函数的凹凸性,拐点与图形描绘

x1
x2
x3
x1 x 2
x3
tan α 1 < tan α 2 < tan α 3 f ' ( x 1 ) < f ' ( x 2 ) < f ' ( x 3 ),
tan α 1 > tan α 2 > tan α 3
f ' ( x1 ) > f ' ( x 2 ) > f ' ( x 3 ),
f ′( x )单调增加
0
且f ′( x0 ) = 0, 必有f ′( x ) > 0。 不是极值点。 因此 x = x0 不是极值点。
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第八节 函数图形的描绘
1.一般步骤 1.一般步骤: 一般步骤: (1) 确定 y = f ( x )的定义域，考察函数的 奇偶性；求出 f ′( x )、 f ′′( x ). 的定义域， 奇偶性； (2) 求出 f ′( x ) = 0 , f ′′( x ) = 0的全部实根 , 及 f ′( x ), f ′′( x )不存在 的点 . 并用这些点把定义域划 分为几个部分区间 . (3) 列表讨论 f ( x )的性质 .
2
x
y ′′
曲线 y
(− ∞,0)
+
0
0
2 0, 3 −
2 3 0
2 ,+∞ 3 +
(0 ,1 )
2 11 , 3 27
2 2 0 + 内是凹的； 内是凸的。 函数在 (− ∞ ，)， ， ∞ 内是凹的；在 0， 内是凸的。 3 3 2 11 ∴ (0 , 1 ), , 是拐点 . 3 27
•
拐点：曲线由凸变凹（或由凹变凸） 分界点。 拐点：曲线由凸变凹（或由凹变凸）的分界点。 点(0,0 )是y = x 3的拐点. 注意： 注意： （1）拐点是曲线上的点，应由一个坐标表示（x0,f(x0)）. 拐点是曲线上的点，应由一个坐标表示（ 的点 ） 前面讲过的极值点 是取得极值时自变量的值， 极值点， 自变量的值 （2）前面讲过的极值点，是取得极值时自变量的值，记 为x=xi 两者不同。驻点是方程 f ′(x) = 0 的根。 两者不同。驻点是方程 的根。 作业中常见记法的错误： （4）作业中常见记法的错误：x = 0是 y = x 3的拐点 ;
5
2 判定函数曲线凹凸的步骤: 3、判定函数曲线凹凸的步骤:
[ f ′( x0 + θ1h) − f ′( x0 −θ2h)]h = f ′′(ξ )(θ1 + θ2 )h2 , x0 −θ2h < ξ < x0 + θ1h 由假设 f ′′(ξ ) > 0, 因此 f ( x0 + h) + f ( x0 − h) − 2 f ( x0 ) > 0. f ( x1 ) + f ( x2 ) x1 + x2 f ( x0 + h) + f ( x0 − h) > f > f ( x0 ) ⇒ 即
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例2. 判断 y = x 3的凹凸性 . 解 定义域：(− ∞ ,+∞ ), 且 y ′ = 3 x 2 , y ′′ = 6x , 定义域：
x > 0 时， y ′′ > 0,曲线在 [0， ∞ ) 上是凹的. +
当 x = 0时， y ′′ = 0 . x < 0 时， y ′′ < 0 ,曲线在 (− ∞ ,0 ] 上是凸的； 上是凸的；
1
第七节 曲线的凹凸与拐点
C B
A a
D b
与弧ADB的凹向不同。 的凹向不同。 弧ACB与弧 与弧 的凹向不同
2
1.凹凸性的定义 1.凹凸性的定义
•
f ( x1 ) + f ( x2 ) 2
• •
x + x2 f 1 2
f ( x1 ) + f ( x2 ) 2
•
• •
f ( x1 )
4 没有拐点，且它在（ + 内是凹的。 即 曲线 y = x 没有拐点，且它在（ − ∞， ∞）内是凹的。
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3 例5 求曲线 y = x 的拐点。 的拐点。 解 定义域：(− ∞ ,+∞ ), 定义域： 1 2 , 当 x ≠ 0 时， y' = 3 2 , y" = − 3 2 3 x 9x x y 当 x = 0 时， ' ， y" 都不存在 。
•
x + x2 f 1 2 f ( x
•
2
)
f ( x1 )
f ( x2 )
x1
x2
x1
x2
设 f ( x )在区间 I 上连续 , 若 ∀ x 1 , x 2 ∈ I , 恒有
设 f ( x )在区间 I 上连续 , 若 ∀ x 1 , x 2 ∈ I , 恒有
x1 + x 2 x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) f f < > f ( x1 ) + f ( x 2 ) 2 2 2 2 则称 f ( x )在 I 上的图形是凹的； 则称 f ( x )在 I 上的图形是凸的； 上的图形是凹的； 上的图形是凸的；
f ( x0 + h) − f ( x0 ) = f ′( x0 + θ 1h)h, f ( x0 ) − f ( x0 − h) = f ′( x0 − θ 2 h)h,
0 < θ 1 < 1; 0 < θ 2 < 1.
上面两式相减，得 上面两式相减， f ( x0 + h) + f ( x0 − h) − 2 f ( x0 ) = [ f ′( x0 + θ 1 h) − f ′( x0 − θ 2 h)]h,
解 由于 y = f ( x ) 在 x = x0 的某邻域内具有三阶连续的导数 ， lim 则 x → x f ′′′( x ) = f ′′′( x0 ) ≠ 0, 不妨设 f ′′′( x0 ) > 0,
当x ∈ ( x0 − δ , x0 )时，f ′′( x) < 0；当x ∈ ( x0 , x0 + δ )时，f ′′( x) > 0. 因此， 因此， x0 , f ( x0 )) 是拐点。 ( 是拐点。 又当x ∈ ( x0 − δ , x0 )时，f ′′( x ) < 0，f ′( x )单调减少,
+ 分成两个部分区间： 但 x = 0 把 ( −∞,+∞ ) 分成两个部分区间：(− ∞ ,0]、 [0， ∞ ).
x ∈ (−∞ ,0), y" > 0 , 曲线在 (− ∞ ,0] 上是凹的。 −∞ 上是凹的 凹的。 x ∈ (0,+∞ ), y" < 0 , 曲线在 0， ∞ ) 上是凸的。 上是凸的 凸的。 ［ + 点是曲线的拐点。 则 (0,0) 点是曲线的拐点。
f ′( x )单调减少
f ′′( x ) < 0
f ′′( x ) > 0
4
2.判定定理 2.判定定理: 判定定理: 设 f ( x )在 [a , b ]上连续，在 (a , b )内具有一阶和二阶导数 , 上连续，
(1)若在 (a , b )内， f ′′( x ) > 0, 则 f ( x )在[a , b ]上的图形是凹的； 上的图形是凹的； (2 )若在 (a , b )内， f ′′ ( x ) < 0 , 则 f ( x )在 [a , b ]上的图形是凸的。 上的图形是凸的。 对于（ ）， ），设 证明 对于（1），设 ∀x1 , x 2 ∈ [a , b], 且 x1 < x 2 ,
确定水平、 (4) 确定水平、铅直渐近线 以及其它变化趋势 .
(5) 求出分界点 (极值点、拐点 )的坐标，为使图形准确 些，还需 极值点、 的坐标，
与坐标轴的交点、 补充一些点 (与坐标轴的交点、较长 区间加点 ); (6) 描点作图 .
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2、关于函数形态表的说明（P119表格） 关于函数形态表的说明（ 119表格） 表格 （1）第一行x ，由左至右按照从小到大列出小区间和它们的 第一行 分界点； 分界点； （2）第二行y’，在相应的区间判断正、负；在分界点写出相 第二行 ，在相应的区间判断正、 应的导数值； 应的导数值； （3）第三行y”，在相应的区间判断正、负；在分界点写出相 第三行 ，在相应的区间判断正、 应的导数值； 应的导数值； （4）第四行曲线 y =f (x)，用适当凹向的带箭头的曲线，表明 ，用适当凹向的带箭头的曲线， 在相应区间的大体形态；注意，箭头方向是：箭尾在左， 函数 在相应区间的大体形态；注意，箭头方向是：箭尾在左， 箭头在右； 箭头在右； 以下表示不正确
x1 + x 2 , 并记 x 2 − x 0 = x 0 − x1 = h , h > 0 . 记 x0 = 2 则 x 2 = x0 + h, x1 = x0 − h, 上用拉格朗日中值定理， 对 f ( x ) 在 [x0 , x0 + h]及[x0 − h, x0 ]上用拉格朗日中值定理，得
如果我们接受某条信息时， 如果我们接受某条信息时， 和我们头脑中已有的信息有密 切的联系， 切的联系，就好像往仓库中放 东西时作了许多的标记， 东西时作了许多的标记，寻找 时就比较容易。 时就比较容易。 可见，有效地提取信息， 可见，有效地提取信息，是 记忆的核心。 记忆的核心。而有效提取的关 键，是接收信息时“做好标记”。 是接收信息时“做好标记”
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若在某一区间内，函数图像总在曲线上任一点切线的下方 上方， 若在某一区间内，函数图像总在曲线上任一点切线的上方， 上方 则称曲线在这区间内是凹的 凹的； 凹的 则称曲线在这区间内是凸的 ； 直观观察 在有些教材中，凹的（曲线）又叫“上凹” 凸的又叫“下凹” 在有些教材中，凹的（曲线）又叫“上凹”，凸的又叫“下凹”。
且f ′( x0 ) = 0, 必有f ′( x ) > 0。 当x ∈ ( x0 , x0 + δ )时，f ′′( x ) > 0，f ′( x )单调增加,
∃ 由保号性定理， 由保号性定理， δ > 0, 使得当 x ∈ U ( x0 , δ )时， f ′′′( x ) > 0. 即在此区域内， 单调增加。 即在此区域内， f ′′( x ) 单调增加。 而 f ′′( x0 ) = 0, 因此
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4 是否有拐点？ 例4. 问曲线 y = x 是否有拐点？
解
定义域： 定义域：(− ∞ ,+∞ ),
y' = 4 x 3 ,
y" = 12 x 2 .
显然当 x = 0时， y ′′ = 0,
但当 x ≠ 0 时，总有 y" > 0. 因此，（ ，0）不是这曲线的拐点。 因此，（0， ）不是这曲线的拐点。 ，（
下面的点可能对应着曲线的拐点： 下面的点可能对应着曲线的拐点： （1） y " = 0的点 ; ） 使 （2） y" 不存在的点。 ） 使 不存在的点。
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所以， 不连续且不具有零点。 所以， y" 在 ( −∞,+∞ ) 不连续且不具有零点。
例6 设 y = f ( x ) 在 x = x0 的某邻域内具有三阶连续的导数 ， 如果 f ′( x0 ) = 0, f ′′( x0 ) = 0, 而f ′′′( x0 ) ≠ 0, 试问 x = x0 是否为 极值点？为什么？ 极值点？为什么？又 ( x0 , f ( x0 )) 是否为拐点？为什么？ 是否为拐点？为什么？
0 或 (0，)是 y = x 4的极值点 .
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4 3 例3. 求 y = 3 x − 4 x + 1的拐点及凹凸的区间 .
解 定义域：(− ∞ ,+∞ ), 定义域：
3 2
2 y ′ = 12 x − 12 x , y ′′ = 36 x − 24 x = 36 x x − 3 2 令y ′′ = 0, 得x 1 = 0, x 2 = 3 .
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用拉格朗日中值定理， 对 f ′( x ) 在 [x0 − θ 2 h, x0 + θ 1h] 用拉格朗日中值定理，得
（1）确定函数 y = f (x)的定义域； 的定义域； 的定义域 找出使 不存在的点x （2）求 f ”(x),找出使 f ”(x)=0 和 f ”(x) 不存在的点 i ； 找出 把定义域划分成为小区间， （3）用xi把定义域划分成为小区间，在每个小区间上判定曲线 的凹凸。 的凹凸。 例1. 判断 y = ln x 的凹凸性 . 1 1 解 定义域 (0， ∞ ), Q y ′ = , y ′′ = − 2 < 0. + x x ∴ 曲线是凸的 .