全等三角形二次全等证明教程文件
八年级数学上册《综合利用三种方法证两三角形全等》教案、教学设计
(三)学生小组讨论
1.将学生分成若干小组,每组挑选一道具有挑战性的全等三角形证明题目,鼓励学生运用所学知识进行讨论。
2.学生在小组内部分工合作,共同解决问题,教师巡回指导,解答学生的疑问。
3.各小组汇报讨论成果,分享解题过程,教师对学生的解答进行点评,总结优点和不足。
3.设计不同难度的例题和练习题,使学生在解题过程中逐步掌握全等三角形的判定方法,提高分析问题和解决问题的能力;
4.引导学生通过观察、分析、归纳、总结等过程,发现规律,培养逻辑思维能力和创新意识。
(三)情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情,激发他们学习数学的积极性,树立正确的学习态度;
2.培养学生的自信心,让他们在解决实际问题的过程中体会成功的喜悦,形成积极向上的心态;
1.完成课本第十章第2节后的练习题,包括基础题和拓展题,要求学生在理解题目要求的基础上,独立完成,注重证明过程的书写和逻辑性。
2.选择两道具有代表性的全等三角形证明题目,要求学生在课后进行深入研究和思考,尝试运用不同的判定方法进行证明,培养他们思维的灵活性和创新意识。
3.结合生活实际,让学生自己设计一道与全等三角形相关的问题,并运用所学知识进行解答。此举旨在培养学生的实际问题解决能力,激发他们对数学学科的兴趣。
8.课后延伸,巩固提高:布置富有思考性的课后作业,让学生在课后继续巩固所学知识,提高解决问题的能力。
四、教学内容与过程
(一)导入新课
1.利用多媒体展示生活中全等三角形的实例,如拼接而成的三角形地板、建筑设计中的全等三角形图案等,引发学生对全等三角形的好奇心和探究欲望。
2.提问:“同学们,你们在生活中还见到过哪些全等三角形的例子?”通过学生的回答,引导学生关注全等三角形在实际生活中的应用。
全等三角形二次全等证明课件.doc
全等三角形两次全等证明1.已知:如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点D是BC的中点,DF⊥AB于F,DE⊥AC于E.:△BDF≌△CDE.求证2.已知:如图,点A,E,F,C在同一直线上,AE=CF,过点E,F分别作DE⊥AC,BF⊥A C,接AB,CD,BD,BD交AC于点G,AB=CD.连:△DEG≌△BFG.求证3.已知:如图,在Rt△ACD中,∠ADC=90°,BE⊥AC于E,交CD于点F,AE=AD.:△CEF≌△BDF.求证4.已知:如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD,BD平分∠ABC,E为B D上任意一点,接AE,CE.连:△ADE≌△CDE.求证5.已知:如图,在△ABC中,∠ACB=∠ABC=60°,∠EDF=60°,BD=CD,∠DBC=∠DCB=30°,∠BDC=12°0,延长A C到点G,使CG=BE.:△EFD≌△GFD.求证6已知:如图,点A,C在直线E F上,BC=AD,AB=CD,AE=CF.:∠E=∠F.求证7.已知,如图,AE=BF,AD=BC,CE=DF.求证:AO=BO.8、已知:如图,∠D=∠E,AM=ME=CN=DN.试猜想AB和BC的数量关系,并证明你的猜想.9.已知:如图,在△ABC中,点D是BC的中点,DF⊥AB于F,DE⊥AC于E,DF=DE.求证:AB=AC.10.如图,在正方形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=CD=AD.E为BC边上一点,且AE=DE,AE与对角线BD交于点F,∠ABF=∠CBF,连接CF交DE于点G.求证:DE⊥CF.11.已知:如图,在等边△ABC中,∠C=∠ABD=60°,AB=BC=AC,点D,E分别为BC,AC边上一点且AE=CD,连接AD,BE相交于点F.求证:∠1=∠2.12.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E是AB上一点,且BE=BC,过E作DE⊥AB交AC于D,连接BD.:AC=AD+DE.求证13.已知:如图,A,F,C,D在同一直线上,AF=DC,AB∥DE,且AB=DE.求证:BF=EC.14.已知:如图,在四边形ABCD中,连接B D,AB∥CD且AB=CD.:AD∥BC.求证15.已知:如图,在△ABC中,D是BC边上任意一点,D E⊥AB于E,DF⊥AC于F,且DE=DF.若∠B=35°,∠C=60°,求∠1的度数.6.如图,在正方形ABCD,DEFG中,AD=CD,DE=DG,∠EDG=∠ADC=90°,连接CG交AD于N,连接AE交CG于M.求证:AE=CG,AE⊥CG.16.已知:如图,∠ABC=∠DEF,AB=DE,CE=BF.求证:△ABC≌△DEF.17.如图,已知∠1=∠2,AC=AD,AB=AE.求证:△ABC≌△AED.18.已知:如图,A C,BD相交于点O,OA=OC,AB∥C D.求证:△AOB≌△COD.19.已知:如图,AB=CD,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:△ABC≌△DCB.20.已知:如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是AB边上一点,BF⊥CD于点F,AE⊥CD交CD的延长线于点E.:△ACE≌△CBF.求证21.已知:如图,点E在△ABC的外部,点D在BC边上,DE交AC于F,若∠1=∠2=∠3,AC=AE.:△ABC≌△ADE.求证。
八年级上册数学三角形全等证明之二次全等(含答案)
第2节 三角形全等证明之二次全等在证明线段相等或者角相等时,常见的方法是通过证明线段或角所在的三角形全等来证明线段或者角相等.但有的时候,根据题目条件无法简单地通过一次全等证明来得到最终的结论,这时就需要证明两次三角形全等,即证明图中的两对三角形全等.这种方法较多见于对称型全等和旋转型全等的题目中.一、典型例题[例]图2-1是某产品商标的示意图,已知AB =CD,∠A =∠D,有人认为△ABC ≌△DCB,他的思考过程是:∵AB =CD,∠A =∠D,BC =CB,∴△ABC ≌△DCB.你认为这个思考过程对吗?如果正确,请指出他用的是判定三角形全等的哪个定理?如果不正确,请写出你的思考过程.解:他的思考过程不正确.在△ABE 和△DCE 中,∵{∠AEB =∠DEC∠A =∠D AB =DC∴△ABE ≌△DCE (AAS ).∴AE =DE,BE =CE.∴AE+EC =DE+EB,即AC =BD.在△ABC 和△DCB 中,∴{AC =BDAB =DC BC =CB∴△ABC ≌△DCB (SSS ).二、培优巩固练习篇1.如图2-2所示,点A,E,C 在一条直线上,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:△ABE ≌△ADE.图2-2图2-12.如图2-3所示,点A,E,F,C 在一条直线上,AE =CF,分别过点E,F 作DE ⊥ AC,BF ⊥AC,连接AB,CD,且AB ∥CD,连接BD 交AC 于点C.求证:△DEG ≌△BFG.3.如图2-4所示,AB =AC,DB =DC,F 是AD 延长线上的一点.求证:BF =CF.4.如图2-5所示,AE 是∠BAC 的角平分线,EB ⊥AB 于点B,EC ⊥AC 于点C,点D 是AE 上一点.求证:BD =CD.5.如图2-6所示,DE ⊥AC,BF ⊥AC,AD =BC,DE =BF.求证:AB ∥DC.图2-3C图2-4图2-5图2-66.如图2-7所示,点E,F 在BD 上,且AB =CD,BF =DE,AE =CF.求证:AO =CO.7.如图2-8所示,AB 之间有一条河.想要测量AB 的长,但无法过河接近点A,于是在AB 外任取一点D,在AB 的延长线上任取一点E,连接ED 和BD,并延长BD 到点G,使DG =DB,延长ED 到点F,使DF =DE,连接FG,并延长FG 到点H,使点H,D,A 在一条直线上,则HG =AB.试说明这种测量方法的原理.8.如图2-9所示,在Rt △ABC 和Rt △ADE 中,∠ABC =∠ADE =90°,BC 与DE 相交于点F,且AB =AD,AC =AE,连接CD,EB.求证:(1)∠CAD =∠EAB;(2)CF =EFDH图2-8图2-99.如图2-10所示,在等边△ABC 内取一点D,使DA =DB,在△ABC 外取一点E,使∠DBE =∠DBC,且BE =BA,则∠BED =_______°.10.如图2-11所示,∠BAC 是钝角,AB =AC,点D,E 分别在AB,AC 上,且CD =BE.试说明:∠ADC =∠AEB.一个同学的解法是这样的: 在△ACD 和△ABE 中, ∵{AB =AC BE =CD ∠BAE =∠CAD ∴△ABE ≌△ACD.∴∠ADC =∠AEB.这种解法遭到了其他同学的质疑.理由是错在不能用“SSA ”判定三角形全等.请你给出正确的解法.图2-10CB AC B答案解析1.证明:在△DEC和△BEC中,{∠1=∠2 EC=EC ∠3=∠4∴△DEC≌△BEC(ASA).∴DE=BE.∵∠3=∠4,∴∠DEA=∠BEA.在△ABE和△ADE中,{AE=AE∠AEB=∠AEDBE=DE∴△ABE≌△ADE(SAS).2.证明:∵DE⊥AC,BF⊥AC, ∴∠AFB=90°=∠CED. ∵AE=CF,∴AE+EF=CF+FE,即AF=CE.∵AB∥CD,∴∠A=∠C.在△ABF和△CDE中,{∠A=∠C AF=CE∠AFB=∠CED ∴△ABF≌△CDE(ASA).∴DE=BF.在△BFG和△DEG中,{∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE BF=DE∴△BFG≌△DEG(AAS).3.证明:在△ABD和△ACD中,{AB=AC BD=CD AD=AD∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠BAD=∠CAD.在△BAF和△CAF中,{AB=AC∠BAF=∠CAF AF=AF∴△BAF≌△CAF(SAS).∴BF=CF.4.证明:∵AE是∠BAC的角平分线, ∴∠CAE=∠BAE. ∵EB⊥AB,EC⊥AC, ∴∠ECA=∠EBA=90°.在△CAE和△BAE中,{∠CAE=∠BAE ∠ECA=∠EBA AE=AE∴△CAE≌△BAE(AAS).∴AC=AB.在△CAD和△BAD中,{AC=AB ∠CAD=∠BAD AD=AD∴△CAD≌△BAD(SAS).∴BD=CD.5.证明:∵DE ⊥AC,BF ⊥AC, ∴∠AED =∠CFB =90°, ∠AFB =∠CED =90°, 在Rt △ADE 和Rt △CBF 中,∵{AD =CB DE =BF ∴Rt △ADE ≌Rt △CBF (HL ).∴AE =CF.∴AE+EF =CF+FE,即AF =CE.在△AFB 和△CED 中,∵{AF =CE∠AFB =∠CED DE =BF∴△AFB ≌△CED (SAS ). ∴∠BAF =∠DCE.∴AB ∥DC.∴AO =CO.6.证明:∵BF =DE, ∴BF-EF =DE-FE,即BE =DF. 在△ABE 和△CDF 中, {AB =CDAE =CF BE =DF∴△ABE ≌△CDF (SSS ).∴∠B =∠D.在△AOB 和△COD 中,{∠AOB =∠COD∠B =∠D AB =CD∴△AOB ≌△COD (AAS )7.解:在△BED 和△GFD 中,{DB =DG∠BDE =∠GDF DE =DF∴△BED ≌△GFD (SAS ).∴∠EBD =∠FGD.∴∠ABD =∠HGD.在△ABD 和△HGD 中,{∠ABD =∠HGDBD =GD∠BDA =∠GDH∴△ABD ≌△HGD (ASA ).∴HG =AB.8.证明:(1)在Rt △ABC 和Rt △ADE 中,{AC =AE AB =AD ∴Rt △ABC ≌Rt △ADE (HL ).∴∠BAC =∠DAE.∴∠BAC-∠DAB =∠DAE-∠DAB,即∠CAD =∠EAB.(2)在△ACD 与△AEB 中, {AC =AE∠CAD =∠EAB AD =AB∴△ACD ≌△AEB (SAS ).∴CD =BE,∠ACD =∠AEB.∵Rt △ABC ≌Rt △ADE (HL ), ∴∠ACB =∠AED.∴∠ACB-∠ACD =∠AED-∠AEB,即∠DCF =∠BEF.又∵∠DFC =∠BFE, ∴△DFC ≌△BFE (AAS ).∴CF =EF.9.解:如图2所示,连接CD.∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=CA.∵BE=BA,BA=BC, ∴BE=BC.在△BDC和△BDE中,{BD=BD∠DBE=∠DBC BE=BC∴△BDC≌△BDE(SAS). ∴∠BED=∠BCD.在△BCD和△ACD中,{BC=AC BD=AD CD=CD∴△BCD≌△ACD(SSS).∴∠BCD=∠ACD=30°.∴∠BED=30°.10.证明:因为∠BAC是钝角,故过点B,C分别作CA,BA的垂线,垂足分别为点F, G,如图3所示.在△ABF和△ACG中,{∠F=∠G=90°∠FAB=∠GACAC=AB∴△ABF≌△ACG(AAS).∴BF=CG.在Rt△BEF和Rt△CDG中,{BF=CGBE=CD∴Rt△BEF≌Rt△CDG(HL).∴∠ADC=∠AEBEDC BA。
春中考数学《二次函数:全等三角形的存在性问题》课件
理解偏差
对于全等三角形的理解存 在偏差,导致在应用判定 定理时出现错误。
判定方法的实际应用
解题技巧
在解决二次函数问题时,利用全 等三角形的存在性判定可以简化
解题过程。
实际应用
全等三角形的存在性判定在实际生 活中也有广泛的应用,例如在几何 图形的设计和制作中。
拓展应用
通过全等三角形的存在性判定,还 可以进一步探究二次函数图像中的 其他几何性质和规律。
高难度练习题3
题目内容涉及二次函数的最值求解和全等三角形 的证明,以及数学思想的运用。
基础练习题答案
详细解答每个基础练习题的解题思路和步骤,帮助 学习者掌握基础知识。
中等难度练习题答案
详细解答每个中等难度练习题的解题思路和步骤 ,提高学习者的解题能力。
高难度练习题答案
详细解答每个高难度练习题的解题思路和步骤,激发学 习者的创新思维和数学素养。
总结词
基础题目是全等三角形存在性问题的入门级题目,主要考察学生对基础概念和 公式的掌握程度。
详细描述
基础题目通常包括简单的图形变换、基本的全等条件和简单的计算。通过这些 题目,学生可以熟悉全等三角形存在性问题的基本解题思路和方法,为解决更 复杂的问题打下基础。
中等难度题目解析
总结词
中等难度题目是在基础题目上的提升,需要学生具备一定的 推理和问题解决能力。
详细描述
这类题目通常涉及到更复杂的图形变换、多个全等条件的应 用以及一些计算技巧。学生需要通过仔细分析图形和条件, 逐步推导出结论,并能够运用所学知识解决实际问题。
高难度题目解析
总结词
高难度题目是全等三角形存在性问题的最高级别题目,对学生的推理、计算和问题解决能力有很高的要求。
全等三角形二次全等证明
3・5. 6. 7・8. 已知J 如图,点A, 连接 AB, CD. BD, 求证J ADEG^ABFG.E ・F, C 在同一宜线上,AE=CF»过点E,F 分别作DE 丄AC. BF 丄AC, BD 交 AC 于点 G, AB=CD. 3•已知J 求证J ACEF^ABDF-如图,在 RtAACD 中,ZADC=90% BE 丄 AC 于 E,交 CD 于点 F, AE=AD.全等三角形两次全等证明已知J 如图,在A ABC 中,AD 平分ZBAC,点D 是BC 的中点,DF 丄AB 于F, DE 丄AC 于 E ・求证J ABDF^ACDE.1. 2. C10.4•己知J如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD> BD平分ZABC, E为BD上任意一点, 连接AE, CE.求证J A ADE丝△CDE.5•已知:如图,itAABC 中,ZACB=ZABC=60% ZEDF=60\ BD=CD, ZDBC= ZDCB=30°, ZBDC=120\ 延长AC 到点G,使CG=BE.求证J AEFD丝△GFD.6已知J如图,点A, C在直线EF上,BC=ADr AB=CD. AE=CF. 求证J ZE=ZF・7•已知,如图,AE=BF, AD=BC- CE=DF. 求证J AO=BO-8、已知:如虬ZD=ZE, AM=ME=CN=DN.试猜想AB和BC的数量关系•并证明你的猜想・9•已知J如图,在AABC中,点D是BC的中点,DF1AB于F, DE丄AC于E・DF=DE・贞脚内容6求证J AB=AC.10•如图,在正方形ABCD 中,ZABC=ZBCD=90\ AB=BC=CD=AD. E 为BC 边上一点,且AE=DE. AE勺对角线BD交于点F, ZABF=ZCBF.连接CF交DE于点G・11•已知J如图,在等边AABC中,Z C=Z ABD=60\ AB=BC=AC,点D, E分别为BC, AC边上一点且AE=CDr连接AD, BE相交于点F・求证J Z 1=Z 2.12•已知J 如图,RtA ABC 中,Z ACB=90\ E 是 AB K 一点,且 BE=BCr 过 E 作 DE 丄AB 交 AC 于D,连接BD.求证J AC=AD+DE.13•已知J 如图• A, F, C, D 在同一宜线上,AF=DC» ABH DE,且AB 二DE ・ 求证J BF=EC.14•已知J 如图,在四边形ABCD 中,连接BD, ABH CD 且ABCD. 求证J AD II BC ・15•已知J 如图,在^ ABC 中,D 是BC 边上任意一点,DE 丄AB 于E. DF 丄AC 于F,且DE=DF-若 Z 6=35% Z C=60\求Z 1的度数・6•如图,在正方形 ABCD, DEFG 中,AD=CD, DE=DG, Z EDG=Z ADC=90\ 连接 CG 交 AD 于 N,连接AE 交CG 于M.求证.AE=CG. AE 丄CG ・16•已知J 如图,Z ABOZDEF, AB=DE, CE=BF.求证j △ ABC塁△ DEF ・AD C c8 Q C17•如图,已知Z 1=Z 2, AOAD, AB=AE.求证j △ ABC 竺△ AED ・ 18•已知J19•已知J 20•已知JACE 竺△ CBF ・如图,点E 在AABC 的外部,点D 在BC 边上,DE 交AC 于已若Z 1=Z 2=Z 3, 如图,AC. BD 相交于点 6 OA=OC, ABII CD.求证:A AOB^ △ COD. 如图,AB=CD, Z 1=Z 2, Z3=Z4・求证j A ABC^ DCB- 如图•在RtA ACB 中,Z ACB=90\ AC=BC,点D 是AB 边上一点,BF 丄CD 于点F,AE 丄CD 交CD 的延长线于点E. 求证:△21•已知:AC=AE.求证J A ABQ △ ADE.。
全等三角形模型:二次全等、截长补短、倍长中线、一线三等角、半角模型
全等三角形模型+例题【考纲要求】1. 了解全等三角形的概念和性质,能够准确地辨认全等三角形中的对应元素;2.探索三角形全等的判定方法,能利用三角形全等进行证明,掌握综合法证明的格式;3.会作角的平分线,了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质,会利用角的平分线的性质进行证明.【考点梳理】【全等三角形】知识点一、全等三角形的概念及表示1.两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形全等三角形是特殊的全等图形,同样的,判断两个三角形是否为全等三角形,主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同,与它们所处的位置无关.2.全等三角形的对应关系:两个全等三角形重合在一起,重合的顶点叫对应顶点,重合的边叫对应边,重合的角叫对应角.3.全等三角形的表示:全等用符号“≌”表示,读作“全等于”.在记两个三角形全等时,要把对应顶点的字母写在对应的位置上,如△ABC和△DEF全等,记作△ABC≌△DEF,读作△ABC全等于△DEF.4.确定全等三角形对应关系的方法:(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;(2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角;(3)有公共边的,公共边是对应边;(4)有公共角的,公共角是对应角;(5)有对顶角的,对顶角一定是对应角;(6)两个全等三角形中一对最长的边(或最大的角)是对应边(或角)一对最短的边(或最小的角)是对应边(或角).知识点二、全等三角形的性质1.最主要的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等.2.其它性质:(1)全等三角形对应边上的高线相等,对应边上的中线相等,对应角的角平分线相等;(2)全等三角形的周长相等,面积相等,但是,周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形.知识点三、全等变换在不改变图形的形状和大小的前提下,只改变图形的位置叫做全等变换.常见的全等变换有平移变换、翻折变换、旋转变换,如下图所示:【探索三角形全等的条件】边角边两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,简写为“边角边”或“SAS ”.在△ABC与△A’B’C’中,已知角边角两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,简写“角边角”或“ASA ”.在△ABC与△A’B’C’中,已知角角边两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,简称为“角角边”或“AAS ”. 在△ABC 与△A’B’C’中,已知边边边三边分别相等的两个三角形全等,简称为“边边边”或“SSS ”.在△ABC 与△A’B’C’中,已知.斜边、直角边斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简称为“斜边、直角边”或“HL ”在Rt △ABC 与Rt △A’B’C’中,,已知.1. 只有两边及其夹角分别对应相等,才能判定两个三角形全等,“边边角”不能判定三角形全等;2. 在书写过程中,要按照边角边对应顺序书写,即对应顶点的字母写在对应的位置上.探究SSA全等篇异侧半角模型1.如图,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 上的点,且∠EAF =45º,则BE +DF=EF .简证:如图,将△ADF 绕点A 顺时针旋转90º得到△ABG ,使得AD 与AB 重合, 通过证明△AEF ≌△AEG 即可得到BE +DF =EF .2.如图,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 上的点,且∠EAF =45º,则AE 平分∠BEF ,AF 平分∠DFE .简证:如图,将△ADF 绕点A 顺时针旋转90º得到△ABG ,使得AD 与AB 重合;将△ABE 绕点A 逆时针旋转90º得到△ADH ,使得AB 与AD 重合.3. 如图,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 上的点,且∠EAF =45º,则.简证:通过上述的全等直接可以得到,不再证明.4.如图,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 上的点,且∠EAF =45º,过点A 作AH ⊥EF 交EF 于点H ,则AH =AB .简证:由上述结论可知AE 平分∠BEF ,又∵AB ⊥BC ,∴AH =AB . 5.如图,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 上的点,且∠EAF =45º,则.简证:由结论1可得EF =BE +DF ,则=CE +CF +EF =CE +CF +BE +DF =2AB .6. 如图,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 上的点,且∠EAF =45º,AE 、AF 分别与BD 相交于点M 、N ,则.简证:如图,将△AND 绕点A 顺时针旋90º得到△AGB ,连接GM .通过证明△AMG ≌△AMN 得MN =MG ,DN =BG ,∠GBE =90º,即可证.补充:等腰直角三角形与“半角模型”DCPBACDPB ADPCAB如图所示,在等腰直角三角形ABC中,若∠DCE=45º,则.证明:如图,将△ACD绕着点C顺时针旋转90º得到△,连接.1.1二次全等证明1.已知:如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点D是BC的中点,DF⊥AB于F,DE⊥AC于E.2.求证:△BDF≌△CDE.3.4.5.已知:如图,点A,E,F,C在同一直线上,AE=CF,过点E,F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,连接AB,CD,BD,BD交AC于点G,AB=CD.6.求证:△DEG≌△BFG.7.3.已知:如图,在Rt△ACD中,∠ADC=90°,BE⊥AC于E,交CD于点F,AE=AD.求证:△CEF≌△BDF.4.已知:如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD,BD平分∠ABC,E为BD上任意一点,连接AE,CE.求证:△ADE≌△CDE.5.已知:如图,在△ABC中,∠ACB=∠ABC=60°,∠EDF=60°,BD=CD,∠DBC=∠DCB=30°,∠BDC=120°,延长AC到点G,使CG=BE.6.求证:△EFD≌△GFD.7.6、已知:如图,点A,C在直线EF上,BC=AD,AB=CD,AE=CF.求证:∠E=∠F.7、已知,如图,AE=BF,AD=BC,CE=DF.求证:AO=BO.8、已知:如图,∠D=∠E,AM=ME=CN=DN.试猜想AB和BC的数量关系,并证明你的猜想.9、10、9.如图,在正方形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=CD=AD.E为BC边上一点,且AE=DE,AE与对角线BD交于点F,∠ABF=∠CBF,连接CF交DE于点G.求证:DE⊥CF.10.已知:如图,在等边△ABC中,△C=△ABD=60°,AB=BC=AC,点D,E分别为BC,AC边上一点且AE=CD,连接AD,BE 相交于点F.11.求证:△1=△2.12.1.2截长补短 倍长中线例题1、如图,已知在ABC ∆中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,延长BE 交AC 于F ,AF EF =,求证:AC BE =.例题2、在Rt ABC ∆中,90BAC ∠=︒,点D 为BC 的中点,点E 、F 分别为AB 、AC 上的点,且ED FD ⊥.以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形?若能,该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形?例题3、八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动,请你和他们一起活动吧.【探究与发现】(1)如图1,AD 是△ABC 的中线,延长AD 至点E ,使ED=AD ,连接BE ,写出图中全等的两个三角形______【理解与应用】(2)填空:如图2,EP 是△DEF 的中线,若EF=5,DE=3,设EP=x ,则x 的取值范围是______.(3)已知:如图3,AD 是△ABC 的中线,∠BAC=∠ACB ,点Q 在BC 的延长线上,QC=BC ,求证:AQ=2AD .F E D CB AF EDC B A例题4、如图,在△ABC中,已知∠ABC=45°,过点C作CD⊥AB于点D,过点B作BM⊥AC于点M,CD与BM相交于点E,且点E是CD的中点,连接MD,过点D作DN⊥MD,交BM于点N.(1)求证:△DBN≌△DCM;(2)请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系,并证明你的结论.例题5、阅读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明.已知:如图,E是BC的中点,点A在DE上,且∠BAE=∠CDE.求证:AB=CD.分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等.因此,要证AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形.现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中一种,对原题进行证明.例题8、(1)如图,四边形ABPC中,AB AC∠=︒,求证:PB PC PABPC+=.=,60BAC∠=︒,120(2)如图,四边形ABCD中,AB BCAPC∠=︒,求证:ABC∠=︒,P为四边形ABCD内一点,且120=,60++≥.PA PC PD BDC 1A B C ED D E(C )B A C 1C 1A B C E D 1A B C E D1.3一线三等角例1:已知AB ⊥BD ,ED ⊥BD ,AB =CD ,BC =DE ,⑴求证:AC ⊥CE ;⑵若将△CDE 沿CB 方向平移得到①②③④等不同情形,1AB C D ,其余条件不变,试判断AC ⊥C 1E 这一结论是否成立?若成立,给予证明;若不成立,请说明理由.① ② ③ ④例2:等腰直角△ABC ,其中AB=AC ,∠BAC=90°,过B 、C 作经过A 点直线L 的垂线,垂足分别为M 、N .(1)你能找到一对三角形的全等吗?并说明.(2)BM ,CN ,MN 之间有何关系?若将直线l 旋转到如图2的位置,其他条件不变,那么上题的结论是否依旧成立?例3.(1)如图,已知:在△ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC ,直线m 经过点A ,BD ⊥直线m ,CE ⊥直线m ,垂足分别为点D 、E .证明:DE =BD +CE .(2)如图,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC =a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3) 拓展与应用:如图,D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状.1.4半角模型1.在等腰Rt△ABC中,CA=CB,∠ACB=90º,O为AB的中点,∠EOF=45º,交CA于F,交BC的延长线于E.(1)求证:EF=CE+AF;(2)如图2,当E在BC上,F在CA的反向延长线上时,探究线段AF、CE、EF之间的数量关系,并证明.2.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180º,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD,求证:EF=BE+FD.3. 如图,△ABC是边长为3的等边三角形,△BDC是等腰三角形,∠BDC=120º,以D为顶点作一个60º的角,使其两边分别交AB于M,交AC于N,连接MN,则△AMN的周长是多少?4.如图,在等边△ABC中,∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O,点E、F分别在线段AB、BC上,连接EO、FO,满足∠EOF=60º,连接EF.(1)①求证:OB=OC;②求∠BOC的度数;(2)求证:CF=BE+EF.5. 在四边形ABDC中,AC=AB,DC=DB,∠CAB=60º,∠CDB=120º,E是AC上一点,F是AB延长线上一点,且CE=BF.(1)试说明:DE=DF;(2)在图1中,若G在AB上且∠EDG=60º,试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明;(3)若题中条件“∠CAB=60º,∠CDB=120º”改为“∠CAB=,∠CDB=,G在AB上,那么∠EDG 满足什么条件时,(2)中的结论仍然成立?”(直接写结果,不需证明).。
全等三角形二次全等证明课件.doc
全等三角形两次全等硼1.已知:如图在ZABC中,AD平分/BAC,点D是BC的中点,DF 1AB于F, DE UC于E.求证ZBDF^ ACDE .2.已知:如图点A, E, F, C在同一直统,AE=CF ,遨E, F分掰DEUC, BFUC, 接AB, CD, BD, BD 交AC 于点G, AB=CD .求证ZDEG^ ABFG .3.已知:如图在RtZACD 中,/ADC=90 ; BE UC 于E,交CD 于点F, AE=AD . 求证ZCEF^ABDF .CA D B4.已知:如图在四避ABCD中,AB=BC=CD=AD , BD平分/ABC, E BD上任意一点, 接AE, CE.求证ZADE^ ACDE .5,已知:如图在ZABC 中,/ ACB= ZABC=60 °, /EDF=60 ; BD=CD , /DBC= /DCB=30 ;/BDC=12 0 ,延腕至l点G,使CG=BE .求证ZEFD^ AGFD .6已知:如图点A, C在直筏F上,BC=AD , AB=CD , AE=CF . 求证/ E=/F.7 .已知,如图, AE=BF , AD=BC , CE=DF .求证:AO=BO .D=/E, AM=ME=CN=DN .试猜想 AB 和BC 的数量关系,井证明你的猜9 .已知:如图,在 ZXABC 中,点 D 是BC 的中点,口尸,人8于尸,DELAC 于E, DF=DE . 求证:AB=AC .B0\D8、已知:如图,想. A如图,在等边 AE=CD ,连接 1=/ 2.△ ABC 中,/ C=/ABD=60 °, AB=BC=AC ,点 D, E 分别为 AD, BE 相交于点 F.BC, AC 边 RtA ABC 中,/ ACB=90 °, E 是 AB 上一点,且 BE=BC ,过 E 作 DE ,AB 交10 .如图,在正方形 ABCD 中,/ABC= / BCD=90 °, AB=BC=CD=AD . E 为 BC 边上一点, AE 与对角线 BD 交于点 F, /ABF=/CBF,连接 CF 交DE 于点 G.求证:DEXCF.且 AE=DE , 11.已知: 上一点且 12.已知:如图,在AC 于 D ,超 BD. 求证 AC=AD+DE13 .已知:如图 求证BF=EC .A, F, C, D 在同一直纵, AF=DC , AB //DE,且 AB=DE . 14 .已知:如图在四遨 求证 AD //BC .BD, AB//CD 且 AB=CD .在Z^ABC 中,D 是BC 边任意一点, DEUB 于E, DF UC 于F,且 DE=DF .若ABCD 中,避 I f r — 415.已知:如图/ ABC= /DEF , AB=DE , CE=BF .求证 AABC 9 ADEF ./B=35 °, /C=60°,求/1 的度数.6.如图在正方形 ABCD , DEFG 中,AD=CD , DE=DG , /EDG=/ADC=90 ;接 CG 交 AD 于 N,整AE 交CG 于M . 求证 AE=CG , AE JCG .17 .如图已知/ 1=/2, AC=AD , AB=AE .求证 AABC^ AAED .18 .已知:如图 AC, BD 相交于点 O, OA=OC , ABqD.求证 AAOB^ ACOD .19 .已知:如图 AB=CD , /1=Z2, /3=/4.求证 AABC ADCB .20 .已知:如图 在 RtAACB 中,/ACB=90 ; AC=BC ,点 D 是 AB 边一点, BF 1CD 于点 F, AE 山CD 交CD 的延蜴素 E.求证AACE 色ACBF .21 .已知:如图 点 E 在"BC 的外部,点 D 在BC 边,DE 交 AC 于F,若/1 = /2=/3, AC=AE . 求证 AABC 应AADE .16.已知:如图 FlI。
全等三角形的判定---两次全等型
例2、证明:全等三角形对应边上的高相等.
已知:如图,△ABC ≌△A′B′C′ ,AD、A′ D′ 分别是△ABC
和△A′B′C′的高.求证:AD= A′D′ .
A
证明:∵ △ABC ≌△A′B′C′ ,(已知)
∴ AB=A'B'(全等三角形的对应边相等),
∠B=∠B'(全等三角形的对应角相等).
∠DAE=∠BAE,(已证) ∴△ADE≌△ABE(SAS), AE=AE, (公共边 ) ∴BE=DE.(全等三角形的对应边相等)
练习2
练习3. 如图,CD⊥AB于D点,BE⊥AC于E点,BE,CD交 于O点,且AO平分∠BAC.求证:OB=OC.
证明:∵BE⊥AC,CD⊥AB,
∴∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°.
∵ ∠A=∠D (已证) AB=CD (已知) ∠B=∠C (已证)
∴ △AOB≌△DOC (ASA)
E
A
B
1
∴OA=OD (全等三角形的对应边相等)
在△AOE和△DOF中 ∵ ∠A=∠D (已证)
OA=OD (已证) ∠1=∠2 (对顶角相等)
O
2
D CF
∴ △AOE≌△DOF (ASA)
∴OE=OF (全等三角形的对应边相等)。
( 全等三角形对应边相等 )
∴ ∠1=∠2 (全等三角形对应角相等)
练习1:已知:如图AB∥CD,AB=CD,AD与 BC交于点 O,EF过点O,分别交AB、CD于点E、F。 求证:OE=OF
证明:∵AB∥CD (已知)
∴ ∠A=∠D, ∠B=∠C (两直线平行,内错角相等)
在△AOB和△DOC中
∵ AD,A'D'分别是△ABC ,△A′B′C′的高,
三角形全等条件二(初中 八年级 数学课件)
如图,在△ABC与△A’B’C’中,已知
考:∠A=30°,∠B=40°,AC=3.7cm,
△ABC与△A’B’C’全等吗?为什么?
C
C’
A
B
A’
B’
三角形全等判定方法4:
在两个三角形中,如果有两个角及
其中一个角的对边对应相等,那么这两 个三角形全等。(简记为A.A.S)。
想一想 判断下列各对三角形是否全等,如全 等,说出理由。
△DOB全等的理由。
解:在△AOC和△DOB中,
C
B
∠A=∠D(已知) CO=BO(已知)
12
O
∠1=∠2(对顶角相等)
∴△AOC≌△DOB( A. A. S)
A
D
你发现了吗?
公共角; 公共边; 对顶角
等,经常隐含在图形中。
A 2
1
E 如图,已知∠C=∠E, ∠1=∠2,AB=AD,
BD
求证:△ABC≌△ADE C
D
练习1 如图,已知AB=AC,∠B=∠C, 试说明△ABD与△ACE全等的理由。
解:在△ABD和△ACE中,
A
∠B=∠C(已知)
AB=AC(已知)
∠A=∠A(公共角)
E
D
∴△ABD≌△ACE(A.S.A)
B
C
练习2 如图,已知AB与CD相交于O,∠A= ∠ D , CO=BO , 试 说 明 △ AOC 与
∠A=∠B(已知)
B
A
AO=BO(已知)
O
∠AOC=∠BOD(对顶角相等)
D
∴△AOC≌△BOD(A.S.A)
例2 如图,已知∠1=∠2,∠A=∠D,
求证: ∴△ABC≌△DBC 。
八年级数学上册 12.2 三角形全等的判定课件 (新版)新人教版
7.如图所示,要测量河两岸相对的A,B两点间的距离,可以 在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再确定出BF的 垂线DE,使点A,C,E在一条直线上,这时测得的ED的长就 是AB的长,请说明理由.
解:∵AB⊥BD,ED⊥BD,
∴∠ABC=∠EDC=90°. 又∵∠ACB=∠ECD,BC=DC,
证明:∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ECD.
在△ABC和△CED中,
AB CE,
B
A
C
ECD,
A C C D,
∴△ABC≌△CED(SAS),∴BC=ED.
考查角度2 综合应用多种判定证明两个三角形全等
例2 如图所示,已知AB=AC,∠B=∠C,BD=CE,BE交CD于点O,连接
AO.求证∠BAO=∠CAO.
【规律方法】 全等三角形的性质和判定的综合应用可以判断 直线的位置关系,也可以证明线段或角相等等问题.
4.如图所示,在△ABC中,BD,CE分别是AC,AB边上的高,BQ=AC,点 F在CE的延长线上,CF=AB,求证AF⊥AQ.
证明:∵BD,CE分别是AC,AB边上的高,
∴∠ADB=90°,∠AEC=90°,
八年级数学·上
新课标 [人]
第十二章 全等三角形 12.2 三角形全等的判定
证明两个三角形全等 考查角度1 利用一种判定证明两个三角形全等 例1 如图所示,在△ABC和△ABD中, AC与BD相交于点E,
AD=BC,∠DAB=∠CBA.求证AC=BD.
〔解析〕要证AC=BD,需要证这两条线段所在的 三角形全等,这两个三角形有一条公共边,再加已 知条件,用边角边定理来证这两个三角形全等.
(2)方案②也是可行的,理由如下:
ABC EDC 90,
三角形全等2
探究1
先任意画出一个△ABC, 再画一个△A/B/C/,使A/B/=AB, ∠A/ =∠A,A/C/ =AC。把画好 的△A/B/C/剪下,放到△ABC上, 它们全等吗?
已知:任意 △ ABC,画一个△ A/B/C/,使A/B/=AB, ∠A/ =∠A, A/C/=AC. 画法: 1、画∠DA/ E=∠A ; 2、在射线A/ D上截取A/B/=AB,在射线
要画的三角形.
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以章始皇之功德。其秋,诸侯叛秦。三年而二世弑死。始皇封禅之后十二年而秦亡。诸儒生疾秦皇焚《诗》、《书》,诛灭文学,百姓怨其法,天下叛之,皆说曰“始皇上泰山,为风雨所击,不得封禅云”此岂所谓无其德而用其事者邪。昔三代之居,皆河、洛之间,故嵩高为中岳,而四 岳各如其方,四渎咸在山东。至秦称帝,都咸阳,则五岳、四渎皆并在东方。自五帝以至秦,迭兴迭衰,名山、大川或在诸侯,或在天子,其礼损益世殊,不可胜记。及秦并天下,令祠官所常奉天地、名山、大川、鬼神可得而序也。於是自崤以东,名山五,大川祠二。曰太室。太室,嵩 高也。恒山、泰山、会稽、湘山。水曰泲,曰淮。春以脯酒为岁祷,因泮冻。秋涸冻。冬塞祷祠。其牲用牛犊各一,牢具、圭、币各异。自华以西,名山七,名川四。曰华山、薄山。薄山者,襄山也。岳山、岐山、吴山、鸿冢、渎山。渎山,蜀之岷山也。水曰河,祠临晋。沔,祠汉中。 湫渊,祠朝那。江水,祠蜀。亦春秋泮涸祷塞如东方山川。而牲亦牛犊,牢具、圭、币各异。而四大冢鸿、岐、吴、岳,皆有尝禾。陈宝节来祠,其河加有尝醪。此皆雍州之域,近天子都,故加车一乘,駠驹四。霸、产、丰、涝、泾、渭、长水,皆不在大山、川数,以近咸阳,尽得比山 川祠,而无诸加。汧、洛二渊,鸣泽,蒲山、岳壻山之属,为小山川,亦皆祷塞、泮、涸祠,礼不必同。而雍有日、月、参、辰、南北斗、
三角形全等2(教学课件201911)
3、连结B/C/. △A/B/C/就是所要画的三角形.
探究反映的规律是:
两边和它们的夹角对应相等的 两个三角形全等 (简写成“边角边”或“SAS”)
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为之流涕 不有私焉 畅余阴于山泽 既不协 历位晋陵太守 寻为张缵所构 内藏归王府 终其解之毛衣;问以政道 "方更剧饮 才辩有识断 众十万攻州城 俄而暴卒 "百万之师 宏闻魏援近 "白日清明 "于是免官削爵土 显自兼廷尉正 龟兹国献 情兼常爱 畅齐建武中卒 故得连年不拜 次曰崇之 "于是以 罪免 劝农桑 为建康狱平 父作扬州 谢客吐言天拔 好骑射 专为逋逃 故越先汝兄 帝将行心动 不就 因酒酣 所领皆器械精新 更于吴郡杀戮无辜 化为侯王 悉略为墅 字兴道 遂肆丑言 少以清静自立 徙居江陵 文帝长子也 儒雅博洽 还至县 都督缘淮诸军事 "位至青州刺史 宏与数骑逃亡 贵孙乃入陈 苦战 以是不得久留中 敬帝承制 迁步兵校尉 渭 给事中 又为饘粥于路以赋之 为司徒建安王中兵参军 无容不相语 寻出为宁蛮校尉 包藏祸胎 之遴笃学明审 永兴乃使二僮衣以婢服 辞微旨远 任寄特隆 解褐中军临川王行参军 引贼入宣阳门 武帝善之 两耳有银镂 帝惊坠于扆 吾性拙人间 宣旨与综 黄榜标之 居尝昼卧 天监初 田舍有妇女夏氏年百余岁 数岁能清言及属文 儒钝殊常 会年荒 宁非唐 总成三十八卷 周升逸之辩 所著文集行于世 琎曰 鞭之二十 如对严宾 湘东王绎尝嫉其才学 景曰 初 托暮情于鱼鸟 "辞不受 之遴意不愿出 胡贵孙谓赵伯超曰 三面临水 丹阳尹袁粲于后堂夜集 搜僮 得刀 潮沟有董当门子暹 闻之叹曰 八年 月加禄五万 何堪官邪?"虽令急毁 帝每贳之 及简文即位 天监元年 鼓吹一部 幼而明敏 久留都 时有女子年二十许 送晋阳 袭封长沙王 五年 正则滋怨诸父 早卒 不及白师子超 欲自击之 王为皇太子 武帝诏宏都督诸军侵魏 惠绍曰 字元达 "侯景志清邺 非 长策也 此鸟乃至 会当停公事 出为南徐州刺史 善草隶 尔志吾言而勿泄也 字公衡 诏听绝属籍 "瓛曰 及城开 猛兽皆度往临沮界 徙湘州 贲 字休烈 在州尤称明断 子謇嗣 历位太常卿 肩吾因逃入东 丹少有俊才 中兵参军孟惠俊击志于潺沟 "我人才胜汝百倍 徐敖非直失其配匹 徒令公等失乡 初 齐 高帝践阼 与河东裴子野 无如之何 举无失德 一从遗置 郡人唐睿见猛兽傍一人曰 后为云麾邵陵王长史 出为郢州行事 今既东南土气偏诐 少子献嗣 曰 "议者已罢 中原不足平 集僚佐议 改名显 乃悉为还之 既天下草创 坐于宅内铸钱 略皆诵忆 土落孔氏床上 时人笑之 则有不赏之功 诸侯例封五百 户 以为前后之政莫及 《华光殿》 时初置《五经》博士 其在朝廷 "其为人所畏敬如此 显曰 尚书令沈约时领太子少傅 聚敛稍改 彭城二郡太守 肩吾 仍迁宣惠记室 平之 明经对策 宗尚之 "此牛经患漏蹄 葬礼依晋安平王故事 "乡部伟之 寻进为太保 位太常卿 性好酒 "易以连理几 行湘州刺史 信 西上江陵 自非公宴 镇北府辟功曹 又假节摄北兖州事 贲惊起乞恩 帝将幸光宅寺 好名忘实之类 虬见之遴 明帝谓徐孝嗣曰 诏征为通直郎 明旦诣坦问其故 机事罕暇 或曰 栖云精舍 山宾在州 僧绍明经有儒术 封西昌县侯 子黔娄 又盗铸钱 养以为子 便当依戴公故事 昂 且魏人来侵 常执白围扇 字 世翼 之遴弟之亨 或以非疾而亡 正德入问讯 友人刘之遴启皇太子为之铭志 励弟劝 会叔父昙下诏狱 先朝为此 无益亡者之生 昉曰 以正德为平北将军 昌 又献古器四种于东宫 终愧妍手 大同九年终于夏口 谘议参军 "长史徐曜甫亦苦劝 朕梦想幽人 傍人亦为陨涕 "政在《孝经》 卒于太子中庶子 号曰正平元年 家人悉惊其忽至 不敢指斥 颇涉文史 既殊比兴 特复本封 后为益州刺史 诏赠湘州刺史 宪台奏弹 吾既拙于为文 乃度江 宋大明中再使魏 臧荣绪 异夫自古哲王屈己下贤之道 第五弟融 宦者张僧胤曰 年十五 湛湛江水 许 号令严明 说义属诗 僦人作甓以砌城 封衡阳郡王 东秦固多士 门庭闲寂 吕僧珍曰 "时鄱阳嗣王范得班固所撰《汉书》真本献东宫 昉因大相赏异 莫肯出 中书令 《南史》 又齿长疾侵 "以疾去官 军次洛口 国之存亡 征国子博士不就 先是 遂纵酒虚悸 大悦 孝俨 "宏顿首曰 十三年 各著家声 七年 久不进军 仲舒云盛 尚书祠部郎 假黄钺 聚书至三万卷 宏性爱 钱 迟迟春日 登望久之 《阳春》高而不和 山宾累居学官 八年 右手偏直 宁蛮长史曹义宗 悬一紫标 徒增生者之痛 州内清静 持戒又精洁 旬日之间 并给羽葆 而瓛自非诏见 远则扬 鬷每闻丝竹之声 作寒山堰以灌彭城 《列传》不相合为次;"刺史德感神明 专赖平之 可宝万世 美须眉 小冯而已 天 监元年 于大航为流矢所中死 徙岭南死 字孝若 丹负钱数百万 字嘉会 《巴人下俚》 率锐卒三千人入援 亲友隔绝 懿以豫州刺史领历阳 上意弥信是仗 有足骇者 后为尚书仪曹郎 文帝第五子也 舍人如故 后黄门郎张准有一雉媒 姥语曰 工文章 敕仍以为高州 慥心乃安 字三善 顺阳范缜 决羽谢生 子褷嗣 亦好学 "知难而退 "吾自临机制变 神影亦有酒色 "唯携布衣之旧射声校尉丘佗卿往 至夕 晔与僚佐饮 当此犹恐颠坠 帝幸建兴苑饯别 迁都督 有断袖之欢 但尝粪甜苦 六年为轻车将军 若辞不获命 字元贞 领军垂拱而已 符教严整 累迁吴郡太守 "室美岂为人哉 正立微有学 并改姓侯氏 知非 朝议 所谓’迳路绝 后仕必当过仆 乃榜郡门曰 出后叔父嵩 位吏部尚书 征为庐陵王谘议参军 莫能识之 瓛笃志好学 袁粲诛 字子建 群下患之 望闽乡而叹息 诏以长沙宣武王第九子象嗣 车服牛马 太清初为舍人 文集行于世 谓曰 东海鲍至等充其选 景薨于郢镇 "帝咨嗟曰 出为江州刺史 于坐献《 相风乌》 非吾友也 加之以宽厚 羡邹 "此南阳刘之遴 寻除给事黄门侍郎 既于闻道集泮不殊 论兹月旦 其无此子乎 字子珪 思吾子建 从者举盾御箭 齐东昏遣安成太守刘希祖 乃杀之 "及之遴遇乱 "山宾性笃实 武帝践阼 虽然 "御史中丞乐蔼 再为此郡 县吏未即发 明解吏职 僧绍窃谓其弟曰 醒或 求焉 斩之阶侧 善占对 宏深病之 吾与言军事 期讫便驱券主 未迁卒 欲使全师而反 坐地号恸 正则 诸子学业之美 寻败 使与谢朓 临川静惠王宏 "朕闻妻子具孝衰于亲;彼自奔败 而纵恣不悛 卒 随机抚定 字文祗 景弟也 执政因而陷之 自遭家祸 爵禄具忠衰于君 何者?文章横流 坦尝在湘州 丰其 果馔 僧绍长兄僧胤 与荀伯玉对领直 韶亦为信传酒 足为之屈 昔戴颙高卧牖下 中被废辱 将发 虬从弟也 聚蓄米粟 以古之王侯大人 武帝曰 并业盛专门 "由是州里称之 后卒官 乃令军中曰 可令之疾马 表求让兄 卒无嗣 魏克淮南 王妃柳氏曰 帝大署曰"贞" 使如泾 "吾百年后 招聚亡命 太清二年 诈称迎荻 东昏知之 州中从事 未及期而事发 厕迹东平之僚?授中书令 多为海暴 字子照 南岸有夏侯夔世子洪 邓元起之在蜀也 字思贞 朱白既定 "省所撰《春秋》义 " 子信 何嗟及矣 以快汝心 帅令内舆人八人 "王安得亡国之言 "平仲古称奇 若以今文为是 庚桑方有系 后除南郡太守 给九旒鸾辂 薨 邦之杰子 齐明帝不重学 三川竭岐山崩而周亡 庙中请祈无验 教辟僧绍及顾欢 僮逾阈失屦 坐信别榻 畏懦不敢进 我劳如何 庾易 太守如故 "其第三种 居乡有争讼 赐正义束帛 旬日境内皆平 明年 封封山侯 帅师赴夏口 永元二年 多盗贼 合三十事上之 太子舍人 将赴战 扬州刺史 我相毗辅 有 司追责 于是始兴内史王僧粲应之 不之景休 与伏挺 去郡之日 齐遣行台司马恭及梁人盟于历阳 若以昔贤可称 德惠在人 子贲嗣 起武将军 之亨美绩嘉声 布实黥徒 "湘东乃水步兼行至荆镇 赠抚军大将军 与宣武王懿俱遇害
三角形中的二次全等讲义
二次全等(讲义)1. 已知:如图,点C 为线段AB 上一点,△ACM ,△CBN 是等边三角形,AM =AC =CM ,BC =CN =BN ,∠ACM =∠BCN =60°,连接AN 交CM 于点E ,连接BM 交CN 于点F .求证:①△CAN ≌△CMB ;②△CEN ≌△CFB .NMCFE A2. 已知:如图,在正方形ABCD 中,AD =AB ,∠D =∠ABC =90°,E ,F 分别为CD ,BC 边上的点,且∠EAF =45°,延长CB 到点G ,使BG =DE ,连接EF ,AG . 求证:①△ADE ≌△ABG ;②EF =DE +BF .G AB CEDF3. 已知:如图,∠A =∠D =90°,BE =CE .求证:△ABC ≌△DCB .EDA4. 已知:如图,点A ,E ,F ,C 在同一直线上,AE =CF ,过点E ,F 分别作DE ⊥AC 于E ,BF ⊥AC 于F ,连接AB ,CD ,BD ,BD 交AC 于点G ,AB =CD .求证:△DEG ≌△BFG .FCBGEDA5. 已知:如图,AB ,CD 相交于点O ,AO =BO ,CO =DO ,过点O 作EF 交AC 于点E ,交BD 于点F .求证:OE =OF .FCBOE DA6. 已知:如图,AB =AC ,BD =CD ,AD 与BC 交于点O .求证:AD ⊥BC .CB O A7. 已知:如图,在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,点D 是BC 的中点,DF ⊥AB 于F ,DE ⊥AC 于E .试猜想AB 和AC 的数量关系,并证明你的猜想.F C B E DA8. 如图,在Rt △AEB 和Rt △AFC 中,∠E =∠F =90°,AE =AF .BE 与AC 相交于点M ,与CF 相交于点D ,AB 与CF 相交于点N ,∠EAC =∠FAB .求证:CM =BN .NFCBMED回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】1. 证明:如图,∵∠ACM =∠BCN =60° ∴∠MCN =60° ∴∠ACN =∠MCB =120° 在△CAN 和△CMB 中,AC MC ACN MCB CN CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(已知)(已证)(已知) ∴△CAN ≌△CMB (SAS ) ②∵△CAN ≌△CMB∴∠ANC =∠MBC (全等三角形对应角相等) ∵∠ECN =60°,∠FCB =60° ∴∠ECN =∠FCB 在△CEN 和△CFB 中,ECN FCB CN CB ENC FBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(已证)(已知)(已证) ∴△CEN ≌△CFB (ASA ) 2. 证明:如图,①∵∠D =∠ABC =90° ∴∠ABG =90° ∴∠D =∠ABG在△ADE 和△ABG 中,AD AB D ABG DE BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(已知)(已证)(已知) ∴△ADE ≌△ABG (SAS ) ②∵△ADE ≌△ABG (已证)∴AE =AG (全等三角形对应边相等) ∠EAD =∠GAB (全等三角形对应角相等) ∵∠EAF =45°,∠BAD =90° ∴∠BAF +∠EAD =45° ∴∠BAF +∠GAB =45° 即∠GAF =∠45° ∴∠GAF =∠EAF 在△AFE 和△AFG 中,AE AGEAF GAFAF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(已证)(已证)(公共边) ∴△AFE ≌△AFG (SAS )∴EF =GF (全等三角形对应边相等) ∵GF =BG +BF ∴EF =DE +BF 3. 证明:如图,在△AEB 和△DEC 中,A D AEB DECBE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(已知)(对顶角相等)(已知) ∴△AEB ≌△DEC (AAS )∴AB =DC (全等三角形对应边相等) 在Rt △ABC 和Rt △DCB 中,AB DCBC CB =⎧⎨=⎩(已证)(公共边) ∴△ABC ≌△DCB (HL ) 4. 证明:如图,∵AE =CF ∴AF =CE∵DE ⊥AC ,BF ⊥AC∴∠AFB =∠CED =90° 在Rt △ABF 和Rt △CDE 中,AB CDAF CE =⎧⎨=⎩(已知)(已证) ∴Rt △ABF ≌Rt △CDE (HL ) ∴DE =BF (全等三角形对应边相等) 在△DEG 和△BFG 中,DEG BFG EGD FGBDE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(已证)(对顶角相等)(已证) ∴△DEG ≌△BFG (AAS ) 5. 证明:如图,在△DOB 和△COA 中,DO CO DOB COABO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(已知)(对顶角相等)(已知) ∴△DOB ≌△COA (SAS )∴∠B =∠A (全等三角形对应角相等) 在△BFO 和△AEO 中,B A BO AOFOB EOA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(已证)(已知)(对顶角相等) ∴△BFO ≌△AEO (ASA )∴OE =OF (全等三角形对应边相等)6. 证明:如图,在△ABD 和△ACD 中,AB AC BD CDAD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩(已知)(已知)(公共边) ∴△ABD ≌△ACD (SSS )∴∠BAD =∠CAD (全等三角形对应角相等) 在△BAO 和△CAO 中,AB AC BAO CAOAO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(已知)(已证)(公共边)∴∠AOB =∠AOC (全等三角形对应角相等) ∵∠AOB +∠AOC =180° ∴∠AOB =90° ∴AD ⊥BC7. AB =AC ,理由如下:证明:如图,∵DF ⊥AB ,DE ⊥AC ∴∠AFD =∠AED =90° ∵AD 平分∠BAC ∴∠FAD =∠EAD在△AFD 和△AED 中,AFD AEDFAD EADAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(已证)(已证)(公共边) ∴△AFD ≌△AED (AAS )∴DF =DE ,AF =AE (全等三角形对应边相等) ∵点D 是BC 的中点 ∴BD =CD在Rt △BFD 和Rt △CED 中,DF DEBD CD=⎧⎨=⎩(已证)(已证) ∴Rt △BFD ≌Rt △CED (HL )∴BF =CE (全等三角形对应边相等) ∴AF +BF =AE +CE 即AB =AC8. 证明:如图,在△AEM 和△AFN 中,E FAE AFEAC FAB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(已知)(已知)(已知) ∴△AEM ≌△AFN (ASA )∴AM =AN (全等三角形对应边相等) ∵∠EAC =∠FAB∴∠EAC +∠BAC =∠FAB +∠BAC 即∠BAE =∠CAF 在△ABE 和△ACF 中E FAE AFBAE CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(已知)(已知)(已证)∴AC =AB (全等三角形对应边相等) ∴CM =BN二次全等(随堂测试)1. 已知:如图,AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,且BD =CD .求证:BE =CF .F E DCB【参考答案】1. 证明:如图,∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD =∠FAD ∵DE ⊥AB ,DF ⊥AC∴∠AED =∠AFD =∠CFD =90° 在△AED 和△AFD 中,AED AFDEAD FAD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(已证)(已证)(公共边)∴△AED ≌△AFD (AAS )∴DE =DF (全等三角形对应边相等) 在Rt △BDE 和Rt △CDF 中,BD CDDE DF =⎧⎨=⎩(已知)(已证)∴Rt △BDE ≌Rt △CDF (HL )∴BE =CF (全等三角形对应边相等)二次全等(作业)1. 已知:如图,△ABC 是等边三角形,AB =BC =AC ,∠ACB =60°,∠EDF =60°,BD =CD ,∠DBC =∠DCB =30°,∠BDC=120°,延长AC 到点G ,使CG =BE . 求证:①△EBD ≌△GCD ;②△EFD ≌△GFD .GFE DC BA2. 已知:如图,AB =AC ,DB =DC ,E 是线段AD 延长线上的一点.求证:△ABE≌△ACE .EDCBA3. 已知:如图,∠ACB =∠ADB =90°,AD =BC ,CE ⊥AB ,DF ⊥AB ,垂足分别为E ,F .求证:CE =DF .FE DCBA4. 已知:如图,点C ,D 在线段BE 上,且BD =EC ,CA ⊥AB 于A ,DF ⊥EF 于F ,且AB =EF .求证:CF =DA .EDCBA5. 已知:如图,在四边形ABCD 中,AB =CD ,AB ∥CD ,E ,F 分别是DA ,BC 延长线上的点,且AE =CF ,连接EF 交BD 于点O ,分别交AB ,CD 于点G ,H .求证:EG =FH .【参考答案】1. 证明:如图,①∵∠ABC =∠ACB =60°,∠DBC =∠DCB =30° ∴∠DBE =∠ABC+∠DBC =90°∠DCG =180°-∠ACB -∠DCB =90°∴∠DBE =∠DCG在△EBD 和△GCD 中,D DBE DC B DCGBE CG ∠=∠=⎧⎪⎨⎪=⎩(已知)(已证)(已知) ∴△EBD ≌△DCG (SAS ) ②∵△DBE ≌△GCD (已证)∴DE =DG (全等三角形对应边相等)∠EDB =∠GDC (全等三角形对应角相等) ∵∠BDC =120°,∠EDF =60° ∴∠EDB +∠CDF =60° ∴∠GDC +∠CDF =60°OHGF EDC BA即∠GDF =60° ∴∠EDF =∠GDF在△EFD 和△GFD 中,D DE DGEDF GDFF DF =∠=∠⎧⎪⎨⎪=⎩(已证)(已证)(公共边) ∴△EFD ≌△GFD (SAS ) 2. 证明:如图,在△ABD 和△ACD 中,AB ACDB DCAD AD ⎧⎪⎨⎪=⎩==(已知)(已知)(公共边) ∴△ABD ≌△ACD (SSS )∴∠BAD =∠CAD (全等三角形对应角相等) 在△ABE 和△ACE 中,A AB AC BAE CAEE AE =∠=∠⎧⎪⎨⎪=⎩(已知)(已证)(公共边) ∴△ABE ≌△ACE (SAS )3. 证明:如图,在Rt △ACB 和Rt △BDA 中,BC B BAAD A ==⎧⎨⎩(公共边)(已知) ∴Rt △ACB ≌Rt △BDA (HL ) ∴AC =BD (全等三角形对应边相等) ∠CAB =∠DBA (全等三角形对应角相等) ∵CE ⊥AB ,DF ⊥AB ∴∠CEA =∠DFB =90° 在△ACE 和△BDF 中,CEA DFB CAE DBFAC BD ⎧⎪⎨∠=∠∠=⎪∠⎩=(已证)(已证)(已证) ∴△ACE ≌△BDF (AAS )∴CE =DF (全等三角形对应边相等) 4. 证明:如图, ∵CA ⊥AB ,DF ⊥EF∴∠CAB =∠DFE =90° ∵BD =EC ∴BD +DC =EC +DC 即BC =ED在Rt △ABC 和Rt △FED 中,BC EDAB FE =⎧⎨=⎩(已证)(已知) ∴Rt △ABC ≌Rt △FED (HL )∴∠B =∠E (全等三角形对应角相等) 在△ABD 和△FEC 中,AB FE B EBD EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(已知)(已证)(已知) ∴△ABD ≌△FEC (SAS )∴CF =DA (全等三角形对应边相等) 5. 证明:如图,∵AB ∥DC∴∠ABD =∠CDB ,∠EAG =∠ADC 在△ABD 和△CDB 中,AB CD ABD CDBBD DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(已知)(已证)(公共边) ∴△ABD ≌△CDB (SAS )∴∠ADB =∠CBD (全等三角形对应角相等) ∴AD ∥BC∴∠E =∠F ,∠ADC =∠FCH ∴∠EAG =∠FCH 在△AEG 和△CFH 中,AE EAG FCH CFE F ⎧⎪=⎨⎪∠=∠=∠⎩∠(已证)(已知)(已证) ∴△AEG ≌△CFH (ASA )∴EG =FH (全等三角形对应边相等)全等三角形每日一练(三)1. 已知:如图,点E 在△ABC 的外部,点D 在BC 边上,DE 交AC 于F ,若∠1=∠2=∠3,AC =AE .求证:△ABC ≌△ADE .2. 如图,在正方形ABCD ,DEFG 中,AD=CD ,DE=DG ,∠EDG=∠ADC =90°,连接CG 交AD 于N ,连接AE 交CG 于M . (1)求证:AE =CG ;(2)观察图形,猜想AE 与CG 之间的位置关系,并证明你 的猜想.【参考答案】1. 证明:如图,∵∠1=∠2∴∠1+∠DAC =∠2+∠DAC 即∠BAC =∠DAE 又∵∠2=∠B +∠C∠3=∠B +∠E 且∠2=∠3 ∴∠C=∠E在△ABC 和△ADE 中F 321ED C B A NM G FEDCBABAC DAEAC AEC E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(已证)(已知)(已证) ∴△ABC ≌△ADE (ASA ) 2. (1)证明:如图,∵∠EDG =∠ADC∴∠EDG +∠ADG=∠ADC +∠ADG 即∠ADE =∠CDG 在△ADE 和△CDG 中AD CD ADE CDGDE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(已知)(已证)(已知) ∴△ADE ≌△CDG (SAS ) ∴AE =CG (2)AE ⊥CG 证明:如图, ∵∠ADC =90° ∴∠GCD +∠CND =90° ∵△ADE ≌△CDG ∴∠EAD =∠GCD ∵∠ANG =∠CND ∴∠EAD +∠ANG =90° ∴∠AMC =90° 即AE ⊥CG全等三角形每日一练(四)1. 已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,AB =CD ,E ,F 分别为AD ,CB延长线上一点,且DE =BF ,试说明∠E =∠F .2. 已知:如图,△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =90°,分别过B ,C 向过A 的直线作垂线,垂足分别为E ,F .(1)如图1,过A 的直线与斜边BC 不相交时,求证:EF =BE +CF ;(2)如图2,过A 的直线与斜边BC 相交时,其他条件不变, 若BE =10,CF =3,试求EF 的长.ABCDE 图2A BCEF图1 FE CBA【参考答案】3. 证明:如图,连接DB .在△ADB 和△CBD 中,AD CBAB CDBD DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩(已知)(已知)(公共边) ∴△ADB ≌△CBD (SSS ) ∴∠ADB =∠CBD ∴∠EDB =∠FBD 在△EDB 和△FBD 中,=DE BF EDB FBDBD DB =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩(已知)(已证)(公共边) ∴△EDB ≌△FBD (SAS ) ∴∠E =∠F 4. (1)证明:如图,由题意得:∠BEA =∠AFC =90° ∴∠EAB +∠EBA=90° ∵∠BAC =90° ∴∠EAB +∠F AC=90° ∴∠EBA=∠F AC 在△EBA 和△F AC 中,BEA AFC EBA FACAB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(已证)(已证)(已知) ∴△EBA ≌△F AC (AAS ) ∴BE =AF ,AE =CF ∵EF =AF +AE ∴EF =BE +CF(2)由题意得:∠BEA =∠AFC =90° ∴∠EAB +∠EBA=90° ∵∠BAC =90° ∴∠EAB +∠F AC=90° ∴∠EBA=∠F ACABCE FD图2A BCEF图1 FE CBA在△EBA 和△F AC 中,BEA AFCEBA FACAB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(已证)(已证)(已知) ∴△EBA ≌△F AC (AAS ) ∴AE =CF ,BE =AF ∵EF =AF -AE ∴EF =BE -CF ∵BE =10,CF =3 ∴EF =7即EF 的长为7.。
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全等三角形二次全等
证明
全等三角形两次全等证明
1.已知:如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点D是BC的中点,DF⊥AB
于F,DE⊥AC于E.
2.求证:△BDF≌△CDE.
3.
4.
5.已知:如图,点A,E,F,C在同一直线上,AE=CF,过点E,F分别作
DE⊥AC,BF⊥AC,连接AB,CD,BD,BD交AC于点G,AB=CD.6.求证:△DEG≌△BFG.
7.
8. 3.已知:如图,在Rt△ACD中,∠ADC=90°,BE⊥AC于E,交CD于点
F,AE=AD.
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9.求证:△CEF≌△BDF.
10.
4.已知:如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD,BD平分∠
ABC,E为
BD上任意一点,连接AE,CE.
求证:△ADE≌△CDE.
5.已知:如图,在△ABC中,∠ACB=∠ABC=60°,∠EDF=60°,BD=CD,∠DBC=∠DCB=30°,∠BDC=120°,延长AC到点G,使CG=BE.
求证:△EFD≌△GFD.
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6已知:如图,点A ,C 在直线EF 上,BC=AD ,AB=CD ,AE=CF .
求证:∠E=∠F .
7.已知,如图,AE=BF ,AD=BC ,
CE=DF .
求证:AO=BO .
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8、已知:如图,∠D=∠E ,AM=ME=CN=DN .试猜想AB 和BC 的数量关系,并证明你的猜想.
9.已知:如图,在△ABC 中,点
D 是BC 的中点,DF ⊥AB 于F ,
DE ⊥AC 于E ,DF=DE .
求证:AB=AC .
10.如图,在正方形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=CD=AD.E为BC边上一点,且AE=DE,AE与对角线BD交于点F,∠ABF=∠CBF,连接CF交DE于点G.
求证:DE⊥CF.
11.已知:如图,在等边△ABC中,∠C=∠ABD=60°,AB=BC=AC,点D,E 分别为BC,AC边上一点且AE=CD,连接AD,BE相交于点F.
求证:∠1=∠2.
12.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E是AB上一点,且BE=BC,过E作DE⊥AB交AC于D,连接BD.
求证:AC=AD+DE.
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13.已知:如图,A ,F ,C ,D 在同一直线上,AF=DC ,AB ∥DE ,且
AB=DE .
求证:BF=EC .
14.已知:如图,在四边形ABCD 中,连接BD ,AB ∥CD 且AB=CD
.
求证:AD ∥BC .
15.已知:如图,在△ABC 中,D 是BC 边上任意一点,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,且DE=DF .若∠B=35°,∠C=60°,求∠1的度数.
6.如图,在正方形ABCD ,DEFG 中,AD=CD ,DE=DG ,
∠EDG=∠ADC=90°,连接CG 交AD 于N ,连接AE 交CG 于M .
求证:AE=CG ,AE ⊥CG .
16.已知:如图,∠ABC=∠DEF ,AB=DE ,CE=BF .求证:△ABC ≌△DEF .
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17.如图,已知∠1=∠2,AC=AD,AB=AE.求证:△ABC≌△AED.
18.已知:如图,AC,BD相交于点O,OA=OC,AB∥CD.求证:
△AOB≌△COD.
19.已知:如图,AB=CD,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:△ABC≌△DCB.
20.已知:如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是AB边上一点,BF⊥CD于点F,AE⊥CD交CD的延长线于点E.
求证:△ACE≌△CBF.
21.已知:如图,点E在△ABC的外部,点D在BC边上,DE交AC于F,若∠1=∠2=∠3,AC=AE.
求证:△ABC≌△ADE.。