转化与化归思想的应用
化归与转化的思想在解题中的应用(新课标,含习题及详细解答)
化归与转化的思想在解题中的应用一、知识整合1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。
2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。
除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。
从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。
化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。
数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。
3．转化有等价转化和非等价转化。
等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。
4．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。
（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。
（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。
（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。
（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
二、例题分析例1．某厂2001年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m 与全年总投入N的大小关系是（）A. m>NB. m<NC.m=ND.无法确定[分析]每月的利润组成一个等差数列{a n }，且公差d ＞0，每月的投资额组成一个等比数列{b n }，且公比q ＞1。
转化与化归思想在中学数学中的应用
转化与化归思想在中学数学中的应用转化思想和化归思想是中学数学中非常重要的两个思想，它们在解决问题和证明定理过程中起着至关重要的作用。
本文将分别探讨转化思想和化归思想在中学数学中的应用。
一、转化思想在中学数学中的应用转化思想是指通过变换问题的形式或等效变形，使问题转化为熟悉的或易于处理的问题。
它就像是把难题中的棘手一面剥离，使问题变得简单易懂，进而更好地解决问题。
在中学数学中，转化思想主要体现在以下几个方面：1.利用等量代换简化方程式在代数运算中，我们会遇到很多组长方程式，而这些方程式中经常出现相同的项。
这时候，我们可以采用等量代换的方法，将其化简，使问题更容易解决。
例如，我们可以利用x+y=1这个式子，将x^3+y^3转化为(x+y)^3-3xy(x+y)，从而简化计算过程。
2.利用等式变形证明定理在证明数学定理时，通过大量变量之间的等式变形，可以大大简化证明过程。
例如，在证明勾股定理中，我们可以把原方程式a^2+b^2=c^2转化为a^2+b^2-c^2=0，继续变形成(a+c)(a-c)+(b+c)(b-c)=0，再变形成其它等式，最终证明了定理。
3.利用变量的代数变换简化问题有些问题需要建立函数关系式，但是常见的函数关系式过于复杂，不容易解决。
这时候，我们可以尝试采用代数变换的方法，将其变成简单的函数关系式。
例如，在解决极值问题时，我们可以利用三角函数的性质进行变量的代数变换，将复杂的函数关系式变得简单清晰。
二、化归思想在中学数学中的应用化归思想是指将问题按一定规律，通过变形而归约成一个与原问题相关的子问题，然后逐步化简子问题，最终解决原问题。
通过化归，我们可以更容易地理解问题，从而更好地解决问题。
在中学数学中，化归思想主要体现在以下几个方面：1.将高阶次问题化归为低阶次问题有些问题是高阶次或高维的，很难直接解决。
这时候，我们可以采用化归的方法，将其化归为低阶次问题。
例如，在解决n阶递推数列时，我们可以将n阶递推数列化归为n-1阶递推数列，从而简化问题的处理。
转化与化归思想在高中数学中的应用
考 点 聚 焦
管 昭 岛 昭 国 圆圈 宙 岛 （ ０ ） 团 昏（ ０ ） 圈 国 国
■ 曹利 霞
转化就 是数学命题 由一种形式 向另一种形式 的 变换过 程 ，化 归就是把待解决 的问题通过某种转化 过程归结 为一类 已经解决 或 比较容 易解决 的问题 。 转化与化 归思想是 中学数 学最基本 的思想方 法 ， 堪 称数学思想的精髓 所在 ， 因为数形结合思想 、 函数与 方程思想 、分类讨论 思想都是转化与化 归思 想的具 体体现 ， 各种变换 的方法 、 分析法 、 反证法 、 待定系数 法、 构造法等都是转化与化归 的手段 。 下面谈 谈转 化与化归思想 在高中数 学应 用中主 要 涉及 的 基 本类 型 。
１ ． 正 与 反 的 相 互 转 化
表 面看来似乎 只有相 等的数量关 系 ，根据这些相 等 关系又难以解决 问题 ， 但若能挖掘其 中的不等关系 ， 建立不等式（ 组） ， 往往能获得简捷求解的效果 。
例３ 已知都是实数 ，且０ 、 ｖ ／ Ｔ 二 ＋ ６ 、 嚼 ＝ １ ， 求证 ： ａ ２ ＋ ｂ ２ ： １ 。 分析 ： 利用均值不等式先得到一个不等关系 ， 再 结合已知中的相等关系寻求ｎ 与６ 之 间的关系 。
解： ． ． ． ０ ～
’ ． ．
≤
２
， ６ ～
≤
２
．
ａ ｘ ／ １ 一 ｂ ＋ ６ ｘ ／ １ 一 ａ ２ ≤１ 。又 ａ ｘ ／ １ 一 ｂ ＋ ６ 、 ／ １ 一 ＝
对于那些从“ 正面进攻 ” 很难奏效或运算 比较繁 琐的问题 ， 可先攻其反 面， 运用补集思想从而使正面 得 以解 决 。 例 １ 某 射手射击 １ 次击 中目标 的概率 是０ ． ９ ， 他 连续射击４ 次且 他各次射击 是否击 中 目标是相 互独 立 的， 则他至少击 中 目标 １ 次的概率为— — 。 分析 ： 至少击 中 目标一次 的情况包括 １ 次、 ２ 次、 ３ 次、 ４ 次击 中 目标 共 四种情 况 ，可转 化 为其对 立事 件—— “ 一次都未 中” 来求解 。 略解 ： 由上述 分析可知 ， 他 四次射击 未中 １ 次 的 概率Ｐ ｉ ＝ Ｃ ４ ０ ． １ ＝ Ｏ ． １ ４ ， 他至少 射击 击 中 目标 １ 次 的概率 为 １ 一 Ｐ １ ＝ １ —
化归与转化思想在高中数学解题中的应用
所谓化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。
在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，需将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这就是转化的思想方法。
转化思想方法的特点是实现问题的规范化、模式化，以便应用已知的理论，方法和技巧达到问题的解决，其思维过程的形式如下图：转化具有多向性、层次性和重复性的特点。
为了实施有效的转化，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论；既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，这就是多向性，转化原则既可应用于沟通数学各分支学科的联系，从宏观上实现学科间的转化，又能调动各种方法与技术，从微观上解决多种具体问题，这是转化的层次性，而解决问题中可以多次地使用转化，使问题逐次达到规范化，这是转化原则应用的重复性。
转化思想方法包含三个基本要素：1、把什么东西转化，即转化的对象；2、转化到何处去，即转化的目标；3、如何进行转化，即转化的方法。
转化思想方法应遵循以下五条原则：1、熟悉化原则，将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解。
2、简单化原则，将复杂问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。
3、和谐化原则，转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示和谐统一的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律。
4、直观化原则，将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。
5、正难侧反原则，当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获得解决，或证明问题的可能性。
化归与转化的数学思想解题举例
化归与转化的数学思想解题举例在数学问题中，化归与转化是一种常用的解题思路。
它们可以帮助我们将原问题转化为一个简化的形式，从而更容易得到解答。
本文将通过几个具体的例子来说明化归与转化在数学问题中的应用。
一、化归化归是将一个复杂的问题转化为一个更简单的等价问题的过程。
它通常是通过引入新变量或假设，将原问题转化为一个更易于处理的形式。
例子1：求解一元二次方程的解对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果a不等于0，我们可以通过化归的方法求解其根。
首先，我们可以将方程中的未知数x改写为y = x + p，其中p是一个常数。
这样，我们将原来的方程转化为了ay^2 + dy + e = 0（其中d 和e是和p相关的常数）。
接下来，我们可以通过求解新方程来得到原方程的解。
由于新方程中的y是一个平移的变量，我们可以通过平方完成对y的消除。
最后，我们将得到一个新的一次方程： Cy + F = 0（C和F是和p 相关的常数）。
求解这个一次方程，我们就可以得到原方程的解。
通过化归，我们将原本复杂的问题转化为了一个简单的一次方程的求解问题，从而更容易得到解答。
二、转化转化是将一个问题转换为一个具有相同解的等价问题的思想。
它可以通过改变问题的表述方式或者引入新的概念来实现。
例子2：求解无穷几何级数的和对于一个无穷几何级数a + ar + ar^2 + ar^3 + ...（其中| r | < 1），我们可以使用转化的思想来求它的和。
首先，我们可以将级数的和S表示为S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...，这是一个无穷级数。
接下来，我们将级数的每一项都乘以公比r，得到rS = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ...，这是另一个等价的无穷级数。
然后，我们将这两个等式相减，得到(S - rS) = a，进一步化简得到S = a / (1 - r)。
通过这样的转化，我们得到了无穷几何级数的和的数学表达式，简化了求解过程。
“转化与化归”思想在高中数学解题教学中的应用
解题研究２０２３年１２月上半月㊀㊀㊀转化与化归 思想在高中数学解题教学中的应用◉哈尔滨师范大学教师教育学院㊀李㊀硕㊀㊀转化与化归 思想是高学数学中的一种重要的数学思想,运用非常广泛,尤其是一些特殊的问题,运用 转化与化归 思想解题可以提高效率,同时还可以降低问题解决的难度．因此,在数学课堂引入并应用转化与化归思想,能够让学生在学习数学及解题的过程中,加深对数学概念的理解,同时也能有效锻炼数学思维,提高学习效率,进一步发展数学核心素养．在高中数学的解题过程中,基于 转化与化归 思想的三大原则,主要运用的解题方法包括特殊与一般的转化㊁命题的等价转化,以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等一些常见的转化方法．１特殊与一般的转化将一般问题进行特殊化处理,可使问题的解决变得更为直接和简便,并且还能从特殊情况中寻找问题解决的常规思维;除此之外,对特殊性问题进行概括性研究,实现特殊问题一般化,也能从宏观与全局的角度把握特殊性问题的普遍规律,并能有效地解决特殊性问题．例１㊀ 蒙日圆 涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a ＝１(a ＞０)的离心率为１２,则椭圆C 的蒙日圆的方程为(㊀㊀)．A．x ２＋y ２＝９㊀㊀㊀㊀㊀B ．x ２＋y ２＝７C ．x ２＋y ２＝５D．x ２＋y ２＝４分析:根据题目中的已知条件,在椭圆上,两条相互垂直的切线可以随意选择,但其交点位于与椭圆同心的圆却是唯一的,也即答案是唯一的．由此,可以通过选取一般问题的特殊情形找到一般的解题思路,不妨利用过椭圆的右顶点和上顶点的两条切线进行解题．解:因为椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a＝１(a ＞０)的离心率为１２,所以１a ＋１＝１２,解得a ＝３．所以椭圆C 的方程为x ２４＋y ２３＝１,且椭圆C 的上顶点为A (０,３),右顶点为B (２,０),则椭圆在A ,B 两点的切线方程分别为y ＝３和x ＝２,这两条切线的交点坐标为M (２,３)．由题意可知,交点M 必在一个与椭圆C 同心的圆上,可得与椭圆C 同心的圆的半径r ＝２２＋(３)２＝７．所以椭圆C 的蒙日圆方程为x ２＋y ２＝７．故选:B ．以问题的特征为依据,对命题进行转化,将原问题转化为与之相关的㊁容易解决的新问题,这也是解决数学问题常见的转化思路,并且可以通过这种转化逐步培养识别关键信息的能力．２命题的等价转化把题目中已有的条件或者结论进行相应的转化,化难为易,是解决较难问题常用的转化手段．其主要方法包括:数与形的转化㊁正与反的转化㊁常量与变量的转化㊁图形形体及位置的转化等．例２㊀由命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,得m 的取值范围是(－ɕ,a ),则实数a 的值是．分析:利用转化思想可以将命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０ 是假命题转化为 对任意x ɪR ,e|x －１|－m ＞０是真命题,由此得出m ＜e |x －１|恒成立,进而通过m 的取值范围来求a 的值．解:由命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,可知 对任意x ɪR ,e |x －１|－m ＞０是真命题,由此可得m 的取值范围是(－ɕ,１),而(－ɕ,a )与(－ɕ,１)为同一区间,故a ＝１．例３㊀若对于任意t ɪ[１,２],函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,则实数m 的取值范围是．分析:根据函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,可以利用正难则反的转化思想先找出g (x )在(t ,３)上单调的条件,再利用补集思想求出m 的取值范围．８５２０２３年１２月上半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀解:求得g ᶄ(x )＝３x ２＋(m ＋４)x －２．若g (x )在(t ,３)上单调递增,则g ᶄ(x )ȡ０,即３x ２＋(m ＋４)x －２ȡ０,亦即m ＋４ȡ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立．故m ＋４ȡ２t－３t 在t ɪ[１,２]上恒成立,则m ＋４ȡ－１,即m ȡ－５．若g (x )在(t ,３)上单调递减,则g ᶄ(x )ɤ０,即m ＋４ɤ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立,所以m ＋４ɤ２３－９,即m ɤ－３７３．综上,符合题意的m 的取值范围为－３７３＜m ＜－５．根据命题的等价性对题目条件进行明晰化处理是解题常见的思路;对复杂问题采用正难则反的转化思想,更有利于问题得到快速解答．３函数㊁方程㊁不等式之间的转化函数与方程㊁不等式之间有着千丝万缕的关联,通过结合函数y ＝f (x )图象可以确定方程f (x )＝０,不等式f (x )＞０和f (x )＜０的解集．例４㊀若２x －２y＜３－x －３－y ,则(㊀㊀)．A．l n (y －x ＋１)＞０B ．l n (y －x ＋１)＜０C ．l n |x －y |＞０D．l n |x －y |＜０分析:由题意,可将２x －２y＜３－x －３－y 转化为２x －３－x ＜２y－３－y ,进而实现不等式与函数之间的转化,从而解得答案．解:由２x －２y ＜３－x －３－y ,得２x －３－x ＜２y －３－y ．故构造函数y ＝２x －３－x ,即y ＝２x －(１３)x．由于函数y ＝２x－(１３)x 在R 上单调递增,因此x ＜y ,即y －x ＋１＞１．所以l n (y －x ＋１)＞l n １＝０．故选择:A ．例５㊀已知函数f (x )＝e l n x ,g (x )＝１ef (x )－(x ＋１)．(e ＝２．７１８ )(１)求函数g (x )的最大值;(２)求证:１＋１２＋１３＋ ＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．分析:第(１)问要求函数g (x )的最大值,关键在于需要运用转化与划归思想,通过g ᶄ(x )得出函数g (x )单调性,即可求出g (x )的最大值．将第(１)问得出的g (x )最大值－２转化成l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立),再利用换元法最终证明出结论．解:(１)由g (x )＝１ef (x )－(x ＋１),即g (x )＝l n x －(x ＋１),得g ᶄ(x )＝１x－１(x ＞０)．令g ᶄ(x )＞０,则０＜x ＜１;令g ᶄ(x )＜０,则x ＞１．所以,函数g (x )在区间(０,１)上单调递增,在区间(１,＋ɕ)上单调递减．故g (x )的最大值为＝g (１)＝－２．(２)证明:由(１)知x ＝１是函数g (x )的极大值点,也是最大值点,故g (x )ɤg (１)＝－２．所以l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立)．令t ＝x －１,则有t ȡl n (t ＋１)(t ＞－１)．取t ＝１n (n ɪN ＋),则有１n ＞l n (１＋１n)＝l n(n ＋１n )．故１＞l n２,１２＞l n ３２,１３＞l n ４３,,１n＞l n(n ＋１n )．上面n 个不等式叠加,得１＋１２＋１３＋ ＋１n＞l n (２ˑ３２ˑ４３ˑ ˑn ＋１n)＝l n (n ＋１)．故１＋１２＋１３＋ ＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．在分析此类题目的过程中,利用函数㊁方程㊁不等式进行转化与化归更有利于问题的解决,因此,利用转化与划归思想不仅能让整个数学知识的体系变得更加紧密,同时也能对学生从系统性角度掌握数学知识之间的联系提供非常大的帮助．转化与化归思想所蕴含的内容丰富且深奥,为高中数学问题的解决提供了多种思路,对高中数学的学习也有极大的指导与启发作用,值得我们不断地探索与研究．因此,在解决高中数学问题的过程中,要灵活运用 转化与化归 的解题思想．有些数学问题看似复杂,但通过分析可知出题者采用的是 障眼法 ,其中有的是多余或无用的条件．同时,在高中数学课堂教学中,教师可以在解题教学过程中渗透转化与化归思想,加强学生在特殊与一般转化㊁命题的等价转化以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等方面的技能,逐步锻炼学生简化题目内容的能力和意识,最大程度提高解题效率．Z９５。
转化与化归思想的应用
函数、 方程 、 等式常常可 以相互 转化 。 不 为一个 已为人们所熟知 的具 有既定 方法或 程序 的问题 ， 最 在解决有关问题时 ，
数 与 形 的 转 化
、
当我们 面临内容 抽象或不易 捉摸 的问题 时， 要设 法将 题 。
其转化 为直 观具体 的问题 ， 以便 凭借 事物 的形象把握 题 中
１ １
１＝ ０有解 ， 易知 ” ， ０ 于是 ａ一１ ０有解 等价于方 ｅ 一ｏ； ＝ ｔ
ｄ ， ≥ｒ即—
≥１ 解得 一 ３≤ ， √ ≤，－ ３，
１’ ｋ
程 ｅ ＝０＋ 有解 ， 即函数 Ｙ 与 Ｙ＝ ＋ｎ的图像有 交 ＝ｅ
１
即ｋ ∈［～ ， ］ 。 点评 正确理 解各 个 点集 的含 义 ， 掘 隐含 条件 ， 挖 以
， ）＝ 有实数根铮ｙ＝ （ 与 Ｙ （ ） （ ０ ｇ ） ： 的图像有交点 （ 其中
点 Ｄ（ ， ） ０ ０ 在定 点 的上方 ， 满足 不 且 等式 一 ２ ， Ｙ一 ≤０ 因而 Ａ 曰的实质 是 圆 ＋Ｙ ＝１在直线 — 。 Ｙ一２＝ ０的上方 ， 如图 １ 。 解 依题 意 Ａ Ｂ ， ｅ 圆 ＋ ＝１在直线 — Ｙ一２： ０
Ｉ 数学导学
Ｉ 周瑜芽／ ｓｚ ＠１３ｏ 责编 ｚ ｙ ６．ｒ ｙｙ ｃ ｎ
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与化 归思 想 的应用
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转 化与化归思想 ， 就是将 待解决 或 尚未解决 的问题通 过转化或再转化 ， 结 为一个 已经 解决 的 问题 ， 者归结 归 或 终得到问题解决 的思想方法 。
点 。因为 Ｙ＝ 是 Ｒ上的增函数且 ｅ ＞ ｙ： ＋ ｅ ０； 口在 （一
化归与转化思想在解题中的应用
化归与转化思想在解题中的应用主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙一、复习策略化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想．转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题．化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中．转化有等价转化与不等价转化．等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正．应用化归转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化．常见的转化有：1、等与不等的相互转化等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口．2、正与反的相互转化对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决．3、特殊与一般的相互转化对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举．4、整体与局部的相互转化整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始．5、高维与低维的相互转化事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维向高维的发展规律，通过降维转化，可把问题由一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何中特别常见．6、数与形的相互转化通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化．7、函数与方程的转化二、典例剖析例1．函数极限的值为（）.A．B．C．D．分析：依据题意，从定义、定理、公式、概念出发，化抽象为具体，化复杂为简单，从纵向和横向进行联想转化.解：由导数的定义可知．故选C．点评：本题借用函数极限的具体形式，旨在考查对导数定义的正确理解，因而转化为求函数在处的导数．例2．数列中，，，则＝______________.解：通过求猜想，从而达到解决问题的目的，也可以利用数列极限的含义进行重组变形，可转化为无穷等比递缩数列的求和，选C.点评：利用结构进行从特殊到一般的转化，既可缩短解题时间，又可提高运算准确性，同时考查思维的灵活性和代数变形能力.例3．（2005年湖北卷）以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为（）A．B．C．D．分析：以平行六面体的八个顶点中任取三点为顶点可以构成56个三角形，从这56个三角形中任取两个，这两个三角形不共面有多少种不同取法？直接去做较困难，若利用“化归转化”数学思想，采用“正与反的相互转化”，正难则反，从问题的反面入手，找出共面的三角形的对数，问题较易解决．解析：以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形共有个，从中随机取出两个三角形共有＝28×55种取法，其中两个三角形共面的为，故不共面的两个三角形共有(28×55－12×6)种取法，∴以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为，选(A)．点评：当问题从正面入手难以解决时，常采用“正与反的相互转化”，从问题的反面入手，将不符合条件的情况去掉（这在排列组合、概率题中常用），或验证问题的反面不成立（反证法），从而使问题得以解决．B1C1中，底面为直角三角形，∠例4．（2006年江西卷）如图，在直三棱柱ABC－A1ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是___________．分析：这里求CP＋PA1的最小值，而CP与PA1在直三棱柱ABC－A1B1C1的两个不同平面内，因此需利用“高维与低维的相互转化”把立体问题转化为平面问题来解决．解：连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，如图所示，连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值．通过计算可得∠A1C1B＝90°又∠BC1C＝45°，∠A1C1C＝135°，由余弦定理可求得A1C＝.点评：此题将几何体的侧面展开，空间问题转化成平面问题来解决，这是立体几何分支中常用的降维转化思想在解答立几问题的过程中，还常用等积变换求有关几何体的体积或点到平面的距离；常用割补转化，改变几何体的状态，由复杂几何体变为简单几何体，同时，线线、线面、面面之间的垂直或平行的互相转化，贯穿于立体几何始终；线线、点面、线面、面面之间的距离，既相互联系，又可相互转化．各种转化策略的运用，是解决立几问题的法宝．例5．已知函数的部分图象如图(，且)．(1)求的值；(2)若关于的方程（，且）有两个不等实数根；①若证明在（－π，）内有两个不等实数根；②上述①的逆命题是否成立，并证明．解：(1）由图象易知函数的周期为（π）=2π．∴，上述函数的图象是由的图象沿轴负方向平移个单位得到的，其解析式为．∴(2）①由得||≤∴＞－1．同样||≤∴＜１．令，显然而二次函数的对称轴∈(－1,1)．∴二次方程两实根在（－1，1）中．∴关于的方程在（－，）内有两个不同实根．②逆命题不成立．反例，关于的方程为．显然方程在（－，）内有两个不等的实根，并=＋=1．例6．（2007安徽卷理）设，．（1）令，讨论在内的单调性并求极值；（2）求证：当时，恒有．分析：（1）讨论在内的单调性并求极值只需求出的导数即可解决；（2）要证当时，恒有，可转化为证时，亦即转化为时恒成立；因，于是可转化为证明，即在上单调递增，这由（1）易知．解：（1）根据求导法则有，故，于是，列表如下：极小值故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．（2）证明：由知，的极小值．于是由上表知，对一切，恒有．从而当时，恒有，故在内单调递增．所以当时，，即．故当时，恒有．点评：对于证明在区间恒成立问题，常运用化归转化思想转化为证明在区间上恒成立，令，即可转化为在上，这样只需求出在区间上的最小值即可解决之．这种化归转化的思想方法在近几年高考中经常用到．例7．（2007年全国Ⅱ理）设数列的首项．（1）求的通项公式；（2）设，证明，其中为正整数．分析：（1）已知数列的递推公式，求数列的通项，常通过变形使之转化为形式的等差或等比数列来解决；（2）比较与的大小，这里由于式子里含有根号，因此可通过平方化无理为有理，比较与的大小．解：（1）由整理得．又，所以是首项为，公比为的等比数列，得．（2）方法一：由（1）可知，故．那么，又由（1）知且，故，因此为正整数．方法二：由（1）可知，因为，所以．由可得，即.两边开平方得．即为正整数．点评：数列是每年高考的必考内容．已知数列的递推公式或已知数列前n项和与的关系求数列通项也是常考内容．若已知数列的递推公式为（）的形式，求数列的通项时常通过变形使之转化为形式的等比数列来解决；若已知数列前n项和与的关系式求数列通项，则常用将与的关系式化归转化为与（或与）间的递推关系再进一步求解．例8．（2007年全国卷II理）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．分析：（1）通过求导得出切线的斜率，从而由点斜式较易写出切线方程；（2）由（1）易得过点的曲线的切线方程，曲线有三条切线可转化为方程有三个相异的实数根，即函数有三个零点，故只需的极大值大于零且的极小值小于零．解：（1）的导数．曲线在点处的切线方程为：，即．（2）如果有一条切线过点，则存在，使．若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．记，则．当变化时，变化情况如下表：极大值极小值由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即．点评：将证明不等式的问题通过等价转化化归为函数的极值问题来讨论，这是近年来高考试题中常出现的一种类型．例9．已知函数，，的最小值恰好是方程的三个根，其中．（1）求证：；（2）设，是函数的两个极值点．①若，求函数的解析式；②求的取值范围．解：（1）三个函数的最小值依次为1，，，由，得．∴，故方程的两根是，．故，．，即．∴．（2）①依题意是方程的根，故有，，且△，得．由．；得，．由（1）知，故，∴，．∴．②（或）．由（1）知．∵，∴，又，∴，，（或）．∴．例10．（2007年福建理）已知函数．（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（3）设函数，求证：．分析：（1）求出的导函数，易得的单调区间；（2）易知是偶函数，于是对任意成立可等价转化为对任意成立，进一步转化为在上的最小值大于零，从而求出实数的取值范围．解：（1）由得，所以．由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是．（2）由可知是偶函数．于是对任意成立等价于对任意成立．由得．①当时，．此时在上单调递增．故，符合题意．②当时，．当变化时的变化情况如下表：由此可得，在上，．依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是．（3），，，由此得，．故.点评：利用偶函数的性质进行等价转化是解决此例问题（2）的关键．高考试题中常利用奇函数或偶函数的性质将函数在R上的问题进行“整体与局部的相互转化”转化为函数在区间上问题来讨论．例11．已知、是方程（）的两个不相等实根，函数的定义域为．（1）求；（2）证明：对于（），若，则有．解：（1）设，则因为、是方程（）的两个不相等实根，所以，即，从而有，所以函数在区间上是增函数，由此及，得；（2）证明：当且仅当，即（）时取得等号，从而，而，当且仅当时取得等号，故有．冲刺练习一、选择题1．定义集合运算：A⊙B=｛z|z= xy(x＋y)，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A．0B．6C．12D．182．设是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意有，则称A对运算封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是（）A．自然数集B．整数集C．有理数集D．无理数集3．从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆方程中的和，则能组成落在矩形区域内的椭圆的个数是（）A. 43B. 72C. 86D. 904．是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A.5B.4C.3D.25．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（）A.48B. 18C.24D.366．点P到点A(，0)，B(，2)及到直线x＝－的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（）A. B.C.或D.－或7．如果二次方程x2－px－q=0(p，q∈N*) 的正根小于3，那么这样的二次方程有（）A. 5个 B. 6个C. 7个D. 8个8. 设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥（如图），使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α（）A. 不存在B. 只有1个C. 恰有4个D. 有无数多个9．计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0－9和字母A－F共16个记数符号；这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：E＋D=1B，则（）A.6EB.72C.5FD.B010．设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，λ1＝，λ2＝，λ3＝，定义f(P)=(λ1，λ2，λ3)，若G是△ABC的重心，f(Q)＝（，，），则（）A. 点Q在△GAB内B. 点Q在△GBC内C. 点Q在△GCA内D. 点Q与点G重合[提示]二、填空题11．在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值．类比上述性质，请叙述在立体几何中相应地特性，并画出图形．不必证明．类比性质叙述如下：_____________________．12．规定记号“”表示一种运算，即. 若，则函数的值域是_____________________．13．一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：则第9行中的第4个数是_____________________．14．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元．设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交保险金为_____________________．15．设函数f (x)的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积，已知函数y＝sinnx在[0，]上的面积为（n∈N*），（i）y＝sin3x在[0，]上的面积为___________；（ii）y＝sin（3x－π）＋1在[，]上的面积为______________.16．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7以上结论正确的为______________．（写出所有正确结论的编号）[答案]三、解答题17．设函数．y=f(x)图像的一条对称轴是直线．（1）求；（2）求函数的单调增区间；（3）证明直线与函数的图像不相切．[答案]18．某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正、反面的概率都是．棋盘上标有第0站、第1站、第2站、……、第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或第100站(失败大本营)时，该游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为．(1)求P0，P1，P2；(2)求证:．(3)求玩该游戏获胜的概率．[答案]19．如图，直线l1：与直线l2：之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2.（1）分别用不等式组表示W1和W2；（2）若区域W中的动点P（x，y）到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；（3）设不过原点O的直线l与（2）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点. 求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合.[答案]20．设轴、轴正方向上的单位向量分别是、，坐标平面上点、分别满足下列两个条件：①且＝＋；②且＝．（1）求及的坐标；（2）若四边形的面积是，求的表达式；（3）对于（2）中的，是否存在最小的自然数M，对一切都有＜M 成立？若存在，求M；若不存在，说明理由．提示：1、当x＝0时，z＝0，当x＝1，y＝2时，z＝6，当x＝1，y＝3时，z＝12，故所有元素之和为18，选D．2、A中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B中1÷2＝0.5不是整数，即整数集不满足条件；C中有理数集满足条件；D中不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C．3、根据题意，是不大于10的正整数、是不大于8的正整数．但是当时是圆而不是椭圆．先确定，有8种可能，对每一个确定的，有种可能．故满足条件的椭圆有个．选B．4、由题意至少可得f(0)=f(2)=f(－2)=f(3)=f(－3)=f(－5)=f(5)=f(1)=f(4)=0，即在区间（0，6）内f(x)=0的解的个数的最小值是5，选(D)．5、正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”；选D．6、（思路一）点P在抛物线y2=2x上，设P(，y)，则有（＋）2=（－）2＋(y－2)2，化简得(－)y2－4y＋2＋=0，当=时，符合题意；当a≠时，Δ=0，有－＋＋=0，( ＋)(2－＋)=0，=－．选D.（思路二）由题意有点P在抛物线y2=2x上，B在直线y=2上，当a=－时，B为直线y=2与准线的交点，符合题意；当a=时，B为直线y=2与抛物线通径的交点，也符合题意，故选D.7、由△=p2＋4q>0，－q<0，知方程的根为一正一负．设 f(x)=x2－px－q，则 f(3)=32－3p－q>0，即 3p＋q<9.由于p，q∈N*，所以 p=1，q≤5 或p=2，q≤2. 于是共有7组(p，q)符合题意．故选C．8、设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m、n，直线 m、n 确定了一个平面β.作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样的平面α有无数多个．故选D．9、∵A=10，B=11，又A×B=10×11=110=16×6＋14，∴在16进制中A×B=6E，∴选A．10、由题f(p)=若G为.而与之比较知．．故选A．11．（下列答案中任一即可，答案不唯一）（1）从二面角的棱出发的一个半平面内任意一点到二面角的两个面的的距离之比为定值．（2）从二面角的棱上一点出发的一条射线上任意一点到二面角的两个面的的距离之比为定值．（3）在空间，从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值．（4）在空间，射线上任意一点到射线、、的距离之比不变．（5）在空间，射线上任意一点到平面、、的距离之比不变．12．13．25914．(0.1＋p)a 15．16．①③④⑤提示：12、由得，解得k=1，所以f(x)=，f(x)在（0，＋∞）内是增函数，故f(x)＞1，即f(x)的值域为．13、第1行第1个数为1＝，第2行第1个数为2＝，第3行第1个数为4＝，…，第9行第1个数为＝256，所以第9行第4个数为256＋3＝259．14、设保险公司要求顾客交x元保险金，若以ξ表示公司每年的收益额，则ξ是一个随机变量，其分布列为：因此，公司每年收益的期望值为Eξ=x(1－p)＋(x－a)·p=x－ap．为使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需Eξ=0.1a，即x－ap=0.1a，故可得x=(0.1＋p)a．即顾客交的保险金为(0.1＋p)a时，可使公司期望获益10%a．15、由题意得：y=sin3x在上的面积为，在上的图象为一个半周期，结合图象分析其面积为．16、B、D、A1到平面的距离分别为1、2、4，则D、A1的中点到平面的距离为3，所以D1到平面的距离为6；B、A1的中点到平面的距离为，所以B1到平面的距离为5；则D、B的中点到平面的距离为，所以C到平面的距离为3；C、A1的中点到平面的距离为，所以C1到平面的距离为7；而P为C、C1、B1、D1中的一点，所以选①③④⑤．17．（1）解：∵是函数y=f(x)的图象的对称轴，∴，∴，∵－，∴．（2）由（1）知，因此．由题意得，所以函数的单调增区间为．（3）证明：∵｜｜=|(|=||≤2．所以曲线y=f(x)的切线的斜率取值范围是[－2，2]，而直线5x－2y＋c＝0的斜率为＞2，所以直线5x－2y＋c＝0与函数的图象不相切．18．解：(1)依题意，得P0=1，P1=，.(2)依题意，棋子跳到第n站(2≤n≤99)有两种可能：第一种，棋子先到第n－2站，又掷出反面，其概率为；第二种，棋子先到第n－1站，又掷出正面，其概率为．∴．∴．即．(3)由(2)可知数列{}(1≤n≤99)是首项为公比为－的等比数列，于是有=．因此，玩该游戏获胜的概率为.19．解：（1）（2）直线直线，由题意得即由知所以即所以动点P的轨迹方程为（3）当直线与轴垂直时，可设直线的方程为由于直线、曲线C 关于轴对称，且与关于轴对称，于是的中点坐标都为，所以的重心坐标都为，即它们的重心重合.当直线与轴不垂直时，设直线的方程为由，得由直线与曲线C有两个不同交点，可知，且设的坐标分别为则设的坐标分别为由从而所以所以于是的重心与的重心重合.20．解：（1）．．（2），（3）．∴，，．，，等．即在数列中，是数列的最大项，所以存在最小的自然数，对一切都有＜M成立．。
转化与化归思想在数学解题中的应用
转化与化归思想在数学解题中的应用转化与化归思想，是将一个问题由难化易，由繁化简的过程。
是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。
化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。
转化与化归思想作为重要的数学思想之一，是中学数学中最重要的解题意识，在数学教学活动中充分注意这种意识的培养，可以提高学生的思维品质，培养学生的创新能力。
数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。
在初中数学学习过程中化归思想存在解决问题的各个方面，是在数学学习过程中快速解决问题的有效途径。
一、数与形的转化数与形是密切相关的两个数学表象，它们是一一对应的关系，且相互依存、相互促进.在解决数学问题时，我们要把它们有机的结合起来，并相互转化。
化归思想在初中数学学习中的应用就是教会学生能够以动态的视角去学习相关的知识，能够发现知识之间的相关性，从而使得在初中数学中学习的知识都能够很好的融入到学生的知识体系中。
例如讲三角形、特殊四边形等形的问题时可以转化为数量关系来处理，就数论形；如图1两个正方形并列摆放，大正方形的边长是小正方形边长的2倍。
问题：只允许剪两刀，使裁剪后的图形能拼成一个大正方形。
这个问题很多学生看到后都进行了动手操作，这里画一条线，那里剪一下，试了很多次也不能找到正确答案。
实际上，我们只需把形转化为数，利用数的角度很容易就能理解明白，且迅速解决。
解决办法如图2.在学习函数问题时我们可以用函数图像来直观描述，以形究数，从而使问题简明易解。
例如，在讲解二次函数的性质及应用时，有这样一个问题：二次函数y=ax2+bx+c经过A（-1,0），B（0,4），C三点，C点在y轴正半轴上，且AB=OC,求（1）点C的坐标，（2）求出二次函数解析式，并求出顶点坐标，（3）当x取何值时，y＞0，y＜0，y=0？解决这个问题时一部分同学直接借助所给条件直接去求，这样既浪费时间，又不能清晰的理解。
化归与转化思想在高考数学解题中的运用
GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2化归与转化思想在高考数学解题中的运用■甘肃省秦安县第二中学罗文军yxo化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图像、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.1．化归与转化的思想方法：解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的.2．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则；（2）简单化原则；（3）和谐化原则；（4）直观化原则；（5）正难则反原则3．化归与转化的途径：（1）从问题的反面思考；（2）局部向整体的转化；（3）未知向已知转化；（4）固定向重组的转化；（5）抽象向具体转化；（6）个别向一般的转化；（7）数向形的转化；（8）定量向定性的转化；（9）主元向辅元的转化.以下结合一些经典试题，谈谈化归与转化思想在高三解题中的运用.题型一：化归与转化思想简单化原则的体现化归与转化思想简单化原则在解题中的体现主要有：（1）将比较代数式的大小的问题，运用同构法，通过构造函数，化归为利用函数的单调性根据自变量的大小比较函数值的大小或者根据函数值的大小比较自变量的大小；（2）将概率与统计问题化归为集合间的基本关系与基本运算问题.例1.若2a +log 2a ＝4b +2log 4b ，则（）A.a ＞2b B.a ＜2b C.a ＞b 2 D.a ＜b 2【解析】由指数幂的运算性质和对数的运算性质可得，2a +log 2a ＝4b +2log 4b ＝22b +log 2b ，又因为22b +log 2b ＜22b +log 22b ＝22b +1+log 2b ，所以2a +log 2a ＜22b +log 22b .令ｆ（ｘ）＝2x +log 2ｘ，由指数函数和对数函数性质以及函数单调性的性质可得ｆ（ｘ）在（0，+∞）上单调递增，由ｆ（a ）＜ｆ（2a ），可得a ＜2b .【评析】本题考查了指数幂和对数的运算，函数的单调性的性质，构造函数后，把问题化归与转化为根据函数单调性，由函数值的大小比较自变量的大小，体现了化归与转化思想的简单化原则.例2.设命题p ∶4x-3≤1，命题q ∶x 2-（2a+1）x +a （a +1）≤0.若劭p 是劭q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________.【解析】由4x-3≤1，得１２≤x ≤１，记A ＝{x │１２≤x ≤１}；由x ２-（２a+1）x+a （a+1）≤0，可得a ≤x ≤a +1，记B ＝{x │a ≤x ≤a +1}.因为劭p 是劭q 的必要不充分条件，所以q 是p 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，所以A 芴B ，所以a ≤１２，a+１≥11，解得0≤a ≤１２，所以实数a 的取值范围是[0，１２].【评注】本题的解答中，先把两个命题中的不等式的解集分别用集合A 和集合B 表示，再由劭p 是劭q 是的必要不充分条件转化为p 是q 的充分不必要条件，再转化为集合A 为集合B 的真子集，解得a 的范围.题型二：化归与转化思想直观化原则的体现化归与转化思想直观化原则在解题中的体现主要有：（1）画出函数图像后，利用函数图像研究函数的性质，进而直观的解决与函数有关的问题；（2）立体几何问题中，将立体问题平面化，画出轴截面或者中截面，利用平面几何问题破解题目.例3.设a ，b ∈R ，则|“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的（）A.充要不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充要也不必要条件【解析】构造函数ｆ（ｘ）＝x x ＝ｘ２，ｘ≥0-x ２，ｘ＜1函数图像如图1，由图像可知ｆ（ｘ）＝x x 在R 上单调递增.当a ＞b 时，ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b ，a ＞b 圯a a ＞b b .当ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b 时，a ＞b ，a a ＞b b 圯a ＞b ，所以a ＞b 圳a a ＞b b ，“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的充要条件，故选C.【评注】本题是一道比较复杂的充分必要条件问题，通过观察题目，通过类比和联想，运用化归与转化思想，构造函数ｆ（ｘ）＝x x 后，画出这个函数的图像，运用图像法判断这个函数在其定义域R 上为单调递增函数，把a 和b 看成这个函数的两个自变量，a a 和b b 分别看成这个函数的函数值ｆ（a ）29数学有数和ｆ（b），由增函数的性质可以得出，ａ＞b圳a a＞b b，所以ａ＞b是a a＞b b的充分必要条件，体现了化归与转化思想的简单化和直观化原则.例4.已知某个机械零件是由两个有公共底面的圆锥组成的，且这两个圆锥有公共点的母线互相垂直，把这个机械零件打磨成球形，该球的半径最大为1，设这两个圆锥的高分别为h1，h２，则h1+h２的最小值为________．【答案】22姨.【解析】由题意可知，打磨后所得半径最大的球是由这两个圆锥构成的组合体的内切球，内切球的半径R=1，如图为这个组合体的轴截面示意图，圆O为内切球的轴截面，E，F，G，H分别为切点，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH，由题意可知AB⊥BC，AD⊥DC，AC＝h1+h2，R＝OE＝OF＝OG＝OH＝1，则S四边形ABCD＝S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD，即AB×BC＝１２R×AB+１２R×BC+１２R×CD+１２R×AD＝１２R（2AB+2BC）＝R（AB+BC），所以AB×BC＝AB+BC.由基本不等式可得AB×BC＝AB+BC≥2AB×BC姨，则AB×BC≥4，当且仅当AB＝BC时等号成立．所以（h1+h2）2＝AC2＝AB2+BC2≥2AB×BC≥8，当且仅当AB＝BC时等号成立，故h1+h2的最小值为22姨.【评注】本题的解答运用了化归与转化的思想，通过研究组合体和其内切球的轴截面，把空间立体几何问题化归为平面几何问题，做到了把问题直观化的原则.题型三：化归与转化思想熟悉化原则的体现化归与转化思想熟悉化原则在解题中的体现主要有：（1）不等式题目中，把含一个参数的不等式恒成立问题，通过分离变量，化归为求函数在给定区间上的最值问题；（2）立体几何题目中，利用长方体或者正方体模型，把一些三棱锥、四棱锥和三棱柱的外接球问题化归为熟悉的长方体或者正方体的外接球问题.例5.若对任意的ｘ∈（0，+∞），ax-ln（2ｘ）≥1恒成立，则实数a的最小值是_______【解析】由已知可得，对任意的ｘ∈（0，+∞），a≥ln（2ｘ）+1ｘ恒成立，令g（ｘ）＝ln（2ｘ）+1ｘ，g′（ｘ）＝１ｘ·ｘ-ln（2ｘ）ｘ2＝1-ln（2ｘ）ｘ2，令g′（ｘ）＝0，则1-ln（2ｘ）＝0，则ｘ＝e2，当0＜ｘ＜e2时，g′（ｘ）＞0，g（ｘ）单调递增；当ｘ＞e2时，g′（ｘ）＜0，g（ｘ）单调递减，所以当ｘ＝e2时，g（ｘ）取得最大值g（ｘ）max＝g（e2）＝ln e+1e2＝4e，所以a≥4e，所以a的最小值为4e.【评注】本题的解答运用了分离变量法，分离变量后，构造函数后，把a≥g（ｘ）在（0，+∞）上恒成立等价转化为a≥[g（ｘ）]max（ｘ∈（0，+∞）），转化为求函数g（ｘ）在（0，+∞）上的最大值问题，g（ｘ）的最大值即为a的最小值，本题体现了化归与转化思想的熟悉化原则.例6.设数列{a n}的前n项为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k2n+1姨对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由.解：（1）因为当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n，所以a n＝2S2n2S n-1，n≥2，所以（S n-S n-1）（2S n-1）＝2S2n，所以S n-S n-1＝-2S n S n-1，所以１S n-１S n-1＝2，n≥2，所以数列{１S n}是以１S1＝1为首项，以2为公差的等差数列，所以１S n＝1+2（n-1）＝2n-1，所以S n＝１2n-1，所以，当n≥2时，a n＝S n-S n-1＝１2n-1-１2n-３＝-2（2n-1）（2n-3），因为a1＝S1＝1，所以a n＝1，n=1-2（2n-1）（2n-3）.n≥≥2（2）设ｆ（n）＝（1+S1）（1+S2）…（1+S n）2n+1姨，则ｆ（n+1）ｆ（n）＝2n+22n+1姨2n+3姨＝4n2+8n+44n2+8n+3姨＞1，所以ｆ（n）在n∈N鄢上递增，要使ｆ（n）≥k恒成立，只需要ｆ（n）min≥k，因为ｆ（n）min＝ｆ（1）＝2３姨３，所以0＜k≤2３姨3.【评注】第（1）问运用了数列的前n项和S n与通项a n之间的关系a n＝S n-S n-1（n≥2），把a n转化为S n-S n-1，再合并同类项后运用取倒数法，再根据等差数列的定义得出数列{１S n}的通项公式，再得出数列{a n}的通项公式；第（2）问分离变量后构造函数ｆ（n），用作商法判断ｆ（n）的单调性，把不等式ｆ（n）≥k在n∈N鄢上恒成立等价转化为ｆ（n）min≥k（n∈N鄢），两问都运用到了化归与转化思想.AEBFHDGOC302021年第2GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2题型四：化归与转化思想和谐化原则的体现化归与转化思想和谐化原则在解题中的体现主要有：（1）解三角形问题中利用正弦定理实现边角的互化；（2）在三角函数问题中，将形如y=a sin x+b cos x 的函数问题利用辅助角公式化归为形如y=A sin （棕x+渍）的函数问题；（3）解析几何中，将两直线垂直化归为斜率乘积为-1或者方向向量的数量积为0；（4）将形如滋＝y -b x -a形式的最值问题，转化为动直线斜率的最值问题.例7.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b -c ＝a ·cos C -c ·cos A .（1）求角A ；（2）若a ＝3，求b +2c 的最大值.【解析】（1）因为b -c ＝a ·cos C -c ·cos A ，由正弦定理可得，sin B -sin C ＝sin A cos C -sin C cos A ，所以sin B -sin C ＝sin （A -C ）所以sin （A +C ）-sin C ＝sin （A -C ），所以sin A cos C +cos A sin C -sin C ＝sin A cos C -cos A sin C ，所以cos A ＝１２，因为0＜A ＜仔，所以A ＝仔３.（2）由（1）可得，C ＝２仔３-B ，由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，所以３sin 仔３＝b sin B ＝c sin （２仔３-B ），所以b ＝2３姨sin B ，c ＝2３姨sin （２仔３-B ），所以b +2c ＝2３姨sin B +4３姨sin （２仔３-B ）＝2３姨（2sin B +３姨cos B ）＝221姨sin （B +渍），其中tan 渍＝３姨2，渍∈（0，仔2），由B ∈（0，２仔３），存在B 使得B +渍＝仔2，所以sin （B +渍）的最大值为1，所以b+２c 的最大值为221姨.【评注】第（1）问运用正弦定理实现边转化为角，再逆用两角差的正弦公式，运用内角和定理以及诱导公式，再运用两角和的正弦公式和两角差的正弦公式，得出cos A 的值，得出角A 的值；第（2）问运用了正弦定理将关于边的最值问题化为角的最值问题，运用三角形内角和定理以及诱导公式，再运用辅助角公式，化为三角函数在给定范围上的最值问题；两问都运用了化归与转化思想，体现了和谐化原则.例8.已知函数f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，则f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）的值为_____.【解析】由于直接计算有困难，先探求一般的规律，因为f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，所以f （1-ｘ）＝1-ｘ2（1-ｘ）-1＝1-ｘ1-2ｘ＝ｘ-12ｘ-1，所以f （ｘ）+f （1-ｘ）＝1，倒叙相加可得f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）＝1009.【评注】本题的解答中体现了特殊问题转化为一般化，运用了化归与转化思想，先通过探究在宏观上把握问题的一般规律，再将特殊问题破解.题型五：化归与转化思想的正难则反原则在解题中的体现化归与转化思想的正难则反原则在高中数学解题中的体现主要有：（1）间接证明方法中的反证法在解题中的运用；（2）概率问题中对立事件和互斥事件的概率公式的运用.例9.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a １＝1+2姨，S 3＝9+32姨.（1）求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；（2）设b n ＝S n n（n ∈N 鄢），求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解析】（1）设公差为d ，由已知得ａ1＝2姨+1，3ａ1+3d ＝9+32姨姨，所以d ＝2，故a n ＝2n -1+2姨，S n ＝n （n +2姨）．（2）证明：由（1）得b n ＝S n n＝n +2姨.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r （p 、q 、r 互不相等）成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即（q +2姨）2＝（p +2姨）（r +2姨），所以（q 2-pr ）+（2q -p-r ）2姨＝0.因为p ，q ，r ∈N 鄢，所以q ２-pr ＝0，2q-p-r ＝0姨，所以（p+r 2）２＝pr ，（p-r ）２＝0，所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【评注】本题的解答的第（2）问中运用了反证法，先反设假定要证的结论不成立，而设出结论的反面成立，将这个反设作为条件，运用等比数列的定义和通项公式，通过推理，得出p ＝r 与已知条件相矛盾，所以反设错误，所以要证明的结论成立，反证法归属于间接证明方法，第（2）问运用了化归与转化的思想.例10.掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A +B 发生的概率为____.【答案】23.【解析】掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P （A ）＝26＝13，P （B ）＝46＝23，所以P （B ）＝1-P （B ）＝1-23＝13，显然A 与B 互斥，从而P （A+B ）＝P （A ）+P （B ）＝13+13＝23.【评注】先由古典概型概率公式求出事件A 和事件B 的概率，再由对立事件概率公式求出事件B 的对立事件B 的概率，再由互斥事件概率公式，把事件A+B 的概率化归为求P （A ）和P （B ）的和，运用了化归与转化思想.责任编辑徐国坚31。
转换与化归思想的应用
（ ）在 同一直角 坐标 内作 出函数 ） ｙ ｌｇｘ ２ 和 ＝ｏＪ ｌ 的图像 ，如 图 １由图易知 ， ． ） ｙ ｌ ４ ｌ 图像 与 ＝ｏ ｌ的 ｇｘ
在 ｌ１ ，０ ＿ ０ ］有 两个 交 点 ，在 ［， １］内有 ９个 交 ０ ０
（２ 由 已 知 易 求 Ｉ ） ｘ
、 ＋ ，ａ Ａ，所 以 Ｉ～２ ￣ ３ ／ ８ ∈ ｘ Ｉ ＝ ． １ Ｉ ｍ
、（ ／＂ ） 乱ｌ ｉ — ：ｉ
于此有 （） ｍ＋ｍ ２ ｍ ＋ ｍ － ） （ ∈【１ １） ： ｔ － ＝ ｔ（ ２ ≥０ － ，］
恒成 立 ｌｐ 目
一
问题 ，不等 式有解或恒成立问题常转化为求函数 的最
值 问题等等． ： ∈ ，】 如 Ｖｘ ６
的等价性．
） ≥０
） 一≥０ ；
∈
、
ａ ｂｄ ｘ ≥０ ，］ （） 仁 ） Ｉ 一≥Ｏ解答这 类问题 时 ， ． 注意转化
化过程 中前因后果是充分必要的 ，才保证转化后的结 果仍为原问题的结果．非等价转 化其过程是充分或必 要的 ， 要对结论进行必要 的修正． 因此在应用转换化归 时一定要注意转化 的等价性与非等价性 的不 同要 求 ，
二
（，） Ａ（ ，） ００和点 １１的距离之和， 出其最小值为ｘ ２． 易求 ／ 注： ①此题也可直接利用三角形不等式求解 ； ②变
是正四面体的高的｝．
ｌ Ｊ 点评 一般性 与特 殊性既相 互依存 ，又 可以相互
转 化 ，一 般 性 寓 于 特 殊 性 中 ，特 殊 性 又 离 不 开 一 般
ｕ［， ∞） ２＋ ．
专题：数学思想方法突破 转化与化归思想的应用
[解析] 由题意，知 ，令 ， .因为对 ，恒有 ，即 ，所以 即 解得 .故当 时，对任意 都有 .
技法秘籍 在处理多变量的数学问题中,在常量（或参数）在某一范围取值的前提下求变量 的范围时,经常进行常量与变量之间的转化,即可以选取其中的参数,将其看作是变量,而把变量看作是常量,从而达到简化运算的目的.
（2）是否存在点 ，当将 沿 折起到 时，二面角 的余弦值等于 ？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由.
[解析] 存在点 使得二面角 的余弦值等于 ，此时 理由如下：因为 ， ，且 ， 平面 ， 平面 ,所以 平面 ，又 ，所以 平
面 ，因为 平面 ， 平面 ,所以 ， ，又 ，所以以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示.
A. B. C. D.
D
[解析] 因为点 与点 关于直线 对称，所以 必满足 ，解得 ，从而可以排除A，B,C.故选D.
技法秘籍 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，从而得到问题的答案.
（法二：补形法）因为几何体有两对相对面互相平行，如图正方体体积的一半.又正方体的体积 ，故所求几何体的体积为 .
技法秘籍 形体位置关系的转化是通过切割、补形、等体积转化等方式转化为便于观察、计算的常用几何体，由于新的几何体是转化而来的，一般需要对新几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新几何体的特征.
应用1 正与反的转换
例1 (2022·河南驻马店模拟)已知从甲袋内摸出1个红球的概率是 ，从乙袋内摸出1个红球的概率是 ，从两袋内各摸出1个球，则2个球中至少有1个红球的概率是( ).
转化与化归思想在高中数学教学中的应用分析
转化与化归思想在高中数学教学中的应用分析摘要：在数学思想中，转化与化归思想是最为重要的组成部分，需要教师和学生都能引起重视。
为了进一步提高转化与化归思想的渗透效果，教师应全面分析高中学生的学习特点，遵从转化与化归思想的具体原则，提供不同类型的典型例题，开展多样化的教学活动，借此锻炼学生的应用能力，提高其解题效率。
关键词：转化与化归思想；高中数学；应用策略引言：在核心素养的影响下，教师不应将教学内容限制在知识的讲解、技能的传授上，而是要让学生学习并掌握数学思想，学会运用数学思想分析并解决问题。
因此，在高中数学教学中，教师应在教学过程中逐步渗透转化与化归思想，带领学生全方位了解这一思想，并利用多类型的活动提高思想渗透效果。
一、转化与化归思想的相关概述（一）转化与化归思想的概念在数学学科中，转化和化归思想是一种至关重要、不可缺少的思想方法，指的是利用某种转化过程，将需要解决的陌生问题转变成利用所学知识可解决的问题，或者将原本复杂、抽象的问题变得更加简单明了。
在不断转化过程中，学生能逐渐将不规范、不熟悉、复杂多变的问题变成规范、熟悉以及简单的问题，灵活运用所学知识解决问题。
（二）转化与化归思想的原则第一，熟悉化原则。
这一原则指的是运用积累的经验、方法和知识，寻找与题目相似的其他题目，将新题目中的条件向着旧题目进行合理转化，尝试运用已学知识解决问题；第二，简单化原则。
这一原则指的是最大程度简化陌生的题目，剔除题目中的无效信息，避免多余信息的感染；第三，难反原则。
这一原则指的是在遇到无法正向解决的问题时，学生应尝试采用逆向推理的方式，倒推题目内容，直到发现已知量与问题之间的关系，找到解决问题的思路和方法。
二、转化与化归思想的应用策略（一）基于熟悉化原则应用转化与化归思想在遇到一个新的数学问题时，学生通常会产生模糊、陌生的感觉；在应用转化与化归思想后，学生通常能产生全新认知，开始尝试将新问题转变成旧问题，运用熟悉的解题方法进行全方位分析。
转化与化归思想在中学数学中的应用
转化与化归思想在中学数学中的应用一、引言数学是一门重要且广泛应用的学科，其中转化与化归思想是数学中一个重要的思维方式和解题方法。
本文将介绍转化与化归思想在中学数学中的应用，并讨论其对学生的思维能力和解题能力的提升。
二、转化与化归的基本概念转化与化归是数学中一种将复杂问题转化为简单问题的方法。
在解决数学问题时，我们经常会遇到一些复杂的问题，难以直接解决。
这时，我们可以通过转化与化归的方法将问题转化为相对简单的问题，从而更容易解决。
转化是指将一个问题转化为另一个与之等价的问题。
通过适当的变换，将原问题转化为新问题，新问题的解可以等价于原问题的解。
例如，在解决二次方程时，我们可以通过变量替换将其转化为一次方程。
这样，原问题的解就可以通过解一次方程得到。
化归是指将一个复杂问题化归为若干个相对简单的问题。
通过将原问题分解为若干个小问题，并解决这些小问题，最终得到原问题的解。
例如，在解决函数的极限问题时，我们可以通过分解计算极限，并利用极限的基本性质来求解原问题。
三、转化与化归在代数中的应用1.方程的转化与化归解方程是中学数学中的一个重要内容，而转化与化归思想在解方程问题中有着广泛的应用。
例如，在解二次方程时，我们可以通过变量替换将二次方程转化为一次方程。
通过设定适当的关系式，将二次方程的变量替换为新变量，然后解一次方程得到新变量的值，最后再通过逆变换得到原变量的值。
这样，我们将原问题转化为了相对简单的一次方程的解决。
2.几何问题的转化与化归在几何问题中，转化与化归思想同样发挥着重要的作用。
例如，在解决一些三角形的问题时，我们可以将其转化为对应辅助图形的问题。
通过引入适当的辅助线或辅助点，我们可以将原问题转化为辅助图形的问题。
由于辅助图形往往具有简单的性质，我们可以更容易地解决这些问题。
3.函数的转化与化归函数是数学中一个重要的概念，而转化与化归思想在函数问题中同样有重要的应用。
例如，在解决函数的极限问题时，我们可以通过极限的性质将复杂的极限问题化归为一些简单和已知的极限。
转化与化归思想在中学数学中的应用
转化与化归思想在中学数学中的应用【摘要】本文围绕着转化与化归思想在中学数学中的应用展开讨论。
首先介绍了数学问题的转化与化归方法，指出这种思维方式在解决问题时的重要性。
然后通过具体的数学题目应用举例来说明转化与化归思想在实际问题中的灵活运用。
接着探讨了如何利用这种思想解决实际生活中的问题，并分析了转化与化归在数学证明过程中的应用。
也提及了转化与化归技巧在数学竞赛中的重要作用。
总结了转化与化归思想在中学数学中的重要性，并展望了其在数学教学中未来的发展潜力。
可以看出，转化与化归思想不仅在解决数学问题中发挥着关键作用，同时也对学生的思维方式和解决问题的能力有着积极影响。
【关键词】转化与化归思想、中学数学、数学问题、应用举例、实际问题、数学证明、数学竞赛、技巧、重要性、未来发展、应用价值。
1. 引言1.1 转化与化归思想在中学数学中的应用转化与化归思想在中学数学中的应用是数学学习中至关重要的一环。
通过将问题进行转化和化归，我们可以更好地理解数学概念，解决数学问题。
在数学问题的转化与化归中，我们可以通过找到问题之间的联系，将复杂的问题简化为更容易解决的形式。
这种思维方式不仅可以帮助我们更深入地理解数学知识，还可以提高解决问题的效率。
在数学题目中的应用举例中，我们可以看到转化与化归思想的实际应用。
在解决几何问题时，我们可以通过将问题转化为代数形式来简化计算，更快地找到答案。
利用转化与化归思想解决实际问题也是值得重视的。
在现实生活中，我们经常会遇到各种复杂的问题，而通过运用数学思维，将问题转化与化归，我们可以更好地解决这些问题。
转化与化归思想在中学数学中的应用是非常重要的。
通过运用这种思维方式，我们可以更好地理解数学知识，解决数学问题，提高数学竞赛成绩。
展望未来，我们可以进一步探索转化与化归思想在数学教学中的应用，提高学生的数学学习兴趣和水平。
转化与化归思想的应用价值将会在未来得到更加充分的发展和体现。
2. 正文2.1 数学问题的转化与化归数学问题的转化与化归是指将一个复杂的问题或题目转化成更简单或更熟悉的形式，从而更容易解决。
转化与化归思想在中学数学中的应用
转化与化归思想在中学数学中的应用【摘要】转化与化归思想在中学数学中的应用非常重要。
本文首先简述了转化与化归思想的概念，然后详细介绍了在代数、几何、概率统计等数学学习中的应用，说明了其在数学解题中的重要性。
转化与化归思想能帮助学生更好地理解数学知识，提高问题解决能力。
在强调了转化与化归思想在中学数学中的价值，并展望未来在教育中的应用。
通过应用这一思想，可以激发学生的学习兴趣，提高学习效果，促进数学思维的发展。
转化与化归思想在中学数学中的应用具有深远的意义，并值得进一步推广和研究。
【关键词】数学教育、转化与化归思想、代数、几何、概率统计、数学解题、重要性、未来应用、价值。
1. 引言1.1 转化与化归思想在中学数学中的应用转化与化归思想在中学数学中的应用是一种重要的思维方式和方法，能够帮助学生更深入地理解数学概念，提高解决问题的能力。
在中学数学学习中，转化与化归思想被广泛应用于代数、几何、概率统计以及数学解题等领域。
通过将问题转化为更简单或更熟悉的形式，学生可以更轻松地解决复杂的数学难题。
转化与化归思想在中学数学中的应用可以帮助学生提高数学思维能力和解决问题的能力，培养他们对数学的兴趣和热爱。
转化与化归思想的应用不仅可以帮助学生更好地学习数学知识，还可以促进他们在数学领域的创新和发展。
在未来的中学数学教育中，转化与化归思想将继续发挥重要作用，帮助学生更好地掌握数学知识，提高数学素养，为未来的学习和工作奠定坚实的基础。
2. 正文2.1 简述转化与化归思想的概念转化与化归思想是中学数学中的一种重要思维方式，它在数学学习和解题中起着至关重要的作用。
转化与化归思想是指将一个数学问题、定理或结论转化为另一种形式或问题，通过逻辑推理、归纳、演绎等方式解决数学难题的思维方式。
在中学数学中，转化与化归思想贯穿于整个数学学科，涉及代数、几何、概率统计等多个方面。
在代数学习中，转化与化归思想常常体现为将复杂的代数表达式转化为简单形式，通过分解、合并、化简等操作，解决代数方程、不等式等问题。
例谈转化与化归思想在解题中的应用
例谈转化与化归思想在解题中的应用一、思想方法解读1.转化与化归思想化归是转化与归结的简称，其基本内涵是：在解决数学问题时，常常将待解决的数学问题A，通过某种转化手段，归结为另一问题B，而问题B是相对较容易解决的或已经有固定解决程式的问题，且通过问题B的解决可以得到原问题A的解答.用框图可直观地表示为：其中问题B成为化归目标或方向，转化的手段成为化归策略.化归思想有着坚实的客观基础，它着眼于揭示联系，实现转化，通过矛盾转化解决问题.2.转化与化归的原则（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.（2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.（4）直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决.（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.3.转化与化归的基本类型（1）正与反、一般与特殊的转化，即正难则反，特殊化原则.（2）常量与变量的转化，即在处理多元问题时，选取其中的常量（或参数）当“主元”，其他的变量看作常量.（3）数与形的转化，即利用对数量关系的讨论来研究图形性质，也可利用图形直观提供思路，直接地反映函数或方程中的变量之间的关系.（4）数学各分支之间的转化，如利用向量方法解立体几何问题，用解析几何方法处理平面几何、代数、三角问题等.（5）相等与不等之间的转化，如利用均值不等式、判别等.（6）实际问题与数学模型的转化要注意依据问题本身所提供的信息，利用动态的思维，去求有利于问题解决的转化与化归的途径与方法.4.转化与化归的常见方法（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.（2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径.（4）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化.（5）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题.（6）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径.（7）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径.（8）特殊法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题.（9）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化.（10）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的.（11）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即把命题的结论加强为原命题的充分条件，从而能将原命题转化为一个较易证明的命题.加强命题法是非等价转化方法.（12）补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集，从而获得原问题的解决.以上所列的一些方法是互相交叉的，不能截然分割.二、活学典例印证考向1：正与反、一般与特殊的转化【考情分析】此类问题多以填空题的形式出现，难度适中，属中档题.主要涉及函数、解析几何中的存在性问题或含“至多”“至少”等词语的问题.【方法突破】在探讨某一问题的解决办法时，如果我们按照习惯的思维方式从正面思考遇到困难，则应从反面的方向去探索.在解决该类问题时，一定要注意搞清结论的反面是什么，即搞清问题的否定形式.一般性难以解决的问题，可以考虑从特殊性来解决.例1给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y=x-1ax-1（其中x∈R且x≠1 a），证明：经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于x轴.证明：设M1（x1，y1）、M2（x2，y2）是函数图象上任意两个不同的点，则x1≠x2.假设直线M1M2平行于x轴，则必有y1=y2，即x1-1ax1-1=x2-1ax2-1，整理得a（x1-x2）=x1-x2.由x1≠x2，得a=1，這与已知条件“a≠1”矛盾，因此假设不成立，即直线M1M2不平行于x轴.该题正面求证很困难，但通过找出反面的矛盾，从而证明原命题的正确.本题中“不平行”的否定是“平行”，通过假设“直线平行”，然后得出矛盾，从而推翻假设.例2若椭圆C的方程为x25+y2m=1，焦点在x轴上，与直线y=kx+1总有公共点，那么m的取值范围为.解析：由椭圆C的方程及焦点在x轴上，知0<m<5，<p>又直线与椭圆总有公共点，直线恒过点（0，1），则定点（0，1）必在椭圆内部或边界上，则025+12m≤1，即m≥1.故m的取值范围为[1，5）.点评：特殊与一般转化法是在解决问题过程中，将某些一般问题进行特殊化处理或将某些特殊问题进行一般化处理的方法.本题抓住直线过定点（0，1），这一特殊点必在椭圆内部或边界上，从而较方便的得出结果.考向2：常量与变量的转化【考情分析】此类问题既有填空题，也有解答题，难度适中，属中档题，主要涉及求参数的取值（或取值范围）问题.【方法突破】在含有两个变量x和a的问题中，若视x为未知量确定a的取值有些繁琐时，解答中可视x为常量，转化为关于a的方程或不等式问题求解.例3对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，试求x的取值范围.分析：习惯上把x当作自变量，记函数y=x2+（p-4）x+3-p，于是问题转化为：当p∈[0，4]时，y>0恒成立，求x的取值范围.解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，這是相当复杂的.解析：设函数f（p）=（x-1）p+（x2-4x+3），显然x≠1，则f（p）是p的一次函数，要使f（p）>0恒成立，当且仅当f（0）>0，且f（4）>0时，解得x的取值范围是（-∞，-1）∪（3，+∞）.本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于p的一次函数，利用一次函数的单调性求解，解题的关键是转换变量角色.在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的.但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解.考向3：数与形的转化【考情分析】此类问题多以填空题的形式出现，难度适中，属中档题，主要涉及函数或方程、解析几何、平面向量中的问题.【方法突破】通过数与形的转化，可以利用对数量关系的讨论来研究图形的性质，也可以利用几何图形直接地反映函数或方程中变量关系，有时还能由几何图形提示解决问题.例4求函数f（x）=x2-4x+13+x2-12x+37的最小值.解析：f（x）=x2-4x+13+x2-12x+37=（x-2）2+（0-3）2+（x-6）2+（0-1）2，设A（2，3），B（6，1），P（x，0），则上述问题转化为求|PA|+|PB|的最小值，如图点A关于x轴的对称点为C（2，-3），因为|PA|+|PB|=|PC|+|PB|≥|BC|=42，所以f（x）的最小值为42.点评：本题如果直接对原式进行变形，有一定运算量，效率也不高，但将式子转化为这种点与点距离公式之后，它的几何意义就凸现出来了，利用数形结合的方法，把代数问题转化为几何问题.数形结合思想方法也是常见的重要方法.考向4：数学各分支之间的转化【考情分析】数学各分支之间的转化是一种重要的解题策略，应用十分广泛，此类问题多以解答题的形式考查，难度适中，属中档题，其中三角换元是高考的常考内容之一.【方法突破】常见方法用代数法解三角问题、用三角法解解析几何问题，用向量方法解立体几何问题，用解析几何方法处理平面几何、代数、三角问题，立体几何中位置关系的论证，角和距离的计算都需要转化为平面问题来处理，运用这些解题的策略，往往能提高创新思维能力.例5若关于x的方程cos2x+4asinx+a-2=0在区间[0，π]上有两个不同的解，则实数a的取值范围是.解析：cos2x+4asinx+a-2=1-2sin2x+4asinx+a-2=-2sin2x+4asinx+a-1，令t=sinx，t∈[0，1]，则原题转化为方程-2t2+4at+a-1=0在（0，1）上有两个不同的根.令f（t）=-2t2+4at+a-1，由二次函数图象可知：Δ>0f（0）<0f（1）<00<4a412点评：本题涉及到多种转化，一是三角函数的异名化同名，三角问题转化为代数问题，二是方程的问题转化为函数的问题.例6如下图所示，图（a）为大小可变化的三棱锥PABC.（1）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定展开图刚好是一个直角梯形P1P2P3A，如图（b）所示.求证：侧棱PB⊥AC;（2）由（1）的条件和结论，若三棱锥中PA=AC，PB=2，求侧面PAC与底面ABC所成角.解析：（1）在平面图中P1A⊥P1B，P2B⊥P2C.故三棱锥中，PB⊥PA，PB⊥PC，且PA∩PC=P，∴PB⊥平面PAC，AC平面PAC，∴PB⊥AC.（2）由（1）在三棱锥中作PD⊥AC于D，连结BD.∵PB⊥AC，PD⊥AC，且PB∩PD=P，∴AC⊥平面PBD，BD平面PBD，∴BD⊥AC，∴∠PDB是所求二面角的平面角，在展开图中，连BP3得BP3⊥AC，作AE⊥CP3于E，得AE=P1P2=4.设P3A=AC=x，则P1A=AC=P3A=x，由P2C=CP3，CE=EP3=x3=x2-42，∴EP3=2.故CP3=22，P2P3=42，由AC·DP3=CP3·AE得DP3=83，又BP3=BP22+P2P23=6，所以BD=BP3-DP3=103.在△PDB中，cos∠PDB=45，∴侧面PAC与底面ABC所成的角的余弦值为45.点评：立体几何中有关位置关系的论证实际上是位置关系的相互转化，有关空间角的计算往往是转化为平面内的角来求解.考向5：相等与不等之间的转化【考情分析】此类问题多以填空题的形式考查，难度适中，属中档题，主要涉及函数的值域、均值不等式、导数等问题.【方法突破】含参变量的不等式中，求参数取值范围是高考的一大热点，当变量易于分解时，转化为a0>f（x）（或a0<f（x））恒成立或有解的问题，再转化为函数最值问题或值域问题.若已知条件等式，求某一代数式的取值范围时，常将其转化为求函数的值域问题或利用基本不等式解决.<p>例7若正数a、b满足ab=a+b+3，則ab的取值范围是.分析一：运用均值不等式定理a+b≥2ab，将原等式转化为不等式.解析一：∵a、b为正数，∴a+b≥2ab.∵ab=a+b+3，∴ab≥2ab+3.∴（ab）2-2ab-3≥0.∴ab≤-1（舍），ab≥3，∴ab≥9，∴ab的取值范围为[9，+∞）.分析二：由ab=a+b+3，从中解出b，代入ab中，将二元转化为一元.解析二：由ab=a+b+3，得b=a+3a-1，∴ab=a2+3a a-1，a>0，b>0，∴a>1.∴ab=a-1+4a-1+5≥2（a-1）·4a-1+5=9.当且仅当a-1=4a-1，即a=3或a=-1（舍）时取等号.∴ab的取值范围为[9，+∞）.点评：将一个等式转化为一个不等式，是求变量取值范围的重要方法.考向6：实际问题与数学模型的转化【考情分析】实际问题是高考的必考内容，在实际应用问题解决时，所涉及的数学知识点并不多，关键是将实际问题向数学模型的转化.通过观察分析，直觉领悟，注重对逻辑思维能力、理性思维能力和解题方法的考查.【方法突破】数学的本质可以说是变量的数学.因此对变量与常量的辨别与理解至关重要，在审题中要关注好每个量的由来与界定，解题中要关注变量与常量的相对性和层次性，切实做到合理选择，辨别清楚.应用数学的意识和解决实际问题能力的培养，对提高解答数学应用题的能力有着很大帮助.例8海岸线MAN，∠A=2θ，现用长为l的拦网围成一养殖场，其中B∈MA，C∈N A.（1）若BC=l，求养殖场面积最大值;（2）若B、C为定点，BC<l，在折线MBCN内选点D，使BD+DC=l，求四边形养殖场DBAC的最大面积;<p>（3）若（2）中B、C可选择，求四边形养殖场ACDB面积的最大值.解析：（1）设AB=x，AC=y，x>0，y>0.l2=x2+y2-2xycos2θ≥2xy-2xycos2θ，xy≤l22-2cos2θ=l24sin2θ，S=12xysin2θ≤12·l24sin2θ·2sinθcosθ=l2cosθ4sinθ，所以，△ABC面积的最大值为l2cosθ4sinθ，当且仅当x=y时取到.（2）设AB=m，AC=n（m，n为定值）.BC=2c（定值），由DB+DC=l=2a，a=12l，知点D在以B、C为焦点的椭圆上，S△ABC=12mnsin2θ为定值.只需△DBC面积最大，需此时点D到BC的距离最大，即D必为椭圆短轴顶点.b=a2-c2=l24-c2，S△BCD面积的最大值为12·2c·b=c·l24-c2，因此，四边形ACDB面积的最大值为12m·n·sin2θ+c·l24-c2.（3）先确定点B、C，使BC<l.由（2）知△DBC为等腰三角形时，四边形ACDB面积最大.确定△BCD的形状，使B、C分别在AM、AN上滑动，且BC保持定值，由（1）知AB=AC 时四边形ACDB面积最大.<p>△ACD≌△ABD，∠CAD=∠BAD=θ，且CD=BD=l2.S=2S△ACD=2·12·AC·AD·sinθ.由（1）的同样方法知，AD=AC时，三角形ACD面积最大，最大值为12·l2·l4tanθ2.所以，四边形ACDB面积最大值为l28tanθ2.点评：本题主要特点是出现的字母比较多，但有些是常量，有些是变量.常见的错误是对题中字母的理解比较肤浅，对常量变量分辨不清，不大会转化，容易致误，如第（2）问中的结果“四边形ACDB面积的最大值为12m·n·sin2θ+c·l24-c2”.所以，在应用题的解题过程中，遇到常量变量时要灵活分辨，学会转化.转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法.数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与形的相互转化;函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化;分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上几种思想方法都是转化与化归思想的具体体现.各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段.所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂.（作者：朱振华，江苏省海门中学）。
例谈化归与转化的数学思想方法的应用
课程篇所谓化归与转化的数学思想方法，就是指在分析处理问题时，把那些待解决或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而求得原问题解答的一种思维方法。
它是数学思维方法中的一个重要组成部分。
1944年波利亚发表的《怎样解题表》，这是数学史上对化归思想给出具有代表意义的作品，这部作品中体现了运用化归思想解决具体数学问题的优越性。
波利亚认为解决数学问题的具体思维过程分为四个阶段：弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。
这四个阶段的思想实质是：理解、转换、实施、反思。
他在表中引出一系列的问题，通过对问题的分析和解决过程，启发寻找解决问题的途径。
弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾这种思维过程的核心在于不断地变换问题，连续地简化问题，把解决数学问题看成是对问题化归的过程，最终化归到已掌握的知识或熟悉的问题上，从而使问题得以解决。
下面就数学教学中遇到的问题举几个化归与转化的例子。
例1.已知（x -2）+nf （2-3x ）=2+x 3（m 2≠n 2），求f （x ）的解析式。
简解：若设辅助函数u =3x -2，则x =u +23，就可以将已知的等式转化为mf （u ）+nf （-u ）=u (1)再将（1）式中的u 代换为-u ，得mf （-u ）+nf （u ）=-u …（2）由（1）（2）联立的关于f （u ）和f （-u ）的二元一次方程组，容易解出f （u ）=（m +n ）u m 2-n 2=u m -n 故f （x ）=x +23。
注：这是一个函数方程问题，一般要转化为函数方程组的问题来解决。
例2.若关于x 的方程x 2-mx +2=0在区间［1，2］上有解，求实数m 的取值范围。
简解：分离参数m ，m=x +2x x ∈［1，2］，因为y=x +2x 在［1，2√］单调递减，在［2√，2］上单调递增，所以x ∈［2√，3］。
注：分离参数后问题转化成了求函数的值域。
例3.求函数y=ln （x 2-2x +3）的值域。
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转化与化归思想的应用题型一 特殊与一般的转化例1 已知函数f (x )＝a xa x ＋a(a >0且a ≠1)，则f ⎝⎛⎭⎫1100＋f ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋f ⎝⎛⎭⎫99100的值为________． 答案 992解析思维升华 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果．(1)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C＝________. (2)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f ⎝⎛⎭⎫52＝________.答案 (1)45 (2)0题型二，常量与变量的转化例2， 对任意的|m |≤2，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1－m 恒为负，则x 的取值范围为________.变式练习：设f (x )是定义在R 上的单调增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为___________．(－∞，－1]∪[0，＋∞)探究提高 在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的.题型三函数、方程、不等式之间的转化例3 若f (x )是定义在R 上的函数，对任意实数x 都有f (x ＋3)≤f (x )＋3和f (x ＋2)≥f (x )＋2，且f (1)＝1，则f (2 014)＝________. 答案 2 014 解析(2)∵f (x ＋1)≤f (x ＋3)－2≤f (x )＋3－2＝f (x )＋1，f (x ＋1)≥f (x ＋4)－3≥f (x ＋2)＋2－3≥f (x )＋4－3＝f (x )＋1， ∴f (x )＋1≤f (x ＋1)≤f (x )＋1. ∴f (x ＋1)＝f (x )＋1. ∴数列{f (n )}为等差数列． ∴f (2 014)＝f (1)＋2 013×1＝2 014.(1)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)(－∞，－8]2．关于x 的方程222(1)10x x k ---+=，给出下列四个命题： ( A )①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根；其中假．命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3题型四 数与形的转化例4．(2014·天津)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________． 答案 (0,1)∪(9，＋∞)解析 设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以⎩⎨⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )有两组不同解．消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两个不等实根， 所以Δ＝(3－a )2－4a >0，即a 2－10a ＋9>0， 解得a <1或a >9.又由图象得a >0，所以0<a <1或a >9.例5. 求函数的最值。
u t t =++-246分析：由于等号右端根号内同为的一次式，故作简单换元，无法t t t m 24+= 转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。
解：设，，则x t y t u x y =+=-=+246且，x y x y 2221604022+=≤≤≤≤()所给函数化为以为参数的直线方程，它与椭圆在u y x u x y =-++=22216 第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）u min =22相切于第一象限时，u 取最大值y x ux y x ux u =-++=⎧⎨⎩⇒-+-=2222216342160解，得±，取∆=0==u u 2626 ∴u max =26题型五 正难则反的转化例3 已知三条抛物线：y ＝x 2＋4ax －4a ＋3，y ＝x 2＋(a －1)x ＋a 2，y ＝x 2＋2ax －2a 中至少有一条与x 轴相交，求实数a 的取值范围． 解 令y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝(4a )2－4(3－4a )<0，Δ2＝(a －1)2－4a 2<0，Δ3＝(2a )2＋8a <0，解得－32<a <－1，∴三条抛物线都不与x 轴相交时a 的取值范围是－32<a <1.故满足题意的a 的取值范围是a ≤－32或a ≥－1.思维升华 否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单．因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )>0，求实数p 的取值范围． 解 如果在[－1,1]内没有值满足f (c )>0，则⎩⎨⎧f (－1)≤0，f (1)≤0⇒⎩⎨⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32⇒p ≤－3或p ≥32，取补集为－3<p <32，即为满足条件的p 的取值范围．故实数p 的取值范围为(－3，32)．、押题精练1．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( ) A ．[2－1，2＋1] B ．[2－1，2＋2] C ．[1，2＋1] D ．[1，2＋2] 答案 A解析 由题意，不妨令a ＝(0,1)，b ＝(1,0)，c ＝(x ，y )，由|c －a －b |＝1得(x －1)2＋(y －1)2＝1，|c |＝x 2＋y 2可看做(x ，y )到原点的距离，而点(x ，y )在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上．如图所示，当点(x ，y )在位置P 时到原点的距离最近，在位置P ′时最远，而PO ＝2－1，P ′O ＝2＋1，故选A.2．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R 、Q 两点，则PR →·PQ →的值为( )A ．a 2B ．b 2C ．2abD ．a 2＋b 2 答案 A解析 当直线RQ 与x 轴重合时，|PR →|＝|PQ →|＝a ，故选A.3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝S n ·S n －1 (n ≥2)，a 1＝29，则a 10等于( )A.49B.47C.463D.563 答案 C解析 由a n ＝S n ·S n －1 (n ≥2)，得1S n －1S n －1＝－1，∴1S n ＝92＋(n －1)×(－1)，∴S n ＝211－2n，∴a 10＝S 10－S 9＝463.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x(x ≤0)，log 2x (x >0)，则函数y ＝f (f (x ))－1的零点个数为________．答案 2解析 令t ＝f (x )，则该函数的零点即f (t )－1＝0的解．先解方程f (t )＝1.①当t ≤0时，方程为2t ＝1，解得t ＝0；②当t >0时，方程为log 2t ＝1，解得t ＝2；所以方程f (t )＝1的解为0或2. 再解方程f (x )＝0和f (x )＝2.③当x ≤0时，因为2x >0，故由2x ＝2，得x ＝1；④当x >0时，由log 2x ＝0，得x ＝1；由log 2x ＝2，得x ＝4； 故函数y ＝f (f (x ))－1的零点为1,4，共2个．5．已知奇函数f (x )的定义域为实数集R ，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，当0≤θ≤π2时，是否存在实数m ，使f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>f (0)对所有的θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m ；若不存在，请说明理由．解 ∵f (x )在R 上为奇函数，又在[0，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在R 上为增函数，且f (0)＝0.由题设条件可得，f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>0. 又由f (x )为奇函数，可得f (cos 2θ－3)>f (2m cos θ－4m )． ∵f (x )在R 上为增函数，∴cos 2θ－3>2m cos θ－4m ，即cos 2θ－m cos θ＋2m －2>0.令cos θ＝t ，∵0≤θ≤π2，∴0≤t ≤1.于是问题转化为对一切0≤t ≤1，不等式t 2－mt ＋2m －2>0恒成立． ∴t 2－2>m (t －2)，即m >t 2－2t －2恒成立．又∵t 2－2t －2＝(t －2)＋2t －2＋4≤4－22，∴m >4－22，∴存在实数m 满足题设的条件，即m >4－2 2.10．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝________. 答案45。