中考数学真题分类答案
2024浙江省中考数学真题试卷及答案
2024浙江省中考数学真题试卷一、选择题(每题3分)1.以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是( ).A.北京B.济南C.太原D.郑州2.5个相同正方体搭成的几何体主视图为()A. B.C. D.3.2024年浙江经济一季度GDP 为201370000万元,其中201370000用科学记数法表示为( ) A.920.13710⨯B.80.2013710⨯C.92.013710⨯D.82.013710⨯4.下列式子运算正确的是( ) A.325x x x +=B.326x x x ⋅=C.329()x x =D.624x x x ÷=5.有5位学生参加志愿者,服务次数为:7,7,8,10,13.则这5位学生志愿服务次数的中位数为( ) A.7B.8C.9D.106.如图,在平面直角坐标系中,△ABC 与'''A B C ∆是位似图形,位似中心为点O .若点(3,1)A -的对应点为'(6,2)A -,则点B (-2,4)的对应点'B 的坐标为( )A.(-4,8)B.(8,-4)C.(-8,4)D.(4,-8)7.不等式组2113(2)6x x -≥⎧⎨->-⎩的解集在数轴上表示为( )A.B.C. D.8.如图,正方形ABCD 由四个全等的直角三角形(△ABE ,△BCF ,△CDG ,△DAH )和中间一个小正方形EFGH 组成,连接DE .若AE=4,BE =3,则DE=( )A.5B.6 17 D.49.反比例函数4y x=的图象上有12(,),(4,)P t y Q t y +两点.下列正确的选项是( ) A.当4t <-时,210y y << B.当40t -<<时,210y y << C.当40t -<<时,120y y <<D.当0t >时,120y y <<10.如图,在▱ABCD 中,AC ,BD 相交于点,2,3O AC BD ==过点A 作AE BC ⊥的垂线交BC 于点E ,记BE 长为x ,BC 长为y .当x ,y 的值发生变化时,下列代数式的值不变的是( )A.x y +B.x y -C.xyD.22x y +二、填空题(每题3分)11.因式分解:27a a -=____________. 12.若211x =-,则x =____________. 13.如图,AB 是O 的直径,AC 与O 相切,A 为切点,连接BC .已知050ACB ∠=,则B ∠的度数为___________.14.有8张卡片,上面分别写着数1,2,3,4,5,6,7,8.从中随机抽取1张,该卡片上的数是4的整数倍的概率是_________.15.如图,D ,E 分别是△ABC 边AB ,AC 的中点,连接BE ,DE .若,2AED BED DE ∠=∠=,则BE 的长为_______________.16.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,53AC BD =.线段AB 与''A B 关于过点O 的直线l 对称,点B 的对应点'B 在线段OC 上,''A B 交CD 于点E ,则△'B CE 与四边形'OB ED 的面积比为___________.三、解答题(17-21每题8分,22,23每题10分,24题12分)17.计算:11()54--18.解方程组:254310x y x y -=⎧⎨+=-⎩.19.如图,在△ABC 中,AD ⊥BC ,AE 是BC 边上的中线,AB =10,AD =6,tan 1ACB ∠=. (1)求BC 的长 (2)求sin DAE ∠的值.20.某校开展科学活动.为了解学生对活动项目的喜爱情况,随机抽取部分学生进行问卷调查.调查问卷和统计结果描述如下:根据以上信息.解答下列问题:(1)本次调查中最喜爱“AI应用”的学生中更关注“辅助学习”有多少人？(2)菜鸡学校共有1200名学生,根据统计信息,估计该校最喜爱“科普讲座”的学生人数. 21.尺规作图问题:如图1,点E是▱ABCD边AD上一点(不包含A,D),连接CE.用尺规作AF∥CE,F是边BC上一点.小明:如图2.以C为圆心,AE长为半径作弧,交BC于点F,连接AF,则AF∥CE.小丽:以点A为圆心,CE长为半径作弧,交BC于点F,连接AF,则AF∥CE.小明:小丽,你的作法有问题.小丽:哦……我明白了！(1)证明AF∥CE(2)指出小丽作法中存在的问题.22.小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼.小明先跑,10分钟后小丽才开始跑,小明跑步时中间休息了两次.跑步机上C档比B档快40米/分,B档比A档快40米/分.小明与小丽的跑步相关信息如表所示,跑步累计里程s(米)与小明跑步时间t(分)的函数关系如图所示.时间 里程分段 速度档 跑步里程 小明16:00~16:50不分段 A 档 4000米 小丽 16:10~16:50 第一段B 档 1800米第一次休息第二段 B 档 1200米第二次休息第三段C 档 1600米(1)求A ,B ,C 各档速度(单位:米/分) (2)求小丽两次休息时间的总和(单位:分)(3)小丽第二次休息后,在a 分钟时两人跑步累计里程相等,求a 的值.23.已知二次函数2y x bx c =++(b ,c 为常数)的图象经过点(2,5)A -,对称轴为直线12x =-.(1)求二次函数的表达式(1)若点(1,7)B 向上平移2个单位长度,向左平移(0)m m >个单位长度后,恰好落在2y x bx c =++的图象上,求m 的值(3)当2≤a ≤n 时,二次函数2y x bx c =++的最大值与最小值的差为94,求n 的取值范围. 24.如图,在圆内接四边形ABCD 中,AD<AC ,ADC BAD ∠<∠,延长AD 至点E ,使AE=AC ,延长BA 至点F ,连结EF ,使AFE ADC ∠=∠.(1)若60O AFE ∠=,CD 为直径,求ABD ∠的度数.(2)求证:①EF ∥BC ②EF=BD .2024浙江省中考数学真题试卷答案一、选择题二、填空题 三、解答题. 17.【答案】718.【答案】124x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩19.【答案】(1)14 (2)3720.【答案】(1)32 (2)324 21.【答案】证明略22.【答案】(1)80米/分,120米/分,160米/分 (2)5分 (3)42.523.【答案】(1)23y x x =++ (2)4m = (3)112n -≤≤。
2024年吉林省中考数学真题试卷及答案
2024年吉林省中考数学真题试卷一、单项选择题（每小题2分,共12分）1. 若()3-⨯的运算结果为正数,则内的数字可以为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 1-2. 长白山天池系由火山口积水成湖,天池湖水碧蓝,水平如镜,群峰倒映,风景秀丽,总蓄水量约达32040000000m ,数据2040000000用科学记数法表示为（ ）A. 102.0410⨯B. 92.0410⨯C. 820.410⨯D. 100.20410⨯3. 葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图,关于它的三视图说法正确的是（ ）A. 主视图与左视图相同B. 主视图与俯视图相同C. 左视图与俯视图相同D. 主视图、左视图与俯视图都相同 4. 下列方程中,有两个相等实数根的是（ ）A. ()221x -=-B. ()220x -= C. ()221x -= D. ()222x -= 5. 如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为()4,0-,点C 的坐标为()0,2．以OA OC ，为边作矩形OABC ,若将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒,得到矩形OA B C ''',则点B '的坐标为（ ）A. ()4,2--B. ()4,2-C. ()2,4D. ()4,26. 如图,四边形ABCD 内接于O ,过点B 作BE AD ∥,交CD 于点E ．若50BEC ∠=︒,则ABC ∠的度数是（ ）A. 50︒B. 100︒C. 130︒D. 150︒二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分．7. 当分式11x +的值为正数时,写出一个满足条件的x 的值为______． 8. 因式分解:23a a -=_______．9. 不等式组2030x x ->⎧⎨-<⎩的解集为______． 10. 如图,从长春站去往胜利公园,与其它道路相比,走人民大街路程最近,其蕴含的数学道理是______．11. 正六边形的每个内角等于______________°．12. 如图,正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O,点E 是OA 的中点,点F 是OD 上一点．连接EF ．若45FEO ∠=︒,则EF BC的值为______．13. 图①中有一首古算诗,根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度,其示意图如图①,其中AB AB '=,AB B C '⊥于点C,0.5BC =尺,2B C '=尺．设AC 的长度为x 尺,可列方程为______．14. 某新建学校因场地限制,要合理规划体育场地,小明绘制的铅球场地设计图如图所示,该场地由O 和扇形OBC 组成,,OB OC 分别与O 交于点A,D ．1m OA =,10m OB =,40AOD ∠=︒,则阴影部分的面积为______2m （结果保留π）．三、解答题（每小题5分,共20分）15. 先化简,再求值:()()2111a a a +-++,其中a =16. 吉林省以“绿水青山就是金山银山,冰天雪地也是金山银山”为指引,不断加大冰雪旅游的宣传力度,推出各种优惠活动,“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线,某滑雪场为吸引游客,每天抽取一定数量的幸运游客,每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等,用画树状图或列表的方法,求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．17. 如图,在ABCD中,点O是AB的中点,连接CO并延长,交DA的延长线于点E,求证:=．AE BC18. 钢琴素有“乐器之王”的美称,键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个,白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．四、解答题（每小题7分,共28分）19. 图①,图①均是44⨯的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点．点A,B,C,D,E,O均在格点上．图①中已画出四边形ABCD,图①中已画出以OE为半径的O,只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图．（1）在图①中,面出四边形ABCD的一条对称轴．（2）在图①中,画出经过点E的O的切线．20. 已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I（单位:A）与电阻R（单位:Ω）是反比例函数关系,它的图象如图所示．（1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．（2）当电阻R为3Ω时,求此时的电流I．-年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示．21. 中华人民共和国20192023根据以上信息回答下列问题:-年全国居民人均可支配收入中,收入最高的一年比收入最低的一年多多少（1）20192023元？-年全国居民人均可支配收入的中位数．（2）直接写出20192023（3）下列判断合理的是______（填序号）．-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势．①20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．因此这5年①20192023中,2020年全国居民人均可支配收入最低．22. 图①中的吉林省广播电视塔,又称“吉塔”．某直升飞机于空中A 处探测到吉塔,此时飞行高度873m AB =,如图①,从直升飞机上看塔尖C 的俯角37EAC ∠=︒,看塔底D 的俯角45EAD ∠=︒,求吉塔的高度CD （结果精确到0.1m ）．（参考数据:sin370.60︒=,cos370.80︒=,tan370.75︒=）五、解答题（每小题8分,共16分）23. 综合与实践某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究,第一小组负责调查板凳的历史及结构特点;第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识:第三小组负责汇报和交流,下面是第三小组汇报的部分内容,请你阅读相关信息,并解答“建立模型”中的问题．【背景调查】图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”,是中国传统家具,其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究,木工一般用铅笔画出凳面的对称轴,以对称轴为基准向两边各取相同的长度,确定榫眼的位置,如图①所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．【收集数据】小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x ,凳面的宽度为mm y ,记录如下:【分析数据】如图①,小组根据表中x,y的数值,在平面直角坐标系中描出了各点．【建立模型】请你帮助小组解决下列问题:（1）观察上述各点的分布规律,它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上,求出这条直线所对应的函数解析式;如果不在同一条直线上,说明理由．（2）当凳面宽度为213mm时,以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？24. 小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联,下面是他的研究过程:【探究论证】（1）如图①,在ABC 中,AB BC =,BD AC ⊥,垂足为点D ．若2CD =,1BD =,则ABC S =______．（2）如图①,在菱形A B C D ''''中,4''=A C ,2B D ''=,则A B C D S ''''=菱形______．（3）如图①,在四边形EFGH 中,EG FH ⊥,垂足为点O ．若5EG =,3FH =,则EFGH S =四边形______;若EG a =,FH b =,猜想EFGH S 四边形与a,b 的关系,并证明你的猜想．【理解运用】（4）如图①,在MNK △中,3MN =,4KN =,5MK =,点P 为边MN 上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图:（①）以点K 为圆心,适当长为半径画弧,分别交边KN ,KM 于点R,I.（①）以点P 为圆心,KR 长为半径画弧,交线段PM 于点I '.（①）以点I '为圆心,IR 长为半径画弧,交前一条弧于点R ',点R ',K 在MN 同侧.（①）过点P 画射线PR ',在射线PR '上截取PQ KN =,连接KP ,KQ ,MQ ．请你直接写出MPKQ S 四边形的值．六、解答题（每小题10分,共20分）25. 如图,在ABC 中,90C ∠=︒,30B ∠=︒,3cm AC =,AD 是ABC 的角平分线．动点P 从点A 出发,/s 的速度沿折线AD DB -向终点B 运动．过点P 作PQ AB ∥,交AC 于点Q,以PQ 为边作等边三角形PQE ,且点C,E 在PQ 同侧,设点P 的运动时间为()()s 0t t >,PQE 与ABC 重合部分图形的面积为()2cm S ．（1）当点P 在线段AD 上运动时,判断APQ △的形状（不必证明）,并直接写出AQ 的长（用含t 的代数式表示）．（2）当点E 与点C 重合时,求t 的值．（3）求S 关于t 的函数解析式,并写出自变量t 的取值范围．26. 小明利用一次函数和二次函数知识,设计了一个计算程序,其程序框图如图（1）所示,输入x 的值为2-时,输出y 的值为1;输入x 的值为2时,输出y 的值为3;输入x 的值为3时,输出y 的值为6．（1）直接写出k ,a ,b 的值．（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于x 的函数图像,如图（2）．①．当y 随x 的增大而增大时,求x 的取值范围．①．若关于x 的方程230ax bx t ++-=（t 为实数）,在04x <<时无解,求t 的取值范围． ①．若在函数图像上有点P ,Q （P 与Q 不重合）．P 的横坐标为m ,Q 的横坐标为1m -+．小明对P ,Q 之间（含P ,Q 两点）的图像进行研究,当图像对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化,直接写出m 的取值范围．2024年吉林省中考数学真题试卷答案一、单项选择题.1. 【答案】D2. 【答案】B3. 【答案】A4. 【答案】B5. 【答案】C6. 【答案】C二、填空题．7. 【答案】0（答案不唯一）8. 【答案】(3)a a -9. 【答案】23x <<10. 【答案】两点之间,线段最短．11. 【答案】12012. 【答案】12【解析】解:①正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O①45OAD ∠=︒,AD BC =①点E 是OA 的中点 ①12OE OA = ①45FEO ∠=︒①EF AD ∥①OEF OAD △∽△ ①12EF OE AD OA ==,即12EF BC = 故答案为:12．13. 【答案】()22220.5x x +=+【解析】解:设AC 的长度为x 尺,则0.5AB AB x '==+①AB B C '⊥由勾股定理得:222AC B C AB ''+=①()22220.5x x +=+故答案为:()22220.5x x +=+．14. 【答案】11π【解析】解:由题意得:()224010111360S ππ-==阴影故答案为:11π．三、解答题.15. 22a ,616. 【答案】13 17. 【答案】证明见解析证明:①四边形ABCD 是平行四边形①AD BC ∥①OAE OBC OCB E ==∠∠，∠∠①点O 是AB 的中点①OA OB =①()AAS AOE BOC △≌△①AE BC =．18. 【答案】白色琴键52个,黑色琴键36个【解析】解:设黑色琴键x 个,则白色琴键()16x +个由题意得:()1688x x ++=解得:36x =①黑色琴键由:361652+=（个）答:白色琴键52个,黑色琴键36个．四、解答题.19. 【答案】（1）见解析 （2）见解析【小问1详解】解:如图所示,取格点E,F,作直线EF ,则直线EF 即为所求.易证明四边形ABCD 是矩形,且E,F 分别为AB CD ，的中点.【小问2详解】解:如图所示,取格点G H 、,作直线GH ,则直线GH 即为所求.易证明四边形OGTH 是正方形,点E 为正方形OGTH 的中心,则OE GH ⊥．20. 【答案】（1）36I R=（2）12A【小问1详解】 解:设这个反比例函数的解析式为()0U I U R=≠ 把()94，代入()0U I U R=≠中得:()409U U =≠ 解得36U = ①这个反比例函数的解析式为36I R=. 【小问2详解】解:在36I R =中,当3R =Ω时,3612A 3I == ①此时的电流I 为12A ．21. 【答案】（1）8485元（2）35128元（3）①【小问1详解】解:39218307338485-=元答:20192023-年全国居民人均可支配收入中,收入最高的一年比收入最低的一年多8485元．【小问2详解】解:20192023-年这五年的全国居民人均可支配收入分别为30733元,32189元,35128元,36883元,39218元①20192023-年全国居民人均可支配收入的中位数为35128元.【小问3详解】解:由统计图可知20192023-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势,故①正确. 由统计图可知20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．但这5年中,2019年全国居民人均可支配收入最低,故①错误.故答案为:①．22. 【答案】218.3m【解析】解:延长DC 交AE 于点G,由题意得873m AB DG ==,90DGA ∠=︒在Rt GAD 中,45EAD ∠=︒ ①873tan DG AG DG EAD===∠ 在Rt GAC △中,37EAC ∠=︒①tan 8730.75654.75CG AG EAC =⋅∠=⨯=①873654.75218.3m CD DG CG =-=-≈答:吉塔的高度CD 约为218.3m ．五、解答题.23. 【答案】（1）在同一条直线上,函数解析式为:533y x =+ （2）36mm【解析】【小问1详解】解:设函数解析式为:()0y kx b k =+≠①当16.5,115.5x y ==,23.1,148.5x y ==①16.5115.523.1148.5k b k b +=⎧⎨+=⎩解得:533k b =⎧⎨=⎩①函数解析式为:533y x =+经检验其余点均在直线533y x =+上①函数解析式为533y x =+,这些点在同一条直线上.【小问2详解】解:把213y =代入533y x =+得:533213x +=解得:36x =①当凳面宽度为213mm 时,以对称轴为基准向两边各取相同的长度为36mm ． 24. 【答案】（1）2,（2）4,（3）152,12EFGH ab S =四边形,证明见详解,（4）10 【详解】（1）①在ABC 中,AB BC =,BD AC ⊥,2CD =①2AD CD ==①4AC = ①122ABC S AC BD =⨯⨯= 故答案为:2.（2）①在菱形A B C D ''''中,4''=A C ,2B D ''=①142A B C D S B D A C ''''''''=⨯⨯=菱形 故答案为:4.（3）①EG FH ⊥ ①12EFG S EG FO =⨯⨯,12EHG S EG HO =⨯⨯ ①EFG EHG EFGH S S S =+四边形 ①()111222EFGH S EG FO EG HO EG FO HO =⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+四边形 ①()1122EFGH S EG FO HO EG FH =⨯⨯+=⨯⨯四边形 ①5EG =,3FH = ①11522EFGH S EG FH =⨯⨯=四边形 故答案为:152猜想:12EFGH ab S =四边形 证明:①EG FH ⊥ ①12EFG S EG FO =⨯⨯,12EHG S EG HO =⨯⨯ ①EFG EHG EFGH S S S =+四边形 ①()111222EFGH S EG FO EG HO EG FO HO =⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+四边形 ①()1122EFGH S EG FO HO EG FH =⨯⨯+=⨯⨯四边形 ①EG a =,FH b = ①12EFGH ab S =四边形. （4）根据尺规作图可知:QPM MKN ∠=∠ ①在MNK △中,3MN =,4KN =,5MK = ①222MK KN MN =+①MNK △是直角三角形,且90MNK ∠=︒ ①90NMK MKN ∠+∠=︒①QPM MKN ∠=∠①90NMK QPM ∠+∠=︒①MK PQ ⊥①4PQ KN ==,5MK =①根据（3）的结论有:1102MPKQ S MK PQ =⨯⨯=四边形． 六、解答题.25. 【答案】（1）等腰三角形,AQ t = （2）32t = （3）)2223,0423221,24S t t S t S t t ⎧=<≤⎪⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪=-≤<⎪⎪⎩【小问1详解】解:过点Q 作QH AD ⊥于点H,由题意得:AP =①90C ∠=︒,30B ∠=︒①60BAC ∠=︒①AD 平分BAC ∠①30PAQ BAD ∠=∠=︒①PQ AB ∥①30APQ BAD ∠=∠=︒①PAQ APQ =∠∠①QA QP =①APQ △为等腰三角形①QH AP ⊥①122HA AP == ①在Rt AHQ △中,cos AH AQ t PAQ==∠. 【小问2详解】解:如图①PQE 为等边三角形①QE QP =由（1）得QA QP =①QE QA =即223AE AQ t === ①32t =.【小问3详解】解:当点P 在AD 上,点E 在AC 上,重合部分为PQE ,过点P 作PG QE ⊥于点G①30PAQ ∠=︒①122PG AP == ①PQE 是等边三角形①QE PQ AQ t ===①2124S QE PG =⋅= 由（2）知当点E 与点C 重合时,32t =①23042S t ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭. 当点P 在AD 上,点E 在AC 延长线上时,记PE 与AC 交于点F,此时重合部分为四边形FPQC ,如图①PQE 是等边三角形①60E ∠=︒而23CE AE AC t =-=-①)tan 23CF CE E t =⋅∠=-①()))21123232322FCE S CE CF t t t =⋅=--=-①)2223234PQE FCES S S t =-=-=+当点P 与点D 重合时,在Rt ADC 中,cos AC AD AP DAC ====∠ ①2t =①2322S t ⎫=+<<⎪⎭. 当点P 在DB 上,重合部分为PQC △,如图①30DAC ∠=︒90DCA ∠=︒由上知DC =①AD =①此时PD =-①)1PC CD PD t =+==- ①PQE 是等边三角形①60PQE ∠=︒①1tan PC QC PC t PQC ===-∠①)2112S QC PC t =⋅=- ①30B BAD ∠=∠=︒①DA DB ==①当点P 与点B 重合时AD DB =+=解得:4t =①)()2124S t t =-≤< 综上所述:)2223,04232421,24S t t S t S t t ⎧=<≤⎪⎪⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪=-≤<⎪⎪⎩． 26. 【答案】（1）1,1,2k a b ===-（2）①:0x ≤或1x ≥;①:2t <或11t ≥;①:10m -≤≤或12m ≤≤【小问1详解】解:①20x =-<①将2x =-,1y =代入3y kx =+得:231k -+=解得:1k =①20,30x x =>=>①将2,3x y ==,3,6x y ==代入23y ax bx =++得:42339336a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得:12a b =⎧⎨=-⎩. 【小问2详解】解:①,①1,1,2k a b ===-①一次函数解析式为:3y x ,二次函数解析式为:223y x x =-+ 当0x >时,223y x x =-+,对称为直线1x =,开口向上①1x ≥时,y 随着x 的增大而增大.当0x ≤时,3y x ,10k =>①0x ≤时,y 随着x 的增大而增大综上,x 的取值范围:0x ≤或1x ≥.①,①230ax bx t ++-=①23ax bx t ++=,在04x <<时无解①问题转化为抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时无交点 ①对于223y x x =-+,当1x =时,2y =①顶点为()1,2,如图:①当2t =时,抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时正好一个交点 ①当2t <时,抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点. 当4x =,168311y =-+=①当11t =时,抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <≤时正好一个交点 ①当11t ≥时,抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点①当2t <或11t ≥时,抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点 即:当2t <或11t ≥时,关于x 的方程230ax bx t ++-=（t 为实数）,在04x <<时无解. ①:①,1P Q x m x m ==-+①()1122m m +-+= ①点P,Q 关于直线12x =对称 当1x =,1232y =-+=最小值,当0x =时,3y =最大值①当图像对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化,而当2x =时,3y =,=1x -时,2y =①①当12m >,如图:由题意得:11012m m -≤-+≤⎧⎨≤≤⎩①12m ≤≤.①当12m <,如图:由题意得:10112m m -≤≤⎧⎨≤-+≤⎩①10m -≤≤综上:10m -≤≤或12m ≤≤．。
2024年河北省中考数学真题试卷及答案
2024年河北省中考数学真题试卷一、选择题（本大题共16个小题,共38分．1~6小题各3分,7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1. 如图显示了某地连续5天的日最低气温,则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ）一、选择题（本大题共16个小题,共38分．1~6小题各3分,7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1. 如图显示了某地连续5天的日最低气温,则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ）A. B.C.D. 2. 下列运算正确的是（ ）A. 734a a a -=B. 222326a a a ⋅=C. 33(2)8a a -=-D. 44a a a ÷=3. 如图,AD 与BC 交于点O,ABO 和CDO 关于直线PQ 对称,点A,B 的对称点分别是点C,D ．下列不一定正确的是（ ）A. AD BC ⊥B. AC PQ ⊥C. ABO CDO △≌△D. AC BD ∥4. 下列数中,能使不等式516x -<成立的x 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 45. 观察图中尺规作图的痕迹,可得线段BD 一定是ABC ∆的（ ）A. 角平分线B. 高线C. 中位线D. 中线6. 如图是由11个大小相同的正方体搭成的几何体,它的左视图是（ ）A. B. C. D.7. 节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电,若平均每天用电x 度,则能使用y 天．下列说法错误的是（ ）A. 若5x =,则100y =B. 若125y =,则4x =C. 若x 减小,则y 也减小D. 若x 减小一半,则y 增大一倍 8. 若a,b 是正整数,且满足8282222222a b a a a b b b ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯个相加个相乘,则a 与b 的关系正确的是（ ）A. 38a b +=B. 38a b =C. 83a b +=D. 38a b =+9. 淇淇在计算正数a 的平方时,误算成a 与2的积,求得的答案比正确答案小1,则=a （ ）A. 1B. 1C. 1D. 1110. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程: ABC 中,ABC 的外角,连接CD ．四边形ABCD 是平行四边形．AC =,∵∠ABC =∠+2∠,1∠=∠．又∵45∠=∠,MA MC =∵MAD MCB △≌△（∵______）．∵MD MB =．∵四边形ABCD 是平行四边形．若以上解答过程正确,∵,∵应分别为（ ）A. 13∠=∠,AASB. 13∠=∠,ASAC. 23∠∠=,AASD. 23∠∠=,ASA11. 直线l 与正六边形ABCDEF 的边,AB EF 分别相交于点M,N,如图所示,则a β+=（ ）A. 115︒B. 120︒C. 135︒D. 144︒12. 在平面直角坐标系中,我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图,矩形ABCD 位于第一象限,其四条边分别与坐标轴平行,则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ）A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D13. 已知A 为整式,若计算22A y xy y x xy -++的结果为x y xy-,则A =（ ）A. xB. yC. x y +D. x y -14. 扇文化是中华优秀传统文化的组成部分,在我国有着深厚的底蕴．如图,某折扇张开的角度为120︒时,扇面面积为S ,该折扇张开的角度为n ︒时,扇面面积为n S ,若n m SS =,则m 与n 关系的图象大致是（ ）A. B. C. D.15. “铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法,可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发,设计了如图1所示的“表格算法”,图1表示13223⨯,运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘,表格中部分数据被墨迹覆盖,根据图2中现有数据进行推断,正确的是（ ）A. “20”左边的数是16B. “20”右边的“□”表示5C. 运算结果小于6000D. 运算结果可以表示为41001025a +16. 平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标都是整数,且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移,每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时,向右平移;当余数为1时,向上平移;当余数为2时,向左平移）,每次平移1个单位长度．若“和点”Q 按上述规则连续平移16次后,到达点()161,9Q -,则点Q 的坐标为（ ）A. ()6,1或()7,1B. ()15,7-或()8,0C. ()6,0或()8,0D. ()5,1或()7,1二、填空题（本大题共3个小题,共10分．17小题2分,18~19小题各4分,每空2分） 17. 某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验,几天后观察并记录种子的发芽数分别为:89,73,90,86,75,86,89,95,89,以上数据的众数为______．18. 已知a,b,n 均为正整数．（1）若1n n <<+,则n =______.（2）若1,1n n n n -<<<<+,则满足条件的a 的个数总比b 的个数少______个．19. 如图,ABC 的面积为2,AD 为BC 边上的中线,点A ,1C ,2C ,3C 是线段4CC 的五等分点,点A ,1D ,2D 是线段3DD 的四等分点,点A 是线段1BB 的中点．（1）11AC D △的面积为______.（2）143B C D △的面积为______．三、解答题（本大题共7个小题,共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 如图,有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A,B,C 所对应的数依次为4-,2,32,乙数轴上的三点D,E,F 所对应的数依次为0,x ,12．（1）计算A,B,C 三点所对应的数的和,并求AB AC的值.（2）当点A 与点D 上下对齐时,点B,C 恰好分别与点E,F 上下对齐,求x 的值．21. 甲、乙、丙三张卡片正面分别写有,2,a b a b a b ++-,除正面的代数式不同外,其余均相同．（1）将三张卡片背面向上并洗匀,从中随机抽取一张,当1,2a b ==-时,求取出的卡片上代数式的值为负数的概率.（2）将三张卡片背面向上并洗匀,从中随机抽取一张,放回后重新洗匀,再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简）,并求出和为单项式的概率． 22. 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚,淇淇在家透过窗户的最高点P 恰好看到一颗星星,此时淇淇距窗户的水平距离4m BQ =,仰角为α;淇淇向前走了3m 后到达点D,透过点P 恰好看到月亮,仰角为β,如图是示意图．已知,淇淇的眼睛与水平地面BQ 的距离 1.6m ==AB CD ,点P 到BQ 的距离2.6m PQ =,AC 的延长线交PQ 于点E ．（注:图中所有点均在同一平面）（1）求β的大小及tan α的值.（2）求CP 的长及sin APC ∠的值．23. 情境图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪,可拼接为图2所示的钻石型五边形,数据如图所示．（说明:纸片不折叠,拼接不重叠无缝隙无剩余）操作嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪,拼成了钻石型五边形．如图3,嘉嘉沿虚线EF,GH裁剪,将该纸片剪成∵,∵,∵三块,再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程,解答问题:（1）直接写出线段EF的长.（2）直接写出图3中所有与线段BE相等的线段,并计算BE的长．探究淇淇说:将图1所示纸片沿直线裁剪,剪成两块,就可以拼成钻石型五边形．请你按照淇淇的说法设计一种方案:在图5所示纸片的BC边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规）,画出裁剪线（线段PQ）的位置,并直接写出BP的长．24. 某公司为提高员工的专业能力,定期对员工进行技能测试,考虑多种因素影响,需将测试的原始成绩x （分）换算为报告成绩y （分）．已知原始成绩满分150分,报告成绩满分100分、换算规则如下: 当0x p ≤<时,80x y p =.当150p x ≤≤时,()2080150x p y p-=+-． （其中p 是小于150的常数,是原始成绩的合格分数线,80是报告成绩的合格分数线）公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p 及p 以上）为合格．（1）甲、乙的原始成绩分别为95分和130分,若100p =,求甲、乙的报告成绩.（2）丙、丁的报告成绩分别为92分和64分,若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分,请推算p 的值:（3）下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表:∵直接写出这100名员工原始成绩的中位数.∵若∵中的中位数换算成报告成绩为90分,直接写出该公司此次测试的合格率．25. 已知O的半径为3,弦MN=,ABC中,90,3,∠=︒==．在平面上,先将ABC AB BCABC和O按图1位置摆放（点B与点N重合,点A在O上,点C在O内）,随后移动ABC,使点=．B在弦MN上移动,点A始终在O上随之移动,设BN x∥时,如图2,求点B到OA的距离,并求此时（1）当点B与点N重合时,求劣弧AN的长.（2）当OA MNx的值.（3）设点O到BC的距离为d．∵当点A在劣弧MN上,且过点A的切线与AC垂直时,求d的值.∵直接写出d的最小值．26. 如图,抛物线21:2C y ax x =-过点(4,0),顶点为Q ．抛物线22211:()222C y x t t =--+-（其中t 为常数,且2t >）,顶点为P ．（1）直接写出a 的值和点Q 的坐标． （2）嘉嘉说:无论t 为何值,将1C 的顶点Q 向左平移2个单位长度后一定落在2C 上． 淇淇说:无论t 为何值,2C 总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． （3）当4t =时∵求直线PQ 的解析式.∵作直线l PQ ∥,当l 与2C 的交点到x 轴的距离恰为6时,求l 与x 轴交点的横坐标．（4）设1C 与2C 的交点A,B 的横坐标分别为,A B x x ,且A B x x <．点M 在1C 上,横坐标为()2B m m x ≤≤．点N 在2C 上,横坐标为()A n x n t ≤≤．若点M 是到直线PQ 的距离最大的点,最大距离为d ,点N 到直线PQ 的距离恰好也为d ,直接用含t 和m 的式子表示n.2024年河北省中考数学真题试卷答案一、选择题.1. 【答案】A2. 【答案】C3. 【答案】A4. 【答案】A5. 【答案】B6. 【答案】D7. 【答案】C8. 【答案】A【解析】解:由题意得:()8822a b⨯= ∵38222a b ⨯=∵38a b +=故选:A ．9. 【答案】C【解析】解:由题意得:221a a +=解得:1x =1x =-故选:C ．10. 【答案】D【解析】证明:∵AB AC =,∵3ABC ∠=∠．∵3CAN ABC ∠=∠+∠,12CAN ∠=∠+∠,12∠=∠ ∵∵23∠=∠．又∵45∠=∠,MA MC =∵MAD MCB △≌△（∵ASA ）．∵MD MB =．∵四边形ABCD 是平行四边形．故选:D ．11. 【答案】B【解析】解:正六边形每个内角为:()621801206-⨯︒=︒ 而六边形MBCDEN 的内角和也为()62180720-⨯︒=︒∵720B C D E ENM NMB ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒∵7204120240ENM NMB ∠+∠=︒-⨯︒=︒∵1802360ENM NMB βα+∠++∠=︒⨯=︒∵360240120αβ+=︒-︒=︒故选:B ．12. 【答案】B【解析】解:设(),A a b ,AB m =,AD n =∵矩形ABCD∵AD BC n ==,AB CD m ==∵(),D a b n +,(),B a m b +,(),C a m b n ++ ∵b b b n a m a a +<<+,而b b n a m a m+<++ ∵该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B.故选:B ．13. 【答案】A【解析】解:∵22A y xy y x xy -++的结果为x y xy- ∵22y x y A x xy xy xy y -+=++ ∵()()()()()2222x y x y y x x A xy x y xy x y xy x y xy y xy y -++===+++++ ∵A x =故选:A ．14. 【答案】C【解析】解:设该扇面所在圆的半径为R221203603R R S ππ==∵23R S π=∵该折扇张开的角度为n ︒时,扇面面积为n S ∵223360360360120n R S R n n n nS S π=⨯⨯===π ∵1120120120n S m n S nSn S ==== ∵m 是n 的正比例函数∵0n ≥∵它的图像是过原点的一条射线．故选:C ．15. 【答案】D【解析】解:设一个三位数与一个两位数分别为10010x y z ++和10m n +则由题意得:20,5,2,mz nz ny nx a ==== ∵4mz nz=,即4=m n ∵当2,1n y ==时, 2.5z =不是正整数,不符合题意,故舍.当1,2n y ==时,则4,5,m z x a === ∵A.“20”左边的数是248⨯=,故本选项不符合题意.B.“20”右边的“□”表示4,故本选项不符合题意.∵a 上面的数应为4a∵运算结果可以表示为:()1000411002541001025a a a +++=+∵D 选项符合题意当2a =时,计算的结果大于6000,故C 选项不符合题意故选:D ．16. 【答案】D【解析】解:由点()32,2P 可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1,继而向上平移1个单位得到()42,3P ,此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2,继而向左平移1个单位得到()41,3P ,此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1,又要向上平移1个单位,因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时,先向右平移1个单位,之后按照向上、向左,向上、向左不断重复的规律平移若“和点”Q 按上述规则连续平移16次后,到达点()161,9Q -,则按照“和点”16Q 反向运动16次求点Q 坐标理解,可以分为两种情况:∵16Q 先向右1个单位得到()150,9Q ,此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0,应该是15Q 向右平移1个单位得到16Q ,故矛盾,不成立.∵16Q 先向下1个单位得到()151,8Q -,此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1,则应该向上平移1个单位得到16Q ,故符合题意,那么点16Q 先向下平移,再向右平移,当平移到第15次时,共计向下平移了8次,向右平移了7次,此时坐标为()17,98-+-,即()6,1,那么最后一次若向右平移则为()7,1,若向左平移则为()5,1.故选:D ．二、填空题.17. 【答案】8918. 【答案】 ∵. 3 ∵. 2【解析】解:（1）∵34<<,而1n n <+∵3n =.故答案为:3.（2）∵a,b,n 均为正整数．∵n 1-,n ,1n +为连续的三个自然数,而1,1n n n n -<<<+<<<<观察0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,而200=,211=,224=,239=,2416=∵()21n -与2n 之间的整数有()22n -个 2n 与()21n +之间的整数有2n 个∵满足条件的a 的个数总比b 的个数少()2222222n n n n --=-+=（个）故答案为:2．19. 【答案】 ∵. 1 ∵. 7【解析】解:（1）连接11B D ,12B D ,12B C ,13B C ,33C D∵ABC 的面积为2,AD 为BC 边上的中线∵112122ABD ACD ABC S S S △△△∵点A ,1C ,2C ,3C 是线段4CC 的五等分点 ∵1122334415AC AC C C C C C C CC =====∵点A ,1D ,2D 是线段3DD 的四等分点 ∵11223314AD AD D D D D DD ====∵点A 是线段1BB 的中点 ∵1112AB AB BB == 在11AC D △和ACD 中1111AC AC C AD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵()11SAS AC D ACD ≌∵111AC D ACD S S ==△△,11C D A CDA ∠=∠∵11AC D △的面积为1故答案为:1.（2）在11AB D 和ABD △中1111AB AB B AD BAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵()11SAS AB D ABD ≌∵111AB D ABD S S ==△△,11B D A BDA ∠=∠∵180BDA CDA ∠+∠=︒∵1111180B D A C D A ∠+∠=︒∵1C ,1D ,1B 三点共线∵111111112AB C AB D AC D S S S △△△∵1122334AC C C C C C C ===∵14114428AB C AB C S S △△∵11223AD D D D D ==,111AB D S =△∵13113313AB D AB D S S ==⨯=△△在33AC D △和ACD 中 ∵333AC AD AC AD==,33C AD CAD ∠=∠ ∵33C AD CAD △∽△ ∵3322339C AD CAD SAC S AC ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ∵339919C AD CAD S S ==⨯=△△∵1122334AC C C C C C C ===∵43334491233AC D C AD S S ==⨯=△△ ∵41433131412387AC D AB C B C D D AB S S S S =+-=+-=△△△△∵143B C D △的面积为7故答案为:7．三、解答题.20. 【答案】（1）30,16 （2）2x = 21. 【答案】（1）13 （2）填表见解析,49【小问1详解】解:当1,2a b ==-时1a b +=-,20a b+=,()123a b -=--= ∵取出的卡片上代数式的值为负数的概率为:13.【小问2详解】解:补全表格如下:∵所有等可能的结果数有9种,和为单项式的结果数有4种 ∵和为单项式的概率为49． 22. 【答案】（1）45︒,14（2m 【小问1详解】解:由题意可得:PQ AE ⊥, 2.6PQ =m , 1.6AB CD EQ ===m 4AE BQ ==()m ,3AC BD ==()m∵431CE =-=()m , 2.6 1.61PE =-=()m ,90CEP ∠=︒ ∵CE PE =∵45PCE β=∠=︒,1tan tan 4PE PAE AE α=∠==.【小问2详解】 解:∵1CE PE ==m ,90CEP ∠=︒∵CP ==m如图,过C 作CH AP ⊥于H∵1tan tan 4CH PAE AH α=∠==,设CH x =m ,则4AH x =m ∵()22249x x AC +==解得:17x =∵CH =m∵sin34CH APC CP ∠===．23. 【答案】（1）1EF =;（2）BE GE AH GH ===,2BE =BP 或2【解析】解:如图,过G '作G K FH ''⊥于K 结合题意可得:四边形FOG K '为矩形∵FO KG '=由拼接可得:HF FO KG '==由正方形的性质可得:45A ∠=︒∵AHG ,H G D '',AFE △为等腰直角三角形 ∵G KH ''为等腰直角三角形设H K KG x ''==∵H G H D '''==∵AH HG ==,HF FO x ==∵正方形的边长为2∵= ∵OA =∵x x +=解得:1x =∵))1111EF AF x ====.（2）∵AFE △为等腰直角三角形,1EF AF ==.∵AE ==∵2BE =∵)12GE H G =='='=-2AH GH ===∵BE GE AH GH ===.如图,以B 为圆心,BO 为半径画弧交BC 于P ',交AB 于Q ',则直线P Q ''为分割线此时BP '=,2P Q ''==,符合要求 或以C 圆心,CO 为半径画弧,交BC 于P ,交CD 于Q ,则直线PQ 为分割线此时CP CQ ==2PQ ==∵2BP =综上:BP 或2-24. 【答案】（1）甲、乙的报告成绩分别为76,92分 （2）125 （3）∵130;∵95%【小问1详解】解:当100p =时,甲的报告成绩为:809576100y ⨯==分乙的报告成绩为:()201301008092150100y ⨯-=+=-分.【小问2详解】解:设丙的原始成绩为1x 分,则丁的原始成绩为()140x -分 ∵10x p ≤<时,18092x y p ==丙①,()1804064x y p -==丁② 由∵-∵得320028p = ∵8007p = ∵1800929207131807x p⨯==≈>,故不成立,舍.∵140150p x ≤-≤时,()1209280150x p y p -==+-丙③,()120406480150x p y p --==+-丁④ 由∵-∵得:80028150p =- ∵8507p = ∵185020792808501507x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+- ∵19707x = ∵16908504077x p -=<=,故不成立,舍.∵11040,150x p p x ≤-<≤≤时,()1209280150x p y p -==+-丙⑤()1804064x y p -==丁⑥联立∵∵解得:1125,140p x ==,且符合题意综上所述125p =.【小问3详解】解:∵共计100名员工,且成绩已经排列好∵中位数是第50,51名员工成绩的平均数由表格得第50,51名员工成绩都是130分∵中位数为130.∵当130p >时,则8013090p ⨯=,解得10401309p =<,故不成立,舍.当130p ≤时,则()201309080150p p -=+-,解得110p =,符合题意∵ 由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为()10012295-++= ∵合格率为:95100%95%100⨯=．25. 【答案】（1）π （2）点B 到OA 的距离为2;3 （3）∵3d =-23 【小问1详解】解:如图,连接OA ,OB∵O 的半径为3,3AB =∵3OA OB AB ===∵AOB 为等边三角形∵60AOB ∠=︒∵AN 的长为60π3π180.【小问2详解】解:过B 作BI OA ⊥于I ,过O 作OH MN ⊥于H ,连接MO∵OA MN ∥ ∵90IBH BHO HOI BIO ∠=∠=∠=∠=︒∵四边形BIOH 是矩形∵BH OI =,BI OH =∵MN =OH MN ⊥∵MH NH ==而3OM =∵2OH BI ==∵点B 到OA 的距离为2.∵3AB =,BI OA ⊥∵AI =∵3OI OA AI BH =-==∵33x BN BH NH ==+==.【小问3详解】解:∵如图,∵过点A 的切线与AC 垂直∵AC 过圆心过O 作OJ BC ⊥于J ,过O 作OK AB ⊥于K ,而90ABC ∠=︒∵四边形KOJB 为矩形∵OJ KB =∵3AB =,BC =∵AC ==∵cosAB AK BAC AC AO∠==== ∵AK∵3OJ BK ==即3d =-如图,当B 为MN 中点时过O 作OL B C ''⊥于L ,过O 作OJ BC ⊥于J ,∵90OJL ∠>︒∵OL OJ >,此时OJ 最短如图,过A 作AQ OB ⊥于Q ,而3AB AO ==∵B 为MN 中点,则OB MN ⊥∵由（2）可得2OB =∵1BQ OQ ==∵AQ ==∵90ABC AQB ∠=︒=∠∵90OBJ ABO ABO BAQ ∠+∠=︒=∠+∠∵OBJ BAQ ∠=∠∵tan tan OBJ BAQ ∠=∠∵OJ BQ BJ AQ ==设OJ m =,则BJ =∵()2222m += 解得:23m =（不符合题意的根舍去） ∵d 的最小值为23． 26. 【答案】（1）12a =,()2,2Q - （2）两人说法都正确,理由见解析（3）∵410=-y x ;∵112-或112+ （4）2n t m =+- 【小问1详解】解:∵抛物线21:2C y ax x =-过点(4,0),顶点为Q ．∵1680a -=解得:12a = ∵抛物线为:()221122222y x x x =-=-- ∵()2,2Q -.【小问2详解】解:把()2,2Q -向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为:()0,2-当0x =时 ∵222221111:()2222222C y x t t t t =--+-=-+-=- ∵()0,2-在2C 上∵嘉嘉说法正确.∵22211:()222C y x t t =--+- 2122x xt =-+- 当0x =时,=2y - ∵22211:()222C y x t t =--+-过定点()0,2-.∵淇淇说法正确. 【小问3详解】解:∵当4t =时()2222111:()246222C y x t t x =--+-=--+ ∵顶点()4,6P ,而()2,2Q -设PQ 为y ex f =+∵4622e f e f +=⎧⎨+=-⎩解得:410e f =⎧⎨=-⎩ ∵PQ 为410=-y x .∵如图,当()221:4662C y x =--+=-（等于6两直线重合不符合题意）∵4x =±∵交点()46J --,交点()4K +由直线l PQ ∥,设直线l 为4y x b =+∵(446b -+=-解得:22b =∵直线l 为:422y x =+当4220y x =+=时,112x =-此时直线l 与x 轴交点的横坐标为112-同理当直线l 过点()4K +直线l 为:422y x =-当4220y x =-=时,112x =+此时直线l 与x 轴交点的横坐标为112+【小问4详解】解:如图,∵()21222y x =--,22211:()222C y x t t =--+- ∵2C 是由1C 通过旋转180︒,再平移得到的,两个函数图象的形状相同如图,连接AB 交PQ 于L ,连接AQ ,BQ ,AP ,BP∵四边形APBQ 是平行四边形当点M 是到直线PQ 的距离最大的点,最大距离为d,点N 到直线PQ 的距离恰好也为d 此时M 与B 重合,N 与A 重合∵()2,2P -,21,22Q t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∵L 的横坐标为2t 2+ ∵21,22M m m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,()2211,222N n n t t ⎡⎤--+-⎢⎥⎣⎦∵L 的横坐标为2m n + ∵222m n t ++= 解得:2n t m =+-.。
2024年云南省中考数学真题试卷附答案
2024年云南省中考数学真题试卷（全卷三个大题,共27个小题,共8页;满分100分,考试用时120分钟）一、选择题（本大题共15小题,每小题只有一个正确选项,每小题2分,共30分）1.中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动100米记作100+米,则向南运动100米可记作（）A.100米B.100-米C.200米D.200-米2.某市今年参加初中学业水平考试的学生大约有57800人,57800用科学记数法可以表示为（）A.45.7810⨯ B.357.810⨯ C.257810⨯ D.578010⨯3.下列计算正确的是（）A.33456x x x += B.635x x x ÷= C.()327a a = D.()333ab a b =4.在实数范围内有意义,则x 的取值范围是（）A.0x > B.0x ≥ C.0x < D.0x ≤5.某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的．其中一个几何体的三视图（主视图也称正视图,左视图也称侧视图）如图所示,这个几何体是（）A.正方体B.圆柱C.圆锥D.长方体6.一个七边形的内角和等于（）A.540︒B.900︒C.980︒D.1080︒7.甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛,每人10次射击成绩的平均数x （单位:环）和方差2s 如下表所示甲乙丙丁x 9.99.58.28.52s 0.090.650.162.85根据表中数据,从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择（）A.甲B.乙C.丙D.丁8.已知AF 是等腰ABC ∆底边BC 上的高,若点F 到直线AB 的距离为3,则点F 到直线AC 的距离为（）A.32B.2C.3D.729.两年前生产1千克甲种药品的成本为80元,随着生产技术的进步,现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x ,根据题意,下列方程正确的是（）A.()280160x -= B.()280160x -=C.()80160x -= D.()801260x -=10.按一定规律排列的代数式:2x ,23x ,34x ,45x ,56x ,L ,第n 个代数式是（）A.2nx B.()1nn x- C.1n nx + D.()1nn x+11.中华文明,源远流长;中华汉字,寓意深广．下列四个选项中,是轴对称图形的为（）A.爱B.国C.敬D.业12.在Rt ABC △中,90B Ð=°,已知34AB BC ==，,则tan A 的值为（）A.45B.35C.43D.3413.如图,CD 是O 的直径,点A ,B 在O 上．若 AC BC=,36AOC ∠= ,则D ∠=（）A.9B.18C.36oD.4514.分解因式:39a a -=（）A.()()33a a a -+ B.()29a a + C.()()33a a -+ D.()29a a -15.某校九年级学生参加社会实践,学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40厘米,底面圆的半径为30厘米,则该圆锥的侧面积为（）A.700π平方厘米B.900π平方厘米C.1200π平方厘米D.1600π平方厘米二、填空题（本大题共4小题,每小题2分,共8分）16.若关于x 的一元二次方程220x x c -+=无实数根,则c 的取值范围是______．17.已知点()2,P n 在反比例函数10y x=的图象上,则n =__________．18.如图,AB 与CD 交于点O ,且AC BD ∥．若12OA OC AC OB OD BD ++=++,则AC BD=__________．19.某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活,决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用．学校数学兴趣小组为给学校提出合理的采购意见,随机抽取了该校学生100人,了解他们喜欢的体育项目,将收集的数据整理,绘制成如下统计图注:该校每位学生被抽到的可能性相等,每位被抽样调查的学生选择且只选择一种喜欢的体育项目．若该校共有学生1000人,则该校喜欢跳绳的学生大约有______人．三、解答题（本大题共8小题,共62分）20.计算:120117sin3062-⎛⎫++--- ⎪⎝⎭．21.如图,在ABC ∆和AED △中,AB AE =,BAE CAD ∠=∠,AC AD =．求证:ABC AED ≌△△．22.某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观,已知A地到B地的路程为300千米,乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时,C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍,求D型车的平均速度．23.为使学生更加了解云南,热爱家乡,热爱祖国,体验“有一种叫云南的生活”．某校七年级年级组准备从博物馆a,植物园b两个研学基地中,随机选择一个基地研学,且每个基地被选到的可能性相等;八年级年级组准备从博物馆a,植物园b,科技馆c三个研学基地中,随机选择一个基地研学,且每个基地被选到的可能性相等．记选择博物馆a为a,选择植物园b为b,选择科技馆c为c,记七年级年级组的选择为x,八年级年级组的选择为y．（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法,求(),x y所有可能出现的结果总数（2）求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率P．24.如图,在四边形ABCD 中,点E ,F ,G ,H 分别是各边的中点,且AB CD ∥,AD BC ∥,四边形EFGH 是矩形．（1）求证:四边形ABCD 是菱形（2）若矩形EFGH 的周长为22,四边形ABCD 的面积为10,求AB 的长．25.A ,B 两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意,深受大家喜欢．某超市销售A ,B 两种型号的吉祥物,有关信息见下表成本（单位:元/个）销售价格（单位:元/个）A 型号35aB 型号42b若顾客在该超市购买8个A 种型号吉祥物和7个B 种型号吉祥物,则一共需要670元;购买4个A 种型号吉祥物和5个B 种型号吉祥物,则一共需要410元．（1）求a ,b 的值（2）若某公司计划从该超市购买A ,B 两种型号的吉祥物共90个,且购买A 种型号吉祥物的数量x （单位:个）不少于B 种型号吉祥物数量的43,又不超过B 种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y 元,求y 的最大值．注:该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差．26.已知抛物线21y x bx =+-的对称轴是直线32x =．设m 是抛物线21y x bx =+-与x 轴交点的横坐标,记533109m M -=．（1）求b 的值（2）比较M 与2的大小．27.如图,AB 是O 的直径,点D ,F 是O 上异于A ,B 的点．点C 在O 外,CA CD =,延长BF 与CA 的延长线交于点M ,点N 在BA 的延长线上,AMN ABM ∠∠=,AM BM AB MN ⋅=⋅．点H 在直径AB 上,90AHD ∠= ,点E 是线段DH 的中点．（1）求AFB ∠的度数（2）求证:直线CM 与O 相切（3）看一看,想一想,证一证以下与线段CE ,线段EB ,线段CB 有关的三个结论:CE EB CB +<,CE EB CB +=,CE EB CB +>,你认为哪个正确？请说明理由．2024年云南省中考数学真题试卷解析一、选择题.1.【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】D 4.【答案】B 5.【答案】D 6.【答案】B【解析】解:一个七边形的内角和等于()72180900-⨯︒=︒故选:B ．7.【答案】A【解析】由表中数据可知,射击成绩的平均数最大的是甲,射击成绩方差最小的也是甲∴中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择甲故选:A ．8.【答案】C 【解析】解:如图∵AF 是等腰ABC 底边BC 上的高∴AF 平分BAC∠∴点F 到直线AB ,AC 的距离相等∵点F 到直线AB 的距离为3∴点F 到直线AC 的距离为3．故选:C ．9.【答案】B 【解析】解: 甲种药品成本的年平均下降率为x 根据题意可得()280160x -=故选:B ．10.【答案】D【解析】解:∵按一定规律排列的代数式:2x ,23x ,34x ,45x ,56x ,L ∴第n 个代数式是()1n n x +故选:D ．11.【答案】D 12.【答案】C【解析】解:∵90B Ð=°,34AB BC ==，∴tan A =43BC AB =故选:C ．13.【答案】B 【解析】解:连接OB∵ AC BC=∴36BOC AOC ∠=∠=︒∴1182D BOC ∠=∠=︒故选:B ．14.【答案】A【解析】解:()()()329933a a a a a a a -=-=+-故选:A ．15.【答案】C【解析】解:圆锥的底面圆周长为2π3060π⨯=厘米∴圆锥的侧面积为160π401200π2⨯⨯=平方厘米故选:C ．二、填空题.16.【答案】1c >17.【答案】5【解析】解: 点()2,P n 在反比例函数10y x=的图象上1052n ∴==故答案为:5．18.【答案】12【解析】解: AC BD∥ACO BDO∴ ∽∴AC BD =12OA OC AC OB OD BD ++=++故答案为:12．19.【答案】120【解析】解:该校喜欢跳绳的学生大约有100012%120⨯=人故答案为:120．三、解答题.20.【答案】2【解析】解:120117sin3062-⎛⎫++--- ⎪⎝⎭1116522=++--2=．21.【解析】证明: BAE CAD∠=∠∴BAE EAC CAD EAC ∠+∠=∠+∠,即BAC EAD∠=∠在ABC 和AED △中AB AE BAC EAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ABC AED ∆∆≌．22.【答案】D 型车的平均速度为100km /h【解析】解:设D 型车的平均速度为km /h x ,则C 型车的平均速度是3km /hx根据题意可得,30030023x x-=整理得,6600x=解得100x=经检验100x=是该方程的解答:D型车的平均速度为100km/h．23.【答案】（1）见解析（2）23【解析】【小问1详解】解:由题意可列表如下a ba(),a a(),b ab(),a b(),b bc(),a c(),b c由表格可知,(),x y所有可能出现的结果总数为以上6种【小问2详解】解:由表格可知,该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的情况有4种∴P（七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同）42 63 ==．24.【答案】（1）见解析（2【小问1详解】解:连接BD,ACAB CD ∥,AD BC∥∴四边形ABCD 是平行四边形四边形ABCD 中,点E ,F ,G ,H 分别是各边的中点GF BD ∴∥,HG AC∥ 四边形EFGH 是矩形HG GF∴⊥∴BD AC⊥∴四边形ABCD 是菱形【小问2详解】解: 四边形ABCD 中,点E ,F ,G ,H 分别是各边的中点12GF EH BD ∴==,12HG EF AC == 矩形EFGH 的周长为22∴22BD AC += 四边形ABCD 是菱形即111122BD AC OA OB +=+= 四边形ABCD 的面积为101102BD AC ∴⋅=,即210OA OB ⋅=()2222121OA OB OA OA OB OB +=+⋅+= ∴2212110111OA OB +=-=∴AB ==．25.【答案】（1）4050a b =⎧⎨=⎩（2）564【小问1详解】解:由题知,8767045410a b a b +=⎧⎨+=⎩解得4050a b =⎧⎨=⎩【小问2详解】解: 购买A 种型号吉祥物的数量x 个则购买B 种型号吉祥物的数量()90x -个 且购买A 种型号吉祥物的数量x （单位:个）不少于B 种型号吉祥物数量的43∴()4903x x ≥-解得3607x ≥A 种型号吉祥物的数量又不超过B 种型号吉祥物数量的2倍．∴()290x x ≤-解得60x ≤即360607x ≤≤由题知,()()()4035504290y x x =-+--整理得3720y x =-+ y 随x 的增大而减小∴当52x =时,y 的最大值为352720564y =-⨯+=．26.【答案】（1）3b =-（2）当32M +=时,2M >;当32M =时,2M <．【小问1详解】解:∵抛物线21y x bx =+-的对称轴是直线32x =∴3212b -=⨯∴3b =-【小问2详解】解:∵m 是抛物线21y x bx =+-与x 轴交点的横坐标∴2310m m --=∴213m m-=∴422219m m m -+=∴42111m m =-而231m m =+代入得:()41131123310m m m =+-==+∴()()5423310331033311010933m m m m m m m m m m =⋅=+=+=++=+∴5331093333109109m m M m -+-===∵2310m m --=解得:32m ±=当3132M m +==时,1331313302222M +-=-=>∴2M >当32M m -==时,3302222M --=-=<∴2M <．27.【答案】（1）90︒（2）见解析（3）CE EB CB +=,理由见解析【小问1详解】解:∵AB 是O 的直径,点F 是O 上异于A ,B 的点∴90AFB ∠=︒【小问2详解】证明:∵AM BM AB MN⋅=⋅∴AM MN AB BM=又∵AMN ABM∠∠=∴ABM AMN∽∴AMB N ∠=∠,MAN MAB ∠=∠∵180MAN MAB ∠+∠=︒∴90MAN MAB ∠=∠=︒∴OA CA ⊥∵OA 是半径∴直线CM 与O 相切【小问3详解】我认为:CE EB CB +=正确,理由如下连接,,OA OD BD ,连接OC 交AD 于点G ,如图,则:OA OD =∴点O 在线段AD 的中垂线上∵CA CD=∴点C 在线段AD 的中垂线上∴OC AD ⊥∴90OGA ∠=︒∵AB 是O 的直径∴90ADB ∠=︒∴OGA ADB ∠=∠∴OG BD ∥∴AOC ABD ∠=∠∵90AHD ∠=︒∴90DHB ∠=︒∴tan DH HBD BH ∠=,tan EH HBE BH ∠=∵E 为DH 的中点∴11tan tan 22EH DH HBE HBD BH BH ∠==⋅=∠∵tan ,tan AC AC AOC ABC AO AB ∠=∠=,且12AO AB =∴11tan tan 22AC ABC AOC OA ∠=⋅=∠∵AOC ABD ∠=∠∴tan tan HBE ABC ∠=∠∴HBE ABC ∠=∠∴,,B E C 三点共线∴CE EB CB +=．。
2024年河南省中考数学真题试卷及答案
2024年河南省中考数学真题试卷一、选择题（每小题3分,共30分.下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的） 1. 如图,数轴上点P 表示的数是（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 22. 据统计,2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元,数据“5784亿”用科学记数法表示为（ ）A. 8578410⨯B. 105.78410⨯C. 115.78410⨯D. 120.578410⨯ 3. 如图,乙地在甲地的北偏东50︒方向上,则∠1的度数为（ ）A. 60︒B. 50︒C. 40︒D. 30︒4. 信阳毛尖是中国十大名茶之一．如图是信阳毛尖茶叶的包装盒,它的主视图为（ ）A. B. C. D. 5. 下列不等式中,与1x ->组成的不等式组无解的是（ ）A. 2x >B. 0x <C. <2x -D. 3x >-6. 如图,在ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O,点E 为OC 的中点,EF AB ∥交BC 于点F ．若4AB =,则EF 的长为（ ）A. 12 B. 1 C. 43 D. 27. 计算3()a a a a a ⋅⋅⋅个的结果是（ ）A. 5aB. 6aC. 3a a +D. 3a a 8. 豫剧是国家级非物质文化遗产,因其雅俗共赏,深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示,它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取一张,放回洗匀后,再从中随机抽取一张,两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ）A. 19B. 16C. 15D. 139. 如图,O 是边长为ABC 的外接圆,点D 是BC 的中点,连接BD ,CD ．以点D 为圆心,BD 的长为半径在O 内画弧,则阴影部分的面积为（ ）A. 8π3B. 4πC. 16π3D. 16π10. 把多个用电器连接在同一个插线板上,同时使用一段时间后,插线板的电源线会明显发热,存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究,得到时长一定时,插线板电源线中的电流I 与使用电器的总功率P 的函数图象（如图1）,插线板电源线产生的热量Q 与I 的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）A. 当440W P =时,2A I =B. Q 随I 的增大而增大C. I 每增加1A,Q 的增加量相同D. P 越大,插线板电源线产生的热量Q 越多二、填空题（每小题3分,共15分） 11. 请写出2m 的一个同类项:_______．12. 2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月,其主题是“有效减少近视发生,共同守护光明未来”.某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动,并对各班的宣传板报进行评分,得分情况如图,则得分的众数为___________分．13. 若关于x 的方程2102x x c -+=有两个相等的实数根,则c 的值为___________． 14. 如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的边AB 在x 轴上,点A 的坐标为()20-，,点E 在边CD 上．将BCE 沿BE 折叠,点C 落在点F 处．若点F 的坐标为()06，,则点E 的坐标为___________．15. 如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,3CA CB ==,线段CD 绕点C 在平面内旋转,过点B 作AD 的垂线,交射线AD 于点E ．若1CD =,则AE 的最大值为_________,最小值为_________.三、解答题（本大题共8个小题,共75分）16. （1）计算(01 （2）化简:231124a a a +⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭． 17. 为提升学生体质健康水平,促进学生全面发展,学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中,甲、乙两名队员表现优异,他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下．技术统计表根据以上信息,回答下列问题．（1）这六场比赛中,得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）;甲队员得分的中位数为27.5分,乙队员得分的中位数为________分．（2）请从得分方面分析:这六场比赛中,甲、乙两名队员谁的表现更好．（3）规定“综合得分”为:平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误()1⨯-,且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法,比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 18. 如图,矩形ABCD 的四个顶点都在格点（网格线的交点）上,对角线AC ,BD 相交于点E,反比例函数()0k y x x=>的图象经过点A ．（1）求这个反比例函数的表达式．（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A 的三个格点,再画出反比例函数的图象． （3）将矩形ABCD 向左平移,当点E 落在这个反比例函数的图象上时,平移的距离为________．19. 如图,在Rt ABC △中,CD 是斜边AB 上的中线,∥BE DC 交AC 的延长线于点E ．（1）请用无刻度的直尺和圆规作ECM ∠,使ECM A ∠=∠,且射线CM 交BE 于点F （保留作图痕迹,不写作法）．（2）证明（1）中得到的四边形CDBF 是菱形20. 如图1,塑像AB 在底座BC 上,点D 是人眼所在的位置．当点B 高于人的水平视线DE 时,由远及近看塑像,会在某处感觉看到的塑像最大,此时视角最大．数学家研究发现:当经过A,B 两点的圆与水平视线DE 相切时（如图2）,在切点P 处感觉看到的塑像最大,此时APB ∠为最大视角．图1 图2（1）请仅就图2的情形证明APB ADB ∠>∠．（2）经测量,最大视角APB ∠为30︒,在点P 处看塑像顶部点A 的仰角APE ∠为60︒,点P 到塑像的水平距离PH 为6m ．求塑像AB 的高（结果精确到0.1m ．参考数据 1.73≈）． 21. 为响应“全民植树增绿,共建美丽中国”的号召,学校组织学生到郊外参加义务植树活动,并准备了A,B 两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为50g ,营养成分表如下．（1）若要从这两种食品中摄入4600kJ 热量和70g 蛋白质,应选用A,B 两种食品各多少包？ （2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包,要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g ,且热量最低,应如何选用这两种食品？ 22. 从地面竖直向上发射的物体离地面的高度()m h 满足关系式205h t v t =-+,其中()s t 是物体运动的时间,()0m /s v 是物体被发射时的速度．社团活动时,科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．（1）小球被发射后_________s 时离地面的高度最大（用含0v 的式子表示）．（2）若小球离地面的最大高度为20m ,求小球被发射时的速度．（3）按（2）中的速度发射小球,小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说:“这两次间隔的时间为3s ．”已知实验楼高15m ,请判断他的说法是否正确,并说明理由． 23. 综合与实践在学习特殊四边形的过程中,我们积累了一定的研究经验,请运用已有经验,对“邻等对补四边形”进行研究定义:至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．（1）操作判断用分别含有30︒和45︒角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形,其中是邻等对补四边形的有________（填序号）．（2）性质探究根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2,四边形ABCD 是邻等对补四边形,AB AD =,AC 是它的一条对角线．∠写出图中相等的角,并说明理由∠若BC m =,DC n =,2BCD θ∠=,求AC 的长（用含m,n,θ的式子表示）．（3）拓展应用如图3,在Rt ABC △中,90B ,3AB =,4BC =,分别在边BC ,AC 上取点M,N,使四边形ABMN 是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时,请直接写出BN 的长．2024年河南省中考数学真题试卷答案一、选择题（每小题3分,共30分.下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的） 1. 【答案】A2. 【答案】C3. 【答案】B4. 【答案】A5. 【答案】A6. 【答案】B7. 【答案】D8. 【答案】D9. 【答案】C10. 【答案】C【解析】解∠根据图1知:当440W P =时,2A I =,故选项A 正确,但不符合题意 根据图2知:Q 随I 的增大而增大,故选项B 正确,但不符合题意根据图2知:Q 随I 的增大而增大,但前小半段增加的幅度小,后面增加的幅度大,故选项C 错误,符合题意根据图1知:I 随P 的增大而增大,又Q 随I 的增大而增大,则P 越大,插线板电源线产生的热量Q 越多,故选项D 正确,但不符合题意故选:C ．二、填空题（每小题3分,共15分）11. 【答案】m （答案不唯一）12. 【答案】913. 【答案】1214. 【答案】()3,1015.【答案】 ∠. 1 ∠. 1【解析】解:∠90ACB ∠=︒,3CA CB == ∠190452BAC ABC ∠=∠=⨯︒=︒∠线段CD 绕点C 在平面内旋转,1CD =∠点D 在以点C 为圆心,1为半径的圆上∠BE AE ⊥∠90AEB ∠=︒∠点E 在以AB 为直径的圆上在Rt ABE △中,cos AE AB BAE =⋅∠∠AB 为定值∠当cos BAE ∠最大时,AE 最大,cos BAE ∠最小时,AE 最小 ∠当AE 与C 相切于点D,且点D 在ABC 内部时,BAE ∠最小,AE 最大,连接CD ,CE ,如图所示:则CD AE ⊥∠90ADE CDE ∠=∠=︒∠AD ==∠AC AC =∠45CED ABC ==︒∠∠∠90CDE ∠=︒∠CDE 为等腰直角三角形∠1DE CD ==∠1AE AD DE =+=+即AE 的最大值为1当AE 与C 相切于点D,且点D 在ABC 外部时,BAE ∠最大,AE 最小,连接CD ,CE ,如图所示:则CD AE ⊥∠90CDE ∠=︒∠AD ==∠四边形ABCE 为圆内接四边形 ∠180135CEA ABC =︒-=︒∠∠∠18045CED CEA =︒-=︒∠∠∠90CDE ∠=︒∠CDE 为等腰直角三角形∠1DE CD ==∠1AE AD DE =-=-即AE 的最小值为1故答案为:1;1．三、解答题（本大题共8个小题,共75分） 16. 【答案】（1）9（2）2a +17. 【答案】（1）甲 29（2）甲 （3）乙队员表现更好 18. 【答案】（1）6y x= （2）见解析 （3）92【小问1详解】解:反比例函数k y x =的图象经过点()3,2A ∠23k = ∠6k = ∠这个反比例函数的表达式为6y x =【小问2详解】解:当1x =时,6y =当2x =时,3y =当6x =时,1y =∠反比例函数6y x=的图象经过()1,6,()2,3,()6,1 画图如下:【小问3详解】解:∠()6,4E 向左平移后,E 在反比例函数的图象上∠平移后点E 对应点的纵坐标为4当4y =时,64x=解得32x = ∠平移距离为39622-=．故答案为:92．19. 【答案】（1）见解析（2）见解析【小问1详解】解:如图【小问2详解】证明:∠ECM A∠=∠∠CM AB∥∠∥BE DC∠四边形CDBF是平行四边形∠在Rt ABC△中,CD是斜边AB上的中线∠12 CD BD AB ==∠平行四边形CDBF是菱形．20. 【答案】（1）见解析（2）塑像AB的高约为6.9m 【小问1详解】证明:如图,连接BM．则AMB APB∠=∠．∠AMB ADB∠>∠∠APB ADB ∠>∠．【小问2详解】解:在Rt AHP 中,60APH ∠=︒,6PH =． ∠tan AH APH PH∠=∠tan 606AH PH =⋅︒==∠30APB ∠=︒∠603030BPH APH APB ∠=∠-∠=︒-︒=︒．在Rt BHP △中,tan BH BPH PH ∠=∠tan 306BH PH =⋅︒==∠()4 1.73 6.9m AB AH BH =-==≈⨯≈．答:塑像AB 的高约为6.9m ．21. 【答案】（1）选用A 种食品4包,B 种食品2包（2）选用A 种食品3包,B 种食品4包【小问1详解】解:设选用A 种食品x 包,B 种食品y 包根据题意,得7009004600,101570.x y x y +=⎧⎨+=⎩解方程组,得4,2.x y =⎧⎨=⎩答:选用A 种食品4包,B 种食品2包．【小问2详解】解:设选用A 种食品a 包,则选用B 种食品()7-a 包根据题意,得()1015790a a +-≥．∠3a ≤．设总热量为kJ w ,则()70090072006300w a a a =+-=-+．∠2000-<∠w 随a 的增大而减小．∠当3a =时,w 最小．∠7734a -=-=．答:选用A 种食品3包,B 种食品4包．22. 【答案】（1）010v （2）()20m /s（3）小明的说法不正确,理由见解析【小问1详解】解:205h t v t =-+220051020v v t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ ∠当010v t =时,h 最大 故答案为:010v 【小问2详解】解:根据题意,得 当010v t =时,20h = ∠20005201010v v v ⎛⎫-⨯+⨯= ⎪⎝⎭∠()020m /s v =（负值舍去）【小问3详解】解:小明的说法不正确．理由如下:由（2）,得2520h t t =-+当15h =时,215520t t =-+解方程,得11t =,23t =∠两次间隔的时间为312s -=∠小明的说法不正确．23. 【答案】（1）∠∠ （2）∠ACD ACB ∠=∠．理由见解析;∠2cos m n θ+（3）5或7 【小问1详解】解:观察图知,图∠和图∠中不存在对角互补,图2和图4中存在对角互补且邻边相等 故图∠和图∠中四边形是邻等对补四边形故答案为:∠∠【小问2详解】解:∠ACD ACB ∠=∠,理由:延长CB 至点E,使BE DC =,连接AE∠四边形ABCD 是邻等对补四边形∠180ABC D ∠+∠=︒∠180ABC ABE ∠+∠=︒∠ABE D ∠=∠∠AB AD =∠()SAS ABE ADC ≌∠E ACD ∠=∠,AE AC =∠E ACB ∠=∠∠ACD ACB ∠=∠∠过A 作AF EC ⊥于F∠AE AC = ∠()()1112222m n CF CE BC BE BC DC +==+=+= ∠2BCD θ∠=∠ACD ACB θ∠=∠=在Rt AFC △中,cos CF θAC= ∠cos 2cos CF m n AC θθ+== 【小问3详解】解:∠90B ,3AB =,4BC =∠5AC∠四边形ABMN 是邻等对补四边形 ∠180ANM B ∠+∠=︒∠90ANM =︒当AB BM =时,如图,连接AM ,过N 作NH BC ⊥于H∠22218AM AB BM =+=在Rt AMN 中222218MN AM AN AN =-=- 在Rt CMN 中()()22222435MN CM CN AN =-=--- ∠()()22218435AN AN -=--- 解得 4.2AN = ∠45CN = ∠90NHC ABC ∠=∠=︒,C C ∠=∠ ∠NHC ABC ∽534∠1225NH =,1625CH = ∠8425BH =∠BN ==当AN AB =时,如图,连接AM∠AM AM =∠Rt Rt ABM ANM ≌ ∠BM NM =,故不符合题意,舍去 当AN MN =时,连接AM ,过N 作NH BC ⊥于H∠90MNC ABC ∠=∠=︒,C C ∠=∠ ∠CMN CAB ∽△△ ∠CN MN BC AB =,即543CN CN -= 解得207CN =∠90NHC ABC ∠=∠=︒,C C ∠=∠ ∠NHC ABC ∽534∠127NH =,167CH = ∠127BH =∠BN ==当BM MN =时,如图,连接AM∠AM AM =∠Rt Rt ABM ANM ≌ ∠AN AB =,故不符合题意,舍去综上,BN 的长为5或7．。
2024年天津市中考数学真题试卷及答案
2024年天津市中考数学真题试卷一、选择题（本大题共12小题,每小题3分,共36分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.计算()33--的结果是（）A.6B.3C.0D.－62.下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形,它的主视图是（）A. B.C. D.3.的值在（）A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间4.在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是（）A. B. C. D.5.据2024年4月18日《天津日报》报道,天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计,今春过境我市候鸟总数已超过800000只．将数据800000用科学记数法表示应为（）A.70.0810⨯B.60.810⨯C.5810⨯D.48010⨯1-的值等于（）A.0B.1C.12- 17.计算3311x x x ---的结果等于（） A.3 B.x C.1x x - D.231x - 8.若点()()()123,1,,1,,5A x B x C x -都在反比例函数5y x =的图象上,则123,,x x x 的大小关系是（） A.123x x x << B.132x x x << C.321x x x <<D.213x x x << 9.《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍,其中有一道题:“今有木,不知长短．引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳度之,不足一尺．木长几何？”意思是:用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量长木,长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x 尺,绳子长y 尺,则可以列出的方程组为（）A. 4.50.51y x x y -=⎧⎨-=⎩B. 4.50.51y x x y -=⎧⎨+=⎩C. 4.51x y x y +=⎧⎨-=⎩D. 4.51x y y x +=⎧⎨-=⎩10.如图,Rt ABC △中,90,40C B ∠=︒∠=︒,以点A 为圆心,适当长为半径画弧,交AB 于点E ,交AC 于点F ;再分别以点,E F 为圆心,大于12EF 的长为半径画弧,两弧（所在圆的半径相等）在BAC ∠的内部相交于点P ;画射线AP ,与BC 相交于点D ,则ADC ∠的大小为（）A.60B.65C.70D.7511.如图,ABC 中,30B ∠=,将ABC 绕点C 顺时针旋转60得到DEC ,点,A B 的对应点分别为,D E ,延长BA 交DE 于点F ,下列结论一定正确的是（）A.ACB ACD ∠=∠B.AC DE ∥C.AB EF =D.BF CE ⊥12.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h （单位:m ）与小球的运动时间t （单位:s ）之间的关系式是()230506h t t t =-≤≤．有下列结论:①小球从抛出到落地需要6s①小球运动中的高度可以是30m①小球运动2s 时的高度小于运动5s 时的高度．其中,正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.3第II 卷二、填空题（本大题共6小题,每小题3分,共18分）13.不透明袋子中装有10个球,其中有3个绿球,4个黑球,3个红球,这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球,则它是绿球的概率为______．14.计算86x x ÷的结果为______．15.计算)11的结果为___． 16.若正比例函数y kx =（k 是常数,0k ≠）的图象经过第一、第三象限,则k 的值可以是_____________（写出一个即可）．17.如图,正方形ABCD 的边长为对角线,AC BD 相交于点O ,点E 在CA 的延长线上,5OE =,连接DE ．（1）线段AE 的长为______（2）若F 为DE 的中点,则线段AF 的长为______．18.如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,点,,A F G 均在格点上．（1）线段AG 的长为______（2）点E 在水平网格线上,过点,,A E F 作圆,经过圆与水平网格线的交点作切线,分别与,AE AF 的延长线相交于点,,B C ABC △中,点M 在边BC 上,点N 在边AB 上,点P 在边AC 上．请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中,画出点,,M N P ,使MNP △的周长最短,并简要说明点,,M N P 的位置是如何找到的（不要求证明）______．三、解答题（本大题共7小题,共66分．解答应写出文字说明,演算步骤或推理过程） 19.解不等式组213317x x x +≤⎧⎨-≥-⎩①②请结合题意填空,完成本题的解答．（1）解不等式①,得______（2）解不等式①,得______（3）把不等式①和①的解集在数轴上表示出来:（4）原不等式组的解集为______．20.为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位:h ）,随机调查了该校八年级a 名学生,根据统计的结果,绘制出如下的统计图①和图①．请根据相关信息,解答下列问题:（1）填空:a 的值为______,图①中m 的值为______,统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______（2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数（3）根据样本数据,若该校八年级共有学生500人,估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h 的人数约为多少？21.已知AOB 中,30,ABO AB ∠=︒为O 的弦,直线MN 与O 相切于点C ．（1）如图①,若AB MN ∥,直径CE 与AB 相交于点D ,求AOB ∠和BCE ∠的大小（2）如图①,若,OB MN CG AB ⊥∥,垂足为,G CG 与OB 相交于点,3F OA =,求线段OF 的长． 22.综合与实践活动中,要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB 的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案:如图①,点,,C D E 依次在同一条水平直线上,36m,DE EC AB =⊥,垂足为C ．在D 处测得桥塔顶部B 的仰角（CDB ∠）为45︒,测得桥塔底部A 的俯角（CDA ∠）为6︒,又在E 处测得桥塔顶部B 的仰角（CEB ∠）为31︒．（1）求线段CD 的长（结果取整数）（2）求桥塔AB 的高度（结果取整数）．参考数据:tan310.6,tan60.1︒≈︒≈．23.已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上,画社离家0.6km ,文化广场离家1.5km ．张华从家出发,先匀速骑行了4min 到画社,在画社停留了15min ,之后匀速骑行了6min 到文化广场,在文化广场停留6min 后,再匀速步行了20min 返回家．下面图中x 表示时间,y 表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息,回答下列问题:（1）①填表:①填空:张华从文化广场返回家的速度为______km /min①当025x ≤≤时,请直接写出张华离家的距离y 关于时间x 的函数解析式（2）当张华离开家8min 时,他的爸爸也从家出发匀速步行了20min 直接到达了文化广场,那么从画社到文化广场的途中()0.6 1.5y <<两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）24.将一个平行四边形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中,点()0,0O ,点()3,0A ,点,B C 在第一象限,且2,60OC AOC ∠==．（1）填空:如图①,点C 的坐标为______,点B 的坐标为______（2）若P 为x 轴的正半轴上一动点,过点P 作直线l x ⊥轴,沿直线l 折叠该纸片,折叠后点O 的对应点O '落在x 轴的正半轴上,点C 的对应点为C '．设OP t =．①如图①,若直线l 与边CB 相交于点Q ,当折叠后四边形PO C Q ''与OABC 重叠部分为五边形时,O C ''与AB 相交于点E ．试用含有t 的式子表示线段BE 的长,并直接写出t 的取值范围①设折叠后重叠部分的面积为S ,当21134t ≤≤时,求S 的取值范围（直接写出结果即可）． 25.已知抛物线()20y ax bx c a b c a =++>，，为常数，的顶点为P ,且20a b +=,对称轴与x 轴相交于点D ,点(),1M m 在抛物线上,1m O >，为坐标原点．（1）当11a c ==-，时,求该抛物线顶点P 的坐标（2）当2OM OP ==,求a 的值 （3）若N 是抛物线上的点,且点N 在第四象限,90MDN DM DN ∠=︒=，,点E 在线段MN 上,点F在线段DN 上,NE NF +=,当DE MF +,求a 的值．2024年天津市中考数学真题试卷答案解析一、选择题.1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】A7.【答案】A8.【答案】B9.【答案】A10.【答案】B11.【答案】D【解析】解:记BF 与CE 相交于一点H,如图所示:①ABC 中,将ABC 绕点C 顺时针旋转60得到DEC ①60BCE ACD ∠=∠=︒①30B ∠=︒①在BHC 中,18090BHC BCE B ∠=︒-∠-∠=︒ ①BF CE ⊥故D 选项是正确的,符合题意设ACH x ∠=︒①60ACB x ∠=︒-︒，①30B ∠=︒①()180306090EDC BAC x x ∠=∠=︒-︒-︒-︒=︒+︒①9060150EDC ACD x x ∠+∠=︒+︒+︒=︒+︒ ①x ︒不一定等于30︒①EDC ACD ∠+∠不一定等于180︒①AC DE ∥不一定成立故B 选项不正确,不符合题意①6060ACB x ACD x ∠=︒-︒∠=︒︒，，不一定等于0︒ ①ACB ACD ∠=∠不一定成立故A 选项不正确,不符合题意①将ABC 绕点C 顺时针旋转60得到DEC ①AB ED EF FD ==+①BA EF >故C 选项不正确,不符合题意故选:D12.【答案】C【解析】解:令0h =,则23050t t -=,解得:10t =,26t = ①小球从抛出到落地需要6s ,故①正确①()223055345h t t t =-=--+①最大高度为45m①小球运动中的高度可以是30m ,故①正确 当2t =时,23025240h =⨯-⨯=;当5t =时,23055525h =⨯-⨯= ①小球运动2s 时的高度大于运动5s 时的高度,故①错误 故选C ． 二、填空题.13.【答案】31014.【答案】2x15.【答案】1016.【答案】1（答案不唯一）【解析】17.【答案】【解析】（1）四边形ABCD 是正方形 OA OC OD OB ∴===,90DOC ∠=︒ ∴在Rt DOC 中,222OD OC DC += 3DC =3OD OC OA OB ∴====5OE =∴532AE OE OA =-=-=（2）延长DA 到点G ,使AG AD =,连接EG 由E 点向AG 作垂线,垂足为H①F 为DE 的中点,A 为GD 的中点 ①AF 为DGE △的中位线在Rt EAH △中,45EAH DAC ∠=∠=︒ AH EH ∴=222AH EH AE +=AH EH ∴==GH AG AH ∴=-== 在Rt EHG △中,2222810EG EH GH ∴=+=+=∴=EG AF 为DGE △的中位线12AF EG ∴==18.【答案】①.图见解析,说明见解析【解析】（1）由勾股定理可知,AG ==故答案为（2）如图,根据题意,切点为M ;连接ME 并延长,与网格线相交于点1M ;取圆与网格线的交点D 和格点H ,连接DH 并延长,与网格线相交于点2M ;连接12M M ,分别与,AB AC 相交于点,N P ,则点,,M N P 即为所求．三、解答题.19.【答案】（1）1x ≤（2）3x ≥-（3）见解析（4）31x -≤≤【解析】【小问1详解】解:解不等式①得1x ≤故答案为:1x ≤【小问2详解】解:解不等式①得3x ≥-故答案为:3x ≥-【小问3详解】解:在数轴上表示如下:【小问4详解】解:由数轴可得原不等式组的解集为31x -≤≤故答案为:31x -≤≤．20.【答案】（1）50,34,8,8（2）8.36（3）150人【小问1详解】解:36%50÷=（人)%1750100%34%m =÷⨯=34m ∴=在这组数据中,8出现了17次,次数最多∴众数是8将这组数据从小到大依次排列,处于最中间的第25,26名学生的分数都是8∴中位数是(88)28+÷=故答案为:50,34,8,8．【小问2详解】 63778179151088.36,3717158x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==++++ ∴这组数据的平均数是8.36．【小问3详解】在所抽取的样本中,每周参加科学教育的时间是9h 的学生占30%∴根据样本数据,估计该校八年级学生500人中,每周参加科学教育的时间是9h 的学生占30%,有50030%150⨯=．∴估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h 的人数约为150．21.【答案】（1）120AOB ∠=︒;30BCE ∠=︒（2【小问1详解】AB 为O 的弦OA OB ∴=．得A ABO ∠=∠．△AOB 中,180A ABO AOB ∠+∠+∠=︒又30ABO ∠=︒1802120AOB ABO ∴∠=︒-∠=︒．直线MN 与O 相切于点,C CE 为O 的直径CE MN ∴⊥．即90ECM ∠=︒．又AB MN ∥90CDB ECM ∴∠=∠=︒．在Rt ODB 中,9060BOE ABO ∠=︒-∠=︒．12BCE BOE ∠∠=30BCE ∴∠=︒．【小问2详解】如图,连接OC ．∵直线MN 与O 相切于点,C CE 为O 的直径①90OCM ∠=︒①//OC MN①90OCM COB ∠=∠=︒．CG AB ⊥,得90FGB ∠=︒．∴在Rt FGB 中,由30ABO ∠=︒得9060BFG ABO ∠=︒-∠=︒．60CFO BFG ∴∠=∠=︒．在Rt COF △中,tan ,3OC CFO OC OA OF∠=== 33tan tan60OC OF CFO ∠∴=== 22.【答案】（1）54m（2）59m【小问1详解】解:设CD x =,由36DE =,得36CE CD DE x =+=+．EC AB ⊥,垂足为C90BCE ACD ∠∠∴==︒．在Rt BCD 中,tan 45BC CDB CDB CD∠=∠=︒， tan tan45BC CD CDB x x ∠∴=⋅=⋅︒=． 在Rt BCE 中,tan 31BC CEB CEB CE ∠=∠=︒， ()tan 36tan31BC CE CEB x ∴=⋅∠=+⋅︒．()36tan31x x ∴=+⋅︒． 得36tan31360.6541tan3110.6x ⨯︒⨯=≈=-︒-． 答:线段CD 的长约为54m ．【小问2详解】在Rt ACD △中,tan 6AC CDA CDA CD∠=∠=︒， tan 54tan6540.1 5.4AC CD CDA ∠∴=⋅≈⨯︒≈⨯=．5.45459AB AC BC ∴=+≈+≈．答:桥塔AB 的高度约为59m ．23.【答案】（1）①0.15,0.6,1.5;①0.075;①当04x ≤≤时,0.15y x =;当419x <≤时,0.6y =;当1925x <≤时,0.15 2.25y x =-（2）1.05km【小问1详解】解:①画社离家0.6km ,张华从家出发,先匀速骑行了4min 到画社①张华的骑行速度为()0.640.15km /min ÷=①张华离家1min 时,张华离家0.1510.15km ⨯=张华离家13min 时,还在画社,故此时张华离家还是0.6km张华离家30min 时,在文化广场,故此时张华离家还是1.5km ．故答案为:0.15,0.6,1.5.①()1.5 5.1 3.10.075km /min ÷-=故答案为:0.075．①当04x ≤≤时,张华的匀速骑行速度为()0.640.15km /min ÷=①0.15y x =当419x <≤时,0.6y =当1925x <≤时,设次数的函数解析式为:y kx b =+把()19,0.6,()25,1.5代入y kx b =+,可得出:190.625 1.5k b k b +=⎧⎨+=⎩解得:0.152.25k b =⎧⎨=-⎩ ①0.15 2.25y x =-综上:当04x ≤≤时,0.15y x =,当419x <≤时,0.6y =,当1925x <≤时,0.15 2.25y x =-．【小问2详解】张华爸爸的速度为:()1.5200.075km /min ÷=设张华爸爸距家km y ',则()0.07580.0750.6y x x =-=-'当两人从画社到文化广场的途中()0.6 1.5y <<两人相遇时,有600.1.005 2..2575x x --= 解得:22x =①()0.07580.0750.60.075220.6 1.05km y x x =-=-=⨯-='故从画社到文化广场的途中()0.6 1.5y <<两人相遇时离家的距离是1.05km ．24.【答案】（1）((,（2）①3522t <<S ≤≤ 【小问1详解】解:如图:过点C 作CH OA ⊥①四边形OABC 是平行四边形,2,60OC AOC ∠==,()3,0A①2360OC AB OA B AOC ====∠=∠=︒，CB ，，①CH OA ⊥①30OCH ∠=︒ ①112OH OC ==①CH①(1C①3CB OA ==①134+=①(4B故答案为:(,(4 【小问2详解】解:①①过点P 作直线l x ⊥轴,沿直线l 折叠该纸片,折叠后点O 的对应点O '落在x 轴的正半轴上 ①60OO C AOC ''∠=∠=︒,O P OP '=①22OO OP t =='①()3,0A①3OA =①23AO OO OA t ''=-=-①四边形OABC 为平行四边形①2AB OC ==,AB OC ∥,60O AB AOC '∠=∠=︒①EO A '是等边三角形①23AE AO t '==-①BE AB AE =-①()22352BE AB AE t t =-=--=-①25BE t =-+当O '与点A 重合时此时AB 与C O ''的交点为E 与A 重合,1322OP OA == 如图:当C '与点B 重合时此时AB 与C O ''的交点为E 与B 重合,1522CB OP +== ①t 的取值范围为3522t << ①如图:过点C 作CH OA ⊥由（1）得出(C ,60COA ∠=︒①tan 60MP OP ︒=MP t =①MP =当213t ≤<时,2111222S O P OP MP t '==⨯==0>,开口向上,对称轴直线0=t①在213t ≤<时,2S =随着t 的增大而增大①92S ≤< 当312t ≤≤时,如图:()()())111121222S O P MC MP OP CM MP t t t =+⨯''=+⨯=+-=-=0>,S 随着t 的增大而增大①在32t =时32S ===在1t =时1S ==①当312t ≤≤时,2S ≤≤ ①当3522t <<时,过点E 作,如图:①由①得出EO A '是等边三角形,EN AO ⊥ ①()11323222AN AO t t ==-=-'①tan EAO '∠=EN AN =①32EN t ⎫=-⎪⎭12S AO EN '=-⨯⨯()1323222t t ⎡⎤⎫=----⎪⎢⎥⎭⎣⎦24=+-①0<①开口向下,在2t ==时,S 有最大值①42S =+=①在3522t <<时,352222-=-①23322S ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭则在3522t <<时4S <≤ 当51124t ≤≤时,如图()()11232522S AO BC MP t t =-⨯+⨯=--⨯--=+'+'①0<,S 随着t 的增大而减小①在51124t ≤≤时,则把51124t t ==，分别代入2S =+得出52S =+=114S =+=①在51124t ≤≤时S ≤≤综上S ≤≤25.【答案】（1）该抛物线顶点P 的坐标为1,2 （2）10（3）1【小问1详解】解:201a b a +==，,得22b a =-=-．又1c =- ∴该抛物线的解析式为221y x x =--． ()222112y x x x =--=--∴该抛物线顶点P 的坐标为()1,2-【小问2详解】解:过点(),1M m 作MH x ⊥轴,垂足为1H m >，则901MHO HM OH m ∠=︒==，，．在Rt MOH 中,由222HM OH OM OM +==， 221m ∴+=⎝⎭．解得123322m m ==-，（舍）． ∴点M 的坐标为3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭． 20a b +=,即12b a -=．∴抛物线22y ax ax c =-+的对称轴为1x =．对称轴与x 轴相交于点D ,则190OD ODP ∠==︒，．在Rt OPD 中,由222OD PD OP OP +==， 221PD ∴+=⎝⎭．解得32PD =负值舍去． 由0a >,得该抛物线顶点P 的坐标为31,2⎛⎫-⎪⎝⎭． ∴该抛物线的解析式为()2312y a x =--． 点3,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在该抛物线上,有2331122a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 10a ∴=【小问3详解】解:过点(),1M m 作MH x ⊥轴,垂足为1H m >，则901MHO HM OH m ∠=︒==，，．1DH OH OD m ∴=-=-．∴在Rt DMH △中,()222211DM DH HM m =+=-+． 过点N 作NK x ⊥轴,垂足为K ,则90DKN ∠=︒．90MDN DM DN ∠=︒=，,又90DNK NDK MDH ∠∠∠=︒-= NDK DMH ∴≌△△．①1DK MH ==,1NK DH m ==-①点N 的坐标为()2,1m -．在Rt DMN △中,45DMN DNM ∠=∠=︒22222MN DM DN DM =+=,即MN =．根据题意,NE NF +=,得ME NF =．在DMN 的外部,作45DNG DME ∠=∠=︒,且NG DM =,连接GF 得90MNG DNM DNG ∠∠∠︒=+=．GNF DME ∴≌△△．①GF DE =．DE MF GF MF GM ∴+=+≥．当满足条件的点F 落在线段GM 上时,DE MF +取得最小值,即GM =． 在Rt GMN △中,22223GM NG MN DM =+=223DM ∴=．得25DM =．()2115m ∴-+=．解得1231m m ==-，（舍）． ∴点M 的坐标为()3,1,点N 的坐标为()2,2-． 点()()3,12,2M N -，都在抛物线22y ax ax c =-+上 得196,244a a c a a c =-+-=-+．1a ∴=．。
2024年北京市中考数学试卷真题及其答案
2024年北京市中考数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC．若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为（）A．29°B．32°C．45°D．58°3．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．b＞﹣1B．|b|＞2C．a+b＞0D．ab＞04．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（）A．﹣16B．﹣4C．4D．165．（2分）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（）A．B．C．D．6．（2分）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设．北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为4×1017Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到mFlops，则m的值为（）A．8×1016B．2×1017C．5×1017D．2×10187．（2分）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法．（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．上述方法通过判定△C ′O ′D ′≌△COD 得到∠A ′O ′B ′＝∠AOB ，其中判定△C ′O ′D ′≌△COD 的依据是（）A．三边分别相等的两个三角形全等B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等8．（2分）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，O 为对角线的交点．将菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转90°得到菱形A ′B ′C ′D ′，两个菱形的公共点为E ，F ，G ，H ．对八边形BFB ′GDHD ′E 给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O 到该八边形各顶点的距离都相等；④点O 到该八边形各边所在直线的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是．10．（2分）分解因式：x 3﹣25x ＝．11．（2分）方程的解为．12．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，若函数的图象经过点（3，y 1）和（﹣3，y 2），则y 1+y 2的值是．13．（2分）某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g ），得到的数据如下：50.0349.9850.0049.9950.0249.9950.0149.9750.0050.02当一个工件的质量x （单位：g ）满足49.98≤x ≤50.02时，评定该工件为一等品．根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是．14．（2分）如图，⊙O 的直径AB 平分弦CD （不是直径）．若∠D ＝35°，则∠C ＝°．15．（2分）如图，在正方形ABCD 中，点E 在AB 上，AF ⊥DE 于点F ，CG ⊥DE 于点G ．若AD ＝5，CG ＝4，则△AEF 的面积为．第14题第15题16．（2分）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下：节目A B C D演员人数102101彩排时长30102010已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“A﹣B﹣C﹣D”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按的先后顺序彩排．三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知a﹣b﹣1＝0，求代数式的值．20．（6分）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC．（1）求证：四边形AFCD为平行四边形；（2）若∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，EF＝1，求BC的长．21．（6分）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，A，B两类物质排放量之和不超过50mg/km．已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km．经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排放量之和为40mg/km．判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣kx+3的图象交于点（2，1）．（1）求k，b的值；（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既大于函数y＝kx+b的值，也大于函数y＝﹣kx+3的值，直接写出m的取值范围．23．（5分）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段．（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．教师评委打分：86889091919191929298b．学生评委打分的频数分布直方图如图（数据分6组：第1组82≤x＜85，第2组85≤x＜88，第3组88≤x＜91，第4组91≤x＜94，第5组94≤x＜97，第6组97≤x≤100）：c．评委打分的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数教师评委9191m学生评委90.8n93根据以上信息，回答下列问题：①m的值为，n的值位于学生评委打分数据分组的第组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则91（填“＞”“＝”或“＜”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前.5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评委1评委2评委3评委4评委5甲9390929392乙9192929292丙90949094k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是，表中k（k为整数）的值为．24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD平分∠AOC．（1）求证：OD∥BC；（2）延长DO交⊙O于点E，连接CE交OB于点F，过点B作⊙O的切线交DE的延长线于点P．若，PE＝1，求⊙O半径的长．25．（5分）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯）．在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来．新水杯（记为2号杯）示意图如图．当1号杯和2号杯中都有VmL 水时，小云分别记录了1号杯的水面高度h 1（单位：cm ）和2号杯的水面高度h 2单位：cm ），部分数据如下：V /mL 040100200300400500h 1/cm 0 2.5 5.07.510.012.5h 2/cm2.8 4.87.28.910.511.8（1）补全表格（结果保留小数点后一位）；（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画h 1与V ，h 2与V 之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①当1号杯和2号杯中都有320mL 水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为cm （结果保留小数点后一位）；②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为cm （结果保留小数点后一位）．26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2﹣2a 2x （a ≠0）．（1）当a ＝1时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）是抛物线上的两点．若对于x 1＝3a ，3≤x 2≤4，都有y 1＜y 2，求a 的取值范围．27．（7分）已知∠MAN ＝α（0°＜α＜45°），点B ，C 分别在射线AN ，AM 上，将线段BC 绕点B 顺时针旋转180°﹣2α得到线段BD ，过点D 作AN 的垂线交射线AM 于点E ．（1）如图1，当点D 在射线AN 上时，求证：C 是AE 的中点；（2）如图2，当点D 在∠MAN 内部时，作DF ∥AN ，交射线AM 于点F ，用等式表示线段EF 与AC 的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于⊙O 的弦AB 和不在直线AB 上的点C ，给出如下定义：若点C 关于直线AB 的对称点C ′在⊙O 上或其内部，且∠ACB ＝α，则称点C 是弦AB 的“α可及点”．（1）如图，点A （0，1），B （1，0）．①在点C 1（2，0），C 2（1，2），中，点是弦AB 的“α可及点”，其中α＝°；②若点D 是弦AB 的“90°可及点”，则点D 的横坐标的最大值为；（2）已知P 是直线上一点，且存在⊙O 的弦MN ，使得点P 是弦MN 的“60°可及点”．记点P 的横坐标为t ，直接写出t 的取值范围．2024年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；B、图形是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；C、图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；D、图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，故选：B．2．（2分）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC．若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为（）A．29°B．32°C．45°D．58°【解答】解：∵OE⊥OC，∴∠COE＝∠DOE＝90°，∵∠BOD＝∠AOC＝58°，∴∠EOB＝90°﹣58°＝32°．故选：B．3．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．b＞﹣1B．|b|＞2C．a+b＞0D．ab＞0【解答】解：由数轴得，﹣2＜b＜﹣1，2＜a＜3，∴|b|＜2，a+b＞0，ab＜0，故选：C．4．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（）A．﹣16B．﹣4C．4D．16【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝（﹣4）2﹣4c＝0，解得c＝4．故选：C．5．（2分）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：列表如下：红黄红（红，红）（红，黄）黄（黄，红）（黄，黄）共有4种等可能的结果，其中两次摸出的都是红球的结果有1种，∴两次摸出的都是红球的概率为．故选：A．6．（2分）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设．北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为4×1017Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到mFlops，则m的值为（）A．8×1016B．2×1017C．5×1017D．2×1018【解答】解：由题意可得：4×1017×5＝2×1018．故选：D．7．（2分）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法．（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是（）A．三边分别相等的两个三角形全等B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等【解答】解：由作图过程可得，OC＝OD＝O'C'＝O'D'，C'D'＝CD，∴△C′O′D′≌△COD（SSS），∴判定△C′O′D′≌△COD的依据是三边分别相等的两个三角形全等．故选：A．8．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，O为对角线的交点．将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A′B′C′D′，两个菱形的公共点为E，F，G，H．对八边形BFB′GDHD′E给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O到该八边形各顶点的距离都相等；④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【解答】解：延长BD和DB，连接OH，∵菱形ABCD，∠BAD＝60°，∴∠BAO＝∠DAO＝30°，∠AOD＝∠AOB＝90°，∵菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A'B'C'D'，∴点A′，D′，B′，C′一定在对角线AC，BD上，且OD＝OD'＝OB＝OB'，OA＝OA'＝OC＝OC'，∴AD'＝C'D，∠D'AH＝∠DC'H＝30°，∵∠D′HA＝∠DHC′，∴△AD'H≌△C'DH（AAS），∴D′H＝DH，C′H＝AH，同理可证D'E＝BE，BF＝B'F，B'G＝DG，∵∠EA'B＝∠HC'D＝30°，A′B＝C′D，∠A'BE＝∠C'DH＝120°，∴△A'BE≌△C'DH（ASA），∴DH＝BE，∴DH＝BE＝D′H＝D′E＝BF＝FB′＝B′G＝DG，∴该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平分线的性质定理，得点O到该八边形各边所在直线的距离都相等，故④正确；根据题意，得∠ED'H＝120°，∵∠D'OD＝90°，∠OD'H＝∠ODH＝60°，∴∠D'HD＝150°，∴该八边形各内角不相等，故②错误；∵OD＝OD′，D′H＝DH，OH＝OH，∴△D'OH≌△DOH（SSS），∴∠D'OH＝∠DOH＝45°，∠D'HO＝∠DHO＝75°，∴OD≠OH，∴点O到该八边形各顶点的距离不相等，故③错误；故选：B．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥9．【解答】解：根据题意得x﹣9≥0，解得：x≥9．故答案为：x≥9．10．（2分）分解因式：x3﹣25x＝x（x+5）（x﹣5）．【解答】解：x3﹣25x，＝x（x2﹣25），＝x（x+5）（x﹣5）．11．（2分）方程的解为x＝﹣1．【解答】解：x +（2x +3）＝03x +3＝0x ＝﹣1，经检验，x ＝﹣1是原方程的解．12．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，若函数的图象经过点（3，y 1）和（﹣3，y 2），则y 1+y 2的值是．【解答】解：∵函数的图象经过点（3，y 1）和（﹣3，y 2），∴y 1＝，y 2＝﹣，∴y 1+y 2＝0．故答案为：0．13．（2分）某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g ），得到的数据如下：50.0349.9850.0049.9950.0249.9950.0149.9750.0050.02当一个工件的质量x （单位：g ）满足49.98≤x ≤50.02时，评定该工件为一等品．根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是160．【解答】解：∵满足49.98≤x ≤50.02时，评定该工件为一等品，∴抽取10个工件的一等品有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02，共计8个，∴估计这200个工件中一等品的个数是200×＝160，故答案为：160．14．（2分）如图，⊙O 的直径AB 平分弦CD （不是直径）．若∠D ＝35°，则∠C ＝55°．【解答】解：设AB 与CD 相交于点E ，∵⊙O 的直径AB 平分弦CD （不是直径），∴AB ⊥CD ，∴∠DEB ＝90°，∵∠D＝35°，∴∠B＝90°﹣∠D＝55°，∴∠C＝∠B＝55°，故选：55．15．（2分）如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．若AD＝5，CG＝4，则△AEF的面积为．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝DAE＝90°，∵AF⊥DE，CG⊥DE，∴∠AFD＝∠CGD＝90°，∵∠ADF+∠CDG＝∠ADF+∠DAF，∴∠CDG＝∠DAF，∴△CDG≌△DAF（AAS），∴AF＝DG＝＝3，DF＝CG＝4，同理可得∠EAF＝∠ADF，又∠AFE＝∠AFD，∴△AFE∽△DFA，∴，即，∴EF＝，＝AE•EF＝．∴S△AEF故答案为：．16．（2分）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下：节目A B C D演员人数102101彩排时长30102010已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“A﹣B﹣C﹣D”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为60min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按B﹣D﹣C﹣A的先后顺序彩排．【解答】解：根据题意，节目D的演员的候场时间为：30+10+20＝60（min）；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按：B﹣D﹣C﹣A顺序排序，即1×10+10×10+10×20＝310（min），故答案为：60；B﹣D﹣C﹣A．三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．【解答】解：＝1+﹣2×+＝．18．（5分）解不等式组：．【解答】解：解不等式3（x﹣1）＜4+2x得，x＜7，解不等式得，x＞﹣1，所以不等式组的解集为：﹣1＜x＜7．19．（5分）已知a﹣b﹣1＝0，求代数式的值．【解答】解：∵a﹣b﹣1＝0，∴a﹣b＝1，＝＝＝＝＝＝3．20．（6分）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC．（1）求证：四边形AFCD为平行四边形；（2）若∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，EF＝1，求BC的长．【解答】（1）证明：∵E是AB的中点，∴AE＝BE，∵DF＝BF，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∴CF∥AD，∵AF∥CD，∴四边形AFCD为平行四边形；（2）解：由（1）知，EF是△ABD的中位线，∴AD＝2EF＝2，∵∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，∴BF＝3EF＝3，∵DF＝FB，∴DF＝BF＝3，∵AD∥CE，∴∠ADF＝∠EFB＝90°，∴AF＝＝，∵四边形AFCD为平行四边形，∴CD＝AF＝，∵DF＝BF，CE⊥BD，∴BC＝CD＝．21．（6分）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，A，B两类物质排放量之和不超过50mg/km．已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km．经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排放量之和为40mg/km．判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由．【解答】解：这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”，理由如下：设该汽车的A类物质排放量为x mg/km，则该汽车的B类物质排放量为（92﹣x）mg/km，根据题意得（1﹣50%）x+（1﹣75%）（92﹣x）＝40，解得x＝68，∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量（1﹣50%）x＝34，∵“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣kx+3的图象交于点（2，1）．（1）求k，b的值；（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既大于函数y＝kx+b的值，也大于函数y＝﹣kx+3的值，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣kx+3点（2，1），∴﹣2k+3＝1，解得k＝1，将点（2，1）代入y＝x+b得：2+b＝1，解得b＝﹣1．（2）∵当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既大于函数y＝x﹣1的值，也大于函数y＝﹣x+3的值，∴m≥1．∴m的取值范围是m≥1．23．（5分）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段．（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．教师评委打分：86889091919191929298b．学生评委打分的频数分布直方图如图（数据分6组：第1组82≤x＜85，第2组85≤x＜88，第3组88≤x＜91，第4组91≤x＜94，第5组94≤x＜97，第6组97≤x≤100）：c．评委打分的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数教师评委9191m学生评委90.8n93根据以上信息，回答下列问题：①m的值为91，n的值位于学生评委打分数据分组的第4组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则＜91（填“＞”“＝”或“＜”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前.5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评委1评委2评委3评委4评委5甲9390929392乙9192929292丙90949094k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是甲，表中k（k为整数）的值为92．【解答】解：（1）①由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多，故众数m＝91．45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n的值位于学生评委打分数据分组的第4组；故答案为：91；4；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则＝×（88+90+91+91+91+91+92+92）＝90.75，∴＜91．故答案为：＜；（2）甲选手的平均数为×（93+90+92+93+92）＝92，乙选手的平均数为×（91+92+92+92+92）＝91.8，∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，∴丙选手的平均数大于或等于乙选手的平均数，∵5名专业评委给乙选手的打分为91，92，92，92，92，＝×[4×（92﹣91.8）2+（91﹣91.8）2]＝0.16，乙选手的方差S2乙5名专业评委给丙选手的打分为90，94，90，94，k，∴乙选手的方差小于丙选手的方差，∴丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，∴93+90+92+93+92≥90+94+90+94+k＞91+92+92+92+92，∴92≥k＞91，∵k为整数，∴k（k为整数）的值为92，故答案为：92．24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD平分∠AOC．（1）求证：OD∥BC；（2）延长DO交⊙O于点E，连接CE交OB于点F，过点B作⊙O的切线交DE的延长线于点P．若，PE＝1，求⊙O半径的长．【解答】（1）证明：连接AC交OD于H，∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD，∴＝，∴OD⊥AC，∴OD∥BC；（2）解：∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴＝，∴设OE＝5x，BC＝6x，∵AO＝OB，OH∥BC，∴AH＝CH，∴OH＝BC＝3x，∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP＝90，∴∠PBO＝∠AHO，∵∠BOP＝∠AOH，∴△AOH∽△POB，∴，∴，∴x ＝或x ＝0（不合题意舍去），∴OE ＝，∴⊙O 半径的长为．25．（5分）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯）．在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来．新水杯（记为2号杯）示意图如图．当1号杯和2号杯中都有VmL 水时，小云分别记录了1号杯的水面高度h 1（单位：cm ）和2号杯的水面高度h 2单位：cm ），部分数据如下：V /mL 040100200300400500h 1/cm 0 2.5 5.07.510.012.5h 2/cm2.8 4.87.28.910.511.8（1）补全表格（结果保留小数点后一位）；（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画h 1与V ，h 2与V 之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①当1号杯和2号杯中都有320mL 水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为 1.2cm （结果保留小数点后一位）；②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为8.5cm （结果保留小数点后一位）．【解答】解：（1）设h 1＝kV ，将（100，2.5）代入得：2.5＝100k ，解得k ＝，∴h 1＝V ，∵V ＝40，∴h 1＝1.0，故答案为：1.0．（2）如图所示，（3）①当V ＝320ml 时，h 1＝8.0cm ，由图象可知相差约为1.2cm ．故答案为：1.2．②在①的条件下两杯相差1.2cm ，此时h 1大约是7.9，加上0.6约为8.5cm ．故答案为：8.5．26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2﹣2a 2x （a ≠0）．（1）当a ＝1时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）是抛物线上的两点．若对于x 1＝3a ，3≤x 2≤4，都有y 1＜y 2，求a 的取值范围．【解答】解：（1）将a ＝1代入得y ＝x 2﹣2x ＝（x ﹣1）2﹣1，∴顶点坐标为（1，﹣1）；（2）由题得，y 1＝a •（3a ）2﹣2a 2•3a ＝3a 3，y 2＝﹣2a 2x 2，∵y 1＜y 2，∴y 2﹣y 1＝a （﹣2ax 2﹣3a 2）＝a （x 2﹣3a ）（x 2+a ）＞0，①当a ＞0时，（x 2﹣3a ）（x 2+a ）＞0，∴或，解得x 2＞3a 或x 2＜﹣a ，∵3≤x 2≤4，∴3a ＜3或﹣a ＞4，∴a ＜1或a ＜﹣4，∵a ＞0，∴0＜a ＜1；②当a ＜0时，（x 2﹣3a ）（x 2+a ）＜0，∴或，解得3a ＜x 2＜﹣a ，∵3≤x 2≤4，∴，解得a ＜﹣4，综上，0＜a ＜1或a ＜﹣4．27．（7分）已知∠MAN ＝α（0°＜α＜45°），点B ，C 分别在射线AN ，AM 上，将线段BC 绕点B 顺时针旋转180°﹣2α得到线段BD ，过点D 作AN 的垂线交射线AM 于点E ．（1）如图1，当点D 在射线AN 上时，求证：C 是AE 的中点；（2）如图2，当点D 在∠MAN 内部时，作DF ∥AN ，交射线AM 于点F ，用等式表示线段EF 与AC 的数量关系，并证明．【解答】（1）证明：连接CD，由题意得：BC＝BD，∠CBD＝180°﹣2α，∴∠BDC＝∠BCD，∵∠BDC+∠BCD+∠CBD＝180°，∴，∴∠BDC＝∠A，∴CA＝CD，∵DN⊥AN，∴∠1+∠A＝∠2+∠BDC＝90°，∴∠1＝∠2，∴CD＝CE，∴CA＝CE，∴点C是AE的中点；（2）解：EF＝2AC，在射线AM上取点H，使得BH＝BA，取EF的中点G，连接DG，∵BH＝BA，∴∠BAH＝∠BHA＝α，∴∠ABH＝180°﹣2α＝∠CBD，∴∠ABC＝∠HBD，∵BC＝BD，∴△ABC≌△HBD（SAS），∴AC＝DH，∠BHD＝∠A＝α，∴∠FHD＝∠BHA+∠BHD＝2α，∵DF∥AN，∴∠EFD＝∠A＝α，∠EDF＝∠3＝90°，∵G 是AE 的中点，∴GF ＝GD ，EF ＝2GD ，∴∠GFD ＝∠GDF ＝α，∴∠HGD ＝2α，∴∠HGD ＝∠FHD ，∴DG ＝DH ，∵AC ＝DH ，∴DG ＝AC ，∴EF ＝2AC ．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于⊙O 的弦AB 和不在直线AB 上的点C ，给出如下定义：若点C 关于直线AB 的对称点C ′在⊙O 上或其内部，且∠ACB ＝α，则称点C 是弦AB 的“α可及点”．（1）如图，点A （0，1），B （1，0）．①在点C 1（2，0），C 2（1，2），中，点C 2是弦AB 的“α可及点”，其中α＝45°；②若点D 是弦AB 的“90°可及点”，则点D 的横坐标的最大值为；（2）已知P 是直线上一点，且存在⊙O 的弦MN ，使得点P 是弦MN 的“60°可及点”．记点P 的横坐标为t ，直接写出t 的取值范围．【解答】解：（1）①反过来思考，由相对运动理解，作出⊙O 关于AB 的对称圆⊙O ，∵若点C 关于直线AB 的对称点C '在⊙O 上或其内部，且∠ACB ＝α，则称点C 是弦AB 的“α可及点”，∴点C 应在⊙O '的圆内或圆上，∵点A （0，1），B （1，0），∴OA ＝OB ＝1，∵∠AOB ＝90°，∴∠ABO ＝∠OAB ＝45°，由对称得：∠O 'BA ＝O 'AB ＝45°，∴△O ′BA 为等腰直角三角形，∴O '（1，1），设⊙O 半径为R ，则，故C 1在⊙O '外，不符合题意；C 2O '＝2﹣1＝1＝R ，故C 2在⊙O '上，符合题意；，故C 3在⊙O '外，不符合题意，∴点C 2是弦AB 的“α可及点”，可知B ，O ′，C 2三点共线，∵，∴，故答案为：C 2，45；②取AB 中点为H ，连接DH ，∵∠ADB＝90°，∴HD＝HA＝HB，∴点D在以H为圆心，HA为半径的AB上方半圆上运动（不包括端点A、B），∴当DH∥x轴时，点D横坐标最大，∵OA＝OB＝1，∠AOB＝90°，∴，∴，∵点A（0，1），B（1，0），∴，∴，∴点D的横坐标的最大值为，故答案为：；（2）反过来思考，由相对运动理解，作出⊙O关于AB的对称圆⊙O'，∵若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α可及点”，∴点C应在⊙O'的圆内或圆上，∴点P需要在⊙O'的圆内或圆上，作出△MPN的外接圆⊙O″，连接O″M，O″N，∴点P在以O″为圆心，MO″为半径的上运动（不包括端点M、N），∴∠MO″N＝2∠MPN＝120°，∴∠O″MN＝30°，由对称得点O，O'在MN的垂直平分线上，∵△MPN的外接圆为⊙O″，∴点O″也在MN的垂直平分线上，记OO'与NM交于点Q，∴，∴，随着MN的增大，⊙O'会越来越靠近⊙O，当点O'与点O″重合时，点P在⊙O'上，即为临界状态，此时MN最大，，连接O″P，OP，∵OP≤OO″+O″P，∴当MN最大，时，此时△MNP为等边三角形，由上述过程知，∴，∴当r＝1，OP的最大值为2，设，则，解得：，记直线与⊙O交于T，S，与y轴交于点K，过点S作SL⊥x轴，当x＝0，，当y＝0时，，解得x＝1，∴与x轴交于点T（1，0），∴，∵OT＝OS，∴△OTS为等边三角形，∴∠TOS＝60°，∴，∴，∴t的取值范围是．。
2024年山东省烟台市中考真题数学试卷含答案解析
2024年山东省烟台市中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列实数中的无理数是（ ）A ．23B ．3.14C D2．下列运算结果为6a 的是（ ）A ．23a a ⋅B ．122a a ÷C ．33a a +D ．()32a 【答案】D【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握以上运算法则；根据同底数幂的乘法同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，运算法则计算即可【详解】A ．23235a a a a +⋅==，故选项不符合题意；B ． 12212210a a a a -÷==，故选项不符合题意；C ．3332a a a +=，故选项不符合题意；D ．()32236a a a ⨯==，故选项符合题意；故选：D ．3．下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】A 【分析】本题考查几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．分别画出各选项得出的左视图，再判断即可．【详解】解：A 、取走①时，左视图为 ，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A 符合题意；B 、取走②时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项B 不符合题意；C 、取走③时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项C 不符合题意；D 、取走④时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项D 不符合题意；故选：A ．4．实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．3b c +>B ．0a c -<C ．a c >D ．22a b-<-【答案】B5．目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是4A 纸厚度的六分之一，已知1毫米1=百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（ ）A ．30.1510⨯纳米B ．.41510⨯纳米C ．51510-⨯纳米D ．61.510-⨯纳米6．射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图，其成绩的方差分别记为2S 甲和2S 乙，则2S 甲和2S 乙的大小关系是（ ）A ．22S S >甲乙B ．22S S <甲乙C ．22S S =甲乙D ．无法确定【答案】A 【分析】本题考查比较方差的大小，根据折线图，得到乙选手的成绩波动较小，即可得出结果．【详解】解：∵方差表示数据的离散程度，方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小，由折线图可知乙选手的成绩波动较小，∴22S S >甲乙；故选A ．7．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP 为AOB ∠的平分线的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可．【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，OP 为AOB ∠的平分线；第二个图，由作图可知：,OC OD OA OB ==，∴AC BD =，∵AOD BOC ∠=∠，∴AOD BOC ≌△△，∴OAD OBC ∠=∠，∵AC BD =，BPD APC ∠=∠，∴BPD APC ≌，∴AP BP =，∵,OA OB OP OP ==，∴AOP BOP ≌△△，∴AOP BOP ∠=∠，∴OP 为AOB ∠的平分线；第三个图，由作图可知,ACP AOB OC CP ∠=∠=，∴CP BO ∥，COP CPO ∠=∠，∴CPO BOPÐ=Ð∴COP BOP ∠=∠，∴OP 为AOB ∠的平分线；第四个图，由作图可知：OP CD ⊥，OC OD =，∴OP 为AOB ∠的平分线；故选D ．8．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为对角线BD AC ，的三等分点，连接AE 并延长交CD 于点G ，连接EF FG ，，若AGF α∠=，则FAG ∠用含α的代数式表示为（ ）A ．452α︒-B ．902α︒-C ．452α︒+D ．2α∴OD OC =，ODC ∠=∴OE OF =，∵EOF DOC ∠=∠，OE OD ∴EOF DOC ∽△△，9．《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？A．45尺B．88尺C．90尺D．98尺故选：C ．10．如图，水平放置的矩形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，菱形EFGH 的顶点E ，G在同一水平线上，点G 与AB 的中点重合，EF =，60E ∠=︒，现将菱形EFGH 以1cm /s 的速度沿BC 方向匀速运动，当点E 运动到CD 上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH 与矩形ABCD 重叠部分的面积()2cm S 与运动时间()s t 之间的函数关系图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．∵菱形EFGH ，60E ∠=︒，依题意，MNG 为等边三角形，运动时间为t ，则cos30NG =∴1sin 60S NG NG =⨯⨯⨯︒依题意，6EM EG t t =-=-，则EK ∴()211236223EKJ S EJ EM t =⋅=⨯- ∴EKJS S S =- 菱形当1114x <≤时，同理可得，3综上所述，当03x ≤≤时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当开口向下的一段抛物线，当68x <≤时，函数图象为一条线段，当开口向下的一段抛物线，当1114x <≤时，函数图象为开口向上的一段抛物线；故选：D ．二、填空题11x 的取值范围为 ．【答案】1x >/1x<【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：10x ->，解得：1x >；故答案为：1x >．12．关于x 的不等式12x m x -≤-有正数解，m 的值可以是 （写出一个即可）．13．若一元二次方程22410x x --=的两根为m ，n ，则2234m m n -+的值为．14．如图，在边长为6的正六边形ABCDEF 中，以点F 为圆心，以FB 的长为半径作 BD，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．设圆锥的底面圆的半径为∴3r =；故答案为：3．15．如图，在ABCD Y 中，120C ∠=︒，8AB =，10BC =．E 为边CD 的中点，F 为边AD 上的一动点，将DEF 沿EF 翻折得D EF ' ，连接AD '，BD '，则ABD '△面积的最小值为．过C 作CN AB ⊥于N ，∵AB CD ∥，∴EM CN =，在Rt BCN 中，10BC =，CBN ∠16．已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：x4-3-1-15y59527-下列结论：①0abc >；②关于x 的一元二次方程29ax bx c ++=有两个相等的实数根；③当41x -<<时，y 的取值范围为<<0y 5；④若点()1,m y ，()22,m y --均在二次函数图象上，则12y y =；⑤满足()212ax b x c +++<的x 的取值范围是<2x -或3x >．其中正确结论的序号为 ．【答案】①②④【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出a b c 、、的值即可判断①；利用根的判别式即可判断②；利用二次函数的性质可判断③；利用对称性可判断④；画出函数图形可判断⑤；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：把()4,0-，()1,9-，()1,5代入2y ax bx c =++得，164095a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得128a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴0abc >，故①正确；∵1a =-，2b =-，8c =，由2228y x y x x =-+⎧⎨=--+⎩，解得1120x y =⎧⎨=⎩，2235x y =-⎧⎨=⎩，∴()2,0A ，()3,5B -，由图形可得，当3x <-或2x >时，2282x x x --+<-+，即()212ax b x c +++<，故⑤错误；综上，正确的结论为①②④，故答案为：①②④．三、解答题17．利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m是其显示结果的平方根，先化简：27442393mm m m m m --⎛⎫+÷⎪--+，再求值．18．“山海同行，舰回烟台”．2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立75周年．值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动，为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t 表示，单位：h ）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A 组：02t ≤<；B 组：24t ≤<；C 组：46t ≤<；D 组：68t ≤<），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．(1)请补全条形统计图；(2)扇形统计图中，a的值为_____，D组对应的扇形圆心角的度数为______；(3)D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．19．根据收集的素材，探索完成任务．探究太阳能热水器的安装素材一太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．素材二某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，1429α︒≤≤︒；夏至日时，4376α︒≤≤︒．sin140.24︒≈，cos140.97︒≈，tan140.25︒≈sin290.48︒≈，cos290.87≈︒，tan290.55≈︒sin430.68︒≈，cos430.73︒≈，tan430.93︒≈sin760.97︒≈，cos760.24︒≈，tan76 4.01︒≈素材三如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼AB 共11层，乙楼CD 共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，AE 为某时刻的太阳光线．问题解决任务一确定使用数据要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填14︒，29︒，43︒，76︒中的一个）进行计算．任务二探究安装范围利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器．【答案】任务一：冬至，14︒；任务二：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键．任务一：根据题意直接求解即可；任务二：过E 作EF AB ⊥于F ，利用正切定义求得【详解】解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需α为冬至日时的最小角度，即14α=︒，故答案为：冬至，14︒；任务二：过E 作EF AB ⊥于F ，则90AFE ∠=︒，54EF =米，BF DF =，在Rt AFE 中，tan AFEFα=，∴tan14540.2513.5AF EF =⋅︒≈⨯=（米）∵11 3.336.3AB =⨯=（米），∴36.313.5DE BF AB AF ==-=-=22.8 3.37÷≈（层），20．每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x 元，每天的销售利润为y 元．(1)求y 与x 的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？21．如图，正比例函数y x =与反比例函数k y x =的图象交于点)A a ，将正比例函数图象向下平移()0n n >个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B ，C ，与x 轴，y 轴交于点D ，E ，且满足:3:2BE CE =．过点B 作BF x ⊥轴，垂足为点F ，G 为x 轴上一点，直线BC 与BG 关于直线BF 成轴对称，连接CG ．(1)求反比例函数的表达式；(2)求n 的值及BCG 的面积．22．在等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为直线BC 上任意一点，连接AD ．将线段AD 绕点D 按顺时针方向旋转90︒得线段ED ，连接BE ．【尝试发现】（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，线段BE 与CD 的数量关系为________；【类比探究】（2）当点D 在线段BC 的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE 与CD 的数量关系并证明；【联系拓广】（3）若1AC BC ==，2CD =，请直接写出sin ECD ∠的值．由旋转得AD DE =，ADE ∠∴90ADC EDM ∠+∠=︒，BE 过点E 作EM BC ⊥交BC 于点由旋转得AD DE =，ADE ∠∴90ADC EDM ∠+∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴ACD DME ∠=∠，ADC ∠+∴CAD EDM ∠=∠由（2）得1DM AC ==，2EM CD ==，∴3CM CD DM =+=，∴2213CE CM EM =+=，∴2213sin 1313EM ECD CE ∠===．同理可得：ACD DME △≌△，∴1DM AC ==，2ME CD ==，∴211CM =-=，∴22215CE =+=，∴225sin 55EM ECD CE ∠===；23．如图，AB 是O 的直径，ABC 内接于O ，点I 为ABC 的内心，连接CI 并延长交O于点D ，E 是 BC上任意一点，连接AD ，BD ，BE ，CE ．(1)若25ABC ∠=︒，求CEB ∠的度数；(2)找出图中所有与DI 相等的线段，并证明；(3)若CI =DI =ABC 的周长．【答案】(1)115︒(2)DI AD BD ==，证明见解析(3)30【分析】（1）利用圆周角定理得到90ACB ∠=︒，再根据三角形的内角和定理求65CAB ∠=︒，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；（2）连接A I ，由三角形的内心性质得到内心，CAI BAI ∠=∠，ACI BCI ∠=∠，然后利用圆周角定理得到DAB DCB ACI ∠=∠=∠，AD BD =，利用三角形的外角性质证得DAI DIA ∠=∠，然后利用等角对等边可得结论；（3）过I 分别作IQ AB ⊥，IF AC ⊥，IP BC ⊥，垂足分别为Q 、F 、P ，根据内切圆的性质和和切线长定理得到AQ AF =，CF CP =，BQ BP =，利用解直角三角形求得2CF CP ==， 13AB =，进而可求解．【详解】（1）解：∵AB 是O 的直径，∴90ADB ACB ∠=∠=︒，又25ABC ∠=︒，∴902565CAB ∠=︒-︒=︒，∵四边形ABEC 是O 内接四边形，∴180CEB CAB ∠+∠=︒，∴180115CEB CAB ∠=︒-∠=︒；∵点I 为ABC 的内心，∴CAI BAI ∠=∠，ACI ∠∴ AD BD=，∴DAB DCB ACI ∠=∠=∠∵点I 为ABC 的内心，即为∴Q 、F 、P 分别为该内切圆与∴AQ AF =，CF CP =，∵22CI =，90IFC ∠=2AB AQ BQ CF=+++22AB CF=+21322=⨯+⨯30=．【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．24．如图，抛物线21y ax bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，OC OA =，4AB =，对称轴为直线1:1l x =-，将抛物线1y 绕点O 旋转180︒后得到新抛物线2y ，抛物线2y 与y 轴交于点D ，顶点为E ，对称轴为直线2l ．(1)分别求抛物线1y 和2y 的表达式；(2)如图1，点F 的坐标为()6,0-，动点M 在直线1l 上，过点M 作MN x ∥轴与直线2l 交于点N ，连接FM ，DN ．求FM MN DN ++的最小值；(3)如图2，点H 的坐标为()0,2-，动点P 在抛物线2y 上，试探究是否存在点P ，使2PEH DHE ∠=∠？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．由题意得2AG BG ==，∵对称轴为直线=1x -，∴()()1,0, 3.0B A -，∴3OC OA ==，∴()0,3C ，将A 、B 、C 分别代入21y ax bx c =++，得：09303a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴2123y x x =--+，∴()2212314y x x x =--+=-++，顶点为()1,4-∵抛物线1y 绕点O 旋转180︒后得到新抛物线2y ，∴抛物线2y 的1a =，顶点为()1,4-，∴2y 的表达式为：()2214y x =--，即2223y x x =--（2）解：将点F 向右平移2个单位至F '，则2F F '=，()4,0F '-，过点D 作直线2l 的对称点为D ¢，连接,,F N F D ND ''''，∴ND ND '=，∵()2214y x =--，∴直线2l 为直线1x =，∵抛物线()2214y x =--，∴()1,4E -∵2l y ∥轴，∴1DHE ∠=∠，∵2PEH DHE ∠=∠，∴2112PEH ∠=∠=∠+∠，∴12∠=∠，作H 关于直线2l 的对称点H '，则点H '在直线PE 上，∵点H 的坐标为()0,2-，直线2l ：1x =，∴()2,2H '-，设直线PE 的表达式为：()0y kx b k =+≠，代入()2,2H '-，()1,4E -,得：224k b k b +=-⎧⎨+=-⎩，解得：26k b =⎧⎨=-⎩，∴直线PE 的表达式为26y x =-，联立222623y x y x x =-⎧⎨=--⎩，得：22326x x x --=-，解得：3x =或1x =（舍），∴()3,0P ；②当点P 在直线2l 左侧抛物线上时，延长EP 交y 轴于点N ，作HN 的垂直平分线交HE 于点Q ，交y 轴于点M ，过点E 作EK y ⊥轴于点K ，则QM EK ∥，如图：。
2024年陕西省中考数学真题试卷及答案
2024年陕西省中考数学真题试卷一、选择题(共8小题,每小题3分,计24分.每小题只有一个选项是符合题意的) 1.-3的倒数是( )A.13-B.13C.3-D.32.如图,将半圆绕直径所在的虚线旋转一周,得到的立体图形是( )3.如图,//AB DC ,//,145O BC DE B ∠=,则D ∠的度数为( )第3题图A.25oB.35oC.45oD.55o4.不等式2(1)6x -≥的解集是( ) A.2xB.2x ≥C.4xD.4x ≥5.如图,在ABC ∆中,90,BAC AD ︒∠=是BC 边上的高,E 是DC 的中点,,连接AE ,则图中的直角三角形有( )第5题图A.2个B.3个C.4个D.5个6.一个正比例函数的图象经过点(2,)A m 和点(,6)B n -,若点A 于点B 关于原点对称,则这个正比例函数的表达式为( ) A.3y x =B.3y x =-C.13y x =D.13y x =-7.如图,正方形CEFG 的顶点G 在正方形ABCD 的边CD 上AF 与DC 交于点H ,若6,2,AB CE ==则DH 的长为( )第7题图A.2B.3C.52D.838.已知一个二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的几组对应值如下表( )A.图象的开口向上B.当0x >时,y 的值随x 的值增大而增大C.图象经过第二、三、四象限D.图象的对称轴是直线1x =第二部分(非选择题共96分)二、填空题(共5小题,每小题3分,计15分) 9.分解因式:2a ab -=______.10.小华探究“幻方”时,提出了一个问题:如图,将0,-2,-1,1,2这五个数分别填在五个小正方形内,使横向三个数之和与纵向三个数之和相等,则填入中间位置的小正方形内的数可以是___________.(写出一个符合题意的数即可)第10题图 第11题图 第13题图 11.如图,BC 是O 的弦,连接,,OB OC A ∠是BC 所对的圆周角,则A ∠与OBC ∠的和的度数是_________.12.已知点1(2,)A y -和点2(,)B m y 均在反比例函数5y x=-的图象上,若01m <<,则12_____0y y +.13.如图,在ABC ∆中,,AB AC E =是边AB 上一点,连接CE ,在BC 右侧作//BF C ,且BF AE =,连接CF .若13,10AC BC ==,则四边形EBFC 的面积为___________. 三、解答题(共13小题,计81分.解答题应写出过程) 14.(本题满分5分)计算0(7)(2)3-+-⨯. 15.(本题满分5分)先化简,再求值：2()(2),x y x x y ++-其中1,2x y ==- 16.(本题满分5分) 解方程：22111xx x +=-- 17.(本题满分5分)如图,已知直线l 和l 外一点A ,请用尺规作图法,求作一个等腰直角ABC ∆,使得顶点B 和顶点C 都在直线l 上.(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可,保留作图痕迹,不写作法)18.(本题满分5分)=.如图,四边形ABCD是矩形,点E和点F在边BC上,且BE CF求证:AF DE=.19.(本题满分5分)一个不透明的袋子中共装有五个小球,其中3个红球,1个白球,1个黄球.这些小球除颜色外都相同.将袋中小球摇匀,从中随机摸出一个小球记色后放回,记作随机摸球一次.(1)随机摸球10次,其中摸出黄球3次,则这10次摸球摸出黄球的频率是________.(2)随机摸球2次,画树状图或列表的方法,求这两次摸出的小球都是红球的概率20.(本题满分5分)星期天,妈妈做饭,小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量,若小峰单独完成,需4h;爸爸单独完成,需2h.当天,小峰先单独打扫了一段时间后,去参加篮球训练,接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务.小峰和爸爸这次一共打扫了3h,求这次小峰打扫了多长时间.21.(本题满分6分)如图所示,一座小山顶的水平观景台的海拔高度为1600m,小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度,他在该观景台上选定了一点A,在点A处测得C点的仰角CAE ∠42︒=,再在AE 上选一点B ,在点B 处测得C 点的仰角45a ︒=,10AB =m.求山顶C 点处的海拔高度.(小明身高忽略不计,参考数据：420.67,420.74,420.90o o o sin cos tan ≈≈≈)22.(本题满分7分)我国新能源汽车快速健康发展,续航里程不断提升,王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A 市前往B 市,他驾车从A 市一高速公路入口驶入时,该车的剩余电量是80kw·h,行驶了240km 后,从B 市一高速公路出口驶出,已知该车在高速公路上行驶的过程中,剩余电量y (kw·h)与行驶路程x (km)之间的关系如图所示(1)求y 与x 之间的关系式；(2)已知这辆车的“满电量”为100kW·h,求王师傅驾车从B 市这一高速公路出口驶出时,该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少. 23.(本题满分7分)水资源问题是全球关注的热点,节约用水已成为全民共识.某校课外兴趣小组想了解居民家庭用水情况,他们从一小区随机抽取了30户家庭,收集了这30户家庭去年7月份的用水量,并对这30个数据进行整理,绘制了如下统计图表：根据以上信息,解答下列问：(1)这30个数据的中位数落在组(填组别); (2)求这30户家庭去年7月份的总用水量；(3)该小区有1000户家庭,若每户家庭今年7月份的用水量都比去年7月份各自家庭的用水量节约10%,请估计这1000户家庭今年7月份的总用水量比去年7月份的总用水量节约多少m³? 24.(本题满分8分)如图,直线l 与O 相切于点A ,AB 是O 的直径,点C ,D 在l 上,且位于点A 两侧 连接,BC BD ,分別与O 交于点,E F ,连接,EF AF .(1)求证：BAF CDB ∠=∠.(2)若O 的半径6,9,12r AD AC ===,求EF 的长. 25.(本题满分8分)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索1L 与缆索2L 均呈抛物线型,桥塔AO 与桥塔BC 均垂直于桥面,如图所示,以O 为原点,以直线'FF 为x 轴,以桥塔AO 所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系.已知：缆索1L 所在抛物线与缆索2L 所在抛物线关于y 轴对称,桥塔AO 与桥塔BC 之间的距离100OC m =,17AO BC m ==,缆索1L 的最低点P 到$FF$的距离2PD m =(桥塔的粗细忽略不计)(1)求缆索1L 所在抛物线的函数表达式.(2)点E 在缆索2L 上,EF FF '⊥,且 2.6EF m =,FO OD <,求FO 的长. 26.(本题满分10分) 问题提出(1)如图1,在ABC ∆中,15,30AB C ︒=∠=,作ABC 的外接圆.O 则ACB 的长为______.(结果保留π) 问题解决(2)如图2所示,道路AB 的一侧是湿地.某生态研究所在湿地上建有观测点,,D E C ,线段,AD AC 和BC 为观测步道,其中点A 和点B 为观测步道出入口,已知点E =在AC =上,且,60,120,1200AE EC DAB ABC AB m ︒︒=∠=∠==,,900AD BC m ==,现要在湿地上修建一个新观测点P ,使60.DPC ︒∠=再在线段AB 上选一个新的步道出入口点F ,并修通三条新步道,,PF PD PC ,使新步道PF 经过观测点E ,并将五边形ABCPD 的面积平分请问：是否存在满足要求的点P 和点F ?若存在,求此时PF 的长；若不存在,请说明理由.(点,,,,A B C P D 在同一平面内,道路AB 与观测步道的宽、观测点及出人口的大小均忽略不计,结果保留根号)2024年陕西中考数学真题试卷参考答案一、选择题.二、填空题三解答题.14. 2-15. 222,6x y+16. 3x=-是原分式方程的解.17.(1)在l上取点,P Q分别以,P Q为圆心，,PA QA为半径画圆,得另一交点D.连接AD交l于B，则AB l⊥.(2)以B为圆心，BA为半径画圆,交l于C，则ABC∆即为所求.18.略19. (1)310(2)92520. 2小时21. 1690米22. (1)1805y x =-+ (2)32%23. (1)B (2)3255m (3)3850m24. (1)略 (2)525. (1)23(50)2500y x =-+或233175005y x x =-+ (2)40米26. (1)25π (2)米。
2024年中考数学真题分类汇编(全国通用)(第一期)专题05 分式及其运算(37题)(解析版)
专题05分式及其运算（37题）一、单选题1．（2024·甘肃·中考真题）计算：4222a ba b a b-=--（）A ．2B ．2a b -C ．22a b-D ．2a b a b-【答案】A【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．【详解】解：()42422222222a b a b a b a b a a b a bb --===-----，故选：A ．2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（）A ．()2139--=B ．()222a b a b +=+C 93=±D ．()3263x y x y -=【答案】A【分析】本题考查了负整数指数幂，完全平方公式，算术平方根，积的乘方，据此逐项分析计算，即可求解．【详解】解：A.()2139--=，故该选项正确，符合题意；B.()2222a b a ab b +=++，故该选项不正确，不符合题意；C.93=，故该选项不正确，不符合题意；D.()3263x y x y -=-，故该选项不正确，不符合题意；故选：A ．3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）下列计算正确的是（）A ．32622a a a ⋅=B ．331(2)8a b a b-÷⨯=-C ．()322a a a a a a++÷=+D ．2233aa -=【答案】D【分析】本题考查了单项式的乘除法，多项式除以单项式，负整数指数幂，根据运算法则进行逐项计算，即可作答．4．（2024·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（）A ．5510x x x +=B ．21m m n n n÷⋅=C ．624a a a ÷=D ．()325a a -=-5．（2024·广东广州·中考真题）若0a ≠，则下列运算正确的是（）A ．235a a a +=B ．325a a a ⋅=C ．235a a a⋅=D ．321a a ÷=故选：B ．6．（2024·天津·中考真题）计算3311x x x ---的结果等于（）A ．3B ．xC ．1x x -D ．231x -【答案】A【分析】本题考查分式加减运算，熟练运用分式加减法则是解题的关键；运用同分母的分式加减法则进行计算，对分子提取公因式，然后约分即可．【详解】解：原式()3133311x x x x --===--故选：A7．（2024·河北·中考真题）已知A 为整式，若计算22A y xy y x xy-++的结果为xy -，则A =（）A ．xB ．yC ．x y+D ．x y-【答案】A【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．由题意得22y x y A x xy xy xy y -+=++，对2y x yx xy xy-++进行通分化简即可．【详解】解：∵22A y xy y x xy-++的结果为x yxy -，∴22y x y Ax xy xy xy y -+=++，∴()()()()()2222x y x y y x x Axy x y xy x y xy x y xy y xy y -++===+++++，∴A x =，故选：A ．二、填空题8．（2024·四川南充·中考真题）计算-a b a b a b的结果为．【答案】1【分析】本题主要考查了同分母分式减法运算，按照同分母减法运算法则计算即可．【详解】解：1a b a ba b a b a b--==---，故答案为：1．9．（2024·湖北·中考真题）计算：111m m m +=．10．（2024·广东·中考真题）计算：333a a -=．11．（2024·吉林·中考真题）当分式11x +的值为正数时，写出一个满足条件的x 的值为．12．（2024·山东威海·中考真题）计算：422x x x+=．13．（2024·四川内江·中考真题）在函数1y x=中，自变量x 的取值范围是；【答案】0x ≠【分析】本题考查函数的概念，根据分式成立的条件求解即可．熟练掌握分式的分母不等于零是解题的关键．【详解】解：由题意可得，0x ≠，故答案为：0x ≠．14．（2024·四川眉山·中考真题）已知11a x =+（0x ≠且1x ≠-），23121111,,,111-==⋯=---n n a a a a a a ，则2024a 的值为．【答案】1x-【分析】此题考查了分式的混合运算，利用分式的运算法则计算得到每三个为一个循环，分别为1x +，1x-，1xx +，进一步即可求出2024a ．【详解】解：11a x =+ ，()21111111a a x x∴===---+，32111111xa a x x ===-+⎛⎫-- ⎪⎝⎭，43111111111a x xa x x ∴====+--++，51a x∴=-，61x a x =+，……，由上可得，每三个为一个循环，2024367432÷=⨯+ ，20241a x∴=-．故答案为：1x-．三、解答题16．（2024·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：2391a a a---÷，其中4a =．17．（2024·四川泸州·中考真题）化简：2222y x y x y x x ⎛⎫-+-÷ ⎪⎝⎭．22222y x xy x x x y +-=⋅-()()()2x y xx x y x y -=⋅+-x y x y-=+18．（2024·四川广安·中考真题）先化简111a a a ++⎛⎫+-÷--⎝⎭，再从2-，0，1，2中选取一个适合的数代入求值．【答案】22a a -+，0a =时，原式1=-，2a =时，原式0=.【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可.【详解】解：2344111a a a a a ++⎛⎫+-÷⎪--⎝⎭2213(2)111a a a a a ⎛⎫-+=-÷⎪---⎝⎭2(2)(2)11(2)a a a a a +--=⋅-+22a a -=+1a ≠ 且2a ≠-∴当0a =时，原式1=-；当2a =时，原式0=.19．（2024·山东·中考真题）（111422-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭；（2）先化简，再求值：212139a a a +⎛⎫-÷ ⎪，其中1a =．【答案】（1）3（2）3a -2-【分析】本题主要考查实数的运算、分式的运算：（1）根据求算术平方根和负整数指数幂、有理数的减法的运算法则计算即可；（2）先通分，然后求解即可．【详解】（1）原式112+322=+=（2）原式()()3123333a a a a a a ++⎛⎫-÷ ⎪+++-⎝⎭()()332·32a a a a a +-+=++3a =-将1a =代入，得原式132=-=-21．（2024·江苏连云港·中考真题）计算0|2|(π1)-+-【答案】1-【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，先进行去绝对值，零指数幂和开方运算，再进行加减运算即可．【详解】解：原式2141=+-=-22．（2024·江苏连云港·中考真题）下面是某同学计算21211m m ---的解题过程：解：2121211(1)(1)(1)(1)m m m m m m m +-=---+-+-①(1)2m =+-②1m =-③上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程．23．（2024·江西·中考真题）（1）计算：0π5+-；（2）化简：888x x x -．【答案】（1）6；（2）1【分析】题目主要考查零次幂、绝对值的化简，分式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．（1）先计算零次幂及绝对值化简，然后计算加减法即可；（2）直接进行分式的减法运算即可．【详解】解：（1）0π5+-=1+5=6；（2）888x x x ---88x x -=-1=．24．（2024·江苏苏州·中考真题）计算：()0429-+-．【答案】2【分析】本题考查了实数的运算，利用绝对值的意义，零指数幂的意义，算术平方根的定义化简计算即可．【详解】解：原式413=+-2=．25．（2024·福建·中考真题）计算：0(1)54-+-【答案】4【分析】本题考查零指数幂、绝对值、算术平方根等基础知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据零指数幂、绝对值、算术平方根分别计算即可；【详解】解：原式152=+-4=．26．（2024·陕西·()()025723-+-⨯．【答案】2-【分析】本题考查了实数的运算．根据算术平方根、零次幂、有理数的乘法运算法则计算即可求解．【详解】解：()()025723--+-⨯516=--2=-．27．（2024·湖南·中考真题）先化简，再求值：22432x x x x x-⋅+，其中3x =．28．（2024·北京·中考真题）已知10a b --=，求代数式222a ab b-+的值.29．（2024·甘肃临夏·中考真题）计算：10120253-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．【答案】0【分析】本题考查实数的混合运算，先进行开方，去绝对值，零指数幂和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可．【详解】解：原式2310=-+=．30．（2024·甘肃临夏·中考真题）化简：21111a a a a a +⎛⎫++÷ ⎪．【答案】1a a +【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题关键．根据分式的混合运算法则计算即可．【详解】解：21111a a a a a +⎛⎫++÷ ⎪--⎝⎭，()()()1111111a a a a a a a ⎡⎤-+=⎢+÷⎣-⎥+--⎦()211111a a a a a -+=⨯--+()2111a a a a a =-⨯-+1a a =+．31．（2024·浙江·中考真题）计算：131854-⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】7【分析】此题考查了负整数指数幂，立方根和绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则．首先计算负整数指数幂，立方根和绝对值，然后计算加减．【详解】131854-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭425=-+7=．32．（2024·四川广元·中考真题）先化简，再求值：22222a a b a b a b a ab b a b--÷-，其中a ，b 满足20b a -=．【答案】b a b +，23【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值方法是解题的关键．先将分式的分子分母因式分解，然后将除法转化为乘法计算，再计算分式的加减得到b a b+，最后将20b a -=化为2b a =，代入b a b +即得答案．33．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）先化简，再求值：2669x x x x x --⎛⎫÷- ⎪⎝⎭，并从1-，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值．34．（2024·山东烟台·中考真题）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m 是其显示结果的平方根，先化简：27442393m m m m m m --⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭，再求值．【答案】262m m --，25-．【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则对分式化简，然后根据题意求出m 的值，把m 的值代入到化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式和求出m 的值是解题的关键．【详解】解：27442393m m m m m m --⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭()22274393m m m m m m --⎛⎫=-÷ ⎪--+⎝⎭，()()()()()()3743333322m m m m m m m m m ⎡⎤+-+=-⨯⎢⎥+-+--⎢⎥⎣⎦，()()()()()23743333322m m m m m m m m m ⎡⎤+-+=-⨯⎢⎥+-+--⎢⎥⎣⎦，()()()24433322m m m m m m -++=⨯+--，()()()()2233322m m m m m -+=⨯+---，()223m m -=--，262m m -=-，∵2354-=，∴235-的平方根为2±，∵420m -≠，∴2m ≠，又∵m 为235-的平方根，∴2m =-，∴原式()2226225--==--⨯-．35．（2024·江苏苏州·中考真题）先化简，再求值：212124x x +-⎛⎫+÷ ⎪．其中3x =-．【答案】2x x+，13【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用因式分解和除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即36．（2024·贵州·中考真题）（1）在①22，②2-，③()01-，④122⨯中任选3个代数式求和；（2）先化简，再求值：()21122x x -⋅，其中3x =．4=；（2）解：()21122x x -⋅+()()11(1)21x x x =-+⋅+12x -=；当3x =时，原式3112-==．37．（2024·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：242x x ---，其中3x =．小乐同学的计算过程如下：解：()()2212142222x x x x x x x -=---+--…①()()()()222222x x x x x x +=-+-+-…②()()2222x x x x -+=+-…③()()222x x x +=+-…④12x =-…⑤当3x =时，原式1=．(1)小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误；(2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程．【答案】(1)③(2)见解析【分析】本题考查了分式的化简求值，异分母的分式减法运算，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）第③步分子相减时，去括号变号不彻底；（2）先通分，再进行分子相减，化为最简分式后，再代入求值即可．【详解】（1）解：∵第③步分子相减时，去括号变号不彻底，应为：()()()()()()2222222222x x x x x x x x x x -----=+++-+；（2）解：()()2212142222x x x x x x x -=---+--()()()()222222x x x x x x +=-+-+-。
2024陕西中考数学试卷真题及答案解析
2024陕西中考数学试卷真题及答案解析一、选择题1. 设加速度为 a，时间为 t，初速度为 v，加速后的速度为v’，则公式a = (v’ - v) / t 表示的是（）。
A. 位移公式B. 牛顿第二定律C. 初速度公式D. 惯性原理正确答案：B. 牛顿第二定律解析：牛顿第二定律描述了物体受到的力与加速度之间的关系。
根据牛顿第二定律，加速度 a 等于物体的质量 m 乘以加速后的速度v’ 减去初速度 v，再除以时间 t，即a = (v’ - v) / t，因此该公式表示的是牛顿第二定律。
2. 若一个边长为 2 cm 的正方形顶点 O 恰好在一半径为 1 cm 的圆上，则正方形的面积是（）。
A. 1 cm²B. 2 cm²C. 4 cm²D. 8 cm²正确答案：C. 4 cm²解析：正方形边长为 2 cm，对角线可以看作是圆的直径。
因为正方形的边长为圆的直径的两倍，所以正方形的对角线长为 4 cm。
由对角线定理可知，正方形的对角线等于边长的根号2倍。
设正方形的边长为 a，则有a√2 = 4。
解得a = 4 / √2 = 2√2 cm。
正方形的面积为 a²，代入a = 2√2，得正方形的面积为 4 cm²。
3. 若一种商品原价为 x 元，现在打折卖，只需支付 x - 20 元就可以购买。
这个打折幅度是原价的多少？A. 5%B. 10%C. 15%D. 20%正确答案：B. 10%解析：原价为 x 元，现价为 x - 20 元。
则打折幅度为 (x - 20) / x * 100%。
化简得打折幅度为 ((x - 20) / x) * 100% = (1 - 20 / x) * 100%。
将选项代入，可以发现当x = 200 时，打折幅度为 10%，因此答案为 B. 10%。
二、填空题4. 七年级五班有 55 名学生，其中女生占总数的 40%，男生人数是（）人。
中考数学真题知识分类练习试卷：有理数（含答案）
有理数一、单选题1．【湖南省娄底市中考数学试题】的相反数是（）A. B. C. - D.【答案】C2．【山东省德州市中考数学试题】3的相反数是（）A. 3B.C. -3D.【答案】C分析：根据相反数的定义，即可解答．详解：3的相反数是﹣3．故选C．点睛：本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．3．【山东省淄博市中考数学试题】计算的结果是（）A. 0B. 1C. ）1D.【答案】A【解析】分析：先计算绝对值，再计算减法即可得．详解：=﹣=0，故选：A．点睛：本题主要考查绝对值和有理数的减法，解题的关键是掌握绝对值的性质和有理数的减法法则．4．【山东省潍坊市中考数学试题】( )A. B. C. D.【答案】B分析：根据绝对值的性质解答即可．详解：|1-|=．故选B．点睛：此题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．5．【江西省中等学校招生考试数学试题】）2的绝对值是A. B. C. D.【答案】B6．【浙江省金华市中考数学试题】在0）1））））1四个数中，最小的数是（）A. 0B. 1C.D. ）1【答案】D分析：根据有理数的大小比较法则（正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小）比较即可．详解：∵-1＜-＜0＜1，∴最小的数是-1，故选D．点睛：本题考查了对有理数的大小比较法则的应用，用到的知识点是正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小．7．【浙江省金华市中考数学试题】在0）1））））1四个数中，最小的数是（）A. 0B. 1C.D. ）1【答案】D8．【江苏省连云港市中考数学试题】地球上陆地的面积约为150 000 000km2．把“150 000 000”用科学记数法表示为（）A. 1.5×108B. 1.5×107C. 1.5×109D. 1.5×106【答案】A分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．详解：150 000 000=1.5×108，故选：A．点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．9．【江苏省盐城市中考数学试题】盐通铁路沿线水网密布，河渠纵横，将建设特大桥梁6座，桥梁的总长度约为146000米，将数据146000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】A分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|．10．n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．详解：将146000用科学记数法表示为：1.46×105．故选：A．点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|．10．n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．【湖北省孝感市中考数学试题】的倒数是（）A. 4B. -4C.D. 16【答案】B分析：根据乘积是1的两个数互为倒数解答．详解：∵-×(-4)=1,∴的倒数是-4.故选：B．点睛：此题考查的知识点是倒数，关键掌握求一个数的倒数的方法．注意：负数的倒数还是负数．11．【安徽省中考数学试题】的绝对值是（）A. B. 8 C. D.【答案】B【分析】根据绝对值的定义“一个数的绝对值是数轴上表示这个数的点到原点的距离”进行解答即可.【详解】数轴上表示数-8的点到原点的距离是8．所以-8的绝对值是8．故选B.【点睛】本题考查了绝对值的概念，熟记绝对值的概念是解题的关键.12．【重庆市中考数学试卷（A卷）】的相反数是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可得.【详解】2与-2只有符号不同，所以2的相反数是-2．故选A.【点评】本题考查了相反数的定义，属于中考中的简单题13．【浙江省衢州市中考数学试卷】）3的相反数是（）A. 3B. ）3C.D. ）【答案】A14．【浙江省绍兴市中考数学试卷】如果向东走记为，则向西走可记为（）A. B. C. D.分析首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．详解：如果向东走2m时，记作+2m，那么向西走3m应记作−3m.故选Ｃ．点睛：考查了相反意义的量，相反意义的量用正数和负数来表示．15.【天津市中考数学试题】计算的结果等于（）A. 5B.C. 9D.【答案】C分析：根据有理数的乘方运算进行计算．详解：（-3）2=9，故选C．点睛：本题考查了有理数的乘方，比较简单，注意负号．16．【山东省滨州市中考数学试题】若数轴上点A、B分别表示数2、﹣2，则A、B两点之间的距离可表示为（）A. 2+））2）B. 2）））2）C. ））2）+2D. ））2））2【答案】B17．【江苏省连云港市中考数学试题】）8的相反数是（）A. ）8B.C. 8D. ）【答案】C分析：根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．详解：-8的相反数是8，故选：C．点睛：此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．18．【江苏省盐城市中考数学试题】-的相反数是（）A. B. - C. D.【答案】A分析：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．详解：-的相反数是．故选：A．点睛：本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．19．【湖北省黄冈市中考数学试题】-的相反数是） ）A. -B. -C.D.分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．详解：-的相反数是．故选C．点睛：本题考查了相反数，关键是在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．学科&网20．【四川省宜宾市中考数学试题】3的相反数是（）A. B. 3 C. ）3 D. ±【答案】C分析：根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．详解：3的相反数是﹣3，故选C．点睛：此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．21．【广东省深圳市中考数学试题】260000000用科学计数法表示为( )A. B. C. D.【答案】B22．【四川省成都市中考数学试题】5月21日，西昌卫星发射中心成功发射探月工程嫦娥四号任务“鹊桥号”中继星，卫星进入近地点高度为200公里、远地点高度为40万公里的预定轨道.将数据40万用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．1万=10000=104．详解：40万=4×105，故选B．点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．23．【天津市中考数学试题】今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学计数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B二、填空题24．【山东省德州市中考数学试题】计算:=__________）分析：根据有理数的加法解答即可．详解：|﹣2+3|=1．故答案为：1．点睛：本题考查了有理数的加法，关键是根据法则计算．25．【湖北省黄冈市中考数学试题】实数16 800 000用科学计数法表示为______________________.【答案】1.68×107分析：用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．详解：16800000=1.68×107．故答案为：1.68×107．点睛：此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．26.【江苏省南京市中考数学试卷】写出一个数，使这个数的绝对值等于它的相反数：__________）【答案】（答案不唯一）分析：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．又根据绝对值的定义，可以得到答案.详解：设|a|=-a，|a|≥0，所以-a≥0，所以a≤0，即a为非正数．故答案为:-1（答案不唯一）.点睛：本题综合考查绝对值和相反数的应用和定义.27．【江苏省南京市中考数学试卷】写出一个数，使这个数的绝对值等于它的相反数：__________）【答案】（答案不唯一）三、解答题28．【江苏省南京市中考数学试卷】如图，在数轴上，点）分别表示数）.）1）求的取值范围.）2）数轴上表示数的点应落在（）A．点的左边B．线段上C．点的右边【答案】（1）.（2）B.。
数学中考分类试题(含答案)
1有理数一、选择题1．(2009年福建省泉州市)计算：=-0)5(（ ）．A ．1B ．0C ．-1D ．-5【答案】A2．(2009年梅州市)12-的倒数为（ ） A ．12B ．2C ．2-D ．1-【答案】C3．(2009年抚顺市)某市在一次扶贫助残活动中，共捐款2580000元．将2580000元用科学记数法表示为（ ）A ．72.5810⨯元 B ．70.25810⨯元 C ．62.5810⨯元 D ．625.810⨯元 【答案】C4．(2009年抚顺市)2-的相反数是（ ） A ．2 B ．12-C ．2-D ．12【答案】A5．（2009年绵阳市）2009年初甲型H1N1流感在墨西哥暴发并在全球蔓延，我们应通过注意个人卫生加强防范．研究表明，甲型H1N1流感球形病毒细胞的直径约为0.00000156 m ，用科学记数法表示这个数是 A ．0.156×10－5 B ．0.156×105 C ．1.56×10－6 D ．1.56×106 【答案】C 6．（2009年绵阳市）如果向东走80 m 记为80 m ，那么向西走60 m 记为 A ．－60 m B ．︱－60︱m C ．－（－60）m D ．601m 【答案】A 7．（2009呼和浩特）2-的倒数是（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．2-答案：A8．（2009年龙岩）－2的相反数是（ ）A ．－2B ．2C ．21D ．－21 【答案】B 9．（2009年铁岭市）目前国内规划中的第一高楼上海中心大厦，总投入约14 800 000 000元．14 800 000 000元用科学记数法表示为（ ） A ．111.4810⨯元 B ．90.14810⨯元C ．101.4810⨯元D ．914.810⨯元【答案】C10．（2009年黄石市）12-的倒数是（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2-【答案】D11．（2009年广东省）《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（ ）A ．107.2610⨯ 元B ．972.610⨯ 元C ．110.72610⨯ 元 D ．117.2610⨯元 【答案】A 12．（2009年枣庄市）实数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错误．．的是（ ） A ．0ab > B ．0a b +< C ．1ab <D ．0a b -< 【答案】C13．（2009年枣庄市）－12的相反数是（ ） A ．2 B ．2- C ．12 D ．12-【答案】C14．（2009年赤峰市）景色秀美的宁城县打虎石水库，总库容量为119600000立方米，用科学计数法表示为 （ ） A 、1.196×108立方米 B 、1.196×107立方米 C 、11.96×107立方米 D 、0.1196×109立方米 【答案】A15．（2009年赤峰市）3(3)-等于（ ） A 、-9 B 、9 C 、-27 D 、2716．（2009贺州）计算2)3(-的结果是（ ）．A ．－6B ．9C ．－9D ．6 【答案】B 17．（2009年浙江省绍兴市）甲型Ｈ1N1流感病毒的直径大约是0.000 000 081米，用科学记数法可表示为（ ）A ．8.1×190-米 B ．8.1×180-米 C ．81×190-米 D ．0.81×170-米 【答案】B 18．（2009年江苏省）2-的相反数是（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．12-【答案】A 19．（2009贵州黔东南州）下列运算正确的是（ C ） A 、39±= B 、33-=- C 、39-=- D 、932=-【答案】B20．（2009年淄博市）如果2()13⨯-=，则“”内应填的实数是（ D ）A ． 32B ． 23C ．23-D ．32-21．（2009襄樊市）通过世界各国卫生组织的协作和努力，甲型H1N1流感疫情得到了有效的控制，到目前为止，全球感染人数约为20000人左右，占全球人口的百分比约为0.0000031，将数字0.0000031用科学记数法表示为（ B ） A ．53.110-⨯ B ．63.110-⨯ C ．73.110-⨯ D ．83.110-⨯ 解析：本题考查科学记数法，0.0000031=63.110-⨯，故选B 。
2024年广东省深圳市中考数学真题试卷附答案
2024年深圳市中考数学真题试卷第一部分选择题一、选择题（本大题共8小题,每小题3分,共24分,每小题有四个选项,其中只有一个是正确的）1.下列用七巧板拼成的图案中,为中心对称图形的是（）A.B.C.D.2.如图,实数a,b,c,d 在数轴上表示如下,则最小的实数为（）A.aB.bC.cD.d3.下列运算正确的是（）A.()523m m -=- B.23m n m m n ⋅=C.33mn m n-= D.()2211m m -=-4.二十四节气,它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律,二十四个节气分别为:春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨）,夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑）,秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降）,冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒）,若从二十四个节气中选一个节气,则抽到的节气在夏季的概率为（）A.12B.112C.16D.145.如图,一束平行光线照射平面镜后反射,若入射光线与平面镜夹角150∠=︒,则反射光线与平面镜夹角4∠的度数为（）A.40︒B.50︒C.60︒D.70︒6.在如图的三个图形中,根据尺规作图的痕迹,能判断射线AD 平分BAC ∠的是（）A.①②B.①③C.②③D.只有①7.在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空．诗的大意是:一些客人到李三公的店中住宿,如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间房．设该店有客房x 间,房客y 人,则可列方程组为（）A.()7791x y x y +=⎧⎨-=⎩ B.()7791x y x y +=⎧⎨+=⎩C.()7791x y x y-=⎧⎨-=⎩ D.()7791x y x y+=⎧⎨+=⎩8.如图,为了测量某电子厂的高度,小明用高1.8m 的测量仪EF 测得的仰角为45︒,小军在小明的前面5m 处用高1.5m 的测量仪CD 测得的仰角为53︒,则电子厂AB 的高度为（）（参考数据:sin 5345︒≈,cos5335︒≈,tan 5343︒≈）A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m第二部分非选择题二、填空题（本大题共5小题,每小题3分,共15分）9.已知一元二次方程230x x m -+=的一个根为1,则m =______．10.如图所示,四边形ABCD ,DEFG ,GHIJ 均为正方形,且10ABCD S =正方形,1GHIJ S =正方形,则正方形DEFG 的边长可以是________．（写出一个答案即可）11.如图,在矩形ABCD 中,2BC =,O 为BC 中点,4OE AB ==,则扇形EOF 的面积为________．12.如图,在平面直角坐标系中,四边形AOCB 为菱形,4tan 3AOC ∠=,且点A 落在反比例函数3y x =上,点B 落在反比例函数()0k y k x=≠上,则k =________．13.如图,在ABC 中,AB BC =,5tan 12B ∠=,D 为BC 上一点,且满足85BD CD =,过D 作DE AD ⊥交AC 延长线于点E ,则CEAC=________．三、解答题（本题共7小题,其中第14题5分,第15题7分,第16题8分,第17题8分,第18题9分,第19题12分,第20题12分,共61分）14.计算:()112cos 45 3.1414π-⎛⎫-⋅︒+-++ ⎪⎝⎭．15.先化简,再求值:2221111a a a a -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭,其中1a =+16.据了解,“i 深圳”体育场地一键预约平台是市委、市政府打造“民生幸福标杆”城市过程中,推动的惠民利民重要举措,在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意义．按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆“应接尽接”原则,“i 深圳”体育场馆一键预约平台实现了“让想运动的人找到场地,已有的体育场地得到有效利用”．小明爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体,现有A,B 两所学校适合,小明收集了这两所学校过去10周周六上午的预约人数:学校A:28,30,40,45,48,48,48,48,48,50,50学校B:（1）学校平均数众数中位数方差A ①________4883.299B48.4②________③________354.04（2）根据上述材料分析,小明爸爸应该预约哪所学校？请说明你的理由．17.背景【缤纷618,优惠送大家】今年618各大电商平台促销火热,线下购物中心也亮出大招,年中大促进入“白热化”．深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动,进入6月更是持续加码,如图,某商场为迎接即将到来的618优惠节,采购了若干辆购物车．素材如图为某商场叠放的购物车,右图为购物车叠放在一起的示意图,若一辆购物车车身长1m ,每增加一辆购物车,车身增加0.2m ．问题解决任务1若某商场采购了n 辆购物车,求车身总长L 与购物车辆数n 的表达式;任务2若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼,已知该商场的直立电梯长为2.6m ,且一次可以运输两列购物车,求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？任务3若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车,若要运输100辆购物车,且最多只能使用电梯5次,求:共有多少种运输方案？18.如图,在ABD △中,AB BD =,O 为ABD △的外接圆,BE 为O 的切线,AC 为O 的直径,连接DC 并延长交BE 于点E ．（1）求证:DE BE⊥（2）若AB =,5BE =,求O 的半径．19.为了测量抛物线的开口大小,某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置,并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x,y 轴建立如图所示平面直角坐标系,该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示,设BD 的读数为x,CD 读数为y,抛物线的顶点为C ．（1）（Ⅰ）列表:①②③④⑤⑥x 023456y 012.2546.259（Ⅱ）描点:请将表格中的(),x y 描在图2中（Ⅲ）连线:请用平滑的曲线在图2将上述点连接,并求出y 与x 的关系式（2）如图3所示,在平面直角坐标系中,抛物线()2y a x h k =-+的顶点为C,该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为AB ,竖直跨度为CD ,且AB m =,CD n =,为了求出该抛物线的开口大小,该数学兴趣小组有如下两种方案,请选择其中一种方案,并完善过程:方案一:将二次函数()2y a x h k =-+平移,使得顶点C 与原点O 重合,此时抛物线解析式为2y ax =．①此时点B '的坐标为________②将点B '坐标代入2y ax =中,解得=a ________;（用含m,n 的式子表示）方案二:设C 点坐标为(),h k ①此时点B 的坐标为________②将点B 坐标代入()2y a x h k =-+中解得=a ________;（用含m,n 的式子表示）（3）【应用】如图4,已知平面直角坐标系xOy 中有A,B 两点,4AB =,且AB x ∥轴,二次函数()211:2C y x h k =++和()222:C y a x h b =++都经过A,B 两点,且1C 和2C 的顶点P,Q 距线段AB 的距离之和为10,若AB x ∥轴且4AB =,求a 的值．20.垂中平行四边形的定义如下:在平行四边形中,过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边,若交点是这条边的中点,则该平行四边形是“垂中平行四边形”．（1）如图1所示,四边形ABCD 为“垂中平行四边形”,AF =,2CE =,则AE =________;AB =________（2）如图2,若四边形ABCD 为“垂中平行四边形”,且AB BD =,猜想AF 与CD 的关系,并说明理由（3）①如图3所示,在ABC 中,5BE =,212CE AE ==,BE AC ⊥交AC 于点E ,请画出以BC 为边的垂中平行四边形,要求:点A 在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示:不限作图工具）②若ABC 关于直线AC 对称得到AB C 'V ,连接CB ',作射线CB '交①中所画平行四边形的边于点P ,连接PE ,请直接写出PE 的值．2024年深圳市中考数学真题试卷解析一、选择题.题号12345678答案CABDBBAA8.【解析】解:如图:延长DC 交EM 于一点G∵90MEF EFB CDF ∠=∠=∠=︒∴四边形EFDG 是矩形∵90MEF EFB B ∠=∠=∠=︒∴四边形EFBM 是矩形同理得四边形CDBN 是矩形依题意,得 1.8m 1.5m EF MB CD ===，,4553AEM ACN ∠=︒∠=︒，∴()1.8 1.5m 0.3m CG =-=,5m FD EG ==∴0.3mCG MN ==∴设m GM x =,则()5mEM x =+在Rt tan AMAEM AEM EM∠= ，，∴1EM AM ⨯=即()5mAM x =+在Rt tan ANACN ACN CN∠= ，，∴4tan 533CN x AN ︒==即4m 3AN x =∴()450.33MN AN AM x x =-=-+=∴15.9mx =∴()15.9520.9m AM =+=∴()20.9 1.822.7m AB AM EF AM MB =+=+=+=故选:A.二、填空题.9.【答案】210.【答案】2（答案不唯一）11.【答案】4π12.【答案】813.【答案】2021【解析】解:如图,过点A 作AH CB ⊥垂足为H∵85BD DC =,AB BC =设13AB BC x ==∴85BD x DC x ==，∵5tan 12B ∠=,AH CB ⊥∴512AH BH =∵13AB BC x==∴2222169AH BH AB x +==解得512AH x BH x ==，，∴1284DH x x x =-=,54HC x x x=-=∴AD =,AC ==∴cos 41DH ADC AD ∠==过点C 作CM AD ⊥垂足为M∴cos 41DM CD ADC =⋅∠=,41AM AD DM =-=∵DE AD ⊥,CM AD⊥∴MC DE ∥∴2041204121214141x CE DM AC AM ===故答案为:2021．三、解答题.14.【答案】415.【答案】11a -,2216.【答案】（1）①48.3;②25;③47.5（2）小明爸爸应该预约学校A,理由见解析【小问1详解】解:①()1283040454848484848505048.310++++++++++=②数据中出现次数最多的是25,故众数为25③数据排序后,排在中间两位的数据为45,50,故中位数为:()1455047.52+=填表如下:学校平均数众数中位数方差A48.34883.299B 48.42547.5354.04【小问2详解】小明爸爸应该预约学校A,理由如下:学校A 的方差小,预约人数相对稳定,大概率会有位置更好的进行锻炼．17.【答案】任务1:()0.80.2L n m =+;任务2:一次性最多可以运输18台购物车;任务3:共有3种方案【解析】解:任务1:∵一辆购物车车身长1m ,每增加一辆购物车,车身增加0.2m∴()0.80.2L n m=+任务2:依题意,∵已知该商场的直立电梯长为2.6m ,且一次可以运输两列购物车令2.60.80.2n≥+解得:9n ≤∴一次性最多可以运输18台购物车任务3:设x 次扶手电梯,则()5x -次直梯由题意∵该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车,若要运输100辆购物车,且最多只能使用电梯5次可列方程为:()24185100x x +-≥解得:53x ≥方案一:直梯3次,扶梯2次方案二:直梯2次,扶梯3次:方案三:直梯1次,扶梯4次答:共有三种方案18.【答案】（1）见解析（2）【小问1详解】证明:连接BO 并延长,交AD 于点H ,连接OD∵AB BD =,OA OD=∴BO 垂直平分AD∴BH AD ⊥,AH DH=∵BE 为O 的切线∴HB BE⊥∵AC 为O 的直径∴90ADC ∠=︒∴四边形BHDE 为矩形∴DE BE⊥【小问2详解】由（1）知四边形BHDE 为矩形,BH AD ⊥,AH DH =∴5AH DH BE ===∴2255BH AB AH =-=设O 的半径为r ,则:,55OA OB r OH BH OB r ===-=-在Rt AOH △中,由勾股定理,得:()()22255r r =+解得:35r =即:O 的半径为35．19.【答案】（1）图见解析,214y x =;（2）方案一:①1,2m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭;②24n m ;方案二:①1,2h m k n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭;②24n m ;（3）a 的值为12或12-．【小问1详解】解:描点,连线,函数图象如图所示观察图象知,函数为二次函数设抛物线的解析式为2y ax bx c=++由题意得04211644c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得1400a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∴y 与x 的关系式为214y x =【小问2详解】解:方案一:①∵AB m =,CD n=∴12D B m ''=此时点B '的坐标为1,2m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为:1,2m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭②由题意得212m a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭解得24na m =故答案为:24n m方案二:①∵C 点坐标为(),h k ,AB m =,CD n=∴12DB m =此时点B 的坐标为1,2h m k n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭故答案为:1,2h m k n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭②由题意得212k n a h m h k ⎛⎫+=+-+ ⎪⎝⎭解得24na m =故答案为:24n m 【小问3详解】解:根据题意1C 和2C 的对称轴为x h=-则()28A h k --+，,()28B h n -++，,1C 的顶点坐标为()P h k -，∴1C 顶点距线段AB 的距离为()88k k +-=∴2C 的顶点距线段AB 的距离为1082-=∴2C 的顶点坐标为()10Q h k -+，或()6Q h k -+，当2C 的顶点坐标为()10Q h k -+，时,()2210y a x h k =+++将()28A h k --+，代入得4108a k k ++=+,解得12a =-当2C 的顶点坐标为()6Q h k -+，时,()226y a x h k =+++将()28A h k --+，代入得468a k k ++=+,解得12a =综上,a 的值为12或12-．20.【答案】（1）1（2）AF =,理由见解析（3）①见解析;②3414PE =或3412．【小问1详解】解://AD BC ,F 为AD 的中点,AD BC =,AF =,2CE =AEF CEB ∴ ∽,2BC AD AF ===AF AEBC CE ∴=,2AE =,解得1AE =22222216BE BC CE ∴=-=-=AB ∴===故答案为【小问2详解】解:AF =,理由如下:根据题意,在垂中四边形ABCD 中,AF BD ⊥,且F 为BC 的中点∴2AD BC BF ==,90AEB ∠=︒又 AD BC∥AED FEB∴ ∽∴2AE AD DE EF BF EB===设BE a =,则2DE a= AB BD=∴23AB BD BE ED a a a==+=+=∴AE ===,EF =∴AF AE EF =+=+=AB CD=∴323AF AF CD AB a ===AF ∴=【小问3详解】解:①第一种情况:作BC 的平行线AD ,使AD BC =,连接CD则四边形ABCD 为平行四边形延长BE 交AD 于点FBC ADAEF CEB∴ ∽AF AE BC CE∴=AD BC = ,2CE AE =12AF AE BC CE ∴==,即1122AF BC AD ==∴F 为AD 的中点故如图1所示,四边形ABCD 即为所求的垂中平行四边形:第二种情况:作ABC ∠的平分线,取CH CB =交ABC ∠的平分线于点H ,延长CH 交BE 的延长线于点D ,在射线BA 上取AF AB =,连接DF故A 为BF 的中点同理可证明:12AB CD =则2BF AB AF AB CD=+==则四边形BCDF 是平行四边形;故如图2所示,四边形BCDF 即为所求的垂中平行四边形:第三种情况:作AD BC∥,交BE的延长线于点D,连接CD,作BC的垂直平分线在DA延长线上取点F,使AF AD=,连接BF则A为DF的中点同理可证明12AD BC=,从而DF BC=故四边形BCDF是平行四边形故如图3所示,四边形BCDF即为所求的垂中平行四边形:②若按照图1作图,由题意可知,ACB ACP∠=∠四边形ABCD是平行四边形ACB PAC∴∠=∠PAC PCA∴∠=∠PAC ∴△是等腰三角形过P 作PH AC ⊥于H,则AH HC= 5BE =,212CE AE ==5B E BE '∴==,6AE =111()(612)9222AH HC AC AE CE ∴===+=+=963EH AH AE ∴=-=-=PH AC ⊥ ,BE AC⊥CPH CB E'∴∽△△PH CH B E CE ∴=',即9515124CH B E PH CE '⋅⨯===∴3414PE ===若按照图2作图,延长CA ,DF 交于点G同理可得:PGC 是等腰三角形连接PAGF BC∥ GAF CAB∴ ∽1AF AG AB AC∴==AG AC∴=PA AC∴⊥同理,CPA CB E'∽△△6AE = ,12EC =,5B E BE '==B E CE PA AC '∴=,即51815122B E AC PA CE '⋅⨯===,3412PE ∴===若按照图3作图,则:没有交点,不存在PE （不符合题意）故答案为:4PE =或2．。
2024中考数学全国真题分类卷 第十五讲 图形的相似(含答案)
2024中考数学全国真题分类卷第十五讲图形的相似命题点1比例线段类型一比例的性质1.(2022大庆)已知x2＝y3＝z4≠0，则x2＋xyyz＝________．类型二黄金分割2.(2023山西)神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618.这体现了数学中的()第2题图A.平移B.旋转C.轴对称D.黄金分割3.(新趋势)·数学文化(2023衡阳)在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是(结果精确到0.01m.参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236)()第3题图A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m4.(新趋势)·数学文化(2023陕西)在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE·A B.已知AB为2米，则线段BE的长为________米．第4题图类型三平行线分线段成比例5.(2023丽水)如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横线上．若线段AB ＝3，则线段BC 的长是()第5题图A.23 B.1 C.32 D.26.(2023凉山州)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，若DE ∥BC ，AD DB ＝23，DE ＝6cm ，则BC 的长为()第6题图A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm命题点2相似的基本性质7.(2023甘肃省卷)若△ABC ∽△DEF ，BC ＝6，EF ＝4，则AC DF ＝()A.49 B.94 C.23 D.328.(2023连云港)△ABC 的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF ，其最长边为12，则△DEF 的周长是()A.54B.36C.27D.219.(新趋势)·条件开放性问题(2023盐城)如图，在△ABC 与△A ′B ′C ′中，点D ，D ′分别在边BC ，B ′C ′上，且△ACD ∽△A ′C ′D ′，若________，则△ABD ∽△A ′B ′D ′.请从①BD CD ＝B ′D ′C ′D ′；②AB CD ＝A ′B ′C ′D ′；③∠BAD ＝∠B ′A ′D ′这3个选项中选择一个作为条件(写序号)，并加以证明．第9题图命题点3相似三角形的判定与性质类型一A 字型10.(2023云南)如图，在△ABC 中，D ，E 分别为线段BC ，BA 的中点，设△ABC 的面积为S 1，△EBD 的面积为S 2，则S 2S 1＝()第10题图A.12 B.14 C.34 D.7811.(2023贵阳)如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的点，∠B ＝∠ACD ，AC ∶AB ＝1∶2，则△ADC 与△ACB 的周长比是()第11题图A.1∶2B.1∶2C.1∶3D.1∶4源自北师九上P90第3题12.(2023遂宁)如图，D ，E ，F 分别是△ABC 三边上的点，其中BC ＝8，BC 边上的高为6，且DE ∥BC ，则△DEF 面积的最大值为()第12题图A.6B.8C.10D.1213.(新趋势)·条件开放性问题(2023邵阳)如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC 边上，请添加一个条件________，使△ADE∽△AB C.第13题图14.(2023嘉兴)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E.点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD 的长为________．第14题图15.(2022南充)如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝3AB＝3BD，则AD∶AC的值为________．第15题图16.(2023江西)如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE.(1)求证：△ABC∽△AEB；(2)当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．第16题图17.(2023杭州)如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，连接DE ，EF .已知四边形BFED 是平行四边形，DE BC ＝14.(1)若AB ＝8，求线段AD 的长；(2)若△ADE 的面积为1，求平行四边形BFED 的面积．第17题图18.(2020上海)已知：如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，BE ＝DF ，CE 的延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H .(1)求证：△BEC ∽△BCH ；(2)如果BE 2＝AB ·AE ，求证：AG ＝DF .第18题图19.(挑战题)(2023宁波)【基础巩固】(1)如图①，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF 交DE于点G，求证：DG＝EG；【尝试应用】(2)如图②，在(1)的条件下，连接CD，CG.若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求DEBC的值；【拓展提高】(3)如图③，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD 交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F.若∠EGF＝40°，FG平分∠EFC，FG＝10，求BF的长．第19题图类型二8字型20.(2022雅安)如图，将△ABC 沿BC 边向右平移得到△DEF ，DE 交AC 于点G .若BC ∶EC ＝3∶1.S △ADG ＝16.则S △CEG 的值为()第20题图A.2B.4C.6D.821.(2023包头)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A ，B ，C ，D 四个点均在格点上，AC 与BD 相交于点E ，连接AB ，C D.则△ABE 与△CDE 的周长比为()第21题图A.1∶4B.4∶1C.1∶2D.2∶122.(2022连云港)如图，△ABC 中，BD ⊥AB ，BD ，AC 相交于点D ，AD ＝47AC ，AB ＝2，∠ABC ＝150°，则△DBC 的面积是()第22题图A.3314 B.9314 C.337 D.63723.(2022淄博)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CE 是斜边AB 上的中线，过点E 作EF ⊥AB 交AC 于点F ，若BC ＝4，△AEF 的面积为5，则sin ∠CEF 的值为()A.35 B.55 C.45 D.255第23题图24.(2022云南)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点，AD 与BE 相交于点F .若BF ＝6，则BE 的长是________．第24题图25.(2022包头)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，过点B 作BD ⊥CB ，垂足为B ，且BD ＝3，连接CD ，与AB 相交于点M ，过点M 作MN ⊥CB ，垂足为N .若AC ＝2，则MN 的长为________．第25题图26.(新考法)·结合网格考查线段位置关系(2023河北)如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A ，B 的连线与钉点C ，D 的连线交于点E ，则(1)AB 与CD 是否垂直？________(填“是”或“否”)；(2)AE ＝________．第26题图27.(2022长春)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ＝4,BD ＝8，点E 在边AD 上，AE ＝13AD ，连接BE 交AC 于点M .(1)求AM 的长；(2)tan ∠MBO 的值为________．第27题图28.(2023泰安)如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE 与AC相交于点F.(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．第28题图类型三旋转型29.(2023玉林)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是DC边上的任一点(不包括端点D，C)，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE＝a.(1)求BF的长(用含a的代数式表示)；(2)连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形．第29题图类型四三垂直型30.(2023达州)如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为()A.9B.12C.15D.18第30题图31.(2022台州)如图，点E,F,G分别在正方形ABCD的边AB,BC,AD上，AF⊥EG.若AB ＝5,AE＝DG＝1,则BF＝________．第31题图类型五网格中相似三角形的判定与性质32.(2020昆明)在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有()第32题图A.4个B.5个C.6个D.7个33.(2022临沂)如图，点A，B都在格点上，若BC＝2133，则AC的长为()第33题图A.13B.413C.213D.3133命题点4相似三角形的实际应用34.(2020绍兴)如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2∶5，且三角板的一边长为8cm.则投影三角板的对应边长为()第34题图A.20cmB.10cmC.8cmD.3.2cm35.(2022河北)图①是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部分液体后如图②所示，此时液面AB＝()第35题图A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm36.(2023盐城)“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法．步骤第一步：水平举起右臂，大拇指竖直向上，大臂与身体垂直；第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；第三步：闭上右眼，睁开左眼．此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离．参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；第四步：将横向距离乘以10(人的手臂与眼距的比值一般为10)，得到的值约为被测物体离观测点的距离值．如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为()第36题图A.40米B.60米C.80米D.100米37.(2023陕西)小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O，C，D，F，G五点在同一直线上，A，B，O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB.第37题图源自北师九上P103活动参考答案与解析1.562.D3.B 【解析】设该雕像的下部设计高度约为x ，则上部高度为2－x ，根据题意得2－x x ＝x2，解得x ＝－1＋5(负值已舍去)，∴x ＝－1＋2.236≈1.24.经检验x ＝1.24是该分式方程的解且符合实际，∴该雕像的下部设计高度约是1.24m.4.5－1【解析】∵E 为边AB 的黄金分割点，AB ＝2，∴BE AB ＝5－12，即BE2＝5－12，∴BE ＝(5－1)米．5.C 【解析】∵五线谱中五条横线等距离且平行，∴分割线段AC 成比例，∴根据图形得ABBC ＝21，∵AB ＝3，∴BC ＝32.6.C 【解析】∵DE ∥BC ，AD DB ＝23，∴AD AB ＝DE BC ＝25，∵DE ＝6cm ，∴BC ＝15cm.7.D8.C 【解析】△ABC 的最长边为4，与△ABC 相似的△DEF 最长边为12，∴相似比为4∶12＝1∶3，∵△ABC 的周长为2＋3＋4＝9，∴△DEF 的周长为3×9＝27.9.解：选择①BD CD ＝B ′D ′C ′D ′；证明：∵△ACD ∽△A ′C ′D ′，∴∠ADC ＝∠A ′D ′C ′，AD A ′D ′＝CDC ′D ′，∴∠ADB ＝∠A ′D ′B ′，又∵BD CD ＝B ′D ′C ′D ′，∴BD B ′D ′＝CDC ′D ′，则BD B ′D ′＝CD C ′D ′＝AD A ′D ′，∴△ABD ∽△A ′B ′D ′.【一题多解】选择③∠BAD ＝∠B ′A ′D ′.证明：∵△ACD ∽△A ′C ′D ′，∴∠ADC ＝∠A ′D ′C ′，∴∠ADB ＝∠A ′D ′B ′，∵∠BAD ＝∠B ′A ′D ′，10.B 【解析】在△ABC 中，∵D 、E 分别为线段BC 、BA 的中点，∴DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BCA ，∴S 2S 1＝(BE AB )2＝(12)2＝14.11.B 【解析】∵∠CAD ＝∠BAC ，∠ACD ＝∠B ，∴△ADC ∽△ACB ，∴C △ADC C △ACB＝AC AB ＝12.12.A【解析】∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，设相似比为k ，则DE ＝8k ，△ADE 的DE边上高为6k ，∴△DEF 的DE 边上高h ＝6－6k ，S △DEF ＝12DE ·h ＝12×8k ×(6－6k )＝－24k 2＋24k ＝－24(k －12)2＋6，∴当k ＝12时，S 取最大值，此时最大值为6.13.∠ADE ＝∠B (答案不唯一)【解析】∵∠A ＝∠A ，∴添加条件∠ADE ＝∠B 即可得到△ADE ∽△ABC .14.233【解析】由题意得，DE ＝1，BC ＝3，在Rt △ABC 中，∠A ＝60°，则AB ＝BC tan A＝33＝3.∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝AD AB ，即13＝3－BD 3，解得BD ＝233.15.33【解析】∵BC ＝3AB ＝3BD ，∴BC AB ＝ABBD＝3，∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△DBA ，∴AD AC ＝BD BA ＝33.16.(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，AC 为对角线，∴∠ACB ＝∠ACD .∵∠ACD ＝∠ABE ，∴∠ACB ＝∠ABE .又∵∠BAC ＝∠EAB ，∴△ABC ∽△AEB ；(2)解：∵△ABC ∽△AEB ，∴AB AE ＝AC AB ，∵AB ＝6，AC ＝4，∴6AE ＝46，∴AE ＝9.17.解：(1)∵四边形BFED 是平行四边形，∴DE ∥BC ，∴AD AB ＝DE BC ＝14，∵AB ＝8，∴AD ＝2；(2)设△ABC 的面积为S ，△ADE 的面积为S 1，△CEF 的面积为S 2.∵AD AB ＝14，∴S 1S ＝(AD AB )2＝116，∵S 1＝1，∴S ＝16.∵CE CA ＝34，同理可得S 2＝9，∴平行四边形BFED 的面积为S －S 1－S 2＝6.18.证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴CD ＝CB ，∠D ＝∠B ，∵DF ＝BE ，∴△CDF ≌△CBE (SAS)，∴∠DCF ＝∠BCE ，∵CD ∥BH ，∴∠H ＝∠DCF ，∴∠H ＝∠BCE ，∵∠B ＝∠B ，∴△BEC ∽△BCH ；(2)∵BE 2＝AB ·AE ，∴AB BE ＝BE AE ，∵CB ∥DG ，∴AE BE ＝AG BC ，∴AG BC ＝BE AB，∵BC ＝AB ，∴AG ＝BE ，∵△CDF ≌△CBE ，∴DF ＝BE ，∴AG ＝DF .19.(1)证明：∵DE ∥BC ，∴△ADG ∽△ABF ，△AEG ∽△ACF ，∴DG BF ＝AG AF ，EG CF ＝AG AF ，∴DG BF ＝EG CF .∵BF ＝CF ，∴DG ＝EG ；(2)解：由(1)得DG ＝EG ，∵CG ⊥DE ，∴CE ＝CD ＝6.∵AE ＝3，∴AC ＝AE ＋CE ＝9.∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝AE AC ＝13；(3)解：如解图，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，过点M 作MN ⊥BC ，垂足为N .在▱ABCD 中，BO ＝DO ，∠ABC ＝∠ADC ＝45°.∵EG ∥BD ，∴同(1)中的方法可得ME ＝GE .第19题解图∵EF ⊥EG ，∴FM ＝FG ＝10，∴∠EFM ＝∠EFG .∵∠EGF ＝40°，∴∠EFG ＝50°.∵FG 平分∠EFC ，∴∠EFG ＝∠CFG ＝50°，∴∠BFM ＝180°－∠EFM －∠EFG －∠CFG ＝30°.在Rt △FMN 中，MN ＝FM ·sin 30°＝5，FN ＝FM ·cos 30°＝53.∵∠MBN ＝45°，MN ⊥BC ，∴BN ＝MN ＝5，∴BF ＝BN ＋FN ＝5＋53.20.B 【解析】由平移性质可得，AD ∥BE ，AD ＝BE ，∴△ADG ∽△CEG .∵BC ∶EC ＝3∶1，∴BE ∶EC ＝2∶1，∴AD ∶EC ＝2∶1，∴S △ADG ∶S △ECG ＝(AD EC)2＝4.∵S △ADG ＝16，∴S △CEG ＝4.21.D 【解析】如解图，取格点F ，H ，易得△AHB ∽△DFC ，∴AB CD ＝AH DF ＝2，∠ABF ＝∠DCF ，∴AB ∥CD ，∴△ABE ∽△CDE ，∵AB ∶CD ＝2∶1，∴周长比为2∶1.第21题解图22.A 【解析】如解图，过点C 作BD 的垂线，交BD 的延长线于点E ，则∠E ＝90°，∵BD ⊥AB ，CE ⊥BD ，∴AB ∥CE ，∠ABD ＝90°，又∵∠ADB ＝∠CDE ，∴△ABD ∽△CED ，∴AD CD ＝ABCE＝BD DE .∵AD ＝47AC ，∴AD CD ＝43，∴AB CE ＝2CE ＝43＝BD DE ，则CE ＝32.∵∠ABC ＝150°，∠ABD ＝90°，∴∠CBE ＝60°，∴BE ＝33CE ＝32，∴BD ＝47BE ＝237，∴S △BCD ＝12BD ·CE ＝12×237×32＝3314.第22题解图23.A 【解析】如解图，过点E 作EG ⊥AC 于点G ，过点C 作EF 的垂线交EF 的延长线于点H ，∵E 是AB 的中点，BC ＝4，∴EG ∥BC ，EG ＝12BC ＝2，∵△AEF 的面积为5，∴12AF ·EG＝5，∴AF ＝5.∵∠H ＝∠FEA ＝90°，∠CFH ＝∠AFE ，∴△CFH ∽△AFE ，∴CH AE ＝CFAF，∵E 为AB 的中点，∠ACB ＝90°，∴CE ＝AE ，∴CH AE ＝CH CE ＝CFAF .∵∠FEA ＝∠ACB ＝90°，∠A ＝∠A ，∴△AEF ∽△ACB ，∴AE AC ＝AF AB ，∴12AB AC ＝5AB ，∴AB 2＝10AC .∵在Rt △ABC中，AB 2＝BC 2＋AC 2，∴10AC ＝16＋AC 2，∴AC ＝2(舍去)，AC ＝8，∴CF ＝3，∴sin ∠CEF ＝CH CE ＝CF AF ＝35.第23题解图24.9【解析】∵点D ，E 分别是BC ，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ，DE ＝12AB .∴△DEF ∽△ABF ，∴EF BF ＝DE AB ＝12，∵BF ＝6，即EF 6＝12，∴EF ＝3，∴BE＝BF ＋EF ＝6＋3＝9.25.65【解析】∵∠ACB ＝90°，BD ⊥CB ，MN ⊥CB ，∴AC ∥MN ∥DB ，∠CNM ＝∠CBD ，∴∠MAC ＝∠MBD ，∠MCA ＝∠MDB ＝∠CMN ，∴△MAC ∽△MBD ，△CMN ∽△CDB ，∴MC MD ＝AC BD ＝23，MN BD ＝CM CD ，∴CM CD ＝25，∴MN 3＝25，∴MN ＝65.26.(1)是；(2)455【解析】(1)如解图，易得△ACH ≌△CGD ，则∠GCD ＝∠CAH ，又∵∠GCD＋∠ECA ＝90°，∴∠CAH ＋∠ECA ＝90°，∴∠CEA ＝90°；(2)由解图可得△CEA ∽△DEB ，BD ＝3，AC ＝2，AB ＝22＋42＝25，∴AC BD ＝AE BE ，∴AE BE ＝23，∴AE ＝25AB ＝455.第26题解图27.解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC .∴△AEM ∽△CBM ，∴AM CM ＝AE CB ，∵AE ＝13AD ＝13BC ，∴AM ＝13CM ，∴AM ＝14AC ，∵AC ＝4，∴AM ＝1；(2)14.【解法提示】∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝4，BD ＝8，∴AO ＝OC ＝2，BO ＝OD ＝4，AC ⊥BD ，∵AM ＝1，∴OM ＝1，∴在Rt △BOM 中，tan ∠MBO ＝OM OB ＝14.28.(1)证明：如解图，∵四边形ABCD 为矩形，∴OC ＝OD ，AB ∥CD ，∴∠2＝∠3＝∠4.∵DE ＝BE ，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，第28题解图又∵BE 平分∠DBC ，∴∠1＝∠6，∴∠3＝∠6，又∵∠3＋∠5＝90°，∴∠6＋∠5＝90°，∴BF ⊥AC ；(2)解：△ECF ，△BAF 与△OBF 相似．理由如下：如解图，由(1)知∠1＝∠2，∵AB ∥CD ，∴∠2＝∠3＝∠4，∴∠1＝∠4，又∵∠OFB ＝∠BFO ，∴△OBF ∽△BAF ，∵∠1＝∠3，∠OFB ＝∠EFC ，∴△OBF ∽△ECF ；(3)解：∵△OBF ∽△ECF ，∴EF OF ＝CF BF ，∵OF ＝3，EF ＝2，∴23＝CF BF ，∴3CF ＝2BF .∵OA ＝OC ，∴OA ＝OF ＋CF ，∴3OA ＝3CF ＋3OF .∴3OA ＝2BF ＋9，①∵△OBF ∽△BAF ，∴OF BF ＝BF AF ，∴BF 2＝OF ·AF ，∴BF 2＝3(OA ＋3).②由①②，得BF ＝1＋19(负值已舍去)，∴DE ＝BE ＝2＋1＋19＝3＋19.29.(1)解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠BAD ＝∠D ＝90°，∴∠ABF ＝90°＝∠D ，∠BAE ＋∠DAE ＝90°，∵AE ⊥AF ，∴∠BAE ＋∠BAF ＝90°，∴∠DAE ＝∠BAF ，∴△DAE ∽△BAF ，∴AD AB ＝DE BF ，即48＝a BF，∴BF ＝2a ；(2)证明：如解图，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，∵CG ∥AE ，∴四边形AGCE 是平行四边形，第29题解图∴CE ＝AG ，∵AB ＝CD ，∴DE ＝GB ＝a ，∵BF ＝2a ，∴tan ∠BFG ＝BG BF ＝12，∵△DAE ∽△BAF ，∴AE AF ＝AD AB ＝12，∴tan ∠AFE ＝12，∴∠BFG ＝∠AFE ，即FE 平分∠AFC ，∵EA ⊥AF ，EC ⊥CF ，∴AE ＝EC ，∴四边形AGCE 是菱形．30.C 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝CD ，∵将△ADE 沿DE 翻折，∴AD ＝DF ，AE ＝EF ，∠A ＝∠EFD ＝90°，设BF ＝x ，则AB ＝CD ＝3x ，∵BE ＝4，∴AE ＝EF ＝3x －4，在Rt △BEF 中，EF 2＝BF 2＋BE 2，∴(3x －4)2＝x 2＋42，解得x 1＝3，x 2＝0(不符合题意，舍去)，∴EF ＝3x －4＝5.∵∠BFE ＋∠CFD ＝90°，∠BFE＋∠BEF ＝90°，∴∠CFD ＝∠BEF ，∵∠B ＝∠C ，∴△CFD ∽△BEF ，∴DF FE ＝CD BF ，∴DF 5＝3BF BF，解得DF ＝15，即AD ＝15.31.54【解析】如解图，记EG 与AF 交于点H ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝∠B ＝90°.∵AF ⊥EG .∴∠AGE ＋∠GAH ＝90°，∠FAB ＋∠GAH ＝90°.∴∠AGE ＝∠FAB .∴△ABF ∽△GAE ，∴AB GA ＝BF AE ，∴AB AD －GD ＝BF AE ，∵AB ＝5，AE ＝GD ＝1，∴55－1＝BF 1，解得BF ＝54.第31题解图32.C 【解析】如解图，使得△ADE ∽△ABC 的格点三角形一共有6个．第32题解图33.B 【解析】由相似得AC BC ＝42，∴AC 2133＝42，解得AC ＝4133.34.A 【解析】设投影三角尺的对应边长为x cm ，∵三角尺与投影三角尺相似且相似比为2∶5，∴8∶x ＝2∶5，解得x ＝20.35.C 【解析】根据“相似三角形对应高的比等于相似比”可知15－711－7＝6AB ，即84＝6AB ，解得AB ＝3cm.36.C 【解析】根据三角形的相似，可以得到被测物体(汽车头部)到大拇指的距离为被测物体到睁开左眼时，大拇指指向的位置距离的10倍，而这个水平距离约是2个汽车的长度，因此这个距离约是2×4×10＋大拇指到右眼的距离＝80＋0.7(估算手臂长度)≈80.7，因此汽车到观测点的距离约为80米．37.解：∵AD ∥EG ，∴∠ADO ＝∠EGF .又∵∠AOD ＝∠EFG ＝90°，∴△AOD ∽△EFG .∴AO EF ＝OD FG.∴AO ＝EF ·OD FG ＝1.8×202.4＝15.同理，△BOC ∽△AOD .∴BO AO ＝OC OD，∴BO ＝AO ·OC OD ＝15×1620＝12.∴AB ＝AO －BO ＝3(米).∴旗杆的高AB 为3米．。
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第一部分 基础知识集训第一讲 实数与二次根式及其运算命题点分类集训命题点1 实数的相关概念1. B 【解析】本题考查相反数的概念．根据相反数的概念可知只有符号不同的两个数互为相反数，所以－23的相反数是23.2. A 【解析】根据乘积为1的两数互为倒数，即可得出答案.15与5的积为1，所以15的倒数为5.故选A.3. A 【解析】根据绝对值的性质．|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＞0）0（a ＝0）－a （a ＜0），所以|－3|＝3.4. D 【解析】本题考查倒数与相反数的概念．∵－12的倒数是－2，－2的相反数是2，∴－12的倒数的相反数是2.5. A 【解析】本题考查负数的定义．负数是指小于0的数．这组数据中只有－3.14<0，故选A.6. B 【解析】本题考查正负数的意义．高出海平面记为正数，低于海平面记为负数．因此低于海平面415 m ，记为－415 m.7. D 【解析】实数分为有理数和无理数，整数和分数统称为有理数，0是整数，因此0是有理数，故选D.8. C 【解析】根据无理数的概念，无限不循环小数是无理数，0.2是有限小数，是有理数，12是分数，是有理数； 2＝1.41421…是无限不循环小数，是无理数；－5是负整数，是有理数；因此C 选项符合题意．9. A 【解析】本题考查了求一个非负数的平方根．∵(±3)2＝9，∴9的平方根是±3，故选A.易错警示混淆算术平方根和平方根的概念．正数的平方根有两个，它们互为相反数，正数为正的平方根，负数为负的平方根，正的平方根又称算术平方根.0只有一个平方根，也可以称为算术平方根．负数没有平方根．10. 2 【解析】本题考查算术平方根的计算．算术平方根是一个非负数的平方根中，大于(或等于)零的那个数.4的平方根是±2，∴4的算术平方根是2.11. －4 【解析】根据实数立方根的概念及性质计算即可. ∵(－4)3＝－64，∴－64的立方根是－4.命题点2 科学记数法12. B 【解析】本题考查科学记数法的表示，将一个较大数表示成a ×10n 的形式，其中1≤a ＜10，故a ＝1.4；n 为整数，n 的值为原数的整数位数减1，∵原数为一个6位数，∴n ＝6－1＝5，故140000用科学记数法表示为1.4×105.13. C 【解析】将一个较大数表示成a ×10n 的形式，其中1≤a ＜10，n 的值等于将原数变为a 时小数点移动的位数．因此126万＝1260000＝1.26×106.14. D 【解析】将一个较大数表示成a ×10n 的形式，其中1≤a ＜10，n 的值等于将原数变为a 时小数点移动的位数．因此40570亿＝4057000000000＝4.0570×1012.15. 6.5×10－6 【解析】本题考查用科学记数法表示一个小数．由科学记数法的形式a ×10n ，可将0.0000065化为a ×10n .由1≤a<10可得a ＝6.5，由n 为负整数且n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数，∴n ＝－6，∴0.0000065＝6.5×10－6.16. 1×10－8 【解析】本题考查小数的科学记数法．由题意知1埃等于一亿分之一厘米，∴1埃＝0.00000001厘米，用科学记数法表示为1×10－8厘米．命题点3 实数的大小比较 17. D 【解析】负数＜0＜正数，所以3最大．18. A 【解析】本题考查了有理数的大小比较，由于|－2|＝2，(－3)2＝9，2×103＝2000，而－3是负数，所以－3最小，故选A.19. A 【解析】把这四个数和－2在数轴上分别表示出来，从左到右的顺序分别为－4，－2，－1，2，3，由数轴上左边的数总比右边的数小，故选A.备考指导实数大小比较的一般方法：①数轴比较法：数轴上的两个数，右边的总比左边的大；②类比比较法：正数>0>负数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的反而小；③平方比较法：a >b >0a >b ；④差值比较法：a －b >0a >b ；a －b <0a <b ；a －b ＝0a ＝b .20. C 【解析】根据有理数的大小比较方法进行比较即可．－3＜－1，故A 错误；－2＜－1，故B 错误；－1＜0＜2，故C 正确；3＞2，故D 错误，故选C.21. C 【解析】本题考查相反数与绝对值的几何意义．因为M 、N 表示的点互为相反数，故原点在MN 的中点处，结合数轴可知Q 点离原点最远，点P 离原点最近，故点P 表示的数的绝对值最小．创新点评本题将数轴、绝对值、相反数等比较简单的知识有机融合，能很好考查学生的基本知识的掌握情况，也能很好考查学生的想象能力，题目尽管不难，但命题上做到了数形结合，体现了代数、几何意义的统一．命题点4 二次根式及其运算22. B 【解析】本题考查二次根式有意义的条件．要使得根式有意义，则x －1≥0，即x ≥1.23. B 【解析】本题考查了二次根式的乘法运算. a ·b ＝ab ，∴ 3×5＝15. 24. C 【解析】本题考查了二次根式的估算，由于25<31<36，而31与25的差比36到31的差大，于是31更接近6.故选C.25. C 【解析】本题考查二次根式的估值. ∵9<11<16，∴3<11<4.26. 22 【解析】本题考查了二次根式的运算．原式＝32－2×22＝2 2. 命题点5 实数的运算27. A 【解析】本题考查实数的运算．根据任何一个非0实数的0次幂都为1，(－23)0＝1.28. A 【解析】本题考查实数的运算．根据同号两数相加的法则计算可知(－3)＋(－9)＝－(3＋9)＝－12.29. A 【解析】根据两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除，可得(－18)÷6＝－(18÷6)＝－3.30. A 【解析】本题考查有理数的运算．原式＝－(1×3)＝－3.31. 2 【解析】原式＝22－2×22＝22－2＝ 2. 32. 1 【解析】本题考查实数的运算．原式＝13＋1－13＝1.33. 【思路分析】本题考查实数的运算．(14)－1＝4，|1－3|＝3－1，27＝33，tan 30°＝33，然后进行计算即可． 解：原式＝4＋3－1－33×33(3分) ＝4＋3－1－3 ＝ 3.(4分)34. 解：原式＝－18＋22＋8(3分) ＝－32＋22＋8(4分) ＝8－ 2.(5分)35. 解：原式＝－1－2×3＋1＋3(4分) ＝－1－6＋1＋3(5分) ＝－3.(6分)36. (1)【思路分析】先分别计算出2－1＝12，3tan 60°＝3，(π－2015)0＝1，|－12|＝12，再根据实数运算法则计算即可． 解：原式＝12－3＋1＋12(3分)＝1－3＋1(4分)＝－1.(5分)37. 【思路分析】先分别计算出(12)－2＝4，(π－7)0＝1，||3－2＝2－3，sin 60°＝32，再根据实数运算法则计算即可．解：原式＝4－1＋2－3＋4×32(3分) ＝5－3＋23(4分) ＝5＋ 3.(5分)38. 【思路分析】本题考查了零次幂、负整数指数幂、绝对值及立方根的运算．先分别计算(－5sin 20°)0＝1，(13)－2＝9，|－24|＝16，3－27＝－3，再根据实数运算法则计算即可．解：原式＝1－9＋16－3(4分) ＝5.(5分)39. 【思路分析】本题考查实数的混合运算．先分别计算(－2015)0＝1，|1－2|＝2－1，cos 45°＝22，8＝22，(－3)－2＝19，然后代入算式计算即可． 解：原式＝1＋2－1－2×22＋22＋19(4分) ＝2－2＋22＋19＝22＋19.(8分)中考冲刺集训1. A 【解析】本题考查相反数的概念．根据相反数的概念可知只有符号不同的两个数互为相反数，∵2与－2只有符号不同，所以2的相反数是－2.2. B 【解析】一个负数的绝对值是它的相反数，|－12|＝12，故选B.3. A 【解析】本题考查平方根的概念．∵(±2)2＝4，∴±2是4的平方根．4. D 【解析】本题考查实数的大小比较．－4、5、6、－8这四个数中，按大小顺序排列为：6＞5＞－4＞－8，因此最小的数是－8，它对应的城市为宁夏，所以宁夏的气温最低．5. B 【解析】负数有－2，－0.3，共有2个负数，故选B.备考指导本题主要考查正、负数的定义．一个数字前面如果有“－”号，则为负数；如果有“＋”号或省略了“＋”号，则为正数；0既不是正数，也不是负数．6. A 【解析】本题考查正负数的表示及数的绝对值．最接近标准的工件是这个数的绝对值最小，－2的绝对值是2，－3和3的绝对值是3，5的绝对值是5，所以最接近的是－2.易错警示本题可能会错以为最接近标准的工件是用正数表示的数．7. A 【解析】本题考查实数的比较大小．∵3≈1.732，π≈3.14，∴5>π>3>－8，∴最大的数为5.8. B 【解析】温差＝最高气温－最低气温，因为12 ℃－2 ℃＝10 ℃，故选B.9. C 【解析】该市2014年年底机动车的数量为2×106＋3×105＝2300000＝2.3×106辆．10. C 【解析】将一个较小数表示成a ×10n 的形式，其中1≤a ＜10，n 的值等于将原数变为a 时小数点移动的位数的相反数．本题应该是向左移动3位，即2.05×10－3＝0.00205.所以应选C.11. A 【解析】本题考查实数的运算．原式＝3＋2＝5.12. C 【解析】本题主要考查了算术平方根的估算. 4.84<5< 5.76，即2.2<5<2.4，所以0.6<5－12<0.7. 13. C 【解析】∵9＝3，∴9是有理数；∵(3)0＝1，∴(3)0是有理数；227是分数，化为小数为无限循环小数，故为有理数；π为无限不循环小数，∴π是无理数.14. D 【解析】先寻找无理数，根据①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的非零次幂的数，是无理数．即可得到有理数的个数.5是开方开不尽的数，是无理数，π2是含有π的数，是无理数，其余各数不是整数就是分数即都是有理数，故选D.15. A 【解析】本题考查二次根式有意义的条件．∵二次根式有意义，则被开方数大于等于0.∴2－3x ≥0，解得x ≤23，则x 有最大值23.16. C 【解析】∵2.62＝6.76，2.72＝7.29，2.82＝7.84，2.92＝8.41，又∵7.84＜8＜8.41，∴2.8＜8＜2.9，∴8在第③段．一题多解∵8＝22≈2×1.414＝2.828，又∵2.8<2.828<2.9，∴8在2.8与2.9之间． 17. A 【解析】本题考查数轴上两个数的大小比较，在数轴上，右边的数总比左边的数大，离原点越远绝对值越大．由题意可得a ＜－1，b ＞1，且|b |>|a |，所以1＜|a |＜|b |，所以A 是错误的．18. C 【解析】根据同底数幂的运算法则、幂的乘方、积的乘方和合并同类项的法则进行计算即可.19>b >c .20. ±3 【解析】本题考查根式化简.81＝9，而9的平方根有两个，分别为3和－3.故填±3.易错警示解答本题的关键是根据平方根的定义，求数a 的平方根，也就是求一个数x ，使得x 2＝a ，则x 就是a 的平方根，由此即可解决问题．本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．21. 2 【解析】数轴上两点的距离用右边的数减去左边的数即可.0－(－2)＝2.22. 2 【解析】本题考查了幂的乘法，23×(12)2＝8×14＝2.23. －6＜0＜5＜π 【解析】所给的数中5和π都是正数，只有－6是负数，根据负数＜0＜正数可知，－6最小，0次之．∵4＜5＜9，∴2＜5＜3，而π≈3.14＞3，∴－6＜0＜5＜π.24. > 【解析】4＝16，∵16>15，∴4>15.25. 1 【解析】A ，B 分别表示－3和2，－3＋2＝－1，－1的绝对值为1.26. 9 【解析】原式＝(－3)2013·(－13)2011＝[(－3)×(－13)]2011·(－3)2＝9.27. 7 【解析】因为4<5<9，所以2<5<3，所以3<5＋1<4，所以满足x<5＋1<y的两个连续整数x 、y 分别是3和4.所以x ＋y 的值是7.28. 32【解析】本题考查代数式求值及非负数的性质．由|m －2|＋(n －2014)2＝0及非负数的性质，得m ＝2，n ＝2014，∴m －1＋n 0＝2－1＋20140＝12＋1＝32.29. 55 【解析】本题考查了实数的运算，掌握实数运算法则是解题的关键．将3代入程序框图先计算其平方为9，比10小，按程序操作：加上2，等于11，再乘以5，得55.30. 解：原式＝112＋4×12－3＋3(2分)＝2＋2(3分) ＝4.(4分)31. 解：原式＝1＋12－12－13(3分)＝23.(4分) 易错警示本题中绝对值的运算易错，或者误用成去括号“负负得正”计算，或者认为绝对值运算后的符号为正，而忽略了前面的符号，得到原式＝1＋12－12＋13，从而得到错解．做题时一定注意看绝对值前面的符号．32. 解：原式＝－(1－2)＋1（－12）2－122＋3（－2）3(2分)＝2－1＋114－22＋(－2)(4分)＝2－1＋4－2－2 ＝4－1－2 ＝1.(5分)33. 解：原式＝22＋3－22－3－1(4分) ＝－1.(5分)34. 【思路分析】按照实数的运算顺序依次进行计算，－13＝－1，27＝33，sin 60°＝32，(π－3.14)0＝1，|－5|＝ 5. 解：原式＝－1－33＋6×32＋1＋5(3分) ＝－1－33＋33＋1＋ 5 ＝ 5.(5分)易错警示本题有几个容易出错的地方：乘方的相反数的符号，特殊角的三角函数值，任何不等于0 的数的0次幂等．第二讲 整式及其运算 命题点分类集训命题点1 整式的运算1. B【解析】本题考查了单项式的乘法．a×3a＝3a2.2. A【解析】根据积的乘方运算法则计算：(－xy3)2＝(－x)2·(y3)2＝x2y6备考指导积的乘方，先将每一个因式分别乘方，再利用幂的乘方法则对每个因式进行化简，最后再相乘得出结果．3. A【解析】4.D【解析】本题考查整式的有关计算．5. B【解析】本题考查零次幂、合并同类项、绝对值、幂的乘方，通过上述考查点所涉及到的运算法则和公式对选项进行逐项分析：6. D7. C【解析】8. B9. D B，主要考查单项式乘以多项式，结果应为4a－2b，故B错误；选项C，主要考查完全平方公式(a ＋b)2＝a2＋2ab＋b2，故C也错误；选项D，主要考查平方差公式(a＋2)(a－2)＝a2－4，正确．故选D.10. C【解析】本题考查代数式的运算．其中包括幂的乘方，单项式的加法，单项式的除法，多项式乘以多项式．(－3mn)2＝9m2n2，4x4＋2x4＋x4＝7x4，(xy)2÷(－xy)＝－xy，(a－b)(－a－b)＝b2－a2.故选C.易错警示(1)幂的乘方时，一定要注意符号，符号也要参与运算的；(2)公式的运算时，要注意公式的变形，认真观察是符合完全平方公式还是平方差公式．11. a4【解析】本题考查幂的除法．a6÷a2＝a4.12. x2＋x－2【解析】本题考查了多项式乘以多项式：(x－1)(x＋2)＝x2＋2x－x－2＝x2＋x－2.备考指导多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.13. 3a2＋5b2【解析】本题考查整式化简．原式＝2ab＋5b2＋3a2－2ab＝3a2＋5b2.14. a5【解析】本题考查整式的运算，幂的运算．原式＝3a3＋2－2a7－2＝3a5－2a5＝(3－2)a5＝a5.15. 解：原式＝2a－a2＋a2－1(3分)＝2a－1.(4分)16. 解：原式＝9－x2＋x2＋2x＋1＝2x＋10. (4分)当x＝2时，原式＝2×2＋10＝14. (6分)17. 解：原式＝(a＋2b)(2a－a－2b)＝(a＋2b)(a－2b)＝a2－4b2.(4分)当a＝－1，b＝3时，原式＝(－1)2－4×(3)2＝－11.(6分)命题点2因式分解18. A【解析】本题考查提取公因式法分解因式．原式＝a(a－2)．备考指导因式分解的一般步骤：若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法或其他方法分解；直到每个因式都不能再分解为止．19. C【解析】本题主要考查因式分解：2021. m(m＋1)(m－1)【解析】先用提公因式法得到m(m2－1)，再将m2－1分解因式得到(m＋1)(m－1)，故答案为：m(m＋1)(m－1)．22. 5x(x－1)2【解析】本题考查了因式分解. 5x3－10x2＋5x＝5x(x2－2x＋1)＝5x(x－1)2.23. a(x－1)(x－6)【解析】原式＝a(x2－7x＋6)＝a(x－1)(x－6)．命题点3代数式及代数式求值24. D【解析】本题考查的是单项式的系数和次数．系数是单项式前的实数，次数是所有字母次数的和．故D正确．25. A【解析】本题考查了代数式的计算，把x＝1直接代入4－3x＝4－3×1＝4－3＝1，故选A.26. C【解析】本题考查代数式求值，整体代入思想．∵mn＝1，m－n＝2.∴m2n－mn2＝mn(m－n)＝1×2＝2.27. am【解析】通话收费＝每分钟通话的费用×通话时间．∴应收费am元．28. 3【解析】本题主要考查了提公因式法及整体代入法.9－2a＋4b＝9－2(a－2b)＝9－2×3＝3.29. 6【解析】本题主要考查了平方差公式及整体代入法．m2－n2＝(m＋n)(m－n)＝3×2＝6.30. 12【解析】本题考查代数式求值，非负数的性质，整体代入思想的应用．根据题意∵(a＋6)2＋b2－2b－3＝0，∴a＋6＝0，b2－2b－3＝0，∴a＝－6，b2－2b＝3，则2b2－4b＝2(b2－2b)＝－6.∴a＝－b，2b2－4b－a＝6－(－6)＝12.31. 解：原式＝a2－2a＋1＋2ab＋b2＋2a (2分)＝a2＋1＋2ab＋b2(3分)＝(a＋b)2＋1.(4分)∵a＋b＝－2，代入式中，∴原式＝(－2)2＋1 (5分)＝2＋1(6分)＝3.(7分)32. 解：原式＝3a(2a＋1)－(2a＋1)(2a－1)＝6a2＋3a－4a2＋1＝2a2＋3a＋1.(3分)∵2a2＋3a－6＝0，∴2a2＋3a＝6，(5分)∴原式＝6＋1＝7.(6分)备考指导代数式的化简求值常用到以下几种方法：(1)直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值；(2)整体代入法：在求代数式的值时，如果所求代数式通过变形后与已知代数式成倍分关系时，就可以把已知代数式看作一个整体代入所求代数式中求值；(3)与非负数结合：如果几个非负数相加和为0，则令各自等于0，解出相应值，再代入代数式计算即可(常见的非负数为绝对值、平方、根式等)．33. 解：(1)A＝(x＋2)2＋(1－x)(2＋x)－3＝x2＋4x＋4＋2－x－x2－3(2分)＝3x＋3.(4分)(2)∵(x＋1)2＝6，∴x＋1＝±6，(6分)∴A＝3(x＋1)＝±3 6.(8分)中考冲刺集训1. A【解析】本题考查同类项的定义．所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.2.A【解析】本题考查因式分解．∵mx－m＝m(x－1)＝m(x＋1)(x－1)，x－2x＋1＝(x－1)2，∴它们的公因式为x－1.3. C【解析】设原价为单位“1”，降价10%后的份数为1－10%，而单位“1”的量为a元/米2，即可得出降价后的销售所占比例价为：a(1－10%)．故应选C.易错警示列代数式时，要注意语句中的关键字，解决问题的关键是读懂题意，找错等量关系就会列出错误的代数式．4. C【解析】选项A和B都不是同类项，无法合并；C选项是合并同类项，只把系数相加减，字母及字母的指数不变，结果为0，故选项C正确；D选项是同类项，结果应为a2，故D错误，故选C.5. C【解析】本题考查的是单项式的除法．根据除法的性质，可得□＝3x2y÷3xy＝x.6. D【解析】根据单项式乘以单项式，积的乘方，合并同类项，二次根式的乘法法7. A 【解析】本题考查因式分解．观察多项式可知先提取公因式a ，再根据完全平方公式进行分解．ax 2－4ax ＋4a ＝a (x 2－4x ＋4)＝a (x －2)2.8. C 【解析】本题考查代数式求值，整体代入思想．∵a ＋b ＝3，ab ＝2，∴a 2＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2－2ab ＝(a ＋b )2－2ab ＝32－2×2＝5.9. 54a 【解析】设原价卖x 元，则80%x ＝a ，解得x ＝54a.所以应填54a. 10. 2005 【解析】本题考查了提公因式法和整体代入法.6b －2a 2＋2015＝－2(a 2－3b)＋2015＝－2×5＋2015＝2005.11. xy(x －1)2 【解析】本题主要考查了提公因式和完全平方公式．原式＝xy(x 2－2x ＋1)＝xy(x －1)2.12. (a －2b)2 【解析】化简(a －b)(a －4b)＋ab ＝a 2－5ab ＋4b 2＋ab ＝a 2－4ab ＋4b 2，再利用完全平方公式因式分解得：a 2－4ab ＋4b 2＝(a －2b)2.13. 1 【解析】本题考查了整体代入法及多项式的乘法. (m －1)(n －1)＝mn －(m ＋n)＋1＝mn －mn ＋1＝1.14. 1 【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝1b ＋1＝3，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝2，所以(a －b)2015＝1.15. 7 【解析】∵9<13<16，∴3<13<4，∵a<b ，且a 、b 是连续正整数，∴a ＝3，b ＝4，∴b 2－a 2＝16－9＝7.16. 解：原式＝2(a 2＋2a ＋1)＋a －2a 2＋1－2a (2分) ＝2a 2＋4a ＋2＋a －2a 2＋1－2a (3分) ＝3a ＋3.(5分)17. 解：原式＝a 2－2ab －b 2－(a 2－2ab ＋b 2)(2分) ＝a 2－2ab －b 2－a 2＋2ab －b 2(4分) ＝－2b 2.(5分)18. 解：原式＝a 2＋2ab ＋b 2＋a 2－b 2－2ab(2分) ＝2a 2.(5分)19. 解：原式＝x 2－4＋x 3－x 2(3分) ＝－4＋x 3.(4分)当x ＝－1时，原式＝－4＋(－1)3 ＝－4－1 ＝－5.(6分)20. 解：(2＋a)(2－a)＋a(a －5b)＋3a 5b 3÷(－a 2b)2 ＝4－a 2＋a 2－5ab ＋3a 5b 3÷a 4b 2 ＝4－5ab ＋3ab ＝4－2ab.(4分)当ab ＝－12时，原式＝4－2ab ＝4＋1＝5.(6分)21. 解：(x ＋1)2－2x ＋y(y －2x) ＝x 2＋2x ＋1－2x ＋y 2－2xy ＝x 2＋1＋y 2－2xy ＝(x －y)2＋1.(3分) ∵x －y ＝3，∴原式＝(3)2＋1＝4.(6分)22. 解：原式＝x 2－y 2－x 2－xy ＋2xy(3分) ＝xy －y 2.(4分)当x ＝(3－π)0＝1，y ＝2时，原式＝1×2－22＝－2. (6分)易错警示在化简－x(x ＋y)时，容易忘记改变去括号后各项的符号而出错．23. (1)【思路分析】此题考查了整式的加减与化简求值，涉及的知识有：合并同类项法则，以及完全平方公式．把3x 当作一个整体，把等号后边的多项式当作整体，则所捂的式子是3x 和等号后边式子的和，写出结果然后化简即可．解：x 2－5x ＋1＋3x ＝x 2－2x ＋1.(3分)(2)【思路分析】把所求的式子分解因式，然后把x 的值代入求解． 解：x 2－2x ＋1＝(x －1)2，(5分)当x ＝6＋1时，原式＝(6)2＝6.(6分)第三讲 分式及其运算 命题点分类集训命题点1 分式有意义的条件1. D 【解析】此题主要考查了分式有意义的条件：分母不等于零．由题意得：x ＋2≠0，解得：x ≠－2，故选D.2. x ≠－3 【解析】要使分式有意义，只需分母不为0即可，因此，当分母x ＋3≠0，即x ≠－3时，分式2xx ＋3有意义．备考指导解决分式相关概念题时，需掌握以下几点：(1)分式有意义分母不为零；(2)分式无意义分母为零；(3)分式值为零分子为零且分母不为零．命题点2 分式值为0的条件3. C 【解析】本题考查分式的值为0的条件．∵分式x －2x ＋1的值为0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0x ＋1≠0，解得x ＝2.命题点3 分式的化简4. A 【解析】本题考查了分式的化简．原式＝x 2x －1－1x －1＝x 2－1x －1＝（x ＋1）（x －1）x －1＝x ＋1.5.2x －3 【解析】2x ＋6x 2－9＝2（x ＋3）（x ＋3）（x －3）＝2x －3. 6. 2 【解析】本题主要考查了同分母分式的加法运算．原式＝2a －1＋1a ＝2a a ＝2.7. a －2a 【解析】原式＝a a ＋2－4a （a ＋2）＝a 2－4a （a ＋2）＝（a ＋2）（a －2）a （a ＋2）＝a －2a .8. 解：原式＝（a ＋b ）2－2aba 2＋b 2(2分)＝a 2＋2ab ＋b 2－2ab a 2＋b 2(4分)＝a 2＋b 2a 2＋b 2(6分) ＝1.(7分)9. 解：原式＝（x －1）2（x ＋1）（x －1）＋2x ＋1.(3分)＝x －1x ＋1＋2x ＋1.(5分) ＝1.(6分)10. 解：原式＝a ＋1a ÷（a ＋1）（a －1）a 2(2分)＝a ＋1a ·a 2（a ＋1）（a －1）(4分)＝aa －1.(5分) 11. 【思路分析】先把分式的分子和分母能分解因式的分解因式，再把除法化为乘法并约分化简，最后计算分式减法，注意分子各项的符号．解：原式＝2aa ＋1－2（a －2）（a ＋1）（a －1）×（a －1）2a －2(1分)＝2a a ＋1－2（a －1）a ＋1(2分) ＝2a a ＋1－2a －2a ＋1(3分) ＝2a －2a ＋2a ＋1(4分)＝2a ＋1.(5分) 12. 【思路分析】先把括号内的减法进行通分计算，再把分子、分母能分解因式的分解因式，约分化简，注意分子各项的符号．解：原式＝a 2－4－5a －2·2a －43－a (2分)＝（a ＋3）（a －3）a －2·2（a －2）3－a(4分)＝－2(a ＋3)(5分)＝－2a －6.(6分)命题点4 分式的化简求值13. 解：原式＝m 2m －1＋1－2m m －1(2分)＝m 2－2m ＋1m －1(3分)＝（m －1）2m －1(4分)＝m －1.(5分)∵分母中m －1≠0， ∴m ≠1.(7分)令m ＝2，则原式＝2－1＝1.(8分)14. 解：原式＝a ＋1－a （a ＋1）2＝1（a ＋1）2.(6分)当a ＝2－1时，原式＝1（2－1＋1）2＝12.(8分)15. 解：原式＝(a 2a －1－1a －1)·1a＝a 2－1a －1·1a ＝（a ＋1）（a －1）a －1·1a ＝a ＋1a.(6分) 当a ＝－12时，原式＝a ＋1a ＝－12＋1－12＝－1.(8分)16. 解：原式＝x 2－2x ＋1x 2－1÷x ＋1－3x ＋1＝（x －1）2（x ＋1）（x －1）·x ＋1x －2(2分) ＝x －1x －2.(3分) 将x ＝0代入得，原式＝x －1x －2＝12.(4分)17. 解：原式＝a 2－b 2a ÷a 2－2ab ＋b 2a＝（a ＋b ）（a －b ）a ·a （a －b ）2(2分)＝a ＋ba －b.(4分) ∵a ＝2＋3，b ＝2－3， ∴a ＋b ＝4，a －b ＝2 3.(5分)∴当a ＝2＋3，b ＝2－3时，原式＝423＝233.(6分)18. 解：原式＝x －2（x ＋1）（x －1）·x ＋1（x －2）2＋1x －1(2分)＝1（x －1）（x －2）＋1x －1(4分)＝1（x －1）（x －2）＋x －2（x －1）（x －2）＝1x －2.(5分) ∵x 2－1≠0，x －2≠0，即x ≠－1，x ≠1，x ≠2， ∴x 只能取0，当x ＝0时，原式＝－12.(6分)19. 解：原式＝[x ＋1（x －1）（x ＋1）－x －1（x －1）（x ＋1）]÷x ＋2（x －1）（x ＋1）(2分)＝2（x －1）（x ＋1）·（x －1）（x ＋1）x ＋2(4分)＝2x ＋2.(5分)∵2x －6＝0， ∴x ＝3，∴将x ＝3代入得，原式＝2x ＋2＝23＋2＝25.(7分)中考冲刺集训1. D 【解析】根据分式的基本性质，把分式的分子和分母扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变，但无论是扩大还是缩小，都不要漏乘(除)分子、分母中的任何一项，且扩大(缩小)的倍数不能为0.同时在分式的变形中，还要注意符号法则，即分式的分子、分母及分式的符号，只有同时改变两个分式的值才不变．所以－11－x ＝1x －1.故选D.2. D 【解析】根据分母不等于0和偶次根式的被开方数为非负数，列不等式组解答即可得解．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥0m －1≠0，解得m ≥－1且m ≠1.3. A 【解析】原式＝m 2－9m －3＝（m ＋3）（m －3）m －3＝m ＋3.故选A.4. D 【解析】本题考查分式的化简.4a 2－4＋12－a ＝4（a ＋2）（a －2）－1a －2＝4（a ＋2）（a －2）－a ＋2（a ＋2）（a －2）＝4－a －2（a ＋2）（a －2）＝－1a ＋2.∵－1a ＋2·ω＝1，∴ω＝－a －2(a ≠±2)．5. B 【解析】本题考查分式的混合运算．原式＝(a 2－3a a －3＋3a －4a －3)·(a －2a －2－1a －2)＝（a ＋2）（a －2）a －3×a －3a －2＝a ＋2.6. 32 【解析】本题考查分式化简求值.a 2－b 2a 2－ab ＝（a ＋b ）（a －b ）a （a －b ）＝a ＋b a ，∵a ＝2b ≠0，∴原式＝2b ＋b 2b ＝32.7.1a －b 【解析】将分式b a 2－b 2的分母分解因式得b （a ＋b ）（a －b ）.而1－a a ＋b通分相中得b a ＋b ，所以原式＝b （a ＋b ）（a －b ）÷a ＋b －a a ＋b ＝b （a ＋b ）（a －b ）·a ＋b b ＝1a －b.备考指导异分母的分式的加减运算按照先通分再加减的运算顺序进行．通分时关键是要确定最简公分母，求几个分式的最简公分母时，首先要把分式中各个分母进行分解因式，最简公分母为：各分母因式中不同的因式与次数最高的相同因式的积．8. 解：原式＝a a 2－1÷aa －1(2分)＝a（a ＋1）（a －1）·a －1a (3分)＝1a ＋1.(5分) 9. 解：原式＝m ＋2m ＋1÷（m ＋2）（m －2）m （m ＋1）(3分)＝m ＋2m ＋1·m （m ＋1）（m ＋2）（m －2）(4分)＝m m －2.(5分)10. 解： 原式＝－2（m －3）（m －3）2÷（m ＋3）－（m －3）（m ＋3）（m －3）(3分)＝－2m －3 ÷6（m ＋3）（m －3）＝－2m －3·（m ＋3）（m －3）6(4分)＝－m ＋33.(5分)易错警示本题计算括号里分式通分相减时容易出错，误将1m －3－1m ＋3＝（m ＋3）－（m －3）（m ＋3）（m －3）＝6（m ＋3）（m －3），写成1m －3－1m ＋3＝m ＋3－m －3（m ＋3）（m －3），注意分子相减，整式的减法，首先用括号括起来，然后去括号．11. 解：原式＝1m －2÷m ＋1（m ＋2）（m －2）－mm ＋1＝1m －2·（m ＋2）（m －2）m ＋1－m m ＋1(3分) ＝m ＋2 m ＋1－mm ＋1(4分) ＝m ＋2－mm ＋1＝2m ＋1.(5分) 当m ＝－2时，原式＝2m ＋1＝2－2＋1＝－2.(6分) 12. 解：原式＝[x 2＋1x （x －1）－2xx （x －1）]÷x ＋1x －1(2分)＝（x －1）2x （x －1）·xx ＋1－1＝x －1x ＋1－1(3分)＝x －1－x －1x ＋1＝－2x ＋1.(5分)将x ＝－3代入得，原式＝－2x ＋1＝－2－3＋1＝1.(6分)13. 解：原式＝[2x ＋2＋x ＋5（x ＋2）2]·x ＋2x （x ＋3）＝[2（x ＋2）（x ＋2）2＋x ＋5（x ＋2）2]·x ＋2x （x ＋3） ＝2（x ＋2）＋（x ＋5）（x ＋2）2·x ＋2x （x ＋3）(3分)＝3x ＋9（x ＋2）2·x ＋2x （x ＋3）＝3（x ＋3）（x ＋2）2·x ＋2x （x ＋3）(4分)＝3x （x ＋2）.(5分)当x ＝1时，原式＝3x （x ＋2）＝31＋2＝1.(7分)14. 解：原式＝x －2＋1x －2÷x －1（x －2）2(2分)＝x －1x －2·（x －2）2x －1 ＝x －2.(4分)∵x －2≠0且x －1x 2－4x ＋4≠0，∴x ≠1且x ≠2.(5分)∴当x ＝3时，原式＝3－2＝1.(7分)15. 解：原式＝x （x ＋1）（x －1）2÷2x －（x －1）x （x －1）＝x （x ＋1）（x －1）2÷x ＋1x （x －1）＝x （x ＋1）（x －1）2·x （x －1）x ＋1＝x 2x －1.(5分) 由原式中分式要有意义，则x －1≠0，x ≠0，x ＋1≠0解得x ≠1，x ≠0，x ≠－1. 又∵－2<x<3，∴当x ＝2时，原式＝222－1＝4.(7分)易错警示本题计算括号里分式通分时容易出错，通分时2x －（x －1）x （x －1）中，往往忽略x－1是一个整体而错写成2x －x －1x （x －1），即忽略分数线也具有括号的作用．16. 解：原式＝3x ＋2y －2x －yx 2－y 2＝x ＋y（x ＋y ）（x －y ）＝1x －y .(3分)∵x ＝2cos 45°＋2＝2×22＋2＝2＋2，y ＝2.(5分) ∴原式＝12＋2－2＝12＝22.(7分)17. 解：原式＝2m ＋n（m －n ）2·(m －n)＝2m ＋nm －n.(4分) ∵mn ＝2， ∴m ＝2n ，(5分)∴原式＝4n ＋n 2n －n＝5nn ＝5.(7分)18. 解：原式＝b －a a （b －a ）÷[b （a －b ）b （a －b ）＋a 2－2ab ＋b 2b （a －b ）](4分)＝1a ÷a （a －b ）b （a －b ）(5分) ＝1a ·b a ＝ba2.(6分) 将a ＝2，b ＝2代入得，原式＝b a 2＝2（2）2＝1.(7分)数与式阶段测评1. B 【解析】根据相反数的概念，只有符号不同的两个数互为相反数．所以2015的相反是－2015.2. D 【解析】本题主要考查了倒数的概念．非零整数n 的倒数为1n ，∴－7的倒数为1－7＝－17.3. A 选项 逐项分析正误 A ∵1＋(－1)＝0，∴1的相反数是－1 √ B ∵1×1＝1，∴1的倒数是1，不是－1 × C ∵13＝1，∴1的立方根是1，不是±1 × D－1是整数，是有理数不是无理数×4. B 【解析】5533万元＝55330000元＝5.533×10元．故选B.5. A 【解析】由a 3＝8得，a ＝2.再根据正数的绝对值是它的本身，得到2的绝对值是2.6. B 【解析】可把每一个选项中的运算符号分别代入，利用有理数的计算法则计算出结果，即可判定.选项 逐项分析正误 A 0＋1＝1≠－1，故不正确 × B 0－1＝－1，故正确 √ C 0×1＝0≠－1，故不正确 × D0÷1＝0≠－1，故不正确×7. B 8. D 【解析】本题主要考查了算术平方根的化简及算术平方根的估算．∵81<90<100，∴81<90<100，即9<90<10，∴k ＝9.9. B 【解析】原式＝23a 2×3·2－1a ＝4a 2×3＋1＝4a 7.10. C 【解析】本题考查积的乘方，单项式与单项式的乘法和分式的加法和乘法运算，根据上述知识点的法则和公式对选项进行逐项分析： 选项 逐项分析正误 A (2a 2)3＝23·a 2×3＝8a 6≠6a 6× B －a 2b 2·3ab 3＝－(1×3)a 2＋1b 2＋3＝－3a 3b 5 ≠－3a 2b 5 × C b a －b ＋a b －a ＝b a －b －aa －b ＝b －a a －b ＝－a －b a －b ＝－1 √ Da 2－1a ·1a ＋1＝（a ＋1）（a －1）a ·1a ＋1＝1－1a ≠－1 ×11. A 【解析】本题考查分式的减法运算．原式＝（a ＋b ）2（a ＋b ）（a －b ）－b a －b ＝a ＋b a －b －ba －b ＝a a －b. 12. C 【解析】 根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，则2x ＋6≥0，解得：x ≥－3.在数轴上表示如解图所示．第12题解图13. B 【解析】∵a 2＋2a ＝1，∴2a 2＋4a －1＝2(a 2＋2a )－1＝2×1－1＝1.14. D 【解析】对于A ，4输入后得到的值为42＝2，再将2循环输入得到22＝1，再将1循环输入得到3×1＋1＝4，∴输入4，结果依次是4，2，1；对于B ，2输入后得到的值为22＝1，再将1循环代入得到3×1＋1＝4，∴输入2的结果依次是2，1，4，故D 错；对于C ，1输入后得到的值为3×1＋1＝4，再将4循环代入得到42＝2，∴输入1结果依次是1，4，2.故选D.15. C 【解析】本题考查了代数式求值，把x ＝1代入代数式求出a 、b 的关系式，再把x ＝－1代入进行计算即可得解．当x ＝1时，12ax 3－3bx ＋4＝12a －3b ＋4＝7，解得12a －3b ＝3；当x ＝－1时，12ax 3－3bx ＋4＝－12a ＋3b ＋4＝－(12a －3b )＋4＝－3＋4＝1.故选C.16. A 【解析】由题意知2月份是1月份的(1－10%)，可表示出2月份的产值，再由3月份是2月份的(1＋15%)，即可表示出3月份的产值．由题意得，2月份的产值为：(1－10%)x ，3月份的产值为：(1－10%)(1＋15%)x ，故选A.17. B 【解析】根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．根据题意得：2(a －b ＋a －3b )＝2(2a －4b )＝4a －8b .18. ±13 【解析】正数的平方根有两个，这两个数互为相反数，19的平方根为±13.19. －2 【解析】本题考查二次根式的运算．原式＝22－32＝－ 2.20. x ≤3 【解析】根据任何数的算术平方根都是非负数求解．由题意，得3－x ≥0，解得x ≤3.21. 2 【解析】将x 2－5x ＋62x －6＝0变形，得（x －2）（x －3）2（x －3）＝0，∵x ≠3，∴约分，得x －22＝0，解得x ＝2.当x ＝2时，分母不为零，∴原方程的解为x ＝2.22. 5×1010 【解析】本题考查大数的科学记数法.500亿＝50000000000＝5×1010.23. ＜ 【解析】做差比较数的大小：5－12－58＝4（5－1）8－58＝45－98，∵80<81，∴80<81，∴45＜9，∴45－9＜0，得5－12<58. 24. (3x －3y ＋2)2 【解析】本题用完全平方公式分解：4＋12(x －y)＋9(x －y)2＝22＋2×2×3(x －y)＋[3(x －y)]2＝[2＋3(x －y)]2＝(3x －3y ＋2)225. 【思路分析】先分别求出：|2－3|＝2－3；2sin 60°＝2×32＝3；(12)－1＝2；(2015)0＝1，然后再实数混合运算．解：原式＝2－3＋2×32＋2－1 ＝2－3＋3＋2－1 ＝3.(4分)26. 解：原式＝12＋1－|2－3|＋32÷2 2＝12＋1－1＋32＝2.(4分)27. 解：原式＝－1＋12－1＋4(3分) ＝52.(4分) 28. 解：原式＝4a 2－1－4a 2＋4a＝4a －1.(4分)29. 解：原式＝a 2－1a ÷a 2＋a －2a(1分) ＝（a ＋1）（a －1）a ÷（a ＋2）（a －1）a (2分) ＝（a ＋1）（a －1）a ·a （a ＋2）（a －1）(3分) ＝a ＋1a ＋2.(4分) 30. 解：原式＝a 2－2ab ＋b 2－ab ＋2b 2－b 2＝a 2－3ab ＋2b 2.(4分)将a ＝1，b ＝－2代入得，原式＝a 2－3ab ＋2b 2＝1－3×1×(－2)＋2×(－2)2＝15.(6分)31. 解：原式＝（a －b ）22（a －b ）÷a －b ab(2分) ＝a －b 2·ab a －b＝ab 2.(4分) 当a ＝5＋1，b ＝5－1时，原式＝（5＋1）（5－1）2＝5－12＝2.(6分) 32. 解：原式＝a （a ＋2）（a －2）·a ＋2a （a －3）＋1a －2＝1（a －2）（a －3）＋1a －2 ＝1＋a －3（a －2）（a －3） ＝a －2（a －2）（a －3） ＝1a －3. (4分) ∵a 与2，3构成△ABC 的三边，∴3－2<a<3＋2，即1<a<5，∵a 为整数，∴a ＝2或3或4，(5分)∵a ＝2或3时，原分式的分母为0，分式无意义，应舍去． ∴当a ＝4时，原式＝1a －3＝14－3＝1.(7分)33. 解：原式＝[1x －y －2x （x －y ）]÷x －23x＝x －2x （x －y ）·3x x －2 ＝3x －y.(3分) ∵x ＝2＋tan 60°＝2＋3，y ＝4sin 30°＝4×12＝2，(5分) ∴原式＝3x －y ＝32＋3－2＝33＝ 3.(7分) 34. 解：原式＝[（a ＋b ）（a －b ）（a －b ）2－a a －b ]·a （a －b ）b 2 ＝(a ＋b a －b －a a －b )·a （a －b ）b 2 ＝b a －b ·a （a －b ）b 2 ＝a b.(4分) ∵a ＋1＋|b －3|＝0，∴⎩⎨⎧a ＋1＝0b －3＝0 解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝3 ，(6分) ∴将a ＝－1，b ＝3代入得，原式＝a b ＝－13＝－33.(8分) 35. 【思路分析】本题考查分式的化简，针对本题，应先从运算顺序上入手，即先计算括号里的分式减法，再将除法转化为乘法，最后约分化简．解一元二次方程得出答案后，要考虑是否取值使分式有意义．解：原式＝(x 2－2x ＋4x －1＋（2－x ）（x －1）x －1)÷（x ＋2）21－x＝(x 2－2x ＋4x －1＋－x 2＋3x －2x －1)·1－x （x ＋2）2＝x ＋2x －1·1－x （x ＋2）2＝－1x ＋2.(4分) ∵x 满足x 2－4x ＋3＝0，∴x 1＝1，x 2＝3.又∵x －1≠0，x ＋2≠0，∴x ≠1，x ≠－2.即x ＝3满足 ∴当x ＝3时，原式＝－1x ＋2＝－13＋2＝－15.(8分) 36. 解：(1)解不等式2x －a ≤0得x ≤a 2，(1分) 由题得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a 2x ≥2无解，则a 2<2，(3分) 解得a<4，(4分)又∵a 为大于2的整数即2<a<4，∴a ＝3.(5分)(2)原式＝a 2－2－a a ·a a －2＝（a －2）（a ＋1）a ·a a －2＝a ＋1.(9分)将a ＝3代入原式＝3＋1＝4.(10分)第四讲 方程(组)及其应用命题点分类集训命题点1 一次方程(组)及其应用1. D 【解析】本题有两种解法：方法一：根据方程解的概念，直接验根．当x ＝2时，方程的左边＝2×2－1＝3，右边＝3，左边＝右边，所以x ＝2是原方程的解；方法二：解方程．移项，得2x ＝3＋1，即2x ＝4，解得x ＝2.故应选D. 易错警示解一元一次方程时，最容易出错的地方是移项没有变号．2. B 【解析】旱地改造面积为x 公顷，则改造后旱地面积为(54－x )公顷，而林地面积增加到(108＋x )公顷．此时，旱地面积占林地面积的20%，则有：54－x ＝20%(108＋x )．故应选B.3. B 【解析】设此家用电器的进价是x 元，因此利润是20%·x ，所以20%·x ＝500，解得x ＝2500，设标价是y 元，因此列方程：0.8y －2500＝500，所以y ＝3750，按照同一标价打9折销售，则获得的纯利润是：3750×0.9－2500＝875(元)．故应选B.4. C 【解析】本题考查了二元一次方程的实际应用．设分为6人一组的有x 组，分为5人一组的有y 组，则6x ＋5y ＝40.∵x ，y 只能取非负整数，将x 、y 可能的取值代入方程6x ＋5y ＝40可得，则x 1＝0，y 1＝8；x 2＝5，y 2＝2，两种方案．5. 69 【解析】设国画作品数量为x 幅，则油画作品的数量为(2x ＋7)幅，则x ＋2x ＋7＝100，解得x ＝31，∴油画作品有2×31＋7＝69(幅)．6. 解：由①得x ＝2y ＋1③，(1分)把③代入②，得2y ＋1＋3y ＝6，解得y ＝1.(4分)把y ＝1代入①，得x ＝3.(6分)∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1.(7分) 一题多解①－②，得－5y ＝－5，解得 y ＝1.(2分)把y ＝1代入①，得x －2＝1，解得x ＝3.(5分)∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1.(7分) 7. 解：设A 服装的成本为x 元，则B 服装的成本为(500－x)元．根据题意可得：30%x ＋20%(500－x)＝130，(3分)30%x ＋100－20%x ＝130，10%x ＝30，0．1x ＝30，解得x ＝300，500－x ＝500－300＝200(元)．(5分)答：A 服装的成本为300元，B 服装的成本为200元．(6分)命题点2 一元二次方程及其应用8. D 【解析】方程常数项移到右边，两边加上9，左边化为完全平方式，右边合并，即可得到结果．移项得：x 2－6x ＝10，配方：x 2－6x ＋9＝19，即(x －3)2＝19.9. D 【解析】用“分解因式”的方法解这个方程，原方程左边分解，x (x －2)＝0，所以x ＝0或x －2＝0，∴x 1＝0，x 2＝2.10. D 【解析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数的关系x 1·x 2＝c a 是解决问题的关键．∵一元二次方程x 2＋4x －3＝0两根为x 1、x 2，∴x 1x 2＝c a＝－3，故选D.11. A 【解析】本题考查一元二次方程根与系数关系．∵关于x 的方程x 2＋3x ＋a ＝0的一个根为－1，设另一个根为b ，则有x 1＋x 2＝－1＋b ＝－3，解得b ＝－2. 一题多解将x ＝－1代入方程 得1－3＋a ＝0，解得a ＝2.∴方程为x 2＋3x ＋2＝0，解得方程两根分别为x 1＝－1，x 2＝－2.12. C 【解析】本题考查一元二次方程根的判别式，当根的判别式4－4a ≥0时，即a ≤1时，一元二次方程有实数根，故选C.13. A 【解析】增加的长方形的长为x m ，宽为(x －60) m ，∴增加的面积为x (x －60)＝1600.14. m ＜－4 【解析】∵一元二次方程x 2＋4x －m ＝0没有实数根，∴b 2－4ac ＝42－4(－m)＜0，∴m ＜－4.15. 2 【解析】本题考查一元二次方程根与系数关系．由题意得x 1＋x 2＝－b a＝6，x 1x 2＝c a ＝k ，由1x 1＋1x 2＝3，得x 1＋x 2＝3x 1 x 2，则6＝3k ，解得k ＝2. 16. 解：原方程可化为：x 2－1＝2x ＋2(1分)x 2－2x －3＝0(2分)(x ＋1)(x ＋3)＝0(3分)解得x 1＝－1，x 2＝3(5分)17. 解：(1)设2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率为x,由题意得：2500(1＋x)2＝3025(3分)解得：x 1＝0.1，x 2＝－2.1(不符合题意舍去)(5分)所以增长率为0.1＝10% .答：2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.(7分)。