圆的方程经典例题
圆与方程典型例题
圆的方程考点一：求圆的方程1.过两点P (2,2)、Q (4,2)，且圆心在直线x －y ＝0上的圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋(y －3)2＝2B ．(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝2C ．(x －3)2＋(y －3)2＝ 2D ．(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝ 22.求经过点A (10,5)、B (－4,7)，半径为10的圆的方程．3. 求以A (2,2)、B (5,3)、C (3，－1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程．4. 已知A (3，－2)，B (－5,4)，则以AB 为直径的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝1005．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是( )A ．a <－2或a >23B ．－23<a <2 C ．－2<a <0 D ．－2<a <23 6.220x y x y R +-++=表示一个圆，则R 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞ B ．(),2-∞ C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 7. 已知方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求：(1)实数m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径．8.ABC ∆的三个顶点坐标分别为()()()1,5,2,2,5,5A B C ---，求其外接圆的方程．7.一圆经过点)3,4(-P ，圆心在直线012=+-y x 上，且半径为5，求该圆的标准方程。
点关于直线对称8.圆12-)1(22=+-）（y x 关于直线02=--y x 对称的圆的方程为（ ） 9.圆14)3(22=++-）（y x 关于直线0=+y x 对称的圆的方程是（ ） A.14)3(22=-++）（y x B.13)4(22=++-）（y x C.13)4(22=-++）（y x D.14)3(22=-+-）（y x10.经过两点P (－2,4)、Q (3，－1)，且在x 轴上截得的弦长为6的圆的方程．11.已知直线01=-+y x 与圆心为C 的圆4a -)1(22=+-）（y x 相交于B A ,两点，若ABC ∆为等边三角形，则实数=a （ ）A.6-B.6C.6±D.61±12.圆心在x 轴上，半径长为2，且过点），（12-的圆的方程为（ ） A.2)1(22=++y x B.2222=++）（y x C.2)3(22=++y x C.2)1(22=++y x 或2)3(22=++y x13.点P (1，－2)和圆C ：x 2＋y 2＋m 2x ＋y ＋m 2＝0的位置关系是______ 外14．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程是( )A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5周长最小15.圆过点)4,1(),2,1(--B A ,求：（1）周长最小的圆的方程（2）圆心在直线042=--y x 上的圆的方程。
高中数学例题：圆的一般方程
高中数学例题：圆的一般方程例3．已知直线x 2+y 2―2(t+3)x+2(1―4t 2)y+16t 4+9=0表示一个圆．（1）求t 的取值范围；（2）求这个圆的圆心和半径；（3）求该圆半径r 的最大值及此时圆的标准方程．【思路点拨】若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件D 2+E 2―4F ＞0，解题时，应充分利用这一隐含条件．【答案】（1）117t -<<（2）（t+3，4t 2－1） （3）7 222413167497x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】（1）已知方程表示一个圆⇔D 2+E 2―4F ＞0，即4(t+3)2+4(1―4t 2)2―4(16t 4+9)＞0，整理得7t 2―6t ―1＜0117t ⇔-<<．（2）圆的方程化为[x ―(t+3)]2+[y+(1―4t 2)]2=1+6t ―7t 2．∴它的圆心坐标为（t+3，4t 2－1）．（3）由7r ===≤．∴r 的最大值为7，此时圆的标准方程为 222413167497x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【总结升华】 在本例中，当t 在1,17⎛⎫- ⎪⎝⎭中任取一个值，它对应着一个不同的圆，它实质上是一系列的圆，因此本例中的圆的方程实质上是一个圆系方程，由2341x t y t =+⎧⎨=-⎩得y=4(x ―3)2―1，再由117t -<<，知2047x <<，因此它是一个圆心在抛物线2204(3)147y x x ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭的圆系方程．举一反三：【变式1】（1）求过(2,2),(5,3),(3,1)A B C -的圆的方程，及圆心坐标和半径；（2）求经过点(2,4)A --且与直线3260x y +-=相切于点（8，6）的圆的方程．【答案】（1）()224(1)5x y -+-= （4，1）（2）22113300x y x y +-+-= 【解析】（1）法一：设圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，则8220345301030D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪+-+=⎩，解得：8212D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以所求圆的方程为：228220x y x y +--+=，即()224(1)5x y -+-=，所以圆心为（4，1）法二：线段AB 的中点为为75,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，321523AB k -==- 线段AB 的中垂线为57322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即3130x y --= 同理得线段BC 中垂线为260x y +-=联立2603130x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得41x y =⎧⎨=⎩所以所求圆的方程为（4，1），半径r ==所以()224(1)5x y -+-=．（2）法一：设圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，则2024062382100860D E F ED DEF --+=⎧⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪⎪+++=⎩，解得：11330D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 所以圆的方程为22113300x y x y +-+-=．法二：过点B 与直线3260x y +-=垂直的直线是3180x y --=， 线段AB 的中垂线为40x y +-=，由318040x y x y --=⎧⎨+-=⎩得：圆心坐标为113,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，由两点间距离公式得半径21252r =， 所以圆的方程为22113125222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【变式2】判断方程ax 2+ay 2―4(a ―1)x+4y=0（a ≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径长．【答案】表示圆，圆心坐标2(1)2,a a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径||r a = 【变式3】方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是A ．2a <-或23a >B ．203a -<<C ．20a -<<D ．223a -<<【答案】D【解析】方程x 2+y 2+ax+2ay+2a 2+a-1=0转化为2223()124a x y a a a ⎛⎫+++=--+ ⎪⎝⎭，所以若方程表示圆，则有23104a a --+>，∴ 23440a a +-<，∴ 223a -<<．例4．（1）△ABC 的三个顶点分别为A （―1，5），B （―2，―2），C （5，5），求其外接圆的方程；（2）圆C 过点P （1，2）和Q （―2，3），且圆C 在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆C 的方程．【思路点拨】在（1）中，由于所求的圆过三个点，因而选用一般式，从而只要确定系数D 、E 、F 即可；注意到三角形外接圆的圆心为各边的垂直平分线的交点，所以也可先求圆心，再求半径，从而求出圆的方程．在（2）中，可用圆的一般方程，但这样做计算量较大，因此我们可以通过作图，利用图形的直观性来进行分析，从而得到圆心或半径所满足的条件．【答案】（1）x 2+y 2―4x ―2y ―20=0（2）(x+1)2+(y ―1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25【解析】（1）解法一：设所求的圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由题意有5260228055500D E F D E F D E F -+++=⎧⎪--++=⎨⎪+++=⎩，解得4220D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩．故所求的圆的方程为x 2+y 2―4x ―2y ―20=0．解法二：由题意可求得AC 的中垂线的方程为x=2，BC 的中垂线方程为x+y ―3=0．∴圆心是两中垂线的交点（2，1），∴半径5r ==，∴所求的圆的方程为(x ―2)2+(y ―1)2=25，即x 2+y 2―4x ―2y ―20=0．（2）解法一：如右图所示，由于圆C 在两坐标轴上的弦长相等，即|AD|=|EG|，所以它们的一半也相等，即|AB|=|GF|，又|AC|=|GC|，∴Rt △ABC ≌Rt △GFC ，∴|BC|=|FC|．设C （a ，b ），则|a|=|b|． ①又圆C 过点P （1，2）和Q （―2，3），∴圆心在PQ 的垂直平分线上， 即51322y x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即y=3x+4，∴b=3a+4． ② 由①知a=±b ，代入②得11a b =-⎧⎨=⎩或22a b =-⎧⎨=-⎩．∴r ==5．故所求的圆的方程为(x+1)2+(y ―1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25．即x 2+y 2+2x ―2y ―3=0或x 2+y 2+4x+4y ―17=0．解法二：设所求的圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0．∵圆C 过点P （1，2）和Q （－2，3），∴22122049230D E F D E F ⎧++++=⎨+-++=⎩，解得38117E D F D =-⎧⎨=-⎩． ∴圆C 的方程为x 2+y 2+Dx+(3D ―8)y+11―7D=0，将y=0代入得x 2+Dx+11―7D=0．∴圆C 在x 轴上截得的弦长为12||x x -=x=0代入得y 2+(3D ―8)y+11―7D=0，∴圆C 在y 轴上截得的弦长为12||y y -=由题意有=，即D 2―4(11―7D)=(3D ―8)2―4(11―7D)，解得D=4或D=2．故所求的圆的方程为x 2+y 2+4x+4y ―7=0或x 2+y 2+2x ―2y ―3=0．【总结升华】 （1）本例（1）的解法二思维迂回链过长，计算量过大，而解法一则较为简捷，因此，当所有已知的条件与圆心和半径都无直接关系，在求该圆的方程时，一般设圆的方程为一般方程，再用待定系数法来确定系数即可．（2）本例（2）中，尽管所给的条件也都与圆心和半径无直接关系，但可通过画图分析，利用平面几何知识，找到与圆心和半径相联系的蛛丝马迹，从而避免了选用圆的一般方程带来的繁琐的计算．（3）一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件．举一反三：【变式1】如图，等边△ABC 的边长为2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长．【答案】⎛ ⎝⎭2243x y ⎛+= ⎝⎭。
过两圆交点的圆的方程的例题
过两圆交点的圆的方程的例题一、例题例：已知圆C_1：x^2+y^2+2x + 3y+1 = 0，圆C_2：x^2+y^2+4x + 3y+2 = 0，求过两圆交点的圆的方程。
二、题目解析1. 方法一：利用圆系方程求解- 设过两圆交点的圆系方程为(x^2+y^2+2x + 3y+1)+λ(x^2+y^2+4x + 3y+2)=0（λ≠ - 1）。
- 整理得(1 +λ)x^2+(1+λ)y^2+(2 + 4λ)x+(3 + 3λ)y+(1+2λ)=0。
- 我们可以根据需要确定λ的值。
例如，若要求这个圆过某一特定点(x_0,y_0)，将(x_0,y_0)代入上述方程就可以求出λ。
- 在这个例子中，如果我们令λ = 0，则得到圆C_1的方程；如果令λ=∞，则方程趋近于圆C_2的方程。
- 一般情况下，我们不需要求出λ的具体值，上述方程(1 +λ)x^2+(1+λ)y^2+(2 + 4λ)x+(3 + 3λ)y+(1+2λ)=0就是过两圆交点的圆的方程（λ≠ - 1）。
2. 方法二：先求交点，再设圆的方程- 联立两圆方程x^2+y^2+2x + 3y+1 = 0 x^2+y^2+4x + 3y+2 = 0。
- 用第二个方程减去第一个方程可得：- (x^2+y^2+4x + 3y+2)-(x^2+y^2+2x + 3y+1)=0。
- 即2x + 1=0，解得x=-(1)/(2)。
- 将x =-(1)/(2)代入圆C_1的方程(-(1)/(2))^2+y^2+2×(-(1)/(2))+3y + 1=0。
- 即(1)/(4)+y^2-1 + 3y+1=0。
- 整理得y^2+3y+(1)/(4)=0。
- 根据一元二次方程求根公式y=(-3±√(9 - 1))/(2)=(-3±√(8))/(2)=(-3±2√(2))/(2)。
- 得到两圆交点坐标为A(-(1)/(2),(-3 + 2√(2))/(2))和B(-(1)/(2),(-3 - 2√(2))/(2))。
圆与椭圆例题和知识点总结
圆与椭圆例题和知识点总结一、圆的知识点圆是平面几何中一个非常重要的图形，具有许多独特的性质。
1、圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为半径。
2、圆的标准方程圆心为$（a,b)＄，半径为$r$的圆的标准方程为$（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2$。
3、圆的一般方程＄x^2 ＋ y^2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0$（＄D^2 ＋ E^2 4F ＞ 0$），圆心坐标为$（＼frac{D}｛2}，＼frac{E}｛2}）＄，半径为$r ＝＼frac{1}｛2}＼sqrt{D^2 ＋ E^2 4F}＄。
4、圆的直径所对的圆周角为直角。
5、圆的弦心距、弦长与半径的关系设圆的半径为$r$，弦心距为$d$，弦长为$l$，则$l ＝ 2\sqrt{r^2d^2}＄。
6、圆的切线性质（1）圆心到切线的距离等于半径。
（2）切线垂直于经过切点的半径。
7、圆与圆的位置关系两圆的圆心距为$d$，两圆的半径分别为$r_1$，＄r_2$，则有：（1）外离：＄d ＞ r_1 ＋ r_2$（2）外切：＄d ＝ r_1 ＋ r_2$（3）相交：＄｜r_1 r_2| ＜ d ＜ r_1 ＋ r_2$（4）内切：＄d ＝｜r_1 r_2|＄（5）内含：＄d ＜｜r_1 r_2|＄二、椭圆的知识点椭圆是平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹。
1、椭圆的标准方程（1）焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$为长半轴长，＄b$为短半轴长，＄c$为半焦距，满足$c^2 ＝ a^2 b^2$，焦点坐标为$（＼pm c, 0)＄。
（2）焦点在$y$轴上：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$），焦点坐标为$（0, ＼pm c)＄。
圆的标准方程的例题
圆的标准方程的例题圆是我们生活中常见的几何图形之一，它在数学中有着重要的地位。
圆的标准方程是我们学习圆的基础，通过掌握圆的标准方程，我们可以更好地理解圆的性质和特点。
下面，我们通过几个例题来深入学习圆的标准方程。
例题一，求圆心在坐标原点，半径为5的圆的标准方程。
解，圆的标准方程为，(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
因为圆心在坐标原点，所以a=0，b=0；半径为5，所以r=5。
带入公式得，x² + y² = 25。
所以，圆的标准方程为x² + y² = 25。
例题二，已知圆的圆心坐标为(-3, 4)，且半径为7，求圆的标准方程。
解，根据圆的标准方程公式，圆的标准方程为，(x-a)² + (y-b)² = r²。
将圆心坐标(-3, 4)代入，得，(x+3)² + (y-4)² = 49。
所以，圆的标准方程为(x+3)² + (y-4)² = 49。
例题三，已知圆的标准方程为x² + y² 6x + 8y 12 = 0，求圆的圆心坐标和半径。
解，将圆的标准方程与标准方程公式进行比较，得到圆心坐标为(a, b) = (3, -4)，半径r² = a² + b² c = 3² + (-4)² (-12) = 9 + 16 + 12 = 37，所以半径r = √37。
综上所述，圆的标准方程为x² + y² = 25；(x+3)² + (y-4)² = 49；圆心坐标为(3, -4)，半径为√37。
通过以上例题的学习，我们对圆的标准方程有了更深入的理解，希望大家能够灵活运用这些知识，解决实际问题，提高数学水平。
圆的方程 知识点+例题+练习
教学过程1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数，同时注意利用几何法求圆的方程时，要充分利用圆的性质．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．3．求圆的方程时，一般考虑待定系数法，但如果能借助圆的一些几何性质进行解题，不仅能使解题思路简化，而且还能减少计算量．如弦长问题，可借助垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理解题．课堂巩固一、填空题1．(2014·南京模拟)已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是________．2．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过第________象限．3．(2014·银川模拟)圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是________．4．两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．5．(2014·东营模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．6．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．7．(2014·南京调研)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为______．8．若圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．教学效果分析。
圆的方程练习一
圆的方程练习一首先，我们来定义圆的方程。
圆心位于点(a, b)，半径为r的圆的方程是：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2。
例题1：求过点A（2，3）且圆心在直线l：x-y-1=0上的圆的方程。
解答：首先，我们需要找到圆心和半径。
由于圆过点A（2，3），且圆心在直线l：x-y-1=0上，我们可以设圆心为(2,3)。
半径则为从圆心到A点的距离，即√[(2-2)^2 + (3-3)^2] = 0。
因此，圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 0。
例题2：求与直线x=1相切，且半径为5的圆的方程。
解答：设圆的圆心为(1,b)，则半径为√[(1-1)^2 + (b-b)^2] = 5，解得b=±4。
因此，圆的方程为(x-1)^2 + (y-4)^2 = 25或(x-1)^2 + (y+4)^2 = 25。
例题3：求与两直线x+y=1和x-y=3同时相切的圆的方程。
解答：设圆的圆心为(a,b)，半径为r，则√[(a-1)^2 + (b+1)^2] = r，且√[(a+3)^2 + (b-3)^2] = r。
解得a=0，b=0，r=√10。
因此，圆的方程为x^2 + y^2 = 10。
例题4：已知点A（4，1），B（7，5），C（5，6），求通过这三点的圆的一般方程。
解答：设圆的方程为x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，我们将已知的三个点的坐标代入方程中，得到以下等式组：16+1+4D+E+F=049+25+7D+5E+F=025+36+5D+6E+F=0解这个方程组，我们得到D=-3，E=-6，F=0。
因此，通过这三点的圆的一般方程为x^2 + y^2 - 3x - 6y = 0。
例题5：求过原点且与直线x=3相切的圆的方程。
解答：设圆的圆心为(3,b)，则半径为√[3^2 + (b-b)^2] = 3。
解得b=±√3。
因此，圆的方程为(x-3)^2 + (y±√3)^2 = 9。
高一数学圆的方程经典例题
例1圆(Λ∙-3)2+(y-3)2=9±到直线3Λ-+4>'-11=0的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解.或先求出直线厶、厶的方程，从代数计算中寻找解答.解法圆(x-3)2 + (y-3)2=9 的圆心为q(3,3),半径∕ = 3∙设圆心O I到直线3x + 4V-Il = O的距离为〃，则∣3×3 + 4×3-Il∣√3¼41如图，在圆心Q同侧，及直线3x÷4y-ll=0平行且距离为1的直线厶及圆有两个交点，这两个交点符合题意.・•・及直线3x÷4y-ll = 0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.・・・符合题意的点共有3个.解法二符合题意的点是平行于直线3Λ÷4y-ll = 0,且及之距离为1 的直线和圆的交点.设所求直线为3x + 4y + m = 0,贝∣J√=±≤ = 1,∙e∙ m+ll = ±5 9即In = -6 9或加= —16,也即∕1x3x + 4y-6 = 0 9⅛K∕23x + 4y-16 =0 •典型例设圆O1≡(x-3)2+(y-3)2=9的圆心到直线厶的距离为〃】、心则∣3×3÷4×3-6L ∣3×3÷4×3-16L K•••厶及q相切，及圆q有一个公共点；厶及圆q相交，及圆q有两个公共点•即符合题意的点共3个•说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解:设圆心O I到直线3x + 4y-ll = 0的距离为〃,则^∣3×3÷4×3-11L2<3.√P74Γ•I圆O］到3x + 4y-ll = 0距离为1的点有两个•显然,上述误解中的〃是圆心到直线3x÷4y-ll = 0的距离,d<r,只能说明此直线及圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1∙到一条直线的距离等于定值的点，在及此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线及圆的公共点•求直线及圆的公共点个数，一般根据圆及直线的位置关系来判断, 即根据圆心及直线的距离和半径的大小比较来判断•典型例题三例3求过两点A(l,4)、B(3,2)且圆心在直线y = 0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)及圆的关系.分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P及圆的位置关系，只须看点P及圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内.解法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(兀-d}2 +(y-by =r2.∙.∙圆心在y = 0上，故b = 0.圆的方程为(X-^)2 + >,2= r2.又Y该圆过4(1,4)、B(3,2)两点..J(l-α)2 + 16 = ∕*2[(3-α), +4 = r2解之得：Q=-I, r2 = 20.所以所求圆的方程为(x + l)2+y2=20・解法二：(直接求出圆心坐标和半径)因为圆过A(l,4)、3(3,2)两点，所以圆心C必在线段A3的垂直平分线/上，又因为S=苦1，故/的斜率为1，又AB的中点为(2,3),故AB的垂直平分线/的方程为：y-3 = x-2即x-y + l = 0.又知圆心在直线y = 0上，故圆心坐标为C(-l, 0)・*. Φ⅛ r = ∖AC∖ =√(l + l)2+42 = λ∕20 ・故所求圆的方程为(X +1)2+ b =20・又点P(2,4)到圆心C(-1,0)的距离为J=IPq = λ∕(2 +1)2+42=√25>r.・•・点P在圆外.说明：木题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心及定点之间的距离和半径的大小关系来判定点及圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线及圆的位置关系呢？典型例题四例4圆X2 + y2 +2x + 4y-3 = 0上到直线x + y + ∖ = 0的距离为血的点共有().(A) 1 个(B) 2 个(C) 3 个(D) 4 个分析：把X2 + y2 +2x+4y-3 = 0化为(x +1)2 +(y + 2)2 =8 ,圆心为(-1,-2), 半径为「= 2血，圆心到直线的距离为√Σ,所以在圆上共有三个点到直线的距离等于运，所以选C.典型例题五例5 过点P(-3,-4)作直线/,当斜率为何值时，直线/及圆C：(X-I)2+(y + 2)2=4有公共点，如图所示.分析：观察动画演示，分析思路.解：设直线/的方程为y + 4 = k(x + 3)即kx- y + 3k -4 = 0根据(/S有比+2 + 3£-4|刁y∣∖+k2整理得3k2-4k=0解得40≤k≤-•3典型例题六例6己知圆Ot√ + y2=4,求过点P(2,4)及圆O相切的切线. 解：T点P(2,4)不在圆O上，・•・切线PT的直线方程可设为y =心- 2)+4根据d = r•• •7+4|_2√f+P解得k=〉4所以y = -(x-2)÷4即3x-4y + 10 = 0因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在.易求另一条切线为;ι=2∙说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解.木题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于O解决(也要注意漏解)・还可以运用v÷>v = r2,求岀切点坐标•5、儿的值来解决，此时没有漏解•例7自点衣-3,3）发出的光线/射到兀轴上，被兀轴反射，反射光线所在的直线及圆C：√ + y2-4x-4y + 7 = 0相切（1）求光线/和反射光线所在的直线方程.切线的斜率为图3k = -^ik =—3 4进一步求出反射光线所在的直线的方程为4x-3y + 3 = 0 或3x-4y-3 = 0最后根据入射光及反射光关于X轴对称，求出入射光所在直线方程为4x + 3y + 3 = 0 或3x+4y-3 = 0光路的距离为∖A'M∖ ,可由勾股定理求得PrMf=PrCf TCMf=7.说明：木题亦可把圆对称到兀轴下方，再求解.例8如图所示，已知圆O： x2+y2 =4及y轴的正方向交于A点，点B 在直线y = 2上运动，过B做圆O的切线，切点为C,求ΔABC垂心H的轨迹.分析：按常规求轨迹的方法，设H(.y),找;r,y的关系非常难.由于H点随B , C点运动而运动，可考虑H, B , C三点坐标之间的关系. 解：设H(X,y), C(X ,y),连结4H, CH ,贝IJAH丄BC, CH丄AB f BC是切线OC丄BC,所以OC//AH, CHIIOA, OA = OC f所以四边形AOCH是菱形.所以∖CH∖ = ∖θA∖ = 2f得I y= y~2'又C(X ,y)满足∕÷∕=4,所以√÷(y-2)2=4(x≠0)即是所求轨迹方程.说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识.采取代入法求轨迹方程•做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析及动点相关联的点，如相关联点轨迹方程己知，可考虑代入法.典型例题九例9求半径为4,及圆√+∕-4x-2y-4 = 0相切，且和直线尸0相切的圆的方程.分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解.解：则题意，设所求圆的方程为圆C：(X-Uy +(y-b)2 =r2.圆C及直线y = 0相切，且半径为4,则圆心C的坐标为G(α,4)或C2(^,-4)・又己知圆X 2 + y 2 _ 4 X _ 2_ 4 = 0的圆心A的坐标为(2,1),半径为3.若两圆相切,则IGAI=4 + 3 = 7或IGAl=4-3 = 1・⑴当GS,4)时,(α-2)2÷(4-l)2=72,或(α-2)2+(4-1)2 = I2 (无解)，故可得0 = 2±2佰.・•・所求圆方程为(X-2-2√W+(V-4)2=42, 或(X - 2 + 2√10 )2 + (y - 4)2 = 42 .(2)当C?(“ , 一4)时，(α — 2)2 +(-4-1)2 = 7?,或(α一2)2 + (一4 — I)? = F (无解)，故α = 2 ± 2√6 .・•・所求圆的方程为(x-2-2√6)2+(y + 4)2=42, 或(x-2 + 2√z6)2+(y + 4)2 =42 .说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆及直线)=0相切且半径为4,则圆心坐标为C(",4), 且方程形如(x-α)2+(y-4)2 =42・又圆x2 +y2 -4x-2y-4 = 0 ,即(x-2)2+(y-l)2=32 ,其圆心为A(2,1),半径为3.若两圆相切,则IcAI = 4 +3・故(«-2)2+(4-1)2 =72,解之得6∕ = 2±2√1O .所以欲求圆的方程为(X_2_2√"10)2+(y-4)2=42,或(X_2 + 2√Iθ)2+(y-4)2 = 42.上述误解只考虑了圆心在直线y = O上方的情形，而疏漏了圆心在直线下方的情形.另外，误解中没有考虑两圆内切的情况•也是不全面的.典型例题十例10已知圆x2 + y2+x-6y + m = O及直线x + 2y-3 = 0相交于P、Q两点，O为原点，且OP丄O0,求实数加的值.分析：设P、0两点的坐标为(x l,y l)> (X2O12) »则由S • % =7, 可得⅜÷>'1>'2=0,再利用一元二次方程根及系数的关系求解.或因为通过原点的直线的斜率为上，由直线/及圆的方程构造以上为未知数的X X一元二次方程，由根及系数关系得出為p∙褊。
高中数学_必修二_圆与方程_经典例题 整理
习题精选精讲圆标准方程已知圆心),(b a C 和半径r ，即得圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-；已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，即得圆心),(b a C 和半径r ，进而可解得与圆有关的任何问题.一、求圆的方程例1 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( )(A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x(C)9)1()2(22=++-y x (D)9)1()2(22=-++y x二、位置关系问题例2 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值范围是( ) (A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+-- (D))12,0(+三、切线问题例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线方程为( ) (A)x y 3-=或x y 31=(B)x y 3=或x y 31-= (C)x y 3-=或x y 31-= (D)x y 3=或x y 31=四、弦长问题例4设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于B A 、两点，且弦AB 的长为32，则=a .五、夹角问题例5 从圆012222=+-+-y y x x 外一点)2,3(P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( ) (A)21 (B)53 (C)23 (D) 0六、圆心角问题例6 过点)2,1(的直线l 将圆4)2(22=+-y x 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率=k .七、最值问题例7 圆0104422=---+y x y x 上的点到直线14-+y x 0=的最大距离与最小距离的差是( )(A) 30 (B) 18 (C)26 (D)25八、综合问题例8 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) (A)]4,12[ππ (B)]125,12[ππ (C)]3,6[ππ (D)]2,0[π圆的方程1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.(1) 圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，其中(a ，b)是圆心坐标，r 是圆的半径；(2) 圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心坐标为(2,2E D --)，半径为r ＝2422F E D -+ 2. 直线与圆的位置关系的判定方法.(1) 法一：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.消元⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆−−→−相离相切相交判别式000 (2) 法二：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，圆心(a ，b)到直线的距离为d ＝⎪⎩⎪⎨⎧⇔>⇔=⇔<→+++相离相切相交r d r d r d B A CBb Aa 22. 3. 两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O 1、 O 2，半径分别为r 1、 r 2， ｜O 1O 2｜为圆心距，则两圆位置关系如下：｜O 1O 2｜＞r 1＋r 2⇔两圆外离；｜O 1O 2｜＝r 1＋r 2⇔两圆外切；｜r 1－r 2｜＜｜O 1O 2｜＜r 1＋r 2⇔两圆相交；｜O 1O 2｜＝｜r 1－r 2｜⇔两圆内切；０＜｜O 1O 2｜＜｜r 1－r 2｜⇔两圆内含.●点击双基1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是A.－1<t <71B.－1<t <21C.－71<t <1 D .1<t <2 2.点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是 A.｜a ｜＜1 B.a ＜131C.｜a ｜＜51 D .｜a ｜＜1313.已知圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2（r >0），下列结论错误的是A.当a 2+b 2=r 2时，圆必过原点B.当a =r 时，圆与y 轴相切C.当b =r 时，圆与x 轴相切D .当b <r 时，圆与x 轴相交●典例剖析【例2】 一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程.夯实基础1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形，则A.D +E =0B. B.D +F =0C.E +F =0D. D +E +F =02.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有A.1条B.2条C.3条 D .4条3.（2005年黄冈市调研题）圆x 2+y 2+x －6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx －y +4=0对称，则k =____________.4.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10=0的 距离的最小值为____________.5.（2005年启东市调研题）设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x －6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足·=0.（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程.培养能力7.已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2－4x +1=0.求（1）xy 的最大值和最小值；（2）y －x 的最小值；（3）x 2+y 2的最大值和最小值.8.（文）求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程.并判断点M 1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系.“求经过两圆04622=-++x y x 和028622=-++y y x 的交点，并且圆心在直线04=--y x 上的圆的方程。
数学学案：例题与探究圆的标准方程圆的一般方程
典题精讲例1求过三点A(1,12）、B(7,10)、C （—9，2)的圆的方程，并求出圆的圆心与半径,作出图形.思路分析:因为圆过三个定点，故可以设圆的一般式方程来求圆的方程。
解:设所求的圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，依题意有⎪⎩⎪⎨⎧=++-+=++++=++++.029481,010710049,0121441F E D F E D F E D图2—3—(1，2)-1解得D=—2,E=-4，F=-95。
于是所求圆的方程为x 2+y 2—2x-4y-95=0。
将上述方程配方得（x —1）2+(y —2)2=100.于是,圆的圆心D 的坐标为（1，2），半径为10，图形如图2—3-(1，2）-1所示。
绿色通道：求过三个定点的圆的方程往往采用待定系数法求解。
利用圆经过不在同一直线上的三点的条件,由待定系数法求出圆的一般式方程，并由此讨论圆的几何性质。
对于由一般式给出的圆的方程，研究其几何性质(圆心与半径等)时,常可用配方法或公式法加以求解.变式训练1已知圆C 与圆（x-1)2+y 2=1关于直线y=-x 对称,则圆C 的方程为（ )A 。
(x+1)2+y 2=1B 。
x 2+y 2=1 C.x 2+(y+1)2=1D.x 2+（y-1）2=1思路解析：求出圆心（1,0）关于直线y=—x 的对称点为（0,-1)，得到圆C 的圆心。
故选C 。
答案：C例2求下列圆的方程:(1)圆心在直线y=-2x 上，且与直线y=1-x 相切于点(2,-1）；（2)圆心为C(0，3）,且截直线y=x+1所得弦长为4.思路分析：利用圆的标准方程,把条件转化为关于圆心和半径的方程组来求解。
解:(1)设圆心（a,—2a ），圆的方程为(x-a ）2+（y-2a ）2=r 2. 由⎪⎩⎪⎨⎧+-+-=-=-•-+-,)12()2(,1)1(21222a a r a a 解得⎩⎨⎧==,2,1r a ∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.(2）设圆的方程为（x-3)2+y 2=r 2,利用点到直线的距离公式可以求得d=|11013+-+=22,再根据垂径定理可知r=322)22(22=+。
圆的方程典型例题
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1、 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的 关系．例2、 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 例3、 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程． 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5、已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．例6、 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
练习：1、求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程． 2、过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线的方程为 3、已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为 . 类型三：弦长、弧问题例8、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长. 例9、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 例10、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长 类型四：直线与圆的位置关系例11、已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ，判断此直线与已知圆的位置关系. 例12、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.例13、圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？练习1：直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是 练习2：若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .3、圆034222=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 类型五：圆与圆的位置关系问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？例14、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系， 例15：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有 条。
高中数学必修2圆与方程典型例题,成才系列
y
2
4 上的动点，点 M 为 OP（ O 为原点）中点，求动
点 M 的轨迹方程。 2、 已知两定点 A(-2,0) 、 B(1,0) ，若动点 P 满足｜ PA｜ =2｜ PB｜，则点 P 轨
迹方程所包围的图形面积等于 3、 等腰三角形 ABC 底边一个端点 B(1,-3) ，顶点 A(0,6) ，求另一个端点 C 的
d Aa A
2
By r
C
0 ， 圆 C: x l 与 C 相离 ； d
a
2
y
b
2
r
2
， 圆 心
C a, b 到 l 的 距 离 为
l 与 C 相交
Bb B
C
2
，则有 d
r
l 与 C 相切 ； d
r
（ 2） 过圆外一点的切线 ：① k 不存在，验证是否成立② 径，求解 k，得到方程【一定两解】
2 2 2
2
y
2
2( m 1) x
2(2 m
3) y
5m
2
10m
6
0.
（ 1 ）此方程表示的图形是否一定是一个圆？请说明理由； （ 2 ）若方程表示的图形是是一个圆，当 练习： 1．方程 m 变化时，它的圆心和半径有什么规律？请说明理由 y=2 x+5 上，半径为 2. . 答案： (1) 方程表示的图形是一个圆； （ 2 ）圆心在直线
( x 2)
2
y
2
4 ，相互垂直的两条直线
l1 、 l 2 都过点 A (a ,0) .
l1 、 l 2 都和圆 C 相切，求直线 l1 、 l 2 的方程；
2 时，若圆心为 M (1, m) 的圆和圆 C 外切且与直线 l 1 、 l 2 都相切，求圆 M 的方程； 1 时，求 l 1 、 l 2 被圆 C 所截得弦长之和的最大值
高中数学圆的方程典型例题
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线0=y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系．例2求半径为4，与圆042422=---+y某y某相切，且和直线0=y相切的圆的方程．例3求经过点)5,0(A，且与直线02=-y某和02=+y某都相切的圆的方程．例4、设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被某轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y某l：的距离最小的圆的方程．类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5已知圆422=+y某O：，求过点()42，P与圆O相切的切线．例6两圆0111221=++++FyE某Dy某C：与0222222=++++FyE某Dy某C：相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程．例7、过圆122=+y某外一点)3,2(M，作这个圆的两条切线MA、MB，切点分别是A、B，求直线AB的方程。
练习：1．求过点(3,1)M，且与圆22(1)4某y-+=相切的直线l的方程．2、过坐标原点且与圆0252422=++-+y某y某相切的直线的方程为3、已知直线0125=++ay某与圆0222=+-y某某相切，则a的值为.类型三：弦长、弧问题例8、求直线063:=--y某l被圆042:22=--+y某y某C截得的弦AB 的长.例9、直线0323=-+y某截圆422=+y某得的劣弧所对的圆心角为例10、求两圆0222=-+-+y某y某和522=+y某的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例11、已知直线0323=-+y某和圆422=+y某，判断此直线与已知圆的位置关系.例12、若直线m某y+=与曲线24某y-=有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.例13圆9)3()3(22=-+-y某上到直线01143=-+y某的距离为1的点有几个？练习1：直线1=+y某与圆)0(0222>=-+aayy某没有公共点，则a的取值范围是练习2：若直线2+=k某y与圆1)3()2(22=-+-y某有两个不同的交点，则k的取值范围是.3、圆034222=-+++y某y某上到直线01=++y某的距离为2的点共有（）．（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个4、过点()43--，P作直线l，当斜率为何值时，直线l与圆()()42122=++-y某C：有公共点，如图所示．类型五：圆与圆的位置关系问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？例14、判断圆02662:221=--++y某y某C与圆0424:222=++-+y某y某C的位置关系，例15：圆0222=-+某y某和圆0422=++yy某的公切线共有条。
圆的参数方程例题
1、已知圆的参数方程为x = 3cosθ, y = 3sinθ，则圆上一点P(x, y) 到原点O 的距离为：A. 6B. 3C. 9D. 依θ而定（答案：B）2、圆的参数方程为x = 2cosθ+ 1, y = 2sinθ- 3，则圆心的坐标为：A. (1, -3)B. (2, -3)C. (1, 3)D. (-1, 3)（答案：A）3、给定圆的参数方程x = 4sinθ, y = 4cosθ，点P(x, y) 在该圆上运动一周，其横坐标x 的取值范围是：A. [-4, 4]B. (-4, 4)C. [0, 4]D. (-∞, +∞)（答案：A）4、圆的参数方程为x = 5cos(θ- π/6), y = 5sin(θ- π/6)，则圆上一点P(x, y) 到x 轴的最大距离为：A. 5B. 2.5C. 5√3/2D. 5/2（答案：A）5、已知圆的参数方程x = 2cosθ+ 3, y = 2sinθ+ 1，则圆上一点P(x, y) 到直线x + y = 0 的最短距离为：A. √2B. 2√2C. 3√2/2D. √10/2（答案：C）6、圆的参数方程为x = 3cosθ- 2, y = 3sinθ+ 1，则圆上一点P(x, y) 到点A(1, -1) 的距离的最小值为：A. 1B. 2C. 3D. 4（答案：A）7、给定圆的参数方程x = √2cosθ, y = √2sinθ+ 1，则圆上一点P(x, y) 到直线y = x 的距离的最小值为：A. 0B. 1C. √2D. 2（答案：B）8、圆的参数方程为x = 2cosθ, y = 2sinθ+ 2，则圆上一点P(x, y) 到x 轴的距离等于其到y 轴距离的两倍时，点P 的坐标为：A. (0, 2)B. (√3, 3)C. (-√3, 1)D. (√3, 1) 和(-√3, 1)（答案：D）。
高中数学圆的方程典型例题
4：过点 P(− 3，− 4)作直线 l ，当斜率为何值时，直线 l 与圆 C：(x −1)2 + (y + 2)2 = 4 有公共点
类型五：圆与圆的位置关系
例 14、判断圆 C1 : x 2 + y 2 + 2x − 6 y − 26 = 0 与圆 C2 : x 2 + y 2 − 4x + 2 y + 4 = 0 的位置关系，
=
y−2
的几何意义是过圆
x2
+
y2
= 1上一动点和定点 (−1 ,
2) 的连线的斜率，利用
x +1
此直线与圆 x2 + y2 = 1有公共点，可确定出 u 的取值范围．
解法二：由 u
=
y−2
得：
y − 2 = u(x +1) ，此直线与圆 x2
+
y2
= 1 有公共点，故点 (0 , 0) 到
x +1
解法三：设 A(r cosα , r sinα ) 、 B(r cos β , r sin β ) 、 Q(x , y) ，
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由于 APBQ 为矩形，故 AB 与 PQ 的中点重合，即有
x + a = r cosα + r cos β ，
①
y + b = r sinα + r sin β ，
②
cosθ +1 ∴ u cosθ − sinθ = −(u + 2) ．
即 u 2 + 1 sin(θ − ϕ ) = u + 2 （ tanϕ = u ）
(u + 2)
直线与圆方程例题
直线与圆方程例题直线与圆方程是数学中的重要内容，对研究平面几何关系非常关键。
下面我们将通过几个例题来探讨直线和圆的方程。
例题1：求直线与圆的交点已知直线L的方程为ax + by + c = 0，圆C的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²。
要求求出直线L与圆C的交点坐标。
解法：首先，我们需要将直线L的方程代入圆C的方程。
将直线L的方程代入圆C的方程，得到： (ax + by + c - h)² + (y - k)² = r²展开并整理得： a²x² + 2abxy + b²y² + 2acx + 2bcy + c² - 2ahx - 2bhy - h² - 2hk +k² = r²移项并合并同类项得： (a² + b²)x² + (2abx + 2bcy - 2ahx - 2bhy) + (c² + k² - 2hk - r²) = 0这是一个二次方程，我们可以通过解二次方程的方法求出交点坐标。
例题2：判断直线与圆的位置关系已知直线L的方程为y = mx + n，圆C的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²。
要求判断直线L与圆C的位置关系。
解法：我们知道，直线与圆的位置关系有三种情况：相离、相切或相交。
首先，我们需要将直线L的方程代入圆C的方程。
将直线L的方程代入圆C的方程，得到： (x - h)² + (mx + n - k)² = r²展开并整理得： x² - 2hx + h² + m²x² + 2mnx + n² - 2mkx - 2nhx + k² = r²移项并合并同类项得： (1 + m²)x² + (2mn - 2nh - 2hx)x + (h² + n² - 2mk - r²) = 0根据二次方程的判别式可以判断直线L与圆C的位置关系：若判别式大于0，则直线与圆相交；若判别式等于0，则直线与圆相切；若判别式小于0，则直线与圆相离。
高中数学圆的方程典型例题(含答案)
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ． ∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．(2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ． ∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ． 又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ． 则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2． ∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2． ∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=ab b a 4422-+= )(242222b a b a +-+≥ 1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=． 将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ． 由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ． 说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
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高中数学圆的方程典型例题（1 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系： 当 ，点在圆外当 ，点在圆上当 ，点在圆内（2当时，方程表示圆，此时圆心为 ，半径为当 时，表示一个点；当 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
1.若过点P(a,a)可作圆x 2+y 2-2ax+a 2+2a-3=0的两条切线,则实数a 的取值范围是 .2．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)3. 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关4. 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．5. 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．6.已知直线l :x+y-2=0和圆C:x 2+y 2-12x-12y+54=0,则与直线l 和圆C 都相切且半径最小的圆的标准方程是 .7、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．8.已知点P(2,2),点M 是圆O 1:x 2+(y-1)2=错误!未找到引用源。
上的动点,点N 是圆O 2:(x-2)2+y 2=错误!未找到引用源。
上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是 ( )A.错误!未找到引用源。
-1B.错误!未找到引用源。
-2C.2-错误!未找到引用源。
D.3-错误!未找到引用源。
类型二：直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有 三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为k 不存在，验证是否成立②kk ，得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程1、已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ，判断此直线与已知圆的位置关系.2：直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是3：若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .4．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线3x ＋4y ＋8＝0距离的最小值为 ．5. 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？6.、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.7. 已知圆22:(2)1M x y +-=,Q 是x 轴上的动点,QA 、QB 分别切圆M 于A ，B 两点(1)若点Q 的坐标为（1，0），求切线QA 、QB 的方程；(2)求四边形QAMB 的面积的最小值；(3)若AB =，求直线MQ 的方程. 类型三：圆与圆的位置关系通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+-两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
当 时两圆外离，此时有公切线 条；当 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当 时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当 时，两圆内含； 当0=d 时，为同心圆。
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点1、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系， 2：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有 条。
3．圆x 2＋y 2－2x －5＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )．A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝04：求与圆522=+y x 外切于点)2,1(-P ，且半径为52的圆的方程.5.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0,若直线y=kx+2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最小值是( ) 4535A. B. C. D.3453- - - - 6. 已知圆:C 22(2)4x y ++=，相互垂直的两条直线1l 、2l 都过点(,0)A a .（Ⅰ）若1l 、2l 都和圆C 相切，求直线1l 、2l 的方程；（Ⅱ）当2a =时，若圆心为(1,)M m 的圆和圆C 外切且与直线1l 、2l 都相切，求圆M 的方程； （Ⅲ）当1a =-时，求1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值.类型四：切线方程、切点弦方程、公共弦方程1. 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．2. 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．3、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
4．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程．5、过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线的方程为类型五：弦长、弧问题1、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长.2、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为3、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长 4．过点A (11,2)作圆x 2＋y 2＋2x －4y －164＝0的弦，其中弦长为整数的共有( )A ．16条B ．17条C ．32条D ．34条类型六：圆中的对称问题1、圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是2 自点()33，-A 发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，反射光线所在的直线与圆074422=+--+y x y x C ：相切（1）求光线l 和反射光线所在的直线方程．（2）光线自A 到切点所经过的路程．类型七：圆中的最值问题1：圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是2 (1)已知圆1)4()3(221=-+-y x O ：，),(y x P 为圆O 上的动点，求22y x d +=的最大、最小值．(2)已知圆1)2(222=++y x O ：，),(y x P 为圆上任一点．求12--x y 的最大、最小值，求y x 2-的最大、最小值．3．已知圆O ：x 2＋y 2＝c (0<c ≤1)，点P (a ，b )是该圆面(包括⊙O 圆周及内部)上一点，则a ＋b ＋c 的最小值等于________．4、已知点)2,4(),6,2(),2,2(----C B A ，点P 在圆422=+y x 上运动，求222PC PB PA ++的最大值和最小值.类型八：轨迹问题1．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x2、已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.3. 如图所示，已知圆422=+y x O ：与y 轴的正方向交于A 点，点B 在直线2=y 上运动，过B 做圆O 的切线，切点为C ，求ABC ∆垂心H 的轨迹．4. 已知圆的方程为222r y x =+，圆内有定点),(b a P ，圆周上有两个动点A 、B ，使PB PA ⊥，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．练习：1、由动点P 向圆122=+y x 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，APB ∠=600，则动点P 的轨迹方程是 .2、已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，AOB ∠的平分线交AB 于点M ，则点M 的轨迹方程是 .3.已知直线1+=kx y 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，求点P 的轨迹方程.类型九：圆的综合应用例25、 已知圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OQ OP ⊥，求实数m 的值．例26、已知对于圆1)1(22=-+y x 上任一点),(y x P ，不等式0≥++m y x 恒成立，求实数m 的取值范围．例27 有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离A 地的运费是B 地的运费的3倍．已知A 、B 两地距离为10公里，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．分析：该题不论是问题的背景或生活实际的贴近程度上都具有深刻的实际意义和较强的应用意识，启示我们在学习中要注意联系实际，要重视数学在生产、生活以及相关学科的应用．解题时要明确题意，掌握建立数学模型的方法．解：以A 、B 所确定的直线为x 轴，AB 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系． ∵10=AB ，∴)0,5(-A ，)0,5(B ．设某地P 的坐标为),(y x ，且P 地居民选择A 地购买商品便宜，并设A 地的运费为a 3元/公里，B 地的运费为a 元/公里．因为P 地居民购货总费用满足条件：价格＋A 地运费≤价格＋B 地的运费 即：2222)5()5(3y x a y x a +-≤++．∵0>a ， ∴2222)5()5(3y x y x +-≤++ 化简整理得：222)415()425(≤++y x ∴以点)0,425(-为圆心415为半径的圆是两地购货的分界线． 圆内的居民从A 地购货便宜，圆外的居民从B 地购货便宜，圆上的居民从A 、B 两地购货的总费用相等．因此可随意从A 、B 两地之一购货． 说明：实际应用题要明确题意，建议数学模型．。