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攸县第二中学
函数的奇偶性
讲课人：唐琴琴
• 教学目标
➢知识与技能：从形数两个方面进行引导，领会 奇偶性的定义和判断。
➢过程与方法：师生共同探讨，联系生活实际理
解定义。
➢情感、态度与价值观：通过观察图形，培养学
生用图、想图、以及归纳的抽象思维能力。通过 合作探讨，培养学生合作精神，通过联系实际， 培养学生善于观察生活能力。
y=x2
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x), 这时我们称函数y=x2为偶函数。
填写表（2），你发现了什么？
y
x -3 -2 -1 0 1 2 3
6
y=|x| 3 2 1 0 1 2 3
5 4
表（2）
3
f(-1)= 1 =f(1)
2
1
f(-2)= 2 =f(2)
数 y f (x) 是偶函数
偶函数的图像特征
如果一个函数是偶 函数,则它的图象 关于y轴对称。
y=x2
反过来， 如果一个函数的图 象关于y轴对称， 则这个函数为偶函 数。
性质：偶函数的定义域关于原点对称
问题：f (x) x,2x1,2 是偶函数吗？
解： y
6
5 4 3 2 1
不是。
因为定义域不关于原点对 称，比如2在定义域内可 是-2却不在。
自由探讨，类比推导奇函数
y
y
3
3
2
2
1
1
-3 -2 -1 0 -1 -2
-3
1 2 3x
f(x)=x
-2 -1 0 -1 -2
1 2 3x
-3
f (x) 1 x
结论：两个函数图象都关于原点对称。
填写表（3），你发现了什么？
y
x -3 -2 -1 0 1 2 3
3
f(x)=x -3 -2 -1 0 1 2 3
y=|x|
结论：这两个函数的图象都关于y轴对称。
填写表（1），你发现了什么？ y
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
6
5
y=x2 9 4 1 0 1 4 9
4
表（1）
3
f(-1)= 1 =f(1)
2
f(-2)= 4 =f(2)
1
f(-…3)…= 9 =f(3)
f(-x) = f(x)
-3 -2-x -1 0 1 x2 3 x
y
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
3
f (x) 1 x
1 3
1 2
-1
0
1
11 23
2 1
表（4）
f(-1)= -1 =-f(1)
1 2
f(-3)= 1 =-f(3) …… 3
f(-x) = -f(x)
-2 -1 0 -1 -2
-3
1 2 3x
f (x) 1 x
实际上，对于非零实数集内任意的一个x,都有
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
练习：判断下列函数是否为偶函数？（口答）
(1) f (x) x2, x [1,1]
(2) f (x) x2 , x [1,1)
(3) f (x) x2, x [2,1) (1,2]
（4）f(x)=2x+1
特别提醒
1、“任意”两字体现偶函数为函数的 整体性质，不能仅有特殊值满足，就 定义为偶函数。 2、对于任意一个x,都有f(-x) = f(x), 则x 和-x定要都在定义域内，也就是定义 域关于原点对称。 3、图像关于y轴对称
所以f(-x)+f(x)=0；令x=0代入
2f(0)=0,所以， f(0)=0
总结：
1、如果一个函数f(x)是奇函数或 偶函数，那么我们就说函数f(x) 具有奇偶性；
2、函数的奇偶性是函数的整体 性质。
例：判断下列函数的奇偶性
f (x) x2 1 f (x) x2, x [1,3] f (x) x5 x3 x
引入课题
“对称”是大自然和生活中的一种美，这种 “对称美”在数学中也有大量的反映，函数的奇
偶性和对称性有什么关系呢？
函数的奇偶性体现对称美！
让我们看看下列各函数有什么共性？如何体现 对称美？
• 互动探究（见证对称美）
y
y
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
y=x2
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
f (x) x2 1 1 x2
根据函数奇偶性分类
奇函数 偶函数 函数可划分为四类:既奇又偶函数 非奇非偶函数
用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)、先求定义域，看是否关于原 点对称；
(2)、再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是 否恒成立。
例2：见学案
提升训练
函数 f (x) x3的大致图象可能是（ ）
f(-x)= -1/x =-f(x),这时我们称函数y=1/x为奇函数。
奇函数定义：
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)= － f(x)，那么f(x)就叫做奇函数。
奇函数的图像特征
如果一个函数是奇 函数，则它的图象 y=x3 关于原点对称。
O
反过来，
如果一个函数的图
象关于原点对称，
则这个函数为奇函
数。
定义域关于原点对称
• 例：见学案
练：判断下列函数是否为奇函数？（口答）
(1) f (x) x3, x [1,1]
(2) f (x) x3, x [1,1)
特别提醒
• 奇函数是关于原点对称的中心对称图 形。
• 若f(x)是奇函数，且0在定义域内，则 有f(0)=0 证明：因为 f(－x)= － f(x)
f(-3)…=…3 =f(3)
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
f(-x) = f(x)
y=|x|
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=|-x|=|x|=f(x), 这时我们称函数y=|x|为偶函数。
偶函数定义
从以上的讨论，你能够得到什么？
一般地，如果对于函数 f (x) 的定义域内
的任意一个x ，都有 f (x) f (x), 那么称函
• 重点和难点
重点：函数奇偶性的概念 难点：函数奇偶性的判断
教学过程
情景引入 互动探究 知识运用
小结作业
对称相关概念
• .轴对称ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ形：如果一个图形沿着一条直
线对折后两部分完全重合，这样的图形叫 做轴对称图形 。
• 中心对称图形：在同一平面内，如果把一
个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形 能和原图形完全重合，那么这个图形就叫 做中心对称图形
2
表（3）
1
f(-1)= -1=-f(1) -f(2)
f(-3)= -3 =-f(3)
-2 -1 0
-x
-1
-2
-3
1 2 x3 x
……
f(-x) = -f(x)
f(x)=x
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x), 这时我们称函数y=x为奇函数。
填写表（4），你发现了什么？