平面与平面平行的判定与性质
124两平面平行的判定及性质
124两平面平行的判定及性质【课时目标】1．理解并掌握两个平面平行、两个平面相交的定义．2．掌握两个平面平行的判定和性质定理，并能运用其解决一些具体问题．1．平面与平面平行的判定定理如果一个平面内有________________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为________________________．2．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，________________________．符号表示为：________________a∥b．3．面面平行的其他性质：α∥β(1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于________________，即aα________，可用来证明线面平行；(2)夹在两个平行平面间的平行线段________；(3)平行于同一平面的两个平面________．一、填空题1．平面α∥平面β，aα，bβ，则直线a、b的位置关系是__________．2．下列各命题中假命题有________个．①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；④若平面α内两条直线与平面β内两条直线分别平行，则α∥β．3．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．4．α和β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是________．(填序号)①α内有无数条直线平行于β；②α内不共线三点到β的距离相等；③l、m是平面α内的直线，且l∥α，m∥β；④l、m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥α，m∥β．235．已知α∥β且α与β间的距离为d，直线a与α相交于点A、与β相交于B，若AB＝3d，则直线a与α所成的角等于________．6．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________．7．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是________(填序号)．a∥ca∥γa∥b；②a∥b；①b∥cb∥γ③⑤α∥cβ∥cα∥ca∥cα∥β；④α∥a;⑥α∥γβ∥γα∥β；α∥γa∥γa∥α．8．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．9．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1．二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1．11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．求证：N为AC的中点．能力提升12．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AB1，BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F．求证：EF∥平面ABCD．13．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．(1)求证平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC．1．判定平面与平面平行的常用方法有：(1)利用定义，证明两个平面没有公共点，常用反证法．(2)利用判定定理．(3)利用平行平面的传递性，即α∥β，β∥γ，则α∥γ．2．平面与平面平行主要有以下性质：(1)面面平行的性质定理．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面．(3)夹在两个平行平面之间的平行线段相等．答案知识梳理1．两条相交直线aα，bα，a∩b＝A，a∥β，b∥βα∥βα∥β2．那么所得的两条交线平行β∩γ＝bα∩γ＝a3．(1)另一个平面a∥β(2)相等(3)平行作业设计1．平行或异面2．23．平行解析由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的．4．④5．60°6．4∶25解析面α∥面ABC，面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，A′B′2PA′24S△A′B′C′∶S△ABC＝()＝()＝．ABPA257．②③⑤⑥解析由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a 可以在α内；⑥中a可以在α内．248．24或5解析当P点在平面α和平面β之间时，由三角形相似可求得BD＝24，当平面α和平面24β在点P同侧时可求得BD＝．59．M∈线段FH解析∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N连结，有MN∥平面B1BDD1．10．证明如图所示，连结SB，SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD．又∵SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，∴直线FG∥平面BDD1B1．同理可证EG∥平面BDD1B1，又∵EG平面EFG，FG平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．11．证明∵平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，∴四边形ANC1M 为平行四边形，11∴AN綊C1M＝A1C1＝AC，22∴N为AC的中点．12．证明方法一过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连结MN．∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴EM∥BB1，FN∥BB1，∴EM∥FN，∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，∴AE＝BF，又∠B1AB＝∠C1BC＝45°，∴Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM＝FN．∴四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN．又MN平面ABCD，EF平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．方法二过E作EG∥AB交BB1于G，连结GF，BEBGCFBG∴1＝1，B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴1＝1，B1AB1BC1BB1B∴FG∥B1C1∥BC．又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD．又EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD．13．(1)证明(1)连结BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H．∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，故二面角A—BE—P的大小是60°．12．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC．因为EF平面ABC．BC平面ABC．所以EF∥平面ABC．(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1．又A1D平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．(1)证明∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC．(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE．∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．第3课时两平面垂直的性质【课时目标】1．理解平面与平面垂直的性质定理．2．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系．1．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内________于它们________的直线垂直于另一个平面．用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l________．2．两个重要结论：(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在________________________________________________________________________．图形表示为：符号表示为：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β________．(2)已知平面α⊥平面β，aα，a⊥β，那么__________(a与α的位置关系)．一、填空题1．平面α⊥平面β，aα，bβ，且b∥α，a⊥b，则a和β的位置关系是________．2．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α，β，有下列命题：①若m∥n，nα，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；③若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，nβ，n⊥m，则n⊥α．其中正确的命题是________(填序号)．3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有________条．4．设α－l－β是直二面角，直线aα，直线bβ，a，b与l都不垂直，那么下列说法正确的序号为________．①a与b可能垂直，但不可能平行；②a与b可能垂直，也可能平行；③a与b不可能垂直，但可能平行；④a与b不可能垂直，也不可能平行．5．如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M、N分别是BD和AE的中点，那么①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN、CE异面．其中结论正确的是________(填序号)．6．ππ如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、46B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′＝________．7．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，PD/∈l，则下列命题中正确的为________．(只填序号)①过P垂直于l的平面垂直于β；②过P垂直于l的直线垂直于β；③过P垂直于α的直线平行于β；④过P垂直于β的直线在α内．8．α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点O，空间一点P到α、β、γ的距离分别是2cm、3cm、6cm，则点P到O的距离为________cm．9．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在________．二、解答题10．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求证：BC⊥AB．11．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．能力提升12．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．13．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝45．(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求P点到平面ABCD的距离．1．运用两个平面垂直的性质定理时，一般需要作辅助线，其基本作法是过其中一个平面内一点在此平面内作交线的垂线，这样，就把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．知识梳理1．垂直交线a⊥β2．(1)第一个平面内aα(2)a∥α作业设计1．a⊥β2．②④3．0解析若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．4．③5．①②③6．2∶1第3课时两平面垂直的性质答案解析如图：由已知得A A′⊥面β，π∠ABA′＝，6πBB′⊥面α，∠BAB′＝，432设AB＝a，则BA′＝a，BB′＝a，221AB2在Rt△BA′B′中，A′B′＝a，∴＝．2A′B′17．①③④解析由性质定理知②错误．8．7解析P到O的距离恰好为以2cm,3cm,6cm为长、宽、高的长方体的对角线的长．9．直线AB上解析由AC⊥BC1，AC⊥AB，得AC⊥面ABC1，又AC面ABC，∴面ABC1⊥面ABC．∴C1在面ABC上的射影H必在交线AB上．10．证明在平面PAB内，作AD⊥PB于D．∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB．∴AD⊥平面PBC．又BC平面PBC，∴AD⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．又AB平面PAB，∴BC⊥AB．11．证明(1)连结PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，。
教案平面与平面平行的判定和性质
平面与平面平行的判定和性质一、教学目标1. 让学生理解平面与平面平行的概念。
2. 引导学生掌握平面与平面平行的判定方法。
3. 让学生了解平面与平面平行的性质。
4. 培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 平面与平面平行的概念2. 平面与平面平行的判定方法3. 平面与平面平行的性质4. 应用实例三、教学重点与难点1. 教学重点：平面与平面平行的判定方法，平面与平面平行的性质。
2. 教学难点：如何运用判定方法和性质解决实际问题。
四、教学方法1. 采用直观演示法，让学生通过观察实物模型，理解平面与平面平行的概念。
2. 运用讲解法，引导学生掌握平面与平面平行的判定方法。
3. 运用案例分析法，让学生通过分析实际案例，了解平面与平面平行的性质。
4. 运用练习法，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过展示实物模型，引导学生思考平面与平面之间的关系，引出平面与平面平行的概念。
2. 讲解判定方法：讲解平面与平面平行的判定方法，引导学生通过观察实物模型，理解判定方法。
3. 讲解性质：讲解平面与平面平行的性质，引导学生通过观察实物模型，理解性质。
4. 应用实例：分析实际案例，让学生运用所学知识解决实际问题。
5. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
6. 总结与拓展：总结本节课所学内容，引导学生思考平面与平面平行在实际中的应用价值。
7. 布置作业：布置课后作业，让学生进一步巩固所学知识。
六、教学评价1. 评价目标：检查学生对平面与平面平行的判定和性质的理解程度。
2. 评价方法：通过课堂提问、作业批改、课后练习等方式进行评价。
3. 评价内容：a. 学生是否能准确描述平面与平面平行的概念。
b. 学生是否能运用判定方法正确判断平面与平面是否平行。
c. 学生是否能理解并应用平面与平面平行的性质解决实际问题。
七、教学反思1. 反思内容：a. 教学方法是否适合学生的学习需求。
平面和平面平行的判定与性质
定义：如果两个平面没有公共点，那么这
两个平面互相平行，也叫做平行平面 平面α平行于平面β ，记作α∥β
（1）平面β内有一条直线与平面α平 行，α，β平行吗？ （2）平面β内有两条直线与平面α平 行，α，β平行吗？
平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 则这两个平面平行。
D1 C1 B1 D C
A1
A
B
2如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形， PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，点E、 F分别为棱AB、PD的中点． （1）求证：AF∥平面PCE； （2）求三棱锥C－BEP的体积．
P
F
E B
A
D
H
C
小结：
1.平面与平面平行的判定： (1)运用定义； (2)运用判定定理： 线线平行线面平行 面面平行 2.应用判定定理判定面面平行时应注意:
定理的推论
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行
a
β
c P b
d
α
例1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1， 求证：平面ACD1//平面A1BC1 D1 A1 B1 C1
D A
C B
如果两个平面平行，那么一个平 面内的直线与另一个平面的直线具有 什么位置关系？
两条相交直线 3.应用判定定理判定面面平行的关键是找平行线
方法一：三角形的中位线定理；
方法二：平行四边形的平行关系。
平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交， 那么它们的交线平行
面面平行→线线平行
高一数学平面与平面平行的判定和性质
一、两个平面的位置关 系
（4）两个平面平行的画法 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的 两个平行四边形的对应边平行，如图 1 ，而不应画 成图2那样．
图1
图2
二、两个平面平行的判定
问题1：从两平面平行的定义出发来探究两平面平行的条件 （转化为线面平行问题） 问题2：一个平面内至少有几条直线和另一个平面平行可以 确保两个平面平行（不相交）
性质定理：如果两个平行平 面同时和第三个平面相交，那么 它们的交线平行．
// 即： a a // b b
例4如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的相对侧面 分别平行，过它的一个顶点A的一个平面截它的 四个侧面得四边形AMFN. 证明：四边形AMFN是平行四边形.
课堂练习1：课本63页练习1~3
三、两个平面平行的性质
（1）一个结论 根据两个平面平行及直线和平面平行的定义，容 易得出下面的结论：
// , a a //
即：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的 直线平行于另一个平面．
三、两个平面平行的性 质
（2）两个平面平行的性质定理
D1 A1 B1 C1
N D
A
M
F
C B
例题分析
例题3：求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等。
A
B
D
C
课堂练习2：课本67页练习
点击图片可以演示动画
作业 : 今天学习的内容有：
1. 空间两平面的位置关系有几种？ P68 A组 6,8 2. 面面平行的判定定理需要什么条件？ 3. 面面平行有什么结论
二、两个平面平行的判 定
判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都
两个平面平行的判定和性质
两个平面平行的判定和性质一、内容提要1. 两个平面的位置关系，同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分。
因此，空间不重合的两个平面的位置关系有：（1）平行—没有公共点；（2）相交—有无数个公共点，且这些公共点的集合是一条直线。
注意：在作图中，要表示两个平面平行时，应把表示这两个平面的平行四边形画成对应边平行。
2. 两个平面平行的判定定理表述为：4. 两个平面平行具有如下性质：（1）两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面。
简述为：“若面面平行,则线面平行”。
（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
简述为：“若面面平行,则线线平行”。
（3）如果两个平行平面中一个垂直于一条直线，那么另一个也与这条直线垂直。
（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。
二、要点内容1. 证明两个平面平行的方法有：（1）根据定义。
证明两个平面没有公共点。
由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反证法证明。
（2）根据判定定理。
证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。
（3）根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”，证明两个平面都与同一条直线垂直。
2. 两个平行平面的判定定理与性质定理不仅都与直线和平面的平行有逻辑关系，而且也和直线与直线的平行有密切联系。
就是说，一方面，平面与平面的平行要用线面、线线的平行来判定；另一方面，平面与平面平行的性质定理又可看作平行线的判定定理。
这样，在一定条件下，线线平行、线面平行、面面平行就可以互相转化。
3. 两个平行平面有无数条公垂线，它们都是互相平行的直线。
夹在两个平行平面之间的公垂线段相等。
因此公垂线段的长度是唯一的，把这公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。
显然这个距离也等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的垂线段的长度。
两条异面直线的距离、平行于平面的直线和平面的距离、两个平行平面间的距离，都归结为两点之间的距离。
教案平面与平面平行的判定和性质
平面与平面平行的判定和性质第一章：教案简介本章将介绍教案平面与平面平行的判定和性质。
通过本章的学习，学生将能够理解并应用平面与平面平行的判定条件，掌握平面与平面平行的性质，并能够运用这些知识解决实际问题。
第二章：平面与平面平行的判定1. 判定条件一：如果两个平面的法向量互相平行，则这两个平面平行。
2. 判定条件二：如果一个平面经过另一个平面的法向量，则这两个平面平行。
3. 判定条件三：如果两个平面相交于一条直线，且这条直线垂直于两个平面的法向量，则这两个平面平行。
第三章：平面与平面平行的性质1. 性质一：平面与平面平行时，它们的法向量互相平行。
2. 性质二：平面与平面平行时，它们的法向量垂直于它们的交线。
3. 性质三：平面与平面平行时，它们的交线平行于它们的法向量。
第四章：应用举例1. 例一：给定两个平面，如何判断它们是否平行？2. 例二：给定一个平面和一条直线，如何判断这条直线是否与平面平行？3. 例三：给定两个平面和它们的交线，如何判断这两个平面是否平行？第五章：练习题1. 判断题：如果两个平面的法向量互相垂直，则这两个平面平行。
（对/错）2. 判断题：如果一个平面经过另一个平面的法向量，则这两个平面平行。
（对/错）3. 判断题：如果两个平面相交于一条直线，且这条直线垂直于两个平面的法向量，则这两个平面平行。
（对/错）4. 应用题：给定两个平面，它们的法向量分别为向量A和向量B。
判断这两个平面是否平行，并说明理由。
5. 应用题：给定一个平面P和一条直线L。
已知平面P的法向量为向量A，直线L的方向向量为向量B。
判断直线L是否与平面P平行，并说明理由。
第六章：教案平面与平面平行的判定和性质的综合应用1. 综合应用一：如何判断一个平面是否平行于另一个平面的交线？2. 综合应用二：如何判断一条直线是否与另一个平面平行？3. 综合应用三：如何判断两个平面是否平行，并确定它们的交线？第七章：教案平面与平面平行的判定和性质的证明题1. 证明题一：已知平面P和Q，证明平面P与平面Q平行的条件是它们的法向量互相平行。
平面与平面平行的判定与性质
方法总结： 判定平面与平面平行的 4 种方法 (1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)； (2)面面平行的判定定理(主要方法)； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)； (4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平
面，那么这两个平面平行(客观题可用)．
【练习 1】如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G， H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求证： （1）B，C，H，G 四点共面； （2）平面 EFA1∥平面 BCHG.
＝1×1×1× 3×2＝ 3.
32
3
本节课你学会了平面与平面平行的判断的哪些方法？
1、平面与平面平行的判定定理：
a⊂β,b⊂β,
a∩b=P, a∥α, b∥α
β∥α
2、平面与平面平行的性质定理：
（1）
α∥β,
a∥α,
a⊂β
γ
b β
（2）
a α
α∥β α∩γ=a β∩γ=b
a∥b
【例题 1】如图，在多面体
中，
是正
方形， ⊥平面
， ⊥平面
，= ，
点 为棱 的中点．求证：平面 //平面 ；
又 CN∩MN＝N，
∴平面 CMN∥平面 PA B．
(2)由(1)知，平面 CMN∥平面 PAB，
∴点 M 到平面 PAB 的距离等于点 C 到平面 PAB 的距离．
由已知，AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，
∴BC＝ 3，
∴三棱锥 P-ABM 的体积
V＝VM-PAB＝VC-PAB＝VP-ABC
别是
AC
，A1C
1
上的点，且平面
BC
平面与平面平行的判定,性质
F M B P H G C E D
课堂小结
一个平面内的两条相交直线与另一个 平面平行，则这两个平面平行. 平面平行，则这两个平面平行. 符号语言： 符号语言：
a⊂β b⊂β a I b = P ⇒ β // α a // α b // α
定理的推论： 定理的推论： 如果一个平面内有两条相交直线分别 平行于另一个平面内的两条相交直线，那 平行于另一个平面内的两条相交直线， 么这两个平面平行. 么这两个平面平行.
α∩β=a
如何证明线面平行？ 如何证明线面平行？
线线平行 线面平行
如何证明面面平行呢？ 如何证明面面平行呢？
面面平行
关键： 关键：找平行线 面内 条件 面外 平行 线线平行 线面平行
模型１
a//β
α αα α a
β
模型２
• 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面， 那么这两个平面平行。
β
P M a b c d
α
A1
D1 N
E F M B1
C1
D A B
C
在正方体AC 分别是所在棱AB AB、 例4.在正方体AC′中，E、F、G、P、Q、R分别是所在棱AB、 在正方体AC′ BC、BB′ DD′的中点， BC、BB′、A′D′、D′C′、DD′的中点， Q D′ ′ C′ ′ 求证：平面PQR∥平面EFG PQR∥平面EFG。 求证：平面PQR∥平面EFG。
B
M
C
A1 N B1 F C1
而CF ⊂ 平面 1C1C, MN⊄ 平面 1C1C, 平面AA 平面AA ∴ MN∥平面 1C1C, ∥平面AA
2.2.2平面与平面 平面与平面 平行的判定
一、两个平面的位置关系
平面与平面的平行和垂直的判定及其性质
课题：2.3平面与平面的平行和垂直的判定及其性质班级姓名高考要求：理解空间中面面平行、垂直的有关性质与判定定理．理解以下判定定理．●如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．●如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明．●如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．●如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．④能根据定义解决二面角的简单计算问题.教学目标：1.认识和理解空间中面面平行以及面面垂直的判定定理2.认识和理解空间中面面平行以及面面垂直的性质定理，灵活判定定理和性质定理3.掌握转化思想线面平行⇔面面平行线面垂直⇔面面垂直教学重点：通过直观感知、操作确认，归纳出判定定理和性质定理教学难点：平面与平面平行和垂直的定义以及判定定理、性质定理的探究第8,9课时课前导学：（一）平面与平面平行的判定与性质（1）面面平行判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：定理说明：证明面面平行的关键在于证明两个线面平行，简述为：线面平行⇒面面平行（2）平面与平面平行的性质面面平行的性质定理：（1）如果两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面.（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：定理证明定理说明：面面平行的性质定理又可以作为线面平行以及线线平行的判定定理，简述为：线面平行⇒线面平行⇒线线平行综合以上，线线、线面、面面平行关系可以相互转化线面平行⇔线面平行⇔线线平行典型例题：例1.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是1CC 、11C B 、11D C 的中点， 求证：(1)平面MNP ∥平面11B D C (2)平面MNP ∥平面A 1BD .例2.已知四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为平行四边形. 点M 、N 、Q 分别在PA 、BD 、PD 上, 且PM ：MA =BN ：ND =PQ ：QD . 求证：平面MNQ ∥平面PBC.例3．求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.例4.已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点， 求证：MN ∥平面PAD.lB'O'A'BO Aβα第10,11课时（二）平面与平面垂直的判定与性质（1）二面角定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
平面与平面平行的判定和性质 教案
αβ假设a b b'a'平面与平面平行的判定和性质
[适用章节] 数学②中1.2.2空间中的平行关系之3平面与平面平行
[使用目的]
使学生通过操作理解平面与平面平行的判定定理和性质定理，并结合图形了解定理正确的理由
[操作说明]
首先要用蓝色标尺选定研究判定还是研究性质。
研究判定时使用红色的标尺和按钮，研究性质时使用绿色的标尺和按钮。
左下方的旋转图形的按钮是公用的。
对于判定和性质，都要用标尺选定问题、研究结论正确的理由和归纳定理。
这些内容在画面上都有文字的说明。
图2123-1和图2123-2分别是研究判定定理和性质定理时的图形，图形已经旋转了一定的角度。
图2123-1
图2123-2
图中有控制方向用的圆和控制每次平移步长的线段。
“清屏”按钮可以还原到初始界面。
平面与平面平行垂直的判定与性质
15.3 平面与平面平行、垂直的判定与性质【考纲要求】1.了解平面与平面的位置关系；2.掌握平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理；会运用这些定理证明空间两平面位置关系.【命题规律】本节内容是高考考查的重点内容，主要以棱柱、棱锥、长方体、正方体等空间几何体为载体考查面面平行、面面垂直，题型有填空题、解答题，以解答题居多，主要考查空间想象能力，推理论证能力。
【知识回顾】一.平面与平面的位置关系→→⎧⎪⎨⎧⎨⎪⎩⎩两平面平行两平面没有公共点两平面斜交两平面相交两平面有一条公共直线两平面直交 二．二面角与二面角的平面角相关概念1.半平面：一条直线将一个平面分成两个部分，每一部分叫做半平面。
2.二面角：指一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形。
该直线称为二面角的棱，每个半平面称为二面角的面.3.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点作为端点；在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.如图所示，简记为二面角l αβ--的平面角.其范围为[0,180]o o4.直二面角：当二面角的平面角是直角时叫直二面角，也即两个半平面互相垂直。
三．平面与平面平行1.定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面，符号表示为：平面α，平面β，若αβ=∅I ，则αβ∥.2.平面与平面平行的判定定理（不要求证明）文字语言图形语言符号语言判定 定理1如果一个平面内有两条相交．．的直线都．平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行⇒面面平行”）a b a b P a b ααββαβ⊂⊂=⎫⎪⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎪⎭I ∥∥∥ 判定 定理2如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行l l αβαβ⊂⎫⎪⇒⎬⎪⎭⊥∥αlβαaβbP βαOA Bl判定 定理3平行于同一个平面的两个平面平行αββαγγ⎫⎪⇒⎬⎪⎭∥∥∥ 注：判定定理1的推论：如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内两条相交直线分别平行，则两平面平行3.平面与平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言性质 定理1如果两个平面平行，那么一个平面内的所有．．直线都平行于另一个平面（简记为“面面平行⇒线面平行”）a a αββα⇒⊂⎫⎬⎭∥∥性质 定理2如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简记为“面面平行⇒线线平行”）a ab b αβγαγβ=⇒=⎫⎪⎬⎪⎭I I ∥∥ 性质 定理3如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线l l αββα⎫⇒⊥⎬⊥⎭∥ 问：如果两个平面平行，那么分别在两个平行平面内的两条直线是否平行？ 4.两平面平行间的距离（1）两个平行平面的公垂线：与两个平行平面都垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线. （2）两个平行平面的公垂线段：夹在两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段. （3）两个平行平面的距离：就是两个平行平面的公垂线段的长度. （4）两个平行平面的公垂线段都相等.四．平面与平面垂直1.定义：如果两个平面所成的二面角为直二面角，则这两个平面互相垂直，记为αβ⊥.2.平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言αlβαbγβaαaβαβγ如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两平面垂直（简记为“线面垂直⇒面面垂直”）l l βααβ⎫⊥⎪⎬⊂⎪⎭⇒⊥ 注：如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则两平面也垂直3.平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面（简记为“面面垂直⇒线面垂直”）l m m m lααβββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭I根据空间线线、线面、面面关系的判定及性质定理，可知它们的关系是可以互相转化的，这一种转化是解决位置关系的重要方法，是对立体几何中位置关系的深度体现，如图所示:六．规律与技巧1．平行中最重要的是线线平行的判定，当题目中给出中点条件时，往往隐含着中位线的信息因素，利用中位线很容易寻求线线平行．但不同三角形中的中位线效果也不一样，因此，寻求三角形的中位线也是解题的关键．对应线段成比例是平面几何中判断直线平行的重要依据，而线面平行的空间问题通过转化可变通为线线平行，因此，利用对应线段成比例寻求线线平行是一条行之有效的措施．2．立体几何解题中，要注意有关的平面几何知识的运用．事实上，立体几何问题最终是在一个或几个平面中得以解决的．3．空间垂直问题的证明不能把线孤立于面之外，要善于利用平行线平移构造，再利用线线垂直与线面垂直相互转化，完成题目的证明．4.立体几何的复习要牢固树立以下的思维脉络：证线面垂直(或平行)，转化为证线线垂直(或平行)；证面面垂直(或平行)，转化为证线面垂直(或平行)或证线线垂直(或平行)．从近年高考立体几何试题的命题来源来看，很多题目是出自于课本，或略高于课本．我们在复习备考中，一定要依纲靠本，抓住基础，不要把过多的时间放在偏题、怪题上．【例题精讲】1.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,其棱长为1.βαlmα βl线面关系线线关系 面面关系求证:平面1AB C ∥平面11A C D .证明：方法一：1111111111AA B B AA BB AA CC BB CC BB CC ⎫⎪=⎪⇒⎬⎪⎪=⎭∥∥∥⇒四边形11AA C C 为平行四边形 11111111AC AC AC AC D AC AC D ⇒⎫⎪⊂⎬⎪⊄⎭∥平面平面111111111AC AC DAB AC D AB C AC D AC AB A ⇒⎫⎪⇒⎬⎪=⎭I ∥平面同理，∥平面平面∥平面 方法二：易知11AA CC 和确定一个平面1AC ，于是，11111111AC A C A C AC AC AC A C AC =⎫⎪=⎬⎪⎭I I 平面平面平面平面平面∥平面111111AC ACAC AB C AC AB C ⇒⎫⎪⊄⎬⎪⊂⎭∥平面平面111111111111A C AB C A D AB C AB C A C D A C A D A ⇒⎫⎪⇒⎬⎪=⎭I ∥平面∥平面平面∥平面 2.在正文体1111ABCD A B C D -中，,,,M N E F 分别是棱11111111,,,A B D C D A B C 的中点. 求证：平面AMN ∥平面EFDB . 证明：如图，连接MF.,M F Q 分别是1111,A B C D 的中点，且四边形1111A B C D 为正方形，11MF A D ∴∥,又11,A D AD MF AD ∴∥∥,∴四边形ADFM 为平行四边形， AM DF ∴∥.又AM ⊄Q 平面EFDB ，同理可证，AN ∥平面EFDB. ,AM AN ⊂Q 平面AMN, AM AN A =I∴平面AMN ∥平面EFDB .3.如图所示，ABC ∆为正三角形，EC ⊥平面,ABC BD CE ∥,且2,CE CA BD M ==是EA 的中点. 求证：（1）DE=DA ；（2）平面MBD ⊥平面ECA ； （3）平面DEA ⊥平面ECA .（1）方法一:如图,取EC 的中点F,连接DF.EC ⊥Q 平面ABC, EC BC ∴⊥. 2,CE BD BD CF =∴=Q .又,BD CE BD CF ∴Q ∥∥. ∴四边形BDFC 是平行四边形.,BC DF DF EC ∴∴⊥∥ 在Rt DEF ∆和Rt ADB ∆中,1,2EF EC BD FD BC AB ====Q Rt DEF Rt ADB DE DA ∴∆∆∴=≌.方法二:如图,取AC 中点N,连接BN 、MN ABC ∆Q 是正三角形，∴BN ⊥AC 于点N. 又∵EC ⊥平面ABC ，EC ⊂平面CAE ，∴平面ACE ⊥平面ABC ，交线为AC.∴BN ⊥平面ACE. 又∵M 、N 分别是AE 、AC 中点,∴在△ACE 中，12MN CE ∥,又BD ∥CE 且2BD=CE,∴12BD CE MN ∥∥∴四边形BDMN 是平行四边形,∴MD BN ∥ ∴DM ⊥平面ACE. 又AE ⊂平面ACE ，∴DM ⊥AE 于点M. 又∵M 是AE 中点，∴DA=DE.(2)取CA 的中点N ，连接MN 、BN ，则12MN EC ∥.又∵BD ∥EC 且EC=2BD,∴MN DB ∥MN DB.∴N 点在平面BDM 内.∵EC ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，∴EC ⊥BN. ∵△ABC 为正三角形，∴BN ⊥AC.又AC ∩EC=C ，EC ⊂平面ACE ，AC ⊂平面ACE, ∴BN ⊥平面ACE. ∵BN ⊂平面MBN,∴平面MBN ⊥平面ECA ，即平面MBD ⊥平面ECA. （3）DM ∥BN,BN ⊥平面ECA ，∴DM ⊥平面ECA.又DM ⊂平面DEA,∴平面DEA ⊥平面ECA.4.如图所示，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC. 求证：AB ⊥BC.证明： 如图，作AH ⊥SB 于H ，连接EH 、AE ， ∵平面SAB ⊥平面SBC ， ∴AH ⊥平面SBC,∴AH ⊥BC.又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.SA AH 平面SAB, 又SA∩AH=A,,∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.。
平面与平面平行的判定与性质教学设计
“平面与平面平行的判定与性质”教学设计山东省长岛中学慕康好“平面与平面平行的判定与性质”教学设计山东省长岛中学慕康好课型：新授教学目标：知识目标：⑴通过直观感知、操作确认，归纳出如下的判定定理与性质定理判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
⑵运用所学定理证明一些空间位置关系的简单命题。
能力目标：理解空间问题转化平面问题的基本思想，培养学生推理能力。
情感目标：增强学生观察生活的能力教学重点：掌握平面与平面平行的判定与性质定理并能运用定理解决问题。
教学难点：挖掘两个定理的内涵与外延。
教学方法：观察法，分析法，归纳法，比较法。
教具：三角板、长方体模型、幻灯片、课件。
教学基本流程：↓↓↓↓↓↓↓↓教学情境设计：【复习引入】问：直线和平面平行的判定定理怎么叙述？（平面外一条直线与此平面的一条直线平行，则该直线与此平面平行）问：用转化的思想来看定理的实质是什么？（将直线与平面平行关系转化为直线间平行关系）问：通过学习直线和平面平行的判定定理的过程，请大家思考研究平面和平面平行的判定可以转化成去研究什么关系呢？（直线和平面平行）总结：由此可以看出，直线和直线平行、直线和平面平行、平面和平面平行三者有如下的内在关系板书：线线平行−−→−判定线面平行−−→−判定面面平行 这揭示了解决立体几何问题的一个重要的思想方法，即将空间问题转化为平面问题． 引：那么从平面中取出怎样直线来研究两个平面的平行关系呢？让我们看看教材如何探究的。
【新授】自学：教材56至57页例2之上，思考下列问题。
⑴探究⑴的答案是什么？（平面α和平面β不一定平行。
）⑵探究⑵的答案是什么？（如果平面β内的两条直线是平行线，平面α和平面β不一定平行。
如果平面β内的两条直线是相交直线，平面α和平面β一定平行。
）⑶从编者完成这次探究的过程中不难看出，在研究点、线、面位置关系时，借助什么可以补充完善我们的空间想象力?(几何模型如长方体、正方体、棱锥等等)⑷探究的结果是得到一个关于两个平面平行的判定定理，试根据相关内容填写下表：注：教材只给出定理而没给出定理的证明，有兴趣的同学可以课后和老师进行探究。
两平面平行的判定和性质
a'
β
b'
a
A
α
b
例4：已知P在△ABC所在的平面外，点A’、B’、C’分别是△PAB、 △PBC、△PAC的重心。求证：平面A’B’C’∥平面ABC.
P
思考：能否求出 △ A’B’C’与△ ABC 的面积之比？
C′
A′ A D B F
B′
C
E
小结：
1 两个平面的位置关系：相交
平行（及定义）
问题：下面两组平面哪一组看上去象平行平面？ α
a b
β
（１）
（２）
如果一个平面与两个平行平面相交，会 有什么结果出现？
三、两平面平行的性质
定理：如果两个平行平面同时与第三个平面 相交，那么它们的交线平行。
思考：两平面平行的性质定理与线面平行 例３：求证夹在两平行平面间的两条平行 的性质定理有什么不同？ 线段相等。 已知： a∥β AB和DC为夹在a、 D A β间的平行线段。 求证： AB＝DC 证明：
B
C
证明： 连接AD、BC ∵AB//DC
A
D ∴ AB和DC确定平面AC
B
C
又因直线AD、BC分别是平面 AC与平面a、β的交线， ∴AD//BC，四边形ABCD是平行 四边形
∴AB＝DC
例5：平行于同一个平面的两个平面平行。
已知：α∥γ，β∥γ 求证：α ∥β
α A B
构造两个相交的平面M和N平面， 分别与α 、β 、γ 平面相交与a、c、 β e和b、d、f
思路1：在平面PAD内 找MN平行线。 思路2：过MN构造平面PAD 的平行平面。 B H
A M
N
平面和平面平行的判定与性质
a
(两平面平行)
(两平面相交)
2若内有两条直线a, b分别与平行,
则与平行吗？
1 若a // b时，则与平行吗？
0
a
b
a
b
(两平面平行)
(两平面相交)
2若内有两条直线a, b分别与平行,
则与平行吗？
2 若a b P时，则与平行吗？
0
b
P
A
AB AB AB∥AB
AABB是平行四边形 AA BB.
∥
AA∥BB
定理的应用
例1 如图 : 已知正方体
ABCD A1B1C1D1.
D1 C1
1 1
求证: 平面B1 AD1 // 平面BC1D. B A 证明:∵ ABCD A1B1C1 D1为正方体 ∴D1C1// AB ，且 D1C1 = AB， D A B ∴D1C1AB为平行四边形， 则D1A//C1B. 又D1 A 平面C1BD，C1B 平面C1BD，
判定定理剖析：
1〉两条 条件要点：内有2〉相交 直线 3〉分别和平行 结论： //
b
P
a
证题思路：要证明两平面平行，关键是在其中 一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一 个平面.
化归思想
化归思想
面面平行
线面平行
定理的应用
例1、 已知:三棱锥P-ABC中，D,E,F分别
两个重要结论：
结论1：如果两个平面平行，那么一个 平面内的直线一定平行于另一个平面。 结论2:
平行于同一个平面的两个平面平行。
// // //
平面与平面平行的判定和性质
b
δ
γ
'
a
b
证明：因为 证明：因为AA’ ⊥ α，β⊥AA’， ， ⊥ ， 所以AA’ ⊥ a， AA’ ⊥ a’ 所以 ， 所以a 所以 ∥ a’， a’ ∥ α ， 同理 b’ ∥ α a 又因为a’交 为 又因为 交b’为A’ b' 所以 α∥β ∥ δ
γ
a
'
b
例2 一条直线垂直于两个平行平面中 的一个平面，它也垂直于另一个平面． 的一个平面，它也垂直于另一个平面．
一般画法
错误画法
3． 平面与平面平行的判定定理 ． （1）判定定理： ）判定定理： ①文字语言：如果一个平 文字语言： 两条相交直线都平 面内有两条相交 面内有两条相交直线都平 行于另一个平面， 行于另一个平面，那么这 两个平面平行. 两个平面平行 ②图形语言： 图形语言： ③符号语言：a ⊂α，b 符号语言： ， b//β α//β. ⇒
两个平面平行的 判定和性质
三. 平面与平面平行 1. 平行平面：如果两个平面没有公共点， 平行平面：如果两个平面没有公共点， 那么这两个平面叫做平行平面. 记作α//β. 那么这两个平面叫做平行平面 记作 两个平面的位置关系
两平面平行
两平面相交
2. 平行平面的画法：在画两个平面平行 平行平面的画法： 画法 时，通常把表示这两个平面的平行四边 形的相邻两边分别画成平行线 平行线. 形的相邻两边分别画成平行线
a ⊂α ⇒ l ⊥ a l ⊥α ∴l ⊥ b
两个平行平面的公垂线、 两个平行平面的公垂线、公垂线段和距离 和两个平行平面α 和两个平行平面α，β同时垂直的直线l， 同时垂直的直线 ， 叫做这两个平行平面α 叫做这两个平行平面α，β的公垂线 它夹在这两个平行平面间的部分叫做这 两个平行平面的公垂线段 两个平行平面的公垂线段 我们把公垂线段的长度叫做 两个平行平面的距离
两平面平行的判定与性质
两平面平行的性质
当两个平面平行时，它们具有一系列独特的性质，如平行平面间的距离保持不变、平行平面内的任意两直线不相 交等。这些性质为几何学和相关领域的研究提供了有力支持。
对未来研究的展望
平行线间同位角相等
两条平行线被一条横截线所截，同位角相等。
平行面的性质
平行面间距离相等
任意两个平行平面之间的距离始终保持不变。
平行面间无交点
两个平行平面在空间中无限延伸，但永远不 会相交。
平行面间同位二面角相等
两个平行平面被第三个平面所截，截得的同 位二面角相等。
平行线与平行面的关系
平行线确定平行面
在几何中的应用
判定定理
如果一个平面内有两条相交直线 都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行。
性质定理
如果两个平面平行，那么其中一 个平面内的任意一条直线都平行 于另一个平面。
推论
如果两个平面平行，那么分别位 于这两个平面内的两条直线要么 平行，要么异面。
在物理中的应用
光学
在几何光学中，两平面平行的概念用于描述光线在不同介质之间的传播，如平行光线的产生和传播。
定义和基本概念
平面
在空间中，由无数个点组成的集合， 且任意三个点不共线。
平行平面
两个平面在空间中不相交，则称这两 个平面平行。
法向量
与平面垂直的向量称为该平面的法向 量。两个平面的ห้องสมุดไป่ตู้向量平行是这两个 平面平行的必要条件。
判定定理
若两平面的法向量平行，则这两个平 面平行。
02 两平面平行的判定方法
同位角相等法
两个平面平行的判定和性质
γ
l
例2：求证：如果一条直线垂直于两个平行 ：求证： 平面中的一个平面， 平面中的一个平面，那么它也垂直于
β
b
另一个平面。 另一个平面。 a A α 已知： 求证： α 已知： // β , l ⊥ α 求证： ⊥ β l 证明： 证明：设 l I α = A,在平面 β 内任取 直线 b 在平面 因为点A不在β 内，所以点A与直线b可确定平面γ。
②图形语言： 图形语言：
α
β
A
a
b
③符号语言： a ⊂ α , b ⊂ α , a I b = A且a // β , b // β , 则α // β 符号语言：
a, b ⊂ α ,
请注意红框中内容： 请注意红框中内容：
a I b = A ⇒ α // β a // β , b // β
× × × × ×
√
如图， 例1. 如图，在长方体 ABCD − A ' B ' C ' D '中， 求证： . 求证：平面 C ' DB // 平面 AB ' D '
// // 证明： 证明：Q AB = DC = D ' C '
∴ ABC ' D '是平行四边形 ∴ BC '// AD '
A'
D' B'
C'
又 Q BC ' ⊄ 平面 AB ' D '
AD ' ⊂ 平面 AB ' D '
∴ BC '// 平面 AB ' D '
同理： 同理： D A B
C
C ' D // 平面 AB ' D '
平面与平面平行的判定定理
面面平行判定定理的应用：要证面面平行，只要证线面平行，而要证线面平行，只要证线线平行。在立体几何中，往往通过线线、线面、面面间的位置关系的转化使问题得到解决。
01
02
03
小结：
面面平行的定义；
01
面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
复习回顾：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则 该直线与此平面平行．
（2）直线与平面平行的判定定理：
（1）定义法；
线线平行
线面平行
1. 到现在为止,我们一共学习过几种判断直线与平面平行的方法呢?
（1）平行
相交 α∥β 怎样判定平面与平面平行呢？ 问题： 面与平面有几种位置关系？分别是什么？
P
Q
如果平面β内的两条直线是相交的直线，两个平面会不会一定平行？
新课讲授：
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
两个平面平行的判定定理：
线不在多，重在相交
符号表示：
ａ，ｂ，ａｂ＝Ｐ，ａ，ｂ
图形表示：
a
b
P
平面平行的判定定理的证明
已知：在平面内，有两条直线 、 相交且和平面平行．
探究：
平面内有一条直线与平面平行，，平行吗？
平面内有两条直线与平面平行，，平行吗？
结论：
中的平面α，β不一定平行。如图，借助长方体模型，平面ABCD中直线AD平行平面BCC'B'，但平面ABCD与平面BCC'B'不平行。
结论：
（2）分两种情况讨论：
如果平面β内的两条直线是平行直线，平面α与平面β不一定平行。如图，AD∥PQ，AD∥平面BCC’B’，PQ∥BCC’B’，但平面ABCD与平面BCC’B’不平行。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平面与平面平行的判定与性质
、选择题
1平面a//平面3,点A、C € a,点B、D € 3,则直线AC //直线BD的充要条件是（）
A . A
B // CDB . AD // CB
C．AB 与CD 相交D．A、B、C、D 四点共面
2. "内存在着不共线的三点到平面3的距离均相等"是“a 3的（）
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C.充要条件 D .既不充分也不必要的条件
3.平面a//平面3,直线a i,a P€ 3,则过点P的直线中（）
A •不存在与a平行的直线
B •不一定存在与a平行的直线
C.有且只有一条直线与a平行
D.有无数条与a平行的直线
4.下列命题中为真命题的是（）
A •平行于同一条直线的两个平面平行
B .垂直于同一条直线的两个平面平行
C.若一个平面内至少有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行.
D .若三直线a、b、c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有一个平面与b, c均平行.
5.已知平面a//平面3且a 3间的距离为d , I l,a l '则3与I之间的距离的取值范围为（）
A . （d,〜B. （d,+ 〜
C. {d} D . （0, s）
6.已知直线a、b、c i ,a且a// 3、b // 3 c// 3,贝U “、b、c到平面3的距离均相等"是“a 3的（）矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。
矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C.充要条件D .既不充分也不必要的条件
7.给出以下命题：
①夹在两个平行平面间的线段，较长的与平面所成的角较小；
②夹在两个平行平面间的线段，如果它们的长度相等，则它们必平行；
③夹在两个平行平面间的线段，如果它的长度相等，则它们与平面所成的角也相等；
④在过定点P的直线中，被两平行平面所截得的线段长为d的直线有且只有一条，则两平行平面间的距离
也为d
其中假命题共有（）
A. 1个
B. 2 个
C. 3个
D. 4 个
&设％// 3, P€ a, Q€ 3当P、Q分别在平面％、3内运动时，线段PQ的中点X也随着运动，则所有的动点X （）聞創沟燴鐺險爱氇谴净。
聞創沟燴鐺險爱氇谴净。
A .不共面
B •当且仅当P、Q分别在两条平行直线上移动时才共面
C .当且仅当P 、Q 分别在两条互相垂直的异面直线上移动时才共面
D .无论P 、Q 如何运动都共面
、填空题
9.已知a//
2/3
AB = * d
3且a 与3间的距离为d ，直线a 与a 相交于点A 与3相交于B ,若
3
，则直线
a 与a 所成的角=
.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。
残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。
10 .过两平行平面 a B 外的点P 两条直线AB 与CD ，它们分别交 a 于A 、C 两点，交B 于B 、D 两
点，若PA = 6, AC = 9, PB = 8，则E D 的长为 ________________ .酽锕极額閉镇桧猪訣锥。
酽锕极額閉镇桧猪訣锥。
11. 已知点A 、B 到平面a 的距离分别为d 与3d ,则A 、B 的中点到平面 a 的距离为 __________________ . 12. _________________________ 已知平面a 内存在着n 个点，它们任何三点不共线， 若 这n 个点到平面
B 的距离均相等”是“a 3 的充要条件，则 n 的最小值为
.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。
彈贸摄尔霁毙攬砖卤
庑。
三、解答题
13. 已知平面 a//平面 3直线a// a, a? 3求证：a // 3-
AE = CF
14. 如图，平面 a//平面3 A 、C € a, B 、D € 3,点E 、F 分别在线段 A E 、CD 上，且
EB FD
,
求证：EF //平面 3謀养抟箧飆鐸怼类蒋薔。
謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。
15. P 是厶A E C 所在平面外一点， A', B', C'分别是△ P B C 、△ PCA 、△ PA B 的重心，
(1)求证：平面A'B ，Q 平面A B C ;
(2 )求 S A A B ，： S A A B C .
16 .如图已知平面 a//平面
3线段A B 分别交 a 3于M 、N ，线段AD 分别交a 3于C D ，线段 B F 分别交a, 3于F 、E ,若AM = m , B N = n , MN =卩，求厶END 与厶FMC 的面积之比.厦礴恳蹒骈時 盡继價骚。
厦礴恳蹒骈時盡继價骚。
17.如图，已知：平面a//平面3, A、C € a, B、D € 3, AC与E D为异面直线，AC = 6,B D = 8, A B= CD = 10, A B与CD成60°的角，求AC与B D所成的角.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。
茕桢广鳓鯡选块网羈泪。
参考答案
一、选择题
1. D
2. B
3. C
4. B
5. B
6. C
7. A
8. D
二、填空题
9. 60°10. 12 11. d 或2d 12. 5
三、解答题
13.证明：取平面a内一定点A，则直线a与点A确定平面g,设g Aa= b, g n 3= c, 则由all a得a// b,由a// 3得b// c,于是all c.
又•/ a?3, ••• a// 3.
14.证明：(1)若直线AB和CD共面，
•/ a// 3,平面ABDC与a 3分别交于AC、BC两直线，
AE CF
•AC // BD .又T EB = FD ,
•EF // AC // BD , • EF // 平面3，
AE CG
(2)若AB与CD异面，连接BC并在BC上取一点G,使得EB = GB，则在△ BAC中，EG // AC , ACi 平面a,鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。
鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。
•EG / a.又T a/ 3,
••• EG // 3;同理可得：GF// BD，而BDi g
又••• GF// 3- T EGH GF = G,「.平面
又••• EF i 平面EGF , • EF // 3,
综合(1) (2 )得EF // 3
为贍偾蛏练淨。
籟丛妈羥为贍债蛏练淨。
•/ B'、C'均为相应三角形的重心,
•由面面平行的性质定理知，MC // ND，同理MF H NE ;又由等角定理:
MC AM 的两边且方向相同，则两角相等”知：/ END =Z FMC，从而ND = AN 龈讶骅
籴。
預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。
AN m+ p BN n
•ND = AM MC = m MC , NE = BM MF = n +
p MIF .
1
•S A END = 2 ND - NE - sin / END
1 m+ p n
=2- m-n +
p MIC MF - sin/ FMC
n (m+ p)
=m (
n
+
p
)
S A FMC .
15.证明：(1)连接PA'、PB'、PC', 分别交BC、CA、AB 于K、G、H , 连接GH、KG、HK .籟丛妈羥
EGF // 3,
• G、H分别为AC、AB的中点，且PB PC 2 PG = P H = 3 ,
• B' CH GH，同理A B7/ KG , A B' A B=B且GHH KG = G , 从而平面A B' /平面ABC .
(2)由(1)知△ A B' ©△ KGH ,
S A BC•( B C、2 4
(
) —•.S.KGH = GH =
1
又••• S A KGH = 4 S A ABC ,• S A A'
1
B' =C' S A ABC ,
• S A A B' CS A ABC = 1 :9.
16.证明：T a// 3,平面AND分别交a, 3于MC、ND ,
个角的两边分别平行于另一角
NE BN
MF = BM，預頌圣鉉儐歲
S END n ( m+ p) •S.FMC = m (n+ p).
n (m+ p)
即：△ END与厶FMC的面积之比为m (
n
+
P).
17•由all B作BE = AC ,连结CE,贝V ABEC是平行四边形./ DBE是AC与BD所
成的角./ DCE是
AB、CD所成的角，故/ DCE = 60 °渗釤呛俨匀谔鳖调硯錦。
由AB
= CD = 10,知CE= 10,于是△ CDE为等边三角形，
••• DE = 10.
又••• BE = AC = 6, BD = 8,
•••/ DBE = 90°
• AC与BD所成的角为90°
渗釤呛俨匀谔鱉调硯。