的取值范围。
-若2a>0，则函数在整个定义域上递增，所以a>0。
-若2a<0，则函数在整个定义域上递减，所以a<0。
然后，我们可以根据b和c的取值范围来进一步限定a的取值范围。
当a>0时：根据二次函数的几何性质，对于抛物线开口朝上的情况，函数的最小值出现在顶点处，顶点的x坐标为 -b/2a，对应的y坐标为 c - b^2/4a。
专题06 由函数的单调性求参数的取值范围- 高一数学特色专题训练(解析版)
专题6由函数的单调性求参数的取值范围一、选择题1．【宁夏石嘴山市三中2016-2017学年期末】已知函数(),1{42,12x a x f x a x x >=⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（）A .()1,+∞B .()1,8C .[)4,8D .()4,8【答案】C点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法．2．【广东省仲元中学2016-2017学年期中】()f x 是定义在()2,2-上单调递减的奇函数，当()()2230f a f a -+-<时，a 的取值范围是（）A .()0,4B .50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C .15,22⎛⎫⎪⎝⎭D .51,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由函数是奇函数可得()()223f a f a -<--，即()()223f a f a -<-+；由函数是单调递减函数可得2235{222 122232a a a a a ->-+-<-<⇒<<-<-<，应选答案D 。
3．【山东省临沂市2016-2017学年期末】已知函数()22,1{ 2,1a x f x xx x x +>=-+≤在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A .[)1,-+∞B .()1,-+∞C .[)1,0-D .()1,0-【答案】C【解析】根据题意,函数()22,1{ 2,1a x x xx x x +>=-+≤在R 上单调递增,且f (1)=−(−1)2+2x =1，则有0{21a a <+ ，解可得−1⩽a <0；故选：C .4．【牡丹江市第一高级中学2016-2017学年期末】已知函数在上是减函数，则a的取值范围是（）A .FABEB .(]1,3C .()1,3D .[)3,+∞【答案】B【解析】由已知可得(]1{1,3620a a a >⇒∈-≥，故选B .5．【山西省怀仁县第一中学2016-2017学年期末】已知函数()()21,1{log ,1a a x x f x x x --≤=>，若()f x 在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（）A .()1,2B .()2,3C .(]2,3D .()2,+∞【答案】C【解析】对数函数在x >1时是增函数，所以a >1，又f (x )=(a −2)x −1，x ⩽1是增函数，∴a >2，并且x =1时(a −2)x −1⩽0，即a −3⩽0，所以2<a ⩽3故选C6．【湖南省岳阳县一中2016—2017学期中】已知函数()f x 是R 上的偶函数,它在[)0,+∞上是减函数,若()()ln 1f x f >,则x 的取值范围是()A .()1,1e -B .()()10,1,e -⋃+∞C .()()0,1,e ⋃+∞D .()1,e e -【答案】D【解析】∵函数f (x )是R 上的偶函数，在[0,+∞)上是减函数,f (lnx )>f (1)，∴当lnx >0时,因为f (x )在区间[0,+∞)上是减函数，所以f (lnx )>f (1)等价于lnx <1，解得1<x <e ；当lnx <0时,−lnx >0,结合函数f (x )是定义在R 上的偶函数，得f (lnx )>f (1)等价于f (−lnx )>f (1)，由函数f (x )在区间[0,+∞)上是减函数，得到−lnx <1，即lnx >−1，解得e −1<x <1.当x =1时,lnx =0,f (lnx )>f (1)成立。
利用函数的单调性求参数的取值范围(使用)
例3：设函数f (x) 1 ax2 (2a 1)x 2 ln x.试讨论f (x)的单调区间 2
解：函数的定义域(0,)
f '(x) ax (2a 1) 2 (ax 1)(x 2)
x
x
(1)当a 0时，f '(x) 2 x x
所以f (x)在（0,2）上递增，在（2， ）上递减。
解： f '( x) 3x2 6ax 2a2 , x [0,2]
则f '( x) 0在[0,2]上恒成立
即3x2 6ax 2a2 0恒成立，x [0,2]
即f '( x)min 0, x [0,2]
而f '(x)为二次函数，开口向上， 对称轴为x a
f '( x) 3x2 6ax 2a2 0, x [0,2]
2
(3)当0 a 1 时，f (x)在（0，2）和（1 ,)上为增函数;
2
a
f (x)在（2，1 ）上为减函数。 a
(4)当a 1 时，f (x)在（0，1 ）和（2,)上为增函数;
2
a
f (x)在（1 ，2）上为减函数。 a
练习1：
(2011辽宁理）已知函数f(x)= ln x ax2 （2 a）x,讨论函数f(x)的单调性
例1：已知函数f (x) x3 ax2 3x 1在[2,4]上是单调递增函数， 求参数a的取值范围.
解：
f '(x) 3x2 2ax 3, x [2,4]
则f '(x) 0在[2,4]上恒成立
即3x2 2ax 3 0, 恒成立x [2,4]
方法：（分离参数） 2ax 3x2 3恒成立
已知函数的单调性求参数的范围
已知函数的单调性求参数的范围若函数y =f x 在D 上单调递增，则f x ≥0在D 上恒成立若函数y =f x 在D 上单调递减，则f x ≤0在D 上恒成立 若a ≥g x 恒成立，则a ≥g x max 若a ≤g x 恒成立，则a ≤g x min 1.若函数f x =3a -1 x +1在R 上单调递增，求实数a 的取值范围解：3a -1>0⇒a >132.若函数f x =-x 2+21-m x +3在-3,+∞ 上单调递减，求实数a 的取值范围解：对称轴x =1-m ≤-3⇒m ≥43.若函数f x =2x +a 在3,+∞ 上单调递增，求实数a 的取值范围解：f x =2x +a x ≥-a 2 -2x -a x <-a 2⇒f x 在-∞,-a 2 上单调递减，在-a 2,+∞ 上单调递增所以-a 2≤3⇒a ≥-64.若函数f x =ax +1x +2在-2,+∞ 上单调递增，求实数a 的取值范围解：由f x =a x +2 +1-2a x +2=a +1-2a x +2在-2,+∞ 上递增所以反比例函数y =1-2a t在t ∈0,+∞ 上单调递增所以1-2a<0⇒a>1 25.若函数f x =x2-mx在1,+∞上单调递增，求实数m的取值范围解：函数y=x2-mx的零点为0和m所以m要和0比较大小0和m的中点为m2所以m2要和 1比较大小也即m要和0,2比较大小下面讨论①当m≤0时x≥1⇒f x =x2-mx=x2-mx 又f x 在1,+∞上单调递增所以对称轴x=m2≥1⇒m≥2,这不可能，舍去.②当0<m<2时f x =x2-mx=x2-mx x≥m-x2+mx0<x<m所以f x 在m2,m上递减因为m2<1⇒1,m⊊m2,m所以f x 在1,m上递减，矛盾，舍去③当m≥2时f x =x2-mx=x2-mx x≥m-x2+mx0<x<m所以f x 在m,+∞上递增因为m2≥1⇒1,+∞⊆m,+∞所以f x 在1,+∞ 上单调递增，合题意。
2023年新高考数学一轮复习4-2 应用导数研究函数的单调性(知识点讲解)解析版
专题4.2 应用导数研究函数的单调性（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】考查利用导数求函数的单调区间或讨论函数的单调性以及由函数的单调性求参数范围，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）导数与函数的单调性1.在(,)a b 内可导函数()f x ，'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于0.'()0()f x f x ≥⇔在(,)a b 上为增函数．'()0()f x f x ≤⇔在(,)a b 上为减函数．2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f ′(x)；③由f ′(x)>0（或f ′(x)<0）解出相应的x 的取值范围，当f ′(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f ′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减增函数.特别提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．（二）常用结论1．在某区间内f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．【常考题型剖析】题型一：判断或证明函数的单调性例1.（2017·山东·高考真题（文））若函数()e xf x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是（ ）A ．()2xf x -= B ．()2f x x = C ．()-3xf x = D ．()cos f x x =【答案】A 【解析】 【详解】对于A,令()e 2x x g x -=⋅,11()e (22ln )e 2(1ln )022x x x x xg x ---'=+=+>,则()g x 在R 上单调递增,故()f x 具有M 性质,故选A.例2．（2021·全国·高考真题（文））设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭；（2）1a e >.【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据()10f >及（1）的单调性性可得()min 0f x >，从而可求a 的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+， 又()23(1)()ax ax f x x+-'=，因为0,0a x >>，故230ax +>， 当10x a<<时，()0f x '<；当1x a >时，()0f x '>；所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()2110f a a =++>且()y f x =的图与x 轴没有公共点，所以()y f x =的图象在x 轴的上方，由（1）中函数的单调性可得()min 1133ln 33ln f x f a a a ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭，故33ln 0a +>即1a e>.例3.（2021·全国·高考真题（文））已知函数32()1f x x x ax =-++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标． 【答案】(1)答案见解析；(2) 和()11a ---，. 【解析】 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标. 【详解】(1)由函数的解析式可得：()232f x x x a '=-+，导函数的判别式412a ∆=-，当14120,3a a ∆=-≤≥时，()()0,f x f x '≥在R 上单调递增，当时，的解为：12113113,33a ax x --+-==， 当113,3a x ⎛⎫--∈-∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递增；当113113,33a a x ⎛⎫--+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递减；当113,3a x ⎛⎫+-∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递增；综上可得：当时，在R 上单调递增，当时，在113,3a ⎛⎫---∞ ⎪ ⎪⎝⎭，113,3a⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在⎣⎦上单调递减. (2)由题意可得：()3200001f x x x ax =-++，()200032f x x x a '=-+，则切线方程为：()()()322000000132y x x ax x x a x x --++=-+-，切线过坐标原点，则：()()()32200000001320x x ax x x a x --++=-+-,整理可得：3200210x x --=，即：()()20001210x x x -++=，解得：，则，()0'()11f x f a '==+切线方程为：()1y a x =+, 与联立得321(1)x x ax a x -++=+，化简得3210x x x --+=,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，()1x ∴-是321x x x --+的一个因式，∴该方程可以分解因式为()()2110,x x --=解得121,1x x ==-,()11f a -=--，综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和()11a ---，. 【总结提升】1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的定义域.2.当f (x )含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．讨论的标准有以下几种可能：(1)f ′(x )＝0是否有根；(2)若f ′(x )＝0有根，求出的根是否在定义域内； (3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小． 题型二：求函数的单调区间例4．（2012·辽宁·高考真题（文））函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为（ ） A ．（-1,1] B ．（0,1] C ．[1，+∞） D ．（0，+∞）【答案】B 【解析】 【详解】对函数21ln 2y x x =-求导，得211x y x x x='-=-（x>0）,令210{0x x x -≤>解得(0,1]x ∈，因此函数21ln 2y x x =-的单调减区间为(0,1]，故选B例5.（2016·北京·高考真题（理））设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+， （1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2a =，b e =；（2）()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据题意求出，根据(2)22,(2)1f e f e =+=-'求a,b 的值即可；（Ⅱ）由题意判断的符号，即判断1()1x g x x e -=-+的单调性，知g(x)>0，即>0，由此求得f(x)的单调区间.试题解析：（Ⅰ）因为()a x f x xe bx -=+，所以()(1)a x f x x e b -=-+'. 依题设，(2)22,{(2)1,f e f e =+=-'即222222,{1,a a eb e e b e --+=+-+=- 解得2,e a b ==.（Ⅱ）由（Ⅰ）知2()x f x xe ex -=+. 由21()(1)x x f x e x e --=-+'及20x e ->知，与11x x e --+同号.令1()1x g x x e -=-+，则1()1x g x e -=-+'. 所以，当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增. 故是在区间上的最小值，从而.综上可知，，.故的单调递增区间为.【总结提升】1.利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求出单调区间．(2)当方程f ′(x )＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f ′(x )的符号，从而确定单调区间．(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f ′(x )结构特征，利用图象与性质确定f ′(x )的符号，从而确定单调区间．温馨提醒：所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．2.解决含参数的函数的单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点． 题型三： 利用函数的单调性解不等式例6．（2015·全国·高考真题（理））设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞【答案】A 【解析】 【详解】构造新函数()()f xg x x=,()()()2'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =.所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >，又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造()()f xg x x=.一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()x g x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()xf xg x e =，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2x g x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()2xf xg x e =，等便于给出导数时联想构造函数.例7．（2017·江苏·高考真题）已知函数()3x x 1f x =x 2x+e -e-，其中e 是自然数对数的底数，若()()2f a-1+f 2a 0≤，则实数a 的取值范围是_________．【答案】1[1,]2-【解析】 【详解】因为31()2e ()ex x f x x x f x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数，因为22()32e e 320x x f 'x x x -=-++≥-+，所以数()f x 在R 上单调递增，又2(1)(2)0f a f a -+≤，即2(2)(1)f a f a ≤-，所以221a a ≤-，即2210a a +-≤， 解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-． 【总结提升】比较大小或解不等式的思路方法(1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数．(2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系．题型四：利用函数的单调性比较大小 例8.（2022·全国·高考真题（理））已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（ ） A ．c b a >> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】A 【解析】 【分析】 由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >；构造函数21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，利用导数可得b a >，即可得解. 【详解】因为14tan 4c b =,因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭ 所以11tan 44>,即1cb >,所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>， 故选：A例9．（2007·陕西·高考真题（理））已知f (x )是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意的0<a <b ，则必有( )． A ．af (b )≤bf (a ) B ．bf (a )≤af (b ) C ．af (a )≤f (b ) D ．bf (b )≤f (a )【答案】A【解析】 【详解】因为xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0，所以()f x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦′＝2'()()xf x f x x -≤22()f x x -≤0， 则函数()f x x在(0，＋∞)上单调递减．由于0<a <b ，则()()f a f b a b≥，即af (b )≤bf (a ) 例10．（2013·天津·高考真题（文））设函数()2x f x e x =+-，2()ln 3g x x x =+-若实数,a b 满足()0f a =，()0g b =则（ ）A ．()0()g a f b <<B ．()0()f b g a <<C ．0()()g a f b <<D ．()()0f b g a <<【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：对函数()2x f x e x =+-求导得()=1x f x e '+，函数单调递增，()()010,110f f e =-=+，由()0f a =知01a <<，同理对函数2()ln 3g x x x =+-求导，知在定义域内单调递增，(1)-20g =<，由()0g b =知1b >，所以()0()g a f b <<.例11．（2022·全国·高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】C 【解析】 【分析】构造函数()ln(1)f x x x =+-， 导数判断其单调性，由此确定,,a b c 的大小. 【详解】设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++， 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增， 所以1()(0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11xx x g x x x x -+'=+=--, 令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <<时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增， 又(0)0h =，所以当01x <<时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增， 所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c > 故选：C. 【总结提升】1.在比较()1f x ，()2f x ，，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性与周期性将()1f x ，()2f x ，，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．2.构造函数解不等式或比较大小一般地，在不等式中若同时含有f (x )与f ′(x )，常需要通过构造含f (x )与另一函数的和、差、积、商的新函数，再借助导数探索新函数的性质，进而求出结果．常见构造的辅助函数形式有：(1)f (x )＞g (x )→F (x )＝f (x )－g (x )； (2)xf ′(x )＋f (x )→[xf (x )]′； (3)xf ′(x )－f (x )→()[]'f x x； (4)f ′(x )＋f (x )→[e x f (x )]′； (5)f ′(x )－f (x )→()[]'x f x e. 题型五：根据函数的单调性求参数范围例12．（2014·全国·高考真题（文））若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞【答案】D 【解析】 【详解】 试题分析：，∵函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，∴在区间()1,+∞上恒成立．∴，而在区间()1,+∞上单调递减，∴．∴的取值范围是[)1,+∞．故选D ．例13．（2019·北京·高考真题（理））设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】 -1; (],0-∞. 【解析】 【分析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用导函数的解析式可得a 的取值范围. 【详解】若函数()x xf x e ae -=+为奇函数,则()()(),x x x x f x f x e ae e ae ---=-+=-+，()()1 0x x a e e -++=对任意的x 恒成立.若函数()x x f x e ae -=+是R 上的增函数,则()' 0x xf x e ae -=-≥恒成立,2,0x a e a ≤≤.即实数a 的取值范围是(],0-∞例14．（2014·全国·高考真题（理））若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ内是减函数，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】2a ≤ 【解析】()()2sin 2cos 4sin cos cos cos 4sin .,62f x x a x x x a x x x a x ππ⎛⎫=-+=-+=-+∈ ⎪⎝'⎭时，()f x 是减函数，又cos 0x >，∴由()0f x '≤得4sin 0,4sin x a a x -+≤∴≤在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，()min 4sin ,,262a x x a ππ⎛⎫⎛⎫∴≤∈∴≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结提升】由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围．(2)可导函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 上含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围． 题型六：利用导数研究函数的图象例15．（2021·浙江·高考真题）已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解.【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ； 对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，2102164y ππ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C. 故选：D.例16．（2018·全国·高考真题（文））函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A,1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.例17.（2017·浙江·高考真题）函数y ()y ()f x f x ==，的导函数的图象如图所示，则函数y ()f x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【详解】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数'()f x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．【规律方法】函数图象的辨识主要从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 题型七：与函数单调性相关的恒成立问题例18．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知函数 ()e xf x x =-，则 ()f x 的单调递增区间为________； 若对任意的()0,x ∞∈+， 不等式 ln 2e 1xx ax+-≥恒成立， 则实数 a 的取值范围为________．【答案】 (0,)+∞(填[)0,∞+亦可) 1(,]2-∞【解析】 【分析】求出函数导数，利用导数求函数单调区间，不等式恒成立可分离参数后求函数()e ln x g x x x x =⋅--的最小值，令ln t x x =+换元后可根据单调性求最值. 【详解】 ()1x f x e =-',令()0f x '>,可得()f x 的单调递增区间(0,)+∞ (或[)0+∞，亦可); ln 2e 1x x ax+-≥可化为2e ln x a x x x ≤⋅--. 令()e ln x g x x x x =⋅--=ln e e ln x x x x ⋅--=ln e (ln )x x x x +-+， 设ln t x x =+，则()e =-t h t t ，由()e xf x x =-在[)0+∞，上单调递增可知， 0()(0)e 01h t h ≥=-=，则21a ≤， 故解得12a ≤.故答案为：(0,)+∞(填[)0,∞+亦可)；12a ≤例19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()e ln xf x m x m =+∈R ，若对任意正数12,x x ，当12x x >时，都有()()1212f x f x x x ->-成立，则实数m 的取值范围是______． 【答案】[)0,∞+ 【解析】 【分析】令()()g x f x x =-，进而原题等价于()g x 在()0,∞+单调递增，从而转化为()e 10x mg x x'=+-≥，在()0,∞+上恒成立，参变分离即可求出结果.【详解】由()()1212f x f x x x ->-得，()()1122f x x f x x ->- 令()()g x f x x =-，∴()()12g x g x > ∴()g x 在()0,∞+单调递增，又∵()()e ln xg x f x x m x x =-=+-∴()e 10xmg x x'=+-≥，在()0,∞+上恒成立，即()1e x m x ≥- 令()()1e x h x x =-，则()()e 110xh x x '=-++<∴()h x 在()0,∞+单调递减，又因为()()01e 00h =-⨯=，∴0m ≥．故答案为：[)0,∞+.例20．（2010·全国·高考真题（理））设函数()21x f x e x ax =---.(1)若0a =，求()f x 的单调区间；(2)若当0x ≥时()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1) f (x )在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加;(2) a 的取值范围为(－∞，12]. 【解析】 【分析】 (1)a ＝0时，()1x f x e x＝－－，()1x f x e '＝－.分别令f ′(x )<0，f ′(x )>0可求()f x 的单调区间；(2求导得到)f ′(x )＝e x －1－2ax .由(1)知e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时等号成立．故问题转化为f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而对1－2a 的符号进行讨论即可得出结果. 【详解】 (1)a ＝0时，()1x f x e x＝－－，()1x f x e '＝－.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加 (2)()12x f x e ax'-＝－.由(1)知1x e x ≥＋，当且仅当x ＝0时等号成立．故f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而当1－2a ≥0，即a ≤时，f ′(x )≥0(x ≥0)，而f (0)＝0，于是当x ≥0时，f (x )≥0.由1x e x ≥＋ (x ≠0)得1x e x -≥- (x ≠0)，从而当a >时，f ′(x )< 1x e -＋2a (1x e --)＝x e - (1x e -)(x e －2a )，故当x ∈(0，ln2a )时， f ′(x )<0，而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln2a )时，f (x )<0， 综上可得a 的取值范围为(－∞，]． 【规律方法】处理此类问题，往往利用“构造函数法”、“分离参数法”.。
专题03 利用函数的单调性求参数取值范围(解析版)
专题03利用函数的单调性求参数取值范围一、单选题1．已知函数()321f x x x ax =+-+在R 上为单调递增函数，则实数a 的取值范围为（）A ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】()232f x x x a '=+-，因为()f x 在R 上为单调递增函数，故()0f x ¢³在R 上恒成立，所以4120a ∆=+≤即13a ≤-，故选：A.2．若函数ln y x a x =+在区间[)1,+∞内单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．(),1-∞-C ．[)2,-+∞D ．[)1,-+∞【解析】由ln 1a y x a x y x'=+⇒=+，因为函数ln y x a x =+在区间[)1,+∞内单调递增，所以有0y '≥在[)1,+∞上恒成立，即10a x +≥在[)1,+∞上恒成立，因为[)1,x ∞∈+，所以由100a x a a x x +≥⇒+≥⇒≥-，因为[)1,x ∞∈+，所以(,x -∈-∞-，于是有1a ≥-，故选：D3．若函数()cos f x ax x =+在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．（-1，1）B ．[)1,+∞C ．（-1，+∞）D ．（-1，0）【解析】()sin f x a x '=-，由题意得：()sin 0f x a x '=-≥，即sin a x ≥在(),-∞+∞上恒成立，因为[]sin 1,1y x =∈-，所以1a ≥恒成立，故实数a 的取值范围是[)1,+∞.故选：B4．若函数()2sin f x bx x =+在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦上单调递增，则实数b 的取值范围是（）A ．0b ≥B ．0b >C ．b ≥D ．b >【解析】由题意()2cos 0f x b x '=+≥在ππ,42⎡⎤⎢⎣⎦上恒成立，2cos b x ≥-，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2cos y x =-是增函数，max 0y =（π2x =时取得），所以0b ≥．故选：A ．5．若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,14⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（）A ．(,2)-∞-B ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．(2,)-+∞D ．(8,)-+∞【解析】由2()ln 2f x x ax =+-可得：1()2f x ax x'=+.因为函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,14⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，所以()0f x '>在1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解，即212a x >-在1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解.设()21,1124,g x x x ⎛⎫∈-⎝=⎪⎭，由()30g x x -'=>在1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，所以()g x 在1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，所以()()114g g x g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.所以184a g ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭.故选：D 6．已知函数32()132x ax f x ax =+++存在三个单调区间，则实数a 的取值范围是（）A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(,0)(4,)-∞+∞ D ．(,0][4,)-∞+∞ 【解析】由题意，函数32()132x ax f x ax =+++，可得2()f x x ax a '=++，因为函数()f x 存在三个单调区间，可得()'f x 有两个不相等的实数根，则满足240a a ∆=->，解得0a <或4a >，即实数a 的取值范围是(,0)(4,)-∞+∞ .故选：C.7．若函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,a a -上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．13a <£B ．4a ≥C ．23a -≤≤D ．14a <≤【解析】函数()219ln 2f x x x =-，()0x >.则()299x f x x x x-'=-=，因为()f x 在区间[1]a a -,上单调递减，则()0f x '≤在区间[1]a a -,上恒成立，即290x -≤，所以03x <≤在区间[1]a a -,上恒成立，所以103a a ->⎧⎨≤⎩，解得13a <£，故选：A.8．已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的取值范围为（）A ．0a ≥B ．22a -≤≤C ．2a ≥-D ．0a ≥或2a ≤-【解析】因为函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()cos 2sin 0f x a x x '=-≥在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上恒成立，即2tan a x ≥在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上恒成立，由2tan y x =在π(,0)2-上单调递增知，max π2tan()24y =-=-，所以2a ≥-，故选：C9．若()1sin 2cos 24x f x a x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(],1-∞-C ．5,4⎛⎤-∞ ⎝⎦D ．[)1,+∞【解析】由1sin 2()()cos 24x f x a x x =--+，得1cos 2()sin 22xf x a x '=---，因为()1sin 2cos 24x f x a x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭是R 上的减函数，所以1cos 2()sin 022x f x a x '=---≤在R 上恒成立，即221cos2sin cos sin 1sin sin 22x a x x x x x ≤++=+=-+=215(sin )24x --+在R 上恒成立，由于1sin 1x -≤≤，所以215(1124a ---+=-≤．故选：B.10．若函数()()()()()1cos sin cos sin 3sin cos 412f x x x x x a x x a x =-++-+-在区间7,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A ．10,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．16,09⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,7⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(],0-∞【解析】函数()()()()()1cos sin cos sin 3sin cos 412f x x x x x a x x a x =-++-+-()()1cos 23sin cos 412x a x x a x =+-+-()()()()2'sin 23cos sin 41cos sin 3cos sin 40f x x a x x a x x a x x a ∴=-+++-=-++++≤，对7π,2π4x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈恒成立.πcos sin sin 4x x x ⎛⎫ ⎪⎝++⎭ ，∴当7π,2π4x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈时，0cos sin 1x ≤+≤.令()()23401g t t at a t =-++≤≤，欲使()0g t ≤恒成立，只需满足231t a t ≤+，当01t ≤≤时，恒成立，即2min31t a t ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭，设[]311,4t m +=∈，13m t -=，222112203199999t m m m t m m -+==+-≥=+，当199m m =时，等号成立，即0a ≤.故选：D 11．若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-，且f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上,f ′(x )=−sin 2x +3a (cosx −sinx )+2a −1≤0恒成立，∵设4t cosx sinx x π=⎛⎫ ⎪⎝=-⎭-，∴当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,444x πππ-⎥∈-⎡⎤⎢⎣⎦，,t ∈[−1,1]，即−1≤cosx −sinx ≤1，令t ∈[−1,1],sin 2x =1−t 2∈[0,1]，原式等价于t 2+3at +2a −2≤0，当t ∈[−1,1]时恒成立，令g (t )=t 2+3at +2a −2，只需满足312(1)510a g a ⎧-≤-⎪⎨⎪=-≤⎩或312(1)10ag a ⎧-≥⎪⎨⎪-=--≤⎩或3112(1)510(1)10a g a g a ⎧-<-<⎪⎪=-≤⎨⎪-=--≤⎪⎩，解得∅或213a -≤≤-或2135a -<≤，综上，可得实数a 的取值范围是11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：A .二、多选题12．若函数21()9ln 2f x x x =-，在区间[]1,1m m -+上单调，则实数m 的取值范围可以是（）A ．4m =B ．2m ≤C ．12m <≤D ．03m <≤【解析】定义域为()0,∞+，299()x f x x x x'-=-=；由()0f x '≥得函数()f x 的增区间为[)3,+∞；由()0f x '≤得函数()f x 的减区间为(]0,3；因为()f x 在区间[]1,1m m -+上单调，所以1013m m ->⎧⎨+≤⎩或13m -≥解得12m <≤或4m ≥；结合选项可得A,C 正确.故选：AC.三、填空题13．若函数()313f x x ax =-+有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．【解析】()'2f x x a =-+，由于函数()313f x x ax =-+有三个单调区间，所以()'20f x x a =-+=有两个不相等的实数根，所以0a >.故答案为：()0,∞+14．已知函数322()3(1)1(0)f x kx k x k k =+--+>，若()f x 的单调递减区间是(0,4)，则实数k 的值为________.【解析】由322()3(1)1(0)f x kx k x k k =+--+>，得'2()36(1)f x kx k x =+-，因为()f x 的单调递减区间是(0,4)，所以'()0f x <的解集为(0,4)，所以4x =是方程236(1)0kx k x +-=的一个根，所以126(1)0k k +-=，解得13k =15．若函数()2sin x f x e mx x =+-在[)0,∞+单调递增，则实数m 的取值范围为________.【解析】由()2sin x f x e mx x =+-，得()'2cos xf x e mx x =+-，若函数()2sin x f x e mx x =+-在[)0,∞+单调递增，则()'2cos 0xf x e mx x =+-在[)0,∞+上恒成立，令()2cos xg x e mx x =+-，0x，则()'2sin x g x e m x =++，再令()2sin xh x e m x =++，0x，则()'cos x h x e x =+，因为0x ，所以01x e e = ，所以()'cos 0xh x e x =+在[)0,∞+上恒成立，则()h x 在[)0,∞+上单调递增，故()min ()012h x h m ==+；当120m +时，得12m - ，此时()()'0g x h x = ，则()g x 在[)0,∞+上单调递增，则()()00g x g =，此时符合()'2cos 0x f x e mx x =+- 在[)0,∞+上恒成立；当120m +<时，得12m <-，()00,x ∃∈+∞，使得0()0h x =，故[)00,x x ∈时，()0h x <，即()'0g x <，()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()'0g x >，故()g x 在[)00,x 上单调递减，则当[)00,x x ∈时，()()00g x g =，此时()'2cos 0x f x e mx x =+- ，不合题意；综上，实数m 的取值范围为12m - .16．已知函数1()2ln f x x x x=--，21()(1)2x g x x e ax =--，R a ∈.对于任意12,(1,)x x ∈+∞，且12x x ≠，必有()()()()12120f x f x g x g x ->-，则a 的取值范围是___________.【解析】()f x 定义城为(0,)+∞.22212(1)()10x f x x x x-'=+-=≥.故()f x 在(1,)+∞内单调递增.对于任意12,(1,)x x ∈+∞，不妨设12x x <，则()()120f x f x -<.故()()120g x g x -<，()()12g x g x <，()g x 在(1,)+∞内单调递增.故()()0x xg x xe ax a e x '=-=-≥在(1,)+∞恒成立，即x a e ≤恒成立，可知a e ≤.∴a 的取值范围为(,]e -∞.17．已知函数32()23f x x kx x =-+-在R 上不单调，则k 的取值范围是______.【解析】22()341f x x kx '=-+，因为函数32()23f x x kx x =-+-在R 上不单调，所以223410x kx -+=必有解，当223410x kx -+=只有一个解时，22()3410f x x kx '=-+≥得出函数()f x 在R 上单调递增，与题干矛盾，故223410x kx -+=必有两个不等实根则()2044310k ∆>⇒--⨯⨯>，解得k <或k >18．若实数()0,2a ∈，()0,2b ∈，则函数()232211432f x a x b x x =+-在区间()1,+∞单调递增的概率为___________.【解析】由题意222()40f x a x b x ¢=+-³在(1,)+∞上恒成立，二次函数的对称轴是2202bx a=-<，因此()'f x 在(1,)+∞上单调递增，所以22(1)40f a b ¢=+-³，易知满足02,02a b <<<<的点(,)a b 据区域为图中正方形OABC ，面积为224⨯=，又满足2240a b +-³的(,)a b 在正方形OABC 在圆224x y +=外部的部分，面积为214244p p -´=-，所以概率为44P π-=．19．若函数()324132x a f x x x =-++在区间(1，4)上不单调，则实数a 的取值范围是___________.【解析】 函数()324132x af x x x =-++，'2()4f x x ax ∴=-+，若函数()f x 在区间(1,4)上不单调，则()'240f x x ax =-+=在(1,4)上存在变号零点，由240x ax -+=得4a x x =+，令4()g x x x =+，(1,4)x ∈，'2(2)(2)()x x g x x +-=，()g x ∴在()1,2递减，在()2,4递增，而()422+42g ==，()411+51g ==，()444+54g ==，所以45a <<.故答案为：()45，.四、解答题20．已知函数()31f x x ax =--.（1）若()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，求a 的取值范围.（2）若()f x 的单调递减区间为(1,1)-，求a 的值.【解析】（1）因为()23f x x a '=-，且()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，所以()0f x '≥在(1,)+∞上恒成立，即230x a -≥在(1，+∞)上恒成立，所以23a x ≤在(1,)+∞上恒成立，所以3a ≤，即a 的取值范围是(],3-∞（2）由题意知0a >.因为()31f x x ax =--，所以()23f x x a '=-.由()0f x '<，得x <()f x 的单调递减区间为(，又已知()f x 的单调递减区间为(1,1)-，所以(=(1,1)-1=，即3a =.21．已知函数()ln af x x x=-.(1)若3a =-，求函数()f x 的极值；(2)若函数()f x 在3,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，求a 的取值范围.【解析】(1)当3a =-时，3()ln (0)f x x x x =+>，则'22133()x f x x x x-=-=，令'()0f x =，得3x =，x ，'()f x 和()f x 的变化情况如下表x(0,3)3(3,)+∞'()f x -0+()f x 递减极小值递增所以当3x =时，()f x 取得极小值(3)ln 31f =+，无极大值(2)由()ln a f x x x =-（0x >），得()'221a x a f x x x x+=+=（0x >），当0a ≥时，'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 在3,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，当0a <时，由'()0f x =，得x a =-，x ，'()f x 和()f x 的变化情况如下表x (0,)a -a-(,)a -+∞'()f x -0+()f x 递减极小值递增因为()f x 在3,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，所以a e -≤，得0e a -≤<，综上，a 的取值范围为[,)e -+∞22．已知a R ∈，函数2()()e (xf x x ax x R =-+∈，e 为自然对数的底数）．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()f x 在(1,1)-上单调递增，求a 的取值范围；【解析】(1)当2a =时，2()(2)e x f x x x =-+，2()(2)e x f x x '=--令()0f x '>，得220x -<，∴x <()f x ∴的单调递增区间是(；(2)2()[(2)]e x f x x a x a '=-+-+，若()f x 在(1,1)-内单调递增，即当11x -<<时，()0f x '，即2(2)0x a x a -+-+对(1,1)x ∈-恒成立，即111a x x +-+ 对(1,1)x ∈-恒成立，令111y x x =+-+，则2110(1)y x '=+>+，111y x x ∴=+-+在(1,1)-上单调递增，1311112y ∴<+-=+，32a ∴ ，当32a =时，当且仅当0x =时，()0f x '=，a ∴的取值范围是3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．23．已知函数1()xxf x ax e +=-．(1)若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x b =+，求实数a ，b 的值；(2)若函数()f x 在区间(0,2)上存在．．单调增区间，求实数a 的取值范围；(3)若()f x 在区间(0,2)上存在极大值，求实数a 的取值范围（直接写出结果）．【解析】(1)因为1(1)()x x x xf x a a e e'-+=-=+，所以(0)f a '=，因为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x b =+，所以切线斜率为1，即1a =，(0)1f b =-=，所以1,1a b ==-．(2)因为函数()f x 在区间(0,2)上存在单调增区间，所以()0x xf x a e='+>在(0,2)上有解，即只需()'f x 在(0,2)上的最大值大于0即可．令1()(),()x x x xh x f x a h x e e-==+=''，当(0,1)x ∈时，()0,()h x h x '>为增函数，当(1,2)x ∈时，()0,()h x h x '<为减函数，所以，当1x =时，()h x 取最大值1a e +，故只需10a e +>，即1a e >-．所以实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．(3)212,⎛⎫-- ⎪⎝⎭e e 24．1.已知函数()()31R f x x ax a =--∈.(1)若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若函数()f x 的单调递减区间是)-，求实数a 的值；(3)若函数()f x 在区间()1,1-上单调递减，求实数a 的取值范围.【解析】(1)易知()23f x x a '=-.因为()f x 在R 上单调递增，所以()0f x '≥恒成立，即23a x ≤恒成立，故()2min30a x≤=.经检验，当0a =时，符合题意，故实数a 的取值范围是(],0-∞.(2)由（1），得()23f x x a '=-.因为()f x 的单调递减区间是()1,1-，所以不等式230x a -<的解集为()1,1-，所以-1和1是方程230x a -=的两个实根，所以3a =.(3)由（1），得()23f x x a '=-.因为函数()f x 在区间()1,1-上单调递减，所以()0f x '≤在()1,1x ∈-上恒成立，即23a x ≥在()1,1x ∈-上恒成立.又函数23y x =在()1,1-上的值域为[)0,3，所以3a ≥.故实数a 的取值范围是[)3,+∞.25．已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈.（1）当1a =时，求函数()f x 的最值（2）若函数()f x 在区间[1,)+∞上是减函数，求实数a 的取值范围.【解析】（1）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，则()()2211121()21x x x x f x x x x x+---'=-+=-=-，当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，所以当1x =时，()f x 有最大值0，无最小值；（2）21()2f x a x a x-'=+，因为函数()f x 在区间[1,)+∞上是减函数，所以21()20f x a x a x=-+≤'在区间[1,)+∞上恒成立，令()212g x a x a x =-+，则()22120g x a x'=--<，所以()g x 在区间[1,)+∞上递减，所以()()2max 121g x g a a ==-++，则2210a a -++≤，即2210≥--a a ，即()()2110a a +-≥，解得12a ≤-或1a ≥，所以实数a 的取值范围1(,[1,)2-∞-⋃+∞.26．已知函数()22f x x a x x =⋅-+.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程；（2）若()22f x x a x x =⋅-+在区间[0,1]上单调递增，求实数a 的取值范围.【解析】（1）当1a =时，()22·21||()1f x x x x x x =+=--，则2()341'=-+f x x x ，所以()(252,2)f f '==，所以，所求切线方程为25(2)y x -=-，即580x y --=.（2）设()()2201g x x x a x =+≤≤-，则()2(1)0g x x '=-≤，所以()g x 在[]0,1上单调递减，从而()()()10g g x g ≤≤，即()1a g x a ≤≤-.（i ）当1a ≥时，()10g x a ≥≥-，则()22()f x x x x a -=+，则2()34f x x x a '=-+，若()f x 在[]0,1上单调递增，则2()340f x x x a '=-+≥对于任意的[]0,1x ∈恒成立，即234a x x ≥-+.因为2224343(33x x x -+=--+，所以当23x =时，2434()3max x x +=-，所以43a ≥，又1a ≥，此时a 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（ii ）当0a ≤时，()0g x ≤，则()2()2f x x x x a =-+-，则2()34f x x x a '=-+-，若()f x 在[]0,1上单调递增，则2()340f x x x a '=-+-≥对于任意的[]0,1x ∈恒成立，即234a x x ≤-+.因为2224343(33x x x -+=--+，所以当0x =时，2min 340()x x +=-，所以0a ≤，此时a 的取值范围为(,0]-∞.（iii ）当01a <<时，则存在唯一的()00,1x ∈，使得()00g x =.当()100,x x ∈时，()10g x >，即存在()010,1x x ∈，且10x x <，使得()()10g x g x >，从而()()1100x g x x g x >，即()()10f x f x >，这与“()f x 在[]0,1上为增函数”矛盾，此时不合题意.综上，实数a 的取值范围(]4,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭27．已知函数()ln f x ax x =-，()e 2ax g x x =+，其中a ∈R ．(1)当2a =时，求函数()f x 的极值；(2)若存在区间(0,)D ⊆+∞，使得()f x 与()g x 在区间D 上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围．【解析】(1)当2a =时，()2ln f x x x =-，定义域为(0,)+∞，则1()2f x x'=-，故当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增．所以()f x 在12x =处取得极小值，且11ln 22f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，无极大值．(2)由题意知，1()f x a x'=-，()e 2ax g x a '=+．当0a >时，()0g x '>，即()g x 在R 上单调递增，而()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故必存在区间(0,)D ⊆+∞，使得()f x 与()g x 在区间D 上单调递增；当0a =时，1()0f x x '=-<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减，而()g x 在(0,)+∞上单调递增，故不存在满足条件的区间D ；当0a <时，1()0f x a x '=-<，即()f x 在(0,)+∞上单调递减，而()g x 在12,ln a a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减，在12ln ,a a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，若存在区间(0,)D ⊆+∞，使得()f x 与()g x 在区间D 上有相同的单调性，则有12ln 0a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，解得2a <-．综上可知，a 的取值范围为(,2)(0,)-∞-+∞ ．。
利用函数的单调性求参数的取值范围使用
利用函数的单调性求参数的取值范围使用在数学中，单调性指的是函数图像在定义域内的增减趋势是否保持一致。
具体而言，如果函数f(x)在一些区间上是递增的，则称它在该区间上是单调递增的；如果函数f(x)在一些区间上是递减的，则称它在该区间上是单调递减的。
假设我们面对的问题为求使函数f(x)大于等于一些给定值的参数x 的取值范围。
我们可以通过以下步骤来解决这个问题：1.首先，我们需要确定函数f(x)的单调性。
可以通过函数的导数来判断函数的增减性。
如果f'(x)大于零，那么函数f(x)在该区间上是单调递增的；如果f'(x)小于零，那么函数f(x)在该区间上是单调递减的。
2.其次，我们可以将函数f(x)大于等于给定值转化为不等式f(x)-C>=0的形式，其中C表示给定值。
例如，如果我们需要求函数f(x)大于等于0的参数x的取值范围，可以将不等式f(x)>=0转化为f(x)-0>=0。
3.接下来，我们可以利用不等式的性质来求解参数的取值范围。
对于单调递增的函数，我们可以将不等式f(x)-C>=0转化为x>=g(C)的形式，其中g(C)表示函数f(x)-C=0的解。
对于单调递减的函数，我们可以将不等式f(x)-C>=0转化为x<=g(C)的形式。
4.最后，我们可以利用函数f(x)的定义域来进一步限制参数x的取值范围。
函数f(x)的定义域表示函数f(x)的取值范围，此范围也是参数x的取值范围的一部分。
因此，我们需要将函数f(x)的定义域与参数x的取值范围进行交集运算，以得到最终的参数取值范围。
需要注意的是，在利用函数的单调性求参数的取值范围时，我们需要确保函数f(x)存在单调性。
如果函数f(x)在一些区间上既不是递增的也不是递减的，那么我们无法利用单调性来求解参数的取值范围。
举例说明：假设我们需要求函数f(x)=x^2+3x+2大于等于5的参数x的取值范围。
由单调性求参数范围的几种方法
由单调性求参数范围的几种方法1、定义法:①任取x1、x2∈d，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)，并适度变形(“水解因式”、配方Z917号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性。
2、导数法:设函数y＝f(x)在某区间d内可导。
如果f′(x)>0，则f(x)在区间d内为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)在区间d内为减函数。
特别注意：(补足)（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间d内为增函数；如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间d内为减函数。
定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、（补足）单调性的有关结论1、若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为减(减至)函数。
2、若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减至(减)函数，如果同时存有f(x)>0，则为减至(减）函数，为增（减）函数3、互为反函数的两个函数存有相同的单调性。
4、y＝f[g(x)]是定义在m上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性恰好相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数。
简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点等距的.两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。
(1)谋某些函数的值域或最值。
(2)比较函数值或自变量值的大小。
(3)求解、证不等式。
(4)求参数的取值范围或值。
(5)并作函数图象。
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专题二由函数单调性求参数范围
1、若函数在内单调递减,则实数的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
2、若函数在内单调递减,则实数的取值范围为
( )
A.
B.
C.
D.
3、若在上是减函数,则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
4、若函数在区间内单调递减,且在区间
及内单调递增,则的取值集合是.
5、已知函数,若在[2,+是增函数,则实数的范围
是____________.
6、若函数在上是减函数,则的取值范围
是.
7、已知函数,若函数在其定义域内为单调函数,求的取值范围.
参考答案
1.答案：A
解析：∵,又在内单调递减,
∴不等式在内恒成立,
∴在内恒成立.而函数
在内是增函数,且,
∴.
2.答案：A
3.答案：C
解析：本题考查导数的应用。
点拨:函数在某区间上是减函数,则其导函数值在此区间上恒小于或等于零。
解答:由已知得:
要使题设条件成立,即不等式在恒成立,
即
而函数,,最小值为, 故,选C。
4.答案：{3}
5.答案：
解析：
由已知可得,则导函数在上恒成立,即
在上恒成立,而函数在上为单调递增,所以.
6.答案：
7.答案：,
要使函数在定义域内为单调函数,
只需在内恒大于等于或恒小于等于.
当时,在内恒成立;
当时,要使恒成立,
∴,解得.
综上,的取值范围为或.。