介质中的高斯定理
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介质的极化和介质中的高斯定理
部电都介产质生内附部加的电总场场E强'。E
E0
E'
E0
'
'
极化电荷所产生的附加电场不足以将介质中的外电
场完全抵消，它只能削弱外电场。称为退极化场。
介质内部的总场强不为零！ 在各向同性均匀电介质中： E
E0
r
r称为相对介电常数或电容率。
3
二、介质中的高斯定理 电位移矢量
1.介质中的高斯定理
d
D2S 0S D1 D2 0 , D2 0
E2
D2
0r
0 0r
11
I区：D1
0,
E1
0 0
0
II区：D2 0 ,
②.求电容C
E2
0 0r
由C q U ab
与 U ab
Ed
高 斯
C q
0S
面
U ab E1(d d ' ) E 2d '
d' 0
D P1 P2
r
d
质中的高斯定理求场强：先根据自由电荷的分布利用 介质中的高斯定理求出电位移矢量的分布，再根据电 位移矢量与场强的关系求出场强的分布。
7
例1：将电荷 q 放置于半径为 R 相对电容率为 r 的介
质球中心，求：I 区、II区的 D、E、 及 U。
解：在介质球内、外各作半径为 r 的
高斯球面。
SD dS q0
荷密度为 0 , 其间插有厚度为 d’ 、电容率为 r 的电介质。
求 ： ①. P1 、P2点的场强E；②.电容器的电容。
解： ①. 过 P1 点作高斯柱面, 左右底面分别经过导体
和 P1 点。
D SD dS q0
有介质时的高斯定理,写出其物理意义
有介质时的高斯定理，写出其物理意义
高斯定理（也称为高斯通量定理）是电磁学中的一个基本定理，描述了电场或磁场通过一个封闭曲面的总通量与在该曲面内部源的大小之间的关系。
具体表达式为：对一个任意形状的封闭曲面，电场或磁场通过该曲面的总通量等于该曲面内部电荷或磁荷的代数和。
物理意义如下：
1. 电场或磁场通过一个封闭曲面的总通量是该曲面内部电荷或磁荷的性质之一，可以帮助我们了解场的发源和分布。
例如，通过测量通过一个闭合曲面的电场通量，可以推断该闭合曲面内部的电荷分布情况。
2. 高斯定理对于计算电场或磁场的分布以及场源的性质具有重要的应用。
通过选取适当的曲面以及利用高斯定理，可以简化计算复杂电场或磁场的过程，提高计算效率。
3. 高斯定理还有与能量和电荷守恒定律的联系。
当封闭曲面内部不存在电荷时，即电荷守恒定律成立时，通过该曲面的电场通量为零。
这可以用来推导电场能量的守恒。
总的来说，高斯定理在电磁学中具有重要的作用，它可以帮助我们理解场的分布、推断电荷或磁荷的性质，并且简化电场或磁场计算的过程。
介质中的高斯定理
第 2 章静电场2.4 介质中的静电场方程2.4.2 介质中的高斯定律1.介质中高斯定律的微分形式ερ=∙∇E 0ερρp+=∙∇E （真空中）（电介质中）定义电位移矢量（Displacement ）∙D 线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。
D ——辅助矢量，又称电通密度，C /m 2代入P∙-∇=p ρ)(1P E 0∙∇-=∙∇ρερε=+∙∇)(0P E PE D +=0ε则有ρ=⋅∇D 电介质中高斯定律的微分形式为自由电荷体密度ρ2. 介质中高斯定律的积分形式⎰∑=∙SqS D d 介质中高斯定律的积分形式⎰∑∑+=∙Sq q )(S E p 01dε代入⎰∙-=S p q SP d ⎰⎰∑∙-=∙S S q SP S E d d 0ε⎰∑⎰=∙+∙SSqS P S E d d 0ε⎰∑=∙+SqS P E d )(0εq 为闭合面包围的自由电荷• D 线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；• P 线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。
• E 线由正电荷出发，终止于负电荷；D 线E 线P 线D 、E 与P三者之间的关系图示平行板电容器中放入介质板后，其D 线、E 线和P 线的分布。
3.D 和E 的关系D = ε0E + P P = χe ε0E⇒⎭⎬⎫D = ε0E +χe ε0E = ε0(1+χe ) E= ε0εr E = εED = εE介质的本构关系或组成关系er 1χεεε+==ε——介质的电容率（介电常数）F/mεr ——介质的相对电容率（相对介电常数）无量纲χe 、εr 和ε的取值取决于媒质的特性4. 介质特性电场中，介质的特性由其介电常数确定。
E D ε=r ε⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x E E E D D D 333231232221131211εεεεεεεεε均匀、线性、各向同性介质的介电常数是常量--简单介质。
介质中的高斯定理
1 ' 0 1 r ' 0, r 1 ' 0 , r
真空中 导体中
结论3
P与E的关系
0 0 r 1 ( r 1 ) 0 E 0 r
令 r 1 为电极化率。
1 由 P ' 和 ' 0 1 r 0 1 P ' 0 1 r 1 r r
R2
εr2
εr1 R1
R
解：E 和D 的分布具有柱对称性
D dS D 2rl l
S
D ( R1 r R2 ) 2r D E1 ( R1 r R ) 0 r1 20 r1r
D E2 0 r 2 20 r 2 r ( R r R2 )
P 0E
结论4
无介质 充满介质
充满各向同性的均匀电介质的电容器
C0
0S
C rC0
A
B
d q0 C U AB
S
q0 q S q 0 0 r 0 C U AB Ed E0 0 d d r 0 r 0S rC0 d
d
平行板电容器为例
例11.9 真空中有一半径为R，带电量为q的金属 球壳。求： （1）电场的总能量； （2）带电球壳周围空间中，多大半径球面内的 电场所具有的能量等于总能量的一半。
q
p
q
E0
E0 F
F
在介质表面产生极化电荷。
三、极化强度 描写电介质极化程度的物理量。 定义：单位体积内的电偶极矩矢量和。
p P V
E0
注意
1.真空中 P = 0 ，真空中无电介质。
真空中 导体中
结论3
P与E的关系
0 0 r 1 ( r 1 ) 0 E 0 r
令 r 1 为电极化率。
1 由 P ' 和 ' 0 1 r 0 1 P ' 0 1 r 1 r r
R2
εr2
εr1 R1
R
解：E 和D 的分布具有柱对称性
D dS D 2rl l
S
D ( R1 r R2 ) 2r D E1 ( R1 r R ) 0 r1 20 r1r
D E2 0 r 2 20 r 2 r ( R r R2 )
P 0E
结论4
无介质 充满介质
充满各向同性的均匀电介质的电容器
C0
0S
C rC0
A
B
d q0 C U AB
S
q0 q S q 0 0 r 0 C U AB Ed E0 0 d d r 0 r 0S rC0 d
d
平行板电容器为例
例11.9 真空中有一半径为R，带电量为q的金属 球壳。求： （1）电场的总能量； （2）带电球壳周围空间中，多大半径球面内的 电场所具有的能量等于总能量的一半。
q
p
q
E0
E0 F
F
在介质表面产生极化电荷。
三、极化强度 描写电介质极化程度的物理量。 定义：单位体积内的电偶极矩矢量和。
p P V
E0
注意
1.真空中 P = 0 ，真空中无电介质。
有电介质的高斯定理
εr 1
S 2
S 2
d
V
V D1 = ε oε r E1 = ε oε r d ε oV D2 = ε o E2 = d
为什么 E1介 = E2真? 反而D1 ≠ D2了?
E1 , E2 , D1 , D2的方向均 ↓
关键: 关键: σ1 ≠ σ 2!
(2) 介质内的极化强度 P ,表面的极化电荷密度σ' 表面的极化电荷密度σ P = χ eε o E1 = ε o (ε r 1)V d σ1 S σ 2 方向: 方向: ↓ V εr 1 2 d ∵σ ′ = P cosθ
εo εo εr
(2) U = Q = 2b[ε r b (ε r 1)t ]Q ) C ε o S[2ε r b (ε r 1)t ]
问: Q左? 右 =Q
平板电容器极板面积为S间距为 接在电池上维持V 间距为d,接在电池上维持 例 . 平板电容器极板面积为 间距为 接在电池上维持 . 均匀介质ε 厚度d 均匀介质εr 厚度 ,插入电容器一半忽略边缘效应 求(1)1,2两区域的 E 和 D ;(2)介质内的极化强度 P, , 两区域的 介质内的极化强度 表面的极化电荷密度 σ ' ;(3)1,2两区域极板上自由 , 两区域极板上自由 σ 电荷面密度 σ 1 , 2. 解:(1)V = E1d = E2d ) ∴ E1 = E2 = V d
U = E1 (b t ) + E2 t = εrσ o [εrb (εr 1) t] ε
q εrεoS ∴C = = = U εrb (εr 1) t
空气隙中 D = σ E1 = σ εo
介质中 D = σ
ε 1 b r t εr
εoS b
与t的位置无关 的位置无关 t↑,C↑ ↑ ↑ εrεoS t=b C = b
大学物理介质中的高斯定理
r1
r2
18
例:球形电容器由半径为R1的球体和内半径为R3的导 体球壳构成，带电 q，其间有两层均匀电介质，
分界面的半径为R2，相对介电常数分别为r1和r2 。 求：E, D 和C。
解：
D
dS
4
r
2
D
q
S
R2
R1 r2
D1
q 4r 2
D2
q 4r 2
R3
r1
在界面上电位移线会发生折射
tan1 1
tan2
2
2 1
若 2 > 1 2 > 1 ，电位移线将折离法线
*
上海交通大学 董占海
28
证明：
E1t E2t D1n D2n
E1sin1 E2sin2
D1 cos 1 D2 cos 2
D1 1E1 D2 2 E2
39
思考：带电金属球 (R、Q)，半个球处在电介质εr 中，则球正下方r > R 处的 E、D。
r
同上
上海交通大学 董占海
40
例5：一点电荷Q放在半无限大电介质为εr和真空的 界面处，求E、D。
解：空间的场强 = 两个点
电荷Q和q′产生的
故空间各点的E、为
r
点电荷的场，具有球
对称性
xd 2
2 DS 0 0 S0d
D
i
0
d
2
上海交通大学 董占海
d
r
0
Ox
23
xd 2
E
D
0r
0 x
电位移介质中的高斯定理复习课件
理解电位移与电场强度的关系，有助于更好地理解高斯定理的物理意义。
掌握高斯定理的应用步骤
确定高斯面
根据问题的对称性选择适当的高斯面 ，高斯面应包含所有需要求解的电荷 分布。
计算电位移矢量D的通量
根据电位移的定义和性质，计算高斯 面上各点电位移矢量的通量。
应用高斯定理
将电位移矢量的通量代入高斯定理公 式中，求解出电场强度E的值。
02
高斯定理表述为"通过任意闭合曲 面的电位移通量等于该闭合曲面 所包围的体积内所含电荷量"。
高斯定理的意义
总结：高斯定理揭示了电场与电荷之 间的内在关系，是理解电场分布和电 荷相互作用的基础。
高斯定理阐明了电场线从正电荷发出 ，终止于负电荷，总电位移线闭合的 事实，对于理解电荷分布与电场的关 系至关重要。
圆柱对称分布电场的高斯定理应用
总结词
圆柱对称分布电场的高斯定理应用是指将高 斯定理应用于圆柱对称分布的电场中，以求 解电场分布和电位移矢量的方法。
详细描述
在圆柱对称分布电场中，高斯定理的应用同 样可以简化计算过程。通过将圆柱面分割成 若干个圆环，并应用高斯定理计算每个圆环 内的电位移矢量，再求和即可得到整个圆柱 面的电位移矢量。这种方法可以用于求解圆 柱形电荷、带电导体等问题的电场分布。
平面分布电场的高斯定理应用
总结词
平面分布电场的高斯定理应用是指将高斯定 理应用于平面分布的电场中，以求解电场分 布和电位移矢量的方法。
详细描述
在平面分布电场中，高斯定理的应用同样适 用。通过将平面分割成若干个小区域，并应 用高斯定理计算每个小区域内的电位移矢量 ，再求和即可得到整个平面的电位移矢量。 这种方法可以用于求解平面电荷、带电导体
电位移介质中的高斯定 理复习课件
掌握高斯定理的应用步骤
确定高斯面
根据问题的对称性选择适当的高斯面 ，高斯面应包含所有需要求解的电荷 分布。
计算电位移矢量D的通量
根据电位移的定义和性质，计算高斯 面上各点电位移矢量的通量。
应用高斯定理
将电位移矢量的通量代入高斯定理公 式中，求解出电场强度E的值。
02
高斯定理表述为"通过任意闭合曲 面的电位移通量等于该闭合曲面 所包围的体积内所含电荷量"。
高斯定理的意义
总结：高斯定理揭示了电场与电荷之 间的内在关系，是理解电场分布和电 荷相互作用的基础。
高斯定理阐明了电场线从正电荷发出 ，终止于负电荷，总电位移线闭合的 事实，对于理解电荷分布与电场的关 系至关重要。
圆柱对称分布电场的高斯定理应用
总结词
圆柱对称分布电场的高斯定理应用是指将高 斯定理应用于圆柱对称分布的电场中，以求 解电场分布和电位移矢量的方法。
详细描述
在圆柱对称分布电场中，高斯定理的应用同 样可以简化计算过程。通过将圆柱面分割成 若干个圆环，并应用高斯定理计算每个圆环 内的电位移矢量，再求和即可得到整个圆柱 面的电位移矢量。这种方法可以用于求解圆 柱形电荷、带电导体等问题的电场分布。
平面分布电场的高斯定理应用
总结词
平面分布电场的高斯定理应用是指将高斯定 理应用于平面分布的电场中，以求解电场分 布和电位移矢量的方法。
详细描述
在平面分布电场中，高斯定理的应用同样适 用。通过将平面分割成若干个小区域，并应 用高斯定理计算每个小区域内的电位移矢量 ，再求和即可得到整个平面的电位移矢量。 这种方法可以用于求解平面电荷、带电导体
电位移介质中的高斯定 理复习课件
6-5电介质中的高斯定理
ε ε ε ε E 2 = D 2 = σ
0r
0r
结束 返回
C
B
UA
UB =
A
E1. d l
+
C
E
.
2
d
l
ε ε ε = σ
C
dl +
σ
B
dl
0A
0r C
ε ε ε σ σ =
d 1+
0
0 r d2
ε E 1= σ 0
E
2
=ε
σ
ε0
r
C
=
σ
UA
S UB
ε =
0S d1 + d2
εr
§6-5 静电场中的介质 介质中的高斯定理
一、电介质的电结构和电极化 1. 电介质的电结构
电介质：电阻率很大，导电能力很差的物质, 即绝缘体。
电结构特点：分子中的正负电荷束缚的很紧，介质内
部几乎没有自由电荷。
H+
两类电介质分子结构：
+ -
无极 分子
H+
C--
H+
e+
H+
CH4
+
O--
-q
-
有极 H+
= + H+
分子
H2O
+q
电介质极化: 在外电场的作用下,介质表 面产生极化电荷的现象。
描述真空静电场性质有场强环路定律和 高斯定理，它们是：
LE .dl = 0
s
E
.
dS
=
Σq
ε0
下面来讨论有介质时环路定律和高斯定
理的形式。
3-5有介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
r
R2
R1
（３）由（１）可知
U
E dr
R2
E
2π dr
0
r
r
(R1 r R2 ) ln R2
R1 2π 0 r r 2π 0 r R1
C Q 2π U
单位长度电容
0
C l
rl
ln R2 R1
2π 0
r
ln
r C0
R2 R1
真空圆柱形 电容器电容
r 又叫电容率
D2 2R2
3 – 5 有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
1 -P1 D1 0E1
2 -P2 D2 0E2
1
-
2R1
1
1
r
2
2R2
1
1
r
思索：可否由其他途 径求极化强度大小？
P 0E 0r 1E
1 P1 0 r 1E1 2 P2 0 r 1E2
3 – 5 有电介质时的高斯定理
-+
-+ -
-+E-1+ E2
-+--+-
-+ +-
0
1' 2'
2'
3 – 5 有电介质时的高斯定理
E1
D
0 r1
0 0 r1
E2
D
0
r2
0 0 r2
U
E dl
l
E1d1 E2d2
Q ( d1 d2 )
0S r1 r2
C Q0 0 r1 r2S U r1d2 r2d1
0
E
P) ds
q0
3-5有介质时的高斯定理
s
q0和 ′ S所围区域内 q是 所围区域内
的自由电荷及极化电荷
ε0
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
根据第四节的结果 则有
v r q′ = −∫ P⋅ ds
s
s ε0 r r r ∫ (ε 0 E + P ) ⋅ ds = q0 s
r r 1 r r ∫ E ⋅ ds = ( q0 − ∫ P ⋅ ds )
r r r D = ε0εr E = εE
r E
。
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
r D =
q0 r en 2 4π r
r r r D = ε0εr E = εE
r q0 >0， E离开球心向外 ， r r e q0 < 0， E 指向球心 r ， s e
n
r E=
q0 r en 2 4πε r
1 1 σ ′ = − σ 0 εr εr 1 2
讨论极化电荷正负
ε r −1 σ 1′ = σ0 εr
1 1
两种介质表面极化电荷面密度
εr −1 ′ σ2 = σ0 εr
2 2
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
常用的圆柱形电容器， 例3 常用的圆柱形电容器，是由半径为 R1 的长 的薄导体圆筒组成， 直圆柱导体和同轴的半径为 R2 的薄导体圆筒组成， 并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为 ε r 的 电介质.设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 电介质 设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 + λ ）电介质中的电场强度、 和 − λ . 求（1）电介质中的电场强度、电位移和极 化强度； 电介质内、外表面的极化电荷面密度； 化强度；（２）电介质内、外表面的极化电荷面密度； 此圆柱形电容器的电容． （３）此圆柱形电容器的电容．
q0和 ′ S所围区域内 q是 所围区域内
的自由电荷及极化电荷
ε0
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
根据第四节的结果 则有
v r q′ = −∫ P⋅ ds
s
s ε0 r r r ∫ (ε 0 E + P ) ⋅ ds = q0 s
r r 1 r r ∫ E ⋅ ds = ( q0 − ∫ P ⋅ ds )
r r r D = ε0εr E = εE
r E
。
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
r D =
q0 r en 2 4π r
r r r D = ε0εr E = εE
r q0 >0， E离开球心向外 ， r r e q0 < 0， E 指向球心 r ， s e
n
r E=
q0 r en 2 4πε r
1 1 σ ′ = − σ 0 εr εr 1 2
讨论极化电荷正负
ε r −1 σ 1′ = σ0 εr
1 1
两种介质表面极化电荷面密度
εr −1 ′ σ2 = σ0 εr
2 2
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
常用的圆柱形电容器， 例3 常用的圆柱形电容器，是由半径为 R1 的长 的薄导体圆筒组成， 直圆柱导体和同轴的半径为 R2 的薄导体圆筒组成， 并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为 ε r 的 电介质.设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 电介质 设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 + λ ）电介质中的电场强度、 和 − λ . 求（1）电介质中的电场强度、电位移和极 化强度； 电介质内、外表面的极化电荷面密度； 化强度；（２）电介质内、外表面的极化电荷面密度； 此圆柱形电容器的电容． （３）此圆柱形电容器的电容．
第六章 5电位移矢量介质中的高斯定理
q
II区：
V 2 r E 2 dr
q
R
r
q 4 0 r
2
dr
q 4 0 r
r
I II
r
§5.电介质中的高斯定理 / 三、解题思路与应用举例
例2：平行板电容器极板间距为 d , 极板 面积为 S，面电荷密度为 0 , 其间插有厚 度为 d’ 、电容率为 r 的电介质， 求 ：①.P1 、P2点的场强E； d' 0 0 ②.电容器的电容。 ①.解：过 P1 点作高 斯柱面, 左右底面分别 经过导体和 P1 点。 高 斯 D S D d S q 0 面
也可视为两电容器串联
C1 C2
d1
d2
0 r1S
d1
0 r 2S
d2 1 C1 1 C2
串联
C
1 C
r1
r2
d
C 1C 2 C1 C 2
0S
d1
r1
d2
r2
§5.电介质中的高斯定理 / 三、解题思路与应用举例
②.已知 U，求0、E、D、P。 解： 0
S 0 E d S q 0 S P d S S ( 0 E P ) d S q 0
高斯面
定义：D
0E P
为电位移矢量。
§5.电介质中的高斯定理 / 二、介质中的高斯定理
S D d S q 0
介质中的高斯定理：
一、极化强度通量
结论1 极化强度通量
P S P d S q '
E0
P
0
'
9-5介质中的高斯定理
一般，
D 与 E 关系为： D = ε 0 E + P
P
电极化强度(矢量)
∑p P=
V
i
单位体积内分子电偶极矩的矢量和
物理意义： 描述了电介质极化强弱，反映了电介质内分子电偶 极矩排列的有序或无序程度。
3. 电位移线
起于正自由电荷，止于负自由电荷。
电场线起止于各种正负电荷
？
σ ′ +σ ′
+σ + + + + + + +
Q 1 1 1 = ε R ε R + R 4π ε0 r 1 r 2 2
UB =
∫
R2
r
E B d r + ∫ E C dr
R2
∞
R1
Q 1 1 1 = + 4π ε0 ε r r ε r R2 R2
R2
C B Q A
εr
UC =
∫
∞
r
E C dr
=
Q 4π ε0 r
R2 Q
εr
Q DB = Dc = 2 4π r EA = 0 D = ε 0ε r E
r
DA = 0
0
Q Q EB = 2 EC = 4π ε 0 ε r r 4π ε0 r 2
U A = ∫ E dr
r
∞
=
∫
R1
r
E A dr + ∫ E B dr + ∫ E C dr
R1 R2
R2
∞
σ ′
＋σ 0
E′
＋σ ′
E0
－σ 0
当静电场中有电介质时， 则电介质在外电场作用下 产生极化电荷Q ' ，则空间 场强应为Q和Q '共同激发。
《大学物理》有介质的高斯定理
还可用串联求C 还可用串联求
e.g.3:平行板电容器 : 已知: 已知: ε r1 , ε r1 , S,± Q 0 求: , E, P, σ′, C, We 高 D 斯 Solution: 面 D = σ 0 i σ01S/2 + σ01S/2 = Q0 σ 0 i ε = ε 0 ε r1 E= ε = ε0εr 2 E1d = E 2 d ε
第三节 高斯定理
Gauss' Theorem With Dielectric 有介质的
1313-3-1电介质在静电场中 1. 分析 1)真空中的高斯定理 (1)真空中的高斯定理
1 Φ e = ∫∫ E dS = S ε0
+ σ0 σ′
i
+ σ′
E0
σ0
∑q
S in
高 斯 面
(2)有介质时 2)有介质时
D = ε0E + P P
ε r1
S 2 S 2
ε r1 ε r 2
d
Q Sε 0 C= ( ε r1 + ε r 2 ) U ± = E1d = E 2 d C = U± 2d
P = σ' σ'
还可用并联求C 还可用并联求
物理史 (1)
1 r
2+ ε
(History of Physics)
ε << 1 1769 Robinson 万有引力
高 斯 面
σ0
σ0 Q0 ∫∫SE dS = ε0εr s = ε0εr
E'
E
∫∫
S
( ε 0 ε r E ) dS = Q 0
2. 电位移矢量 D (1)分析 1)分析
(2)说明 2)说明 ① D 辅助矢量 M: ③ D, E, P 的关系
《电磁场理论》2.5 介质中的高斯定理
D E
P ( 0 )E
在真空中， P 0
，
r 1
D 0 E
5
各向异性介质的电位移与电场强度的关系可以表示为
D x 11 D y 21 D z 31
12 13 E x 22 23 E y 32 33 E z
7
例1：已知半径为a，介电常数为 的介质球带电荷为q， 球外为空气，分别在下列情况下求空间各点的电场和介 质中的极化电荷分布： 1）电荷q均匀分布在球体内； 2）电荷q集中在球心； 3）电荷q均匀分布在球面上。 解：1）电荷q均匀分布在球体内时，电场分布为
q
DdS q
S
4 3 a 3
P P1 ( 0 ) E1
1 d 2 q ( 0 ) 2 (r )0 2 r dr 4 r
r=0处为电场的奇异点，该处应有一极化点电荷，设此 10 极化点电荷为qP，根据高斯定理，有
S
0
E 1 d S q qP
取S为以介质球心为中心，r(r<a) 为半径的球面， q 0 2 4 r q qP 2 4 r
如图，柱形面上、下底面积 1 媒质 1 S ΔS很小，故穿过截面ΔS的电 分界面 通量密度可视为常数，假设 h 0 2 媒质 2 柱形面的高 h→0 ，则其侧面 2 积可以忽略不计。 D2 设分界面上存在的自由面电荷密度为 ，由高斯定理
1
1
S
D dS D1 nS D2 nS S
S
D dS q
( D1 D2 ) n
15
说明：1) 为分界面上自由电荷面密度，不包括自 由极化电荷。 2）若媒质为理想媒质，则
07电介质的极化和介质中的高斯定理
Pn P cos 极化强度矢量在表面外法线方向上的分量
'为电介质表面极化电荷的面密度，
通常定义 en为介质外法线方向。
n
n
为极化强度矢量与外法线方向的夹角
在电介质的内部，极化强度与极化电荷之间有如 下关系： '
P dS q
S Sinside
在任一闭合曲面内极化电荷的负值等于极化强度的通量。
9
三、退极化场
电介质在外场中的性质相当于在 真空中有适当的束缚电荷体密度分布 在其内部。因此可用 ' 和 ' 的分布来 代替电介质对电场的影响。 在外电场 E0中，介质极化产生的束 缚电荷，在其周围无论介质内部还是外 部都产生附加电场 E ' ，称为退极化场。
+Q
–Q
' '
退极化场
极化电荷所产生的附加电场不足 以将介质中的外电场完全抵消，它只 能削弱外电场。 介质内部的总场强不为零！
在各向同性均匀电介质中： E
E'
E
E0
E0
r 称为相对
介电常数或 电容率。
2.电介质极化的微观机制 从电学性质看电介质的分子可分为两类：无极分子、 有极分子。 每个分子负电荷对外影响均可等效为 单独一个静止的负电荷 的作用。其大小为 分子中所有负电之和，这个等效负电荷的 作用位置称为分子的“负电作用中心”。
E0
外场越强，分子电矩的矢量和越大，极化也越厉害。
位移极化主要是由电子的移动造成的。
5
（2）有极分子电介质的极化 •在没有外电场时，有极分子正负电 荷中心不重合，分子存在固有电偶 极矩。但介质中的电偶极子排列杂 乱,宏观不显极性。 •有外场时电偶极子在外场作用下 发生转向，使电偶极矩方向趋近于 F 与外场一致所致。 由于分子的无规则热运动， 这种转向只能是部分的，遵守统 计规律。 在外电场中，在有极分子电介 质表面出现极化电荷，
有电介质时的高斯定理
（2）定义: D 0E P （普遍适用于各种介质）
而 P 0 E （用于各向同性介质）
3
则 D 0 1 E （用于各向同性介质）
即由E和可求得D，而且D与E方向相同，大小成正比。
① 令比例系数 0 1 称为电介质的绝对
介电常数。
② 真空中的绝对介电常数 0
∵
P真空 0 而 P 0 E ，E不一定为0来自D ds q0S
4 r2 D q0
D
q0
4 r2
D
q0
4 r2
rˆ
P +-
E + 金属 +
P
r 介质ε
-+
+-
q0+
B
n
+-
R
+
S
由D E得：
E
q0
4 r2
rˆ
q0 0，E与rˆ同向,背离球心
q0
0，E与rˆ反向,指向球心
（2）在交界面上取一点B，过B点作界面的法线单
单位矢 nˆ（由介质指向金属），则
∴
真空 0 真空 0
③ 电介质的相对介电常数
④ 由此得
0
r
1
D
0
1
E
0r E
E
（对各向同性介质）
4
（3） D ds q0
S ①上式说明 D 对S面的通量等于S内的自由电荷量，
与 q 无关，但 D 本身与 q和 q0 均有关。
②如果 q0 0，则 D ds 0
S
说明 D 对S面的通量为0，但 D 不一定为0；S面内
§3.5 有电介质时的高斯定理
一 电介质中的场强
电介质在外电场中极化，电介质 中的电场是极化 电荷产生的附加电场 E和外电场 E0 的矢量和。
而 P 0 E （用于各向同性介质）
3
则 D 0 1 E （用于各向同性介质）
即由E和可求得D，而且D与E方向相同，大小成正比。
① 令比例系数 0 1 称为电介质的绝对
介电常数。
② 真空中的绝对介电常数 0
∵
P真空 0 而 P 0 E ，E不一定为0来自D ds q0S
4 r2 D q0
D
q0
4 r2
D
q0
4 r2
rˆ
P +-
E + 金属 +
P
r 介质ε
-+
+-
q0+
B
n
+-
R
+
S
由D E得：
E
q0
4 r2
rˆ
q0 0，E与rˆ同向,背离球心
q0
0，E与rˆ反向,指向球心
（2）在交界面上取一点B，过B点作界面的法线单
单位矢 nˆ（由介质指向金属），则
∴
真空 0 真空 0
③ 电介质的相对介电常数
④ 由此得
0
r
1
D
0
1
E
0r E
E
（对各向同性介质）
4
（3） D ds q0
S ①上式说明 D 对S面的通量等于S内的自由电荷量，
与 q 无关，但 D 本身与 q和 q0 均有关。
②如果 q0 0，则 D ds 0
S
说明 D 对S面的通量为0，但 D 不一定为0；S面内
§3.5 有电介质时的高斯定理
一 电介质中的场强
电介质在外电场中极化，电介质 中的电场是极化 电荷产生的附加电场 E和外电场 E0 的矢量和。
介质中的高斯定理
v E
D
介质中的高斯定理
例 自由电荷面密度为0的平行板电容器，其极化电荷面密度
为多少？
解: 由介质中的高斯定理
-+´0
DS 0S D 0
D +´
E
D
0r
0 0 r
- 0
0 0
E0
0 0
E 0
E E0 E
0 r 0 0
1
1
r
0
E
dS S
++++++
-q - - - - - -
移出S面
qi
留在S面内
介质中的高斯定理
v v E dS
S
1
0
qi
1
0
vv P dS
S
S 0E P dS qi
定义电位移矢量: D 0 E P C m2
介质中的高斯定理: 在任何静电场中，通过任意闭合曲面 的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和.
D S
dS
qi
说明:
D S
dS
qi
介质中的高斯定理
1. 介质中的高斯定理虽说是从平板电容器这一特例推 导出，但它却有普适性.
2. 介质中的高斯定理包含了真空中的高斯定理.
真空中: P 0 所以: D 0E P 0E
v D dS
S
S 0E dS qi
vv E dS
S
1
0
qi
3. 电位移矢量D 是一个辅助量.描写电场的基本物理
介质中的高斯定理
大学物理
静电场中的导体和电介质
第4讲 介质中的高斯定理
介质中的高斯定理
介质中的高斯定理
高斯定理是电磁学中的一条基本定理，也被称为高斯电场定理或高斯法则。
它描述了电场在闭合曲面上的通量与该闭合曲面所包围的电荷量之间的关系。
高斯定理可以表述为：闭合曲面上的电场通量等于该闭合曲面所包围的电荷量的代数和的1/ε₀倍，其中ε₀是真空中的介电常数（ε₀ ≈ 8.854 × 10⁻¹² F/m）。
数学上，高斯定理可以用以下方程式表示：
∮ E · dA = Q/ε₀
其中，∮表示曲面积分，E 是电场矢量，dA 是曲面元素的面积矢量，Q 是闭合曲面所包围的电荷量。
高斯定理的应用范围很广，可以用于计算各种电场分布情况下的电场强度。
通过选择合适的闭合曲面和确定其中的电荷分布情况，可以利用高斯定理简化电场问题的计算。
高斯定理也适用于其他物理量的通量计算，例如磁场的磁通量。
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P 0E
结论4
无介质 充满介质
充满各向同性的均匀电介质的电容器
C0
0S
C rC0
A
B
d q0 C U AB
S
q0 q S q 0 0 r 0 C U AB Ed E0 0 d d r 0 r 0S rC0 d
d
平行板电容器为例
E0线
介质球
D0线
介质球
E线
D线
E 线
D 线
概念检测 下面论述错误的是： A. 电位移线只出现在有电介质的空间 B. 高斯面的D通量仅与面内自由电荷有关 C. 静电场中的电位移线起自正自由电荷，止于负自 由电荷，不形成闭合线，不中断 D. 在均匀电介质中，电位移矢量与电场强度同方向
q
p
q
E0
E0 F
Байду номын сангаас
F
在介质表面产生极化电荷。
三、极化强度 描写电介质极化程度的物理量。 定义：单位体积内的电偶极矩矢量和。
p P V
E0
注意
1.真空中 P = 0 ，真空中无电介质。
2.导体内 P = 0 ，导体内不存在电偶极子。
四、电极化强度与束缚面电荷
以平行板电容器中充有各向同性均匀介质为例
S S
D 0E P
电位移矢量与场强的关系： 1）D是一个辅助量，既包含场强，又包含极 化强度，是综合反映电场和电介质两种性质的 物理量。场的基本量仍是场强 E 2）对各向同性的介质：
D 0E P
P 0 E
D 0E P 0 E 0 E (1 ) 0 E D r 0 E E
1 ' 0 1 r ' 0, r 1 ' 0 , r
真空中 导体中
结论3
P与E的关系
0 0 r 1 ( r 1 ) 0 E 0 r
令 r 1 为电极化率。
1 由 P ' 和 ' 0 1 r 0 1 P ' 0 1 r 1 r r
S
D
S
0 r 0 r 0 r E dS q0
E
电位移矢量 D dS q0
S
令： D 0 r E E
有介质时的高斯定理： 在静电场中，通过任意闭合曲面的电位移通量 等于该曲面包围的“自由电荷”的代数和。
D dS q0
充满电介质
0 ' E 0 0
E E0
r
r
1 ' 0 1 r
P ( r 1) 0 E
C rC0
电介质的极化规律
P 0 E P E ˆ ' E ' E E0 E ' ' Pn
A. （1）,（2）,（3） C. （1）,（3）,（5） E. （2）,（4）
B. （1） , （3） , （4） D. （1） , （5） F. （3） , （5）
五、电介质的极化规律
只研究各向同性均匀电介质。
结论1
0 外场为 E 0 0 ' 极化电荷场 E ' 0
电介质内部的场
大小： q ' d ' Sd P ' V Sd
p P V
0
S
'
' 0
E0
P E
ˆ ' Pn
单位： 库仑/米2
d
面电荷密度等于电极化强度在电介质外法线 方向的分量
概念检测 各向同性均匀电介质在静电场中被极化， （1）其微观机制是分子的位移极化或取向极化 （2）电介质表面上会产生可以自由移动的电荷 （3）在电介质内部各处仍然是电中性的 （4）电介质内部的电场为零 （5）电极化强度矢量具有电荷面密度的单位 上面论述正确的有：
一、电介质的极化 电介质就是绝缘体。 特点：电介质内无自由 电荷。 将电介质放入电场， 表面出现极化电荷—— 介质的极化。
0
'
' 0
E0
E' E
外场 极化场
E E0 E ' E0
极化场E’ 削弱外场 E0 但不能抵消外场。
E0 E'
E
介质内部的场
二、极化的微观机制
正电荷集中的等效点称为“分子 的正电荷中心” 负电荷集中的等效点称为“分 子的负电荷中心”
3） D
相对介电常数
介电常数
D
的单位为库仑/米2
线上每一点的切线方向为该点电位移 4）电位移线：
矢量的方向 • D线起始于正自由电荷终止于负自由电荷， 与束缚电荷无关。 • E线起始于正电荷终止于负电荷，包括自由电 荷和束缚电荷。
电位移线起于正自由电荷（或无穷远）止于负自由电 荷（或无穷远）。 在无自由电荷的地方不中断。
' E' 0
第四节 有介质时的高斯定理
平行板电容器为例
1 S SE dS 0 (q0 q) 0 ( 0 )
1 ' 0 1 r
0 ' ' 0
ΔS
S 0 q0 E dS
考虑平行板电容器
0
'
' 0
E0
E' E
' 0 E E0 E ' 0 0 0
电介质内场强是外场的 1/r 倍。
E
E0
r
结论2
’ 与 0 的关系
0 ' E E0 E ' 0 0 E0 0 0 ' E r 0 r 0 0
-
+
1.无极分子
正负电荷中心重合 位移极化：正负电荷中心 拉开，形成电偶极子。
E0
E0
q
介质表面出现极化电荷。
p
q
2.有极分子
正负电荷中心不重合，无 E0 时 分子呈现极性。
介质中的电偶极 子排列杂乱,宏观 不显极性。 转向极化：电偶极子在外场作用 下发生转向。
H 2O
H H
O
2
104 .7