高三第一轮复习三角恒等变换

三角恒等变换

【提纲挈领】

主干知识归纳 1.常用的三角公式 （1）同角公式. （2）诱导公式. （3）和差角公式. （4）二倍角公式. （5）降幂公式：2

1cos 2sin

2

α

α-=

，2

1cos 2cos

2

α

α+=

，2

1cos 2tan

1cos 2ααα

-=

+.

（6）万能公式：2

2tan

2

sin 1tan

2

α

α

α

=+，2

2

1tan 2cos 1tan

2

αα

α

-=+，2

2tan 2

sin 1tan

2

α

α

α

=-.

（7）辅助角公式

：

()

sin cos a b αααϕ+=+

，

cos ϕ=

、

sin ϕ=

.

方法规律总结

1. 三角恒等变换的主题是求值、化简、证明.

2.对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.

3.三角变换包括变换的对象、目标、依据和方法；三角变换思维起点是角：盯住未知与已知角的关系（互余、互补、和、差、倍、分）；三角变换的基本思想是转化与化归思想；三角变换的策略是：找“差异”，立足“化异为同”、消除差异找方法.

【指点迷津】 【类型一】求值

【例1】：已知角α的终边与单位圆相交于点1cos ,2P α⎛

⎫

- ⎪⎝⎭

，则cos 2α=（）. A ．12

-

B ．

12

C

．

【解析】：因为角α的终边与单位圆相交于点⎛

⎫ ⎪⎝

⎭

1P cos α,-2，所以1sin α=-

2

．

故⎛⎫ ⎪⎝⎭

2

112

cos2α=1-2sin α=1-2-=22.

答案：B

【例2】：已知3

sin 5

θ=-

，θ为第四象限角，则tan

2

θ

=(

)．

A ．35-

B ．34-

C ．13-

D ．43

【解析】：因为3sin θ=-5

，θ为第四象限角，所以4cos θ=

5

.故θsin θ2tan

==θ2

cos

2

3

θθ-

2sin

cos

sin θ152

2=

=

=-θ4cos θ+1

322cos

1+

2

5

. 答案：C

【例3】：已知α、β为锐角，且4

tan 7,tan 3

αβ==

，则αβ+=________． 【解析】：因为()

⋅

4

7+

tan α+tan β3tan α+β=

=

=-14

1-tan αtan β

1-73

，且0<α+β<π，所以3π4α+β=.

答案：

3π

4

【类型二】化简

【例1】：化简：2

222tan15

cos

15cos 751tan 15

-+

=-( )

A

．6

-

B

．6 C

．4- D

．

4

【解析】

：原式＝2

o

2

o

o

o o

cos 15-sin 15+tan30=cos30+tan30=236

答案：B 【例2】：已知5,22ππθ

⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

=( ) A ．sin cos 22θθ- B ．cos sin 22

θθ

- C ．sin cos θθ-

D ．cos sin θθ-

【解析】：

θθsin -cos 22，且⎛⎫ ⎪⎝⎭

π5πθ∈,22，

所以

⎛⎫ ⎪⎝⎭

θ2π5π∈,44，且θθsin >cos 22

，故θθsin -cos 22. 答案：A

【例3】：()s i n 40t a n 10

3

-

=________．

【解析】

：原式＝⎛ ⎝o o o sin10sin10o o sin40=sin40o o

cos10cos10 ()

o o o 2sin40sin 10-60=o

cos10

o o o o o -2sin40sin502sin40cos40sin80==-=-=-1o o o cos10cos10cos10. 答案：-1 【类型三】证明 【例1】：求证：

1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθ

θθθ

+-=++.

【证明】：左边＝

()()2

21+2sin θcos θ-1-2sin θ

2sin θcos θ+2sin θ

=22

2sin θcos θ+2cos θ

1+2sin θcos θ+2cos θ-1

()()

2sin θsin θ+cos θ=

=tan θ2cos θsin θ+cos θ＝右边，所以等式成立.

【例2】：求证：()()1

cos sin sin sin 2

αβαβαβ=

+--⎡⎤⎣⎦ . 【证明】：因为()

sin α+β=sin αcos β+cos αsin β，()

sin α-β=sin αcos β-cos αsin β，两式相减得()()

-sin α+βsin α-β=2cos αsin β，即()()⎡⎤⎣⎦1cos αsin β=

sin α+β-sin α-β2

.

【例3】：已知

1tan 12tan θθ-=+，求证：tan 24tan 4πθθ⎛⎫

=-+ ⎪⎝⎭

.

【证明】：因为

1-tan θ=12+tan θ

，所以1tan θ=-2

.

故⎛⎫

⎪⎝⎭⎛⎫

⎪⎝⎭

12-

2tan θ42tan2θ===-2231-tan θ11--2，

⋅⋅

⋅⎛⎫ ⎪

⎛⎫⎝⎭ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭

1π

1+-tan +tan θπ424-4tan +θ=-4=-4=-π1431-tan tan θ1-1-42. 所以等式成立. 【类型四】综合应用

【例1】

：已知tan 2θ=-2,2πθπ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

，求

2

2cos sin 1

2

4θ

θπθ--⎛

⎫+ ⎪

⎝

⎭的值.

【解析】：原式＝

cos θ-sin θ1-tan θ

=

1+tan θ

sin θ+cos θ

.