第三章随机向量及其独立性

yj}
j 1,2,
为 在X xi条 件 下Y的 条 件 分 布 律.
例2： 一射手进行射击,每次射击击中目标的概率均为 p(0<p<1)且假设各次击中目标与否相互独立,射击进行 到击中目标两次为止.设X表示到第一次击中目标时的射 击次数,以Y表示总共进行的射击次数.试求(X,Y)的联合 分布和条件分布.
同理
P{ X = 1}= p1 j =1/4
j1
P{ X = 2}= p2 j =1/4
j 1
P{
X
=
3}=
p3 j
=1/4
j 1
P{
X
=
4}=
p4 j
=1/4
j 1
P{Y=1}=25/48, P{Y=2}=13/48
P{Y=3}=7/48 , P{Y=4}=3/48
可以用表格来说明联合分布律与边缘分布律的关系
表中,每一列的和表示Y的边缘分布,每一行的和表示X的
边缘分布.右下角的1是所有pij的和,也是X,Y各自边缘分
布的和.
例6:设二维随机变量(X,Y)的联合分布为
又P{Y=2}=1/3 求 (1)a,b
(2)求边缘分布律
解
(1)由
33
pij =1
可知 a+b=1/6
i1 j1
又P{Y=2}=1/6+a+1/12=1/3
例1: 设二维随机变量(X,Y)的分布律如表所示。
问:X与Y相互独立吗？ 解: X与Y的边缘分布律分别为
逐一验证可知， pij= pi. ·p.j
(i=1,2,3,j=1,2,3) 从而X与Y相互独立。
2、条件分布
定 义6 设( X ,Y )是 二 维 离 散 型 随 机 变 量, 对 于 固 定 的j,
(4)对于任意( x1, y1 )和( x2 , y2 )，x1 x2 , y1 y2 ,有 F( x2 , y2 ) F( x2 , y1 ) F( x1, y2 ) F( x1, y1 ) 0
定义中的2个随机变量可以推广到n维情形上。
第二节 二维离散型随机变量及其概率分布
1、联合概率分布律 定义3：若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有 限对或无限可列多对,则称(X,Y) 为二维离散型随机 向量。 设(X,Y)的一切可能值为(xi,yj)，i,j=1,2,… ，且(X,Y)取 各对可能值的概率为
12 84
24 84
6 84
42 84
0.5
设离散型随机变量( X ,Y )的分布律为 P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,3
则F ( x, y) P{ X x,Y y} Pij xi x yjy
例2:随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能取值,另一个 随机变量Y随机地在1~X中等可能取值，试求(X,Y)的 联合分布函数。
P{X=xi，Y=yj}=pij， i,j=1,2,…
(1) 非负性: pij≥0，i，j=1，2…；
(2)规范性： pij 1
i, j
(X,Y)的分布律也可用表格形式表示
离 散型 随 机变 量X ,Y的 联合 分 布函 数 为
F ( x, y) P{ X x,Y Y } pij xi x yi y
边 缘 分 布 律,关 于X的 边 缘 分 布 律 为
pi P{ X xi } pij , i 1,2.
j
同 理,( X ,Y )关 于Y的 边 缘 分 布 律 为
p j P{Y y j } pij , j 1,2.
i
例5: （续例二）求(X,Y)的边缘分布律
解: X的所有可能取值为1,2,3,4
18 84
12 84
24 84
58 84
0.6905
P{ X Y 2}
P{ X 0,Y 2} P{ X 1,Y 1} P{ X 2,Y 0}
12 84
24 84
4 84
40 84
0.4762
P{ X 1}
P{X 1,Y 0} P{X 1,Y 1} P{ X 1,Y 2}
解:X的可能值为0,1,2,Y的可能为0,1,2,3.(X,Y)的所有可 能值为(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1).
由古典概率计算可得
P{ X
0,Y
0}
C
3 4
/
C
3 9
4 84
P{ X
0,Y
1}
C 31C 42
/
C
3 9
解: 由乘法公式及条件概率公式可得:
P{X=i,Y=j}的取值情况是：
i=1,2,3,4。 j取不大于i的正整数，且
P{X=i,Y=j}=P{Y=j|
X
1
i
ji
}
P{X=i}=
1 i
•
1 4
,i=1~4
于是(X,Y)的联合分布律为
例3:(二维两点分布)设X,Y的联合分布由下表给出(其中 0<p<1),则称(X,Y)服从二维两点分布
二维离散型随机变量的边缘分布律
设( X ,Y )为二维离散型随机向量,其分布律为 P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,
于是有边缘分布函数
FX ( x) F ( x, )
pij
xi x j
X和Y自 身 分 布 律 分 别 称 之 为( X ,Y )关 于X和 关 于Y的
随机变量的独立性。
第三节 随机变量的独立性
定义6： 设X和Y是两个随机变量，如果对于任意实 数x和y，事件{X≤x}与{Y≤y}相互独立，即有P{ X≤x , Y≤y }=P{X≤x}P{Y≤y}，则称随机变量X与Y相互独立。
设F(x,y)为二维随机变量(x,y)的分布函数，(x,y)关于X 和关于Y的边缘分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则上式 等价于
3. (X,Y)的分布函数满足如下基本性质： (1)F(x,y)分别对x和y单调不减.
(2) 0F(x,y)1 且对于任意固定的y, F(, y) 0
对于任意固定的x, F( x,) 0
F(,) 0，F(,) 1
(3)F ( x, y)关于x, y是右连续的，即 F ( x, y) F ( x 0, y)，F ( x, y) F ( x, y 0)
FX x P{X x} P{X x,Y }
lim P{ X x，，Y y} lim F ( x, y) F ( x,)
y
y
FY ( y) P{Y y} P{ X ,Y y}
lim P{ X x,Y y} lim F ( x, y) F ( , y)
x
x
求得两个边缘分布函数.
故F(x,y)不满足性质4,从而它不是二维随机变量的分布 函数
例5:若二元函数为
0, x y 0 F( x, y) 1, x y 0
F(x,y)是否为某二维随机变量的分布函数?
解 容易验证F(x,y)满足二维分布函数的性质1-3,我们 可以验证它不满足性质4:
取(x1,y1)=(-1,-1), (x2,y2)=(2,2)则 F(x2,y2) - F (x1,y2) - F (x2,y1) + F (x1,y1) =1-1-1+0=-1<0.
0}
C 22C 41
/
C
3 9
4 84
P{ X
2,Y
1}
C
22C
1 3
/
C
3 9
3 84
于是(X,Y)的分布可用表示
由(X,Y)的分布律,所求概率为
P{ X 1,Y 2} P{ X 0,Y 0} P{X 0,Y 1}
P{ X 1,Y 0} P{ X 1,Y 1}
4 84
第三章
多维随机变量及其分布1ຫໍສະໝຸດ 第一节 二维随机变量与分布函数
1、二维随机变量 定义1：设E是一个随机试验,它的样本空间是={e}. 设X(e)与Y(e)是定义在同一样本空间上的两个随机 变量,则称(X(e),Y(e))为上的二维随机向量或二维随 机变量.简记为(X,Y). 2、分布函数 定义2：设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y，称 二元函数 F(x,y)=P{Xx，Yy} 为二维随机向量(X,Y)的 分布函数或联合分布函数。
故F(x,y)不满足性质4,从而它不是二维随机变量的分布 函数
二 边缘分布
（X,Y）作为一个整体，它具有分布函数F(x,y)，而 X和Y也是随机变量，它们各自也具有分布函数，分别 记为FX(x)和FY(y)，分别称为二维随机向量(X,Y)关于X 和Y的边缘分布函数。
当已知(X,Y)的联合分布函数F(x,y)时，可通过
18 84
P{ X
0,Y
2}
C 32C 41
/
C
3 9
12 84
P{ X
0,Y
3}
C
3 3
/
C
3 9
1 84
P{ X
1,Y
0}
C
21C
2 4
/
C
3 9
12 84
P{ X
1,Y
1}
C
21C
31C
1 4
/
C
3 9
24 84
P{ X
1,Y
2}
C
21C
2 3
/
C
3 9
6 84
P{ X
2,Y
例4:若二元函数为
0, x y 0 F( x, y) 1, x y 0
F(x,y)是否为某二维随机变量的分布函数?
解 容易验证F(x,y)满足二维分布函数的性质1-2,它不 是右连续函数,也不满足性质4: