2.第二讲 圆周运动
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（1）圆轨道半径R；R=62.5m
（2）切向加速度的大小 ；0.40
（3）这两时刻（t1和t1+t2时刻）的法向加速度an1和an2。0.40、0.23
例4．一质点沿圆轨道由静止开始作匀加速圆周运动。试求此质点的加速度与速度的夹角a与其经过的那段圆弧对应的圆心角 之间的关系。tga=2θ
例5．一飞轮的角速度在5s内由900转/min均匀地减到800转/min。求：
符号用f表示，单位是Hz。频率也是描述匀速圆周运动快慢的物理量，频率低运动慢，频率高运动快。f=1/T
例：某物体做圆周运动的周期为0.5s，则其每秒运动2周，其频率为2Hz。
（3）线速度
周期和频率能粗略描述物体圆周运动的快慢程度，但无法精确衡量物体圆周运动的快慢，如地球绕太阳运转的周期是不变的，但其在近日点和远日点的运动快慢并不相同。因此，要精确衡量圆周运动的快慢还需引入其他物理量。
如图示，质点绕O作半径为R的圆周运动。设t时刻，质点运动到A点，角位置为 ， 时刻质点达到B点，角位置为 。在 时间内质点转过的角度为 （ 称为角位移，单位为弧度rad），则角速度定义为：
（单位为rad/s）
角速度为矢量，其方向可用右手螺旋定则确定。
（5）线速度与角速度的关系
而 时， ，故
以上四个量是物理研究中用以研究物体圆周运动快慢程度的物理量，在工程学上还常用到其他量。
匀速圆周运动的匀速仅指匀速率，其实质上是变速运动。
（3）匀速圆周运动的角速度
对确定的匀速圆周运动， 与所用时间 的比值是恒定不变的。因此匀速圆周运动也可以说成是角速度不变的圆周运动。
（4）角速度、线速度、周期之间的关系
ω=
结论：由v=rω知，当v一定时，ω与r成反比；当ω一定时，v与r成正比；当r一定时，v与ω成正比。
平均曲率:
曲率:
曲率半径:
1.2.1．圆周运动
1．圆周运动特点
（1）轨迹是圆的曲线运动，叫做圆周运动。
（2）圆周运动是变速曲线运动
圆周运动的轨迹是圆，是曲线运动，运动的速度方向时刻在变化，因而圆周运动是变速曲线运动。
速率大小不变的圆周运动称为匀速圆周运动，速率大小改变的圆周运动称为非匀速圆周运动。
2．描述圆周运动快慢的物理量
1.2.2．圆周运动加速度
1．匀速圆周运动是变速运动
对于匀速圆周运动，其不变的是速度的大小，但其方向时刻在变。所以匀速圆周运动从本质上讲仍然是变速运动。
因为匀速圆周运动其速度始终在改变，则其必然有加速度，接下来我们讨论匀速圆周运动加速度的大小和方向。
2．匀速圆周运动加速度
如图示，质点作匀速圆周运动，在运动中速率始终相等。在t时刻质点运动到A点， 时刻质点运动到B点，速度分别为 。在 时间内的速度增量为 ，依加速度定义得：
（6）转速
做圆周运动的物体每秒转动的周数，称为转速，用符号n表示。也常用（r/min）表示。
3．匀速圆周运动
（1）定义：如果质点沿着圆周运动，在任意相等时间内通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。
（2）匀速圆周运动的线速度：
匀速圆周运动的线速度大小保持不变，故其通过的弧长与其运动的时间成正比。因此做匀速圆周运动的质点通过的弧长S与所用时间的比值，即单位时间内通过的弧长，表示线速度的大小。
依图中的几何关系得：
上式可以改写为：
代入第一式得：
加速度a的方向可由 的极限方向确定。当 时， ， 将垂直于 ，即垂直于切线并指向圆心。这个速度称为向心加速度或称为圆周运动的法向加速度。它只改变物体速度的方向，不改变物体速度的大小。
圆周运动向心加速度方向始终指向圆心，故其向心加速度方向始终在改变，匀速圆周运动是一个变加速曲线运动。
第一章运动学
第二讲圆周运动
1.2.1点的曲线运动：
一.矢径法:(用于理论推导)
运动方程：r=r (t)，矢端所描出的曲线即为M点的轨迹
平均速度: 速度: 加速度：
二.直角坐标法(多用于轨迹为未知之情形)
运动方程：x = x（t），y = y（t），Z = z（t）
度方程：
加速度方程：
物体运动到A点的瞬时速度vA方向沿A点的切线方向，其大小为： （单位为m/s）
该速度称为物体圆周运动的线速度。用来描述做匀速圆周运动质点的运动快慢和方向。线速度是一个矢量。
（4）角速度（补充弧度制）
如果选择圆心做为坐标原点，质点位置可以用位置矢量r与某一选定方向（x轴）之间的夹角 来描述。因为圆周运动的r大小不变，当 确定之后，质点的位置就完全被确定（极 坐标系）。 在物理上被称为角位置。
圆周运动的角量与线量间也有关系：
例1：点沿半径为R的圆周作匀加速运动，v0=0，全加速度a与切线的夹角为α，以β表示点所走过的弧s所对的圆心角，求证：tgα=2β
命题得证：
例2：点沿半径为R的圆弧运动，v在直径AB方向的投影u是常数，求点M的vM及aM与φ的关系。
例3．一辆汽车沿一圆周轨道以v0=7.0m/s的初速作匀减速行驶。经过t1=5s后，汽车的加速度与速度之间的夹角 。又经过t2=3s后，其加速度与速度之间的夹角 。求：
（1）周期：
匀速圆周运动是一种周期性运动。
周期：做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。
符号用T表示，单位是s。周期大的物体运动一周所用的时间较长，周期小的物体运动一周所用的时间较短。
例：地球绕太阳运动的周期为1年，月球绕地球运动的周期为1月。
（2）频率：
单位时间内（1s）运动的周数，即周期的倒数，叫做频率。
同理，向心加速度还可以表示为：
3．非匀速圆周运动加速度
对非匀速圆周运动而言，除了速度方向发生变化，其速度大小也会发生变化。因此，其加速度既有法向加速度，也有切向加速度：
其中 ，
链球运动是个典型的非匀速圆周运动。
同理，非匀速圆周运动的加速度也可以用角量表示：
，
可以将匀变速圆周运动的运动学公式与匀变速直线运动公式进行对比：
例1：半径为r的圆轮放在粗糙的水平面上，轮心A以匀速v0前进，求轮缘上任一点的运动规律。
①在轮缘上任取一点M（不能是特殊点）；
②找一固定点O建立直角坐标，标出M点的位置坐标；
③纯粹用几何方法找出该坐标的长度，最终表为时间t的函数--------即为运动方程。
三.曲率、曲率半径：
把MM '段曲线的平均弯曲程度用K*表示
（2）切向加速度的大小 ；0.40
（3）这两时刻（t1和t1+t2时刻）的法向加速度an1和an2。0.40、0.23
例4．一质点沿圆轨道由静止开始作匀加速圆周运动。试求此质点的加速度与速度的夹角a与其经过的那段圆弧对应的圆心角 之间的关系。tga=2θ
例5．一飞轮的角速度在5s内由900转/min均匀地减到800转/min。求：
符号用f表示，单位是Hz。频率也是描述匀速圆周运动快慢的物理量，频率低运动慢，频率高运动快。f=1/T
例：某物体做圆周运动的周期为0.5s，则其每秒运动2周，其频率为2Hz。
（3）线速度
周期和频率能粗略描述物体圆周运动的快慢程度，但无法精确衡量物体圆周运动的快慢，如地球绕太阳运转的周期是不变的，但其在近日点和远日点的运动快慢并不相同。因此，要精确衡量圆周运动的快慢还需引入其他物理量。
如图示，质点绕O作半径为R的圆周运动。设t时刻，质点运动到A点，角位置为 ， 时刻质点达到B点，角位置为 。在 时间内质点转过的角度为 （ 称为角位移，单位为弧度rad），则角速度定义为：
（单位为rad/s）
角速度为矢量，其方向可用右手螺旋定则确定。
（5）线速度与角速度的关系
而 时， ，故
以上四个量是物理研究中用以研究物体圆周运动快慢程度的物理量，在工程学上还常用到其他量。
匀速圆周运动的匀速仅指匀速率，其实质上是变速运动。
（3）匀速圆周运动的角速度
对确定的匀速圆周运动， 与所用时间 的比值是恒定不变的。因此匀速圆周运动也可以说成是角速度不变的圆周运动。
（4）角速度、线速度、周期之间的关系
ω=
结论：由v=rω知，当v一定时，ω与r成反比；当ω一定时，v与r成正比；当r一定时，v与ω成正比。
平均曲率:
曲率:
曲率半径:
1.2.1．圆周运动
1．圆周运动特点
（1）轨迹是圆的曲线运动，叫做圆周运动。
（2）圆周运动是变速曲线运动
圆周运动的轨迹是圆，是曲线运动，运动的速度方向时刻在变化，因而圆周运动是变速曲线运动。
速率大小不变的圆周运动称为匀速圆周运动，速率大小改变的圆周运动称为非匀速圆周运动。
2．描述圆周运动快慢的物理量
1.2.2．圆周运动加速度
1．匀速圆周运动是变速运动
对于匀速圆周运动，其不变的是速度的大小，但其方向时刻在变。所以匀速圆周运动从本质上讲仍然是变速运动。
因为匀速圆周运动其速度始终在改变，则其必然有加速度，接下来我们讨论匀速圆周运动加速度的大小和方向。
2．匀速圆周运动加速度
如图示，质点作匀速圆周运动，在运动中速率始终相等。在t时刻质点运动到A点， 时刻质点运动到B点，速度分别为 。在 时间内的速度增量为 ，依加速度定义得：
（6）转速
做圆周运动的物体每秒转动的周数，称为转速，用符号n表示。也常用（r/min）表示。
3．匀速圆周运动
（1）定义：如果质点沿着圆周运动，在任意相等时间内通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。
（2）匀速圆周运动的线速度：
匀速圆周运动的线速度大小保持不变，故其通过的弧长与其运动的时间成正比。因此做匀速圆周运动的质点通过的弧长S与所用时间的比值，即单位时间内通过的弧长，表示线速度的大小。
依图中的几何关系得：
上式可以改写为：
代入第一式得：
加速度a的方向可由 的极限方向确定。当 时， ， 将垂直于 ，即垂直于切线并指向圆心。这个速度称为向心加速度或称为圆周运动的法向加速度。它只改变物体速度的方向，不改变物体速度的大小。
圆周运动向心加速度方向始终指向圆心，故其向心加速度方向始终在改变，匀速圆周运动是一个变加速曲线运动。
第一章运动学
第二讲圆周运动
1.2.1点的曲线运动：
一.矢径法:(用于理论推导)
运动方程：r=r (t)，矢端所描出的曲线即为M点的轨迹
平均速度: 速度: 加速度：
二.直角坐标法(多用于轨迹为未知之情形)
运动方程：x = x（t），y = y（t），Z = z（t）
度方程：
加速度方程：
物体运动到A点的瞬时速度vA方向沿A点的切线方向，其大小为： （单位为m/s）
该速度称为物体圆周运动的线速度。用来描述做匀速圆周运动质点的运动快慢和方向。线速度是一个矢量。
（4）角速度（补充弧度制）
如果选择圆心做为坐标原点，质点位置可以用位置矢量r与某一选定方向（x轴）之间的夹角 来描述。因为圆周运动的r大小不变，当 确定之后，质点的位置就完全被确定（极 坐标系）。 在物理上被称为角位置。
圆周运动的角量与线量间也有关系：
例1：点沿半径为R的圆周作匀加速运动，v0=0，全加速度a与切线的夹角为α，以β表示点所走过的弧s所对的圆心角，求证：tgα=2β
命题得证：
例2：点沿半径为R的圆弧运动，v在直径AB方向的投影u是常数，求点M的vM及aM与φ的关系。
例3．一辆汽车沿一圆周轨道以v0=7.0m/s的初速作匀减速行驶。经过t1=5s后，汽车的加速度与速度之间的夹角 。又经过t2=3s后，其加速度与速度之间的夹角 。求：
（1）周期：
匀速圆周运动是一种周期性运动。
周期：做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。
符号用T表示，单位是s。周期大的物体运动一周所用的时间较长，周期小的物体运动一周所用的时间较短。
例：地球绕太阳运动的周期为1年，月球绕地球运动的周期为1月。
（2）频率：
单位时间内（1s）运动的周数，即周期的倒数，叫做频率。
同理，向心加速度还可以表示为：
3．非匀速圆周运动加速度
对非匀速圆周运动而言，除了速度方向发生变化，其速度大小也会发生变化。因此，其加速度既有法向加速度，也有切向加速度：
其中 ，
链球运动是个典型的非匀速圆周运动。
同理，非匀速圆周运动的加速度也可以用角量表示：
，
可以将匀变速圆周运动的运动学公式与匀变速直线运动公式进行对比：
例1：半径为r的圆轮放在粗糙的水平面上，轮心A以匀速v0前进，求轮缘上任一点的运动规律。
①在轮缘上任取一点M（不能是特殊点）；
②找一固定点O建立直角坐标，标出M点的位置坐标；
③纯粹用几何方法找出该坐标的长度，最终表为时间t的函数--------即为运动方程。
三.曲率、曲率半径：
把MM '段曲线的平均弯曲程度用K*表示