试谈回归模型的统计检验

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对回归系数的检验统计量

对回归系数的检验统计量

对回归系数的检验统计量回归分析是一种用于研究因变量与自变量之间关系的分析方法。

在回归分析中,关键的问题是如何确定自变量对因变量的影响程度。

回归系数是衡量自变量对因变量影响程度的重要指标,它们的显著性检验可以帮助我们确定自变量是否对因变量有重要影响。

在回归模型中,每个自变量都对应一个回归系数,表示在其他自变量不变的情况下,该自变量对因变量的影响程度。

回归系数的显著性检验通常采用t检验或F检验。

一、t检验t检验常用于单个自变量的回归系数显著性检验。

它的基本原理是在假设检验中,将样本数据与假设相比较,以确定样本数据是否支持假设。

t检验中,t值表示样本估计值与假设值之间的差异程度,t值较大表明差异程度较大,从而拒绝假设。

对回归系数进行t检验,需要计算回归系数的标准误差、样本均值和样本标准差,并根据置信度和自由度确定t分布的临界值。

回归系数的t值与t分布的临界值进行比较,如果t值大于临界值,则拒绝假设,即认为回归系数显著。

二、F检验当回归模型中有多个自变量时,通常采用F检验来检验整个回归模型的显著性。

F检验基于方差分析原理,将回归模型的可决系数与一个“空模型”的可决系数进行比较,以确定回归模型与空模型之间的显著性差异。

对回归模型进行F检验,需要计算模型的可决系数(R²)和自由度,从而得到F统计量。

F统计量与F分布的临界值进行比较,如果F统计量大于临界值,则拒绝假设,即认为回归模型显著。

三、多重共线性问题回归系数检验还需要考虑多重共线性问题。

当自变量之间存在高线性相关性时,回归系数的估计可能出现误差,因此需要进行共线性检验。

常用的共线性检验方法有:方差膨胀因子(VIF)、特征值、条件数等。

其中VIF方法比较简单,它表示每个自变量在回归方程中的多样本标准差与该变量的样本标准差之比,VIF值大于10则可能存在严重的共线性问题。

总之,对回归系数的检验是回归分析中的一个重要步骤,它可以帮助我们确定自变量对因变量的影响程度,并避免回归系数估计误差和共线性问题的影响。

一元线性回归模型的统计检验

一元线性回归模型的统计检验

3. 怎样进行拟合优度检验 (1)总离差平方和的分解 已知有一组样本观测值( Xi ,Yi )(i 1, 2, , n),得到 如下样本回归直线:
Yˆi ˆ0 ˆ1Xi
Y的第i个观测值与样本均值的离差yi Yi Y 可分 解为两部分之和:
yi Yi Y Yi Yˆi Yˆi Y ei yˆi (1)
规则:p值越小,越能拒绝原假设H0.
三、回归系数的置信区间
对参数作出的点估计虽然是无偏估计,但一 次抽样它并不一定等于真实值,所以需要找到包 含真实参数的一个范围,并确定这个范围包含参 数真实值的可靠程度。
在变量的显著性检验中已经知道:
t ˆi i ~ t(n 2) i=0,1
Sˆi
给出置信度1,查自由度为(n 2)的t分布表,
假设检验的步骤: (1)提出原假设和备择假设; (2)根据已知条件选择检验统计量; (3)根据显著性水平确定拒绝域或临界值; (4)计算出统计量的样本值并作出判断。
(2)变量的显著性检验
对于最小二乘估计量ˆ1,已经知道它服从正态分布
ˆ1 ~ N(1,
2
xi2 )
由于真实的 2未知,在用它的无偏估计量ˆ 2
在上述收入——消费支出的例子中,如果给定
=0.01,查表得:
t 2 (n 2) t0.005 (8) 3.355
由于
Sˆ1 0.042
Sˆ0 98.41
于是,计算得到1、0的置信区间分别为:
(0.6345,0.9195)
(-433.32,226.98)

TSS RSS ESS
Y的观测值围绕其均值的总离差可分解为两部 分:一部分来自回归线(RSS),另一部分则来自随 机势力(ESS)。因此,我们可以用回归平方和RSS 占Y的总离差平方和TSS的比例来度量样本回归线 与样本观测值的拟合优度。

国际关系研究中回归模型检验的常用做法

国际关系研究中回归模型检验的常用做法

国际关系研究中回归模型检验的常用做法随着全球化进程的加快和国际关系的日益紧张,国际关系研究的重要性日益凸显。

在国际关系研究中,回归分析是一种常见的统计工具,用来研究国际关系中不同因素之间的关系。

而回归模型的检验则是验证这些因素之间的关系是否显著的重要步骤。

本文将介绍国际关系研究中回归模型检验的常用做法,包括回归模型的建立、变量的选择、模型诊断和结果解释等方面。

一、回归模型的建立回归模型是国际关系研究中常用的一种统计工具,用来研究自变量对因变量的影响。

在建立回归模型时,需要考虑以下几个方面:1. 变量的选择:在国际关系研究中,选择合适的自变量对于建立有效的回归模型非常重要。

通常情况下,研究者会根据理论框架和实际情况选择与研究主题相关的自变量,以确保模型的解释能力和预测能力。

2. 模型的设定:在建立回归模型时,需要考虑自变量和因变量之间的函数关系。

通常情况下,可以选择线性回归模型、多元回归模型或者非线性回归模型等不同类型的模型。

3. 模型的拟合:建立回归模型后,需要使用统计软件进行模型的拟合,得到各个参数的估计值和显著性检验的结果。

通常情况下,可以使用OLS(最小二乘法)进行参数估计和假设检验。

二、变量的选择在国际关系研究中,选择合适的自变量对于建立有效的回归模型至关重要。

在选择自变量时,需要考虑以下几个方面:1. 理论基础:选择自变量时,需要考虑其与研究主题的理论通联。

通常情况下,可以根据现有的理论框架和实际情况选择与研究主题相关的自变量。

2. 数据可得性:在选择自变量时,需要考虑数据的可得性。

通常情况下,可以根据已有的数据集选择可用的自变量,并对其进行预处理和清洗。

3. 多重共线性:在选择自变量时,需要避免多重共线性的问题。

通常情况下,可以使用相关系数矩阵和方差膨胀因子等统计工具进行多重共线性的诊断。

三、模型诊断在建立回归模型后,需要对模型进行诊断,以验证模型的有效性和假设的成立。

在模型诊断时,需要注意以下几个方面:1. 残差的独立性:在进行回归模型的诊断时,需要验证残差的独立性。

试谈回归模型的统计检验

试谈回归模型的统计检验
被解释变量 Y 的线性作用的结果,考虑比值
ESS RSS
如果这个比值较大,则X的联合体对Y的解释 程度高,可认为总体存在线性关系,反之总体上 可能不存在线性关系。
因此,可通过该比值的大小对总体线性关系进 行推断。
根据数理统计学中的知识,在原假设H0成 立的条件下,统计量
F ESS / k RSS /(n k 1)
回归分析是要判断解释变量X是否是被解释 变量Y的一个显著性的影响因素。
在一元线性模型中,就是要判断X是否对Y 具有显著的线性性影响。这就需要进行变量的 显著性检验。
变量的显著性检验所应用的方法是数理统计学 中的假设检验。
计量经计学中,主要是针对变量的参数真值是 否为零来进行显著性检验的。
1、假设检验
因方程的总体线性关系显著每个解释变 量对被解释变量的影响都是显著的
因此,必须对每个解释变量进行显著性检验, 以决定是否作为解释变量被保留在模型中。
这一检验是由对变量的 t 检验完成的。
1、t统计量
由于可以证明: Cov(βˆ ) 2 (XX)1
以cii表示矩阵(X’X)-1 主对角线上的第i个元素, 于是参数估计量的方差为:
试谈回归模型的统计检 验
2021年8月6日星期五
第三节 回归模型的统计检验
一、模型的拟合优度检验 二、模型的显著性检验 三、解释变量的显著性检验
利用样本数据估计得到的样本回归方程, 只是对总体回归方程的一个近似估计模型 是否能确切反映经济变量间的相互关系还 需要进行检验.
回归分析中主要是通过一些统计检验 方法来保证模型在统计意义上的可靠性.
❖ 所谓假设检验,就是事先对总体参数或总 体分布形式作出一个假设,然后利用样本信息 来判断原假设是否合理,即判断样本信息与原 假设是否有显著差异,从而决定是否接受或否 定原假设。

一元线性回归模型的统计检验

一元线性回归模型的统计检验

预测分析
学习如何对新数据进行预测,进行误差分析,并利用置信区间来评估预测的 准确性。
模型选择
学习方差分析、逐步回归和信息准则等方法,探讨如何选择最佳的一元线性 回归模型。
实例分析
通过应用案例深入理解一元线性回归模型的统计检验,展示实际数据的应用和模型的术论文和研究报告等参考文献,帮助学习者进一步深入研 究一元线性回归模型的统计检验。
参数估计
掌握OLS估计法,解释回归系数的含义,了解拟合优度,并且能够根据参数估计法对一元线性回归模型 进行参数的估计。
模型检验
进行残差分析,检验模型是否符合要求,学习诊断性检验,发现模型中的问题并作出相应的调整。
显著性检验
学习t检验、p值和显著性水平的概念,了解在一元线性回归模型中如何进行 显著性检验。
一元线性回归模型的统计 检验
了解一元线性回归模型的统计检验。包括定义与介绍,相关理论,假设检验, 样本数据,参数估计,模型检验,显著性检验,预测分析,模型选择,实例 分析。
相关理论
了解线性回归方程、残差、误差、相关系数等相关理论,掌握它们在一元线性回归模型中的含义和应用。
样本数据
学习数据的收集、处理和描述,实现对一元线性回归模型的数据样本分析, 为后续的参数估计和模型检验打下基础。
Q& A
解答学生对于一元线性回归模型的统计检验相关问题,确保学生对所学内容的充分理解。
总结
对本次PPT的主要内容进行概括,总结重点和难点,帮助学习者回顾和巩固所 学知识。
答疑环节
解答学生在本次PPT学习中的遗留问题和疑惑,确保学生能够全面理解一元线 性回归模型的统计检验。

多元回归模型参数的各种检验及相关关系总结

多元回归模型参数的各种检验及相关关系总结

多元回归模型参数的各种检验及相关关系总结1.F检验:F检验用于判断整个回归模型是否显著,即自变量在一起解释因变量的效果是否显著。

通过计算回归模型的F统计量,然后与F分布进行比较,进行假设检验。

若F统计量显著,则拒绝原假设,即回归模型具有显著的解释效果。

2.t检验:t检验用于判断各个自变量的系数是否显著,即自变量对因变量是否有显著影响。

通过计算各个自变量的t统计量,然后与t分布进行比较,进行假设检验。

若t统计量显著,则拒绝原假设,即该自变量具有显著影响。

3.R方检验:R方是一个衡量回归模型拟合优度的指标,表示因变量的变异能够被自变量解释的比例。

R方的取值范围为0到1,越接近1表示模型对观测数据的拟合程度越好。

可以使用R方来判断模型是否拟合良好,但需要注意过高的R方可能意味着过拟合。

4.回归系数的置信区间:对回归模型的回归系数进行置信区间估计,判断回归系数是否显著。

如果回归系数的置信区间包含零,则不能拒绝原假设,即该回归系数不显著。

相反,如果回归系数的置信区间不包含零,则拒绝原假设,即该回归系数显著。

5. Durbin-Watson检验:Durbin-Watson检验用于检验回归模型自相关性的存在。

自相关性指的是误差项之间存在相关性。

Durbin-Watson检验的统计量为DW值,其取值范围为0到4,DW值接近2表示无自相关性,DW值小于2表示存在正自相关性,DW值大于2表示存在负自相关性。

各种参数检验之间存在一些相关关系1.R方与F检验:R方是回归模型拟合程度的评估指标,而F检验用于判断整个回归模型的显著性。

R方较高时,F统计量一般也较大,说明回归模型的解释效果显著。

2.回归系数与t检验:回归模型的回归系数用于表示自变量对因变量的影响程度,t检验用于判断回归系数是否显著。

当回归系数较大时,其对应的t统计量也较大,说明这个自变量对因变量有显著影响。

3.回归系数与置信区间:回归系数的置信区间反映了回归系数的不确定性。

多元线性回归模型的统计检验

多元线性回归模型的统计检验

2、t检验
设计原假设与备择假设:
H0:i=0 H1:i0
(i=1,2…k)
给定显著性水平,可得到临界值t/2(n-k-1),由
样本求出统计量t的数值,通过
|t| t/2(n-k-1) 或 |t|t/2(n-k-1)
来拒绝或接受原假设H0,从而判定对应的解释变量是
否应包括在模型中。
注意:一元线性回归中,t检验与F检验一致
因此,必须对每个解释变量进行显著性检验,以 决定是否作为解释变量被保留在模型中。
这一检验是由对变量的 t 检验完成的。
1、t统计量
由于
以cii表示矩阵(X’X)-1 主对角线上的第i个元素,于 是参数估计量的方差为:
其中2为随机误差项的方差,在实际计算时 ,用它的估计量代替:
因此,可构造如下t统计量
给定显著性水平 =0.05,查分布表,得到临界值 :
一元例:F(1,21)=4.32
二元例: F(2,19)=3.52
显然有 F F(k,n-k-1) 即二个模型的线性关系在95%的水平下显著成立。
2、关于拟合优度检验与方程显著性检验 关系的讨论
由 R2 1RS/S(nk1) 与
TS/S(n1)
可推出:
在中国居民人均收入-消费支出二元模型例中, 给定=0.05,查表得临界值:t0.025(19)=2.093
从回归计算中已得到:
计算得参数的置信区间:
0 :(44.284, 197.116) 1 : (0.0937, 0.3489 ) 2 :(0.0951, 0.8080)
如何才能缩小置信区间?
•增大样本容量n,因为在同样的样本容量下,n越大 ,t分布表中的临界值越小,同时,增大样本容量 ,还可使样本参数估计量的标准差减小;

一元线性回归模型的统计检验

一元线性回归模型的统计检验

时间序列数据预测技巧
平稳性检验
在进行时间序列数据预测前,需要进行平稳 性检验,以确保数据满足回归模型的前提假 设。
差分法
对于非平稳时间序列数据,可以通过差分法将其转 化为平稳序列,再进行回归预测。
自回归模型
利用时间序列数据自身的历史信息进行预测 ,可以构建自回归模型进行拟合和预测。
因果关系推断注意事项
均方误差(Mean Squared Er…
衡量模型预测值与实际值之间差异的平均值。
均方根误差(Root Mean Squa…
均方误差的平方根,用于衡量模型预测误差的大小。
02 回归系数显著性检验
t检验原理及应用
t检验基本原理
在一元线性回归模型中,t检验用 于检验回归系数的显著性,即检 验自变量对因变量的影响是否显
05 预测及应用场景拓展
预测区间构建方法
1 2
利用回归方程和估计的方差
通过回归方程得到预测值,再结合估计的方差计 算置信区间,从而构建预测区间。
自助法(Bootstrap) 通过自助抽样生成大量样本数据,计算每个样本 的预测值并获取其分布,进而确定预测区间。
3
贝叶斯方法
在贝叶斯框架下,通过设定先验分布和似然函数, 利用后验分布进行预测区间的构建。
置信区间估计与解释
对回归系数进行置信区间估计,解释 估计结果的含义和实际应用价值。
03 残差分析与诊断
残差图绘制及解读技巧
绘制残差图
以预测值为横轴,残差为纵轴, 绘制散点图观察残差分布情况。
解读残差图
观察残差是否随机分布在零线附 近,判断模型是否满足线性、同 方差等假设。
异常值、影响点识别与处理策略
拉格朗日乘数检验

计量经济学的2.3 一元线性回归模型的统计检验

计量经济学的2.3 一元线性回归模型的统计检验

ˆ ˆ P( ) 1
如果存在这样一个区间,称之为置信区间 (confidence interval); 1-称为置信系数(置信度) (confidence coefficient), 称为显著性水平(level of significance)(或犯第I类错误的概率,即拒真的概 率);置信区间的端点称为置信限(confidence limit) 或临界值(critical values)。置信区间以外的区间称 4 为临界域
由于置信区间一定程度地给出了样本参数估计 值与总体参数真值的“接近”程度,因此置信区间 越小越好。 (i t s , i t s )
2 i 2 i
要缩小置信区间,需要减小 (1)增大样本容量n,因为在同样的置信水平 下, n越大,t分布表中的临界值越小;同时,增大样本 容量,还可使样本参数估计量的标准差减小;
5
如何构造参数值的估计区间? 通过构造已知分布的统计量
6
构造统计量(1)
回顾: 在正态性假定下
以上统计量服从自由度为n-2的x2分布,n为样本量
7
构造统计量(2)
ˆ ˆ 0 和 1 服从正态分布
ˆ E ( 0 )= 0
ˆ E ( 1 )=1
Var 0) (ˆ
X
i 1 n i 1
§2.3 一元线性回归模型的统 计检验
一、参数的区间估计 二、拟合优度检验 三、参数的假设检验 (对教材内容作了扩充)
1
一、参数的区间估计
参数的两种估计:点估计和区间估计
点估计
通过样本数据得到参数的一个估计值。
(如:最小二乘估计、最大似然估计)
点估计不足:
(1)点估计给出在给定样本下估计出的参数的可能取值,但 它并没有指出在一次抽样中样本参数值到底离总体参数的真 值有多“近”。 (2)虽然在重复抽样中估计值的均值可能会等于真值,但由 于抽样波动,单一估计值很可能不同于真值。 2

经济计量学讲义:回归模型的统计检验

经济计量学讲义:回归模型的统计检验

成立。
如果未发生 F F (k , n k 1) ,则在(1- )
的置信度下接受原假设 H 0 ,即模型的线性关系显著
不成立。
F Test:One-Sided Alternatives
f (F)
fail to reject Reject H0 at significance level if F > Fα(k, n-k-1)
t t (n k 1) ,则在 (1 ) 的置信度下拒绝 2 H 0 ,接受备选假设H1,即变量 X i 是显著的, 原假设
通过了变量的显著性检验。
2
t Test:Two-Sided Alternatives
yi = 0 + 1 Xi1 + … + k Xik + ui H0: j = 0 H1: j ≠ 0
பைடு நூலகம்
给定一个显著性水平 (非常小),查 F 分布表,
得临界值 F (k , n k 1) 。于是 F F (k , n k 1) 是
原假设 H 0 下的一个小概率事件。
如果发生了 F F (k , n k 1) ,则在(1- )
的置信度下拒绝原假设 H 0 ,即模型的线性关系显著
中南大学商学院
经济计量方法与模型
Techniques and Models of Econometrics
Business School, Central South University
多元线性回归模型的统计检验
拟合优度检验;方程的显著性检验;变量的显著性检验
一、拟合优度检验:检验回归方程对样本观测值的拟合 程度,即在被解释变量Y 的总变化(总离差)中,由回 归方程(或方程中的解释变量)解释的那部分变化(离 差)所占的比重。

回归检验法

回归检验法

回归检验法
回归检验法是一种统计方法,用于评估回归模型的拟合程度和模型中的回归系数的显著性。

回归检验法包括以下几个方面:
1. 偏回归系数的显著性检验:通过计算回归系数的标准误差、t值和p值来评估回归系数的显著性。

较小的标准误差和较大的t值意味着回归系数更具显著性。

2. 模型的整体显著性检验:通过计算模型的F统计量和p值来评估回归模型的整体拟合程度。

较大的F值和较小的p值意味着模型的整体拟合程度更好。

3. 残差的正态性检验:通过检验模型的残差是否符合正态分布来评估模型的拟合程度。

正态分布的残差意味着模型的拟合效果更好。

4. 残差的独立性检验:通过检验模型的残差是否存在自相关性来评估模型的拟合效果。

独立的残差意味着模型的拟合效果更好。

通过以上回归检验法可以更全面地评估回归模型的拟合程度和回归系数的显著性,从而判断回归模型的有效性和可靠性。

多元线性回归模型的统计检验

多元线性回归模型的统计检验

第三节 多元线性回归模型的统计检验
单击添加副标题
1、拟合优度检验( R2检验) 2、方程的显著性检验(F检验) 3、变量的显著性检验(t检验)
一、拟合优度检验
R2越接近于1,模型的拟合效果越好。
问 题
如果在模型中增加一个解释变量,R2往往会增大(Why?)
单击此处添加小标题
容易产生错觉:要使模型拟合得好,只要增加解释变量即可。
单击此处添加小标题
但实际上,通过增加解释变量引起的R2的增大与拟合好坏无关。
单击此处添加小标题
R2度量模型拟合效果失真,R2需调整 。
单击此处添加小标题
调整的思路:将RSS与TSS分别除以各自的自由度。 因为,在样本容量一定的情况下,增加解释变量一方面可以减小残差,另一方面也使其自由度减少。
调整的R2小于R2; 调整的R2可以为负。
02
给定显著性水平,查表得到临界
03
值F(k , n-k-1)。
04
F检验的拒绝域
1-
01
F
02
F
03
f ((k , n-k-1),拒绝H0,接受H1 ,模型在总体上存在显著的线性关系; 若F F (k , n-k-1),接受H0 ,模型在总体上的线性关系不显著。
R2与调整的R2
二、方程的显著性检验(F检验)
即检验模型 中的参数j (j =1,……,k)是否显著不为0。
检验模型中被解释变量与解释变量之 间的线性关系在总体上是否显著成立。
提出原假设与备选假设: H0:1= 2 = = k=0 H1:j 不全为0 (j =1,……,k) 构造检验统计量并计算其值 F统计量
F检验的思想来自于TSS的分解: TSS = ESS + RSS 其中,ESS表示X对Y的线性作用结果。

回归模型的统计检验 - 第三节回归模型的统计检验

回归模型的统计检验 - 第三节回归模型的统计检验


分布。
进一步根据数理统计学中的定义,如果构造一个统计量
ESS F RSS k
(n k 1)
则该统计量服从自由度为(k,n-k-1)的F分布。
2、方程显著性 F 检验的步骤
对回归方程线性关系显著性的检验采用 F 检验,检验 依据样本估计的回归方程所体现的被解释变量与解释 变量之间的线性关系在总体上是否显著成立, 即是检验 总体模型 Yi 0 1 X 1i 2 X 2i k X ki i i=1,2,…,n 中的参数是否显著不为 0。 按照假设检验的原理与程序, 首先提出假设,原假设为:
2
( n k 1)
ˆi y / k y 2 ˆ y y i i / n k 1
R /k F 2 1 R / n k 1
2


k 为模型中解释变量的个数, R 2 为判定系数, 其中,
n 为样本容量。
F 统计量服从自由度为 ( k , n k 1) 的 F 分布。选定 一个显著性水平 ,查 F 分布表(见本书附录) , 可以得到一个临界值 F ( k , n k 1) 。
F检验与R2的关系

根据二者关系,有需注意的几个问题: ⑴F检验实际上也是判定系数的显著性检验。 ⑵如果模型对样本有较高的拟合优度,F检 验一般都能通过。 ⑶实际应用中不必过分苛求R2值的大小, 重要的是考察模型的经济意义是否合理。
如果所计算的 F > F ( k , n k 1) ,则在(1- ) 的置信概率下拒绝原假设 H 0 , 即模型的线性关系显 著成立,模型通过方程显著性检验。如果所计算的
t ( n k 1) 查得临界值 。
2

一元线性回归模型的统计检验概述(doc 8页)

一元线性回归模型的统计检验概述(doc 8页)

一元线性回归模型的统计检验概述(doc 8页)§2.3 一元线性回归模型的统计检验回归分析是要通过样本所估计的参数来代替总体的真实参数,或者说是用样本回归线代替总体回归线。

尽管从统计性质上已知,如果有足够多的重复抽样,参数的估计值的期望(均值)就等于其总体的参数真值,但在一次抽样中,估计值不一定就等于该真值。

那么,在一次抽样中,参数的估计值与真值的差异有多大,是否显著,这就需要进一步进行统计检验。

主要包括拟合优度检验、变量的显著性检验及参数的区间估计。

一、拟合优度检验拟合优度检验,顾名思义,是检验模型对样本观测值的拟合程度。

检验的方法,是构造一个可以表征拟合程度的指标,在这里称为统计量,统计量是样本的函数。

从检验对象中计算出该统计量的数值,然后与某一标准进行比较,得出检验结论。

有人也许会问,采用普通最小二乘估计方法,已经保证了模型最好地拟合了样本观测值,为什么还要检验拟合程度?问题在于,在一个特定的条件下做得最好的并不一定就是高质量的。

普通最小二乘法所保证的最好拟合,是同一个问题内部的比较,拟合优度检验结果所表示优劣是不同问题之间的比较。

例如图2.3.1和图2.3.2中的直线方程都是由散点表示的样本观测值的最小二乘估计结果,对于每个问题它们都满足残差的平方和最小,但是二者对样本观测值的拟合程度显然是不同的。

....... . .. .图2.3.1 图2.3.21、总离差平方和的分解已知由一组样本观测值),(ii Y X ,i =1,2…,n 得到如下样本回归直线i i X Y 10ˆˆˆββ+=而Y 的第i 个观测值与样本均值的离差)(Y Y y i i -=可分解为两部分之和:ii i i i i i y e Y Y Y Y Y Y y ˆ)ˆ()ˆ(+=-+-=-= (2.3.1)图2.3.3示出了这种分解,其中,)ˆ(ˆY Y y ii -=是样本回归直线理论值(回归拟合值)与观测值i Y 的平均值之差,可认为是由回归直线解释的部分;)ˆ(i i i Y Y e -=是实际观测值与回归拟合值之差,是回归直线不能解释的部分。

简单线性回归模型的统计检验

简单线性回归模型的统计检验
15
t分布
P(t)
P(t
2
t
ˆ1 1 seˆ(ˆ1)
t ) 1
2
95%
拒绝域
2
t (n 2)
接受域 0
2
拒绝域
t (n 2)
t
假如 0.05,t 2.1009 P(2.1009 t* 2.1009) 95%
2
16
举例:一元线性模型中,i (i=1,2)的置信区间: 在变量的显著性检验中已经知道:
在实际计算可决系数时,在 ˆ1 已经估计出后:
R 2
ˆ12
xi2
y
2 i
在例2.2收入-消费支出例中,
R2 1
ei2 yi2
1 76650 5870212.5
0.9869
注:可决系数是一个非负的统计量。它也是随
着抽样的不同而不同。为此,对可决系数的统计 可靠性也应进行检验,这将在第3章中进行。
Yˆi ˆ0 ˆ1 X i
yi Yi Y (Yi Yˆi ) (Yˆi Y ) ei yˆi
3
如果Yi=Ŷi 即实际观测值落在样本回归“线”上,则拟合最好。
可以认为,“离差”全部来自回归线,而与“残差”无关。 4
对于所有样本点,则需考虑这些点与样本均值离 差的平方和,可以证明:
偏估计ˆ 2 ei2 直接代替 2 来计算参数估计量的标准误差: n2
seˆ(ˆ1) ˆ
n
X
2 i
xi2
seˆ(ˆ2 )
ˆ
xi2
12
(2)在小样本情况下,若用无偏估计 ^2代替 去2
估计标准误差,则进行标准变化的统计量不再服从正
态分布,而是服从自由度为n-2的t分布
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判定系数不仅反映了拟合程度的优劣,而且有直观的 经济含义:它定量地描述了y 的变化中可以用解释变量 的变化来说明的部分,即模型的可解释程度。
问题:
在应用过程中发现,如果在模型中增加一个解 释变量, R2往往增大.
这就给人一个错觉:要使得模型拟合得好,只 要增加解释变量即可。
但是,现实情况往往是,由增加解释变量个数 引起的R2的增大与拟合好坏无关,R2需调整。
1、方程显著性的F检验
即检验模型
Yi=0+1X1i+2X2i+ +kXki+i
调整的判定系数(Adjusted R-squared))
在样本容量一定的情况下,增加解释变量必定 使得自由度减少,所以调整的思路是:将残差平方 和与总离差平方和分别除以各自的自由度,以剔 除变量个数对拟合优度的影响:
R2 1RS/S(nk1) TS/S(n1)
其中:n-k-1为残差平方和的自由度,n-1为总体平 方和的自由度。
R21 n1(1R2) nk1
除 了 调 整 的 判 定 系 数 之 外 , 人 们 还 使 用 另 外 两 个 指 标 SC (Schwarz Criterion, 施 瓦 兹 准 则 ) 和 AIC(Akaike Information Criterion,赤池信息准则)来比较含有不同
解释变量个数模型的拟合优度:
2. R检验 R RSS 1ESS TSS TSS
在一元线性回归中,│R│≤ 1,即-1≤R≤ 1
在多元线性回归中,R称为复相关系数,且0≤R≤1 给定显著性水平α和自由度n-k,即可查表找到α。
判断:︱R︱>α,被解释变量与解释变量线性关系显著。 ︱R︱≤α,被解释变量与解释变量线性关系不显著,回归 方程无效,重建方程。
1. F检验
F(yˆi y)2 /k ~F (k,n k 1 ) ei2 /nk1
给定的显著水平 ,可由F分布表查得临界值,进行判断:
若 F0 F,可以认为模型的线性关系是显著的;

F0 F,则接受
H
,认为模型的线性关系不显著,回
0
归模型无效。
检验通不过的原因可能在于:⑴ 一是所选取的解释变量不 是影响被解释变量变动的主要因素,或者说影响y变动的因 素除模型中的因素外,还有其它不可忽略的因素;⑵解释 变量与被解释变量之间不存在线性相关关系;(3)样本容量 n小;(4)回归模型存在序列相关。
F检验与R检验结果一致(P44图2-7):
F
ESS R
RSS (nk 1)
nk k
1ESSTSS RSS TSS
nk k
11RR2 2
R2
kF
F
(nk1)kF Fα
因此,实际应用可选择其一。
R
2
R2
图2-7 F统计量与R2的关系
多元线性回归模型的显著性检验(F检验)
方程的显著性检验,旨在对模型中被解释变 量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著 成立作出推断。
所以有: T S ( Y i S Y ˆ i) 2 ( Y ˆ i Y ) 2 R E SS S
注意:一个有趣的现象
Yi Y Yi Yˆi Yˆi Y Yi Y 2 Yi Yˆi 2 Yˆi Y2 Yi Y 2 Yi Yˆi 2 Yˆi Y2
TSS=ESS+RSS
(Yi Yˆi)22(Yi Yˆi)Y (ˆi Y)(Yˆi Y)2
由于 ( Y i Y ˆ )Y ˆ i( Y )e i( Y ˆ i Y )
ˆ 0e i ˆ 1e i X 1 i ˆ ke i X k Y i e i
=0
( y ˆ i ˆ 0 ˆ 1 x 1 i ˆ k x k )i
一、模型的拟合优度检验
拟合优度:即模型对样本数据的接近程度。
拟合优度检验:对样本回归直线与样本观测 值之间拟合程度的检验。
Байду номын сангаас
度量拟合优度的指标:判定系数(可决系数)R2
1、总离差平方和的分解公式
对一元模型:
Yˆi ˆ0ˆ1Xi
已知由一组样本观测值(Xi,Yi),i=1,2…,n
y i Y i Y ( Y i Y ˆ i) ( Y ˆ i Y ) e i y ˆ i
如果Yi=Ŷi 即实际观测值落在样本回归“线”上,则拟合最好。
可认为,“离差”全部来自回归线,而与“残差”无关。
类似,对多元线性回归:方程
yˆi ˆ0 ˆ1 x1i ˆk xki
总离差平方和分解公式: TSS=ESS+RSS 其中:

TSS(Yi Y)2
(Y (i Yˆi)(Yˆi Y)2 )
Y的观测值围绕其均值的总离差(total variation) 可分解为两部分:一部分来自回归线(ESS),另一部 分则来自随机因素的影响(RSS)。
在给定样本中,TSS不变, 如果实际观测点离样本回归线越近,则ESS在
TSS中占的比重越大,因此 拟合优度:回归平方和ESS/Y的总离差TSS
2、可决系数R2统计量
R 2T ES S 1 S S T RS S 1 S S(yie i2y)2
称 R2 为(样本)可决系数/判定系数(coefficient of determination)。
可决系数的取值范围:[0,1]
R2越接近1,说明实际观测点离样本线越近,模 型的拟合优度越高。
注:可决系数是一个非负的统计量。它也是随着 抽样的不同而不同。
第三节 回归模型的统计检验
一、模型的拟合优度检验 二、模型的显著性检验 三、解释变量的显著性检验
利用样本数据估计得到的样本回归方程, 只是对总体回归方程的一个近似估计模型 是否能确切反映经济变量间的相互关系还 需要进行检验.
回归分析中主要是通过一些统计检验 方法来保证模型在统计意义上的可靠性.
如在一次抽样中,参数的估计值与真值的 差异有多大,是否显著,这就需要进一步 进行统计检验。 统计检验主要包括拟合优度检验、变量的 显著性检验及参数的区间估计。
SC = ln (ei2)k1lnn nn
AIC =
ln(ei2)2(k1)
n
n
显然,其值越小表明模型的拟合优度越高。
这两准则均要求仅当所增加的解释变量能够减少 AIC值或AC值时才在原模型中增加该解释变量。(P57)
二、模型的显著性检验
模型的显著性检验,就是检验模型对总体的 近似程度。最常用的检验方法是F检验或者R 检验。
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