实变函数试题库及参考答案

实变函数试题库及参考

答案

IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

实变函数试题库及参考答案（1） 本科

一、填空题

1．设,A B 为集合，则()\A B B A B （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填

写） 6．设n

E ⊂

是可数集，则*m E 0

7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1

a ∀∈，()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是 ，

则称()f x 在E 上可测

8．可测函数列的上极限也是 函数

9．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x +⇒ 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题

1．下列集合关系成立的是（ ） 2．若n R E ⊂是开集，则（ ）

3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ）

A E 是不可数集

B E 是闭集

C E 中没有内点

D 1m

E =

2．设n

E ⊂

是无限集，则（ ）

A E 可以和自身的某个真子集对等

B E a ≥（a 为自然数集的基数）

3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ）

A 函数()f x 在E 上可测

B ()f x 在E 的可测子集上可测

C ()f x 是有界的

D ()f x 是简单函数的极限 4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ）

A ()f x 在[],a b 上可测

B ()f x 在[],a b 上L 可积

C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续

D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数 四、判断题

1. 可数个闭集的并是闭集. （ ）

2. 可数个可测集的并是可测集. （ ）

3. 相等的集合是对等的. （ ）

4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题

1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.

2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.

3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？

4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题

1. 设()[]23

0,1\x x E f x x

x E

⎧∈⎪

=⎨∈⎪⎩，其中E 为[]0,1中有理数集，求

()[]

0,1f x dx ⎰.

2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121

,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，求()[]

0,1lim n n f x dx →∞⎰.

七、证明题

1．证明集合等式：(\)A B B A B =

2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有

1

[|()|]|()|E mE x f x a f x dx a

≥≤

⎰ 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞

=，则

实变函数试题库及参考答案（1） 本科

一、填空题

1.=

2.≤

3.闭集

4.开集

5.≤

6.=

7.可测集

8.可测

9.()()f x g x + 10.可积 二、单选题 ABB 三、多选题

ACD AB ABD ABC 四、判断题 × √√√ 五、定义题

1.答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A ，A 的幂集2A 的基数大于A 的基数.

2.答: 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.

3.答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限

4.答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差. 六、解答题

1.解：因为0mE =，所以()3,.f x x a e =于[]0,1，于是

()[]

[]

30,10,1f x dx x dx =

⎰

⎰

，

而3x 在[]0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系， 因此

()[]

0,114

f x dx =

⎰

. 2.解：显然()n f x 在[]0,1上可测，另外由()n f x 定义知，()0,.n f x a e =于[]0,1()1n ≥ 所以

()[]

[]

0,10,100n

f x dx dx ==⎰⎰

因此()[]

0,1lim

0n

n f x dx →∞

=⎰

七、证明题 1.证明

2.证明 设F 是[0,1]中的有理数集，则F 是可数集，从而*0m F =，因此F 是可测集，从而c F 可测，又[0,1]\[0,1]c E F F ==，故E 是可测集.由于E

F =∅，所以

1[0,1]()0m m E

F mE mF mF ===+=+，故1mF =

3.证明 设{}n r 为全体有理数所成之集，则

因为(),()f x g x 是E 上的可测函数，所以[|()]n E x f x r ≥，[|()]n E x g x r <是可测集，1,2,

n =，于是由可测集性质知[|()()]E x f x g x >是可测集

4.证明 因为()f x 在E 上可测，所以|()|f x 在E 上非负可测，由非负可测函数积分性质，