基于偏微分方程

数学物理方程论文

——基于偏微分方程在PKMK型几何积分方法中的应用研究

基于偏微分方程在PKMK型几何积分方法中的应用研究

摘要：

人类的发展历史表明科学的理论总是从简单到复杂，从特殊到一般，从粗糙到

精确，逐渐深化的。因此，以数学为工具，以物理学开路的严密自然科学在初期阶

段总是力图把描述简单化、近似化，在数学方面采取的一个重要办法就是线性化。

但是随着科学的发展和人类向更完美的目标的持续追求，复杂的自然界不断促使我

们把一个个线性理论发展为非线性理论。非线性化是科学发展的必由之路。一些学

者已将非线性科学誉为上世纪继相对论和量子力学之后自然科学的“第三次革命”。

正如一位物理学家所说：“相对论的建立排除了对绝对空间和时间的牛顿幻觉；量

子力学的建立则排除了对可控空间和时间的牛顿幻觉；非线性科学的建立排除了拉

普拉斯决定论的可预见性狂想。”非线性科学的建立是研究非线性现象共性的一门

学问。

关键词：偏微分方程 PKMK型几何积分函数商的零点

正文：

在数学、物理、化学以及生物等领域中，人们遇到大量的非线性现象，这些现

象的表现形式虽然千差万别，但其运动规律却具有相似的数学模型。一般地，它们

可以用常微分方程和偏微分方程的数学模型来描述。许多偏微分方程通过空间离散

化可以化为常微分方程的初值问题。

传统上，人们从两个极端不同的出发点来理解和掌握常微分方程问题。纯数学

家对问题认识深刻，推导严密，并采用大范围整体化的定性知识；而数值分析家通

过构造富有技巧的算法，以获得只有很小的误差的离散解，他们一般不考虑整体的

定性性质。孰优孰劣?这要视具体问题具体分析。如果要问到：“局部误差多大?”

这个问题大可以由传统的数值分析方法来解决。事实上，真实的物理过程都不是极

端的。在数学物理问题的研究中，问题所属的物理学、力学和工程技术本身的特殊

规律，常常会在问题进行严格数学处理之前，提示求解问题定性的思想和方法，并

促使具体问题的解决。本文强调应将微分方程的几何性质等定性信息与数值计算有

机地结合起来，进而处理实际问题。

大部分在物理学中显示巨大威力的新的数学思想均来自于几何与分析的交叉。

我们可以简单地回顾微分方程与几何学不可分割的历史渊源。18世纪以前的物理学

家和自然哲学家，如Copemies，Galileo，Kepler,Newton等都对几何学非常熟悉，他们常用几何概念来表达其物理思想。在19世纪，Descartes对Euclid几何引入坐标后，将几何学的研究看成是代数和分析的应用，这引起了几何学的革命，促进了在

几何学中各种分析工具的应用。与此同时，在物理学中利用坐标概念将自然定律表

示成微分方程，促进了物理学的发展。在此阶段，多数物理学家主要注意对物理体

系局域运动性质的探讨，对运动实体的内部对称性及大范围整体性质往往注意不

足。拓扑学与微分几何在物理学的重要性常被忽视。19世纪中叶，Maxwell从实验

观察总结出电磁现象的运动方程，注意到Maxwell方程组的共性不变性。Lorentz。Minkowski之后，直到20世纪初，Einstein提出了狭义相对论，人们才进一步深入

认识到了时空的基本几何特性的重要性。这时主要应用的数学工具是微分方程及群

论分析等。长期以来，微分方程在自然现象的数学研究中起到了决定性的作用，人

们充分认识到，通过研究微分方程的几何性质，可以获知它的真解的关键性的定性

特征。其中最重要例子是Alexander Rowan Hamilton提出的力学定理，它使人们可

以用更复杂的几何工具来理解和研究刚体体系及复杂体系的力学性质，可以用相应

的Hamilton函数的对称性的概念来理解研究诸如能量、线性动量和角动量等Hamilton系统的守恒性质。用以研究微分方程另一个同样重要的几何方法是应用有Sophus Lie开创的基于对称性的方法。20世纪80年代以来，随着非线性微分方程

研究的需要，通过微分方程的对称性来研究非线性方程的性质，特别是用于简化或

完全求解微分方程，已成为一个十分重要的课题。

在实际生活中，许多微分方程是在一个李群或流形上通过李群作用而展开的，

流形提供了动力学微分方程发展的抽象定义域，李代数给出了动力学方程所定义的

结构。人们日益重视流形上微分方程的数值解问题，其主要目的在于数值方法的设

计要足以保证数值解在解析解发展的流形之上。为此很多学者进行了研究‘4叫，尽

管早在19世纪末、20世纪初这些数值方法赖以发展的基本结果已经存在，然而直

到近几年人们才研究了实用的数值计算法。数值离散这种微分方程时，保持其李群

结构是最基本的。本文介绍保持近似解落在原流形上的李群方法，即RKMK方法

【lo】，RKMK方法是求解构形空间在一个微分流形(或李群)上的一种推广的

Runge．Kutta方法【ll。”。其主要思想是把李群上展开的微分方程变换为与之相应的

李代数上展开的等价的微分方程后，所的指数映射回李群便可得到原微分方程的数

值解。，它能保证所得的数值解在正确的微分流形上进行迭代。李代数是矢量空间

(线性空间)，因此，经典的Runge—Kutta法等数值方法就可以用于近似求解变换后

的微分方程。在李代数上求解等价的微分方程后，所得的数值解由指数映射拉回到

李群便可得到原微分方程的数值解。特别地，Munthe．Kaas通过引入校正函数【141，

给出了显式的积分方法，它能保证所得的数值解在正确的微分流形上进行迭代。

非线性问题的求解是非线性科学中一项重要的工作。其中，大多数能够描述实

际物理问题的非线性方程是变系数的，所以要得到实际非线性方程的精确解是十分

困难的工作。含时Schrodinger方程的解的时间演化保持辛积与波函数模方守恒，

将含时Schrodinger方程离散成波函数模方为守恒量的有限维正则方程是数值求含

时Schroditiger方程的合理途径。

变系数的非线性Schrodinger方程存在众多物理领域，如等离子体物理、流体动

力学，非线性光学、固体物理，尤其是纤维光学中有着重要的应用。变系数的非线

性Schrodinger方程是光孤子散射中非常重要的方程l”1，光孤子通讯系统中孤子脉

冲的传输满足变系数的非线性Schrodinger方程。光孤子的形成是光脉冲线性的时

间域色散被非线性的自位相调制过程平衡。

本文利用李群方法构造了一种平方守恒格式——RJ@Ⅸ型积分方法。构造平方

守恒格式是稳定地求解非线性发展方程的重要方法之一。

关于非线性双曲型系统的Godunov格式的收敛性

A. Bressan H. K. Jenssen

考虑系统ut+A(u)ux=0, u∈n, 其中矩阵A(u)假设为严格双曲型的, 并具有特征向量域中的积分曲线为直线的性质. 对于这一类系统可以定义一自然

Riemann解法, 并从而定义一个Godunov格式, 其推广了守恒系统的标准Riemann解法和Godunov格式.该文证明了当运用小的全变差的初始数据时, 这格式

的收敛性和L1稳定性. 证明的主要步骤是估计由格式的二次耦合项产生的全变差的增量. 利用Duhamel原理,这问题化为表示离散随机游动的概率密度的

两个Green核积的估计, 那么总耦合量由两个具有严格不同平均速度的游动之间交叉的期望数所决定.