2019年重庆市专升本《高等数学》试题分析

2019专升本《高等数学》试题分析与建议

1. 引言

2019年“专升本”考试已经结束了，我们也看见了《高等数学》原题，考生普遍反映试题偏难，许多考生没有做完。

2. 试题情况分析

表格 1知识点分数统计表

对考试题做知识点、分数和章节内容统计，详见表格 1和表格 2

从表格 2错误!未找到引用源。可以看出概率初步只占到总分的6.67%，未达考纲要求的10%，差了一个填空或选择题；线性代数占20%，与考纲要求一致；《微积分》超过了70%，依旧是考试的重点。

从分值上来说，基本符合考纲要求，保持了专升本试题的稳定性。 3. 各章节试题分析

共考了12分，分别为选择题的第2小题与计算题的13小题

第2小题为分段函数在分点处连续，求值。

2.1. 统计情况

3.1. 极限与连续

表格 2章节分数统计表

本出题人本意考查，重要极限公式1，无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量，左、右极限相等并等于该点处的函数值。这个题包含的知识

点很多。但由于设计的参数不好，学生只需要一个条件就可判断出答案为1。其它考点内容可以不用，有点可惜。

本题考查学生对重要极限公式2 的应用，为常规题，8分，简单题，只要平时训练过，应该不会有

错。一般有两种方法。

法一

29332

92633222331122lim lim 111122x x

x x x e x x e e x x ⎛⎫→∞→∞−−− ⎪

⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭=== ⎪ ⎪−⎛⎫−⎝⎭ ⎪

⎝⎭

法二

213

3642

44lim 1lim 12121x x

x x x x −+→∞→∞

⎛⎫⎛

⎫+=+ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭

6 1.51e = 6e =

共有16分，分别为考题的第1小题考点为洛必达法则应用4分，第9小题

3.2. 导数及其应用

极值点的导数4分共第21小题证明不等式8分。

第1小题极限2

01cos 2lim

( )x x

x →−=

.1A − .0B .2C .4D

分析：极限中的00型，三角函数的00型，一股用到重要极限公式0

sin lim

1x x

x

→=，而此题用洛必达求导的方法快。

法一 22

2001cos 22sin lim

lim 2x x x x

x x →→−==（要熟知三角函数的升降次公式） 法二 ()()

220001cos 21cos 22sin 2lim lim lim 22x x x x x x

x x x →→→'−−==='

故，选C 。

第9小题为填空题，设0x 为函数()f x 的一个极值点，且0()f x '存在，则

0()_____f x '=

分析：极值只能在驻点与不可导点处取得，现说导数存在，那就只能是驻点，故为0。送分题。

第21题，证明：当1202

x x π

<<<时，

22

11

sin sin x x x x < 分析：显然要用一阶导数的单调性，构造21

21

sin sin x x x x <法来处理 证明：令函数sin ()x f x x =

，在区间0,2π⎛⎫

⎪⎝⎭

上，该函数为连续函数，其导数为 2

cos sin ()x x x

f x x

−'=

现在要证()0f x '<，即证分子小于0。若记()tan g x x x =−，在区间0,2π⎡⎫

⎪⎢⎣⎭

上，因为

22()sec 1tan 0g x x x '=−=≥

对于任意的02

x π

≤<

，均有(0)()g g x ≤，即：

()tan 0g x x x =−≥

那么，在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭

内，有 sin cos x x x >

得 2

cos sin ()0x x x

f x x −'=<， 函数sin ()x

f x x =

，在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内在为单调递减函数。有 当1202

x x π

<<<时， 21

21

sin sin x x x x < 即 22

11

sin sin x x x x < 得证。

积分方法的考查，为第１４小题，共８分。考查了原料函数的概念，分部积分法与凑微分法，复合函数的结构与复合的导数。

已知2sin x 为函数()f x 的一个原函数，求()xf x dx '⎰不定积分

分析：首先2sin x 本质上是2sin()x ，其次，()2sin ()x x f x '=与2()sin f x dx x C =+⎰，第三()()f x dx df x '=，不定积分被积表达式要重构，用到分部积分法

解 由题意得

()22()sin 2cos x

f x x x x '==

故 ()()xf x dx xdf x '=⎰⎰

()()xf x f x dx =−⎰

2222cos sin x x x C =−+

这个题出得好，考查的点多，稍微分析一下，也易上手。

3.3. 积分

共有１６分，分别为选择题第４小题对称区间积分的性质４分，填空题第１０小题，定积分的变上限积分函数的洛必达法则求极限４分以及计算题的１５小题，围成区域的面积８分。

第４小题，下列定积分为零的是（ ）

1

1.cos A x xdx −⎰ 1

1.sin B x xdx −⎰ 1

21.(sin )C x x dx −+⎰ 1

1

.(cos )D x x dx −+⎰ 分析：定积分在对称区间上，奇函数的值为零，偶函数的值为半个区间积分值的２倍。故选A 。

第１０小题，极限()0

lim

______1cos x

t

t

x e e dt x

−→−=−⎰ 分析：变上限积分函数的0

型的极限。用变上限积分函数是被积函数的一个原函数的性质与洛必达法则。

()0

00lim

lim lim 21cos sin cos x

t

t x x x x

x x x e e dt

e e e e x

x x

−−−→→→−−+===−⎰ 第15小题，设D 是由抛物线24y x =−和2y x =+直线所围成的平面图形，求

D 的面积S

分析：示意图，找到交点坐标，选积分变量，积分求解。

解：相交点坐标为(2,0),(1,3)−，以x 为积分变量，积分区间为[]2,1−，所得面积为

1

22

(4)(2)S x x dx −⎡⎤=−−+⎣⎦⎰ 1

22(2)x x dx −=−−⎰

1

23211223x x x −⎡

⎤=−−⎢⎥⎣

⎦

9

2

=

21