统计物理部分课后答案

7.4

解: 根据式（6.6.9），处在能量为s ε的量子态s 上的平均粒子数为

.s s f e αβε--= （1）

以N 表示系统的粒子数，粒子处在量子态s 上的概率为

1

.s s

s e e P N Z αβεβε---== （2）

显然，s P 满足归一化条件

1,s s

P =∑ （3）

式中

s

∑

是对粒子的所有可能的量子态求和. 粒子的平均能量可以表示为

.s s s

E P ε=∑ （4）

根据式（7.1.13），定域系统的熵为

()

()

1111ln ln ln ln s s s

S Nk Z Z Nk Z Nk P Z βββε

βε⎛⎫∂

=- ⎪

∂⎝⎭=+=+∑

ln .s s s

Nk P P =-∑ （5）

最后一步用了式（2），即

1ln ln .s s P Z βε=-- （6）

式（5）的熵表达式是颇具启发性的. 熵是广延量，具有相加性. 式（5）意味着一个粒子的

熵等于ln .s

s

s

k

P P -∑ 它取决于粒子处在各个可能状态的概率

s P . 如果粒子肯定处在某个状态r ，即s sr P δ=，粒子的熵等于零. 反之，当粒子可能处在

多个微观状态时，粒子的熵大于零. 这与熵是无序度的量度的理解自然是一致的. 如果换一个角度考虑，粒子的状态完全确定意味着我们对它有完全的信息，粒子以一定的概率处在各个可能的微观状态意味着我们对它缺乏完全的信息. 所以，也可以将熵理解为信息缺乏的量度. 第九章补充题5还将证明，在正则系综理论中熵也有类似的表达式. 沙农（Shannon ）在更普遍的意义上引进了信息熵的概念，成为通信理论的出发点. 甄尼斯（Jaynes ）提出将熵当作统计力学的基本假设，请参看第九章补充题5.

对于满足经典极限条件的非定域系统，式（7.1.13′）给出

11ln ln ln !,S Nk Z Z k N ββ⎛⎫∂

=-- ⎪∂⎝⎭

上式可表为

0ln ,s s s

S Nk P P S =-+∑ （7）

其中

()0ln !ln 1.S k N Nk N =-=--

因为

,s s f NP =

将式（7）用s f 表出，并注意

,s

s

f

N =∑

可得

ln .s s s

S k f f Nk =-+∑ （8）

这是满足玻耳兹曼分布的非定域系统的熵的一个表达式. 请与习题8.2的结果比较. 习题7.8气体以恒定的速度沿Z 方向作整体运动。试证明，在平衡状态下分子动量的最概

然分布为

2

220()23

x y x p p p p x y z

m Vdp dp dp e

h βα⎡⎤

--

++-⎣

⎦

证： 设能级l ε这样构成：同一l ε中，Z p 相同，而x p 与y p 在变化，于是有：

)3(0)2(0)

1(0-----==∑=-----==

∑=-------==∑=∑∑∑l

z

l

z l l

l l l l a p a p p a a E a a N δδδδεεδδδδδ

(∑==0

p a p p l z )

参照教材玻耳兹曼分布证明；有

E N βδαδδ--Ωln -z p γ, 其中 ）

（2

2221Z y x l p p p m

++=

ε 由(1)知: N dp dp dp e

h

V z y x p z

=⎰---γβεα3 将l ε代入 并配方得:

z y x p p m

dp dp dp e

h

V z z y x ⎰+-+--)2()(32γβ

εεβα

=N dp dp dp e

h

V z y x m p m

m z y x =⎰+

-

+---2

)(2)()22

(3β

γ

βεεββ

γα

其中 m

p m p y y x

x 2,22

2

=

=εε

对比page238式（7.2.4）得： 23

2

2

32)2()2()2(2mkT

h n mkT h V N e

m ππβ

γα==-

- 整个体积，分布在z z z y y y x x x dp p p dp p p dp p p +→+→+→,, 分子数为：

z y x z y x z y x m p m dp dp dp p p p f dp dp dp e mkT

N z y x ⎰⎰=+-+-),,()21(2

)(2)(2

3

βγ

βεεβπ 由条件（3）知 ⎰

=0),,(Np dp dp dp p p p f p z y x z y x z 计算得

z m p m z y x dp e m m p dp e dp e mkT z y x 2

)(22

3

)()21(βγ

ββεβεβγβγπ+---⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣

⎡-+

=z m p m

y x dp e

m dp dp e

mkT

z y x ⎰⎰+

-

+--2)

(2)

(2

3)(

)21

(

β

γβ

εεββ

γ

π

=0p N

dp dp fdp m z

y x =-

⎰

β

γ

0p m -=⇒

β

γ

代入得出分布： []3

)(22

022

"h

dp dp Vdp e

z

y x p p p p m

z y x

-++-

-β

α

其中 β

γαα22'

m -=,0p m -=βγ

习题7.13试证明，单位时间碰到单位面积上，速率介于v 与dv v +之间的分子数为：

dv v e kT

m n d kT mv 3

22/32

)2(-=Γππ

证： 在斜圆柱体,分速度为z v 的v 方向的分子数为: dt dsv V V v v v nf dn

z z y x ==;),,(*

圆柱

dsdt dv dv dv v e kT

m n dsdt nfv dn z y x z v v v kT m

z z y x )(22/3*

222)2(++-==ππ