12高一数学正余弦定理与解三角形

正余弦定理与解三角形

撰稿：王秋寰 审稿：谷丹 责编：王静伟

目标认知： 学习目标：

1．掌握正弦定理、余弦定理及其推导；

2．能初步运用正弦定理、余弦定理求解一些斜三角形及解决一些简单的三角形度量问题． 学习重点：

运用正弦定理、余弦定理探求任意三角形的边角关系，解决与之有关的计算问题与实际问题． 学习难点：

灵活运用两个定理解决相关的解三角形问题． 内容解析： 一、正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c A

B

C

=

=

．

注：1．应用正弦定理，可以研究两类解三角形问题：

(1)已知两角和任意一边，求其他两边和一角；

(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角． 2．正弦定理的常见变形公式：

①

2sin sin sin a b c R A

B

C

==

=（其中R 为三角形外接圆的半径）；

② 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===； ③ sin ,sin ,sin 222a b

c

A B C R

R R =

=

=

；sin :sin :sin ::A B C a b c =;

④ 三角形面积公式：111

sin sin sin 222

S ab C ac B bc A ===．

二、余弦定理

三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即

2

2

2

2cos a b c bc A =+-，2

2

2

2cos b c a ac B =+-，2

2

2

2cos c a b ab C =+-．

余弦定理的变式：222

cos 2b c a

A bc

+-=

，222

cos 2a c b

B ac

+-=

，222

cos 2a b c

C ab

+-=

．

注：1．应用余弦定理，可以研究两类解三角形问题：

(1)已知三边，求三个角；

(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 2．余弦定理的几种常见变形式： ①222

cos 2b c a

A bc

+-=

；222

cos 2a c b

B ac

+-=

；222

cos 2b a c

C ab

+-=

（求任意两边的夹角）

②222

2cos b c a bc A +-=；22

2

2cos b a c ab C +-=；2

2

2

2cos a c b ac B +-=（式的化简） ③2

2

2

60A a c b bc ∠=⇔=+-

；2

2

2

120A a c b bc ∠=⇔=++

；2

2

2

90A a b c ∠=⇔=+

； A ∠是锐角2

2

2

a b c ⇔<+；A ∠是钝角2

2

2

a b c ⇔>+（判断三角形的形状）

3．正弦定理、余弦定理建立了三角形中边与角的联系，对任意三角形都适用。 三、解斜三角形

学习了正弦定理、余弦定理以后，我们就有了解三角形的工具，三角形中三条边、三个角一共六个条件，已知其中的三个，都可以把另外三个求出． 要训练在做题中能正确的选择正弦定理与余弦定理的能力，就要明确正弦定理、余弦定理的求解条件，并特别注意正弦、余弦、正切几个三角函数间的转化，及内角的三角函数值的取值范围． 注：1．解斜三角形的常规方法是：

(1) 已知两角和一边（如,,A B c ），由πA B C ++=求C ，由正弦定理求,a b ． (2) 已知两边和夹角（如,,a b C ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用πA B C ++=，求另一角．

(3) 已知两边和其中一边的对角（如,,a b A ），应用正弦定理求B ，由πA B C ++=求C ，再由正弦

定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况；

(4) 已知三边,,a b c ，应用余弦定理求,A B ，再由πA B C ++=，求角C ． 2．两内角与其正弦值的大小关系：在A B C △ 中，B A B A sin sin <⇔<．

3．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几

何作图来帮助理解．

本周典型例题：

例1、在A B C △中，45,75AB A C =

∠=∠=

，求BC ．

解：由正弦定理可知sin sin A B B C C

A

=

，即

sin 75

sin 45

BC =

．

因为sin 75sin(3045)sin 30cos 45cos 30sin 45(14

=+=+=

+

，所以3BC =-．

例2、在A B C △中，若1tan 3

A =，150C ∠= ，1

B

C =，求A B ．

分析：由角的正切值可以求解出A ∠的度数，因而转化为“已知两角和一个角的对边，求另一条对边”的问题，可用正弦定理求解． 解： 由1tan 3

A =

可知c o s 3s i n A A =， 又因为22

sin cos 1A A +=，所以联立两个方程可解得

2

1s i n

10

A =

，因为A ∠是三角形的内角，所以正弦值取正，即1sin A =

。所以代入

sin sin BC AB A

C

=

，

即2

AB =

题记：三角形内角的正弦值是正数，是一个隐含条件。 例3、若

c

C b

B a

A cos cos sin ==，则△ABC 是（ ）

A ．正三角形

B ．有一内角为30°的直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．有一内角为30°的等腰三角形 解：由正弦定理

sin sin sin A B C a

b

c

=

=

，所以可知sin cos B B =，sin cos C C =．根据正弦函数与