第21讲 菱形与矩形

第21讲 菱形与矩形考点·方法·破译1．理解并掌握菱形的定义、性质和判定方法，并运用它们进行计算与证明； 2．理解并掌握矩形的定义、性质和判定方法，并运用它们进行计算与证明； 3．理解“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”并会应用．经典·考题·赏析【例1】(衢州)如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．求证：P A ＝PQ ．【解法指导】证明线段相等的方法有如下：⑴若在同一三角形中可利用等腰三角形的判定定理；⑵若在不同三角形中可利用全等三角形证明；⑶利用三角形中位线定理与直角三角形谢边上中线等于斜边一半证明；(4)利用特殊四边形的边与对角线的关系证明等．证明：∵四边形ABCD 为矩形，△PBC 、△QCD 都是等边三角形∴BA ＝CD ＝CQ ，∠PBA ＝30°，BP ＝CP ，∠DCP ＝∠BCQ ＝30°，∴∠PCQ ＝30° 在△ABP 和△QCP 中BA ＝CQ ，∠ABP ＝∠QCP ，BP ＝CP ∴△ABP ≌△QCP ，∴P A ＝PQ 【变式题组】 01．(荆州)如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE ＝AD ，DF ⊥AE 与F ，连接DE ．求证：DF ＝DC ．02．(荆州)如图，矩形ABCD 中，DP 平分∠ADC 交BC 于点P ，将一个直角三角板的直角顶点放在P 点处，且使它的一条直角边过A 点，另一条直角边交CD 于E ．找出图中与P A 相等的线段．并说明理由．ABCED ABCDEFABCD QP03．如图，矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE ＝15°，求∠BOE 的度数．【例2】已知：如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 边上，AE ＞DE ，BE ＝BC ，点O 是线段CE 的中点． ⑴试说明CE 平分∠BED ；⑵若AB ＝3，BC ＝5，求BO 的长；⑶在直线AD 上是否存在点F ，使得以B 、C 、E 、F 为顶点的四边形是菱形？如果存在，试画出点F 的位置，并作适当的说明；如果不存在，请说明理由．【解】⑴∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠BCE ＝∠DEC ．又∵BE ＝BC ，∴∠BCE ＝∠BEC ．∴∠BEC ＝∠DEC ，∴CE 平分∠BED ． ⑵在Rt △中，AB ＝3，BE ＝BC ＝5，∴AE ＝4． 在Rt △CDE 中，CD ＝3，DE ＝1，∴EC ＝10． 在Rt △BOC 中，BC ＝5，CO ＝102，∴BO ＝902＝3102．(注：此处用面积法求BO 也可)⑶在直线AD 上存在点F ，使得以B 、C 、E 、F 为顶点的四边形是菱形． 延长ED 至F ，使得EF ＝BC ，此时四边形BCFE 是菱形．∵AE ＞DE ，∴BE ＞CE ，因此在EA 的延长线上不存在点F ，使得四边形BCEF 为菱形． 【变式题组】 01．(烟台)如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，菱形OABC的对角线OB 在x 轴上，顶点A 在反比例函数y ＝2x的图像上，菱形的面积为_________．02．(益阳)两个全等的直角三角形ABC 和DEF 重叠在一起，其中∠A ＝60°，AC ＝1．固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作： ⑴如图1，△DEF 沿线段AB 向右平移(即D 点在线段AB 内移动)，连接DC 、CF 、FB ，四边形CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积；⑵如图2，当D 点移到AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由．ABCFE D图1FCE BD A图2ABC EDOA B CE D O【例3】(全国联赛)如图，在矩形ABCD 中，已知AD ＝12，AB ＝5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，则PE ＋PF ＝__________．【解法指导】因为P 是AD 上任意一点，故想求出PE 、PF 长的具体数据是不可能的，从特殊位置考虑，当P 与A 重合时，PE ＋PF 就等于点A 到BD 的距离，因而只需要求出A 到BD 的距离，事实上利用面积法可以证明下列命题“等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．”解：如图，过A 作AG ⊥BD 于G ，∵等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离之和等于腰上的高．∴PE ＋PF ＝AG ．Rt △ABD 中，AD ＝12，AB ＝5，BD ＝13．S △ABC ＝12AB •AD＝12BD •AG ，∴AG ＝6013，∴PE ＋PF ＝6013． 【变式题组】01．⑴观察与发现：讲矩形纸片AOCB 折叠，使点C 与点A 重合，点B 落在点B ＇处(如图1)，折痕为EF ．小明发现△AEF 为等腰三角形，你同意吗？请说明理由．⑵实验与应用：以点O 为坐标原点，分别以矩形的边OC 、OA 为x 轴、y 轴建立如图所示的直角坐标系，若顶点B 的坐标为(9，3)，请求出折痕EF 的长及EF 所在直线的函数关系式．02．(佳木斯)如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠使点B 落到B ＇的位置，AB ＇与CD 交于点E ．⑴试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明；⑵若AB ＝8，DE ＝3，P 为线段AC 上的任意一点，PG ⊥AE 于G ，PH ⊥EC 于H ，试求PG ＋PH 的值，并说明理由．AB CE DHGPB ＇ A B CF EB ＇O图1ABC FE D OPGF E DAPC OB【例4】(沈阳)如图1，在△ABC 中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，若B 、P 在直线a 的异侧，BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，连接PM 、PN ；⑴延长MP 交CN 于点E (如图2)．①求证：△BPM ≌△CPE ；②求证：PM ＝PN ； ⑵若直线a 绕点A 旋转到图3的位置时，点B 、P 在直线a 的同侧，其他条件不变，此时PM ＝PN 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；⑶若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其他条件不变．请直接判断四边形MBCN 的形状及此时PM ＝PN 还成立吗？不必说明理由．【解法指导】⑴证明：①如图2，∵BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，∴∠BMN ＝∠CNM ＝90°，∴BM ∥CN ，∴∠MBP ＝∠ECP ，∵P 为BC 的中点，∴BP ＝CP ，又∵∠BMP ＝∠CPE ，∴△BPM ≌△CPE ，②∵△BPM ≌△CPE ，∴PM ＝PE ，∴PM ＝12ME ，∴在Rt △MNE 中，PN ＝12ME ，∴PM＝PN ；⑵成立，如图3， 证明：延长MP 与NC 的延长线相较于点E ，∵BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，∴∠BMN ＝∠CMN ＝90°，∴∠BMN ＋∠CNM ＝180°，∴BM ∥CN ，∴∠MBP ＝∠ECP ，∵P 为BC 的中点，∴BP ＝CP ，∵∠BPM ＝∠CPE ，∴△BPM ≌△CPE ，∵PM ＝PE ，∴PM ＝12ME ，则在Rt △MNE 中，PN ＝12ME ，∴PM ＝PN ．⑶四边形MBCN 是矩形，PM ＝PN 成立． 【变式题组】 01．(绵阳)如图，一副三角板拼在一起，O 为AD 的中点，AB ＝a ．将△ABO 沿BO 对折于△A ’BO ，M 为BC 上一动点，则A ’M 的最小值为________．02．(营口)如图1，P 是线段AB 上的一点，在AB 的同侧作△APC 和△BPD ，使PC ＝P A ，PD ＝PB ，∠APC ＝∠BPD ，连接CD ，点E 、F 、G 、H 分别是AC 、AB 、BD 、CD 的中点，顺次连接E 、F 、G 、H ．⑴猜想四边形EFGH 的形状，直接回答，不必说明理由；、⑵当点P 在线段AB 的上方时，如图2，在△APB 的外部作△APC 和△BPD ，其他条件不变，⑴中的结论还成立吗？说明理由．⑶如果⑵中，∠APC ＝∠BPD ＝90°，其他条件不变，先补全图3，再判定四边形EFGH 的形状，并说明理由．A BMNPa A BCMNPa EAaN PM BC图1图2图3ABCDO M A ＇60° 45°03．(北京)如图所示，一根长为2a的木棍(AB)，斜靠在与地(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．⑴请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由；⑵在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．演练巩固反馈提高01．(仙桃)将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB ＝3，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为( )A． 3 B．2 C．3 D．2 302．(长春)菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝2，则点B的坐标为( )A．(2，1) B．(1，2) C．(2＋1，1) D．(1，2＋1)C１ DABFEB１AB CEDA＇第3题图第2题图第1题图A BC HGFEDPA BC HGFEDPA BP图1 图2 图303．(浙江丽水)如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A ’，若四边形ADA ’E 是菱形，则下列说法正确的是( )A ．DE 是△ABC 的中位线B ．AA ’是BC 边上的中线 C ．AA ’是BC 边上的高D ．AA ’是△ABC 的角平分线04．(山东临沂)如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为( )A ．2 3B ．3 3C ．4 3D ．305．一次数学课上，老师让大家在一张长12cm 、宽5cm 的矩形纸片内，折出一个菱形．甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH (见方案一)，乙同学沿矩形的对角线AC 折出∠CAE ＝∠DAC ，∠ACF ＝∠ACB 的方法得到菱形AECF (见方案二)，请你通过计算，比较这两种折法中，菱形面积较大的是( ) A ．甲 B ．乙 C ．甲乙相等 D ．无法判断 06．(大兴安岭)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝3，AF 平分∠DAB ，过C 点作CE ⊥BD 于E ，延长AF 、EC 交于点H ，下列结论中：①AF ＝FH ；②BO ＝BF ；③CA ＝CH ；④BE ＝3ED ，正确的结论为_________________．07．(临沂)如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、BC于点E 、F ，连接CE ，则CE 的长为__________．08．如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E处，折痕为AF ，若CD ＝6，则AF ＝____________．09．红丝带是关注艾滋病防止问题的国际性标志．将宽为1cm 的红丝带交叉成60°角重叠在一起(如图)，则重叠四边形的面积为_______cm ．10．(荆州)如图，一张长方形纸片ABCD ，其长AD 为a ，宽AB 为b (a ＞b )，在BC 边上选取一点M ，将△ABM 沿AM 翻折后B 至B ’的位置，若B ’为长方形纸片ABCD 的对称中心，则ab的值是__________．11．(郴州)一种千斤顶利用了四边形的不稳定性．如图，其基本形状是一个菱形，中间通过ABCDF E第8题图60°第9题图ABC DMB ＇第10题图第7题图C FEDOABACD EF BA BCFED HG A BCDFAB C F EDOH第4题图 第5题图第6题图(方案一)(方案二)螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC 的大小(菱形的边长不变)，从而改变千斤顶的高度(即A 、C 之间的距离)．若AB ＝40cm ，当∠ADC 从60°变为120°时，千斤顶升高了多少？(2＝1．414，3＝1．732，结果保留整数)12．如图所示，四边形OABC 是矩形，点D 在OC 边上，以AD 为折痕，将△OAD 向上翻折，点O 恰好落在BC 边上的点E 处，若△ECD 的周长为2，△EBA 的周长为6． ⑴矩形OABC 的周长为_______；⑵若点A 坐标为(52，0)，求线段AD 所在直线的解析式．13．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，ME ⊥AC ，MF ⊥BC ，D 是AB 的中点．求证：△DEF 是等腰直角三角形．14．如图，矩形ABCD 中，AC ＝2AB ，O 为AC 的中点，延长AB 到E ，使BE ＝AB ，连接EO 并延长交BC 于F ，交AD 于M ．求证：四边形AFCM 是菱形．ABCFE DMCFEDOM BA15．如图，矩形ABCD ，E 是CB 延长线上一点，且CE ＝CA ，F 是AE 的中点．求证：DF⊥BF ．16．(南平)如图1，在△ABC 中，AB ＝BC ，P 为AB 边上一点，连接CP ，以P A 、PC 为邻边作□APCD ，AC 与PD 相交于点E ，已知∠ABC ＝∠AEP ＝α(0°＜α＜90°)． ⑴求证：∠EAP ＝∠EP A ；⑵□APCD 是否为矩形？请说明理由；⑶如图2，F 为BC 的中点，连接FP ，将∠AEP 绕点E 顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN (点M 、N 分别是∠MEN 的两边与BA 、FP 延长线的交点)．猜想线段EM 与EN 之间的数量关系，并证明你的结论．图1BABC FE D培优升级 奥赛检测01．在一次函数y ＝－x ＋3的图象上取一点P ，作P A ⊥x 轴，垂足为A ，作PB ⊥y 轴，垂足为B ，且矩形OAPB 的面积为94，则这样的点P 共有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个02．(杭州)如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝110°，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠EPC ＝( ) A ．35° B ．45° C ．50° D ．55°03．(安顺)如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则微型机器人停在_____点．04．(湖州市竞赛试题)如图，在平面直角坐标系xOy 中，长方形OABC 的顶点B 的坐标为(15，6)，直线y ＝13x ＋b 恰好将长方形OABC 的面积两等分，那么b ＝_________．05．(烟台)如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是_________．06．Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF⊥AB 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为_________．07．(四川省初二联赛试题)已知如图，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD ，垂足为E ，BC ＝43且∠ADB ＝30°，则△ECD 的面积为_________．08．(河南)动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ’处，折痕为PQ ，当点A ’在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ’在BC 边上可移动的最大距离为_________．09．(潍坊)已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角坐标系的x 轴、y轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC 长的最大值是_________．PC A EF BM A BC D E 第6题图第7题图AB CDQA ＇ 第8题图第9题图D C BA E FP DC BAEF G第2题图第3题图10．(全国初中数学竞赛试题)如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别时O (0，0)，A (0，6)，B (4，6)，C (4，4)，D (6，4)，E (6，0)．若直线l 经过点M (2，3)，且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是__________________．11．(山东烟台)如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E 、F 分别是AD 、CD 上的两个动点，且满足AE ＋CF ＝2．⑴求证：△BDE ≌△BCF ；⑵判定△BEF 的形状，并说明理由；⑶设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围．12．某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD (AB ＜BC )的对角线交点O 选择(如图1→2→3)，图中M 、N 分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD 的边CD 、BC 的交点．⑴该学习小组中一名成员意外地发现：在图1(三角板的一直角边与OD 重合)中，BN 2＝CD 2＋CN 2；在图3(三角板的一直角边与OC 重合)中，CN 2＝BN 2＋CD 2．请你对这名成员在图1和图3中发现的结论选择其一说明理由；⑵试探究图2中BN 、CN 、CM 、DM 这四条线段之间的关系，写出你的结论，并说明理由．AB C DON图3图1 OABCDNABCD O NM图213．(四川省初二联赛试题)如图，在凸四边形ABCD 中，M 为边AB 的中点，且MC ＝MD ，分别过C 、D 的垂线，设两条垂线的交点为P ．求证：∠P AD ＝∠PBC ．14．如图已知五边形ABCDE 中，∠ABC ＝∠AED ＝90°，∠BAC ＝∠EAD ，F 是CD 的中点，求证：BF ＝EF ．15．(江苏竞赛)如图在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，E 、F 分别是AC 、AB 边上的点，且∠ABE ＝∠ACF ，OQ ⊥AB ，OP ⊥AC ．求证：DP ＝DQ ．16．(天津)在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点．⑴若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；(温馨提示：如图，可以作点D 关于x 轴的对称点D ’，连接CD ’与x 轴交于点E ，此时△CDE 的周长是最小的．这样，你只需求出OE 的长，就可以确定点E 的坐标了． ⑵若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．A C F E DOPQBABCFEDDC B A MP17．(广州)如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(3，0)，(0，1)，点D是线段BC 上的动点(与端点B 、C 不重合)，过点D 作直线y ＝－12x ＋b 交折线OAB 于点E ．⑴记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；⑵当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1，试探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．18．(河南)⑴操作发现：如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF ＝DF ，你同意吗？说明理由． ⑵问题解决：保持⑴中的条件不变，若DC ＝2DF ，求ADAB 的值； ⑶类比探求：保持⑴中的条件不变，若DC ＝nDF ，求ADAB的值；F。