7. 设双曲线C 的方程为
x 2a
2−
y 2b 2
=1(a >0,b >0)，过抛物线y 2=4x 的焦点和点(0,b)
的直线为l.若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )
A.
x 24
−
y 24
=1
B. x 2−
y 24
=1
C.
x 24
−y 2=1 D. x 2−y 2=1
8. 已知函数f(x)=sin(x +π
3).给出下列结论：
①f(x)的最小正周期为2π； ②f(π
2
)是f(x)的最大值；
③把函数y =sinx 的图象上的所有点向左平移π
3个单位长度，可得到函数y =f(x)的图象．
其中所有正确结论的序号是( )
A. ①
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
9. 已知函数f(x)={x 3,x ≥0,
−x,x <0.
若函数g(x)=f(x)−|kx 2−2x|(k ∈R)恰有4个零点，
则k 的取值范围是( )
A. (−∞,−1
2)∪(2√2,+∞) B. (−∞,−1
2)∪(0,2√2) C. (−∞,0)∪(0,2√2)
D. (−∞,0)∪(2√2,+∞)
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 10. i 是虚数单位，复数8−i
2+i =______．
11. 在(x +2
x 2)5的展开式中，x 2的系数是______．
12. 已知直线x −√3y +8=0和圆x 2+y 2=r 2(r >0)相交于A ，B 两点．若|AB|=6，
则r 的值为______． 13. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为1
2和1
3.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、
乙两球都落入盒子的概率为______；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为
______．
14. 已知a >0，b >0，且ab =1，则1
2a +1
2b +8
a+b 的最小值为______． 15. 如图，在四边形ABCD 中，
∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，
AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3
2，则实数λ的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则DM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______． 三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）
16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a =2√2，b =5，c =√13．
(Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)求sin A 的值；
(Ⅲ)求sin(2A +π
4)的值．
17. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，
CC 1⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2，CC 1=3，点D ，E 分别在棱AA 1和棱CC 1上，且AD =1，CE =2，M 为棱A 1B 1的中点． (Ⅰ)求证：C 1M ⊥B 1D ；
(Ⅱ)求二面角B −B 1E −D 的正弦值；
(Ⅲ)求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．
18. 已知椭圆
x 2a
2+
y 2b 2
=1(a >b >0)的一个顶点为A(0,−3)，
右焦点为F ，且|OA|=|OF|，其中O 为原点．
(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)已知点C 满足3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．
19. 已知{a n }为等差数列，
{b n }为等比数列，a 1=b 1=1，a 5=5(a 4−a 3)，b 5=4(b 4−b 3).
(Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式；
(Ⅱ)记{a n }的前n 项和为S n ，求证：S n S n+2
(Ⅲ)对任意的正整数n ，设c n ={(3a n −2)b n
a n a n+2
,n 为奇数,
a n−1b
n+1
,n 为偶数．求数列{c n }的前2n 项和．
