第2章2.2.2第二课时知能优化训练

1．(2010年高考天津卷)设a ＝log 54，b ＝(log 53)2

，c ＝log 45，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c

解析：选D.a ＝log 54＜1，log 53＜log 54＜1，b ＝(log 53)2＜log 53，c ＝log 45＞1，故b ＜a

＜c .

2．已知f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上递减，那么f (x )在(1，＋∞)上( ) A ．递增无最大值 B ．递减无最小值 C ．递增有最大值 D ．递减有最小值 解析：选A.设y ＝log a u ，u ＝|x －1|. x ∈(0,1)时，u ＝|x －1|为减函数，∴a >1.

∴x ∈(1，＋∞)时，u ＝x －1为增函数，无最大值． ∴f (x )＝log a (x －1)为增函数，无最大值．

3．已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a ＞0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )

A.12

B.14 C ．2 D ．4

解析：选C.由题可知函数f (x )＝a x ＋log a x 在[1,2]上是单调函数，所以其最大值与最小值之和为f (1)＋f (2)＝a ＋log a 1＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，整理可得a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)，故a ＝2.

4．函数y ＝log 13

(－x 2＋4x ＋12)的单调递减区间是________．

解析：y ＝log 13

u ，u ＝－x 2＋4x ＋12.

令u ＝－x 2

＋4x ＋12>0，得－2

∴x ∈(－2,2]时，u ＝－x 2＋4x ＋12为增函数， ∴y ＝log 13(－x 2＋4x ＋12)为减函数．

答案：(－2,2]

1．若log a 2＜1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(0,1)∪(2，＋∞)

C ．(0,1)∪(1,2)

D ．(0，1

2

)

解析：选B.当a ＞1时，log a 2＜log a a ，∴a ＞2；当0＜a ＜1时，log a 2＜0成立，故选B.

2．若log a 2b >1 D ．b >a >1 解析：选B.∵log a 2

3．已知函数f (x )＝2log 12

x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域是( )

A ．[

2

2，2] B ．[－1,1] C ．[1

2，2]

D ．(－∞，

2

2

]∪[2，＋∞)

解析：选A.函数f (x )＝2log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，则－1≤2log 12x ≤1，可得－1

2≤log 1

2

x ≤1

2

， 解得

2

2

≤x ≤ 2. 4．若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4

解析：选B.当a ＞1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，a ＝1

2

，与a ＞1矛盾；

当0＜a ＜1时，1＋a ＋log a 2＝a ，

log a 2＝－1，a ＝1

2

.

5．函数f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]在定义域上( ) A ．是增函数 B ．是减函数 C ．先增后减 D ．先减后增

解析：选A.当a ＞1时，y ＝log a t 为增函数，t ＝(a －1)x ＋1为增函数，∴f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]为增函数；当0＜a ＜1时，y ＝log a t 为减函数，t ＝(a －1)x ＋1为减函数，

∴f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]为增函数．

6．(2009年高考全国卷Ⅱ)设a ＝lge ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a

解析：选B.∵1

∴0

2lg e

∵0

又c －b ＝12lg e －(lg e)2＝1

2

lg e(1－2lg e)

＝12lg e·lg 10e

2>0，∴c >b ，故选B. 7．已知0＜a ＜1,0＜b ＜1，如果a log b (x －

3)＜1，则x 的取值范围是________．

解析：∵0＜a ＜1，a log b (x －

3)＜1，∴log b (x －3)＞0. 又∵0＜b ＜1，∴0＜x －3＜1，即3＜x ＜4. 答案：3＜x ＜4

8．f (x )＝log 21＋x

a －x

的图象关于原点对称，则实数a 的值为________．

解析：由图象关于原点对称可知函数为奇函数， 所以f (－x )＋f (x )＝0，即

log 21－x a ＋x ＋log 21＋x a －x ＝0⇒log 21－x 2a 2－x 2＝0＝log 21，

所以1－x 2

a 2－x 2＝1⇒a ＝1(负根舍去)．

答案：1

9．函数y ＝log a x 在[2，＋∞)上恒有|y |＞1，则a 取值范围是________．

解析：若a ＞1，x ∈[2，＋∞)，|y |＝log a x ≥log a 2，即log a 2＞1，∴1＜a ＜2；若0＜a ＜1，

x ∈[2，＋∞)，|y |＝－log a x ≥－log a 2，即－log a 2＞1，∴a ＞12，∴1

2

＜a ＜1.

答案：1

2

＜a ＜1或1＜a ＜2