二元函数极值存在的判别方法
二元函数的极值问题
摘要本文主要讨论了二元函数的极值问题，不仅介绍了二元函数极值方面的有关概念和定理，还给出了这些定理的证明，并举出了二元函数极值方面的几个理论问题，特别地对极值判别式进行了推广和求解条件极值的拉格朗日乘数法进行了一般化改进.本文以高教版数学分析教材为出发点，在讨论的过程中重温了书本上的定理，更对书中的定理进行升华，使定理能够更好解决实际问题，进而运用的更加广泛.关键词:二元函数；极大值；极小值AbstractThe extremum of function of two variables is expounded in this thesis. Not only are some relevant ideas and definitions are presented in this thesis, but also the relative proof to them. Furthermore, it exhibits several theoretical problems of the extremum of function of two variables as well. Particularly, it expands the discriminant of the extremum and generally improves Lagrangian Multiplier that is to find a minimum or a maximum of a function. On one hand, based on the teaching material of Advanced Mathematics, the thesis reviews the definitions in the textbook throughout the procedure of specification. On the other hand, it sublimates these definitions so that we can solve the practical issues better and use them more widely.Key words：function of two variables；maximun value; minimum value摘要 (I)Abstract ................................................................... I I 目录 ...................................................................... I II 1引言.. (1)2二元函数极值问题的相关概念 (1)2.1二元函数定义 (1)2.2二元函数及其极大极小值的定义 (2)3二元函数的极值问题 (2)3.1二元函数极值存在的必要条件 (2)3.2二元函数极值存在的充分条件 (3)3.3求二元函数极值的步骤 (5)4特殊情况下二元函数极值 (6)5条件极值问题 (8)5.1代入法 (9)5.2拉格朗日(Lagrange)乘数法 (9)6总结 (13)参考文献 (14)函数极值问题是一个非常普通的数学问题，是经典微积分学最成功的应用，不仅在实际问题中占有重要地位，而且也是函数性态的一个重要特征.在一元函数中，可以利用函数的导数求得函数的极值，从而进一步解决一些有关最大，最小值应用问题.同样利用偏导数，也可以解决二元函数的极值问题.2二元函数极值问题的相关概念2.1二元函数定义定义 1 设平面点集D 包含于2R ,若按照某对应法则f ,D 中每一点),(y x P 都有唯一确定的实数z 与之对应,则称f 为在D 上的二元函数.记作,D :R f → （1） 且称D 为f 的定义域；P 对应的z 为f 在点P 的函数值,记作),(y x f z =或)(P f z =；全体函数值的集合称为f 的值域,记作R f ⊂(D).通常还把P 的坐标x 与y 称为自变量，而把z 称为因变量.当把D y x ∈),(和它所有的函数值),(y x f z =一起组成三维数据组()z y x ,,时，三维欧氏空间3R 中的点集}{3)y ,(),,(|),,(R D x y x f z z y x S ⊂∈==便是二元函数f 的图像.通常),(y x f z =的图象是一空间曲面，f 的定义域D 便是该曲面在xOy 平面上的投影.为了方便起见，我们把(1)式所确定的二元函数也记作),(y x f z =, D y x ∈),(,或 )(P f z =，D P ∈,且当它的定义域D 不会被误解的情况下，也简单的说“函数),(y x f z =”或“函数f ”.2.2二元函数及其极大极小值的定义定义 2 设函数f 在点),(000y x P 的某领域)(0P U 内有定义，若对于任何点)(),(0P U y x P ∈,成立不等式)()(0P f P f ≥(或)()(0P f P f ≤)，则称函数f 是在点0P 取得极小值（或极大值），点0P 称为f 的极小（极大）值点.极大值、极小值统称极值，极大值点、极小值点统称极值点.注意：这里所讨论的极值点只限于定义域的内点.例如，设2223),(y x y x f +=，221),(y x y x g --=，xy y x h 2),(=.由定义直接知道，坐标原点)0,0(是f 的极小值点，是g 的极大值点，但不是h 的极值点.这是因为对于任何点),(y x ,恒有0)0,0(),(=≥f y x f ；对任意{}1y x |x,y x,y 22≤+∈)()(，恒有1)0,0(),(=≤g y x g ;而对于函数h ，在原点的任意小邻域内，既含有使0),(>y x h 的第一、三象限中的点，又含有使0),(<y x h 的第二、四象限中的点，所以0)0,0(=h 既不是极大值又不是极小值.由定义可见，若f 在点),(00y x 取得极值，刚当固定0y y =时，一元函数),(0y x f 必定在0x x =取得相同的极值.同理，一元函数),(0y x f 必定在0y y =也取得相同的极值. 那么一般情况下如何求二元函数的极值呢？仿照一元函数的极值的讨论，我们得到二元函数极值存在的必要条件如下.3二元函数的极值问题3.1二元函数极值存在的必要条件定理 1 若函数f 在点),(000y x P 处存在偏导数，且函数在该点取得极值，则有0),(),(0000==y x f y x f y x .证明 因为点),(00y x 是函数),(y x f 的极值点，若固定),(y x f 中的变量0y y =，则),(0y x f z =是一个一元函数且在0x x =处取得极值，由一元函数极值的必要条件知0),(00=y x f x ，同理有0),(00=y x f y .反之，凡是满足方程组⎩⎨⎧==0),(0),(y x f y x f y x 的点),(00y x 称为函数),(y x f z =的驻点．定理说明，只要函数),(y x f z =的两个偏导数存在，那么它的极值点一定是驻点，反过来，驻点是不是一定为极值点呢？例如，函数22y x z +-=，在点()0,0处的两个偏导数为0，即()0,0是驻点，但在()0,0的任一邻域内函数既有正值也有负值，所以()0,0不是极值点，即驻点不一定是极值点.另外，极值点也可能是偏导数不存在的点.比如，上半锥面22y x z +=在点()0,0的偏导数不存在，但()0,0是函数的极小值点，函数极小值为0.3.2二元函数极值存在的充分条件判断二元函数),(y x f 在),(000y x P 取得极值的充分条件，我们假定函数f 有二阶连续偏导数，并记0f p =⎢⎣⎡)()(00P f P f yx xx ⎥⎥⎦⎤)()(00xy P f P f yy =⎢⎣⎡yx xx f f 0xy P yy f f ⎥⎥⎦⎤, 称它为f 在),(000y x P 的黑塞矩阵.定义3 若函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P U 具有直到1+n 阶的连续偏导数，则对)(0P U 内任一点),(00k y h x ++，存在相应的)1,0(∈θ，使得).,()()!1(1),()(!1),()(!21),()(),(),(00100002000000k y h x f y k x h n y x f yk x h n y x f y k x h y x f yk x h y x f k y h x f n n θθ++∂∂+∂∂++∂∂+∂∂+⋯+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=+++ (2)式称为二元函数f 在点0P 的泰勒公式，其中i m i i m i mm i i m m k h y x f y x C y x f y k x h --=∂∂∂=∂∂+∂∂∑),(),()(00000. 定理2 （极值充分条件）设二元函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P U 具有二阶连续偏（2）导数，且0P 为f 的稳定点，则当)(0P H f 为正定矩阵时，此函数f 在0P 有极小值；当)(0P H f 为负定矩阵时，在0P 有极大值；当)(0P H f 为不定矩阵时，在0P 不取极值. 证明 由f 在0P 的二阶泰勒公式，并注意到条件0)()(00==P f P f y x ，有)(),)((),(21),(),(22000y x y x P H y x y x f y x f T f ∆+∆ο+∆∆∆∆=-. 由于)(0P H f 正定，所以对任何)0,0(),(≠∆∆y x 恒使二次型0),)((),(),(0>∆∆∆∆=∆∆T f y x P H y x y x Q .因此存在一个与y x ∆∆,无关的正数q ，使得)(2),(22y x q y x Q ∆+∆≥∆∆.则对于充分小的0()U P 只要),(y x ∈0()U P ，就有0))1()(,()(),(),(),(22222200≥ο+∆∆=∆+∆ο+∆∆≥-q y x y x y x q y x f y x f ，即f 在),(000y x P 取极小值.同理可证)(0P H f 为负定矩阵时，f 在),(000y x P 取极大值.最后，当)(0P H f 不定时，f 在0P 不取极值.假设f 取极值（因为不失一般性，所以我们不妨设为取极大值），对任何过0P 的直线x t x x ∆+=0，y t y y ∆+=0，)(),(),(00t y t y x t x f y x f φ=∆+∆+=在0t 也取极大值.由一元函数取极值的充分条件，0)0(>''φ是不可能的（否则φ在0t 将取极小值），故0)0(≤''φ.而又有 y x yf xf t ∆+∆=φ')(，22)(2)()(y f yf x x f t yy xy xx ∆+∆∆+∆=φ''，T f y x P H y x ),)((),()0(0∆∆∆∆=''φ，这表明)(0P H f 为负半定的.同理，f 倘若取极小值，则将导致)(0P H f 为正半定.也就是说，当f 在0P 取极值时，)(0P H f 必须是正半定或负半定，但这与)(0P H f 不定相矛盾.证毕.若函数f 如定理2所设，设0P 是f 的稳定点，则我们可以将定理2写成如下比较实用的形式：①当0)(0>P f xx ，0))((02>-P f f f xy yy xx 时，f 在点0P 取得极小值； ②当0)(0<P f xx ，0))((02>-P f f f xy yy xx 时，f 在点0P 取得极大值； ③当0))((02<-P f f f xy yy xx 时，f 在点0P 不能取得极值；④当0))((02=-P f f f xy yy xx 时，不能肯定f 在点0P 是否取得极值.3.3求二元函数极值的步骤第一步，首先求出偏导数x f ，y f ，xx f ，yy f ，xy f ；第二步，然后解方程组⎩⎨⎧==00yx f f 求出驻点P ；第三步，求出二元函数在驻点P 处)(P f xx 、)(P f yy 、)(P f xy 的值及))((2P f f f xy yy xx -的符号，再根据定理2判定出极值点；第四步，求出二元函数的极大值或者极小值.例1 求),(y x f y x y xy x +-+-222的极值点.解 由方程组 ⎩⎨⎧=+-==--=012022x y f y x f yx 得f 的稳定点为)0,1(0P ，由于02)(0>=P f xx ,2)(0=P f yy ,1)(0-=P f xy ，03))((02>=-P f f f xy yy xx ,故f 在0P 取极小值1)0,1(-=f .又因为f 处处可微，所以0P 为f 的惟一极值点.例2 求xy y x z 333-+=的极值.解 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=03303322x y f y x f y x 得f 的稳定点为)1,1(1P 、)0,0(2P ，由于x f xx 6=、y f yy 6=、3-=xy f ，所以027))((12>=-P f f f xy yy xx .故f 在1P 取极小值1)1,1(-=f .又因为 09))((22<-=-P f f f xy yy xx ，所以2P 不是f 的极值点.例3 讨论),(y x f =62+-xy y 是否存在极值点.解 由方程组 ⎩⎨⎧=-==-=020x y f y f yx 得稳定点为原点)0,0(0P .又01))((02<-=-P f f f xy yy xx ,故原点不是f 的极值点.又因为f 在定义域内处处存在偏导数，所以f 没有极值点.例4 讨论)2)((),(22y x y x y x f --=在原点是否取得极值.解 容易验证原点为其稳定点，但在原点02=-xy yy xx f f f ,所以无法判定f 在原点是否取得极值.但是，我们又很容易发现，当222y x y <<时，),(y x f 0；当22y x >或2y x <时，),(y x f 0.所以函数f 不可能在原点取得极值.4特殊情况下二元函数极值对于一个二元函数来说，当),(000y x P 为稳定点，判别式0))((02≠-=P f f f M xy yy xx 时，可以判定f 在点0P 取得极小值、极大值或不能取得极值.但是，在判别式为零的时候，就没有肯定的答案了，下面我们就来讨论一下判别式为零时的情形.根据极值的定义可知，要判定),(000y x P 是否为极值点，只要判定),(y x P 在),(000y x P 的某邻域0()U P 内变化时，),(),(00y x f y x f f -=∆是否保持定号，并由此来判断.假设f 的所有二阶偏导数连续，则可以利用泰勒公式来讨论f ∆的符号.定理3 设点),(000y x P 是二元函数),(y x f 的稳定点，0===xy yy xx f f f ，若),(y x f 在0P 的某邻域内具有三阶连续偏导数，且至少有一个不为零时，则f 在0P 无极值.证明 由所给的泰勒展开式有),(),(][61),(),(3300300y x y x f yf k x f h y x f y x f ∆+∆ο+∂∂-∂∂=- 其中00,y y k x x h -=-=，而)(33y x ∆+∆ο为当),(),(00y x y x →时f 的无穷小量.所以，对于0P 的充分小的邻域0()U P ，只要当)(),(0P U y x ∈时，就能保证),(][61003y x f yf k x f h ∂∂-∂∂与),(),(00y x f y x f - 同号.这是因为),(][61003y x f yf k x f h ∂∂-∂∂ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂=30033200322003230033),(),(3),(3),(61y y x f k y x y x f hk y x y x f k h x y x f h ， 若),(y x f 在0P 的某邻域内三阶连续偏导数至少有一个不为零，即0),(),(),(),(23003220032200323003≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂y y x f y x y x f y x y x f x y x f ， 我们来分情况讨论1若0)(033≠∂∂P xf 时，取00,y y x x h =-=，则 当0x x >时，0>h 则03>h ；当0x x <时，0<h 则30h ； 从而)(0333P x f h ∂∂的符号是不确定的.即当0)(033≠∂∂P xf 时，f 在0P 无极值. 2若0)(033≠∂∂P yf 时，取00,y y k x x -==，同理可得f 在0P 无极值.3若0)(033=∂∂P x f ，0)(033=∂∂P y f ，则0)(023≠∂∂∂P y x f ，或0)(023≠∂∂∂P yx f.不妨设0)(023≠∂∂∂P yx f，此时 ]),(),([21),(),(2003200300y x y x f k y x y x f h y x f y x f ∂∂∂+∂∂∂=-，取0>k 充分小,使得20032003),(),(yx y x f k y x y x f h ∂∂∂>∂∂∂，则),(),(00y x f y x f -的符号是由yx y x f k h ∂∂∂20032),(决定.从而k 取正负号时导致),(),(00y x f y x f -在),(00y x 的任意小邻域可取正可取负.因此，),(),(00y x f y x f -的符号不确定.即当0)(033=∂∂P x f ，0)(033=∂∂P yf，而0)(023≠∂∂∂P y x f 时，f 在0P 无极值.在0)(023≠∂∂∂P yx f时，同理可得f 在0P 无极值. 综上，定理得证.例5 讨论函数323532),(y xy x y x f +-=在原点是否有极值.解 函数),(y x f 在原点处的一，二阶偏导数0=====yy xy xx y x f f f f f ，而0123≠=x f ，由定理3可得，函数),(y x f 在原点不取极值.5条件极值问题在大量二元函数取极值的问题中，有一类问题是经常碰到的，即所谓求函数“条件极值”的问题.例如，要设计一个容量为V 的长方形开口容器，那么，当容器的长，宽，高各等于多少时，其表面积最小？为了解决上面这个问题，我们不妨设容器的长、宽、高分别为c b a 、、,则该容器表的面积为ac bc ab c b a S 22),,(++=.由此不难看出，上述表面积函数S 的自变量c b a 、、,不仅要符合定义域的要求0,0,0>>>c b a ，而且还须满足条件abc V =.像上面这类附有约束条件的极值问题，称为条件极值问题（不带约束条件的极值问题不妨称为无条件极值问题）.一般地，求二元函数的条件极值，在讨论二元函数),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下的极值问题时，我们主要使用下面两个方法.5.1代入法在约束条件0),(=y x g 中，如果能解x (或y ), 即)(y x ϕ=(或)(x y ϕ=),将它代入),(y x f z =中，那么)),((y y f z ϕ=（或))(,(x x f z ϕ=），这样就把二元函数),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下的极值问题，转化为求一元函数)),((y y f z ϕ=（或))(,(x x f z ϕ=）的极值问题了，而一元函数的极值问题已经在微积分中得到圆满解决.例5 求xy z =在约束条件1=+y x 的极值.解 由约束条件x y -=1代入z 中，得到2)1(x x x x z -=-=，令021x =-='x z ，解得21=x ， 又因为02xx<-=''z ，所以21=x 为极大值点. 故函数z 的极大值为41)21,21(=z .5.2拉格朗日(Lagrange)乘数法在某些情况下，要想在约束条件0),(=y x g 中解出x (或y )不总是可能的,下面我们介绍一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法:(1)引入辅助变量λ和辅助函数),(),(),,(y x g y x f y x L λλ+=；（2）求出),,(λy x L 对λ,,y x 的一阶偏导数，并令它们都为零，然后联立组成方程组即：⎪⎩⎪⎨⎧===+==+=0),(),,(0),(),(),,(0),(),(),,(y x g y x L y x g y x f y x L y x g y x f y x L y y y x x x λλλλλλ 解上面这个方程组，得出解),(i i y x )2,1(⋯⋯=i ，都是),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下的驻点，这是因为由(3)和(4)得),(),(),(),(y x g y x f y x g y x f yy x x '-=''-='λλ由(6)和(7)得(3) (4) (5)(6)(7)0),(),(),(),(='''-'y x g y x g y x f y x f y x y x 再由(5)得0),(),(=''+'x y x y y x g y x g所以有),(),(y x g y x g y y x x ''-=' 于是0),(),(=''+'x y x y y x f y x f这样我们就容易得到0),(),(=''+'='x y x x y y x f y x f z所以说),(i i y x )2,1(⋯⋯=i 都是),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下的驻点.这里需要说明一点，如果在实际问题中，能判定函数),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下只有一个极大值或极小值，并且上面的方程组也只有惟一的解),(00y x ，那么点),(00y x 就是极大值或极小值.当然,在不能判定的情况下，我们还要继续下面的步骤；（3）为了判断),(i i y x )2,1(⋯⋯=i 是否是极值点，我们设),(y x f z =有连续的一阶、二阶偏导数，y 对x 的一阶、二阶导数存在，那么xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z '''+''''+''+''+''=''),(]),(),(),([),(由一元函数极值的第二判别法得①当0),(<''i i xx y x z 时，),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下有极大值),(i i y x f z =； ②当0),(>''i i xx y x z 时，),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下有极小值),(i i y x f z =.上面这种方法就是拉格朗日乘数法，辅助函数L 称为拉格朗日函数，辅助变量λ称为拉格朗日乘数.这个方法虽然看起来很烦琐，但是它很好的解决了代入法的不足之处，在解决二元函数条件极值问题方面应用非常广泛.现在我们就用拉格朗日乘数法来重新求xy z =在约束条件1=+y x 的极值.引入辅助变量λ和辅助函数)1(),(),(),,(-++=+=y x xy y x g y x f y x L λλλ；然后求出),,(λy x L 对λ,,y x 的一阶偏导数，并令它们都为零组成方程组,即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+==+=010),,(0),,(y y x x y x L y y x L x λλλλ 解方程组得唯一驻点)21,21(，由于当±∞→x 时，∞→ y ，故-∞→=xy z ，则函数z 必在此处取得极大值41)21,21(=z .当然，我们还可以用步骤三去判断)21,21(是否是极值点.很容易求得y y x f x ='),(、x y x f y ='),(、0),(=''y x f xx、1),(),(=''=''y x f y x f yx xy 、0),(=''y x f yy 、1-='x y 、0=''xx y ，所以，02),(]),(),(),([),()21,21(<-='''+''''+''+''+''=''xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z ， 故xy z =在点)21,21(取得极大值41)21,21(=z .例6 求函数y x y x f z +==),(在条件222=+y x 下的极值.解 引入辅助变量λ和辅助函数)2(),,(22-+++=y x y x y x L λλ求出),,(λy x L 对λ,,y x 的一阶偏导数，并令它们都为零组成方程组,即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==+=2021),,(021),,(22y x y y x L x y x L y x λλλλ 解方程组得到两个驻点()11，和()11--，.又有， 1),(),(='='y x f y x f y x ,0),(),(=''=''y x f y x f yy xx,0),(),(=''=''y x f y x f yx xy ,yxy x -=',3322222yy x y y yx x y yy x y y xxx -=+-=+-='--=''，所以， 02),(]),(),(),([),()1,1(<-='''+''''+''+''+''=''xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z那么，函数),(y x f z =在点()11，取得极大值2)1,1(=z ； 又因为02),(]),(),(),([),()1,1(>='''+''''+''+''+''=--''xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z那么，函数),(y x f z =在点()11--，取得极小值2)1,1(-=--z .例7 求函数22),(y x y x f z +==在条件04=-+y x 下的极值.解: 引入辅助变量λ和辅助函数)1(),,(22-+++=y x y x y x L λλ求出),,(λy x L 对λ,,y x 的一阶偏导数，并令它们都为零组成方程组即：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+==+=0402),,(02),,(y x y y x L x y x L y x λλλλ 解方程组得到惟一的驻点)2,2(.又有x y x f x 2),(='，y y x f y 2),(='，2),(=''y x f xx ，0),(),(=''=''y x f y x f yx xy ，2),(=''y x f yy ，1-='x y ，0=''xx y ，所以，04),(]),(),(),([),()2,2(>='''+''''+''+''+''=''xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z那么，函数),(y x f z =在点)2,2(取得极大值8)2,2(=xx z .6总结本文主要讨论数学分析中二元函数的极值问题.把一元函数的极值问题推广到多元函数的情形，得到了一些新的结果，并给出了一些未推广前不能求解，而利用推广后的结论可以求解的例子.本文先证明稳定点为极值点的充分条件，并给出其判别式，再分析判别式为零的情形，来解决与此相关的数学问题.参考文献[1] 华东师范大学数学系.数学分析（下册 第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003. [2] 刘玉琏等.数学分析讲义（下册 第四版）[M].北京：高等教育出版社，2003. [3]万淑香．二元函数的极值问题[J]．鸡西大学学报，2007，4：75-76．[4]柴文祥等. 二元函数极值判别的一点注记[J].牡丹江师范学院学报，2011，4：3-4 [5]刘连褔.02=-=∆AC B 时二元函数极值问题讨论[J]. 廊坊师范学院学报，2010,10:16-17.[6]刘晓俊. 二元函数求条件极值的方法[J]. 金融教学与研究，1994，3：57-59.。
二元函数条件极值的一个判定方法
Ｖ０１ １ ＮＯ． ． ３ Ｓｅ ２０ ｐ． ０２
文 章 编 号 ：６ １ １ ７ ２ ０ ）３—０ ０ —０ １ ７ ～７ ４ （０ ２ ０ ３７ ３
二 元 函 数 条 件 极 值 的一 个 判 定 方 法
黄 文 华
（ 南 大 学 理 学 院， 苏 无 锡 ２ ４ ６ ） 江 江 １ ０ ４
是 类似 的 ．
关 键词 ：二元 函数 ；条件 极 值 ；充分 条 件
中图分 类号 ： １ ２ １ ０ ７ ．
文 献标 识 码 ： Ａ
Ｏｎ ｔ ｅ Ｃｒ ｔ ｒ ｏ ｏ ｎｄ ｔｏ ｌＥｘ ｒ ｍ ａ ｆ ｒ Ｆｕ ｃ ｉ ｎｓ ｏ ． ｒ ａ ｌ ｓ ｈ ｉｅ ｉ ｎ ｆ ｒ Ｃｏ ｉｉ ｎａ ｔ ｅ ｎ ｔｏ ｆ ２ Ｖａ ｉ ｂ ｅ ｏ
摘
要 ：简要论 述 了工科 数 学 关 于 函数 ｚ＝ｆ（ ） 条件 （ Ｙ ＝０下 的 条 件 极 值 的 计 算 问 ， 在 ， ）
题 ． 绍 了 Ｌ ｇａ ｇ 介 ａ ｒｎ ｅ乘数 法， 究 了二元 函数 ｚ＝ｆ（ Ｙ） 条 件 （ ， ） 研 ， 在 ｚ Ｙ ＝０下 的 条件 极 值 的 判 定方法， 获得 了一个 判 定 二元 函 数 条件 极 值 的 充分 条件 ， 一 充 分 条 件 与 非 条件 极 值 的 充 分 条件 这
维普资讯
第１ 卷第 ３ 期 ２０ ０２年 ９ 月
江 南 大 学 学 报（ 然 科 学 版） 自 Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｏ ｔｅｎＹ ｎ ｔｅＵ ｉｅｓｔ（ ａｕａ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｕｈ ｒ ａ ｇｚ ｎｖｒｉ Ｎ ｔｒｌ ｉ ｅＥ ｉｏ ） ｏＳ ｙ Ｓ ｎ ｉ
其 中 是某 个 常数 ， 令
ｆ ， ） （ ） （ Ｙ ＝ （ Ｙ ＝ ， ＋ Ｌ ， ） ０
微积分第三章第3.6节 二元函数的极值与条件极值
解 为求驻点，解联立方程组
f x'( x, y) 3x2 3 y 0
f
' y
(
x,
y)
3
y2
3
x
0
得到两个驻点：（0，0），（1，1）。
由于
f
'' xx
(0,0)
0,
f xy''(0,0)
3,
f
'' yy
(0,0)
0
故[ f xy''(0,0)]2
f
'' xx
有 f ( x,0) x2 ，即函数取负值，而对原点附近任何的 y，
f (0, y) y2 ，函数取正值。因此，原点（0，0）不是函数的极值点。
如果要求二元函数的极值点，应当从驻点或一阶偏导数不存在的点中 选取可能的极值点，为了判断所选的点是否是极值点，我们不加证明地给 出：
定理 3.6.2 设函数 z=f（x，y）的所有的二阶偏导数都在点 ( x0 , y0 ) 附
3
3 33
在该点处 S 3 3 R2 。 4
在闭区域 D 的边界上，即在直线 x=0，y=0 及 x y 2 上，S 恒等
于零，因此 S 在 ( 2 , 2 ) 处达到最大值，换言之，当 x y z 2 时，
33
3
即内接三角形为等边三角形时，其面积最大。
Hale Waihona Puke 以上我们讨论了二元函数的极值问题，系指自变量可任意取值，在不
受限制的情况下的极值，通常被称为无条件极值(unconditional extremum)。
6.6 二元函数的极值
对于 U ( P0 )内的任意点 ( x , y ), 若恒有不等式
0
z 3x 2 4 y 2 在点 (0,0) 处取得极小值. z 2 ( x2 y 2 ) 在点 (0,0)处取得极大值. z y 2 x 2 1 在点 (0,0)既不取得极大值也不取得极小值.
在点 0,4 处， f xx 0 , f xy 24 , f yy 0 ，
AC B 2 242 0 ，所以 f 0,4 不是极值；
在点 3,2 处， f xx 8 , f xy 0 , f yy 18，
AC B 2 8 18 0 ，又 A 0 ，所以函数有
2 2 求函数 f x, y 6 x x 4 y y 的极值． 例2
解 函数的定义域为整个 xOy 面； 2 2 f x 6 2x4 y y f y 6x x 4 2 y
fx 0 由 得： 0,0 、 0,4 、 3,2 、 6,0 、 6,4 fy 0
极大值 f 3,2 36 ；
在点 6,0 处， f xx 0 , f xy 24 , f yy 0 ，
AC B 2 242 0 ，所以 f 6,0 不是极值；
在点 6,4 处， f xx 0 , f xy 24 , f yy 0 ，
AC B 2 242 0 ，所以 f 6,4 不是极值．
(3).若 B2
AC 0 ,
情况不定.
注意：
结论(1)中的 A 换为 C 结论不变。
例1. 求函数 解:
f ( x, y) x3 y 3 3x2 3 y 2 9 x
7.7二元函数的极值和最值
注： 可导函数的极值点 例如函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
类似于一元函数y x3 在 x 0处非极值．
驻点 (3)
问题：可导函数的驻点未必是极值点，那什
么样的点才是极值点呢？ 这是寻找极值点的 充分 条件
定理2（极值存在的充分条件） ABC法则
1. 条件极值与无条件极值 自变量除了受其定义域限制外还有别的条
件限制，这种情况下的极值称为条件极值. 相应地，前面讨论的极值称为无条件极值.
例7：某厂商生产同一产品同时在两个市场销售，售价分别
为p1, p2 , 销售量分别为q1, q2 ,需求函数分别为q1 24 0.2 p1, q2 10 0.05 p2 ,总成本函数C 35 40(q1 q2 ),问厂家如 何订价才能时利润最大？
解 : 利润L p1q1 p2q2 35 40(q1 q2 )
（1）都有 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函数 在( x0 , y0 )有极大值；
（2）都有 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函数 在( x0 , y0 )有极小值；
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
例1 函数 z 3x2 4 y2
(2)当AC B2 0时,没有极值;
(3)当AC B2 0时,为可能极值 ,需另作讨论 . （证略）
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤： 第一步 解方程组 f x ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 求fxx ( x, y), fxy( x, y), fyy ( x, y).
max f ( x) f ( x3 ), min f ( x) f ( x2 ) a x1o x2 x3 b c x
二元函数极值的判定方法
二元函数极值的判定方法一、介绍：二元函数是指含有两个自变量的函数，也称为二元关系。
在解决实际问题时，经常需要确定二元函数的极值，以便确定最优解。
本文将探讨关于二元函数极值的10种判定方法，并详细描述每种方法的应用场景及具体操作方法。
二、10种判定方法：1. 偏导数法；2. 拉格朗日乘数法；3. 常数替换法；4. 参数方程化法；5. 极角表示法；6. 等势线法；7. 变量替换法；8. 图像法；9. 中值定理法；10. 差分法。
三、具体描述：1. 偏导数法：偏导数法在判定二元函数极值时是最常用的方法之一。
该方法需要求出函数在每个自变量方向上的偏导数，并令偏导数为0，以确定极值点。
但需要注意的是，只有在偏导数存在的情况下才能使用该方法。
2. 拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法是一种常用的约束最大化、最小化方法。
该方法通过引入拉格朗日乘数来将约束条件加入到目标函数中，以求出最优解。
适用于带有一定条件限制的二元函数。
3. 常数替换法：常数替换法是将一些含有常数的目标函数进行替换，以达到更好的分析效果。
将某个常数替换成一个自变量，可以得到新的目标函数，进而判断其是否有极值点。
4. 参数方程化法：当二元函数为参数方程形式时，可以通过对参数进行求导，以求出函数对应自变量范围内的最优解。
5. 极角表示法：当二元函数的自变量在极坐标系中呈现出特定的规律时，可以使用极角表示法来推导出函数的极值点及最优解。
6. 等势线法：等势线法是使用等高线图来分析二元函数极值的一种方法。
在等高线图中，连续的等高线表示对应的函数值是相等的。
可以通过对等高线之间的距离进行计算，判断函数是否具有极值点。
7. 变量替换法：变量替换法是通过将变量进行替换，以求出原函数的最优解。
将一个变量用其它变量进行表示，可以将原函数转化为另一种形式，进而分析其极值。
8. 图像法：图像法是在图像上对二元函数进行分析的一种方法。
可以通过对函数图像进行观察，勾画出极值点所在的位置。
二元函数的极值和最值
二元函数的极值和最值二元函数是指含有两个未知变量的函数，通常用z=f(x,y)来表示。
当x、y取不同的值时，z的取值也会发生变化，因此我们需要研究如何找出二元函数的极值和最值。
一、定义首先，我们需要了解极值和最值的定义。
极值是指函数在某个点上取得的极大值或极小值，而最值则是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
在二元函数中，极值也分为极大值和极小值。
当函数在某个点处取得极大值时，这个点被称为极大值点；同理，当函数在某个点处取得极小值时，这个点被称为极小值点。
考虑以下例子：z=x^2+y^2，我们需要找到z的极小值和最小值。
二、求解方法我们可以通过求一阶偏导数来找到极值点和最值点。
对于二元函数z=f(x,y)，我们先求出x和y的一阶偏导数：∂z/∂x=2x∂z/∂y=2y求出它们的偏导数后，我们需要将偏导数相等的方程组联立起来，解出x和y的值，进而求得z的值。
举个例子，对于函数z=x^2+y^2，我们可以得到：2x=02y=0由此可得，当x=0，y=0时，z取得最小值0。
除了求一阶偏导数的方法，我们还可以通过求二阶偏导数来判断函数的极值类型。
若f(x0,y0)满足：① ∂²f/∂x²(x0,y0)>0, ∂²f/∂y²(x0,y0)>0，则f(x0,y0)为极小值点；② ∂²f/∂x²(x0,y0)<0, ∂²f/∂y²(x0,y0)<0，则f(x0,y0)为极大值点；③ ∂²f/∂x²(x0,y0)与∂²f/∂y²(x0,y0)符号相反，则f(x0,y0)为鞍点。
同样以z=x^2+y^2为例，我们可以得到：∂²z/∂x²=∂²z/∂y²=2>0，因此z取得最小值。
3. 拓展方法除了上述两种方法外，我们还可以利用拉格朗日乘数法，求出约束条件下的极值和最值。
二元函数极值点判定的充分条件新证
ｌ ｉ ｍ
， ，
存 ， 此 限 函 ，）点 沿 线 的 向 数表 为 ｝ ｏ ，， 在 称 极 是 数 ｘ， Ｐ 射 方 导 ， 菩 或，，Ｚ 即 则 ｙ在 ｚ 示 （Ｙｏ Ｘ ｏ）
Ｉ Ｐ
ｆ ｉ ｌ ｌ ：ｍ Ｐ
Ｐ
．
，，）在点 Ｐ沿任意射线 的方向导数都存 ｙｚ
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ ＨＥ ＣＨＩＵ ＶＥＲ Ｉ Ｙ ＮＩ ＳＴ
Ｖ １ ８Ｎ ． ０ ２ ｏ２ ． Ａｐ ． ０ ８ ｒ２０
二 元 函数 极 值 点 判 定 的 充 分 条 件 新 证
白安 文
（ 宝鸡职业技术学院 数理科学 系。陕西 凤翔 ７ １０ ２ ４０）
【 摘
２ ０
维普资讯
∞
ｆ其 ， 几何意 示交 Ｃ Ｑ 附近的 性。 元函 义表 线 上 点 凸凹 与一 数的二阶导 数表示的函 数曲 线凸凹 性相似，
Ｉ ｐ
Ｏ２ ｌ
Ｉ 。 示交 在Ｑ 表 线Ｃ 点附近 ＞ 严凸
， ｌ ２ Ｏ
Ｉ 。 示交线Ｃ 点附 表 ＜ 在Ｑ 近严凹
给 出上 面方 向导数 的定 义 ， 下 面的定 理 ： 有
定理： 若函数 ，，） ｙｚ 在点 Ｐ ｘｙｚ （ ，， ）可微 ， 则函数
在且 ＝ｃ ＋Ｃ卢 ｃ ， Ｃ ，卢。，射 方 余 ．理 证 见 考 ， 。 Ｏ ＋ 。 其 Ｏ ｃ ， 是 线 的 向 弦定 的 明参 蔷 ｓ Ｓ ｓ 中 Ｓ 。 ｃ ｓ ｓ
数 几 意 ： 表 平 曲 上Ｑ 处 切 的 率 ，ｆ ＝时此 切 的 率 零表 切 的 何 义等｝ 示 面 线ｃ 点 的 线 斜 ． ｏ ０ ，时 线 斜 为 ，示 线 。 ， ｊ
Ｕ Ｉ Ｐ Ｕ‘ Ｉ ｐ
高等数学(第二版)下册课件：二元函数极值和最值
因此，求解函数 z f (x, y) 极值的步骤：
第一步：解方程组 fx (x0, y0 ) 0，fy (x0 , y0 ) 0 求得一切实数解，即求得一切驻点;
第二步：对于每一个驻点 (x0 , y0 )
为 f 3,2 31 .
如果函数 f x, y 在有界闭区域 D 上连续，则 f x, y 在 D 上必能取得最大值和最小值，并且函数
的最大值、最小值点必在函数的极值点或在 D 的边界
点中取得 . 因此，要求函数的最值点，我们只需求出函 数的驻点和偏导数不存在的点处的函数值，以及边界上 的最大、最小值，然后加以计较即可 .
,
y0
)
0
, fy (x0, y0 ) 0
同时成立的点
(x0, y0 ) 称为函数 z f (x, y) 的驻点.
定理6.8只给出了二元函数有极值的必要条件．那么, 我们如 何判定二元函数的驻点为极值点呢?对极值点又如何区分极 大值点和极小值点？有下面的定理.
.
定理6.9（充分条件）
设函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内
f
(x,
y)
y
(
x,
y)
0,
(x, y) 0.
得 x, y, ,其中 x, y 就是函数在条件 (x, y) 0下的可能
的极值点的坐标;
(3)确定所求点是否为极值点,在实际问题中往往可根据实际
问题本身的性质来判定.
这种直接寻求条件极值的方法就是拉格朗日乘数法.
拉格朗日乘数法推广
求函数 u f (x, y, z,t) 在条件 (x, y, z,t) 0， (x, y, z,t) 0
二元函数求极值
§6.7二元函数的极值在管理科学、经济学、以及许多工程与科技问题中，常常需要研究函数的最大值与最小值问题，它们统称最值问题。
需要求最值的函数为目标函数，该函数的自变量为决策变量，相应的问题为优化问题。
教学目的与要求：1、理解二元函数极值的概念，2、弄清二元函数极值与最值相关的概念；3、正确判断所给点是否为驻点、极值点，4、会用充分条件判定二元函数的极值，教学重点：1、熟练掌握二元函数的极值与最值的求法.2、掌握二元函数取得极值的必要条件与充分性判别法，教学难点：求最值实际问题会建立模型。
教学方法：启发式讲授：问题（最值实际问题会建立模型）1、2010年我校“三宣传”工作，通过讲座和简章进行品牌宣传，我初步统计，收入R万元与投入讲座X万元和印刷简章Y万元之间有如下关系（经验公式）求：最优（最大利润）的宣传策划。
22=++--(,)1020.2530.37105Q x y xy x y x y问题（最值实际问题会建立模型）2、某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖x元，外地牌子的每瓶卖y元，则每天可卖出7054x y-+瓶本地牌子的果汁，+-瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可x y8067取得最大收益？(,)(1)7054)( 1.2)(8067)=--++-+-f x y x x y y x y教学过程：在实际问题中，往往会遇到二元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似讨论二元函数的最大值，最小值与极大值，极小值的密切的关系，复习1、一元函数的极值：（1）求出函数()f x在区间（a，b）内的所有极值嫌疑点，则可以通过求导数'()f x =0 ，查找驻点和不可导点获得；（2）计算函数()y f x =在各个极值嫌疑点、不可导点和驻点以及区间端点a ,b 处的函数值；（3）.比较这些函数值的大小，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值。
二元函数的极值
一、二元函数的极值 二、最值应用问题
第八章
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、 多元函数的极值
定义: 定义 若函数 的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值.
因此 为极小值.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、最值应用问题
依据 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值
驻点 最值可疑点 边界上的最值点
特别, 只有一个极值点P 时, 特别 当区域内部最值存在, 且只有一个 只有一个
f (P) 为极小(大) 值
f (P) 为最小(大)值
的极值.
B
C
f xx (x, y) = 6x + 6, f xy (x, y) = 0, f yy (x, y) = −6y + 6
A
在点(1,0) 处
AC −B2 =12×6 > 0, A > 0,
为极小值;
机动 目录 上页 下页 返回 结束
在点(1,2) 处
AC −B2 =12×(−6) < 0,
解得:
3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有
α = = 60 , x = 8 (cm)
π
一个驻点, 故此点即为所求.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 z = f (x, y), 即解方程组
6.4 二元函数的极值汇总
4
目录
上页
下页
返回
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤：
第一步 解方程组 f x ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 AC B 2 的符号，再判定是否是极值.
令 A f x x ( x0 , y0 ) , B f x y ( x0 , y0 ) , C f y y ( x0 , y0 )
则: 1) 当
2) 当 3) 当 这个定理不加证明.
2018年11月1日星期四
时, 具有极值 时, 没有极值.
A<0 时取极大值;
A>0 时取极小值.
时, 不能确定 , 需另行讨论.
x y 6 所围成的三角形区域 D 上的最大值和最小值.
提示: 首先考察函数z在三角形区域D内的极值 其次，考察函数在三角形区域 的边界上的最大值和 最小值.
2018年11月1日星期四
11
目录
上页
下页
返回
说明: 从上例可以看出，计算函数f(x, y)在有界闭区域
D的边界上的最大值和最小值有时是相当复杂.
bc 2 0 La 6 a L 1 ac 2 0 b 6 b2 L 1 ab 3 0 a 6 c2 1 2 3 1 0 a b c
22
2018年11月1日星期四
目录
上页
下页
返回
得 a 3,b 6 , c 9 . 这是唯一可能的极值点,由于实际问题的最 小值一定存在,所以最小值就在这个可能的极值 x y z 点取得 . 故平面 1 与坐标平面在第一 3 6 9 卦限所围立体的体积最小,最小体积为 1 V 3 6 9 27 . 6
高等数学：第十一讲 二元函数的极值
2.求方程组
f f
x( y(
x, x,
y) y)
0 0
的所有实数解，得函数的所有驻点；
3.求出 fxx (x, y), fxy (x, y), f yy (x, y), 对于每个驻点 (x0, y0 ) ,求出二
阶偏导数的值 A，B，C；
4.对于每个驻点 (x0, y0 )，判断 B2 AC 的符号，由极值存在的充分
第二步：判别. 求二阶偏导数 f xx (x, y) 6x 6 A
fxy (x, y) 0 B f yy (x, y) 6 y 6 C
例题：
fxx (x, y) 6x 6 A, fxy (x, y) 0 B, f yy (x, y) 6 y 6 C
在点 (1 , 0) 处，A 12, B 0, C 6, B2 - AC 12 6 0, A 0, f (1,0) 5 为极小值. 在点 (1 , 2) 处，A 12, B 0, C -6, B2 - AC 12 6 0, f (1,2) 不是极值. 在点 (-3 , 0) 处，A -12, B 0, C 6, B2 - AC 12 6 0, f (-3,0) 不是极值. 在点(-3 , 2) 处，A -12, B 0, C -6, B2 - AC 12 6 0, A 0, f (-3,2) 31 为极大值.
定义 设函数 z f (x, y) 在点 P0 (x0, y0 ) 的某个邻域内有定义，如果
在该邻域内任何异于 P0 (x0, y0 )的点 P(x, y)，总有 (1) f (x, y) f (x0, y0 ), 则称 f (x0, y0 ) 为函数 f (x, y) 的一个极大值， 点 P0 (x0, y0 )称为函数 f (x, y) 的一个极大值点；
二元函数判断极值点的方法
二元函数判断极值点的方法二元函数是含有两个自变量的函数，通常表示为f(x,y)。
判断二元函数的极值点是求解该函数的局部最大值或最小值的位置。
在数学中，存在多种方法来判断二元函数的极值点，下面将介绍其中一些常用的方法。
1. 偏导数法：使用偏导数来确定极值点是最常见和常用的方法之一。
首先，计算函数f(x,y)分别对x和y的偏导数，记为f/x和f/y。
然后，求解方程组f/x = 0和f/y = 0，得到极值点的可能位置。
最后，使用二阶偏导数的符号（即Hessian矩阵）来确定这些可能位置是极大值点、极小值点还是鞍点。
2. 二次型法：对于二元函数f(x,y)，可以构建二次型Q(x,y) =f_xx(x,y) + 2f_xy(x,y) + f_yy(x,y)，其中f_xx，f_xy和f_yy分别代表二阶偏导数。
通过对二次型进行特征值分析，可以判断极值点的性质。
如果二次型的所有特征值都为正，则该点为极小值点；如果所有特征值都为负，则该点为极大值点；如果特征值有正有负，则该点为鞍点。
3. Lagrange乘数法：当二元函数f(x,y)在一定约束条件下求取极值时，可以使用Lagrange乘数法。
该方法通过引入拉格朗日乘数λ来将约束条件纳入考虑，将问题转化为无约束的极值问题。
具体步骤为：首先构建拉格朗日函数L(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y)，其中g(x,y)为约束条件；然后求解L的偏导数关于x、y和λ的方程组，并解得极值点。
4. 格雷默法则：对于二元函数f(x,y)，如果在某个点(x0,y0)的某个邻域内，所有偏导数f/x和f/y的值都存在且连续，且满足f/x ≠0或f/y ≠ 0，那么点(x0,y0)是二元函数的一个极值点。
在实际应用中，以上方法可以根据具体问题的需求选择合适的方法来判断二元函数的极值点。
同时，这些方法也可以用于更高维度的函数的极值判断。
第五节 二元函数极值-精选文档
2
注意：
(1)中的A换为C结论不变。
4
例1. 求函数 解:
的极值. f ( x , y ) x y 3 x 3 y 9 x
3 3 2 2
2 2 , 0 f x 3 y 6y 0 f 3 x 6 x 9 y 1 , 0 ), ( 1 , 2 ), ( 3 , 0 ), ( 3 , 2 ) 得驻点: ( , f 0 fyy 6 y 6 f xx 6 x 6 xy
(x (x, y)0 fx ,y) 0 , fy
称为函数 zf(x ,y)的驻点.
同时成立的点,
2
注意
1）偏导数存在的极值点一定是驻点 2）函数的驻点不一定是极值点
点( 0 ,0 )是驻点 ，但不是 极值点 。 ,y)xy 例 f(x
3）函数的极值点也可能是偏导数不存在的点。 例
f( x, y) x
第五节 二元函数的极值
一. 二元函数的极值 定义4.7 设函数 zf( x ,y )在点 P(x0, y0)某邻域内有定义,
对于该邻域内任一点 ( x , y ) , 若恒有不等式
1 ). f ( x , y ) f ( x , y )则称该函数在点 P 处有极大值 f (x0, y0) 0 0
A 12 , B 0 , C 6
5
B2 AC 3 ,2 )31 72 0 A0 , 有极大值 f(
步骤：
求函数
zf(x ,y )极值的方法和步骤.
fy ( 1 ) 求 f x，
（2）求出驻点( x0 , y0 ) （3）求出在驻点( x0 , y0 )处对应的二阶偏导数值A,B,C
二元函数的极值及其应用
郑州航空工业管理学院毕业论文（设计）2015 届数学与应用数学专业 1111061 班级题目二元函数的极值及其应用姓名XXX学号XXXXXXX指导教师XXX 职称XXX二О一五年四月三十日内容摘要二元函数理论是其他学科的基础，其中极值是函数中的重要内容，对极值也有很多研究方法，并且函数极值的理论有很多在生活中都有实际意义。
无论是在科学研究，还是在物流，实际规划工程，通常要解决如何使投资量输出最大，产出最多，最高效率优化。
这些实际问题都可以转化为一个数学问题来研究，进而转化为函数的极大值、极小值问题的解决。
在本文中，首先给出的是二元函数的研究背景及现实意义，之后给出二元函数的非条件极值理论，二元函数条件极值理论，二元函数极值的判定，以及二元函数极值的理论应用举例。
通过实例中的极值问题，说明所利用知识在求解二元函数极值问题中的重要应用。
关键词二元函数；无条件极值；条件极值；判定；应用the Extreme Value of Binary Function and ItsApplicationXXXXXX By:XXXX Tutor: XXXXXAbstractDual function theory is the foundation of other disciplines, including extreme value is an important content in function, the extreme value also has a lot of research methods, and the function extreme value theory has a lot in life has practical significance. Both in scientific research, and in the logistics, the actual planning engineering, often need to solve how to make the investment to maximum output, output the most, the highest efficiency optimization.The actual problem can be transformed into a math problem research capabilities, And then into the function of the maximum and minimum value problem to solve. Is first of all, the paper proposes the research background and practical significance of binary function, then give the unconditional extreme value of binary function theory, the conditions of binary function extreme value theory, extreme value of binary function determination, as well as the extreme value of binary function theory application, for example. Illustrated by an example of extreme value problem, using the knowledge in solving the important application of binary function extremum problems.Key wordsDual function；unconditional extremum；conditional extreme value,；judgement；application目录第一章引言 (1)第二章二元函数无条件极值理论 (2)2.1 二元函数无条件极值的定义 (2)2.2 二元函数无条件极值存在的必要条件 (2)2.3 二元函数无条件极值存在的充分条件 (3)2.4 二元函数极值的求解方法 (4)第三章二元函数条件极值理论 (6)3.1 二元函数条件极值的定义 (6)3.2 二元函数条件极值的求解方法 (6)第四章二元函数极值的判定 (13)4.1 一阶偏导数判定极值 (13)4.2 二元函数条件极值的简单判别法 (14)4.3 极值判定的改进 (17)第五章二元函数极值的理论应用举例 (19)5.1 二元函数极值的理论应用 (19)5.2 极值的实际应用 (21)总结 (24)致谢 (25)参考文献 (26)第一章引言极值是函数的一个重要特征，而且在解决实际问题中是非常有现实意义的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
大庆师范学院本科生毕业论文二元函数极值存在的判别方法院（系）数学科学学院专业数学与应用数学研究方向数学教育学生姓名韩明学号200801052602指导教师姓名夏晶指导教师职称副教授2012年6月1日摘要在生活、生产、经济管理和各种资金核算中，常常要解决在一定的条件下怎么使投入最小、产量最大、效益最高等等问题.因此解决这些问题具有现实意义.这些经济和生活的问题常常都可以转化为数学中的函数问题来探讨，将问题数字化，简单、精确，进而转化为求函数中最大（小）问题，即函数的极值问题.因此，对函数极值问题的探讨具有十分重要的意义.本文主要探讨了二元函数极值存在的充分条件、必要条件的判定方法，以及如何求解，并对结果进行了简要的证明.关键词：二元函数；极值；驻点；条件极值AbstractIn industrial and agricultural production,management of the economy and the economic accounting,we often solve the problems such as how to make input smallest,output most efficient in given conditions.In the life we often encounter how to achieve maximum profit,use the minimum materials and get maximum efficiency,to deal with the similar problems that have its realistic significance.Above problems can be transformed with function and its function of maximum and minimum value.The concept of extreme value originate from function of maximum and minimum value of mathematics,therefore approaching the extreme value have significance meanning.Keywords:function;extreme value;stagnation;conditional extremum目录第一章前言 .......................................... 错误！未定义书签。
1.1简述极值问题................................... 错误！未定义书签。
1.2二元函数的概念................................. 错误！未定义书签。
1.3二元函数的极值 (2)1.3.1极值存在的必要条件 (2)1.3.2极值存在的充分条件 (2)第二章二元函数求极值的方法 (4)2.1无条件极值问题 (4)2.2条件极值问题 (5)第三章二元函数极值的意义 (8)参考文献 (9)第一章 前 言1.1 简述极值问题函数极值问题是一个非常普通的数学问题，但在实际生活中却是非常重要的应用.本文主要参照一元函数的研究方法研究了二元函数的极值，得出了二元函数极值存在的判定方法.极值的概念来自数学应用中的最值问题.定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题的关键在于要确定它在哪点处达到最大值或最小值.如果不是边界点就一定是内点，因而是极值点.1.2 二元函数的概念二元函数是含有两个自变量的函数，它是函数的一种类型，可视为一元函数概念的一种推广.定义1]1[ 在某个变化过程中，存在三个变量x ，y ，z ，若对x ，y 的每一对数值),(00y x 总有唯一的数值0z 与其对应，则z 就叫做x 与y 的函数，x 与y 的取值范围叫定义域（亦称可微域）.例如：路程s 就是其速度v 与时间t 的二元函数.三角形面积s 就是其底a 与高b 的二元函数.二元函数的定义很好理解，二元函数极值的判别与求法是二元函数的重点以及难点.例如，22),(b a ab b a f ++=在全平面内可微，则2)0,(a a f =在0=x 处有极大值，2),0(b b f =在0=y 处有极大值.此二元函数22),(b a ab b a f ++=虽然在点)0,0(处从x 轴方向和y 轴方向来看都有极大值，但),(b a f 在)0,0(处不是极大值.我们可知一元函数极值的确定只需考虑在0x 左右侧的导数情况即可以得出相关结论.但在二元函数中情况就较为复杂.1.3 二元函数的极值定义2]1[设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某邻域内有定义，且在该邻域内恒有),(),(00y x f y x f ≤，)),(),((00y x f y x f ≥，则称),(00y x f 为函数),(y x f 的极大值（小）值。
这里极大值与极小值我们统称为极值，函数取得极值的点),(00y x 称为极值点.由以上定义可以得知，函数的极大值与极小值问题是一个“局部性”的问题，或者说，函数在极值点处取到极大值，此时的“极大”只在这一点周围很小的范围内，也只有在这个范围内，取得的函数值才是最大的.例如：1),(22++=y x y x f ，对任意)0,0(),(≠y x 有),(y x f >1)0,0(f =，所以函数2),(x y x f z ==12++y 在)0,0(处取得极小值1)0,0(=f . 又如：221),(y x y x f --=对任意),(y x 不等于)0,0(有f ),(y x <)0,0(1f =，所以函数=z 221),(y x y x f --=在)0,0(处取得极大值1)0,0(=f .那么在一般条件下怎样判断二元函数极值是否存在呢？参考一元函数的极值的讨论方式，对二元函数极值有如下讨论结果.1.3.1 极值存在的必要条件定理1]2[(极值存在的必要条件)若函数),(y x f 在),(00y x f 处有极值，且函数在该点的一阶偏导数都存在，则有),(00y x f x =),(00y x f y 0=.证：因为点),(00y x 是函数),(y x f 的极值点，若固定),(y x f 中的变量0y y =，则),(0y x f z =是一元函数且在0x x =处取得极值，由一元函数极值的必要条件知道0),(00=y x f x ，同理有0),(00=y x f y .我们把凡是满足方程组⎩⎨⎧==0),(0),(y x f y x f yx 的点),(00y x 都称为函数),(y x f z =的驻点. 定理说明，只要函数),(y x f z =的两个偏导数存在，那么它的极值点一定是驻点.反过来，驻点是不是一定为极值点呢？例如：函数22y x z -=，在点)0,0(处的两个偏导数为0，即)0,0(是驻点，但在)0,0(的任一邻域内函数既有正值也有负值，所以)0,0(不是极值点，由此我们可知驻点不一定是极值点.此外，极值点也可能是偏导数不存在的点。
例如，上半锥面在点)0,0(的偏导数不存在，但)0,0(是函数的极小值点，函数极小值为0.1.3.2 极值存在的充分条件定理2]2[（极值存在的充分条件）设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某邻域内具有二阶连续偏导数，且点),(000y x P 是函数的驻点，即),(00y x f x =),(00y x f y =0，记：),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =，AC B -=∆2，则：（1）当∆<0时，函数),(y x f z =在点),(000y x P 处有极值，且当0<A 时，有极大值，当0>A 时，有极小值；（2）当∆>0时，函数),(y x f z =在点),(000y x P 处没有极值；（3）当∆=0时，函数),(y x f z =在点),(000y x P 处可能有极值，也可能没有极值.我们根据定理1和定理2可知，若函数),(y x f z =的二阶偏导数连续，则可按照下列步骤求函数的极值]3[：（1）求偏导数x f ，y f ，解方程组求出所有驻点.（2）对于每一个驻点),(00y x 求出二阶偏导数的值A ，B ，C .（3）确定AC B -=∆2的符号，确定极值的情况.由此可知:函数的驻点不一定是极值点，偏导数不存在的极值点也不是驻点，但偏导数存在的极值点一定是驻点。
我们由例题来加以理解和讨论：例1 求函数22y xy x z +-=的极值.解 (1)求驻点：由方程组⎩⎨⎧=+-==-=0202y x z y x z yx 解得驻点)0,0(. (2)求二阶偏导数：2=xx z ，1-=xy z ，2=yy z .故在点）（0,0处，2=A ，1-=B ，2=C 从而032<-=-AC B ，02>=A ，所以函数在点）（0,1处取得极小值0.例2 求xy y x y x f 3),(33-+=的极值.解 (1) 求驻点：由y x f x 332-=,x y f y 332-=，当003303300422=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⇒⎩⎨⎧==y y x y y x f f y x ， 解得01=y ,12=y ,即可得驻点)0,0()1,1(.(2)求二阶偏导数：x f xx 6=,3-=xy f ,y f yy 6=.在点)0,0(处，090)3(2)0,0(2>=--=-ACB ，所以)0,0(f 不是极值； 在点）（1,1处，036)3(2)1,1(2<--=-AC B ， 所以)1,1(f 是极值点，且06)1,1(>=A ，所以1)1,1(-=f 为极小值.第二章 二元函数求极值的方法2.1 无条件极值的问题无条件极值即对自变量只有定义域限制.无条件极值的求法]4[:(1) 利用函数极值的定义求极值；(2) 利用函数极值存在的充分必要条件求极值，求),(y x f z =的极值的一般步骤为:○1 解方程组⎩⎨⎧==0),(0),(y x f y x f yx ，求得一切实数解，即可求得一切驻点),(00y x ； ○2 利用二阶偏导的判别式AC B -=∆2判定是否为极值点，是极大值点还是极小值点；○3 根据极值点确定极值. 例 求函数xy y x z 223-+=的极值.【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值。