第21讲 菱形与矩形

第21讲 菱形与矩形

考点·方法·破译

1．理解并掌握菱形的定义、性质和判定方法，并运用它们进行计算与证明； 2．理解并掌握矩形的定义、性质和判定方法，并运用它们进行计算与证明； 3．理解“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”并会应用．

经典·考题·赏析

【例1】(衢州)如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．

求证：P A ＝PQ ．

【解法指导】证明线段相等的方法有如下：⑴若在同一三角形中可利用等腰三角形的判定定理；⑵若在不同三角形中可利用全等三角形证明；⑶利用三角形中位线定理与直角三角形谢边上中线等于斜边一半证明；(4)利用特殊四边形的边与对角线的关系证明等．

证明：∵四边形ABCD 为矩形，△PBC 、△QCD 都是等边三角形

∴BA ＝CD ＝CQ ，∠PBA ＝30°，BP ＝CP ，∠DCP ＝∠BCQ ＝30°，∴∠PCQ ＝30° 在△ABP 和△QCP 中BA ＝CQ ，∠ABP ＝∠QCP ，BP ＝CP ∴△ABP ≌△QCP ，∴P A ＝PQ 【变式题组】 01．(荆州)如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE ＝AD ，DF ⊥AE 与F ，连接DE ．求

证：DF ＝DC ．

02．(荆州)如图，矩形ABCD 中，DP 平分∠ADC 交BC 于点P ，将一个直角三角板的直角

顶点放在P 点处，且使它的一条直角边过A 点，另一条直角边交CD 于E ．找出图中与P A 相等的线段．并说明理由．

A

B

C

E

D A

B

C

D

E

F

A

B

C

D Q

P

03．如图，矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE ＝15°，求

∠BOE 的度数．

【例2】已知：如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 边上，AE ＞DE ，BE ＝BC ，点O 是线段CE 的中点． ⑴试说明CE 平分∠BED ；

⑵若AB ＝3，BC ＝5，求BO 的长；

⑶在直线AD 上是否存在点F ，使得以B 、C 、E 、F 为顶点的四边形是菱形？如果存在，试画出点F 的位置，

并作适当的说明；如果不存在，请说明理由．

【解】⑴∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠BCE ＝∠DEC ．

又∵BE ＝BC ，∴∠BCE ＝∠BEC ．∴∠BEC ＝∠DEC ，∴CE 平分∠BED ． ⑵在Rt △中，AB ＝3，BE ＝BC ＝5，∴AE ＝4． 在Rt △CDE 中，CD ＝3，DE ＝1，∴EC ＝10． 在Rt △BOC 中，BC ＝5，CO ＝102，∴BO ＝902＝310

2

．(注：此处用面积法求BO 也可)

⑶在直线AD 上存在点F ，使得以B 、C 、E 、F 为顶点的四边形是菱形． 延长ED 至F ，使得EF ＝BC ，此时四边形BCFE 是菱形．

∵AE ＞DE ，∴BE ＞CE ，

因此在EA 的延长线上不存在点F ，使得四边形BCEF 为菱形． 【变式题组】 01．(烟台)如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，菱形OABC

的对角线OB 在x 轴上，顶点A 在反比例函数y ＝2

x

的图像上，菱形的面积为_________．

02．(益阳)两个全等的直角三角形ABC 和DEF 重叠在一起，其中∠A ＝60°，AC ＝1．固定

△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作： ⑴如图1，△DEF 沿线段AB 向右平移(即D 点在线段AB 内移动)，连接DC 、CF 、FB ，四边形CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积；

⑵如图2，当D 点移到AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由．

A

B

C

F

E D

图1

F

C

E B

D A

图2

A

B

C E

D

O

A B C

E D O

【例3】(全国联赛)如图，在矩形ABCD 中，已知AD ＝12，AB ＝5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，则PE ＋PF ＝__________．

【解法指导】因为P 是AD 上任意一点，故想求出PE 、PF 长的具体数据是不可能的，从特殊位置考虑，当P 与A 重合时，PE ＋PF 就等于点A 到BD 的距离，因而只需要求出A 到BD 的距离，事实上利用面积法可以证明下列命题“等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．”

解：如图，过A 作AG ⊥BD 于G ，∵等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离之和等于腰上的高．∴PE ＋PF ＝AG ．Rt △ABD 中，AD ＝12，AB ＝5，BD ＝13．S △ABC ＝1

2AB •AD

＝12BD •AG ，∴AG ＝6013，∴PE ＋PF ＝6013

． 【变式题组】

01．⑴观察与发现：讲矩形纸片AOCB 折叠，使点C 与点A 重合，点B 落在点B ＇处(如图

1)，折痕为EF ．小明发现△AEF 为等腰三角形，你同意吗？请说明理由．

⑵实验与应用：以点O 为坐标原点，分别以矩形的边OC 、OA 为x 轴、y 轴建立如图所示的直角坐标系，若顶点B 的坐标为(9，3)，请求出折痕EF 的长及EF 所在直线的函数关系式．

02．(佳木斯)如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠使点B 落到B ＇的位置，AB ＇与

CD 交于点E ．

⑴试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明；

⑵若AB ＝8，DE ＝3，P 为线段AC 上的任意一点，PG ⊥AE 于G ，PH ⊥EC 于H ，试求PG ＋PH 的值，并说明理由．

A

B C

E D

H

G

P

B ＇ A B C

F E

B ＇

O

图1

A

B

C F

E D O

P

G

F E D

A

P

C O

B