计算方法 Newton插值
6.2 牛顿插值多项式
x1 f [ x1 ] f [ x0 , x1 ]
x2 f [ x2 ] f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ]
x3 f [ x 3 ]
… …… x f [ xn ]
n
f [ x2 , x3 ]
f [ x1 , x2 , x3 ]
N n ( x ) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )( x − x1 ) + L + an ( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xn−1 )
ak ( k = 0,1,L , n) 为待定系数 形如上式的插值 待定系数.
多项式称为牛顿 插值多项式. 多项式称为牛顿(Newton)插值多项式 牛顿 插值多项式 由插值条件 N n ( x j ) = f ( x j ) ( j = 0,1,L , n),
证毕. 证毕.
的离散数据如下表： 例 1 已知 f ( x ) = shx 的离散数据如下表：
xi
0.00
0.20 0.20134
0.30 0.30452
0.50 0.52110
f ( xi ) 0.00000
用 Newton插值多项式 计算 f (0.23) 的近似值并 插值多项式, 插值多项式 估计误差. 估计误差
解 均差计算的结果如下表
xi
0.00 0.20 0.30 0.50
f [ xi ]
0.00000 0.20134 0.30452 0.52110
一阶均差
二阶均差
三阶均差
1.0067 1.0318 1.0829
0.08367 0.17033
牛顿插值法原理及应用
牛顿插值法插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。
为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。
牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。
插值函数插值函数的概念及相关性质[1]定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。
若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数.称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。
定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。
牛顿插值法C程序程序框图#include<stdio.h>void main(){float x[11],y[11][11],xx,temp,newton;int i,j,n;printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x=");scanf("%f",&xx);printf("请输入插值的次数(n<11):n=");scanf("%d",&n);printf("请输入%d组值:\n",n+1);for(i=0;i<n+1;i++){ printf("x%d=",i);scanf("%f",&x[i]);printf("y%d=",i);scanf("%f",&y[0][i]);}for(i=1;i<n+1;i++)for(j=i;j<n+1;j++){ if(i>1)y[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-i]);elsey[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-1]);printf("%f\n",y[i][i]);}temp=1;newton=y[0][0];for(i=1;i<n+1;i++){ temp=temp*(xx-x[i-1]);newton=newton+y[i][i]*temp;}printf("求得的结果为:N(%.4f)=%9f\n",xx,newton);牛顿插值法Matlab程序function f = Newton(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endc(i) = y1(i+1);l = l*(t-x(i));f = f + c(i)*l;simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = collect(f); %将插值多项式展开f = vpa(f, 6);endend牛顿插值法摘要：值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
牛顿(newton)插值法
牛顿(newton)插值法牛顿插值法是一种数值分析中的插值方法，它用于找到一个多项式函数，该函数会经过给定的一系列数据点。
该方法最初由英国数学家艾萨克·牛顿（Isaac Newton）发明并称为插值多项式，它也被称作差分插值法。
插值是数学和工程学中的一项重要任务，它是用于在给定数据点之间构建连续函数的一种数值方法。
插值方法通常涉及过渡从观察结果派生出抽象结果的过程，从而使得预测可能的结果取得更加准确。
下面介绍牛顿插值法的基本原理。
插值基础插值基础是插值方法中的一个重要概念。
在这里，我们将对牛顿插值法中用到的插值基础进行简要介绍。
一个插值基础是指一个已知数据点的集合，通常是一个 x 坐标和对应的 y 坐标。
每个插值基础一般定义为一个数据点的函数，该函数包含了给定点的所有信息并将这些信息用于构建连续函数。
在牛顿插值法中，我们使用差分来定义插值基础。
差分是指两个相邻数据点之间 y 坐标的差值。
具体来说，若给定以下节点：x0, y0x1, y1x2, y2...xn, yn我们则通过以下的 "+" 符号所示的不断进行差分的方式来构建一个插值基础：y0y1-y0…yn-yn-1 yn-yn-1 yn-yn-2 ... yn-y0上述图表所展示的差分的值即为定义插值基础的差商（divided difference）。
牛顿插值公式基于上述插值基础和差商，我们现在可以使用牛顿插值公式来实现插值。
具体来说，牛顿插值公式可以表示为：f(x) = y0 + d1*f[x0,x1] + d2*f[x0,x1,x2] + ... + dn*f[x0,x1,...,xn]其中 f(x) 是插值函数，x0, x1, ..., xn 是给定的节点，y0, y1, ..., yn 是对应的 y 值，f[x0,x1] 是差商 f(x0,...,x1) 的值，d1, d2, ..., dn 也是差商。
请注意，插值函数的次数最高为 n - 1，这意味着插值函数与插值基础的次数相同。
牛顿插值法介绍
牛顿插值法介绍本文将介绍牛顿插值法的基本原理、计算过程、优缺点以及在实际问题中的应用。
首先，我们将简要介绍插值法的基本概念和牛顿插值法的由来，然后详细讨论牛顿插值法的计算步骤和算法，接着分析其优缺点以及适用范围，最后通过几个实际问题的例子展示牛顿插值法的应用场景。
一、插值法基本概念在数学和计算机领域，插值是指根据已知的离散数据点构造满足这些数据点的曲线或函数的过程。
假设我们有一组数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，我们想要通过这些数据点构建一个函数f(x)，使得f(xi) = yi，其中i = 1, 2, ..., n。
这样的函数就是经过插值的函数，它代表了这些数据点的趋势和变化规律。
插值法通常用于寻找这样的函数，它能够通过已知的数据点来估计函数在其他位置的值。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。
在这些方法中，牛顿插值法是最为广泛使用的一种，因为它的计算效率高、精度较高，并且易于编程实现。
二、牛顿插值法的由来牛顿插值法由艾萨克·牛顿在17世纪提出，他是一位英国著名的数学家、物理学家和天文学家，在微积分、物理学和光学等领域都做出了重大贡献。
牛顿发展了牛顿插值法的理论基础和计算方法，并将其应用于数据分析和天体运动等问题中。
牛顿插值法基于牛顿插值多项式的概念，该多项式利用差商（divided differences）来表示，并具有易于计算和分析的优势。
牛顿插值多项式能够在已知的数据点上进行插值，并且还可以通过添加新的数据点来动态地更新插值结果。
因此，牛顿插值法成为了一种非常有用的数值计算工具，被广泛应用于工程、科学和金融等领域。
三、牛顿插值法的计算步骤1. 确定数据点首先，我们需要确定一组离散的数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，这些数据点是我们已知的数据，我们要通过它们来构建插值函数。
牛顿插值法
分段线性插值
满足条件 S1xiyi,i0,1 , ,n具有分划
的分段一次式 S 1 x 在每个子段 xi, xi1上都
具有如下表达式：
S 1x0 x h ix i y i1 x h ix i y i 1 ,x ixx i 1
并在每个 xi, xi1子段上构造插值多项式，然后把它
们装配在一起，作为整个区间 a , b 上的插值函数，
即称为分段多项式。如果函数 S k x 在分划 的每
个子段上都是 k 次式，则称为具有分划 的分段 k 次式。
分段插值
1.分段线性插值； 2.分段抛物插值； 3.分段低次多项式插值；
02（(1/12)）
1 6
例题分析（续2）
f(x)N2(x)f(x0)f[x0,x1](xx0)
f[x0,x1,x2](xx0)(xx1)
21(x1)1(x1)(x1)
2
6
练习：
若上例中增加两点f(-2)=2, f(3)=2， 加上原来三点f(-1)=2, f(1)=1, f(2)=1， 求f(x)的Newdon插值多项式。
所以 S 3 x 0 x h ix i y i 1 x h ix i y i 1 h i0 x h ix i y i' h i1 x h ix i y i' 1
其中 xi xxi1，且有 0xx122x1,1xx22x3
0xxx12,1xx2x1
样条函数的概念
高次插值的龙格现象
对于代数插值来说，插值多项式的次数 很高时，逼近效果往往很不理想。例如，考
察函数 fx 1 /1 x 2, 5 x 5 ，设将区间 －5，5 分
Newton插值
例4.2.1 计算 (−2, 17), (0, 1), (1, 2), (2, 19)的一至三阶差商。 i 0 xi −2 f (xi) f [xi −1, xi] f [xi −2, xi −1, xi] f [xi −3, xi −2, xi −1, xi] 17
1 2 3
解
0 1 2
1 2 19
其中，
n 次Newton插值公式
N n ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x0 , x1 ] ( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1, x2 ] ... ( x x0 )( x x1 )...( x xn1 ) f [ x0 , x1 ,..., xn ]
给定n+1个插值点(xi, f (xi)), i = 0, 1, 2,…, n, xi 互异，
f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x, x0 ],
类似地，由二阶至 n 阶差商的定义得
( x x0 ) x0 )( x x1 ) (x ...... ( x x0 )...( x xn1 ) f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] ( x x1 ) f [ x, x0 , x1 ], f [ x, x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] ( x x2 ) f [ x, x0 , x1 , x2 ], ...... f [ x, x0 ,..., xn1 ] f [ x0 , x1 ,..., xn ] ( x xn ) f [ x, x0 ,..., xn ],
二次Newton插值公式为
N 2 ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 )
常见的插值方法及其原理
常见的插值方法及其原理1. 拉格朗日插值法（Lagrange Interpolation）拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法，通过n+1个已知点的函数值来构造一个n次多项式。
具体的计算公式如下：L(x) = Σ[yk * lk(x)], k=0 to n其中yk为已知点（xi, yi）的函数值，lk(x)为拉格朗日基函数，定义为：lk(x) = Π[(x - xj)/(xi - xj)], j=0 to n, j≠k拉格朗日插值法的原理是通过构造一个通过已知点的n次多项式，来代替未知函数的近似值。
利用拉格朗日基函数的性质，可以保证插值多项式通过已知点。
2. 牛顿插值法（Newton Interpolation）牛顿插值法是一种递推的插值方法，通过已知点的函数值和差商来逐步构造插值多项式。
差商的定义如下：f[x0]=y0f[x1]=(f[x1]-f[x0])/(x1-x0)f[x2]=(f[x2]-f[x1])/(x2-x1)...f[xn] = (f[xn] - f[xn-1]) / (xn - xn-1)利用差商的定义，可以得到牛顿插值多项式的表达式：N(x) = f[x0] + f[x0, x1](x-x0) + f[x0, x1, x2](x-x0)(x-x1) + ... + f[x0, x1, ..., xn](x-x0)(x-x1)...(x-xn)牛顿插值法的原理是通过递推计算差商来得到插值多项式。
通过使用差商来处理已知点的函数值差异，可以得到更高次的插值多项式。
3. 样条插值法（Spline Interpolation）样条插值法是一种基于分段低次插值函数的插值方法，常用的是三次样条插值。
样条插值法通过寻找一组分段函数，使得满足原函数的插值条件，并要求函数在每个插值点处的函数值、一阶导数和二阶导数连续。
这样可以保证插值函数在每个插值点处的平滑性。
三次样条插值法的原理是将整个插值区间划分为多个小区间，在每个小区间内使用三次多项式进行插值。
Chapter2_2_Newton插值
计算各阶差分可按如下差分表进行
xi x0 x1 x2 x3 xn
fi f0
fi
2 fi
3 fi n f i
f1 f 0 f2 f3 fn f1 f 0
2
f 2
2 f1 3 f 0 n f0
f n 1 2 f n 2 3 f n 3
fk (E I ) fk 0 n 1 n1 n n (Cn E Cn E (1) Cn I ) f k 0 1 n n C n f k n C n f k n1 (1) C n f k
n n
二、差分具有如下性质
性质1 (差分与函数值的关系) 各阶差分均可表示为函 数值的线性组合:
四、差商具有如下性质
性质1 (差商与函数值的关系)
f ( xi ) f x0 , x1 ,..., xn i 0 ' ( xi )
性质2 （对称性）：差商的值与结点排列顺序无关
f x0 , , xi , , x j , , xn f x0 ,, x j ,, xi ,, xn
k fi (1) j Ckj fi j k , k fi (1)k j Ckj fi j k
j 0 j 0 k k
k! 其中 C j !(k j )!
j k
性质2 (前差与后差的关系):
k fi k fi k
性质3 (多项式的差分) 若f(x)∈Pn(n次多项式类), 则
三、插值多项式的构造
利用插值条件和差商,可求出Nn(x)的系数Ai :
A0 f ( x0 ) f [ x0 ]
A1 f [ x0 , x1 ] An f [ x0 , x1 ,, xn ] N n ( x ) f ( x0 )
牛顿(Newton)插值法
Newton插值C 的求法
i
Nn(x) = c0 + c1(x – x0) + c2(x – x0) (x – x1) + …..+ cn(x – x0) (x – x1) …. (x-xn)
令x = x0得：Nn(x0) = c0 = y0 = f(x0) x = x1得：Nn(x1) = c0 + c1(x1 –x0) = y1 = f(x1) 由此可解出：c0，c1；ci 依次类推。
x y x0 y0 x1 y1 …………. …………. xn-1 yn-1 xn yn xn+1 yn+1
Nn+1(x) = c0 + c1(x – x0) + c2(x – x0)（x – x1） + …. + cn(x – x0) (x – x1) …(x –xn-1) + cn+1(x – x0) (x –x1) ….(x – xn-1) (x - xn)
求n次多项式Nn(x)使得：
Nn(xi) = f(xi) = yi， i = 0，1，… ，n Nn(x) = c0 + c1(x – x0) + c2(x – x0) (x – x1) + …..+ cn(x – x0) (x – x1) …. (x-xn)
Newton插值的承袭性
增加一个点之后
p1xp0xc1xx0其中p0xfx0其修正项的系数01011xxxfxfc???再进一步修正p1x可以进一步得到抛物线插值公式p2xp1xc2xx0xx10201011212xxxxxfxfxxxfxf??????c2差商的概念差商的定义定义1
牛顿（Newton）插值法
3.2 Newton插值法
f [ x0 , x1 ,L , xk − 1 ] − f [ x0 , x1 ,L , xk − 2 , xk ] = xk − 1 − xk
差商具有如下性质：
(1) f ( x )的k阶差商f [ x0 , x1 ,L , xk − 1 , xk ]可由函数值 f ( x0 ), f ( x1 ),L , f ( xk )的线性组合表示 , 且
N3 ( x) = 17 − 8( x + 2) + 3x( x + 2) +1.25x( x + 2)(x −1)
N3 (0.9) = N2 (0.9) +1.25⋅ 0.9(0.9 + 2)(0.9 −1) = 1.30375
Newton插值法的优点是计算较简单,尤其是增加 节点时,计算只要增加一项,这点是Lagrange插值 无法比的.
f [ x0 , x1 ,L , xk ] − f [ x0 , x1 ,L , xk − 1 , x ] f [ x0 , x1 ,L , xk , x ] = xk − x
f , x1 ,L , xk ] + f [ x0 , x1 ,L , xk , x ]( x − xk ) 因此可得 f ( x ) = f + f [ x , x ]( x − x )
k =1
n
k −1 j =0
k =1 n
为k次多项式
为f ( x)关于节点 xi 的n次Newton插值多项式
由插值多项式的唯一性,Newton插值公式的余项为
f (ξ ) Rn ( x ) = f ( x ) − N n ( x ) = ω n +1 ( x) (n + 1)!
Newton插值多项式
——列差商表
xk 1 2 4 6 7 ， 列出差商表； 例：已知： f ( xk ) 4 1 0 1 1
解一：k
xk 1 2 4 6 7
f [ x k ] 一阶 二阶 三阶 四阶 4 1 0 1 1 3 1 2 1 2 0 5 6 1 4 1 6
0 1 2 3 4
7 60 1 12
k 1
m 1
f ( xk )
k
(x
xi )
则n m 1时，有：f [ x0 ， x1 ， ， xm1 ] f [ x1 ， x2 ， ， xm1 ] f [ x0 ， x1 ， ， xm ] xm1 x0
m 1 1 [ xm1 x0 k 1
1 180
解二： k 0
xk 1 2 4 6 7
f [ x k ] 一阶 二阶 三阶 四阶 4 1 0 1 1 3 4 3 3 5 1 2 5 6 3 5 1 2
1 2 3 4
7 60 1 9
1 180
f [ x0 ， x1 ] ， 可见，求各阶差商是方便的，且 f [ x0 ] ，
n 1 k 0
(x
i 0
n 1
n
xi )
n 1 n 1
(x
i 0
n 1
n
xi )
Lagrange插值 插值条件 基函数
(x
i 0
n 1
f ( xn )
n
xn xi f ( xk ) k 0 i 0 xk xi
xi )
(x
i 0
上述修改过的 Ln ( x)可看成是由点斜式直线方程往 n+1个插值点情形的推广，而Lagrange插值多项式是
牛顿插值法原理及应用汇总
牛顿插值法插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。
为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。
牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。
插值函数插值函数的概念及相关性质[1]定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。
若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数.称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。
定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。
牛顿插值法C程序程序框图#include<stdio.h>void main(){float x[11],y[11][11],xx,temp,newton;int i,j,n;printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x=");scanf("%f",&xx);printf("请输入插值的次数(n<11):n=");scanf("%d",&n);printf("请输入%d组值:\n",n+1);for(i=0;i<n+1;i++){ printf("x%d=",i);scanf("%f",&x[i]);printf("y%d=",i);scanf("%f",&y[0][i]);}for(i=1;i<n+1;i++)for(j=i;j<n+1;j++){ if(i>1)y[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-i]);elsey[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-1]);printf("%f\n",y[i][i]);}temp=1;newton=y[0][0];for(i=1;i<n+1;i++){ temp=temp*(xx-x[i-1]);newton=newton+y[i][i]*temp;}printf("求得的结果为:N(%.4f)=%9f\n",xx,newton);牛顿插值法Matlab程序function f = Newton(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endc(i) = y1(i+1);l = l*(t-x(i));f = f + c(i)*l;simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = collect(f); %将插值多项式展开f = vpa(f, 6);endend牛顿插值法摘要：值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
计算方法插值法(一)
浮点数的IEEE标准：舍入误差
当x在计算机中要求超过p个尾数位时，引起舍入误差
e* = x* - x （绝对误差）
计算机中的估计值
x*
e* < 2- p * 2E e Machine precision
相对误差 x* - x < 2- p = e
x
更多浮点数的内容见：
https:///wiki/Floating_point#IEEE_754:_floating_point_in_modern_computers
助教：赵渊明
上机实习作业
１.提交时间：作业布置下来两周内（如无特殊情况，晚交的作业做 零分处理。有特殊情况的，需要提前得到授课老师许可，一事一议） （一般是周三）。 ２.提交内容：书面报告、源代码、源代码流程图及运行结果截图 ３.源代码要求：简洁、清楚、有较好的注释（助教能够运行程序并 复制结果）。 ４.完成作业要求：鼓励同学之间讨论、合作完成作业，但最终程序、 报告需要自己独立完成。如和别的同学交流过，请在上交作业中列 出一起合作交流过的同学名字。如发现上交作业雷同，雷同作业做 零分处理。 5. 编程语言：尽量选择Fortran或C语言，不建议使用Matlab。
| x1 x0 | 很小时
x1
15
由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为
y
y0
y1 y0 x1 x0
(x
x0 )
L1( x)
称为线性插值(n=1的情况)
表示为如下对称形式： L1(x) y0l0 (x) y1l1(x)
其中，
l0(x)
x x1 x0 x1
l1 ( x)
x x0 x1 x0
精度提高的条件： ➢ 插值点与节点靠近 ➢ 内插精度一般比外推高 ➢ 插值点适当多
2 newton插值的原理和算法
Newton插值的原理和算法
Newton插值法是一种数学方法，用于通过已知的离散数据点来构造多项式，该多项式可以用来估计未知数据点的值。
以下是Newton插值的原理和算法：
原理：
Newton插值基于差商的概念。
差商可以理解为两个相邻数据点之间的值与它们之间距离的比的极限。
对于给定的数据点集，可以通过构造差商表来找到插值多项式。
算法：
1.确定插值节点：选择一组已知数据点的x坐标，这些点将成为插值的节
点。
2.计算差商：根据差商的定义，计算每个数据点与其相邻数据点之间的差
商。
具体来说，对于第i个数据点，其差商Di(x)可以表示为：Di(x) =
[f(xi)/xi - f(xi-1)/(xi-1)] / (xi - xi-1)，其中f(xi)和f(xi-1)分别是第i个和第i-1
个数据点的函数值，xi和xi-1分别是它们的x坐标。
3.构造差商表：将计算出的差商存储在一个表格中，以便后续使用。
4.构建插值多项式：根据差商表，使用Newton插值公式来构建插值多项
式。
具体来说，对于任意x坐标，其对应的函数值f(x)可以通过插值多项式来计算。
5.计算未知数据点的值：将需要估计的x坐标代入插值多项式中，即可得
到对应的函数值估计。
需要注意的是，Newton插值法在处理大量数据点时可能会遇到数值稳定性问题。
此外，当插值节点过多时，差商的计算量会变得非常大，因此在实际应用中需要谨慎选择插值节点数量。
数值计算方法实验报告--newton插值多项式
数值计算方法实验报告实验报告题目：newton插值多项式实验要求用mat1ab解析Newton插值多项式的程序二、实验分析(包括数学原理，小组分析讨论后确定实验方案和实现思路)根据经过n+1个不同的差值点x1,x2,…，x(n+1),构造牛顿插值公式∕V(x)=y[x1,x2](x-Λ1)+∕[x1,x2,x3](x-Jc1)(x-x2)+∙∙∙+∕[x1,Λ2∕∙∙xn+1](x-x1)(x-x 2)∙∙∙(x-xn)三、实脸步骤(过程)(包括程序及上机的实现的结果)function[p2,z]=newton(x,y,t)n=1ength(x);chaS(1)=y(1);for i=2:nx1=x;y1=y;x1(i+1:n)=[];y1(i+1：n)=[];n1=1ength(x1);s1=0;for j=1:n1t1=1;for k=1:n1if k==j continue;e1set1=t1*(x1(j)-x1(k));ehdehds1=s1+y1(j)∕t1;end chaS(i)=s1;ehd b(1,:)=[zeros(1,n-1)chaS(1)];c1=ce11(1,n-1);for i=2:nυ1=1;for j=1:i-1u1=conv(u1,[1-x(j)]);c1{i-1}=u1;end c1{i-1}chaS(i)*c1{i-1);b(i,:)=[zeros(1,n-i)z c1{i-1}];end四、总结（包括实脸过程遇到的情况等，组长总结组员在整个过程的参与情况）实验过程中大家都积极参与，搞明白了牛顿插值多项式的程序。
有不明白的地方，也通过询问同班学霸，或是网页查询得到了解决。
牛顿插值法
x2-x1
依次递推可得到a3, …, an. 为写出系数 ak的一般表达式,
➢差商(均差)定义
2.3.2 均差及其性质
1、差商（均差）的定义
称
f [x0 , xk ] =
f ( xk ) - f ( x0 ) xk - x0
为 f ( x关) 于点 x的0 ,一xk阶差商。
称
f [ x0 , x1, xk ] =
-
f ( x1)
-பைடு நூலகம்
f ( x0 )
( x1 - x0 )( xk - x1) ( x0 - x1)( xk - x1)
=
f (x0 )
+
f (x1)
+
f (xk )
(x0 - x1)( x0 - xk ) (x1 - x0 )( x1 - xk ) (xk - x0 )( xk - x1)
一般有
f [ x0 , x1,, xk ] =
注：差商与节点的排列次序无关——差商 的对称性
f[x0,x1,…,xn]= f[x1,x0,x2,…,xn]=… = f[x1, …, xn ,x0]
因此 f [ x0 , x1,, xk ] = f [ x1, xk-1, x0 , xk ] = f [ x1, x2 ,, xk-1, xk ] - f [ x1, x2 ,, xk-1, x0 ] xk - x0 = f [ x1, x2 ,, xk-1, xk ] - f [ x0 , x1, x2 ,, xk-1] xk - x0
=
f[x0,x2] - f[x0,x1]
x2 - x1
= f[x0,x1,x2] ;
P2(x)=f(x0) + f[x0,x1](x-x0) + f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)
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f[x1,x2 , x3]- f[x0,x1, x2]
f[x0,x1,x2]
x3 – x0
x3 f(x3)
……
f[x2,x3 ] f[x1,x2,x3]
…
f[x0,x1,x2 ,x3]
例2.11 求 f(x)= x3在节点 x=0, 2, 3, 5, 6上 的各阶差商值。
解: 计算得如下表
xi f[xi] f[xi,xi+1]
➢ 要确定牛顿插值多项式Nn(x)系数，需要利用
下一节差商的计算。
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差商及其性质
3.1 差商及其性质
定义：函数y= f(x)在区间[xi ,xi+1]上的平均变化率
f[x i , xi1]
f(x i1) f(x i ) xi1 xi
称为f(x)关于xi , xi+1 的1阶差商。
定义2阶差商
计算方法 (Numerical Analysis)
第2次 Newton 插值
1. 牛顿插值多项式的概念 2. 差商及其性质 3. 牛顿插值多项式的系数与误差余项的导出 4. 利用牛顿插值多项式近似求解的例子
牛顿插值多项式的概念
§3 均差与牛顿插值多项式
拉格朗日插值多项式的优点与缺点
➢ 优点：结构对称，使用方便。
f[x j , xk ] f[xi , x j ] xk xi
例如：f[x 0 , x1, x2 ]
f[x 1, x2 ] f[x 0 , x1] x2 x0
一般地,可定义[xi, xi+1 ,…, xi+n]上的n阶差商：
f[x i , xi1,..., xin ]
f[x i1, xi2 ,..., xin ] f[x i , xi1,..., xi ] n1 xin xi
f[x i , xi1, xi2 ]
f[x i1, xi2 ] f[x i , xi1] xi2 xi
定义m阶差商
f[x 0 , x1, … xm ]
f[x1, x2 , … xm ] f[x 0 , x1, … xm1] xm x0
2阶差商 f[xi, xj, xk]是指
f[xi , x j , xk ]
f(x0 )
f(x1)
f(x2 )
(x0 x1)(x 0 x2 ) (x1 x0 )(x1 x2 ) (x2 x0 )(x2 x1)
f[x0 , x1..., xn ]
真漂亮
n
f(xk )
k0 (xk x0 ) (xk xk 1)(x k xk1) (xk xn )
➢ 缺点：由于是用基函数构成的插值，要增加 一个节点时，所有的基函数必须全部重新计 算，不具备承袭性，还造成计算量的浪费。
例如：3个节点，抛物插值的情况：
l0(x)
(x (x 0
x1)(x x2) x1)(x 0 x2 )
l1(x)
(x x0 )(x x2) ， (x1 x0 )(x1 x2 )
或者表示成
f[x0 , x1..., xn]
n k0
f(xk ) , ω(xk )
其中ω(xk
)
n
(xk
i0
xi)
ik
以上公式可以利用如下的表达式直接验证
n
ω(x) (xk xi ) i0
应理解：右端分母中，xk-xk 项永远不出现。
00
f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+3]
28 3 27 5 125 6 216
80 4 20
27 8 32
19
19 4 30
5
125 27 53
49
49 19 52
10
216 125 91 65
91 49 63
14
10 5 50
1
14 10 62
为了方便地计算差商，需要建立差商表。表中的箭头 指向表示更高阶差商所需要的低阶差商的参与。
xi f[xi] f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2，xi+3]
x0 f(x0) x1 f(x1) x2 f(x2)
f[x0,x1] f[x1,x2]
f[x1,x2]- f[x0,x1] x2 – x0
无x n ,将出现在系数中 （3.12）
其中ak (k=0,1,2,…,n)为待定系数。
它满足以下的递推公式：
Nn(x) Nn1(x) an(x x0 )(x x1) …(x xn1)
➢ 牛顿插值多项式Nn(x)是插值多项式p(x)的另 一种表示形式,
➢ 与Lagrange多项式相比 • 它克服了“增加一个节点时整个计算工作重 新开始”的缺点, • 节省乘除法运算次数, • 在Newton插值多项式中用到的差商等概念， 又与数值计算的其他方面有密切的关系.
l20 )(x 2 x1)
若要新增加一个节点，而进行3次插值的时候， 则需要重新计算
l1(x)，l 2 (x)，l 3 (x) 并且增加l 4(x).
➢ 试图改进：我们要构造一种具有承袭性的插 值多项式P(x)来克服这个缺点，
➢ 即，每增加一个新节点时，只需在P(x)原来 的表达式中增加相应的一项即可，而不改变 P(x)的原来已经存在的表达式部分。
基函数： (x-x0 ), (x-x0 )(x-x1 ), …，(x-x0 )(x-x1 )…(x-xn-1)
定义：给定n+1个插值节点x0 , x1 ,…, xn, 如 下形式的插值多项式称为Newton插值多项式：
Nn(x) a0 a1(x x0 ) a2(x x0 )(x x1) … an(x x0 )(x x1) … (x xn1)
1
差商的性质
性质1 函数 f(x) 的 n 阶差商 f [x0, x1 , …, xn ] 可 由 f (x0), f (x1 ), … , f (xn ) 的线性组合表示：
f[x 0 , x1]
f(x 0 ) x0 x1
f(x 1) x1 x0
验证 同学自己验证
f[x0 , x，1 x2]
➢ 这就是牛顿插值多项式的特点。
可以证明, 可将满足插值条件 p(x0) = y0 , p(x1) = y1 ，… p(xn) = yn
的n次插值多项式, 写成如下形式:
a0 a1(x x0 ) … an(x x0 )(x x1) …(x xn1)
其中ak (k=0,1,2,…,n)为待定系数。