膜盘联轴器非对称弯曲的一种解析解法

σ31 σ32 σ33
(λ+2 μ)zφ′cosθ+
λ+2 4
μr
2
φ′2 co
s2θ+
λ+2 2
μz
2
φ′2
-μ
z r
φ′s in θ
- μrφ′cosθ
-
μ
z r
φ′sinθ
2λz φ′cos θ+λz 2 2 r2
φ′2
+
λ4 φ′2 co s2θ
0
,
-μrφ′cos θ
λzφ′cos + λ2 z2 φ′2 +
收稿日期 : 2007 -06-05;修订日期 : 2008-10-16 作者简介 : 朱可 柯(1965—), 男 , 湖南衡阳人 , 博士研究生(联系人 .E -mail:zhukekezhu @126.com).
14 95
1 49 6
朱 可 柯 朱 如 鹏
此 , 为简化问题 , 可假定该点(总体上)没有径向位移 , 于是得到下列等半径圆假设 :
将各数据代入 , 有
u
1 ;1
u1;2
u
1 ;3
u2;1 u2;2 u2;3 =
u3;1 u3;2 u3;3
cos2θ(cos φ-1)+zφ′cosθcos φ-rφ′cos2θsi n φ
r sin 2θsi n2
φ 2
cosθsin φ
sin2θ(12-r cosφ)-zφ′sinrθcosφ+
关 键 词 : 膜盘 ; 弯曲 ; 应力 ; 变形 中图分类号 : TH133.4 文献标识码 : A
引 言
膜盘联轴器是一种通过极薄的变厚度圆盘型面(最薄处仅 0 .2 ～ 0 .4 mm)来传递扭矩的挠 性联轴器(图 1), 它是近几年发展起来的新型联轴装置 , 具有结构简单 , 无需润滑 , 运行平衡 , 振动小 , 噪声低等特点 , 被广泛应用于机电航空 、石油化工等领域[ 1-2] .
膜盘是变厚度圆薄板 , 由于变厚度板弯曲问题的控制方程极 为复杂 , 直接求解是相当困难的. Paris 和 Delevn 、郭毅和王桂芳等 分别以边界元法或摄动法等多种方法对圆形薄板的非对称问题进 行了研究[ 3-4] . 但膜盘工作时有其特定的力学环境 , 从而有可能 采用更进一步的力学假设以简化问题的求解.
μ)rb
5
b
φ′4.
1 .4 变分原理与膜盘的变形转角方程
(9)
系统总能量 H =H(φ)是关于弯曲转角 φ= φ(r)的泛函 . 在平衡状态时 , 能量取极小
值 , 故根据能量变分原理 , 有 δH =0 , 从而得相应的 Euler 方程
ddr
F φ
=0 ,
即
λ3+μ2 μr2 bφ′+12(λλ++32μμ)b3 φ′+λ+μ2 μr3b′φ′+4(λλ++32μμ)rb2b′φ′+
φ′3cos
θ+
λ+2 16
μr
4
φ′4cos2
θcos2
θ+
λ+2 8
μz 4
φ′4
+ λ+4 2
μr2
z
2
φ′4cos2
θ.
设膜盘厚度型面方程为 b = b(r), 外力矩为 M , 并注意到 φ(R2)=0 , 则系统总能量为
∫∫∫ H =
JdV
Ψ
-Mφ(R1)=
∫∫∫ ∫ R1 R 2
应用数学和力学编委会 , ISSN 1000-0887
膜盘联轴器非对称弯曲的一种解析解法
朱可柯 , 朱如鹏
(南京航空航天大学 机电学院 , 南京 210016)
(陈立群推荐)
摘要 : 考虑到膜盘的内外缘的刚性远较膜面为 大 , 并且非对称弯 曲是在高 速旋转运动 下 , 而 引进 了中面等半径圆假设 , 即膜盘中面上 的每个 同心圆 变形前 后半径不 变 , 但同心 圆所在 的平面各 自 发生 了角度不同的偏转. 在此基础上 , 通过能量变分原 理 , 导 出了相应变 形的 Euler 方程. 该 方程 具有首次积分 , 忽略一些次要项后 , 可得到变形的解析解. 通过对 双曲型面 的膜盘计算 表明 , 非对 称弯 曲下的八面体剪应力在径向及厚向 上都变 化很小 , 可 近似认为 不变 , 但周 向上呈 明显脉动 变 化 , 因此非对称弯曲对膜盘的疲劳寿命有重要影 响.
别为m 、k 、n , 膜盘内 、外缘的半径分别为 R1 、R2 . 设膜盘变形前中面上半径为 r 的圆变形后的
偏转角为 φ= φ(r), 变形前为 r , θ, z 的一点的位矢为 r1 = rcosθm +rsinθk +zn ,
则根据等半径圆假设 , 变形后该点的位矢成为
r2 =(rcosθcos φ+zsin φ)m +rsinθk +(zcos φ-rcosθsin φ)n , 于是 , 该点的位移为 u = r2 -r1 , 即
u2
=
1 2
r2 sin2 θ(1
-cos φ)-rzsinθsin φ,
(2)
u3 = z(cos φ-1)-rcosθsinφ, 位移场的协变导数为
ui;j
= ui, j
+
i jk
uk ,
ui ;j
= ui , j
+
k ij
uk ,
式中 , i 为 Christoffel 符号. jk
1 2
φ′si n2θsi n φ
sin2(cos φ-1)
-s
in
θsin φ) r
,
-cosθsi n φ-rφ′cosθcos φ-zφ′si n φ
u1;1 u1;2 u1;3
r sin θsin φ
cos φ-1
u2;1 u2;2 u2;3 =
(3)
u3;1 u3;2 u3;3
cos2θ(cos φ-1)+z φ′cosθcos φ-r φ′cos2θsi n φ
r3
b3
+3 b5) = 0.
若考虑到 φ′3 φ′, 则有
φ′≈-12πμr3b
12 M +π(λ+3 μ)rb3
,
于是
∫ φ(r)=12M
R1
r 12πμt3 b
dt +π(λ+3
μ)tb
3
.
特别 , 内缘处有
∫ φ1
= φ(R1)=12M
R1 R
2
Fra Baidu bibliotek
12πμr 3 b
dr +π(λ+3
μ)rb
3
,
从而膜盘的非对称弯曲刚度 :
∫ KM
=
d d
M φ1
=1
12
R2 R1
12πμr3 b
dr +π(λ+3 μ)rb3
.
将 φ(r)代入应力公式就可求得膜盘非对称弯曲时的应力.
(10) (11)
(12) (13) (14) (15)
2 典型膜盘型面的非对称弯曲计算
本文使用 Mathematica 软件对 40Cr 钢制的典型膜盘型面 ———双曲厚度型面的膜盘进行了
15 8
r
4
b
φ′3
+
1 4
r2 b3
φ′3 +810b5
φ′3
+
3 8
r5b′φ′3
+
1 4
r3b2b′φ′3 +
1 16
rb4
b′φ′3
+λ+μ2 μr 3
b
φ″+12(λλ++32μμ)rb
3
φ″+
9 8
r5 bφ′2 φ″+
膜盘联 轴器非对称弯曲的一种解析解法
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图 2 膜盘的非轴对称弯 曲及等半径圆假设
盘中面上的每个同心圆变形后仍为与原半径相等的圆 , 但其所在的圆平面各自发生了角 度不同的偏转(图 2).
在此假设的基础上就可以大大简化对膜盘弯曲变形的求解.
1 膜盘弯曲应力应变分析
1 .1 膜盘的位移场
如图 2 , 坐标原点取为盘中面圆心 , x 、z 轴如图 , y 轴垂直纸面向外 , 设 x 、y 、z 的单位矢分
ux = rcosθcos φ+zsin φ-rcosθ,
uy =0 ,
uz =zcos φ-rcosθsin φ-z .
而在圆柱坐标系下位移场的逆变分量为
u1
ux
cosθ sinθ 0
u2
=
(r (x
, ,
θ, y,
z) z)
u
y
=
-sirn θ
cos θ r
0
u3
uz
0
01
从而得
ux uy , uz
-2 ν) = 118
.85
GPa ,
μ= 2(1E+ν)=79 .23 GPa. 其型面厚度方程为
b(r)=3
cos φ-1
(4)
1 .2 膜盘的应力应变场
Lagrange 应变张量为
eij
=
1 2
(u i
;j
+uj ;i
+u k;iuk
;j ),
将各数据代入 , 得
e11 e12 e13 e21 e22 e23 =
e31 e32 e33
z φ′cos θ+
1 2
z
2
φ′2
+
1 4
r2 φ′2cos2 θ
1 4
r3b3 φ′2 φ″+830rb5
φ′2 φ″=0
,
并且有边界条件(一个固定边界 , 一个自然边界):
φ(R2)=0 ,
μr3
b
φ′+
λ+3 12
μrb 3
φ′+
3 8
(λ+2
μ)r 5 b φ′3
+
λ+2 12
μr 3b3
φ′3 +
λ+2 80
μrb5
φ′3
|r =R
1
=-Mπ.
-
1 2
rz
φ′sin
θ
-
1 2
rφ′cos θ
-
1 2
rz φ′sin θ
0
0
.
(5)
-
1 2
r
φ′cos
θ
0
0
应力张量 σij = Eijlmelm(Eijlm 为弹性模量)得
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朱 可 柯 朱 如 鹏
σ11 σ12 σ13
σ21 σ22 σ23 =
应 用数学和力学 , 第 29 2008 年 12 月 15 日出版
卷
第
12
期
A pp li eVd oMl .a2th9e, mNaot.ic1s2
and Mechanics , Dec .15 , 2008
文章编号 :1000 -0887(2008)12-1495 -07
∫ 由于泛函 H = R1 F(r , φ′)dr 中 , 被积式不显含 φ, 故 Euler 方程有首次积分[ 5] : R 2
φ′3 +
240 μr2 +20(λ+2 μ)b2 (λ+2 μ)(90r4 +20r2b2 +3b4)
φ′+
π(λ+2
μ)(90
240 r5 b
M +20
膜盘联轴器在工作时 , 如果被联接两轴间有角度不对中 , 则膜 盘内外缘间有弯矩 M 作用 , 使内外缘产生角度偏转 α, 从而产生非 对称弯曲(图 2). 文献[ 1] 给出了非常简略的弯曲应力工程应用经 验公式 , 文献[ 2] 也用有限元方法对 NML 系列膜盘联轴器进行了 计算仿真. 但目前仍缺乏对膜盘弯曲问题的系统的理论研究.
u1 = rcos2 θ(cos φ-1)+zcosθsin φ,
u2
=
1 2
sin2 θ(1
-cos φ)-rz
sinθsin φ,
(1)
u3 = z(cos φ-1)-rcosθsinφ.
膜盘联 轴器非对称弯曲的一种解析解法
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其协变分量为
u1 = rcos2 θ(cos φ-1)+zcosθsin φ,
计算分析.
计算数据如下 :
膜盘内半径 R 1 =50 mm , 膜盘外半径 R2 =100 mm , 膜盘外径处厚度 t 0 =0 .3 mm , 并取弹 性模量 E =206 GPa , Poisson 比 ν=0 .3 , 弯矩 M =200 N·m.
于是 Lamé 系数 :
λ=(1
νE +ν)(1
r si n2θsi n2
φ 2
cos θsin φ
1 2
r sin 2θ(1
-co sφ)-rzφ′sinθcosφ+
1 2
φ′si n2 θsin φ
r 2sin 2(cos φ-1)
- rsinθsinφ .
-cosθs in φ-r φ′cosθcos φ-z φ′si n φ
r sin θsi n φ
膜盘的内外缘刚性远较盘面为大 , 因而可认为内外缘完全刚 图 1 膜盘联轴器结构图 性. 更进一步 , 考虑到膜盘的非对称弯曲是在高速旋转运动下的 弯曲 , 在任一瞬时 , 膜板中面上的任一圆周将变形成为一个椭圆. 但由于轴对称性 , 在一个旋 转周期内 , 圆周上的任一固定点将经历椭圆一周 , 因而该点对圆心的平均径向位移为 0. 由
0
λ4 r2 φ′2cos2 θ
(6)
其中 , λ、μ为 Lamé 系数.
1 .3 膜盘的弹性应变能
膜盘内弹性能量密度为
J
=
1 2
σijeij
=
λ+2 4
μz 2
φ′2
+
2μr2
φ′2cos2
θ+λ+2 μz2
φ′2cos2θ+
λ+2 2
μr 2
z
φ′3cos3θ+
λ+2 2
μz3
b/ 2 2π
Jr d θdz
-b/ 2 0
dr
+M
φ
R R
1
2
=
R1 F(r , φ′)dr ,
R
2
式中
(7) (8)
F(r , φ′)= Mφ′+π2μr3bφ′2 +π(λ2+43 μ)rb3 φ′2 +3π(λ3+2 2 μ)r5 bφ′4 +
π(λ+2 48
μ)r 3
b
3
φ′4 +π(λ3+202