关于AR2序列判定的一个充要条件及证明

ｂ１＝０），ＡＲ（２）与 ＡＲＭＡ（２，１）的自相关系数的递推表达式的差
别仅表现在 ρ１ 的表达式不同，对 ＡＲ（２）模型 Ｘｔ－ａ１Ｘｔ－１－ａ２Ｘｔ－２＝εｔ，ｔ∈Ｚ
由（４），令 ｋ＝１，同时注意到 ρ１＝ρ－１ 有 ρ１＝ａ１ρ０＋ａ２ρ１
所以
ρ１＝
ａ１ １－ａ２
１）当特征根为两个不相等的实根 λ１，λ２ 时，由于
定，｛Ｘｔ｝的自相关系数满足上述三种结构表明它们分别是特 征方程 Ａ（ｚ）＝１－ａ１ｚ－ａ２ｚ２＝０具有相异实根，相同实根，共轭复 根时的 ＡＲＭＡ（２，１）序列，其特征值分别是（１）λ１－１，λ２－１；（２）λ－１； （３）ｒ－１ｒｉω，ｒ－１ｅ－ｉω，而 ＡＲ（２）是 ＡＲＭＡ（２，１）的特例（即滑动平均参数
λ１＋λ２＝－
ａ１ ａ２
圯
ａ１＝
λ１＋λ２ λ１λ２
λ１λ２＝－
１ ａ２
ａ２＝－
１ λ１λ２
－ ３７ －
所以
ρ１＝
ａ１ １－ａ２
＝
λ１＋λ２ １＋λ１λ２
２）当特征根为相等的实根 λ１＝λ２＝λ 时，由于
λ１＋λ２＝２λ＝－
ａ１ ａ２
圯
ａ１＝
２ λ
λ１λ２＝λ２＝－
１ ａ２
ａ２＝－
１ λ２
所以
ρ１＝
判别它是否为 ＡＲ（ｐ）序列，这是因为 ＡＲ（ｐ）序列的偏相关系
数的 ｐ 后截尾性是它的固有特性． 但是在时间序列建模中，
由于序列之间的短期相关性，通常建立的模型的阶数较低，
所以对 ＡＲ（２）模型，这里给出 ＡＲ（２）序列判别的一个条件，并
给出证明，这在时间序列分析中是很有用的．
定义 1 实数 ａ１，ａ２（ａ２≠０）使多项式 Ａ（ｚ）的零点都在单位 圆外，即：
过来由 Ｙｕｌｅ－Ｗａｌｋｅｒ 方程，我们也可以由自相关系数 ρｋ 解
出相应的 Ｙｕｌｅ－Ｗａｌｋｅｒ 系数 ａ１，ａ２．
ａ１＝
ρ１（１－ρ２） １－ρ１２
，ａ２＝
ρ２－ρ１２ １－ρ１２
从而得到相应的偏相关系数
ａｎ，ｎ＝
ａ２，ｎ＝２ ０，ｎ≥３
从上式看出 ＡＲ（２）模型的偏相关系数是 ２ 后截尾的．综
如果
ρ１＝
２ｒｃｏｓω １＋ｒ２
，则有
ρ１＝
Baidu Nhomakorabea
ａ１ １－ａ２
，从而有 ρ１＝ａ１ρ０＋ａ２ρ１．
Ａ（ｚ）＝１－ａ１ｚ－ａ２ｚ２≠０，｜ｚ｜≤１．
（１）
称差分方程
Ｘｔ－ａ１Ｘｔ－１－ａ２Ｘｔ－２＝εｔ，εｔ￣ＷＮ（０，σ２），ｔ∈Ｚ
（２）
是一个 ２ 阶自回归模型，简称 ＡＲ（２）模型，满足 ＡＲ（２）模型
（２）的平稳时间序列｛Ｘｔ｝称为平稳解或 ＡＲ（２）序列． 对于上述 ＡＲ（２）模型，特征多项式 Ａ（ｚ）＝１－ａ１ｚ－ａ２ｚ２≠０ 的
上，可以看出，尽管可以由偏相关系数的 ２ 后截尾性来判别
平稳序列是否为 ＡＲ（２）序列，但是在计算相应的偏相关系数
时离不开自相关系数的计算，所以为了方便，在这里来探讨
直接由自相关系数的特征来判别平稳序列是否为 ＡＲ （２）序
列．
2 主要结果
定理 1 平稳序列｛Ｘｔ｝的自相关系数满足以下三种情况 时：
1 引言
在时间序列分析中 ＡＲ（ｐ）模型的应用非常广泛，平稳时
间序列的特征完全地由他的自相关函数确定，从理论上讲，
根据平稳时间序列的自相关函数也完全可以判别一个平稳
序列是否为 ＡＲ（ｐ）序列，但是当 ｐ 充分大时，由于 ＡＲ（ｐ）序列
的拖尾性，给我们用自相关函数来判别此序列是否为 ＡＲ（Ｐ）
序列但来不便，故在时间序列分析中通常用偏相关系数来
第 28 卷 第 8 期（上） 2012 年 8 月
赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版 ） Journal of Chifeng University（Natural Science Edition）
Vol. 28 No. 8 Aug. 2012
关于 AR（2）序列判定的一个充要条件及证明
根都在单位圆外的充要条件是 ａ１，ａ２ 满足条件
ａ２±ａ１＜１，｜ａ２｜＜１
（３）
由 Ｙｕｌｅ－Ｗａｌｋｅｒ 方程知道，平稳解的自相关系数满足：
ρ０＝１，ρ１＝
ａ１ １－ａ２
ρｋ＝ａ１ρｋ－１＋ａ２ρｋ－２，ｋ≥１．
（４）
从递推公式（４）知，由于 ａ２≠０，不论多么大的 ｋ，总存在
ρｋ≠０，这正是 ＡＲ（２）模型的自相关系数表现出的拖尾性．反
，使得：
ρｔ＝ａ１ρｔ－１＋ａ２ρｔ－２，坌ｔ≥２，
如果
ρ１＝
２λ １＋λ２
，则有
ρ１＝
ａ１ １－ａ２
，从而有 ρ１＝ａ１ρ０＋ａ２ρ１．
３）因为 ρｔ＝ｒ－ｔ（ｃ１ｃｏｓωｔ＋ｃ２ｓｉｎωｔ），所以存在
ａ１＝λ１－１＋λ２－１＝
２ｃｏｓω ｒ
，ａ２＝－
１ λ１λ２
＝－
１ ｒ２
使得：
ρｔ＝ａ１ρｔ－１＋ａ２ρｔ－２，坌ｔ≥２，
张厚超，杨锦伟
（平顶山学院 数学与信息科学学院，河南 平顶山 467000）
摘 要：本文通过分析 AR (2)模型的自相关系数所满足的差分方程，给出了一个判别 AR (2)序列的充要条件，并探讨了 AR (2)序列与其子序列的关系.
关键词：AR(2)序 列 ；自 相 关 系 数 ；偏 自 相 关 系 数 中图分类号：Ｏ２１１．６１ 文献标识码：A 文章编号：1673- 260X（2012）08- 0037- 02
ａ１＝λ１－１＋λ２－１＝
λ１＋λ２ λ１λ２
，ａ２＝－
１ λ１λ２
使得：
ρｔ＝ａ１ρｔ－１＋ａ２ρｔ－２，坌ｔ≥２，
如果
ρ１＝
λ１＋λ２ １＋λ１λ２
，则有
ρ１＝
ａ１ １－ａ２
，从而有 ρ１＝ａ１ρ０＋ａ２ρ１．
２）因为 ρｔ＝（１＋ｃｔ）λ－ｔ，所以存在
ａ１＝λ－１＋λ－１＝
２ λ
，ａ２＝－
１ λ２
（１）ρｔ＝ｃ１λ１－ｔ＋ｃ２λ２－ｔ （２）ρｔ＝（１＋ｃｔ）λ－ｔ （３）ρｔ＝ｒ－ｔ（ｃ１ｃｏｓωｔ＋ｃ２ｓｉｎωｔ） 则此序列是 ＡＲ（２）序列的充要条件分别是
（１）ρ１＝
λ１＋λ２ １＋λ１λ２
（２）ρ１＝
２λ １＋λ２
（３）ρ１＝
２ｒｃｏｓω １＋ｒ２
证明 平稳时间序列的特征完全由它的自相关系数决
ａ１ １－ａ２
＝
２λ １＋λ２
３）当特征根为共轭复根 λ１＝ｒｅｉω，λ２＝ｒｅ－ｉω 时
λ１＋λ２＝２ｒｃｏｓω＝－
ａ１ ａ２
圯
ａ１＝
２ｃｏｓω ｒ
λ１λ２＝ｒ２＝－
１ ａ２
ａ２＝－
１ ｒ２
所以
ρ１＝
ａ１ １－ａ２
＝
２ｒｃｏｓω １＋ｒ２
这样，必要性得证．
下面证明充分性
１）因为 ρｔ＝ｃ１λ１－ｔ＋ｃ２λ２－ｔ，所以存在