20-附表六常用分布函数.doc
分布函数
如 P { X ∈ ( a, b]} = P { X ∈ ( −∞ , b]} − P { X ∈ ( −∞ , a]}
= P { X ≤ b} − P { X ≤ a} = F (b) − F (a)
xk ≤ x
∑p ,
k
1 , − 1 ≤ x < 2, 4 即 F ( x) = 3 , 2 ≤ x < 3, 4 1, x ≥ 3.
x < −1, 0, P { X = −1}, − 1 ≤ x < 2, 得 F ( x) = P { X = −1} + P{ X = 2}, 2 ≤ x < 3, 1, x ≥ 3. 0, x < −1, F ( x)
a b
3. 例题Байду номын сангаас解
例1
设随机变量 X 的分布律为
X −1 2 3
pk
1 4
1 2
1 4
1 3 5 求 X 的分布函数 , 并求 P{ X ≤ }, P{ < X ≤ }, 2 2 2 P{ 2 ≤ X ≤ 3}. 解 由于 X 仅在 x = −1, 2, 3 处概率不为 0, 且
F ( x ) = P { X ≤ x } =
4. 小结
1.离散型随机变量分布律与分布函数的关系 离散型随机变量分布律与分布函数的关系 pk = P{ X = xk } 分布律 分布函数
F( x) = P{X ≤ x} =
∑ pk x ≤x
k
2. 连续型随机变量
F ( x ) = P{ X ≤ x } = ∫
x
常用分布函数
1常用分布函数11常用分布函数1.1均匀分布X∼U(a,b)U(x|a,b)=xa1b−adt(a≤x≤b),其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=a+b 2Var(X)=(b−a)2121.2正态分布X∼N(µ,σ2)标准正态分布X∼N(0,1)：Φ(x)=x−∞φ(t)dt=1√2πx−∞e−t22dt其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=0Var(X)=1正态分布X∼N(µ,σ2)：F(x)=x−∞f(t)dt=1√2πσ2x−∞e−(t−µ)22σ2dt其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=µVar(X)=σ21常用分布函数2 1.3指数分布X∼e(µ,λ)E(x|µ,λ)=xµλe−λ(t−µ)dt(x≥µ)其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=µ+1λVar(X)=1λ21.4Gamma分布X∼Γ(a,b)G(x|a,b)=b aΓ(a)xt a−1e−bt dt(a>0,b>0;x≥0)其中，Γ(a)为Gamma函数：Γ(a)= ∞t a−1e−t dt,且期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=a bVar(X)=a b21.5Beta分布X∼β(a,b)I x(a,b)=1B(a,b)xt a−1(1−t)b−1dt其中，B(a,b)为Beta函数：B(a,b)=1t a−1(1−t)b−1dt=B(b,a)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)1.6χ2分布X∼χ2(n)H(x|n)=12n2Γn2(n为正整数;x>0)其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=nVar(X)=2n1常用分布函数3 1.7t分布X∼t(n)T(x|n)=1√nB12,n2X−∞1+t2n−n+12dt(n为正整数;−∞<x<∞),其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=0(n>1时),Var(X)=nn−2(n>2时).1.8F分布X∼F(m,n)F(x|m,n)=mnm2Bm2,n2xt m2−11+mtn−m+n2dt (n,n为正整数;x>0),其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=nn−2(n>2),Var(X)=2n2(m+n−2)m(n−2)2(n−4)(n>4).。
分布函数及其基本性质ppt课件
0, x 1
F
(x)
0.2,1
0.7,2
x2 x4
，
1, x 4
(1)
求 P(X
3)
,
P(
1 2
X
3) 及 P(X
2)
;
(2) 求 X 的分布律.
解 (1) P (X3 )F (3 )0 .7
P(1 X 3) F(3)F(1)0.70.20.5
2
2
.
P (X 2 ) 1 P (X 2 ) 1 P (X 2 ) P (X 2 )
1 F ( 2 ) F ( 2 0 ) F ( 2 0 )
1 0 .7 0 .5 0 .8
(2) 由于 P(X X 0 ) F(x0 0) F(x0 0) ,可得
P (X 1 ) 0 .2 0 0 .2 ,
P (X 2 ) 0 .7 0 .2 0 .5 ,
P (X 4 ) 1 0 .7 0 .3
或者
F()limF(x)0 x
不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是随机变量的 分布函数.
.
例 在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标. 设这个质点落在 [0, a]中任意小区间内的概率与这个小区间的 长度成正比，试求 X 的分布函数.
解：设 F(x) 为 X 的分布函数， 0
F(x)
1
1 2
12
16
O
13
O
16
O
0
1
2
x
.
已知 X 的分布律为
X 1 0 1 2 求X的分布函数，
1 1 1 1 并画出它的图形。
P 2 3 12 12
0
(x 1)
分布函数
5 2 5 F P X 2 3 2
5 1 5 1 21 1 P X F F 2 2 2 2 3 6 2
12
X为离散型随机变量分布函数 F x 与概率函数
pk 的关系。
设离散型X 的分布列是
X pk
x1 p1
x 2 xk xn p2 pk pn
k 1, 2, 3,
xk x k
F x
P X xk pk
xk x k
p P X x
由于 F x 是X 取 x 的诸值 k x 的概率之和，故又称
F x 为累积概率函数.
F x 的定义域：
,
10
X pk
1 1 6
2 1 2
3 1 3
x 1 0 1 / 6 1 x 2 F ( x) 2/3 2 x 3 1 x3
13
O
分布函数图形
F (x )
1
1 2
O
16
1
O
12 13 16
0
1
2
3
x
F 不难看出， x 的图形是阶梯状的图形，在 x 1, 2, 3
且右连续。 处有跳跃，
11
分布函数
x 1 0 1 / 6 1 x 2 F x P X x 2/3 2 x 3 1 x3
对应规律： 函数值 F(x) 取落在 , x 上的概率值。
由此例可见：
1 1 1 F P X 2 6 2
13
F x 为累积概率函数.
F x 1
pk p3
分布函数
分布函数分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）是概率统计中重要的函数，正是通过它，可用的方法来研究随机变量。
1.伯努利分布伯努利分布(Bernoulli distribution)又叫做两点分布或者0-1分布，是一个离散型概率分布，若伯努利实验成功，则伯努利随机变量取值为1，如果失败，则伯努利随机变量取值为0。
并记成功的概率为p，那么失败的概率就是1p-，概率p p-，则数学期望为p，方差为(1)密度函数为2.二项分布二项分布即重复n次独立的。
在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。
假设每次试验的成功概率为p，则二项分布的密度函数为：二项分布函数的数学期望为np，方差为(1)X B n p。
概率密度分布图如下所np p-，记为~(,)示。
3.正态分布正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），若X服从一个为μ、为σ2的高斯分布，记为：X~N(μ,σ2),则其为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。
分布曲线特征：图形特征集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。
均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。
即频率的总和为100%。
关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
常用统计分布(ppt文档可编辑修改)
x2
e 2 dx
3
D(Xi2 ) 3 1 2, i 1, 2, , n.
故 E( 2 ) E n Xi2 n E( Xi2 ) n,
i1
i1
D( 2 ) D n Xi2 n D( Xi2 ) 2n.
t 分布具有下列性质：
性质5.6 设 T ~ t(n) , 则当n 2 时有
E(T ) 0 D(T ) n
n2
性质5.7 设 T ~ t(n) ，p(t) 是T的分布密度，
则
lim p(t)
1
t2
e2
n
2
此性质说明，当 n 时，T分布的极限
分布是标准正态分布。
例2
2
近似
~
N
(n,2n).
2n
例1
设X
1
,
X
2
,,
X
为
6
来
自
正
态
总
体N
(0,1)的
一
组
样
本,
求C1
,
C
使
2
得
Y C1( X1 X 2 )2 C2( X 3 X4 X5 X6 )2
服 从 2分 布.
解
X1
X2
~
N (0,2), 则
X1
X2 2
~
N (0,1)
同理
X3 X4
性质2 ( 2分布的数学期望和方差) 若 2 ~ 2(n), 则 E( 2 ) n, D( 2 ) 2n.
证明 因为 Xi ~ N (0, 1), 所以 E( Xi2 ) D( Xi ) 1,
分布函数值
函数说明 Beta分布 二项分布 卡方分布 指数分布 F分布 GAMMA分布 几何分布 正态分布 泊松分布 T分布 均匀分布
2
例如二项分布：设一次试验，事件A发生的概率 为p，那么，在n次独立重复试验中，事件A恰好发 生K次的概率P_K为：
P_K=P{X=K}=pdf('bino'，K，n，p) 例 计算正态分布N（0，1）的随机变量X在点 0.6578的密度函数值。 pdf('norm',0.6578,0,1) ans = 0.3213 例 自由度为8的卡方分布，在点2.18处的密度 函数值。
pdf('chi2',2.18,8) ans = 0.0363
3
6.1.2 专用函数计算概率密度函数值
（1）二项分布的概率值 binopdf (k, n, p) p — 每次试验事件A发生的概率；K—事件
A发生K次；n—试验总次数 （2）泊松分布的概率值 poisspdf(k, Lambda) （3）正态分布的概率值 normpdf(K,mu,sigma) %计算参数为μ=mu，σ=sigma的正态分布密
参数为mu，sigma的正态分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
自由度为n的卡方分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
自由度为n的t分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布累积 分布函数值
分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
tcdf(x, n)
fcdf(x, n1, n2) gamcdf(x, a, b) betacdf(x, a, b)
注
释
[a,b]上均匀分布(连续)累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
概率统计分布表格(常用)
标准正态表0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.81330.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.83891.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.97061.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.97672.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.98572.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.99812.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.99863.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.99993.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.00009 1.7349 2.0879 2.7004 3.3251 4.1682 5.8988 11.3888 14.6837 16.9190 19.0228 21.6660 23.589410 2.1559 2.5582 3.2470 3.9403 4.8652 6.7372 12.5489 15.9872 18.3070 20.4832 23.2093 25.188211 2.6032 3.0535 3.8157 4.5748 5.5778 7.5841 13.7007 17.2750 19.6751 21.9200 24.7250 26.756812 3.0738 3.5706 4.4038 5.2260 6.3038 8.4384 14.8454 18.5493 21.0261 23.3367 26.2170 28.299513 3.5650 4.1069 5.0088 5.8919 7.0415 9.2991 15.9839 19.8119 22.3620 24.7356 27.6882 29.819514 4.0747 4.6604 5.6287 6.5706 7.7895 10.1653 17.1169 21.0641 23.6848 26.1189 29.1412 31.319315 4.6009 5.2293 6.2621 7.2609 8.5468 11.0365 18.2451 22.3071 24.9958 27.4884 30.5779 32.801316 5.1422 5.8122 6.9077 7.9616 9.3122 11.9122 19.3689 23.5418 26.2962 28.8454 31.9999 34.267217 5.6972 6.4078 7.5642 8.6718 10.0852 12.7919 20.4887 24.7690 27.5871 30.1910 33.4087 35.718518 6.2648 7.0149 8.2307 9.3905 10.8649 13.6753 21.6049 25.9894 28.8693 31.5264 34.8053 37.156519 6.8440 7.6327 8.9065 10.1170 11.6509 14.5620 22.7178 27.2036 30.1435 32.8523 36.1909 38.582320 7.4338 8.2604 9.5908 10.8508 12.4426 15.4518 23.8277 28.4120 31.4104 34.1696 37.5662 39.996821 8.0337 8.8972 10.2829 11.5913 13.2396 16.3444 24.9348 29.6151 32.6706 35.4789 38.9322 41.401122 8.6427 9.5425 10.9823 12.3380 14.0415 17.2396 26.0393 30.8133 33.9244 36.7807 40.2894 42.795723 9.2604 10.1957 11.6886 13.0905 14.8480 18.1373 27.1413 32.0069 35.1725 38.0756 41.6384 44.181324 9.8862 10.8564 12.4012 13.8484 15.6587 19.0373 28.2412 33.1962 36.4150 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1.2987 1.6759 2.0086 2.4033 2.6778 2.9370 3.2614 3.496051 0.6793 0.8487 1.0471 1.2984 1.6753 2.0076 2.4017 2.6757 2.9343 3.2579 3.491852 0.6792 0.8486 1.0469 1.2980 1.6747 2.0066 2.4002 2.6737 2.9318 3.2545 3.487753 0.6791 0.8485 1.0467 1.2977 1.6741 2.0057 2.3988 2.6718 2.9293 3.2513 3.483854 0.6791 0.8483 1.0465 1.2974 1.6736 2.0049 2.3974 2.6700 2.9270 3.2481 3.480055 0.6790 0.8482 1.0463 1.2971 1.6730 2.0040 2.3961 2.6682 2.9247 3.2451 3.476456 0.6789 0.8481 1.0461 1.2969 1.6725 2.0032 2.3948 2.6665 2.9225 3.2423 3.472957 0.6788 0.8480 1.0459 1.2966 1.6720 2.0025 2.3936 2.6649 2.9204 3.2395 3.469658 0.6787 0.8479 1.0458 1.2963 1.6716 2.0017 2.3924 2.6633 2.9184 3.2368 3.466359 0.6787 0.8478 1.0456 1.2961 1.6711 2.0010 2.3912 2.6618 2.9164 3.2342 3.463260 0.6786 0.8477 1.0455 1.2958 1.6706 2.0003 2.3901 2.6603 2.9146 3.2317 3.460261 0.6785 0.8476 1.0453 1.2956 1.6702 1.9996 2.3890 2.6589 2.9127 3.2293 3.457362 0.6785 0.8475 1.0452 1.2954 1.6698 1.9990 2.3880 2.6575 2.9110 3.2270 3.454563 0.6784 0.8474 1.0450 1.2951 1.6694 1.9983 2.3870 2.6561 2.9093 3.2247 3.451864 0.6783 0.8473 1.0449 1.2949 1.6690 1.9977 2.3860 2.6549 2.9076 3.2225 3.449165 0.6783 0.8472 1.0448 1.2947 1.6686 1.9971 2.3851 2.6536 2.9060 3.2204 3.446666 0.6782 0.8471 1.0446 1.2945 1.6683 1.9966 2.3842 2.6524 2.9045 3.2184 3.444167 0.6782 0.8470 1.0445 1.2943 1.6679 1.9960 2.3833 2.6512 2.9030 3.2164 3.441768 0.6781 0.8469 1.0444 1.2941 1.6676 1.9955 2.3824 2.6501 2.9015 3.2145 3.439469 0.6781 0.8469 1.0443 1.2939 1.6672 1.9949 2.3816 2.6490 2.9001 3.2126 3.437270 0.6780 0.8468 1.0442 1.2938 1.6669 1.9944 2.3808 2.6479 2.8987 3.2108 3.435071 0.6780 0.8467 1.0441 1.2936 1.6666 1.9939 2.3800 2.6469 2.8974 3.2090 3.432972 0.6779 0.8466 1.0440 1.2934 1.6663 1.9935 2.3793 2.6459 2.8961 3.2073 3.430873 0.6779 0.8466 1.0438 1.2933 1.6660 1.9930 2.3785 2.6449 2.8949 3.2057 3.428974 0.6778 0.8465 1.0437 1.2931 1.6657 1.9925 2.3778 2.6439 2.8936 3.2041 3.426975 0.6778 0.8464 1.0436 1.2929 1.6654 1.9921 2.3771 2.6430 2.8924 3.2025 3.425076 0.6777 0.8464 1.0436 1.2928 1.6652 1.9917 2.3764 2.6421 2.8913 3.2010 3.423277 0.6777 0.8463 1.0435 1.2926 1.6649 1.9913 2.3758 2.6412 2.8902 3.1995 3.421478 0.6776 0.8463 1.0434 1.2925 1.6646 1.9908 2.3751 2.6403 2.8891 3.1980 3.419779 0.6776 0.8462 1.0433 1.2924 1.6644 1.9905 2.3745 2.6395 2.8880 3.1966 3.418080 0.6776 0.8461 1.0432 1.2922 1.6641 1.9901 2.3739 2.6387 2.8870 3.1953 3.416381 0.6775 0.8461 1.0431 1.2921 1.6639 1.9897 2.3733 2.6379 2.8860 3.1939 3.414782 0.6775 0.8460 1.0430 1.2920 1.6636 1.9893 2.3727 2.6371 2.8850 3.1926 3.413283 0.6775 0.8460 1.0429 1.2918 1.6634 1.9890 2.3721 2.6364 2.8840 3.1913 3.411684 0.6774 0.8459 1.0429 1.2917 1.6632 1.9886 2.3716 2.6356 2.8831 3.1901 3.410285 0.6774 0.8459 1.0428 1.2916 1.6630 1.9883 2.3710 2.6349 2.8822 3.1889 3.408786 0.6774 0.8458 1.0427 1.2915 1.6628 1.9879 2.3705 2.6342 2.8813 3.1877 3.407387 0.6773 0.8458 1.0426 1.2914 1.6626 1.9876 2.3700 2.6335 2.8804 3.1866 3.405988 0.6773 0.8457 1.0426 1.2912 1.6624 1.9873 2.3695 2.6329 2.8795 3.1854 3.404589 0.6773 0.8457 1.0425 1.2911 1.6622 1.9870 2.3690 2.6322 2.8787 3.1843 3.403290 0.6772 0.8456 1.0424 1.2910 1.6620 1.9867 2.3685 2.6316 2.8779 3.1833 3.4019 100 0.6770 0.8452 1.0418 1.2901 1.6602 1.9840 2.3642 2.6259 2.8707 3.1737 3.3905 120 0.6765 0.8446 1.0409 1.2886 1.6577 1.9799 2.3578 2.6174 2.8599 3.1595 3.3735F分布P= 0.9011 3.23 2.86 2.66 2.54 2.45 2.34 2.30 2.27 2.17 2.12 2.0812 3.18 2.81 2.61 2.48 2.39 2.28 2.24 2.21 2.10 2.06 2.0113 3.14 2.76 2.56 2.43 2.35 2.23 2.20 2.16 2.05 2.01 1.9614 3.10 2.73 2.52 2.39 2.31 2.19 2.15 2.12 2.01 1.96 1.9115 3.07 2.70 2.49 2.36 2.27 2.16 2.12 2.09 1.97 1.92 1.8716 3.05 2.67 2.46 2.33 2.24 2.13 2.09 2.06 1.94 1.89 1.8417 3.03 2.64 2.44 2.31 2.22 2.10 2.06 2.03 1.91 1.86 1.8118 3.01 2.62 2.42 2.29 2.20 2.08 2.04 2.00 1.89 1.84 1.7819 2.99 2.61 2.40 2.27 2.18 2.06 2.02 1.98 1.86 1.81 1.7620 2.97 2.59 2.38 2.25 2.16 2.04 2.00 1.96 1.84 1.79 1.7421 2.96 2.57 2.36 2.23 2.14 2.02 1.98 1.95 1.83 1.78 1.7222 2.95 2.56 2.35 2.22 2.13 2.01 1.97 1.93 1.81 1.76 1.70 24 2.93 2.54 2.33 2.19 2.10 1.98 1.94 1.91 1.78 1.73 1.67 26 2.91 2.52 2.31 2.17 2.08 1.96 1.92 1.88 1.76 1.71 1.65 28 2.89 2.50 2.29 2.16 2.06 1.94 1.90 1.87 1.74 1.69 1.63 30 2.88 2.49 2.28 2.14 2.05 1.93 1.88 1.85 1.72 1.67 1.61P= 0.9911 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 4.89 4.74 4.63 4.40 4.29 4.21 4.15 4.1012 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.64 4.50 4.39 4.16 4.05 3.97 3.91 3.8613 9.07 6.70 5.74 5.21 4.86 4.44 4.30 4.19 3.96 3.86 3.78 3.72 3.6614 8.86 6.51 5.56 5.04 4.69 4.28 4.14 4.03 3.80 3.70 3.62 3.56 3.5115 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.14 4.00 3.89 3.67 3.56 3.49 3.42 3.3716 8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.03 3.89 3.78 3.55 3.45 3.37 3.31 3.2617 8.40 6.11 5.18 4.67 4.34 3.93 3.79 3.68 3.46 3.35 3.27 3.21 3.1618 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 3.84 3.71 3.60 3.37 3.27 3.19 3.13 3.0819 8.18 5.93 5.01 4.50 4.17 3.77 3.63 3.52 3.30 3.19 3.12 3.05 3.0020 8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.70 3.56 3.46 3.23 3.13 3.05 2.99 2.9421 8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.64 3.51 3.40 3.17 3.07 2.99 2.93 2.8822 7.95 5.72 4.82 4.31 3.99 3.59 3.45 3.35 3.12 3.02 2.94 2.88 2.8323 7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.54 3.41 3.30 3.07 2.97 2.89 2.83 2.7824 7.82 5.61 4.72 4.22 3.90 3.50 3.36 3.26 3.03 2.93 2.85 2.79 2.7425 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.46 3.32 3.22 2.99 2.89 2.81 2.75 2.7026 7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.42 3.29 3.18 2.96 2.86 2.78 2.72 2.6627 7.68 5.49 4.60 4.11 3.78 3.39 3.26 3.15 2.93 2.82 2.75 2.68 2.6328 7.64 5.45 4.57 4.07 3.75 3.36 3.23 3.12 2.90 2.79 2.72 2.65 2.6029 7.60 5.42 4.54 4.04 3.73 3.33 3.20 3.09 2.87 2.77 2.69 2.63 2.5730 7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.30 3.17 3.07 2.84 2.74 2.66 2.60 2.55Excel公式1.正态分布函数Excel计算正态分布时，使用NORMDIST函数，其格式如下：NORMDIST（a，μ，σ，累积）其中，“累积”：若为TRUE，则输出分布函数值，即P{X≤a}；若为FALSE，则为概率密度函数值．示例：已知X服从正态分布，μ＝600，σ＝100，求P{X≤500}．输入公式NORMDIST(500, 600, 100, TRUE)得到的结果为0.158655，即P{X≤500}=0.158655．2、正态分布函数的反函数Excel计算正态分布函数的反函数使用NORMINV函数，格式如下： NORMINV（p，μ，σ），此公式计算a，使P{X ≤a}=p 3标准正态分布反函数=NORMSINV(0.975)3、 t分布Excel计算t分布的值,采用TDIST函数，格式如下： TDIST（a，自由度，侧数）其中，“侧数”：指明分布为单侧或双侧：若为1，为单侧；此命令输出P{ T >a }若为2，为双侧．此命令输出P{ |T| >a}示例：设T服从自由度为24的t分布，求P(T>1.711)．已知t＝1.711，df=24，采用单侧，则T分布的值：TDIST(1.711,24,1)得到0.05，即P(T > 1.711)=0.05．4. t分布的反函数Excel使用TINV函数得到t分布的反函数，格式如下： TINV（α，自由度）输出 T 分布的α / 2 分位点： t_α/2_(n)若求临界值tα(n)，则使用公式＝TINV(2*α, n)5.返回F分布的函数是FDISTFDIST(x,degrees_freedom1,degrees_freedom2) 函数 FDIST 的计算公式为 FDIST=P( F>x )，5.F分布的反函数FINV(probability,deg_freedom1,deg_freedom2) 已知 probability=P( F>x )，求x。
常用分布
定义: 设Xi ~N(0,1) (i=1,2,...,n), 且它们相互 独立,则称随机变量
2
n
Xi
2
i1
服从自由度为n的2分布,记为2~2(n)
2分布最常用的是拟合优度检验
2分布的性质:
1. 可加性: 若Y1~2(m),Y22(n),且Y1,Y2相互独 立,则Y1+Y2~2(m+n) 2. E[2(n)]=n, D[(2(n)]=2n
lim f ( t ) ( t )
n
1 e 2
t 2
2
当n>45时, t(n)z
4. F分布
定义:
设X~2(m),Y~2(n),且X与Y相互独立, 则称随机变量
F X m Y n
服从自由度为m,n的F分布,记为F~F(m,n) F分布多用于比例的估计和检验
F分布的上分位点: 设F~F(m,n),其密度函数为f(x),对于给 定的正数 (0<<1), 称满足条件
t分布的上分位点: 设T~t(n),其密度函数为f(t),对于给定 的正数 (0<<1),称满足条件
P { T t ( n )}
t ( n )
f ( t )dt
的点t(n)为t分布的上分位点 f(t)
o t(n) t
t分布的性质: (1) 其密度函数f(t)是偶函数 (2) t1(n)= t(n) (3) f(t)的极限为N(0,1)的密度函数,即
2分布的上分位点: 设2~2(n),其密度函数为f(x),对于给 定的正数 (0<<1),称满足条件
P{
2
( n )}
分布函数形式
分布函数形式分布函数是一个用于描述随机变量的概率分布的数学工具。
在概率论和统计学中，分布函数通常用于描述一个随机变量X小于或等于给定值x的概率。
在概率论中，随机变量X是指具有随机性质的变量，从而可以在一定范围内取值。
它的分布函数就是指这个随机变量X在各个取值点时的概率。
具体来说，分布函数F(x)是指随机变量X小于或等于给定值x的概率，即：F(x) = P(X ≤ x)其中P是概率，X是随机变量。
分布函数的取值范围通常是[0,1]。
也就是说，F(x)是指X的实现值小于或等于x时的概率。
分布函数的形式可以分为离散型和连续型两种：1.离散型分布函数（离散分布函数）其中P(X = xi)表示随机变量X取值为xi的概率。
对于离散型分布函数，它的取值范围就是随机变量取值的集合。
常见的离散型分布函数有伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
其中f(x)是X的概率密度函数。
对于连续型分布函数，它的取值范围是从0到1之间的实数。
F(x) = P(X ≤ x) = ∑ P(X = xi) +∫f(x)dx其中P(X = xi)表示离散型变量的概率，f(x)表示连续型变量的概率密度函数。
在实际应用中，混合型分布函数比较常见。
分布函数的形式不同，对应的随机变量也会有不同的特点和应用范围。
在实际研究中，需要根据具体问题选择相应的分布函数来描述随机变量的概率分布。
随机变量的分布函数在概率论和统计学中都有广泛的应用。
在概率论中，它可作为随机变量在不同取值点的概率描述方法，可以较好地描述随机事件发生的概率；在统计学中，它则是描述样本分布的一种方法，可以用来判断数据是否符合某种特定分布规律，从而推断出总体的特性。
下面以常见的正态分布为例，简要介绍分布函数的应用。
正态分布是概率论和统计学中最为常见的一种连续型分布函数，它是许多自然现象和社会现象的概率模型。
正态分布函数的形式为：f(x) = 1/（σ√ (2π)）exp[-(x-μ)^2/2σ^2]μ表示正态分布的均值，σ^2表示正态分布的方差。
概率论和统计学中重要的分布函数
概率论和统计学中重要的分布函数随机变量在概率空间中遵循不同类型的分布，这决定了它们的特征并有助于预测。
本文内容列表：· 引言· 高斯/正态分布（Gaussian/Normal Distribution）· 二项分布(Binomial Distribution)· 伯努利分布(Bernoulli Distribution)· 对数正态分布(Log Normal Distribution)· 幂律分布(Power Law Distribution)· 分布函数的使用引言每当我们遇到任何概率实验，我们谈论的是随机变量，它只不过是获取实验预期结果的变量。
例如，当我们掷骰子时，我们期望从集合{1,2,3,4,5,6}中得到一个值。
所以我们定义了一个随机变量X，它在每次掷骰时取这些值。
根据实验的不同，随机变量可以取离散值，也可以取连续值。
骰子的例子是离散随机变量，因为它取一个离散值。
但是假设我们讨论的是某个城镇的房价，那么相关的随机变量可以取连续的值（例如550000美元，1200523.54美元等等）。
当我们将随机变量的期望值与实验中出现频率的关系图绘制出来时，我们得到了一个直方图形式的频率分布图。
利用核密度估计对这些直方图进行平滑处理，得到了一条很好的曲线。
这条曲线被称为'分布函数'。
橙色平滑曲线是概率分布曲线高斯/正态分布高斯/正态分布是一个连续的概率分布函数，随机变量在均值（μ）和方差（σ²）周围对称分布。
高斯分布函数平均值（μ）：决定峰值在X轴上的位置。
而且，所有数据都对称地位于X=μ线的两侧。
如图所示，蓝色、红色和黄色曲线分布在X=0的两侧，而绿色曲线的中心位于X=-2。
所以通过观察这些曲线，我们可以很容易地说，蓝色，红色和黄色的平均值是0，而绿色的平均值是-2。
方差（σ²）：决定曲线的宽度和高度。
常见概率分布表(超全总结)
指数分布 （负指数分布）
Γ(1, ������)
������ > 0
������
������ 2
注：指数分布是Γ分布的特殊情况
n
2n
χ2 分布
������ 2 (������)
������ ≥ 1
f(x) = {
2n⁄2 Γ(������⁄2) 0 ,
������ ≥ 1
������ > 0
均匀分布
U(a, b)
a<b
K=0,1,2,… 1 , ������ < ������ < ������ f(x) = {������ − ������ 0, 其它 f(x) = 1 f(x) = {√2������������������ 1 √2������������ ������ ������ −(������−������)
非中心χ 分布
2
������ f(x) = {
������+������ −( 2 ) ∞
������ (������, ��� 0
2������⁄2
������ 2+������−1 ������������ ∑ ������ , (������ > 0) 2������ ������=0 Γ (2 + ������) 2 ������! 0 , 其它
逆高斯分布
N (μ, λ)
−1
λ, μ > 0
Γ分布
连 续 型
(伽玛分布)
Γ(������, ������)
������, ������ > 0
1 ������ ������−1 ������ −������⁄������ , ������ > 0 f(x) = {������ ������ Γ(������) 0 , 其它 1 −������ ������ ������ , ������ > 0 f(x) = { ������ 0 , 其它 1 ������ 2 −1 ������ −2 , ������ > 0 其它
常见的分布函数Word版
6数理统计的基本概念6.1 基本要求1 理解总体、样本(品)、样本容量、简单随机样本的概念。
能在总体分布给定情况下，正确无误地写出样本的联合分布，这是本章的难点。
2*了解样本的频率分布、经验分布函数的定义，了解频率直方图的作法。
3 了解χ2分布、t分布和F分布的概念及性质，了解临界值的概念并会查表计算。
4 理解样本均值、样本方差及样本矩的概念。
了解样本矩的性质，能借助计算器快速完成样本均值、样本方差观察值的计算。
了解正态总体的某些常用抽样分布。
6.2 内容提要6.2.1 总体和样本1 总体和个体研究对象的某项特征指标值的全体称为总体(或母体)，组成总体的每个元素称为个体。
总体是一个随机变量，常用X，Y等来表示。
2 样本从总体中随机抽出n个个体称为容量为n的样本，其中每个个体称为样品，它们都是随机变量。
3 简单随机样本设X1，X2，…，X n是来自总体X的容量为n的样本，如果这n个随机变量X1，X2，…，X n相互独立且每个样品X i与总体X具有相同的分布，则称X1，X2，…，X n为总体X的简单随机样本。
4 样本的联合分布*该部分内容考研不作要求。
若总体X 具有分布函数F (x )，则样本(X 1，X 2，…，X n )的联合分布函数为∏==ni i n x F x x x F 121)(),,,(若总体X 为连续型随机变量，其概率密度函数为f (x )，则样本的联合概率密度为∏==ni in x f x x x f 121)(),,,( (6.1)若总体X 为离散型随机变量，其分布律为P {X =a i }=p i (i =1，2，…n)，则样本的联合分布为∏======ni i i n n x X P x X x X x X P 12211}{},,,{ (6.2)其中),,,(21n x x x 为),,,(21n X X X 的任一组可能的观察值。
6.2.2 样本分布1 频率分布设样本值(x 1，x 2，…，x n )中不同的数值是x 1*，x 2*，…，x l *，记相应的频数分别为n 1，n 2，…，n l ，其中x 1*< x 2*<…< x l *且n n li i =∑=1。
常用分布
1.退化分布 2.0-1分布 3.均匀分布 4.几何分布 5.二项分布 6. 超几何分布 7.泊松分布
常用连续型分布 8.均匀分布 9.指数分布 10.正态分布
1
１．退化分布 １．分布列
P{ X = a} = 1
２．X的特点： X的取值为常数 3．数字特征：EX=a，DX=0 ２．０－１分布 １．分布列： P{X = K} = (1− P)1−k ⋅ Pk k = 0,1. ２．X的含义：一次贝努利实验中A发生的 次数 3．数字特征：EX=p，DX=pq
10 10000 50
0.005 (1− 0.005)
10
9990
k (2) P{ X ≤ 50} = ∑ C10000 0.005k (1 − 0.005)10000−k k =0
10
６．超几何分布 １．分布列 P { X = k } =
记为： C
k N1
C
n N
n−k N 2
C
, k = 0 ,1 , 2 , ⋯ n .
近似
∑
1
k =0
0 . 1k − 0 .1 e = 0 . 9953 k!
0-1分布
n =1
超几何分布
N →∞
二项分布
n→∞
n → ∞, p很小
λ = np
.泊松分布
正态分布
16
8.均匀分布
1 f ( x) = b − a 0 a≤ x≤b 其它
１．密度函数 2 . 分布函数
0 x< a x−a F (x) = a ≤ x<b b − a x≥b 1 记为 X ~ U [ a ， b ]
4 ∴ 1− p) = （ 9
常用函数分布
２１ ． 基本概念
在卫星移动通信信道传播特性的研究中， 常常遇到的基本概念有（ 文献〔 ） ７ ： １
ＬＳ Ｏ、多径衰落、阴 影衰落及多普勒频移。
２ １ １ Ｏ ． Ｌ Ｓ ．
ＬＳ ｉｅｏ ｓｇｔ（ Ｏ，即 ｌｎ－ｆ ｈ 直射）的缩写；是指在卫星与地面用户之间的传 ｉ
播信道上不存在任何障碍物， 信号从发射端沿单一路径直接到达接收端。 在卫星 移动通信中， 当卫星与移动用户之间存在着视距传播路径时， 接收信号中就含有 ＬＳ Ｏ 信号分量。 ２ １２多径衰落 ．． 卫星移动通信中， 从一个发射端发出的信号电 波在从发送到接收的传播过程 中，会由于在其传播路径上存在建筑物、 树木、 植被、 起伏的地形、 海面和水面 等因素而引起信号电波的反射、 散射和绕射， 使得到达接收站的信号不是从单一
路径传播来的， 而是从许多条路径传播来的众多反射电波的合成。由于信号电波
通过的各条路径的距离不同， 因而由各条路径传播来的反射电波到达接收端的时 间不同， 相位也不同。 不同相位的多个信号电波在接收端进行迭加， 有时是同相 迭加而增强， 有时是反相迭加而减弱， 从而使接收端的信号幅度急剧起伏， 这就 产生了多径衰落， 它是一种快衰落。 在卫星移动通信过程中，由于用户端移动站 的天线一般较矮和较小且几乎没有方向性， 移动站会接收从各条传播路径而来的 信号电波，因此，卫星移动通信中的信号电波必然会受到多径衰落的影响。
212多径衰落卫星移动通信中从一个发射端发出的信号电波在从发送到接收的传播过程中会由于在其传播路径上存在建筑物树木植被起伏的地形海面和水面等因素而引起信号电波的反射散射和绕射使得到达接收站的信号不是从单一路径传播来的而是从许多条路径传播来的众多反射电波的合成
第二章
模型中常用的概率分布函数
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方差D(X)
矩母两数M⑴
特征函数0(/)
指数分布
心,2)
f(x) =
J加**"),x>/z [0,x< p
1
1
尹
ty1
1--
lQ丿
.(ity1严i-丝
I Q丿
瑞利分布
/?(//)
fM = <
：0』/(2/),x>0
0,x < 0
“〉0
4-712
2“
贝塔分布
0(p,g)
/(兀)n
『(p+q)占(i兀严o<x<i r(p)r(^)
f
X
、7
>0
x>Q
/
0,其它
,0〉0
D(X) = b<
(1 )
(x)= ；7r -+i
\(2 }r fi M U丿L " )\
■丿
>
附表六常用分布函数
1.常用离散型分布
名称记号
概率分布及其定义域、参数条件
数学期望E(X)
方差D(X)
概率母函数p(&)
矩母函数M(f)
特征函数0(/)
单点分布
/(c)
p(X =x) = <
C为正:
*
1,x = c
0,x丰c
整数
C
0
ec
ect
eict
二项分布
B(n, p)
=x) =
x = 0丄…曲，
p>O,q >0,
矩母函数M(t)
特征函数0(。
均匀分布
U(a,b)
一一-—,a<x<b
f(x) = <b-a
0,其它
-oo<a <b <(x)
a + h
2
(b-a)2
12
eht-eart(b-a)
严一严
it(b-a)
标准」|］态分布
N(O,1)
f(x) = ^=e yJ27T
—oo < x < 00
0
1
t2
J
正态分布
N(〃d)
1. (I"
-00 < x < oo
-00 < // < oo , CT > 0
a2
*> a
心2e―
e2
对数正态分布
5“,决)
/(x) = <
|(In x-“)2
—f=——e2a~, x > 0
冷2兀(TX
0,x<0
00 < “<00, (T > 0
e么
严甘_1)
名称记号
分布密度及其定义域、参数条件
o,其它
p >0, q >0
p
p+q
pq
\F、(p;p + q;if)
(库默尔函数)
(p+gFO+g + i)
%2分布
a ]—x,t/2~[e~x/2,x>0
2H/2r(n/2)
0,其它
■
n >1
n
2n
(i-2tyn,2
0<r<l/2
(1-2/7)
『分布
几 +1)
1/2、-5+1)/2
f(x)=A2/i+—，心
数学期望E(X)
方差D(X)
概率母函数〃 (&)
负二项分布
对数分布
L(p)
超几何分布
p(x=兀)
paqx
兀=0丄2,…，G为正实数
Pg)/
x= 1,2,•••
P(X=x) =
(M
N — M、
(N
x =max{0,n-N + M}
0<M <N,0<n<N
aq
P
aq
p~
矩母函数M⑴
特征函数0(/)
P
j 1一
q
pin”
、
q
In”丿
p2InP
ln(l_g&)
Inp
ln(l g”)
Inp
N —M、
ln(l
Inp
E(X) =哎
N
»、N-nM(N-M)a ) =n
N-\ N2
F(一/?-m;N -M - n +1;Z
W丿
(F为超儿何函数)
2.常用连续型分布
名称记号
分布密度及其定义域、参数条件
数学期望E(X)
方差D(X)
5”严
72为正整数
p+qi
np
npq
(p0 + g)"
(pN+q)”
泊松分布
P")
pg)斗
"0,1,2,…,2为正实数
2
A
严j)
严7
严j
几何分布
G(p)
p^X=x) = pqx~l
x= 1,2,…，p>O.q>0. p+q= \
1
P
q
7
p
p0
\-q0
P
pJ
e~f-q
1-0
名称记号
概率分如及其定义域、参数条件
\/mT(7?/2)(n丿
0
n, n>2
n — 2
不存在
名称记号
分布密度及其定义域、参数条件
数学期弟-E(X)
方差D(X)
矩母两数M⑴
特征函数0(/)
柯西分布
/w=
a,
1
/、2
, x-a
1+
l 2丿
2>0
不存在
不存在
不存在
严M
伽马分布
r(c,&,0)
fM = <
俨(XC)Z£"Z,兀〉cr(a)
0,x<c
cr>0, 0>O
a
一+c
p
a
02
z、_a
cti丫
e1
I 0丿
z.、_&
严1_兰
I0丿
F分布
f
Y
B
乜2
訓〃2、
、亍2,
也__]山+也
-x2(n2+HjX)2 ,x>0
0,其它
>l,n2>l
®，山>2
n2-2
2nl (
不存在
威布尔分布
fM= <
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