人教版八年级数学下册第十七章勾股定理全章知识点归纳及典型题分类
初二数学下册(人教版)第十七章勾股定理17.2知识点总结含同步练习及答案
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4. 五根小木棒，其长度分别为 7, 15, 20, 24, 25 ，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是 (
A．
B．
C．
D．
答案： C 解析： 勾股定理判断各个三角形．
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四、课后作业
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1. 下列能构成直角三角形三边长的是 ( A．1 、 2 、 3
答案： C
)
C．3 、 4 、 5 D．4 、 5 、 6
B．2 、 3 、 4
2. 下列说法中，不正确的是 (
)
A．三个角的度数之比为 1 : 3 : 4 的三角形是直角三角形 B．三个角的度数之比为 3 : 4 : 5 的三角形是直角三角形 C．三条边的长度之比为 3 : 4 : 5 的三角形是直角13 的三角形是直角三角形
3. 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是 ( A．1, 2, 3
答案： C 解析： 因为
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)
D．√3 , √3 , √5
B．3 2 , 4 2 , 5 2
C．√1 , √2 , √3
(√1 ) + (√2 ) = (√3 ) ，故选C． )
1.勾股定理逆定理 描述： 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2 + b 2 = c 2 ，那么这个三角形是直角三角形． 例题： 已知三组数据：① 2 ，3 ，4 ；② 3 ，4 ，5 ；③ 1 ，√3 ，2 ．分别以每组数据中的三个数为三角 形的三边长，构成直角三角形的有（ ） A. ② B. ①② C. ①③ D. ②③ 解：D． 一艘轮船向东北方向走了 80 千米后，另一艘轮船沿另一个方向行驶了 60 千米，此时两个轮船 相距 100 千米．那么你能推测出另一艘轮船行驶的方向吗？ 解：因为 802 + 602 = 100 2 ， 所以说明两艘轮船行驶方向的夹角是 90∘ ， 所以另一艘轮船的行驶方向是东南方向 或者西北方向．
最新人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、勾股定理的内容直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方.也就是说：如果直角三角形的两直角边长为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2.我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来.二、勾股定理的证明证法1： 如图18-1-1所示，可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形.借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？图18-1-1解：此图可以这样理解，有三个Rt △，其面积分别为21ab ，21ab 和21c 2.还有一个直角梯形，其面积为21(a+b)(a+b). 由图形可知：21(a+b)(a+b)=21ab+21ab+21c 2.整理得(a+b)2=2ab+c 2，a 2+b 2+2ab=2ab+c 2，∴ a 2+b 2=c 2.由此得到勾股定理.这正是美国第20任总统茄菲尔德证明勾股定理的方法.学法一得 面积法验证勾股定理的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形，正方形，梯形)的面积之和等于另一些特殊图形的面积，从而达到验证的目的.勾股定理的证明方法，达400余种.下面这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手.证法2：已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c. 求证：a 2+b 2=c 2.思路分析：如图18-1-2左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等. 左边S=4×21ab+c 2， 右边S=（a+b ）2.左边和右边面积相等，即 4×21ab+c 2=（a+b ）2. 化简可证.图18-1-2学法一得 在勾股定理的探索过程中，计算正方形的面积是本节的一个难点.我们可以通过以下方法计算正方形的面积：（1）数格子.在正方形网格中，每个小方格的边长面积均为1（下同）.对于特殊位置的正方形，我们可以通过数格子的方法求出正方形的面积. （2）扩充法如图18-1-3，正方形ABCD 的四个顶点都是格点（即正方形网格中横、纵线的交点），过顶点A 、B 、C 、D 的四条横、纵线相交，得到一个新的正方形EFGH ，它的面积以及四个直角三角形△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH 的面积可求，据此可以得出原正方形ABCD 的面积.图18-1-3S 正方形ABCD =S 正方形EFGH -S △ABE -S △BCF -S △CDG -S △DAH =52-21×2×3-21×2×3-21×2×3-21×2×3=25-12=13 这种方法的基本思路是把原正方形扩充为一个新的正方形，所以称为扩充法. （3）分解法如图18-1-3，正方形ABCD 可以分解为4个直角三角形△ABO 、△BCP 、△CDQ 、△DAR 和一个小正方形OPQR ，它们的面积都容易求出，那么正方形ABCD 的面积也易求. S 正方形ABCD =S 正方形OPQR +S △ABO +S △BCP +S △CDQ +S △DAR =12+21×2×3+21×2×3+21×2×3+21×2×3 =1+12=13.三、勾股定理的应用勾股定理的应用是本节的重点，也是本节的难点.（1）在直角三角形中，已知两边，根据勾股定理，可以直接求出第三边的长.如，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，∠A=30°，求AC.先画图18-1-4，乍一看，已知一边，无法用勾股定理，但由于∠A=30°，根据以前学过的定理，得BC=21AB=21×10=5，这样一来，就可以用勾股定理了.图18-1-4∵AB 2=AC 2+BC 2，∴AC 2=AB 2-AC 2=102-52=75. ∴AC=3575=.学法一得 利用勾股定理求直角三角形的边时，一定要分清所求的是直角边还是斜边，同时还要灵活应用直角三角形的其他知识.如30°角所对的直角边等于斜边的一半，斜边上的中线长等于斜边长的一半等知识. （2）求三角形的面积例如，求边长为a 的等边三角形的面积.图18-1-5如图18-1-5，△ABC 是等边三角形,作AD ⊥BC ，垂足为D. 又∵△ABC 是等边三角形，∴BD=21BC=21a. 在Rt △ABD 中，根据勾股定理，得 AD 2=AB 2-BD 2=a 2-(21a)2=43a 2, ∴AD=23a. ∴S △ABC =21a·24323a a =. 学法一得 求一般三角形的面积，必然要求三角形的高，通过作底边上的高，这样就出现了直角三角形，与勾股定理产生了联系. （3）证明几何图形之间的数量关系 如图18-1-6，∠C=90°，图中有阴影的三个半圆的面积有什么关系？ 分别用S 1、S 2、S 3表示三个半圆的面积.图18-1-6S 1=21π·(2AB )2=82AB π,S 2=21π·8)2(22BC BC π=,S 3=21π·8)2(22AC AC π=.∵∠C=90°，由勾股定理，得AB 2=BC 2+AC 2. ∴S 1=S 2+S 3.学法一得 探求几何图形之间的数量关系时，要分清斜边和直角边. （4）在数轴上作出表示无理数的点，下面仅举一个例子来说明作法，比如，在数轴上作出表示20的点. 作法1：设20是Rt △ABC 的斜边，两条直角边分别为a 、b ， 根据勾股定理得，a 2+b 2=(20)2,即a 2+b 2=20. 为方便作图，我们尽量取a 、b 为正整数. 若a=1，则b=19，不取； 若a=2，则b=4，可取； ……图18-1-7因此，以2、4为直角边的直角三角形，它的斜边长为20，然后可以在数轴上画出表示20的点.作法如下：在数轴上找到点A ，使OA=2，作直线垂直于OA ，以A 为圆心，以4为半径作弧，交l 于点B.以点O 为圆心，以OB 长为半径作弧交数轴于点C ，则C 即为表示20的点（图18-1-7）作法2：设20是Rt △ABC 的直角边（a=20），根据勾股定理，得（20）2+b 2=c 2，即c 2- b 2=20,若c=5，则b=5，不取；若c=6，则b=4，可取；…… 因此，以6为斜边，4为直角边的直角三角形，它的另一条直角边为20. 作法如下：图18-1-8在数轴上找到点A ，使OA=4，作直线l 垂直于OA ，以原点O 为圆心，以6为半径作弧，交l 于点B.以点O 为圆心，以AB 长为半径作弧交数轴于点C ，即为表示20的点（图18-1-8）. 联想发散 在数轴上作出表示无理数的点，可以有多种作法，可设为直角边，也可设为斜边，选取的数字要尽量简单. 典题·热题知识点 勾股定理的应用例1在Rt △ABC 中，∠C=90°. （1）已知a=b=5,求c. （2）已知a=1,c=2,求b. （3）已知c=17,b=8,求a.（4）已知a ∶b=1∶2,c=5,求a. （5）已知b=15，∠A=30°，求a ，c.思路分析：刚开始使用定理时，一定画好图形，并标好图形，理清边之间的关系.（1）已知两直角边，求斜边直接用勾股定理.（2）（3）已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的变式.（4）（5）已知一边和两边比，求未知边.通过前三题明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边；通过后两题明确已知一边和两边之间的关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的转化思想.解：∵a 2+b 2=c 2,∴c=25552222=+=+b a ,同理可解得（2）（3）（4）（5）. 例2已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边.思路分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进行计算，体会分类讨论的思想. 解：（1）当12是斜边时，设另一直角边是x ，由勾股定理可得x 2+52=122. 解得x=119；(2)当12是直角边时，设斜边是x ，由勾股定理可得,x 2=52+122.解得x=13. ∴第三边的长为119或13.误区警示 已知直角三角形的两边长，求第三边时一定要分清是直角边还是斜边.例3已知：如图18-1-8，等边△ABC 的边长是6 cm. （1）求等边△ABC 的高. (2)求S △ABC .思路分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法.欲求高AD ，可将其置身于Rt △ABD 或Rt △ACD 中，但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一的性质，可求得BD=CD=21BC=3 cm ，则此题可解.图18-1-9解：如图18-1-9，△ABC 是等边三角形,作AD ⊥BC ，垂足为D ， 又∵△ABC 是等边三角形，∴BD=21BC=21×6=3. 在Rt △ABD 中，根据勾股定理，得AD 2=AB 2-BD 2=62-(3)2=27， ∴AD=33，∴S △ABC =21×6×33=39. 例4一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了160千米，然后向正北方向航行了120千米，这时它离出发点有多远？思路分析：先画出正确的方位图，再根据勾股定理进行计算.表示正东方向的直线和表示正北方向的直线互相垂直，得到直角三角形，这是应用勾股定理的前提条件.答案：如图18-1-10，在Rt △OAB 中，根据勾股定理，得OB 2=OA 2+AB 2=1602+1202=40 000.图18-1-10∴OB=200（千米）.答：它离出发点200千米.方法归纳 弄清方向、画出准确的图形是解答此题的关键.例5飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5 000米，飞机每小时飞行多少千米？思路分析：根据题意可以画出图18-1-11，其中A 点表示男孩头顶的位置，C 、B 两点表示两个时刻飞机的位置，∠C 是直角，由勾股定理可以解决这个问题. 解：由勾股定理得图18-1-11BC 2=AB 2-AC 2=5 0002-4 0002=9 000 000, 所以BC=3 000.∵3 000米=3千米，20秒=1801360020 时. ∴飞机飞行的速度为18013=540（千米/时）. 答：飞机每小时飞行540千米.例6在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？思路分析：我们可以将这个实际问题转化成数学模型.解：如图18-1-12，设水深为x 尺，则芦苇长为(x+1)尺，由勾股定理可求得, (x+1)2=x 2+52，x 2+2x+1=x 2+25.图18-1-12解得x=12.则水池的深度为12尺，芦苇长13尺.误区警示 在本题中，注意区分水池的深度和芦苇的长度. 例7如图18-1-13，在△ABC 中，∠B=90°，两直角边AB=8，BC=15，P 是△ABC 的内角平分线的交点，求点P 到AB 边的距离PD 的长.图18-1-13思路分析：因为点P 是△ABC 的内角平分线的交点，所以点P 到三边的距离都相等.过点P 作PE ⊥BC ，PF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，则PD=PE=PF.根据面积关系求出PD 的长. 解：过点P 作PE ⊥BC ，PF ⊥AC ，垂足分别为E 、F. ∵过点P 是△ABC 的内角平分线的交点，∴PD=PE=PF.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得 AC=2222158+=+BC AB =17.∵S △ABC =21AB·BC=21×8×15=60, 又S △ABC =S △PAB +S △PBC +S △PCA , 即21AB·PD+21BC·PE+21CA·PF=60, 21PD·（AB+BC+AC ）=60. ∴PD=3.方法归纳 利用面积法求高，是数学解题过程中常用的数学方法. 例8已知：如图18-1-14，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2.求：四边形ABCD 的面积.图18-1-14思路分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC ，或延长AB 、DC 交于F ，或延长AD 、BC 交于E ，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单.教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会. 解：延长AD 、BC 交于E. ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°. ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，∴BE 2=AE 2-AB 2=82-42=48，BE=3448=. ∵DE 2= CE 2-CD 2=42-22=12，∴DE=3212=. ∴S 四边形ABCD =S △ABE -S △CDE =21AB·BE-21CD·DE=36. 方法归纳 不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差. 问题·探究 方案设计探究问题1 葛藤是自然界中一种聪明的植物,它自己腰杆不硬,为了享受更多的阳光雨露,常常绕着树干盘旋而上,它还有一手绝招,就是它绕树盘升的路线,总是沿最短路线螺旋前进!难道植物也懂数学?通过阅读以上信息,你能设计一种方法解决下列问题吗?如果树的周长为3 cm,绕一圈升高4 cm,则它爬行的路线是什么?探究过程：我们假设可以沿一条直线把树剖开，如图18-1-15所示，它爬行的路线是AB.图18-1-15探究结论：葛藤爬行的路线是AB,AB=2243 =5.思维发散探究问题2 对于直角三角形我们知道斜边的平方等于两直角边的平方和,那么对于锐角三角形的三边呢?图18.116探究过程：为了验证锐角三角形最大边的平方与其他两边平方和的关系,我们可以借鉴勾股定理的证明方法,先考虑放在网格中的特殊的三角形,建立如图18-1-16所示，并且知道c 是最大边,由图及勾股定理可以知道，a 2=22+22=8，b 2=12+22=5，而c 2=32=9，∴c 2＜a 2+b 2,这也就是说锐角三角形中,最大边的平方小于其他两条边的平方和.对于正方形网格中的格点三角形，可以由勾股定理直接探究得到结论.那么，对于一般的锐角△ABC ，你又如何进行呢?为了借助直角三角形,可以考虑把原三角形分成两个直角三角形,如图18-1-17.图18-1-17作△ABC 的高AD ，∵△ABC 是锐角三角形， ∴点D 一定在BC 上.由勾股定理，得AB 2=AD 2+BD 2＜AD 2+BD 2+DC 2＜AC 2+BD 2＜AC 2+BC 2， 即c 2＜a 2+b 2.对于钝角三角形，也有类似的结论.已知钝角三角形的三边分别为a 、b 、c ，最大边是c, 那么a 2+b 2＜c 2.探究结论：锐角三角形中,最大边的平方小于其他两条边的平方和；钝角三角形中,最大边的平方大于其他两条边的平方和. 方案设计探究问题3 四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图18-1-18（1）所示.它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，①求中间小正方形的面积. ②现有一张长为6.5 cm ，宽为2 cm 的纸片，如图18-1-18（2），请你将它分割成6块,再拼合成一个正方形（要求：先在图18-1-18（2）中画出分割线，再画出拼成的正方形，并标明相应数据）.图18-1-18探究过程：①首先，设出直角三角形的两条边分别为a 、b （a>b ），中间小正方形的边长就是a-b ，则中间小正方形的面积是(a-b)2.依题意有：⎩⎨⎧=+=+)2(13)1(522b a b a ；①2-②，得ab=6，（a-b ）2=（a+b ）2-4ab=1，∴a-b=1，故小正方形的面积为1. ②观察图18-1-18（1），它由四个直角三角形和一个小正方形组成，当a=2 cm,b=3 cm 时符合题意，此时直角三角形较短边长正好等于纸片的宽，两个直角三角形较长边长之和小于纸片的长，剩下部分面积正好等于1，按图18-1-19裁剪即可. 探究结论：（1）小正方形的面积为1.(2)按要求拼出的正方形如图18-1-19所示.图18-1-19。
人教版八年级下册数学 第17章《勾股定理》讲义 第6讲 勾股定理-逆定理(有答案)
人教版八年级下册数学第17章《勾股定理》讲义第6讲勾股定理－逆定理（有答案）第6讲 勾股定理－逆定理 第一部分 知识梳理知识点一：勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 .①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形知识点二：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）知识点三：勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整例4、已知:△ABC 的三边分别为m 2－n 2,2mn,m 2+n 2(m,n 为正整数,且m ＞n),判断△ABC 是否为直角三角形.例5、三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 举一反三：1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A 、8，15，17B 、4，5，6C 、5，8，10D 、8，39，402、下列各组线段中的三个长度：①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a、4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m 、n 为正整数，且m>n ）其中可以构成直角三角形的有（ ）A 、5组B 、4组C 、3组D 、2组3、现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（ ）A 、30厘米B 、40厘米C 、50厘米D 、以上都不对4、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时应用勾股定理解实际问题课件新版新人教版
【解】(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，
则∠AEC＝∠AED＝90°.
∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°.
∴CE＝ AC＝
DE＝
km.∴AE＝
km，
km.
∴AE＝DE.∴△ADE是等腰直角三角形.∴AD＝
＋ ＝ ＝ AE＝ ×
度为x尺，则可列方程为( D )
A.x2－3＝(10－x)2
B.x2－32＝(10－x)2
C.x2＋3＝(10－x)2
D.x2＋32＝(10－x)2
【点拨】
如图，已知折断处离地面的高度为x尺，即AC＝x尺，
则AB＝(10－x)尺，BC＝3尺.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝
AB2，即x2＋32＝(10－x)2.故选D.
2.[2023·岳阳 新考向·传承数学文化]我国古代数学名著《九章
算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为
方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今
有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚
度CD达到7寸，则BC的长是( C )
A. 寸
B.25寸
C.24寸
D.7寸
选B.
4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙
时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4
m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶
端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C )
A.0.7 m
B.1.5 m
C.2.2 m
D.2.4 m
【点拨】
如图，BC＝2.4 m，AC＝0.7 m，DE＝
初二数学下册(人教版)第十七章勾股定理17.1知识点总结含同步练习及答案
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3 ． 2
四、课后作业
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1. 如图，已知 △ABC 中， AB = 17 ， AC = 10 ， BC 边上的高 AD = 8 ， 则边 BC 的长为
(
)．
A．21 C．6
答案： A
1.勾股定理 描述： 勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a ，b ，斜边长为 c ，那么 a2 + b 2 = c 2 ． 例题： 在 Rt△ABC 中，∠C = 90∘ ，∠A，∠B，∠C 的对边分别是 a ，b ，c ． （1） 已知 a = b = 6，求 c ；（2） 已知 c = 3 ，b = 2 ，求 a ；（3） 已知 a : b = 2 : 1 ， c = 5 ，求 b ． 解：（1）在 Rt△ABC 中，∠C = 90∘ ， a = b = 6， 根据勾股定理，得 c = √a2 + b 2 = 6√2； （2） 在 Rt△ABC 中，∠C = 90∘ ， c = 3 ，b = 2 ，
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解：连接 AO，在 Rt△AOB 中，∠AOB = 90 ∘ ，AO = 2.4 ，OB = 0.7 ， 根据勾股定理得：AB 2 = AO2 + OB2 ，
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− − − − − − − − − AB = √2.4 2 + 0.7 2 = 2.5 ．
4. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为 1 ，则网格上的三角形 ABC 中，边长为无理数的边数 为 (
)．
A．0 条
答案： C
B．1 条
C．2 条
人教八年级下册数学第十七章勾股定理小结
勾股定理小结教学目标：1.掌握全章知识点。
2. 能灵活运用勾股定理及逆定理解决问题。
3.掌握本章重点题型与数学思想方法。
本章知识框图:实际问题由形到数勾股定理(直角三角形边长计算)互逆定理实际问题由数到形勾股定理的逆定理(判定直角三角形)基础知识复习：1.勾股定理：几何语言：∵∴2.勾股定理的逆定理：几何语言：∵∴3.三角形三边a，b,c,满足的三个数，称为勾股数常用的勾股数有（1）.（2）.（3）. （4）（5）（6）（7）.4.互逆命题：.互逆定理： . 基本分类一：基本题型1.如图，等边三角形的边长是6，则这个三角形的面积2.已知△ABC,∠C=90°，BC=3,AC=4,求高CD=3.已知△ABC ∠C=90°BC=5。
（1）若∠A=30°，则AB= ，AC=（2）若∠A=45°，则AB= ，AC=4.5.小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高 .6.一个门框的尺寸如图所示，一块长3m 、宽2.2m 的薄木板 从门框内通过。
（能不能）7.如图,一架长为10m 的梯子AB 斜靠在墙上, 梯子顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑2m,那么它的底端滑动了m.8.如图，四边形ABCD中，AB＝3,BC=4,CD=12,AD=13, ∠B=90°,求四边形ABCD的面积9.如图，公路MN和小路PQ在P处交汇,∠QPN=30°,点A处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机行使时,周围100m内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时,学校是否受到噪音的影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续多长时间?10.如图，△ABC与△EDC都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ABC的顶点A在△EDC的斜边DE上，求证：AE²+AD²=2AC²题型分类二：分类讨论11.已知:直角三角形的三边长分别是3,4,X,则X 。
人教版八年级数学下册第十七章第一节 第1课时 勾股定理
B
解：(1) 据勾股定理得
c a2 b2 52 52 50 5 2. C
A
(2) 据勾股定理得
b c2 a2 22 12 3.
【变式题1】在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°. (1) 若 a∶b = 1∶2 ，c = 5，求 a ; (2) 若 b = 15，∠A = 30°，求 a，c. 解：(1) 设 a = x，b = 2x，根据勾股定理建立方程得 x2 + (2x)2 = 52，解得 x 5， ∴ a 5 . (2) ∵A 30°，b 15，∴c 2a . 因此设 a = x，c = 2x，根据勾股定理建立方程得 (2x)2 - x2 = 152，解得 x 5 3 . ∴ a 5 3 ，c 10 3 .
1 4
BC2.
勾股定理
内容 注意
在Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，
b 为直角边，c 为斜边，则有 a2 + b2 = c2.
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边 还是斜边时一定要分类讨论
D
根据三角形面积公式，
3
∴ ∴
1 2
AC×BC
12
CD = 5 .
=
1 2
AB×CD.
C
4
B
归纳 由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角
边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联
合使用．
练一练
求下列图中未知数 x、y 的值：
81 x
144
解：由勾股定理可得 81 + 144 = x2，
解得 x = 15.
勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人 看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明 了这关系，下面让我们一起来通过视频来了解吧：
第十七章 勾股定理 章末复习 课件(共23张PPT) 2024-2025学年人教版八年级数学下册
巩固练习
1.如图，一个圆柱形油罐，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A 点的正上方B点，请你算一算梯子最短需多少米？ （ 已知油罐 的底面周长是12米，高是5米）.
解：如图，将油罐侧面展开，
此时AB= 122 52 =13(m).
2.如图，已知在△ABC中，AB=17 ， AC=10 ， BC边上的高AD=8， 求：(1)BC边的长；(2)△ABC的面积.
A
思考：如何判定一个三角形是直角三角形呢？
1.有一个内角为直角的三角形是直角三角形.
2.两个内角互余的三角形是直角三角形.
3.如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角
形是直角三角形.
A
勾股定理的逆定理
c
几何语言：∵a2+b2=c2， b
∴△ABC是直角三角形.
C
a
B
典型例题
S阴影=S△CAD-S△ABC
=
1 2
AC·AD-
1 2
AB·BC
=24
互逆命题
勾股定理
题设：一个三角形 是直角三角形.
勾股定理 的逆定理
题设：一个三角形 的三边长a，b，c
满足a2+b2=c2.
结论：两条直角边的平 方和等于斜边的平方.
(a2+b2=c2)
结论：这个三角形 是直角三角形.
若两个命题的题设、结论正好相反，则这两个命题叫 做互逆命题.
知识框图 勾股定理
互逆定理
勾股定理的逆定理
直角三角形边 长的数量关系
直角三角形的判定
复习回顾
回顾思考：
1.直角三角形三边的长有什么特殊的关系? 2.赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法? 3.已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三 角形? 你作判断的依据是什么? 4.证明勾股定理的逆定理运用了什么方法? 5.一个命题成立，它的逆命题未必成立. 请举例说明.
最新新编八年级数学下册第十七章勾股定理知识点总结新版新人教
第十七章知识点总结第十七章 勾股定理 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。
2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。
，那么这个三角形是直角三角形。
3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
（例：勾股定理与勾股定理逆定理）4.直角三角形的性质（1）、直角三角形的两个锐角互余。
可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°（2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90°（3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∠ACB=90°可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD •=2⇒ AB AD AC •=2CD ⊥AB AB BD BC •=26、常用关系式由三角形面积公式可得：AB •CD=AC •BC7、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
8、命题、定理、证明1、命题的概念判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
2、命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
最新人教版八年级下学期数学《勾股定理》知识点归纳
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确
定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和
2
2
2
a b 与较长边的平方 c 作比较，若它们
相等时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形；若
2
a
2
b
2
c ，时，以
a ， b ， c 为三边的三角形是
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
D C
H
E
G
F
b
a
A
c
B
b a
c
a
c
b
b
c
a
c a
b
A aD
cb
c
E
a
B
bC
方法一： 4S
S正方形 EFGH
S正方形 ABCD，4 1 ab (b a) 2 c2 ，
2
化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正 方形的面积．
b) ， S梯形
2S ADE
S ABE
1 2 ab
1 c2 ，化简得证
22
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝
角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
４. 勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
１．勾股定理 ：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 ２. 勾股定理的证明
a ， b ，斜边为 c ，那么 a2 b2 c2
八年级数学下册第17章《勾股定理》知识点与常见题型总结
八年级下册 .勾股定理知识点与常见题型总结１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 a b ccb a E DCB A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-=题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解： ⑴224AC AB BC =-=， 2.4AC BC CD AB⋅==D B AC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，Q 12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中2290,2BED BE BD DE ∠=︒=-=QRt ACD Rt AED ∆≅∆QAC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4. （ 2014•安徽省,第8题4分）如图，Rt △ABC 中，AB =9，BC =6，∠B =90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A ．B ．C ． 4D ． 5考点： 翻折变换（折叠问题）．分析： 设BN =x ，则由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ，根据中点的定义可得BD =3，在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得关于x 的方程，解方程即可求解．解答： 解：设BN =x ，由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△ABC中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．例5.已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。
八年级下数学第17章《勾股定理小结与复习》
AC2 AD2 BC2 BD2 ,
202 25 x2 152 x2,即50x=450，解得x=9.∴BD=9.
转化思想 例2 有一圆柱体高为8cm，底面圆的半径为2cm，如 图.在AA1上的点Q处有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1 上的点P处有一只苍蝇，PB=2cm．求蜘蛛爬行的最 短路径长(π取3). 解：如图,沿AA1剪开,过Q作QM⊥BB1于M,连接QP. 则PM=8-3-2=3(cm)， QM=A1B1=12×2×π×2=6(cm)， 在Rt△QMP中，由勾股定理得
AC= AB2 BC2 = 202 152 =25, ∵AD2+DC2=625=252=AC2， ∴△ADC是直角三角形，且∠D=90°， ∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°， ∴∠DAB+∠BCD=180°， 即∠A+∠C=180°．
考点三 勾股定理与折叠问题
2.勾股数 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
3.原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中 一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.
考点一 勾股定理及其应用
例1 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=20，
BC=15. （1）求AB的长；（2）求BD的长．
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
AB AC2 BC2 202 152 25;
（2）方法一：∵S△ABC=
1AC•BC=
2
1 2
AB•CD，
∴20×15=25CD，∴CD=12．
∴在Rt△BCD中，BD BC2 CD2 152 122 9.
人教版八年级数学下册 第十七章 勾股定理全章知识点归纳及典型题分类
勾股定理全章知识点归纳及典型题分类一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a ）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。
（定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 6：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n为正整数） 二、典型题归类 类型一：等面积法求高【例题】如图，△ABC 中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，C D ⊥AB 于D 。
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理全章考点例析
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理全章考点例析知识框架考点例析知识点一：勾股定理1．勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的的平方和等于斜边的平方．2．勾股定理的表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么有a 2+b 2=c 2。
【例1】在ABC ∆中，90C ︒∠=，（1）若3,4,a b ==则c = ； （2）若6,10a c ==，则b = ；（3）若:3:4,15a b c ==，则a = ，b = 。
【例2】已知直角三角形的两边长分别是3和4，如果这个三角形是直角三角形，第三边为_________________。
3.勾股定理的验证至少掌握勾股定理的三种验证方法，并从中体会到这种验证方法所体现的数学思想。
方法一 方法二 方法三【例3】2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么2()a b 的值为（ ）．A ．13B ．19C ．25D ．169DCBAcbaDCBAc bac baEDCBA【例4】如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？例5】已知：如图，四边形ABCD 中，∠B ，∠D 是直角，∠A=45°．若DC=2cm ，AB=5cm ，求AD 和BC 的长．【例6】如图，第①个等腰直角三角形的直角边长等于1，以它的斜边长为腰长作第②个等腰直角三角形，再以第②个等腰直角三角形的斜边长为腰长作第③个等腰直角三角形…．依次得到一系列的等腰直角三角形，其序号依次为①、②、③、④、…．（1）分别求出第①、②、③、④个等腰直角三角形的斜边长； （2）归纳出第n 个等腰直角三角形的斜边长．（n 为正整数）S 1S 2S 3A B C 【例7】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°○，以△ABC 各边为边在△ABC 外作三个正方形，S 1，S 2，S 3分别表示这三个正方形的面积，S 1=81，S 3 =225，则S 2= 。
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C
A B
D
勾股定理全章知识点归纳及典型题分类
一．基础知识点：1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2
）
要点诠释：
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边（在
ABC 中，90C ，
则2
2
c a
b ，
2
2
b
c
a ，2
2
a
c
b ）
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系
a 2
+b 2
＝c 2
，那么这个三角形是直角
三角形。
要点诠释：
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；
（2）验证c 2
与a 2
+b 2
是否具有相等关系，若c 2
＝a 2
+b 2
，则△ABC 是以∠Ｃ为直
角的直角三角形
（若c 2
>a 2
+b 2，则△ABC 是以∠Ｃ为钝角的钝角三角形；若c 2
<a 2
+b 2
，则△ABC
为锐角三角形）。
（定理中a ，b ，c 及2
2
2
a b c 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如
若三角形三边长a ，b ，c 满足222
a c
b ，那么以a ，b ，
c 为三边的三角形是直角三角形，但是
b 为斜边）
3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，
这样的两个命题
叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
5：勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理6：勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即
2
2
2
a
b
c 中，
a ，
b ，
c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等
③用含字母的代数式表示n 组勾股数：2
2
1,2,1n
n n
（2,n
n 为正整数）；2
2
21,22,221n n
n n
n （n 为正整数）2
2
2
2
,2,m
n mn m
n （,m
n m ，n
为正整数）
二、典型题归类类型一：等面积法求高
【例题】如图，△ABC 中，∠ACB=900
，AC=7，BC=24，CD ⊥AB 于D 。
（1）求AB 的长；（2）求CD 的长。
类型二：面积问题
【例题】如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为
___________cm 2。
A
B
C
D
7cm
【练1】如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形，
（1）求图中格点四边形ABCD的面积和周长。
（2）求∠ADC的度数
【练2】如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是______.
【练3】如图字母B所代表的正方形的面积是
类型三：距离最短问题
【例题】如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
【练1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
【练2】如图，边长为1的立方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着立方体的外
表面爬到B顶点的最短路程是（）
A、3
B、
C、
D、1 【练3】如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？
类型四：判断三角形的形状
【例题】如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，
判断ΔABC的形状。
【练1】已知△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判
断△ABC是否为直角三角形.
【练2】.已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的
形状为（）三角形 A.直角 B.等腰 C.等腰直角 D.等腰或直角
【练3】三角形的三边长为
ab
c
b
a2
)
(2
2
,则这个三角形是( ) 三角形
（A）等边（B）钝角（C）直角（D）锐角
类型五：直接考查勾股定理
【例题】在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=40，
b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求 a.。
A B
D
C
E
B
169
25
小河
A
B
东
北
牧童
小屋
B
C
A
2
15
10
类型六：构造应用勾股定理
【例题】如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.
练：△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．
类型七：利用勾股定理作长为n的线段
例1在数轴上表示的点。
作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，
作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，以O
为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。
【练习】在数轴上表示13的点。
类型八：勾股定理及其逆定理的一般用法
【例题】若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
【练习1】等边三角形的边长为2，求它的面积。
2、已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+6，求这个三角形的面积．
类型九：生活问题
【例题】如下左图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米．
【练1】种盛饮料的圆柱形杯（如上右图），测得内部底面半径为 2.5㎝，高为
12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出 4.6㎝，问吸管要做㎝。
【练2】如下左图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷
径”，在花园内走出了一条“路”。
他们仅仅少走了__________步路（假设2步
为1m），却踩伤了花草。
【练3】如上右图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树
高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞米.
类型十：翻折问题
【例题】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将
直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出
CD的长吗？C
B
A
D
E
【练习1】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。
【练习2】如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，求AC的长。
如图，把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点
落在点处。
（1）求证：
（2）设，试猜想
之间的一种关系，并给予证明．3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气
旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向22
0千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，
风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30o方向往Ｃ
移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台
风影响．
（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
如图所示，P为正方形ABCD内一点，将ABP绕B顺时针旋转90到CBE 的位置，若BP=a，求：以PE为边长的正方形的面积
如图2-9，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1，?PC=2，求∠BPC的度数．。