列方程解决问题四例2(追及问题)
列方程解决问题-相遇、追及问题
1
-
2
导入
相遇问题
想一想回答下面的问题：
1、A、B两车分别从相距S千米的甲、乙两地同时出 发，相向而行，两车会相遇吗？
A
B
甲
乙
2、如果两车相遇，则相遇时两车所走的路程与甲、 乙两地的总路程有什么关系？
相等关系：A路程+B路程=总路程
-
3
追击问题
想一想回答下面的问题： 1、如果两车同向而行，B车先出发一会儿，在什么
相等关系： 叔叔- 路程-小王路程=400 14
小结：这节课我们复习了行
程问题中的相遇和追及问题，归 纳如下：
相遇
A车路程
B车路程
相等关系：A车路程+B车路程=总路程
相等关系：B路程-A后行路程=路程差（A先行路程
-
15
再见
-
16
线段图分析：
A车路程
甲A
115
B乙
相等关系：
B车路程
A车路程 - B车路程 = 115
-
12
变式 练习
分
析
3、小王、叔叔在400 米长的环形跑道上练习 跑步，小王每秒跑5米， 叔叔每秒跑7.5米。
（1）若两人同时同地反 向出发，多长时间两人 首次相遇？
（2）若两人同时同地同 向出发，多长时间两人 首次相遇？
甲、乙两地，A车每小
A
B
时行50千米，B车每小
甲
乙
时行30千米，A车出发
1.5小时后B车再出发。
（1）若两车相向而行， 请问B车行了多长时间 后与A车相遇？
相等关系：A车路程＋A车同走的路程 + B车同走的路程=总路程
-
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追及问题路程的公式
追及问题路程的公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：追及问题是解决相遇或离开两个物体之间的距离变化问题的经典数学题目。
在追及问题中，通常会有两个运动物体，它们相互追逐或者相向而行，我们需要找到它们相遇的时间、地点或者速度等信息。
这些问题在日常生活和工程实践中都有着广泛的应用，比如汽车追尾、飞机升降和船只相遇等场景都可以用追及问题来解决。
对于追及问题，我们可以建立一个数学模型来求解。
一般情况下，我们假设两个物体在直线上运动，并且它们的速度分别为v1和v2，初始位置分别为s1和s2。
设第一个物体的位置为x1(t)，第二个物体的位置为x2(t)，则有：x1(t) = s1 + v1 * tx2(t) = s2 + v2 * t假设t1是两个物体相遇的时间点，此时它们的位置相同，即x1(t1) = x2(t1)，代入上面的公式可以得到：移项整理得到：根据上面的公式，我们可以求解出两个物体相遇的时间点。
在实际问题中，还可能会涉及到其他参数的变化，比如加速度、不同速度段的运动等情况，这时我们需要对数学模型进行适当的调整和推广。
除了求解相遇时间，追及问题还可以用来求解其他相关的信息，比如相遇地点、相遇后的速度等。
对于相遇地点，我们可以将两个物体的位置函数相等，然后解方程得到：解得：然后代入任意一个位置函数，可以求得相遇地点的坐标。
这样，我们就可以确定两个物体相遇时的具体位置。
在实际问题中，由于各种因素的影响，追及问题可能会更加复杂。
比如可能会存在多个物体相互追逐、运动方向可能不是直线等情况。
此时，我们需要根据具体问题的特点进行分析，适当调整数学模型和求解方法，以求得准确的答案。
追及问题是数学中一个经典而有趣的问题。
通过建立数学模型，我们可以求解出两个物体相遇的时间、地点和速度等信息，进而解决各种实际问题。
通过对追及问题的探讨和研究，我们可以锻炼自己的逻辑思维和数学求解能力，提高自己解决实际问题的能力。
希望大家能够认真学习和理解追及问题，并在实际生活和工作中加以应用。
五年级追及问题应用题及答案方程题
五年级追及问题应用题及答案方程题【追及问题含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。
这类应用题就叫做追及问题。
【数量关系】追及时间＝追及路程÷（快速——慢速）追及路程＝（快速——慢速）×追及时间【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？解（1）劣马先走12天能走多少千米？75×12＝900（千米）（2）好马几天追上劣马？900÷（120——75）＝20（天）列成综合算式75×12÷（120——75）＝900÷45＝20（天）答：好马20天能追上劣马。
例2小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。
小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。
解小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500——200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。
又知小明跑200米用40秒，则跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是（500——200）÷［40×（500÷200）］＝300÷100＝3（米）答：小亮的速度是每秒3米。
例3我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。
已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人？解敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22——16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是［10×（22——6）］千米，甲乙两地相距60千米。
追及问题的解题技巧和实例
追及问题的解题技巧和实例追及问题是初中数学中的一个重要概念，它涉及到时间、距离和速度等多个方面。
在解决这类问题时，我们需要掌握一些技巧和方法，才能够快速准确地解题。
本文将从以下几个方面介绍追及问题的解题技巧和实例。
一、基本概念在学习追及问题之前，我们需要了解一些基本概念。
首先是速度的概念。
速度指的是单位时间内所走过的路程，通常用公里/小时或米/秒来表示。
其次是时间的概念。
时间指的是某个事件发生所经过的时长，通常用小时、分钟或秒来表示。
最后是距离的概念。
距离指的是两点之间的长度或者路程，通常用公里或者米来表示。
二、解题思路在解决追及问题时，我们需要掌握以下几个步骤：1.明确问题首先要明确问题中给出了哪些信息，需要求哪些未知量。
2.列出方程根据已知信息和未知量之间的关系，列出方程式。
3.求解方程通过代数运算求出未知量。
4.检验答案将得到的答案代入原方程式中检验是否正确。
三、实例解析下面通过几个实例来详细介绍追及问题的解题技巧。
例1：甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。
甲车速度为40km/h，乙车速度为60km/h。
当两车相距60km时，甲车司机发现自己的轮胎有问题，于是停下来换轮胎。
换完轮胎后，甲车以50km/h的速度重新出发。
问甲、乙两车何时相遇？解题思路：首先明确问题需要求出的未知量是两车相遇所需的时间。
由于甲、乙两车是相向而行的，因此它们之间的距离会不断缩短，最终相遇在某一点上。
根据追及问题的基本公式：S=V×t（其中S表示距离，V表示速度，t 表示时间），我们可以列出以下方程：40t+60t=60其中40t表示甲车行驶的距离，60t表示乙车行驶的距离。
当两者之和等于60时，即表示它们相遇了。
将上述方程化简得到：100t=60因此，t=0.6h也就是说，在0.6小时后，甲、乙两车会相遇。
例2：甲、乙两人从A、B两地同时出发，相向而行。
甲的速度是6km/h，乙的速度是4km/h。
-追及问题-动画展示追及过程-用方程解决问题
甲
乙
6千米
第1讲 用方程解决问题
牛
甲和乙从家到森林公园去春游，乙步行，每小时走5千米。
刀 小
他出发后4小时，甲骑自行车，每小时行15千米去森林公园。
试
甲追上乙时，正好到达森林公园，家离森林公园多少千米？
解：设甲追上乙时用的时间是x小时 乙4小时行了4×5=20（千米）
（15－5）x=20 解得 x=2 家离森林公园：15×2=30（千米）
小学五年级
第1讲 用方程解决问题
相遇问题： 相遇路程＝速度和×相遇时间
小明、小华8点钟同时从甲乙两地相向而行，小明速度50千米 每小时，小华速度30千米每小时,两人9点钟相遇。
追及问题： 等量关系：路程差=速度差×追及时间
追及路程差
第1讲 用方程解决问题
例1：A、B两艘货轮同时从大连港开往天津港，经过6小时， A船落后B船37.2km。B船每小时行51.2 km，A船每小时行多 少千米？
6km
解：设乙x小时追上甲 甲2小时行的路程：13×2=26（千米） 甲乙的路程差：26－6=20（千米）
（15－13）x=20 x=10
第1讲 用方程解决问题
甲骑自行车每小时行13千米，乙骑自行车每小时行15千
牛
刀 小
米。甲出发后2小时，乙在甲的出发地点前面6千米处出
试
发，乙几小时可以追上甲？
甲
37.2km
A船
大连
天津
B船
解：设A船每小时行x km。 6×(51.2－x)＝37.2 x＝45
第1讲 用方程解决问题
37.2km
第1讲 用方程解决问题
例2：一辆客车和一辆轿车从大连出发开往沈阳，客车先行20千 米后轿车出发，客车每小时行50千米，轿车每小时行60千米，轿 车开出多少小时后追上客车？
列方程解应用题行程问题
列方程解应用题——行程问题【知识要点】行程类应用题基本关系：路程=速度×时间相遇问题：甲、乙相向而行，则：甲走的路程＋乙走的路程=总路程追及问题：甲、乙同向不同地，则：追者走的路程=前者走的路程＋两地间的距离环形跑道问题：①甲、乙两人在环形跑道上同时同地同向出发：快的必须多跑一圈才能追上慢的。
②甲、乙两人在环形跑道上同时同地反向出发：两人第一次相遇时的总路程为环形跑道一圈的长度。
飞行问题，基本等量关系：顺风速度=无风速度＋风速逆风速度=无风速度－风速∴ 顺风速度－逆风速度=2×风速航行问题，基本等量关系：顺水速度=静水速度＋水速逆水速度=静水速度－水速∴ 顺水速度－逆水速度=2×水速【典型例题】例1、 某队伍长450m ，以s m 5.1的速度行进，一个通讯兵从排尾赶到排头，并立即返回排尾，他的速度是s m 3，那么往返需要多少时间？例2、在一直形的长河中有甲、乙船，现同时由A 城顺流而下，乙船到B 地时接到通知，需立即返回到C 地执行任务，甲船继续顺流航行。
已知甲、乙两船在静水中的速度都是h km 5.7，水流速度为每小时km 5.2，A 、C 两地间的距离为km 10。
如果乙船由A 地经B 地再到达C 地，共用了4h ，问乙船从B 地到C 地时甲船驶离B 地有多远？例3、甲、乙两人在400m长的环形跑道上练习百米赛跑，甲的速度是14m，乙的速度是16m。
（1）若两人同时同地相向而行，问经过多少秒后两人相遇？（2）若两人同时同地同向而行，问经过多少秒后两人相遇？例4、甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行，若甲先出发2小时，则在乙动身2.5小时后两人相遇；若乙先出发2小时，则甲动身3小时后两人相遇．求甲、乙两人的速度．例5、甲、乙两个运动员分别从相距100米的直跑道两端同时相对出发，甲以每秒6.25米，乙以每秒3.75米的速度来回匀速跑步，他们共同跑了8分32秒，在这段时间内两个多次相遇（两人同时到达同一地点）．他们最后一次相遇的地点离乙的起点有多少米？甲追上乙多少次？甲与乙迎面相距多少次？例6、两列火车分别行驶在两平行的轨道上，其中快车车长100米，慢车车长150米，当两车相向而行时，快车驶过慢车某个窗口（快车车头到达窗口某一点至车尾离开这一点）所用的时间为5秒。
列方程解决实际问题的类型
列方程解决实际问题的类型列方程解决实际问题的类型第一类：（一）和、差、倍、分问题——读题分析法1、倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率…”来体现。
2、多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。
增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量例1．某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元？例2．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？第一类：（二）等积变形问题等积变形是以形状改变而体积不变为前提。
常用等量关系为：原料体积=成品体积。
例3．现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？（练习：）圆柱形水桶的底面周长12.56分米，高6分米．盛满一桶水后，把水倒入一个长方体水缸中，水缸还空着21.5%．已知长方体水缸宽4分米，长是宽的1.5倍，求水缸的高．第二类：与数字、比例有关的问题：例1. 比例分配问题：比例分配问题的一般思路为：设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。
常用等量关系：各部分之和=总量。
甲、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙之比为4：3；乙、丙之比为6：5，又知甲与丙的和比乙的2倍多12件，求每个人每天生产多少件？例2. 数字问题：（1）有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。
（2）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，且个位上的数字与十位上的数字的和比这个2位数的大6，求这个两位数。
第三类：与日历、调配有关的问题：例3. 在日历上，三个相邻数（列）的和为54，求这三天分别是几号？变式：将连续的奇数1，3，5，7…排列成如下的数表用十字框框出5个数（如图）1 3 5 7 9 1113 15 17 19 21 2325 27 29 31 33 3537 39 41 43 45 47……（1）若将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用a的代数式表示十字框框住的5个数字之和；（2）十字框框住的5个数之和能等于2020吗？若能，分别写出十字框框住的5个数；若不能，请说明理由；（3）十字框框住的5个数之和能等于365吗？若能，分别写出十字框框住的5个数；若不能，请说明理由；例4. 劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：（1）既有调入又有调出；（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。
一元一次方程之追及问题
一元一次方程之追及问题甲、乙两车站相距400千米慢车每小时行驶100千米，快车每小时行驶140千米先让慢车行驶100千米，然后快车再出发问多长时间快车能追上慢车？？？如果不是快车慢车的那再给你找一些追及应用题吧1、甲车在乙车前500千米，同时出发，速度分别为每小时40千米和每小时60千米，多少小时候，乙车追上甲车？2、甲乙两人相距6千米，乙在前，甲在后，两人同时同向出发，3小时甲追上乙。
乙每小时行4千米，甲每小时行多少千米？3、在长跑比赛中，甲运动员每分跑320米，乙每分跑305米，10分钟后两人相距多远？4、在长跑比赛中，甲运动员每分跑320米，乙每分跑305米，甲出发后30分钟到达终点，这时，乙离终点还有多远5、在长跑比赛中，甲运动员每分跑320米，乙每分跑305米，甲出发后30分钟到达终点，甲到达终点后原路返回起跑点，起跑后多少分两人相遇？6、一辆货车以每小时60千米的速度前进，一辆客车在它后面30千米，以每小时75千米的速度前进，问客车多长时间能追上货车？7、甲车1小时行驶60千米，1小时后，乙车从同一地点出发追赶甲车，如果乙车的速度为每小时80千米，几小时后可以追上甲车？8、兄弟俩骑车郊游，弟弟先出发，速度为每分钟行200米，5分钟后哥哥带一条狗出发，以每分钟250米的速度去追弟弟，而狗则以每分钟300米的速度向弟弟跑去，追上弟弟后就又返回，遇到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟时狗跑了多少米？9、甲乙两站相距360千米，客车与货车同时从甲站出发驶向乙站，客车每小时行驶60千米，货车每小时行驶40千米，客车到达乙站后又以原速度返回甲站，两车在开出几小时后相遇？10、甲乙两人在周长是400米的环形跑道上跑步，甲比乙跑得快，如果两人从同一地点出发，背向而行，那么经过2分钟相遇，如果两人从同一地点同向而行，那么经过20分钟甲追上乙，求甲乙各自的速度是多少？11.小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地每小时步行4千米。
列方程解决问题(追及)
先行150米
75米/分
你还能怎样解答？
路程差 ÷ 速度差 = 追及时间
150 ÷（75 – 60）
速度差 × 追及时间 = 路程差
（75 - 60）X = 150
小胖和小丁丁从学校步行去青少年活动中心。
小胖先小行胖了先1行50了米2后.5小分丁钟丁才出发，小胖每
分钟走60米，小丁丁每分钟走75米，小丁丁
小胖和小丁丁从学校步行去青少年活动中心。 小胖先小行胖了先12行5.05了米 分2后钟.5后小分丁小钟丁丁才出才出发发，小，小胖丁每 分 丁钟 每走 分钟60走米7，5小米丁，丁花每了分10钟分走钟7就5追米上，小胖丁。丁 花 小了 胖几 每分钟追走上几小米胖 ？？
解：设小胖每分钟走X米。
2.5X + 10X = 75 ×10
——追及问题
小胖和小丁丁从学校步行去青少年活动中心。
小胖先行了150米后小丁丁才出发，小胖每
分钟走60米，小丁丁每分钟走75米，小丁丁
花了几分钟追上小胖？
60米/分
解：设小丁丁花了X分钟追上小胖。
先行150米
75米/分
150 + 60X
= 75X
小丁丁一共行的路程 - 小胖先行的路程 = 小胖后行的路程
花了几分钟追上小胖？
60米/分
解：设小丁丁花了X分钟追上小胖。
先行2.5分
75米/分
小丁丁一共行的路程 - 小胖先行的路程 = 小胖后行的路程
75X
- 2.5×60 = 60X
小丁丁一共行的路程 - 小胖后行的路程 = 小胖先行的路程
75X
60X
= 2.5×60
小胖的速度×小胖一共行的时间 = 小丁丁的速度×小丁丁一共行的时间
列方程解应用题(追及问题)
哥哥每分钟走75米，弟弟每分钟走60米，两人同时同地出发，背向而行，10分钟后哥哥转身追弟弟，哥哥追上弟弟需要多少时间？
哥哥每分钟走75米，弟弟每分钟走60米，两人同时同地出发，背向而行，10分钟后哥哥转身追弟弟，哥哥追上弟弟需要多少时间？
弟弟
哥哥
60米/分
75米/分
哥哥
75米/分
50×0.4+50×2 = 2X
客车行驶的第一段路程 + 客车行驶的第二段路程 = 轿车行驶的路程
解：设轿车每小时行X千米。
50×2
2X
例2： 一辆客车和一辆轿车从上海出发开往宁波，轿车比客车迟开0.4小时，客车每小时行50千米，轿车每小时行60千米，轿车开出多少小时后追上客车？
客车行驶的第一段路程 + 客车行驶的第二段路程 = 轿车行驶的路程
答：他们两人能在电影开映前进电影院。
要求： 画出线段图 找到等量关系 列方程解决
5
例2： 一辆客车和一辆轿车从上海出发开往宁波，轿车比客车迟开0.4小时，客车每小时行50千米，轿车每小时行60千米，轿车开出多少小时后追上客车？
50×0.4
例3： 一辆客车和一辆轿车从上海出发开往宁波，轿车比客车迟开0.4小时，客车每小时行50千米，轿车开出2小时后追上客车，轿车每小时行多少千米？
出发地点（ ）
同地
要求： a、画出线段图 b、找到等量关系 c、列出方程
例1： 一辆客车和一辆轿车从上海出发开往宁波，客车先行20千米后轿车出发，客车每小时行50千米，轿车每小时行60千米，轿车开出多少小时后追上客车？
例2： 一辆客车和一辆轿车从上海出发开往宁波，轿车比客车迟开0.4小时，客车每小时行50千米，轿车每小时行60千米，轿车开出多少小时后追上客车？
奥数-追及问题
240÷（60－50）＝24（分）
③最后求乙和丙的相遇路程（即两镇的距离）。
（60＋70）×24＝3120（米）
答：两镇相距3120米。
四、同时、同地、同向、折返的追及问题
练习4.甲、乙、丙三人中，甲每分走50米，乙 每分走60米，丙每分走70米。甲、乙二人从东 镇，丙一人从西镇同时相向出发，丙遇到乙后 又经过2分遇到甲。求：两镇相距多少米？
三、同时、同地、同向在跑道上的追及问题
2.实验小学有一个400米的环形跑道， 小红和小强同时从起跑线起跑，小强 每秒跑6米，小红每秒跑4米。小强第 一次追上小红时，两人各跑了多少米？ 400÷（6－4）=200（秒） 相遇时间? 小强：6×200＝1200（米）
小红：4×200＝800 （米）
三、同时、同地、同向在跑道上的追及问题
速度差? 小偷速度?
二、同地、同向、不同时的相遇问题 例题2.小刚步行上学，每分钟走75米，小 刚离家12分后，爸爸骑自行车追去，每 分钟375米，爸爸追上小刚要用多长时间？
先画线段图
路程差=75×12
速度差=375-75 追及时间=75×12÷（375-75 例题2.小刚步行上学，每分钟走75米，小 刚离家12分后，爸爸骑自行车追去，每 分钟375米，爸爸追上小刚要用多长时间？
解:设在轿车出发后x小时到达B城,轿车 通过的路程为:75x,货车通过的路程为: 40×（3十x）,依题意可得方程 75x=40×（3十x）十160 x=15 画图： 6+15=21点
三、同时、同地、同向在跑道上的追及问题
1.实验小学有一个400米的环形跑道， 小红和小强同时从起跑线起跑，小强 每秒跑6米，小红每秒跑4米。经过多 少秒小强第一次追上小红？ 400÷（6－4）=200（秒）
追及问题
初速度较大者追较小者
类型 图像 说明 开始追及后，后面物体与 前面物体间 匀减速 追匀速 的距离在减 小，当两物体速度相等时， 即t=t0时刻： ①若 △x=x0 则恰能追上， 两物体 只能相遇一次，这 也是避免相撞的临 匀速追 匀加速 界条件
②若 △x<x0则不能追上， 当速度相
等时两物体间距 离最小，此时两物体 最小距离为x- △x 匀减速 追匀加 速 ③若△x>x ，则相遇两次， 设t1时刻 0 两物体 第一次相遇，则t2时刻两 物体 第二次相遇
例： 一火车以速度v1匀速行驶，司机发现前方同 轨道上相距S处有另一 火车沿同方向以速度v2（相对 地且v1>v2)做匀速运动.司机立即以大小为a的加速 度 紧急刹车.要使两车不相撞，试求加速度a的大小应满 足的条件.
三、函数法方程法
两个物体做匀速运动或匀变速运动,只要找出两 个物体距离X随时间t的变化关系x=0时对应的t为相遇 时刻。 “有两正解(并且要符合实际的条件) 则有两次相遇 机会 “有一正解,则有一次相遇机会，t无解则不能相遇。
常见的“追及”“相遇”问题的分析方法
一、物理分析法——公式法
例： 一火车以速度v1匀速行驶，司机发现前方同 轨道上相距S处有另一 火车沿同方向以速度v2（相对 地且v1>v2)做匀速运动.司机立即以大小为a的加速 度 紧急刹车.要使两车不相撞，试求加速度a的大小应满 足的条件.
常见的“追及”“相遇”问题的分析方法
方法点津：
（1)当做匀加速直线运动的物体在前（初速庋较小）、 做匀速直线运动的物体（初速度较大）在后时，二者 有可能发生两次相遇的情况：第一次相遇是做匀速直 线运动的物体追上做匀加速直线运动的物体；第二次 相遇则是做匀加速直线运动的物体追上做匀减速直线 运动的物体. (2)当做匀减速直线运动的物体在前、做匀速直钱运动 的物体在后时，二者有两种情况的相遇：一是两物体 可能会在做匀减速直线运动的物体停止运动前相遇； 二是两物体在做匀减速直线运动的物体停止运动之后 相遇.
六年级 追及问题方程讲解
六年级追及问题方程讲解
追及问题是行程问题中的一类，主要研究两个物体在同一直线或封闭图形上运动，其中一个追赶另一个。
我们可以通过一个简单的例子来理解这个问题：小明和小强在操场上跑步，小明比小强跑得快。
如果小明开始在小强的后面，那么小明会追上小强。
假设小明的速度为 v1 米/秒，小强的速度为 v2 米/秒，他们之间的初始距离为 d 米。
根据题目，我们可以建立以下方程：
1. 小明追上小强所需的时间 t = d / (v1 - v2)（因为小明需要比小强多跑d 米，并且每秒多跑v1-v2米）。
2. 在这段时间 t 内，小明跑了v1 × t 米，小强跑了v2 × t 米。
3. 小明追上小强时，两者跑的距离相等，即v1 × t = v2 × t + d。
现在我们要来解这个方程，找出 d 的值。
计算结果为： [{d: t(v1 - v2)}]
所以，小明和小强之间的初始距离为：t(v1 - v2)米。
(2)用方程解决问题(相遇与追及)
20X 30X
A
B
变式二： （相遇后）
若A、B两站间的路程为500km, 甲速20km/h,乙 速为30km/h， （3）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相 向而行，问经过多少小时他们相距100km？
设经过X小时他们相距100km
20X 30X
A
B
3. 追及问题
1．创设情境，引入新课
问题一：
为了适应经济发展，铁路运输再次提速。如果客车行驶 的平均速度增加40km/h,提速后由合肥到北京1110km的 路程只需行驶10h，那么，提速前，这趟客车平均每小 时行驶多少千米？ 解：设提速前客车平均速度Xkm/h，则提速后客车平均 速度（X+40）km/h根据题意可得 10（X+40）=1110 解得 X=71 答：提速前这趟客车的平均速度是7m, 甲速20km/h,乙 速为30km/h， (2)快车先开出30分钟，两车相向而行，慢车 行驶了多少小时两车相遇?
20X A 30X 15 B
设行驶X小时两车相遇
变式二： （相遇前）
若A、B两站间的路程为500km, 甲速20km/h,乙 速为30km/h， （3）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相 向而行，问经过多少小时他们相距100km？
3、环形跑道问题：
甲的行程+乙的行程=甲、乙之间的路程和
（1）同时同地同向而行， （2）同时同地背向相遇，
第一次相遇，快者路程－慢者路程 = 环形周长；
第一次相遇，甲路程+乙路程=环形周长。
思考题：
市实验中学学生步行到郊外旅行。（1）班学生 组成前队，步行速度为4km/h，（2）班学生组 成后队，速度为6km/h。前队出发1小时后，后 队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在 两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速 度为12km/h。 （1）后队追上前队需要多长时间？ （2）后队追上前队时间内，联络员走的路程是 多少？ （3）两队何时相距3km？ （4）两队何时相距8km？
行程问题(二)追及问题
行程问题（二）—追及问题专题简析：本周的主要问题是“追及问题”。
追及问题一般是指两个物体同方向运动，由于各自的速度不同，后者追上前者的问题。
追及问题的基本数量关系是：速度差×追及时间=追及路程解答追及问题，一定要懂得运动快的物体之所以能追上运动慢的物体，是因为两者之间存在着速度差。
抓住“追及的路程必须用速度差来追”这一道理，结合题中运动物体的地点、运动方向等特点进行具体分析，并借助线段图来理解题意，就可以正确解题。
例1 中巴车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米。
两车同时从相距60千米的两地同方向开出，且中巴在前。
几小时后小轿车追上中巴车？分析原来小轿车落后于中巴车60千米，但由于小轿车的速度比中巴车快，每小时比中巴车多行84－60=24千米，也就是每小时小轿车能追中巴车24千米。
60÷24=2.5小时，所以2.5小时后小轿车能追上中巴车。
（1）一辆摩托车以每小时80千米的速度去追赶前面30千米处的卡车，卡车行驶的速度是每小时65千米。
摩托车多长时间能够追上？（2）甲骑自行车从A地到B地，每小时行16千米。
1小时后，乙也骑自行车从A地到B地，每小时行20千米，结果两人同时到达B地。
A、B两地相距多少千米？例2一辆汽车从甲地开往乙地，要行360千米。
开始按计划以每小时45千米的速度行驶，途中因汽车故障修车2小时。
因为要按时到达乙地，修好车后必须每小时多行30千米。
汽车是在离甲地多远处修车的？分析途中修车用了2小时，汽车就少行45×2=90千米；修车后，为了按时到达乙地，每小时必须多行30千米。
90千米里面包含有3个30千米，也就是说，再行3小时就能把修车少行的90千米行完。
因此，修车后再行（45＋30）×3=225千米就能到达乙地，汽车是在离甲地360－225=135千米处修车的。
（1）汽车以每小时30千米的速度从甲地出发，6小时后能到达乙地。
汽车出发1小时后原路返回甲地取东西，然后立即从甲地出发。
列方程解应用题(行程问题中的相遇和追击)
7x-6.5x=5
(2)设x秒后甲可以追上乙，根据题意，得
=6.5
乙队从B地出发与甲相向而行，乙队出发20小时后相遇， 已知乙的速度比甲的速度每小时快1千米，求甲、乙的速 度各是多少？
分析：设：甲速为x千米/时，则乙速为（x+1）千米/时
A C
甲2小时所走 的路程 2x
230KM
D
B
乙20小时所走 的路程 20(x+1)
甲20小时所走 的路程 20x
相等关系：甲走总路程+乙走路程=230
解：设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x+1）
千米/时，根据题意，得
2x+20x+20(x+1)=230
2x+20x+20x+20=230 42x=210 x=5 ∴乙的速度为 x+1=5+1=6
答：甲、乙的速度各是5千米/时、6千米/时.
课练一
1、甲、乙骑自行车同时从相距 65千米的两地相向而行， 2小时相遇．甲比乙每小时多骑2.5千米，求乙的时速．
列方程解应用题
行程问题中的相遇和追击
追及问题
两匹马赛跑，黄色马的速度是6m/s，棕色马 的速度是7m/s，如果让黄马先跑5m，棕色马
再开始跑，几秒后可以追上黄色马？
5米
棕色马路程 ＝ 黄色马路程＋5
一列长200米的火车，速度是20m/s，完 全通过一座长400米的大桥需要几秒？
例1.A、B两地相距230千米，甲队从A地出发两小时后，
25 60 ×48
B
C
乙走 X 小时所走的路程 72x
相等关系：
甲走的路程=乙走的路程
解：设乙车开出x小时后追上甲车，根据题意，得
一元一次方程的实际应用题(含详细答案)
一元一次方程的实际应用题题型一：利率问题利率问题利息=本金×利率×期数本利和=本金十利息=本金×（1＋利率×期数）利息税=利息×税率税后利息=利息一利息税=利息×（1－税率）税后本利和=本金＋税后利息【总结】若利率是年利率，期数以“年”为单位计数，若是月利率，则期数以“月”为单位计数，解题时要注意.【例1】某人把若干元按三年期的定期储蓄存入银行，假设年利率为3. 69%，到期支取时扣除所得税实得利息2 103.3元，求存入银行的本金．（利息税为5%）【答案】设存入银行的本金为x元，根据题意，得()()％％3 3.69152103.3x⨯⨯⨯-=x⨯=0.1051652103.3x=,20000因此，存入银行的本金是20000元．【总结】利息=本金×利率×期数×利息税题型二：折扣问题利润额=成本价×利润率售价=成本价＋利润额新售价=原售价×折扣【例2】小丽和小明相约去书城买书，请你根据他们的对话内容（如图），求出小明上次所买书籍的原价．--图641【分析】设小明上次购买书籍的原价是x元，由题意，得0.82012+=-，x xx=．解得160因此，小明上次所买书籍的原价是160元，【答案】160元.1：一件衣服按标价的八折出售，获得利润18元，占标价的10％，问该衣服的买入价？分析：本金：标价利率：－20％利息：成交价－标价＝买入价＋利润－标价解：设该衣服的买入价为x元x＋18－18/10％＝18/10％×（80％－1）当然，这道题这样解是一种方法，还可以按照我们常规的算术方法解来，倒也简单，因此，列方程解应用题是针对过程清楚的问题比较简单方便。
2. 一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？[分析]探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为X元进价折扣率标价优惠价利润X元8折（1+40%）X元80%（1+40%）X 15元等量关系：（利润=折扣后价格—进价）折扣后价格－进价=15解：设进价为X元，80%X（1+40%）—X=15，X=125答：进价是125元。
列方程解决问题(三)——追及问题课件
相距的路程 客车所行路程
轿车：
轿车所行路程
相距的路程+客车所行路程=轿车所行路程
解：设x小时后轿车追上客车。
15+65x=85x
火眼金睛：
2.两队园林工人植树。第一队每小时植树28棵，植了25棵后，第二 队才开始植树，植了5小时后两队植树的棵数相等。问第二队每小
时植树多少棵？ 解：设第二队每小时植树x棵。
1800+150x=240x 90x=1800 x=20
答：良马20天追上驽马。
会出现快车和慢车同时出发，同 向上，一辆客车正以65千米/时的速度向前行驶，在它后面 15千米的地方有一辆轿车正以85千米/时的速度追上来，几小时后 轿车可以追上客车？
x （1）25＋28=5x
√ （2）25＋28×5=5x
第一队： 25
28×5
第一队先植棵数第一队后植棵数
第二队：
5x
第二队植的棵数
第一队先植棵数+第一队后植棵数=第二队植的棵数
活动：根据方程选择有用的信息编题
小丁丁和小胖在百 米跑道上练习跑步
每秒跑 6米
小胖站在小丁丁前面 10米处
每秒跑 4米
小丁丁和小胖站在百 米跑道的两端
列方程解决问题（三）
追及问题
客车 80千米/时
100千米/时 轿车
南京
上海
270千米
等量关系：
客车行的路程 + 轿车行的路程 = 总路程
视猜察一运猜动1：1：
视猜察一运猜动2：2：
两车同向而行，慢车先行，快车追上慢车
一辆客车和一辆轿车先后从上海出发去南京， 客车平均每小时行80千米，轿车平均每小时行100千米， 客车先行50千米，轿车才出发，轿车几小时后追上客车?
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前进电影院吗？
我每分钟行280米 我每分钟行220米
甲，乙两个工人，甲每小时做零件120个，甲先做 了2.5小时，乙才开始做，6小时后乙与甲的零件数 相等，乙每小时做零件多少个？ 解：设乙每小时做零件x个。
(线段图)：
等量关系：
列方程：
（1）敌机先行3分钟后，我机进行追赶，敌机每分 钟行20千米，我机每分钟行27.5千米，几分钟后 追上敌机并驱逐出境？
轿车比客车迟开0.2 小时，客车平均每小时行92千米， 运动时间？（同时，先后）
先后 轿车平均每小时行 108千米，轿车开出多少小时后追
上客车？
运动结果？（相遇，追上） 追上
一辆客车和一辆轿车先后从上海出发开往宁波， 轿车比客车迟开0.2小时 轿车比客车先开18.4千米，客车平均每小时行92千米， 轿车平均每小时行108千米，轿车开出多少小时后追
（2）敌机先行3分钟后，我机进行追赶，8分钟后 追上敌机，驱逐出境，敌机每分钟行20千米，请 问我机每分钟行多少千米？ （3）敌机先行3分钟后，我机进行追赶，8分钟后 追上敌机，驱逐出境，我机每分钟行27.5千米， 请问敌机每分钟行多少千米？
*拓展. 小亚每分钟走75米，小巧每分钟走60米，两人同时 同地出发背向而行，10分钟后小亚转身去追小巧， 小亚追上小巧需要多少时间？
上客车？
如何理解 “迟开0.2小时”？ 18.4+92x=108x
92×0.2 线段图怎么改？
92×0.2
客车 轿车
92x 18.4 等量关系变不变？ 方程怎么改？ 108x
刘老师和宋老师从学校出发汽车区光明电影院看电影， 刘老师出发3分钟后宋老师去追赶，结果两人同时到
达电影院，宋老师骑了多少分钟？如果刘老师18:00列方程解决题（四）例2列方程解决问题
1.审题，一般画线段图找等量关系
2.写解设句
3.对应代入，并列出方程
4.解方程，检验并写答句
一辆客车和一辆轿车先后从上海出发开往宁波，
客车比轿车先开18.4千米，客车平均每小时行92千米，
轿车平均每小时行108千米，轿车开出多少小时后追
上客车？
运动方向？（同向、反向） 一辆客车和一辆轿车先后从上海出发开往宁波， 同向
解：设小亚追上小巧需要x分钟。 线段图：
等量关系： 列方程：
今天这节课， 你有什么收获？