基本初等函数、函数与方程

基本初等函数、函数与方程

一、选择题

1．(2017·吉林实验中学模拟)若f (x )是幂函数，且满足错误!＝2，则f 错误!＝( ) A ．12B ．14

C ．2

D ．4

解析：选B 设f (x )＝x α，由错误!＝错误!＝3α＝2，得α＝log 32，∴f 错误!＝错误!log 32＝错误!.

2．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )

解析：选B f (x )＝错误!故选B ． 3．计算：(log 32－log 318)÷81－14＝( )

A ．－32

B ．－6

C ．32

D ．6

解析：选B (log 32－log 318)÷81－14＝log 3218÷(34)－14＝log 319÷34×⎝⎛⎭⎫－14＝－2÷1

3＝－6，故选B ． 4．(2016·全国丙卷)已知a ＝243，b ＝323，c ＝251

3，则( )

A ．b ＜a ＜c

B ．a ＜b ＜c

C ．b ＜c ＜a

D ．c ＜a ＜b

解析：选A a ＝243＝423，b ＝323，c ＝2513＝52

3

.

∵y ＝x 2

3在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c ＞a ＞B ．

5．函数f (x )＝|log 2x |＋x －2的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

解析：选B 函数f (x )＝|log 2x |＋x －2的零点个数，就是方程|log 2x |＋x －2＝0的根的个数． 令h (x )＝|log 2x |，g (x )＝2－x ，画出函数的图象，如图．

由图象得h (x )与g (x )有2个交点，∴方程|log 2x |＋x －2＝0的解的个数为2.故选B ．

6．(2017·中原名校调

研)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x －e －x (e 为自然对数的底数)，则f (ln 6)的值为( )

A ．ln 6＋6

B ．ln 6－6

C ．－ln 6＋6

D ．－ln 6－6

解析：选A ∵当x <0时，f (x )＝x －e －

x ，∴f (－ln 6)＝－ln 6－e ln 6＝－ln 6－6，又f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (ln 6)＝－f (－ln 6)＝ln 6＋6，故选A ．

7．设a ＝log 2π，b ＝log 1

2π，c ＝π－2，则( )

A ．a >b >c

B ．b >a >c

C ．a >c >b

D ．c >b >a

解析：选C 因为π>2，所以a ＝log 2π>1. 因为π>1，所以b ＝log 1

2π<0.

因为π>1，所以0<π－

2<1，

即0c >B ．

8．已知函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，－1) C ．[－1，＋∞)

D ．(－1，＋∞)

解析：选B 函数f (x )＝ln x －x －a 的零点即关于x 的方程ln x －x －a ＝0的实根，将方程化为ln x ＝x ＋a ，令y 1＝ln x ，y 2＝x ＋a ，由导数知识可知当两曲线相切时有a ＝－1.若函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为(－∞，－1)．

9．设二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R)的值域为[0，＋∞)，则1c ＋9

a 的最小值为( )

A ．7

B ．9

2

C ．3

D ．5

解析：选C 由f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R)的值域为[0，＋∞)，得a >0且Δ＝16－4ac ＝0，∴ac ＝4，∴1c ＋9a

≥29ac ＝3，当且仅当a ＝6，c ＝2

3

时，等号成立．故选C ． 10．(2016·桂林模拟)若x log 52≥－1，则函数f (x )＝4x －2x ＋1－3的最小值为( ) A ．－4 B ．－3 C ．－1

D ．0

解析：选A ∵x log 52≥－1，∴2x ≥15，则f (x )＝4x －2x ＋

1－3＝(2x )2－2×2x －3＝(2x －1)2－4.当2x ＝1

时，f (x )取得最小值－4.

11．(2016·云南统一检测)已知f (x )＝错误!则f (x )≥－2的解集是( ) A ．⎝

⎛⎦⎤－∞，－1

3∪[4，＋∞)

B ．⎝⎛⎦⎤－∞，－1

3∪(0,4] C ．⎣⎡⎭⎫－1

3，0∪[4，＋∞) D ．⎣⎡⎭

⎫－1

3，0∪(0,4] 解析：选B 当x <0时，f (x )≥－2，即1＋x x ≥－2，可转化为1＋x ≤－2x ，得x ≤－13；当x >0时，f (x )≥

－2，即log 12

x ≥－2，可转化为log 12

x ≥log 12

4，解得0

⎛⎦⎤－∞，－1

3∪(0,4]． 12．设函数f (x )＝ln x －m

x ，若f (x )在(2,3)内有唯一的零点，则实数m 的取值范围是( )

A ．⎝⎛⎭⎫ln 22，ln 33

B ．⎝⎛⎭⎫ln 22，ln 33∪⎝⎛⎭⎫

－ln 33，－ln 22 C ．(2ln 2,3ln 3)

D ．(2ln 2,3ln 3)∪(－3ln 3，－2ln 2)

解析：选C 因为函数f (x )＝ln x －m

x 在(2,3)内有唯一的零点，所以方程x ln x ＝m 在(2,3)内有唯一解．设

g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝ln x ＋1，∴g (x )在(2,3)上为增函数，∵g (2)＝2ln 2，g (3)＝3ln 3，∴m ∈(2ln 2,3ln 3)．

二、填空题

13．计算：3×31.5×6

12＋lg 14

－lg 25＝________.

解析：3×31.5×6

12＋lg 14－lg 25＝312×313213×316×213

－lg 4－lg 25＝3－lg 100＝3－2＝1.

答案：1

14．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝错误!则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．

解析：当x <1时，由e x －

1≤2得x ≤1＋ln 2，∴x <1；当x ≥1时，由x 13≤2得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上，

符合题意的x 的取值范围是x ≤8.

答案：(－∞，8]

15．已知函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫1－a

2x 的定义域是(1，＋∞)，则实数a 的值为________． 解析：由题意得，不等式1－a 2x >0的解集是(1，＋∞)，由1－a

2x

>0.可得2x >a ，故x >log 2a ，由log 2a ＝1得a ＝2.

答案：2 16．(2016·

长

春

调

研

)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋5)＝16，当x

∈