第三章随机向量及其独立性

（1）有放回摸球； （2）无放回摸球。
解 (1)采取有放回摸球时，（X,Y）的联合分 布律与边缘分布率由下表给出：
(2)采取无放回摸球时，（X,Y）的联合分布律 与边缘分布率由下表给出：
（1）和（2）中的X和Y的边缘分布律是相同的， 但他们的联合分布律却完全不同，由此可见，联合 分布律不能由边缘分布律唯一确定，即二维随机变 量地性质不能由它的两个分量的个别性质确定。我 们必须考虑它们之间的联系。在什么情况下，二维 随机变量的联合分布可由两个随机变量的边缘分布 律确定，这正是下节要讨论的内容。
第三章
多维随机变量及其分布
1
第一节 二维随机变量与分布函数
1、二维随机变量 定义1：设E是一个随机试验,它的样本空间是={e}. 设X(e)与Y(e)是定义在同一样本空间上的两个随机 变量,则称(X(e),Y(e))为上的二维随机向量或二维随 机变量.简记为(X,Y). 2、分布函数 定义2：设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y，称 二元函数 F(x,y)=P{Xx，Yy} 为二维随机向量(X,Y)的 分布函数或联合分布函数。
故F(x,y)不满足性质4,从而它不是二维随机变量的分布 函数
例5:若二元函数为
0, x y 0 F( x, y) 1, x y 0
F(x,y)是否为某二维随机变量的分布函数?
解 容易验证F(x,y)满足二维分布函数的性质1-3,我们 可以验证它不满足性质4:
取(x1,y1)=(-1,-1), (x2,y2)=(2,2)则 F(x2,y2) - F (x1,y2) - F (x2,y1) + F (x1,y1) =1-1-1+0=-1<0.
(4)对于任意( x1, y1 )和( x2 , y2 )，x1 x2 , y1 y2 ,有 F( x2 , y2 ) F( x2 , y1 ) F( x1, y2 ) F( x1, y1 ) 0
定义中的2个随机变量可以推广到n维情形上。
第二节 二维离散型随机变量及其概率分布
1、联合概率分布律 定义3：若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有 限对或无限可列多对,则称(X,Y) 为二维离散型随机 向量。 设(X,Y)的一切可能值为(xi,yj)，i,j=1,2,… ，且(X,Y)取 各对可能值的概率为
0}
C 22C 41
/
C
3 9
4 84
P{ X
2,Y
1}
C
22C
1 3
/
C
3 9
3 84
于是(X,Y)的分布可用表示
由(X,Y)的分布律,所求概率为
P{ X 1,Y 2} P{ X 0,Y 0} P{X 0,Y 1}
P{ X 1,Y 0} P{ X 1,Y 1}
4 84
例4:若二元函数为
0, x y 0 F( x, y) 1, x y 0
F(x,y)是否为某二维随机变量的分布函数?
解 容易验证F(x,y)满足二维分布函数的性质1-2,它不 是右连续函数,也不满足性质4:
取(x1,y1)=(0,0), (x2,y2)=(2,2)则 F(x2,y2) - F (x1,y2) - F (x2,y1) + F (x1,y1) =1-1-1+0=-1<0.
故F(x,y)不满足性质4,从而它不是二维随机变量的分布 函数
二 边缘分布
（X,Y）作为一个整体，它具有分布函数F(x,y)，而 X和Y也是随机变量，它们各自也具有分布函数，分别 记为FX(x)和FY(y)，分别称为二维随机向量(X,Y)关于X 和Y的边缘分布函数。
当已知(X,Y)的联合分布函数F(x,y)时，可通过
18 84
12 84
24 84
58 84
0.6905
P{ X Y 2}
P{ X 0,Y 2} P{ X 1,Y 1} P{ X 2,Y 0}
12 84
24 84
4 84
40 84
0.4762
P{ X 1}
P{X 1,Y 0} P{X 1,Y 1} P{ X 1,Y 2}
同理
P{ X = 1}= p1 j =1/4
j1
P{ X = 2}= p2 j =1/4
j 1
P{
X
=
3}=
p3 j
=1/4
j 1
P{
X
=
4}=
p4 j
=1/4
j 1
P{Y=1}=25/48, P{Y=2}=13/48
P{Y=3}=7/48 , P{Y=4}=3/48
可以用表格来说明联合分布律与边缘分布律的关系
定 义4 称P{ X xi ,Y y j } pij (i, j 1,2,...)为 二维离散型随机变量( X ,Y )的概率分布或分布律， 或 随 机 变 量X和Y的 联 合 分 布 律 。
例1:从一个装有2个红球,3个白球和4个黑球的袋中随机 地取3个球,设X和Y分别表示取出的红球数和白球数,求 (X,Y)的分布律,并求P{X≤1,Y<2},P{X+Y=2},及P{X=1}.
18 84
P{ X
0,Y
2}
C 32C 41
/
C
3 9
12 84
P{ X
0,Y
3}
C
3 3
/
C
3 9
1 84
P{ X
1,Y
0}
C
21C
2 4
/
C
3 9
12 84
P{ X
1,Y
1}
C
21C
31C
1 4
/
C
3 9
24 84
P{ X
1,Y
2}
C
21C
2 3
/
C
3 9
6 84
P{ X
2,Y
yj}
j 1,2,
为 在X xi条 件 下Y的 条 件 分 布 律.
例2： 一射手进行射击,每次射击击中目标的概率均为 p(0<p<1)且假设各次击中目标与否相互独立,射击进行 到击中目标两次为止.设X表示到第一次击中目标时的射 击次数,以Y表示总共进行的射击次数.试求(X,Y)的联合 分布和条件分布.
F ( x, y) FX ( x)FY ( y), x, y R
由独立性定义可证 “若X与Y相互独立，则对于任意实数 x1<x2,y1<y2,事件{ x1<X≤x2}与事件{ y1<Y≤y2}相互独立”。
P{x1<X≤x2 ,y1<Y≤y2}=F(x2, y2)-F(x2, y1)-F(x1, y2)+F(x1, y1) =FX(x2) FY(y2)-FX(x2) FY(y1)-FX(x1) FY(y2)+FX(x1) FY(y1) =[ FX(x2)-FX(x1)][ FY(y2)-FY(y1)]= P{x1<X≤x2}P{y1<Y≤y2}
所以 a=1/12 b=1/6-a=1/12
(2) X的概率分布律为
Y的概率分布律为
例7:设袋中有4个白球和5个红球，现从其中随机地抽 取两次，每次取一个，定义随机变量X,Y如下：
百度文库
0, 第一次摸出白球，
X 1,
第一次摸出红球；
0, 第二次摸出白球， Y 1, 第二次摸出红球；
写出下列两种实验的随机变量（X,Y）的联合分布律 与边缘分布律：
解: 由题意,{X=i}表示第i次首次击中目标,{Y=j}表示 第j次击中目标,因而i<j,{X=i, Y=j}表示第i次和第j次 击中目标而其余j-2次均未击中目标.于是(X,Y)的联 合分布律为：
例1: 设二维随机变量(X,Y)的分布律如表所示。
问:X与Y相互独立吗？ 解: X与Y的边缘分布律分别为
逐一验证可知， pij= pi. ·p.j
(i=1,2,3,j=1,2,3) 从而X与Y相互独立。
2、条件分布
定 义6 设( X ,Y )是 二 维 离 散 型 随 机 变 量, 对 于 固 定 的j,
若P{Y y j } 0,则 称
P{ X
xi
|Y
yj}
P{X xi ,Y P{Y y j }
yj}
i 1,2,
为 在Y y j条 件 下 随 机 变 量X的 条 件 分 布 律.
同 样, 对 于 固 定 的i,若P{ X xi } 0,则 称
P{Y
yj
|
X
xi }
P{X xi ,Y P{X xi }
表中,每一列的和表示Y的边缘分布,每一行的和表示X的
边缘分布.右下角的1是所有pij的和,也是X,Y各自边缘分
布的和.
例6:设二维随机变量(X,Y)的联合分布为
又P{Y=2}=1/3 求 (1)a,b
(2)求边缘分布律
解
(1)由
33
pij =1
可知 a+b=1/6
i1 j1
又P{Y=2}=1/6+a+1/12=1/3
二维离散型随机变量的边缘分布律
设( X ,Y )为二维离散型随机向量,其分布律为 P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,
于是有边缘分布函数
FX ( x) F ( x, )
pij
xi x j
X和Y自 身 分 布 律 分 别 称 之 为( X ,Y )关 于X和 关 于Y的
随机变量的独立性。
第三节 随机变量的独立性
定义6： 设X和Y是两个随机变量，如果对于任意实 数x和y，事件{X≤x}与{Y≤y}相互独立，即有P{ X≤x , Y≤y }=P{X≤x}P{Y≤y}，则称随机变量X与Y相互独立。
设F(x,y)为二维随机变量(x,y)的分布函数，(x,y)关于X 和关于Y的边缘分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则上式 等价于
解: 由乘法公式及条件概率公式可得:
P{X=i,Y=j}的取值情况是：
i=1,2,3,4。 j取不大于i的正整数，且
P{X=i,Y=j}=P{Y=j|
X
1
i
ji
}
P{X=i}=
1 i
•
1 4
,i=1~4
于是(X,Y)的联合分布律为
例3:(二维两点分布)设X,Y的联合分布由下表给出(其中 0<p<1),则称(X,Y)服从二维两点分布
12 84
24 84
6 84
42 84
0.5
设离散型随机变量( X ,Y )的分布律为 P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,3
则F ( x, y) P{ X x,Y y} Pij xi x yjy
例2:随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能取值,另一个 随机变量Y随机地在1~X中等可能取值，试求(X,Y)的 联合分布函数。
所以事件{x1<X≤x2}与{y1<Y≤y2}是相互独立的。
结论推广：“若X与Y独立，则对于任意一维区间I1和 I2，事件{X∈I1}与{Y∈I2}相互独立”。
当（X,Y）为离散型随机向量时，X和Y相互独 立的条件等价于:对于(X,Y)的所有可能取值（xi,yj） 有P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj},即pij=pi·p·j （i,j=1,2,…）
3. (X,Y)的分布函数满足如下基本性质： (1)F(x,y)分别对x和y单调不减.
(2) 0F(x,y)1 且对于任意固定的y, F(, y) 0
对于任意固定的x, F( x,) 0
F(,) 0，F(,) 1
(3)F ( x, y)关于x, y是右连续的，即 F ( x, y) F ( x 0, y)，F ( x, y) F ( x, y 0)
解:X的可能值为0,1,2,Y的可能为0,1,2,3.(X,Y)的所有可 能值为(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1).
由古典概率计算可得
P{ X
0,Y
0}
C
3 4
/
C
3 9
4 84
P{ X
0,Y
1}
C 31C 42
/
C
3 9
P{X=xi，Y=yj}=pij， i,j=1,2,…
(1) 非负性: pij≥0，i，j=1，2…；
(2)规范性： pij 1
i, j
(X,Y)的分布律也可用表格形式表示
离 散型 随 机变 量X ,Y的 联合 分 布函 数 为
F ( x, y) P{ X x,Y Y } pij xi x yi y
FX x P{X x} P{X x,Y }
lim P{ X x，，Y y} lim F ( x, y) F ( x,)
y
y
FY ( y) P{Y y} P{ X ,Y y}
lim P{ X x,Y y} lim F ( x, y) F ( , y)
x
x
求得两个边缘分布函数.
边 缘 分 布 律,关 于X的 边 缘 分 布 律 为
pi P{ X xi } pij , i 1,2.
j
同 理,( X ,Y )关 于Y的 边 缘 分 布 律 为
p j P{Y y j } pij , j 1,2.
i
例5: （续例二）求(X,Y)的边缘分布律
解: X的所有可能取值为1,2,3,4