高昆轮老师《张宇考研数学18讲》专题(下篇)18讲精讲精练
2016年考研参考书目汇总
2016年考研参考书目汇总公共课(政、英、数)考研参考书目1、考研政治复习所需教材&教辅考研政治的复习教材主要有新东方在线印制的政治课程配套讲义教材及中国政法大学、北京航空航天大学出版社、西安交通大学出版社、北京理工大学出版社出版的政治备考辅导用书。
具体如下：①中国政法大学出版社出版：《2016考研政治官方指南》②北京理工大学出版社出版：《思想政治理论强化训练1500题》、《考研政治大纲配套习题狂做1100题》、《考研政治考点狂背》、《考研政治分析题狂背18题》、《考研政治真题考点狂人日记》等③北京航空航天大学出版社出版：《考研政治历年真题解析》等④西安交通大学出版社出版：《任汝芬教授考研政治序列(一)》等2、考研英语复习所需教材&教辅考研英语复习教材主要有新东方在线印制的英语课程配套讲义教材及中国政法大学出版社、群言出版社、北京理工大学出版社出版的英语备考辅导用书。
①中国政法大学出版社：《保命28分-考研英语(二)阅读理解进阶实战宝典》②群言出版社出版：《英语词汇识记大全(恋恋有词)》、《(2016)考研英语权威预测8套题》、《考研英语阅读理解精读100篇》、《考研英语历年真题详解及复习指南》、《考研英语专属冲刺试卷》③北京理工大学出版社：《英语二阅读理解精练》、《考研英语作文最后20篇》3、考研数学备考所需教材&教辅考研数学复习教材主要有新东方在线印制的数学课程配套讲义教材及北京理工大学出版社出版、中国政法大学出版社出版的数学备考辅导用书。
具体如下：①北京理工大学出版社：《张宇高等数学18讲》、《张宇线性代数9讲》、《张宇概率论与数理统计9讲》、《张宇考研数学题源探析经典1000题(数学一)》、《张宇考研数学真题大全解(理工)》、《考研数学命题人终极预测8套卷(数一)》②中国政法大学出版社：《考研数学必做986题》、《考研数学满分过关100题》专业课考研参考书目获取途径1、查看目标院校近期招生简章及目录专业课大多是招生单位自主命题，考生在选择参考用书时就要以院校的规定为准，考生需要到目标院校的研究生网站查看最近年份的招生简章及目录，参考书目和考试大纲往往就已经大摇大摆地挂在了这些网页上，只是你没有看到。
(最新)张宇高数18讲数学二知识点总结笔记
张宇高数18讲数学二知识点总结笔记●1.函数极限与连续1)函数极限的定义及使用●定义●使用●是常数、唯一性、局部有界性、局部保号性●等式脱帽法2)函数极限的计算●化简先行●等价无穷小替换●恒等变形●及时提出极限存在且不为0的因式●洛必达法则●泰勒公式●熟记常用公式●展开原则●无穷小比阶●函数极限的存在性●具体性●若洛必达失效，用夹逼准则●抽象性●单调有界准则●连续与间断●研究位置●无定义点、分段函数的分段点●连续●内点处、端点处●间断●2.数列极限1)数列极限的定义及使用●定义●使用●是常数、唯一性、有界性、保号性●收敛的充要条件2)数列极限的存在性与计算●海涅定理的使用●直接计算法●定义法（先斩后奏法）●单调有界准则●用已知不等式●题设给出条件来推证●夹逼准则●用基本放缩法●题设给出条件来推证●综合题总结●用导数、积分、中值定理综合●用方程列、区间列综合●用极限综合●3.一元微分的概念1)导数定义（导数在一点的问题）●分段函数（或含绝对值函数）在分段点●抽象函数在一点●特指点x_0●泛指点x●四则运算中的特殊点●太复杂的函数●f=f_1+f_2●f=f_1* f_2* f_3* ...*●求导公式无定义的点2)微分定义●4.一元微分的计算1)复合函数求导2)隐函数求导3)反函数求导4)分段函数求导（含绝对值）●在分段点用导数定义●在非分段点用导数公式●对数求导法●幂指函数求导法●参数方程确定的函数求导●高阶导数●归纳法（记公式）●莱布尼茨公式●展开式（记公式）5)难点●计算量大●含参数的讨论●高阶导数●5.一元微分的几何应用1)研究对象●“祖孙三代”●f(x)●具体●抽象●f_n(x) 函数族●f_1·f_2·...·f_n● f'(x) ； \frac{\mathrm{d}[f(x)]}{\mathrm{d}{(x^2)}} ; {f}^{(n)}(x)●\int_{a}^{x}f(x)dx●分段函数（含绝对值）●参数方程●x=x(t), y=y(t)●x=r(\theta)cos\theta,y=r(\theta)sin\theta●隐函数F(x,y)=02)研究内容●切线、法线、截距●极值、单调性●单调性的判别●一阶可导点是极值点的必要条件●判别极值的第1,2,3充分条件●拐点、凹凸性●凹凸性的定义●拐点定义●凹凸性与拐点的判别●判别凹凸性的充分必要条件●二阶可导点是拐点的必要条件●判别拐点的第1,2,3充分条件●6.中值定理、微分等式与微分不等式1)中值定理●确定区间●确定辅助函数●确定使用的定理●零点定理●介值定理●费马定理●罗尔定理●拉格朗日中值定理●泰勒公式●柯西中值定理2)微分等式问题●理论依据●考法3)微分不等式问题●用单调性●用最值●用凹凸性●用拉格朗日中值定理●用柯西中值定理●用带有拉格朗日余项的泰勒公式●7.一元微分物理应用1)物理应用●以“A对B的变化率”为核心写\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}B}●8.一元积分的概念与性质1)祖孙三代●\int_{a}^{x}f(x)dx ，f(x)，{ f^{'}(x) } 的奇偶性，周期性2)积分比大小●用几何意义●看面积大小●用保号性●做差●看正负3)定积分定义●基本形（能凑成\frac{i}{n}）●\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(0+\frac{1-0}{n}i)\frac{1-0}{n} =\int_{0}^{1}f(x)dx●\lim_{n \to \infty}\sum_{i=0}^{n-1} f(0+\frac{1-0}{n}i)\frac{1-0}{n} =\int_{0}^{1}f(x)dx●放缩形（凑不成\frac{i}{n}）●夹逼准则●放缩后再凑\frac{i}{n}●变量形●\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(0+\frac{x-0}{n}i)\frac{x-0}{n} =\int_{0}^{x}f(x)dx4)反常积分的判敛●概念●判别●9.一元积分的计算1)基本积分公式2)不定积分的计算●凑微分法●思想●方法●常用的凑微分公式●程序●换元法●思想●方法●三角函数代换●恒等变形后作三角代换●跟式代换●倒代换●复杂函数的直接带换●思想●方法●u,v的选取原则●推广公式（表格法）●有理函数的积分●定义●思想●方法3)定积分的计算●区间再现公式●华里士公式●其他常用含三角函数的积分等式●区间简化公式●对称性下的积分问题●定积分分部积分法中的“升阶”降阶“”公式●分段函数的定积分●10.一元积分几何应用1)研究对象●f(x)●f_n(x)●参数方程●x=x(t)●y=y(t)●\frac{\partial f}{\partial x}●\int_{a}^{x}f(x)dx●微分方程的解函数f(x)2)研究内容●面积、旋转体体积、平均值●平面曲线的弧长、旋转曲面的面积（侧面积）●“平面上的曲边梯形”的形心坐标公式●平行截面面积为已知的立体体积●11.积分等式与积分不等式1)积分等式●通过证明某特殊积分等式求某特殊积分●积分形式的中值定理2)积分不等式●用函数的单调性●处理被积函数●已知f(x) \leq g(x)，用积分保号性证得\int_{a}^{b}f(x)dx \leq\int_{a}^{b}g(x)dx，a<b●用拉格朗日中值定理●用泰勒公式●用放缩法●用分部积分法●用换元法●用夹逼准则求解一类积分的极限问题●曲边梯形面积的连续化与离散化问题●12.一元积分的物理应用1)位移大小与总路程●位移大小●\int_{t_1}^{t_2}v(t)dt●总路程●\int_{t_1}^{t_2}|v(t)|dt2)变力沿直线做功●W=\int_{a}^{b}F(x)dx3)提取物体做功●W=\rho g\int_{a}^{b}xA(x)dx4)静水压力●P=\rho g\int_{a}^{b}x[f(x)-h(x)]dx5)细杆质心●\bar x=\frac{\int_{a}^{b}x\rho (x)dx}{\int_{a}^{b}\rho (x)dx}6)其他重要应用（微元法总结）●13.多元函数微分学1)概念●极限、连续、偏导数、可微2)复合函数求导法●链式求导规则●全导数●全微分形式不变3)隐函数求导●隐函数存在定理●一个方程的情形●方程组的情形4)多元函数的极值、最值●无条件极值●取极值的必要条件●取极值的充分条件●条件极值与拉氏乘数法5)偏微分方程●已知偏导数（或偏增量）的表达式，求z=f(x,y)●给出变换，化已知偏微分方程为常微分方程，求f(u)●给出变换，化已知偏微分方程为指定偏微分方程及其反问题●14.二重积分1)概念●和式极限●普通对称性●轮换对称性●二重积分比大小●用对称性●用保号性●二重积分中值定理●周期性2)计算●直角坐标系与换序●极坐标系与换序●直极互化3)应用●面积●\iint_{D}dxdy●15.微分方程1)一阶微分方程的求解●能写成 y'=f(x)·g(x)●能写成 y'=f(ax+by+c)●能写成 y'=f(\frac{y}{x})●能写成 \frac{1}{y'}=f(\frac{x}{y})●能写成 y'+p(x)y=q(x)2)二阶可降阶微分方程的求解●能写成 y''=f(x,y')●能写成 y''=f(y,y')3)高阶常系数线性微分方程的求解●能写成 y''+py'+qy=f(x)●能写成 y''+py'+qy=f_1(x)+f_2(x)4)用换元法求解微分方程●用求导公式逆用来换元●用自变量来换元●用因变量来换元●用x,y地位互换来换元5)应用题●用极限、导数定义或积分等式建方程●用几何应用建方程●用曲线切线斜率●用两曲线f(x)与g(x)的公切线斜率●用截距●用面积●用体积●用平均值●用弧长●用侧面积●用曲率●用形心。
第18讲复式条形统计图-2022-2023学年四年级数学下册易错题精编讲义(人教版)
第18讲复式条形统计图（讲义）（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）1、复式条形统计图。
（1）复式条形统计图的绘制方法与单式条形统计图的绘制方法基本相同，只是有两组（或多组）数据，需要用两种（或多种）不同颜色（或底纹）的直条来表示，同时要标明图例。
（2）观察复式条形统计图时，可以运用横向、纵向、综合对比等不同的方法，从中获取尽可能多的信息，而且可以根据获取的信息提出问题并解决问题。
（3）横向复式条形统计图与纵向复式条形统计图只是形式上不同，其他都相同。
当数据的种类不多，但每类数据又比较大时，用横向复式条形统计图比较方便。
1、在绘制复式条形统计图时，要写上标题，标明图例，图中直条的宽窄要一致，间隔要相同，组成直条的两条线一定要互相平行，并且要统一单位长度。
【易错一】下图是某小区在垃圾分类活动中厨余垃圾与其它垃圾的统计图。
根据图中信息，下面（）的说法是错误的。
A．二月份的厨余垃圾数量比其它垃圾多。
B．这四个月中，其它垃圾的总量比厨余垃圾多。
C．四月份厨余垃圾的重量是一月份的4倍。
D．三月份的厨余垃圾与其它垃圾共有27吨。
【分析】根据复式条形统计图的特点，对每个选项中的说法进行判断即可；A．二月份的厨余垃圾为10吨，其它垃圾为9吨；B．先分别计算出这四个月中，其它垃圾的总量以及厨余垃圾的总量，然后再比较即可；C．用四月份厨余垃圾的重量除以一月份厨余垃圾的重量即可；D．用三月份的厨余垃圾的重量加三月份其它垃圾的重量即可。
【详解】A．10吨＞9吨，因此二月份的厨余垃圾数量比其它垃圾多，即原说法正确；B．厨余垃圾：5＋10＋12＋15＝42（吨）；其它垃圾：7＋9＋15＋20＝51（吨），51吨＞42吨，因此这四个月中，其它垃圾的总量比厨余垃圾多，即原说法正确；C．15÷5＝3，因此四月份厨余垃圾的重量是一月份的3倍，即原说法错误；D．12＋15＝27（吨），因此三月份的厨余垃圾与其它垃圾共有27吨，即原说法正确；故答案为：C【点睛】熟练掌握复式条形统计图的特点是解答此题的关键。
2012海天考研张宇强化班高等数学下(18讲的部分)
2012年张宇考研数学高等数学（下）强化班内部讲义先修课程（高等数学复习导学班）视频地址：新浪微博——宇哥考研：/zhangyumaths 【本讲义参考文献】《考研数学高等数学18讲》，张宇 编著. 中国书籍出版社 《考研数学题源探析经典1000题》，张宇 编著. 北京理工大学出版社第9讲 多元函数微分学从本讲开始进入多元函数的体系，本讲内容是考研绝对的重点，一般会在每年的考试中出至少一个小题（4分）和一个大题（10分左右），有时结合其他知识出综合题.本讲我们只讲多元函数微分学的公共考点，有三个，分别为：1）五个基本概念；2）多元函数微分法；3）多元函数的极值与最值问题。
第一节 多元微分学的五个基本概念1、极限存在性定义 设二元函数f (x , y )定义在区域D 上,点P 0(x 0, y 0)在D 内或者在D 的边界上，如果存在常数A , 对于任给的正数ε，总存在正数δ, 只要点(,)P x y D ∈满足00<PP δ=<，恒有| f (x ,y )−A |<ε 成立, 则称A 为函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限, 记为0lim (,)x x y y f x y A →→=.这极限也称为二重极限.这里有两点说明.第一，二元函数的极限怎么计算？在考研中这个要求不高.举个例子.【例1】设222222,0(,)0 0xy x y x y f x y x y ⎧+≠00lim (,)x y ⎪+=⎨⎪+=⎩，求f x y →→．【解】因为220|(,)|0xyf x y x y ≤+，由夹逼准则，． 0lim (,)0x y f x y →→=第二，所谓二元函数的极限（二重极限）存在，是指以任何方式趋于时，相应的极限值都为同一个常数),(y x P ),(00y x P A （你是否还记得，在一元函数的极限计算中我们就反复强调：“极限若存在，必唯一”）．故，如果以不同方式趋于时，函数趋于不同的值，则可以判定该函数在点的极限值不存在．在考研中这个要求也不高.再举个例子. ),(y x P ),(00y x P ),0y (0x 【例2】设22),(y x xyy x f +=，试证极限不存在． ),(lim 0y x f y x →→【证】这个证明过程比较经典,请记住.当沿着直线),(y x P kx y =趋于点时，有)0,0(=+→=→2200lim y x xy kx y x 2222201lim k kx k x kx x +=+→，结果随的变化而变化，故二重极限不存在． k )y x ,(lim 00y x f →→2. 连续性如果000lim (,)(,)x x y y f x y f x y →→=，则称f (x , y )在点(x 0, y 0)处连续.注意，验证二元函数f (x , y )在某一点(x 0, y 0)是否连续是考研的重点，但是如果不连续，对于多元函数是不讨论间断点的分类的.3. 偏导数存在性（重要！重要！）定义 设函数z = f (x , y )在点(x 0, y 0)的某邻域内有定义, 若极限xy x f y x x f x Δ−Δ+→Δ),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数z = f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作00y y x x x z==∂∂, 00y y x x x f ==∂∂, 00x x x y y z ==′, 或00(,)x f x y ′. 于是，00000000000(,)(,)(,)(,'(,)limlim x x x x 0)f x x y f x y f x y f x y f x y x x Δ→→+Δ−−==Δ−x 00000000000(,)(,)(,)(,)'(,)limlim y y y y f x y y f x y f x y f x y f x y y y Δ→→+Δ−−==Δ−y 高阶偏导数 如果函数z =f (x , y )在区域D 内的偏导数(,)x f x y ′、(,)y f x y ′仍具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数z =f (x , y )的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的不同有如下四个二阶偏导数：22((,)xx z zf x y x x x ∂∂∂′′==∂∂∂, 2((,xy z z )f x y y x x y ∂∂∂′′==∂∂∂∂, 2()(,)yx z z f x y x y y x ∂∂∂′′==∂∂∂∂, 22()(,)yyz zf x y y y y∂∂∂′′==∂∂∂. 其中(,)xyf x y ′′、(,)yx f x y ′′称为二阶混合偏导数.同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数. 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.4. 可微定义 如果函数z = f (x , y )在点(x , y )的全增量Δz = f (x +Δx , y +Δy )−f (x , y ) 可表示为() (z A x B y o ρρΔ=Δ+Δ+=,其中A 、B 不依赖于Δx 、Δy 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微, 而称A Δx +B Δy 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即dz =A Δx +B Δy .在第三讲中，我们已经详细阐述了一元函数可微的深刻涵义，二元函数的可微概念也是如此（请注意对比，加深理解）.（1）写出全增量；000(,)(,z f x x y y f x y =++− 0)（2）写出线性增量A x B y + ，其中0000'(,),'(,)x y A f x y B f x y ==； （3）作极限limx y Δ→Δ→若该极限等于0，则(,)z f x y =在00(,)x y 点可微，否则，就不可微.用形式简单的“线性增量A x B y + ”去代替形式复杂的“全增量z ”，且其误差“()z A x B y −+ ”是o，这就是说，用简单的代替了复杂的，且产生的误差可以忽略不计，这就是可微的真正涵义。
2023考研高昆仑数学零基础高数下导学讲
2023考研高昆仑数学零基础高数下导学讲前言高数是考研数学的重要组成部分，对于零基础的考生而言，掌握高数的基本知识是非常重要的。
本文将以2023考研高昆仑数学零基础高数下导学讲为主题，为考生介绍高数的主要内容，并提供一些学习的建议和方法。
1. 函数与极限1.1 函数的概念函数是数学中非常重要的概念，它是一种对应关系，将一个自变量映射到一个因变量。
函数的定义域和值域是函数的重要属性，需要注意的是，函数并不一定能将所有的自变量映射到因变量上。
1.2 极限的概念极限是函数中非常重要的概念，它描述了函数在自变量趋近于某个值时的变化趋势。
极限的计算需要用到一些基本的极限定理和极限运算法则。
1.3 一元函数的极限对于一元函数，其极限可以用左极限和右极限表示。
一元函数的极限计算需要根据函数的特性和极限的定义进行具体分析。
1.4 函数的连续性连续性是函数性质的一个重要方面，一个函数在某个点连续表示在这个点处没有跳跃或断裂的情况发生。
函数的连续性可以通过函数在某个点处是否存在极限来判断。
2. 导数与微分2.1 导数的概念导数是函数在某个点处的变化率，可以理解为函数曲线在这一点处的切线斜率。
导数具有一些基本的运算法则，比如导数的线性性质和乘积法则等。
2.2 函数的求导法则函数求导是一种重要的计算技巧，通过应用导数的运算法则，可以求解各种复杂函数的导数。
常见的函数求导法则包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数和对数函数的导数等。
2.3 高阶导数与隐函数求导除了一阶导数外，函数还可以有二阶导数、三阶导数等高阶导数。
对于隐函数，其导数的求解需要应用隐函数求导法则。
2.4 微分与微分中值定理微分是导数的微元，它表示函数在某点附近的变化情况。
微分中值定理是微分学中的一个重要定理，它揭示了函数在某个区间内一定存在的特殊点。
3. 积分与不定积分3.1 不定积分的概念不定积分是积分的一种形式，表示对函数求原函数。
不定积分的计算需要应用一些基本的积分法则和常见的不定积分公式。
考研各学科推荐教辅教材一览表【除配套纸质讲义】-版1
学术硕士及临床医学硕士的专业硕
英语翻译基础
化）汉语百科知识
便在基础复习阶段时，可以更快更好的了解老师所述知识，跟上课程节奏。
在学习中，知识点的延展也可通过查阅教材，进行更
详细的了解。
014年历年真题》+《教育学基础考试大纲》；非统考考生可以参看咱们名校考点精讲课程的配套讲义拟题》进行考前实战训练；非统考考生推荐新东方课程《主观题实战训练100题》与讲义
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学校指定参考教材，请务必以学校指定参考教材为准；如学校未指定参考书，可通过院系网站、导师推荐、已考上的师兄师姐们推荐、学校的论坛、考研书店等渠道获知参考书目）。
第18讲 双曲线的简单几何性质 2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习(解析版)
知识点详释
双曲线的简单几何性质
典题精讲
双曲线的简单几何性质 利用双曲线的几何性质求双曲线方程 求双曲线的离心率
双曲线的几何性质综合问题
考点巩固练习 课后分层练习
ｚｈｇ 学习目标
１．掌握双曲线的简单几何性质； ２．会利用双曲线的几何性质求解相关的问题
了解要点，作到心中有数
ｙ＝±ｘ， 对于Ｂ：ａ＝１，ｂ＝√３，ｃ＝２，ｅ＝２，渐近线
故Ｂ错误；
对于Ｃ：ａ＝３，ｂ＝√３．ｃ＝２√３，ｅ＝２ 渐近线ｙ＝±５ｘ． 故Ｃ正确；
对于Ｄ： ａ＝３，ｂ＝√３，ｃ＝２√３，ｅ＝２３５ 渐近线ｙ＝±√３ｘ，故Ｄ错误．
故选：Ｃ．
－２４＝１ ３．下列选项中的曲线与
共焦点的双曲线是（ ）
Ａ．４－Ｙ＝２
离心率为５，
６－＝１， 对于双曲线
顶点坐标为（０，±４），渐近线方程为ｙ＝±ｇｘ，焦点坐标为（０，±５），
离心率为
因此，这两个双曲线有相同的渐近线， 故选：Ｂ．
４．如图，Ｆ？Ｆ？是双曲线Ｃ：ｘ２－弩＝１与椭圆Ｃ？的公共焦点，点Ａ是Ｃ？，Ｃ？在第一象限的公共点，若ＩＦ？Ｆ？Ｉ＝
ＩＦ？Ａ｜，则Ｃ？的短轴长为（ ） ｙＡ
ｌ：√３ｘ－ｙ＋１＝０平行，则双曲线Ｃ的标准方程为（ ）
Ａ． ｘ２－等＝１ Ｂ．琴－ｙ２＝１ ｃ．－路＝１
Ｄ．－２＝１
【答案】Ａ
【分析】利用已知条件求出ａ、ｂ、ｃ的值代入方程即可
【详解】由题意知
＝解得 ，故双曲线Ｃ的标准方程为ｘ２－＝１．
故选：Ａ．
２．与双曲线－ｙ２＝１有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（ ）
Ａ
Ｆ？ Ｏ Ｆ？ ｘ
Ａ． １
Ｂ． ２
张宇强化十八讲例题
张宇强化十八讲例题【原创版】目录1.张宇强化十八讲例题简介2.张宇强化十八讲例题的内容3.张宇强化十八讲例题的价值4.如何充分利用张宇强化十八讲例题正文【张宇强化十八讲例题简介】张宇强化十八讲例题是一套针对中国学生学习数学而设计的辅导教材。
它是由著名数学教育专家张宇教授结合多年的教学经验，针对数学学习中的重点、难点和考试要点精心编写而成的。
这套教材内容丰富，涵盖了中学数学的各个方面，旨在帮助学生巩固知识，提高解题能力，最终实现数学成绩的提升。
【张宇强化十八讲例题的内容】张宇强化十八讲例题共分为十八讲，每讲都围绕一个主题展开，内容包括：1.有理数与整式：有理数的概念、性质、运算，整式的概念、运算等；2.一元一次方程与不等式：一元一次方程的解法，一元一次不等式的解法等；3.几何图形：平面直角坐标系，直线与圆的方程，多边形、三角形、矩形、菱形等；4.函数与导数：函数的概念、性质、图像，导数的概念、计算、应用等；5.数列与极限：数列的概念、性质、求和，极限的概念、性质、计算等；6.微积分：微积分的概念、性质、应用，微分方程的概念、解法等；7.概率与统计：概率的概念、性质、计算，统计的概念、方法、应用等。
【张宇强化十八讲例题的价值】张宇强化十八讲例题具有很高的实用价值，它不仅可以作为学生的自学辅导教材，也可以作为教师的教学参考书。
通过学习这套教材，学生可以：1.系统地掌握中学数学的知识体系和解题方法；2.提高自己的逻辑思维能力和数学运算能力；3.增强自己的应试能力，提高数学考试成绩。
【如何充分利用张宇强化十八讲例题】要想充分利用张宇强化十八讲例题，建议学生采取以下方法：1.结合教材学习：在学习数学课程时，可以参考这套教材中的例题，加深对知识点的理解；2.系统地进行复习：在学期末或考试前，可以利用这套教材对自己的数学知识进行系统地复习；3.多做例题和习题：通过不断地做例题和习题，提高自己的解题能力和应试能力；4.及时总结和归纳：在学习过程中，要及时总结和归纳自己的学习心得和经验，形成自己的知识体系。
2013张宇讲座讲义
2013年张宇考研数学内部讲义————科学备战 决胜考研 【编者按】全国著名考研辅导专家 张宇老师简介【1】张宇博士是全国著名考研数学辅导专家，高数辅导第一人，考研数学“题源教学法”创始人，在北京、上海、长沙、南京、广州、济南、青岛、烟台、杭州等全国最大规模的考研辅导班授课。
他是教育部高等教育出版社、北京理工大学出版社、西安交通大学出版社等考研数学系列用书主编。
他编著的《考研数学高等数学18讲》等书在全国畅销，在上海创造3个小时销售800册以上的佳绩。
【2】张宇老师根据多年考研辅导的经验，总结出一套全国绝无仅有的独特数学教学方法，让学生能够轻松地认识数学、爱上数学、攻克数学。
其教学过程科学严谨、大气磅礴、高屋建瓴，却又贴近考生、风趣幽默、深入浅出。
让学生学到真正的数学概念、思想与方法，从而全面决胜考研数学。
“听张宇老师讲课，是一种真正的享受，回味无穷。
”—这是众多考生的心声。
【3】张宇老师全程答疑地址—新浪微博：/zhangyumaths【4】张宇老师郑重声明：在长沙市为启航考研独家授课。
◇张宇2013年考研数学辅导系列丛书◇《考研数学高等数学18讲》，张宇编著. 北京理工大学出版社《考研数学线性代数10讲》，张宇，姜晓千编著. 北京理工大学出版社《考研数学概率统计8讲》，张宇，张伟编著. 北京理工大学出版社《考研数学新复习全书》，张宇总主编.清华大学出版社《考研数学大纲解析》，教育部考试中心，张宇（高数部分）高等教育出版社 《考研数学命题规律探析与解题思路点拨》，张宇编著. 高等教育出版社《考研数学考试大纲配套试题解析》，张宇编著.高等教育出版社《考研数学题源探析经典1000题》，张宇主编. 北京理工大学出版社《考研数学历年真题分析与演练》， 张宇主编. 北京理工大学出版社《考研数学最后冲刺28招》， 张宇编著. 北京理工大学出版社《高等数学（同济六版）习题解析与考研指导》张宇总主编 北京邮电大学出版社第一讲 告诉你一个真正的考研数学当2011年1月16日8点30分开考铃声响起的时候，二零一零年考研数学的试卷终于露出她的庐山真面. 下面，请你认真跟着我看看试卷的第一题，我坚信，你能够从这个问题的详细分析中了解一个真正的考研数学. 我们开始.（一）从一个最新考题说起【2011年考研真题】已知当时，0x →()3sin sin 3f x x x =−与是等价无穷小，则（ ）k cx （A ） （B ） （C ）1,4k c ==1,4k c ==−3,4k c == （D ）3,4k c ==− 不管你是否已经忘记了函数极限计算的方法，请先浏览一下此题的解答，该题如果用洛必达法则求解如下：由题意，有细数一下，我们用了三次洛必达法则才得出了答案，这就是最新的一个考研数学题. 做完这个题，是不是就可以说我们了解了考研数学呢？远远不够. 且再看一题：【2009年考研真题】已知当时，0x →()sin f x x ax =−与是等价无穷小，则（ ）2()ln(1)g x x bx =−（A ）11,6a b ==− （B ）11,6a b == （C ）11,6a b =−=− （D ）11,6a b =−= 请你对比看，这两个题目何其相似！我们能不能从这两个几乎一样的题目中去寻找考研数学背后那“不以人的意志为转移的规律”呢？请注意下面的分析思路.以上的分析至少给了我们两个重要启发：（1）考研数学题是有规律可循的，且这种规律“不以人的意志为转移”，抓住这种规律，你就抓住了复习的方向；（2）考研数学题有“基础性”的解法（比如上面的洛必达法则）；也有“技术性”的解法（比如上面的泰勒公式），在把握“基础性”解法的条件下，掌握“技术性”解法，才能够技压群雄，稳操胜券.（二）考研数学复习的三种境界接着上一节的分析，我们以“用洛必达法则求函数的极限”为例，把大家在考研复习过程中对一个知识掌握的程度分成三种境界.第一种境界，叫“朦胧地感知”，感知（feeling ）往往是指当你复习到一个概念、公式或者结论时，只是形式上知道或者了解它而已. 比如，你了解到的洛必达法则是——在某种，也就是可以通过分子分母同时求导去解决，仅此而已. 举个例子， 00cos sin lim lim 11x x x x e x e x x →→−+=洛 这就解决问题了.第二种境界，叫“清晰地再现”， 再现（reappearance ）的前提是忠实于事实本身,不可以有任何的偏差和走样. 我们至少要达到这种境界，才有可能顺利通过考试. 继续研究洛必达法则，看个例子，如何计算201sinlim x x x x →⋅？如果我们只知道通过分子分母同时求导去解决，则20011sin2sin cos lim lim 1x x x x 1x x x x→→⋅⋅−= 右边这个极限是不存在的，所以得出结论201sin lim x x x x →⋅不存在. 这显然是错误的，因为事实上，根据“无穷小与有界量的积是无穷小”，则01sin lim 1sinlim 020=⋅=⋅→→xx x x x x x 是存在的.我们看到，如果使用洛必达法则，算出来是不存在；而事实上人家是存在的，怎么会出现矛盾呢？果)()(lim x F x f a x ′′→不存在也不为，是不能推出∞)()(lim x F x f a x →不存在也不为∞的，简单一点说就是：对于))((lim )()(x F x f x F x f a x a x ′′=→→lim，“右存在，则左存在；但左存在，并不意味着右一定存在”. 这是一个很细致，很隐蔽的问题，稍不注意就可能出错.看懂了这一段话，我们引入一个更为重要的问题，请回看本讲最开始2011年考研真题的解法：由03sin sin 3lim 1k x x x cx →−=，则 原式13003cos 3cos324lim lim 1(1)(2)k k x x x x ckx ck k k x −−→→−=−−洛洛洛 这里“=1”是没有依据的，你看出来了吗？于是，我们可以明确指出，虽然答案是对的，但是这个解法是错误的，如果是解答题，是会被严重扣分的.第三种境界，叫“灵活地融通”，融通（communicating and grasping thoroughly ），就是能够将各个方面的知识融会贯通，做好知识的串联和总结，形成一种强大的解题能力.这才是考研复习的最高境界.根据上面的分析，我们看出，洛必达法则并不一定是求解函数极限最好的办法，尤其对于含有未知参数或者抽象函数这样的研究对象（因为你不知道求导之后极限是否会存在）. 事实上，我们在复习完函数极限计算后，应该形成一个好的思路：对于 “A B ±”型的函数极限计算，首选的方法是——泰勒公式！根据前面的分析，当时，0x →()331sin 6x x x o x =−+，()()331336sin 3x x o x x =−+， 于是，()()()()()333313sin sin 333461336x o x x x o x x x x x o x ⎡⎤⎡⎤+−−+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦−=−33 则 0303sin sin 3lim lim 14kx x x x cx c x x →→−=k =，立即可得3,4k c ==. 对比洛必达法则看来，这是一个多么清爽的过程，多么给力的方法！请大家一定要比照自己，“对号入座”，在今后的复习中，时刻想到我们在这里归纳的三种境界，从而检验自己对问题的把握程度.（三）考研数学复习的方法根据考研数学的命题规律和同学们自身的特点，我们给出几个基本的复习方法：一、根据考试大纲要求，全面复习基础知识，达到“清晰地再现”；本书从第二讲开始的每一讲都在开篇给出了教育部考试中心《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》的考试内容和要求，请同学们准确把握这个大纲，通读本书的知识讲解，仔细耐心地全面复习，一定要做到：忠实于数学事实本身，无偏差，不走样，这是整个复习的基石，来不得半点马虎. 开始起步可能会慢一些，困难多一些，这都没关系，万事开头难，只要保持好心态，持之以恒，就会越走越顺，越来越快.二、通过知识的复习和题目的练习，形成知识结构，达到“灵活地融通”；数学知识的理解，是要通过大量经典题目的练习来实现的. 所以，在读完知识后，要做一些好的精彩的题目，本书的典型例题分析和精制习题训练就起到了这个作用，都是精心编写、挑选的，能够帮助大家好好理解消化知识. 更重要地是通过这些题目的操练，我们要多思考，多总结，形成优秀的知识结构.本书在讲解过程中给出了高等数学中几乎所有的知识结构，但还是希望大家自己做有心人，努力地去理解，把握，修正，甚至改变我们给大家提供的已有的知识结构.三、紧紧抓住真题，多做知识的串联真题是教育部考试中心一届又一届命题组的老师们集体智慧的结晶，题目既精彩，又经典，有规律可循，举例如下：① 1996年考了一个大题：设变换可把方程⎩⎨⎧+=−=,,2ay x v y x u 0622222=∂∂−∂∂∂+∂∂y z y x z x z 简化为02=∂∂∂vu z ，求常数a ； ② 在时隔14年的2010年，又考了一个大题：设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数，且满足等式222224125u u u x x y y∂∂∂++∂∂∂∂0=，确定的值，使等式在变换,a b ,x ay x by ζη=+=+下简化为20u ζη∂=∂∂. 你看到了吗？这不是同一个问题么？这种例子不一而足.四、紧紧抓住大纲，但绝不拘泥于大纲考试大纲是官方文件，是法定文件，命题必须在考试大纲要求的范围内. 但是，这并不意味着我们的复习过程中“不可越雷池一步”，我们始终认为，要想战胜考研，你的知识集合必须包含考研的知识集合（当然这个复习范围的尺度要我们把握好），如果你和考研的知识集合是相等的，势均力敌，是很难战胜考研的. 举个例子给大家看.在数学上有个著名的不等式，叫做Young 不等式（杨氏不等式），即设110,0,0,0,1x y p q p q >>>>+=，则p qx y xy p q≤+. 在考研题中，就出过这样一个大题：设q p ,是大于1的常数，且111=+q p ，证明0>∀x ，都有.11x qx p p ≥+ 本题就是杨氏不等式的一个特殊情况，即1y =且q p ,均大于1，所以本题可以根据杨氏不等式的证明方法，并令即可证得. 此种例子也有很多.1y =本书在该方面作了很好地处理，紧扣大纲，掌握好范围和难易的尺度，把问题的内涵和外延彻底讲清楚，一切目的都是为了让同学们学懂学透，从而驾驭考试.五、紧紧抓住近几年高等数学考试的特点这几年，高等数学考试出现了一些值得注意的特点：（1）高等数学试题的难度明显高于线性代数和概率论与数理统计试题的难度；（2）高等数学坚持重点内容重点考，侧重于一元微积分的考查；（3）命题组命制的数学一、二、三三套试卷，共用题的比例逐年提高，且经典问题在不同的年份可能出现在不同的试卷上，比如几年前数学一的考题，稍加改造就成为了今年数学三的考题；把握以上特点，大家要高度重视高等数学的复习，给出足够的复习时间，且加强对于一元微积分复习的力度.（四）考研数学的卷种和试卷结构（一）数学一、三 考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构高等教学 56％（82分）线性代数 22%（34分）概率论与数理统计22％（34分）四、试卷题型结构试卷题型结构为：单选题8小题，每题4分，共32分填空题6小题，每题4分，共24分解答题（包括证明题）9小题，共94分（二）数学二 考试科目：高等数学、线性代数考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构高等教学 78％（116分）线性代数 22% （34分）四、试卷题型结构试卷题型结构为：单选题8小题，每题4分，共32分填空题6小题，每题4分，共24分解答题（包括证明题）9小题，共94分【注】考非数学专业学校自主命题的考研数学的高数（甲）、（乙），或者高数（A）、（B）等的同学，你们的考试大纲与教育部考试中心的全国统考考研数学高度一致，你可针对自己的具体问题发你所报考学校的数学考试大纲或者历年真题给我，我给你参考一下（邮箱：zhangyukyfd@）。
考研公共课参考书最全解读
考研公共课参考书最全解读对于刚开始备考的你们来说，很多⼩伙伴不知道买哪种参考书，今天我们的重点就是「参考书推荐」，今天所推图书都是历年⼝碑很赞的书籍，也是幸福哥根据历年考研学⼦⽤书反馈及⾃⼰的亲⾝经历精⼼编制，希望对⼤家的复习有所帮助。
没有任何书籍是⼗全⼗美且适合所有⼈的，所以，也会把书籍的⼀些优缺点简单罗列，具体书籍内部排版和书籍样式可以去书店或某宝查看，适合⾃⼰的就是最好的。
考研数学对于刚开始备考的你来说，对数学的知识点会有⼀些陌⽣了，如果直接买名师复习全书系列可能会感觉有点吃⼒，所以，数学第⼀轮的复习，往往是要过两遍教材，同时⼲掉配套习题，之后，我们再开始⽤名师系列书籍，会更容易上⼿，所以，我们先给⼤家推荐「教材」，后推荐「名师系列」。
⼀、教材⾼等数学：同济七版「上下册」线性代数：同济六版「共⼀本」线性代数：浙⼤四版「共⼀本」官⽅指定教材，推荐⽤这套。
如果你们学校⾃⼰出教材，要核对知识点是否有删减，⽆删减可⽤，有删减不⽤。
⼆、名师版本李永乐系列：◆《考研数学复习全书》「厚厚的⼀本」◆《线性代数辅导讲义》「李永乐⽼师精华之作，超越全书」◆《数学基础过关660题》「答案+解析2本」◆《考研数学历年真题权威解析》◆《决胜冲刺6+2》「预测系列」✔推荐指数：☆☆☆☆☆，660题⾮常经典，难度略⼤，如果不⽤李永乐全套，也建议买⼀本，放到暑假练⼿。
张宇系列：◆《张宇带你学》「教材」◆《⾼等数学18讲》+《线性代数9讲》+《概率统计9讲》「知识点精讲」◆《张宇考研数学题源探析经典1000题》「习题集」◆《张宇考研数学真题⼤全解》「真题集」◆《张宇考研数学闭关修炼⼀百⼋⼗题》「经典好题」◆《考研数学命题⼈终极预测8套卷》「预测系列」◆《张宇考研数学最后4套卷》「预测系列」✔如果听张宇课的同学，可以买他的系列，因为张宇带你学、36讲等都是有配套增值课程的，更有助于基础⼀般的同学复习。
汤家凤系列：◆《考研数学复习⼤全》「厚厚的⼀本」◆《⾼等数学辅导讲义》「⽐复习⼤全更细」◆《线性代数辅导讲义》「⽐复习⼤全更细」◆《概率统计辅导讲义》「⽐复习⼤全更细」◆《接⼒题典1800题》「答案+解析2本」◆《绝对考场⼋套卷》「预测系列」✔1800题分为基础和提⾼两个部分，⼤家可以⽤于基础训练和强化训练使⽤，1800个题⽬，全年来看，⾜够了，之后再拿真题辅助。
高昆轮《张宇考研数学命题人终极预测8套卷》精讲精解
A A E; A E
B A E; A E
1
C A E; A E
D A E; A E
T
设A, B是n阶可逆矩阵, 满足AB A B, 则下列关系中不正确的是
A A B
A B
B AB
A 21 +a 2 3 B 21 +3 2 2a3 C a1 + 2 2 3 D 31 2a 2 3
1 有唯一解 设A是3阶矩阵, A 1, a11 1, aij Aij , Aij 是A中元素aij的代数余子式, 则非齐次线性方程组Ax 0 0 0 A1, 0，
五、特征值与特征向量（特征值与特征向量的定义；相似对角化；实对称）
设A是3阶不可逆矩阵, , 是线性无关的3维列向量, 满足 A , A , 则A =
0 设A是3阶矩阵, Ax 0有通解k11 k2 2 , A3 =3 , 则存在可逆矩阵P, 使得P 1 AP 0 A1 , 2 , 1 3 B 2 , 3 , 1 C 1 2 , 2 , 23 D 1 2 , 2 3 , 3
C 12 r 16
D r 16
设A是3阶方阵，有3个特征值0,1,1，且不能对角化，则r E A r A
4 0 4 A B 1 4 0 , 则r 2 E A 0 1 3
三、向量组（相关；表出；秩）
A, B都是2 4的矩阵, 其中 Ax 0有基础解系1 1,1, 2,1 , 2 0, 3,1, 0
T T T T
2020张宇数学1000题讲解高昆仑
2020张宇数学1000题讲解高昆仑《张宇数学1000题》是众多考研学子在备考过程中必备的复习资料之一。
高昆仑老师对2020版张宇数学1000题的讲解深入浅出，帮助考生更好地理解和掌握解题技巧。
本文将针对2020张宇数学1000题，为大家详细讲解高昆仑老师的相关内容。
一、高昆仑简介高昆仑老师是我国著名考研数学辅导专家，具有丰富的教学经验和独特的教学方法。
他主讲的高等数学、线性代数、概率论与数理统计等课程，深受广大考生的喜爱。
二、2020张宇数学1000题特点1.题目新颖：2020版张宇数学1000题在题目设置上更加贴近真题，涵盖了考研数学的各个知识点，有助于考生全面复习。
2.难度适中：本书题目难度适中，既包含了基础题目，也涵盖了部分难题，适合不同层次的考生使用。
3.解题思路清晰：高昆仑老师对每个题目都进行了详细讲解，让考生掌握解题思路，提高解题能力。
三、高昆仑讲解亮点1.知识点梳理：高昆仑老师针对每个题目，都会先梳理相关知识点，帮助考生巩固基础。
2.解题技巧传授：高昆仑老师擅长总结解题技巧，让考生在短时间内掌握解题方法，提高解题速度。
3.误区提醒：在讲解过程中，高昆仑老师会提醒考生容易犯错的点，避免类似错误在考试中再次出现。
四、学习方法建议1.制定学习计划：考生在使用2020张宇数学1000题时，应结合自身情况制定学习计划，确保每个知识点都得到充分复习。
2.做题与总结：做题过程中，要注意总结解题思路和技巧，对于不会的题目，要及时查找资料或请教老师。
3.反复练习：考研数学需要大量的练习，通过反复做题，提高解题速度和正确率。
总结：2020张宇数学1000题讲解高昆仑，为广大考研学子提供了一个宝贵的复习资源。
希望考生们能够充分利用这一资源，结合高昆仑老师的讲解，不断提高自己的数学水平，为考研成功奠定坚实基础。
2015考研数学高等数学18讲
2015考研数学高等数学18讲一、介绍2015年考研数学高等数学18讲是为备战考研的学子准备的一套高等数学复习资料。
本套资料由资深数学教师精心编写而成，旨在帮助考生系统复习数学高等数学知识，帮助他们顺利通过考研数学高等数学的考试。
二、内容1. 高等数学的基础知识回顾1.1 高等数学的基本概念与原理1.2 常见函数及其性质1.3 极限与连续性1.4 导数与微分1.5 微分中值定理与泰勒公式1.6 不定积分与定积分1.7 定积分的应用2. 多元函数与偏导数2.1 多元函数的概念与性质2.2 偏导数与全微分2.3 多元函数的极值与条件极值 2.4 隐函数与参数方程2.5 多元函数的泰勒公式3. 重积分与曲线曲面积分3.1 重积分的概念与性质3.2 极坐标与球坐标3.3 曲线积分3.4 曲面积分3.5 矢量分析与梯度散度4. 级数与常微分方程4.1 级数的审敛法4.2 幂级数4.3 常微分方程的基本概念与解法 4.4 齐次与非齐次线性微分方程 4.5 常系数线性微分方程5. 特殊函数与傅立叶级数5.1 伯努利函数与欧拉函数5.2 Gamma函数与Beta函数 5.3 超几何级数5.4 傅立叶级数6. 偏微分方程6.1 偏微分方程的基本概念与分类 6.2 常见偏微分方程及求解方法 6.3 边值问题与特解问题6.4 热传导方程与波动方程6.5 拉普拉斯方程与调和函数7. 曲线积分与曲面积分7.1 曲线积分的基本概念与性质 7.2 曲线积分的计算方法7.3 曲面积分的概念与性质7.4 曲面积分的计算方法7.5 斯托克斯公式与高斯公式8. 整数与周期函数8.1 整数的基本概念与性质8.2 整数的唯一分解定理8.3 整数的应用8.4 周期函数的基本概念与性质 8.5 周期函数的傅立叶级数展开9. 数理统计与概率论9.1 随机事件与概率9.2 随机变量与分布函数9.3 数理统计的基本概念与原理9.4 参数估计与假设检验9.5 方差分析与回归分析10. 多元统计分析10.1 多元随机变量与多元正态分布10.2 多元统计分析的基本概念与性质10.3 多元统计分析的推断方法10.4 主成分分析与聚类分析10.5 因子分析与判别分析11. 随机变量的函数分布11.1 随机变量函数的概念与性质11.2 随机变量函数的概率密度函数与分布函数 11.3 随机变量函数的特性函数11.4 随机变量函数的应用12. 大数定律与中心极限定理12.1 大数定律的基本概念与证明12.2 大数定律的应用12.3 中心极限定理的基本概念与证明12.4 中心极限定理的应用13. 数学分析的基本概念与原理13.1 数学分析的历史与发展13.2 实数系与实数的连续性13.3 函数的极限与连续性13.4 级数的审敛法13.5 函数的一致收敛性与连续性14. 微分方程的基本概念与分类14.1 微分方程的基本概念与性质14.2 常见微分方程的分类及解法14.3 一阶线性微分方程14.4 高阶线性微分方程与常系数齐次线性微分方程 14.5 非齐次线性微分方程15. 积分学的基本概念与性质15.1 不定积分与定积分的基本概念15.2 微积分基本定理与定积分的计算方法15.3 定积分的应用15.4 曲线积分与曲面积分15.5 微分方程中的积分学16. 概率论的基本概念与性质16.1 随机事件与概率的基本概念16.2 随机变量与分布函数16.3 数理统计的基本概念与原理16.4 参数估计与假设检验16.5 方差分析与回归分析17. 统计学的基本概念与原理17.1 统计学的基本概念与分类17.2 数理统计的基本概念与原理17.3 参数估计与假设检验17.4 方差分析与回归分析17.5 多元统计分析的基本概念与方法18. 数学实例与习题分析18.1 典型例题的解析与讲解18.2 历年考研数学高等数学真题讲解18.3 多种类型典型习题的分析与解答18.4 考研数学高等数学常见解题技巧与答题技巧三、优势1. 专家团队打造：本套资料由资深数学教师组成的专家团队精心打造，教学经验丰富，对考研数学高等数学的考试要求了解透彻。
考研公共课参考书目
考研公共课参考书目考研公共课参考书目(一)数学《数学复习全书》李永乐等《数学历年真题解析》李永乐等《数学基础过关660题》李永乐等《线性代数辅导讲义》李永乐等《全真模拟经典400题》李永乐李正元《高等数学》同济大学数学系《线性代数》同济大学数学系《概率论与数理统计》浙江大学盛骤等《高数18讲》张宇《数学决胜冲刺6+2》李永乐等《数学复习全书》李永乐等《数学历年真题解析》李永乐等《数学基础过关660题》李永乐等《高数18讲》张宇《终极预测最后八套卷》张宇《最后四套卷》张宇《接力题典1800题》汤家凤《概率论与数理统计》浙江大学盛骤等《高等数学》同济大学数学系《线性代数》同济大学数学系《数学复习全书》李永乐等《数学历年真题解析》李永乐等《数学基础过关660题》李永乐等《概率论与数理统计》浙江大学盛骤等《高等数学》同济大学数学系《高数18讲》张宇《线性代数》浙江大学《全真模拟经典400题》李永乐李正元《线性代数讲义》李永乐《线性代数》同济大学数学系声明：上面书单仅是供大家参考，建议买最新版本考研公共课参考书目(二)英语张剑黄皮书系列张剑考研英语写作高分攻略何凯文考研英语阅读思路解析何凯文新东方考研单词(红宝书、绿宝书) 新东方刘一男考研词汇5500词刘一男考研英语历年真题超精解丁晓钟考研英语高分写作王江涛考研英语历年真题详解及复习指南新东方陈正康辅导书系列陈正康王江涛写作辅导系列王江涛蒋军虎系列蒋军虎张剑黄皮书系列张剑等新东方单词(红宝书、绿皮书) 新东方高教版的阅读理解150篇高教版张剑曾鸣等考研英语高分写作王江涛考研英语历年真题超精解丁晓钟考研英语高分写作王江涛星火单词系列马德高陈正康辅导书系列陈正康华研巅峰阅读120篇叶常青声明：上面书单仅是供大家参考，建议买最新版本考研公共课参考书目(三)政治《20XX考研政治命题人终极预测4套卷》肖秀荣《20XX考研政治命题人1000题》肖秀荣《20XX考研政治命题人冲刺8套卷》肖秀荣《教育部的研究生考试大纲解析》教育部考试中心《20XX考研政治命题人知识点精讲精练》肖秀荣《考研政治命题人知识点提要》肖秀荣《政治命题人形势与政策》肖秀荣风中劲草辅导书系列风中劲草《政治命题人考点预测》肖秀荣《任汝芬最后四套题》任汝芬声明：上面书单仅是供大家参考，建议买最新版本。
第18讲 等差数列及其求和(讲义)-2023年高考一轮复习精讲精练必备
第18讲等差数列及其求和学校____________姓名____________班级____________一、知识梳理1.等差数列的概念(1)定义：一般地，如果数列{a n}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即a n＋1－a n＝d恒成立，则称{a n}为等差数列.其中d称为等差数列的公差.数学语言表达式：a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数).(2)等差中项：①如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，A＝x＋y 2.②推广：若{a n}为等差数列，则2a n－1＝a n＋a n－2(n≥3，n∈N＋)成立.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为a n＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：S n＝na1＋n（n－1）d2＝n（a1＋a n）2.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a k＋a l＝a m＋a n.(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.(4)若S n为等差数列{a n}的前n项和，则数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)若S n为等差数列{a n}的前n.(6)若等差数列的项数为2n(n∈N＋)时，则S2n＝n(a n＋a n＋1)，且S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝a n a n＋1.(7)若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)时，则S2n－1＝(2n－1)a n，且S奇－S偶＝a n，S奇＝na n，S偶＝(n－1)a n，S奇S偶＝n n－1.二、考点和典型例题1、等差数列的基本运算【典例1-1】（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知正项等比数列{}n a 首项为1，且5344,,2a a a 成等差数列，则{}n a 前6项和为（）A ．31B ．3132C ．6332D ．63【典例1-2】（2022·北京育才学校模拟预测）设{}n a 是等差数列，且1ln 2a =，235ln 2a a +=，则12e e e n a a a ++⋅⋅⋅+=（）A ．2nB ．22n n+C ．2nD ．122n +-【典例1-3】（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（）A ．10B ．14C ．23D ．26【典例1-4】（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()9353m S a a a =++，则m =（）A ．9B ．8C ．7D ．6【典例1-5】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若12443S S S =+，55a =，则10a =（）A ．3B ．7C ．11D ．15【典例1-6】（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））在等差数列{}n a 中，35a =，1511109a a +=，则15a a ⋅=（）A ．92B ．9C ．10D ．122、等差数列的判定与证明【典例2-1】（2022·安徽·高二阶段练习）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足200S >，210S <，则下列结论正确的是（）A ．数列{}n a 为单增数列B ．数列{}n a 为单减数列C ．对任意正整数n ，都有10n a a ≥D ．对任意正整数n ，都有11n a a ≥【典例2-2】（2022·辽宁实验中学高二期中）已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，则下列结论正确的是（）A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．数列2n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列C ．()9633S S S =-D ．若公差0d >，且5835a a =，则当12n =时，n S 取得最小值【典例2-3】（2022·湖北·高二阶段练习）已知数列{}n a 满足11a =，1122n nn nn a a a ++=+（n +∈N ）.(1)求证数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；(2)设()1n n b n n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【典例2-4】（2021·河北保定·高二期中）已知数列{}n a 满足()()111,121n n a na n a n n +==+++，设nn a b n=．(1)判断数列{}n b 是否为等差数列，并说明理由；(2)若n a 是数列{}n c 的前n 项和，求{}n c 的通项公式．【典例2-5】（2018·河南洛阳·一模（理））已知数列{}n a 满足11a =，1120n n n n a a a a +++-=，数列{}n b 满足12n n nb a =.（1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列{}n b 的前n 项和n S .3、等差数列的性质及应用【典例3-1】（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长12345,,,,a a a a a (单位:cm)成等差数列，对应的宽为12345,,,,b b b b b (单位:cm),且长与宽之比都相等，已知1288a =，596=a ，1192b =，则3b =A ．64B ．96C ．128D ．160【典例3-2】（2007·辽宁·高考真题（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（）A ．63B ．36C ．45D ．27【典例3-3】（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【典例3-4】（2022·福建·厦门双十中学模拟预测）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知19a =，2a 为整数，且5n S S ≤.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【典例3-5】（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知数列{n a }为等差数列，23a =，1453a a =，数列{n b }的前n 项和为n S ，且满足231n n S b =-．(1)求{n a }和{n b }的通项公式；(2)若n n n c a b =⋅，数列{n c }的前n 项和为n T ，且()31nn n T n m -⋅-<⋅对n *∈N 恒成立，求实数m 的取值范围。
2023张宇18讲出了吗
2023张宇18讲出了吗高数18讲每年什么时候出？在6月份出，2023已经出了。
《张宇高等数学18讲》是由考研名师张宇编写的考研数学教材，本书按大纲常考知识点分为18讲内容，且全书内容均为张宇老师亲自独立编写完成，故书名称为《张宇高等数学18讲》。
每一讲又分四个模块：考纲要求、内容精讲、例题精解和习题精练。
有人知道张宇的高数18讲怎么样吗？我说说我自己的经历，是七月份开始准备考研的，时间紧，当时只看的18讲，没有用复习全书。
高数部分，第一遍我是先看张宇基础视频，再过18讲，接着是做1000题A组题。
第二遍我是看张宇强化视频，还是会再过一遍18讲，接着做1000题B组题。
因为没有看过课本，总体感觉是有点吃力。
但是坚持下来，高数还是有明显的提高。
所以，你数学功底还不错并且也能坚持下来，18讲还可以考虑的~张宇数学图书使用顺序.（1月-3月）图书：课本为主。
对于基础较差的同学（我），建议是早复习、补基础，从课本开始，先不要动辅导书，我是大三上就开始考研数学的复习。
课本推荐同济版高数和线代，浙大版的概率论与数理统计。
这基本都是工科大学好多年不变的经典数学教材，里面的整个知识体系的安排和课后习题都很合适，课本上出现的概念、例题都要搞清楚。
切忌做无用功，初期不要求快。
2.（4月-6月）图书：张宇高等数学18讲+线代9讲+概率论9讲这一阶段按个人情况而定，若是课本没完成可适当调整，也不要急于进入这个阶段。
这个阶段我用的图书是张宇系列的36讲，看过一遍教材以后再看36讲，给我的感觉就是查漏补缺、巩固提高、如虎添翼，就是进一步打牢基础。
张宇36讲相较于教材而言，在整个考研数学的梳理上更加系统性，课本的知识体系是没问题的，但是并不是完全按考研数学的节奏，而张宇36讲是按考研节奏编排，更有利于你对考研整体的把握。
数学科目，无论你基础打得再好，没有大量习题的练习也是徒劳的。
但是做题不是目的，要通过做题有所收获，一方面大量的习题练习能帮助你查漏补缺，遇到不熟、不会的知识点马上查课本，搞懂搞会，另一方面，做题中出现的错误要及时梳理，要清楚做错的原因，下不为例。
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四、多元函数微分学
主要内容：连续、偏导、可微等基本概念，复合函数与隐函数的一二阶偏导数，极值与最值.
例1 设()1,,z
x f x y z y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则()1,1
,1df = （dx dy -）
例2设()(),,f x y x y x y ϕ=-，()(),0,0x y ϕ在点连续，则()0,00=ϕ是函数
()()(),0,0f x y 在点可微的条件
()A 充分非必要 ()B 必要非充分 ()C 充分必要 ()D 既非充分也非必要
例3()(),,,,,.x y z u f x y z z z x y xe ye ze du ==-=设有连续偏导数且由方程所确定求
（1111x z y z x z y z x y du f f e dx f f e dy z z --++⎛⎫⎛
⎫''''=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
）
例4 (),z z x y =已知函数满足2
22z z x y z x y ∂∂+=∂∂，又设1111
,,u x v x y z x
ω==-=-， (),,0u v u
ωωω∂=∂对函数=求证:
例5设函数(),z f x y =在点()1,1处可微，且()()()1,11,1,12,1,13x y f f f ''===， ()()(),,x f x f x x ϕ=，求
()3
1
x d x dx
ϕ= （51）
例 6 设(),z f x y =是由222
6102180=x x y y y z
z -+--+确定的函数，求
(),z f x y =的极值点与极值.
（()()9,33;9,33z z =--=-极小值极大值）
例7 设(),f x y 在()0,0点连续，且()2200
,1
lim
2
x y f x y xy a x y →→-=>+，试讨论()0,0f
(),f x y 是否是的极值？是极大值还是极小值？
例8 设()()12,f x f x 是连续可微函数，对于表达式()()12yf xy dx xf xy dy +， （1）若它是某二元函数(),u x y 的全微分，求()()12f x f x -； （2）若()x ϕ是()1f x 的一个原函数，求二元函数(),u x y .
()()()1
1211,c f x f x c x
-=是任意常数，
()()()12122,ln ,u x y xy c y c c c ϕ=-+和是任意常数
五、二重积分
主要内容：计算二重积分（直角坐标、极坐标、对称性），累次
积分交换次序及计算，二重积分的证明题.
例1 交换积分次序()220
,x
x
dx f x y dy ⎰⎰=
例
2 1
dy =⎰
⎰
例
3
1
22
1x
x y
dx dy x y
-+=+⎰
例3 设闭区域()22:,0,,D x y y x f x y +≤≥为D 上的连续函数，且
(
)()8
,,D
f x y f u v dudv π
=⎰⎰，求(),f x y
例4 计算()
222,:22D
x y dxdt D x y x y ++≤+⎰⎰其中
例5 设1111,cos cos ,sin sin 4242D r r r θ
θθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭，求1
D
dxdy xy ⎰⎰
例6 设()f t 是连续函数，求证()()()A
A
D
f x y dxdy f t A t dt --=-⎰⎰⎰
，其中
,22
A A
x y ≤≤，A 是正的常数.
例7 （1）设(){},,D x y a x b c y d =≤≤≤≤，若xy yx f f ''''与在D 上连续，证明：
()(),,xy
yx
D
D
f x y dxdy f x y dxdy ''''=⎰⎰⎰⎰
（2）设D 为xoy 面上的区域，若xy yx f f ''''与都在D 上连续，证明：xy
yx f f ''''与 在D 上相等.。