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(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案

成功是必须的:两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点： 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C( a — 3 ): cos( a — 3 )= S( a + 3 ): sin( a + 3 )=T( a + 3 ): tan( a + 3 )=2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2 : sin2 a = C( a + 3 ): cos( a + 3 )= S( a — 3 ): T( a — 3 )： 2h例 2 设 cos a —21 9’T 2 : tan2 . asin 2 — 23,其中n 2,n0, 2，求 cos( a+ 3).sin( a — 3 )= tan( a — 3 )= C 2 : cos2 a =— — ,3、在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等。

如T( a± 3可变形为：tan a± tan 3= 考点自测： 1、已知tan A 、7 11 B、 tan 3 = 3, 7 11 变式2:已知03.ncos(— 4 435，sin( 4)—,求 sin( a + 3 )的值. 13则 tan( a C 、？ 13 tan a an 3= 3)=( 13 题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围;值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调 )；(3)求出角。

1 1例 3 已知 a, 3^ (0, n,且 tan (a — 3 ="2, tan 3=— 7 求 2 a — 3 的值.(2)求角的某一个三角函数n a — 6 +A —症A . 5 2、已知cos 3、在厶ABC 中，若 sin a= 43」 B辺B.5 4 q 5cosA = 5，cosB = 13, B 56 B.65sin 7 n a+舀的值是( C . — 4 5 则cosC 的值是( c 丄或56 C.65或65 4、若 cos2 9+ cos 0= 0,贝U sin2 0+ sin B 的值等于( )C . 0 或 3 4D ・516 65 0或土 3A . 0B . ± 3 一.卜 2cos55 — j‘3sin55、二角式 A 辽 2 题型训练题型1给角求值一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系(与特殊角的联系)化为特殊角 cos5B.o■值为( 例 1 求[2si n50 sin 10 (1 3tan10)]? 2sin 280 的值• 11变式3:已知tan a =, tan 3 =-，并且a , 3均为锐角，求a +23的值.7 3题型4辅助角公式的应用J 22asinx bcosx a b sin x (其中角所在的象限由 a, b 的符号确定，角的值由btan —确定)在求最值、化简时起着重要作用。

最新高考第一轮复习数学：4.4两角和与差、二倍角的公式(三)教案(含习题及答案)

关系： 2α+β =（ α+β ） +α ，（ α +β ）－ α =β可证得结论 .
证明： sin（ 2α +β ）－ 2cos（ α +β） sinα
=sin［（ α +β） +α ］－ 2cos（ α +β） sinα
=sin（ α +β ）cosα +cos（ α +β ） sinα － 2cos（α +β ） sinα =sin（ α +β ）cosα － cos（ α+β ） sinα =sin［（ α +β ）－ α ］=sin β. 两边同除以 sinα 得
为简、左右归一、变更命题等方法，使等式两端的“异”化为“同”
.
2.条件等式的证明，通过认真观察，发现已知条件和待证等式之间的关系，选择适当的途径把条件用上去 .常用方法有代入法、消去法、综合法（即从已知条件出发，以待证式为目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出待证式）、分析法等 .
4.4 两角和与差、二倍角的公式（三）
●知识梳理
1.化简要求（ 1）能求出值的应求出值 . （2）使三角函数种数、项数尽量少；分母尽量不含三角函数；被开方式尽量不含三角函数 .
2.化简常用方法（ 1）活用公式（包括正用、逆用、变形用） . （ 2）切割化弦、异名化同名、异角化同角等 .
3.常用技巧
2 sin 20
sin 10
sin 10
cos（30 =
3 cos 20 20 ） 2 sin 20 = 2 sin 10
1 sin 20 2 sin 10
2 sin 20
3
3
cos 20 =2

高中数学人教B版必修四讲义：第三章 3.1 3.1.3 两角和与差的正切 Word版含答案

和角公式3．1.3两角和与差的正切预习课本P140～141，思考并完成以下问题(1)如何利用两角差(和)的正、余弦公式导出两角差(和)的正切公式？(2)公式T()α±β的应用条件是什么？[新知初探]两角和与差的正切公式 [点睛] (1)在两角和与差的正切公式中，角α，β，α＋β，α－β均不等于k π＋π2(k ∈Z)，这是由正切函数的定义域决定的．(2)在应用两角和与差的正切公式时，只要tan α，tan β，tan(α＋β)(或tan(α－β))中任一个的值不存在，就不能使用两角和(或差)的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法解题．如化简tan ⎝⎛⎭⎫π2－β，因为tan π2的值不存在，所以不能利用公式T (α－β)进行化简，应改用诱导公式来化简，即tan ⎝⎛⎭⎫π2－β＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－βcos ⎝⎛⎭⎫π2－β＝cos βsin β. [小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( ) (2)对任意α，β∈R ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立．( )答案：(1)√ (2)×2．已知tan α＝－34，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A ．－17 B ．－7 C.17 D ．7答案：D3．若tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝3，则tan α的值为( ) A ．－2 B ．－12C.12 D ．2答案：B 4.tan 17°＋tan 43°1－tan 17°tan 43°＝________.答案： 3给角求值问题[典例] 求值：(1)tan(－15°)； (2)tan 74°＋tan 76°1－tan 74°tan 76°； (3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°. [解] (1)tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝3－33＋3＝12－636＝2－3，tan(－15°)＝－tan 15°＝3－2. (2)原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－33. (3)∵tan 60＝3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23° tan 37°，∴tan 23°＋tan 37°＝3－3tan 23°tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3.利用公式T (α±β)化简求值的两点说明(1)分析式子结构，正确选用公式形式：T ()α±β是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“3”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan π4”，“3＝tan π3”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．[活学活用]1.sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°的值为________．解析：原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan (45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3.答案：2－ 3 2.tan 18°＋tan 42°＋tan 120°tan 18°tan 42°tan 60°＝________.解析：观察可知18°＋42°＝60°，可运用两角和的正切公式求值． ∵tan 18°＋tan 42°＋tan 120°＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋tan 120° ＝－tan 60°tan 18°tan 42°， ∴原式＝－1. 答案：－1给值求值问题[典例] 已知cos α＝45，α∈(0，π)，tan (α－β)＝12，求tan β及tan (2α－β)．[解] ∵cos α＝45>0，α∈(0，π)，∴sin α>0. ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，∴tan α＝sin αcos α＝3545＝34.∴tan β＝tan [α－(α－β)]＝tan α－tan (α－β)1＋tan α·tan (α－β)＝34－121＋34×12＝211，tan (2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝tan α＋tan (α－β)1－tan α·tan (α－β)＝34＋121－34×12＝2.给值求值问题的两种变换(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实现求值．(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．[活学活用]1．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：选A ∵tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根， ∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，∴tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.2．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan (α－β)＝2，则tan (β－2α)＝________.解析：由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2.因为 tan (α－β)＝2，所以 tan (β－α)＝－2，故 tan (β－2α)＝tan [(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43.答案：43[典例] 已知tan α＝2，tan β＝－13，其中0<α<π2，π2<β<π.(1)求tan (α－β)； (2)求α＋β的值．[解] (1)因为tan α＝2，tan β＝－13，所以tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2＋131－23＝7.(2)因为tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1，又因为0<α<π2，π2<β<π，所以π2<α＋β<3π2，所以α＋β＝5π4.[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求tan (2α－β)的值．解：因为tan (α－β)＝7，tan α＝2，所以tan (2α－β)＝tan (α－β)＋tan α1－tan (α－β)tan α＝7＋21－7×2＝－913.2．[变条件，变设问]若本例条件变为：tan α＝13，tan β＝17且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求2α＋β的值．解：因为tan α＝13，tan β＝17且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋171－13×17＝12>0，∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2α＋β∈(0，π)， ∴tan (2α＋β)＝tan (α＋β)＋tan α1－tan (α＋β)tan α＝12＋131－12×13＝1，∴2α＋β＝π4.给值求角问题的解题策略(1)根据题设条件求角的某一三角函数值；(2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．层级一学业水平达标1．1－tan 27°tan 33°tan 27°＋tan 33°的值为( )A.33B. 3 C ．tan 6°D.1tan 6°解析：选A ∵tan 27°＋tan 33°1－tan 27°tan 33°＝tan (27°＋33°)＝tan 60°，∴原式＝1tan 60°＝33.2．tan 15°＋tan 105°等于( ) A ．－2 3 B ．2＋ 3 C ．4D.433解析：选A tan 15°＋tan 105°＝tan (60°－45°)＋tan (45°＋60°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＋tan 45°＋tan 60°1－tan 45°tan 60°＝－23，故选A .3．已知tan (α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.1318 B.1322 C.322D.318解析：选C ∵tan (α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14， ∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322.4．在△ABC 中，若tan A tan B>1，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．不能确定解析：选A 由tan A tan B>1，知tan A>0，tan B>0，从而A ，B 均为锐角．又tan (A ＋B)＝tan A ＋tan B1－tan A tan B<0，即tan C ＝－tan (A ＋B)>0，∴C 为锐角，故△ABC 为锐角三角形．5．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1＋ 2D ．1＋ 3解析：选B ∵tan 45°＝tan (20°＋25°)＝tan 20°＋tan 25°1－tan 20°tan 25°＝1，∴tan 20°＋tan 25°＝1－tan 20°tan 25°，∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°·tan 25°＝1＋1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.6．已知tan α＝－2，tan (α＋β)＝17，则tan β的值为________．解析：将β化为(α＋β)－α，利用两角差的正切公式求解． tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3.答案：37.cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＝________. 解析：原式＝1－tan 15°1＋tan 15°＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝33. 答案：338．若1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0，且α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则α＋β＝________. 解析：因为1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0，所以tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β)，所以tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.又α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以π＜α＋β＜2π，故α＋β＝7π4. 答案：7π49．已知tan (α＋β)＝2，tan (α－β)＝3，求tan (3π＋2α)＋tan (4π＋2β)的值．解：因为tan (α＋β)＝2，tan (α－β)＝3，所以tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝2＋31－2×3＝－1，tan 2β＝tan [(α＋β)－(α－β)] ＝tan (α＋β)－tan (α－β)1＋tan (α＋β)tan (α－β)＝2－31＋2×3＝－17，所以tan (3π＋2α)＋tan (4π＋2β)＝tan 2α＋tan 2β ＝－1－17＝－87.10．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，求角α＋β的大小．解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4，∴tan α，tan β均为负， ∴－π2<α<0，－π2<β<0.∴－π<α＋β<0，又tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.∴α＋β＝－2π3.层级二应试能力达标1．已知tan α＝12，tan (α－β)＝－25，那么tan (β－2α)的值为( )A ．－34B ．－112C ．－98D.98解析：选B tan (β－2α)＝－tan (2α－β) ＝－tan [α＋(α－β)] ＝－tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝－12－251＋12×25＝－112. 2．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 等于( )A.π3B.2π3C.π6D.π4解析：选A 由已知，得tan A ＋tan B ＝3(tan A tan B －1)，即tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，∴tan (A ＋B)＝－3，∴tan C ＝tan [π－(A ＋B)]＝－tan (A ＋B)＝3，∴C ＝π3.3．已知tan α＝12，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值是( )A ．2 B.12C ．－1D ．－3解析：选B 法一：因为tan α＝12，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4·tan α＝1＋tan α1－tan α＝3，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝3－11＋3＝12.故选B .法二：tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－tan π41＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·tan π4＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4＝tan α＝12.故选B .4．(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)·…·(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)的值为() A ．222 B ．223C ．224D ．225解析：选B (1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋tan 44°＋tan 1°＋tan 44°tan 1°，∵tan 45°＝tan (1°＋44°)＝tan 1°＋tan 44°1－tan 1°tan 44°＝1， ∴(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋1－tan 1°tan 44°＋tan 44°tan 1°＝2，同理，得(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝(1＋tan 2°)(1＋tan 43°)＝ (2)∴原式＝222×(1＋tan 45°)＝223.5．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是__________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)解析：由已知得⎩⎨⎧tan A ＋tan B ＝53，tan A·tan B ＝13. ∴tan (A ＋B)＝tan A ＋tan B 1－tan A·tan B ＝531－13＝52，在△ABC 中，tan C ＝tan [π－(A ＋B)]＝－tan (A ＋B)＝－52<0，∴C 是钝角，∴△ABC 是钝角三角形．答案：钝角6．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的最小正值为______________________________．解析：(tan α－1)(tan β－1)＝2⇒tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2⇒tan α＋tan β＝tan αtan β－1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1，即tan (α＋β)＝－1，∴α＋β＝k π－π4，k ∈Z. 当k ＝1，α＋β取得最小正值3π4. 答案：3π4 7．已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解：(1)因为tan(π＋α)＝－13，所以tan α＝－13，因为tan(α＋β)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α，所以tan(α＋β)＝－13＋25＋13＝516.(2)因为tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan(α＋β)－tan α1＋tan(α＋β)tan α，所以tan β＝516＋131－516×13＝3143.8．在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为13，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan(α＋β)－tan α2＋2tan(α＋β)·tan α的值．解：(1)由题意，得cos α＝13，cos β＝255.因为α，β为锐角，所以sin α＝223，sin β＝55，因此tan α＝22，tan β＝12，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝22＋121－22×12＝－9＋522.(2)tan(α＋β)－tan α2＋2tan(α＋β)·tan α＝12×tan(α＋β)－tan α1＋tan(α＋β)·tan α＝12×tan[(α＋β)－α]＝12×tan β＝12×12＝14.。

两角和、差及倍角公式-高考数学复习

β）＝2 2 cos
π
＋
4
sin β，则（
）
A. tan（α－β）＝1
B. tan（α＋β）＝1
C. tan（α－β）＝－1
D. tan（α＋β）＝－1
目录
高中总复习·数学
解析：由题意得 sin α cos β＋ sin β cos α＋ cos α cos β－ sin α sin β
＝2 2 ×
2
（
2
cos α－ sin α）·sin β，整理，得 sin α·cos β－ sin β
cos α＋ cos α·cos β＋ sin α sin β＝0，即 sin （α－β）＋ cos （α－
β）＝0，所以tan（α－β）＝－1，故选C.
目录
高中总复习·数学
2π
（2）（2024·济宁一模）若α＋β＝，则
两角和、差及倍角公式
目录
C O N T E N T S
1
2
考点分类突破
课时跟踪检测
课堂演练
考点分类突破
精选考点典例研析技法重悟通
PART
1
目录
高中总复习·数学
公式的直接应用
【例1】（1）（2021·全国乙卷6题） cos
解析：因为
cos
2 5π ＝
12
5π
cos ＝
12
cos
2 π
【例4】（2024·舟山模拟）若 cos
＝（
解析：
π
4
（θ＋）＝，则
6
5
sin
π
（2θ－）
6
）
法一
π
（2θ＋）＝－
3
sin

高中数学人教版必修四讲义：第三章 3.1 3.1.3 两角和与差的正切 Word版含答案

和角公式3．1.3两角和与差的正切预习课本P140～141，思考并完成以下问题(1)如何利用两角差(和)的正、余弦公式导出两角差(和)的正切公式？(2)公式T()的应用条件是什么？α±β[新知初探]两角和与差的正切公式[点睛] (1)在两角和与差的正切公式中，角α，β，α＋β，α－β均不等于k π＋π2(k ∈Z)，这是由正切函数的定义域决定的．(2)在应用两角和与差的正切公式时，只要tan α，tan β，tan(α＋β)(或tan(α－β))中任一个的值不存在，就不能使用两角和(或差)的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法解题．如化简tan ⎝⎛⎭⎫π2－β，因为tan π2的值不存在，所以不能利用公式T (α－β)进行化简，应改用诱导公式来化简，即tan ⎝⎛⎭⎫π2－β＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－βcos ⎝⎛⎭⎫π2－β＝cos βsin β. [小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( ) (2)对任意α，β∈R ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立．( )答案：(1)√ (2)×2．已知tan α＝－34，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A ．－17 B ．－7 C.17 D ．7答案：D3．若tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝3，则tan α的值为( )A ．－2B ．－12C.12 D ．2答案：B 4.tan 17°＋tan 43°1－tan 17°tan 43°＝________.答案： 3[典例] 求值：(1)tan(－15°)； (2)tan 74°＋tan 76°1－tan 74°tan 76°； (3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°. [解] (1)tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝3－33＋3＝12－636＝2－3，tan(－15°)＝－tan 15°＝3－2.(2)原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－3 3.(3)∵tan 60＝3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23° tan 37°，∴tan 23°＋tan 37°＝3－3tan 23°tan 37°，∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3.利用公式T(α±β)化简求值的两点说明(1)分析式子结构，正确选用公式形式：T()α±β是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“3”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan π4”，“3＝tan π3”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．[活学活用]1.sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°的值为________．解析：原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan (45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3.答案：2－ 3 2.tan 18°＋tan 42°＋tan 120°tan 18°tan 42°tan 60°＝________.解析：观察可知18°＋42°＝60°，可运用两角和的正切公式求值． ∵tan 18°＋tan 42°＋tan 120°＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋tan 120° ＝－tan 60°tan 18°tan 42°， ∴原式＝－1. 答案：－1[典例] 已知cos α＝45，α∈(0，π)，tan (α－β)＝12，求tan β及tan (2α－β)．[解] ∵cos α＝45>0，α∈(0，π)，∴sin α>0. ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，∴tanα＝sinαcosα＝3545＝34.∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tan(α－β)1＋tanα·tan(α－β)＝34－121＋34×12＝211，tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tan(α－β) 1－tanα·tan(α－β)＝34＋121－34×12＝2.给值求值问题的两种变换(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实现求值．(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．[活学活用]1．设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为()A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A ∵tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根， ∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2， ∴tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.2．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan (α－β)＝2，则tan (β－2α)＝________.解析：由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2.因为 tan (α－β)＝2，所以 tan (β－α)＝－2，故 tan (β－2α)＝tan [(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43.答案：43[典例] 已知tan α＝2，tan β＝－13，其中0<α<π2，π2<β<π.(1)求tan (α－β)； (2)求α＋β的值．[解] (1)因为tan α＝2，tan β＝－13，所以tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2＋131－23＝7.(2)因为tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1，又因为0<α<π2，π2<β<π，所以π2<α＋β<3π2，所以α＋β＝5π4.[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求tan (2α－β)的值．解：因为tan (α－β)＝7，tan α＝2，所以tan (2α－β)＝tan (α－β)＋tan α1－tan (α－β)tan α＝7＋21－7×2＝－913.2．[变条件，变设问]若本例条件变为：tan α＝13，tan β＝17且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求2α＋β的值．解：因为tan α＝13，tan β＝17且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋171－13×17＝12>0，∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2α＋β∈(0，π)， ∴tan (2α＋β)＝tan (α＋β)＋tan α1－tan (α＋β)tan α＝12＋131－12×13＝1，∴2α＋β＝π4.给值求角问题的解题策略(1)根据题设条件求角的某一三角函数值；(2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．层级一学业水平达标1．1－tan 27°tan 33°tan 27°＋tan 33°的值为( )A.33B. 3 C ．tan 6°D.1tan 6°解析：选A ∵tan 27°＋tan 33°1－tan 27°tan 33°＝tan (27°＋33°)＝tan 60°，∴原式＝1tan 60°＝33.2．tan 15°＋tan 105°等于( )A ．－2 3B ．2＋ 3C ．4 D.433解析：选A tan 15°＋tan 105°＝tan (60°－45°)＋tan (45°＋60°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＋tan 45°＋tan 60°1－tan 45°tan 60°＝－23，故选A . 3．已知tan (α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.1318 B.1322 C.322 D.318解析：选C ∵tan (α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14， ∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322. 4．在△ABC 中，若tan A tan B>1，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不能确定解析：选A 由tan A tan B>1，知tan A>0，tan B>0，从而A ，B 均为锐角．又tan (A ＋B)＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B<0，即tan C ＝－tan (A ＋B)>0，∴C 为锐角，故△ABC 为锐角三角形．5．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为( )A ．1B ．2C ．1＋ 2D ．1＋ 3 解析：选B ∵tan 45°＝tan (20°＋25°)＝tan 20°＋tan 25°1－tan 20°tan 25°＝1， ∴tan 20°＋tan 25°＝1－tan 20°tan 25°，∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°·tan 25°＝1＋1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.6．已知tan α＝－2，tan (α＋β)＝17，则tan β的值为________．解析：将β化为(α＋β)－α，利用两角差的正切公式求解．tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3. 答案：37.cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＝________. 解析：原式＝1－tan 15°1＋tan 15°＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝33. 答案：33 8．若1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0，且α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则α＋β＝________.解析：因为1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0，所以tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β)，所以tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1. 又α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以π＜α＋β＜2π，故α＋β＝7π4. 答案：7π4 9．已知tan (α＋β)＝2，tan (α－β)＝3，求tan (3π＋2α)＋tan (4π＋2β)的值．解：因为tan (α＋β)＝2，tan (α－β)＝3，所以tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝2＋31－2×3＝－1， tan 2β＝tan [(α＋β)－(α－β)]＝tan (α＋β)－tan (α－β)1＋tan (α＋β)tan (α－β)＝2－31＋2×3＝－17，所以tan (3π＋2α)＋tan (4π＋2β)＝tan 2α＋tan 2β＝－1－17＝－87. 10．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，求角α＋β的大小．解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4，∴tan α，tan β均为负，∴－π2<α<0，－π2<β<0.∴－π<α＋β<0，又tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.∴α＋β＝－2π3.层级二应试能力达标 1．已知tan α＝12，tan (α－β)＝－25，那么tan (β－2α)的值为( )A ．－34B ．－112C ．－98 D.98解析：选B tan (β－2α)＝－tan (2α－β)＝－tan [α＋(α－β)]＝－tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝－12－251＋12×25＝－112.2．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 等于() A.π3 B.2π3C.π6D.π4解析：选A 由已知，得tan A ＋tan B ＝3(tan A tan B －1)，即tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，∴tan (A ＋B)＝－3， ∴tan C ＝tan [π－(A ＋B)]＝－tan (A ＋B)＝3，∴C ＝π3. 3．已知tan α＝12，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值是( ) A ．2B.12 C ．－1 D ．－3解析：选B 法一：因为tan α＝12，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝tan π4＋tan α1－tan π4·tan α＝1＋tan α1－tan α＝3，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝3－11＋3＝12.故选B . 法二：tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－tan π41＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·tan π4 ＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4＝tan α＝12.故选B . 4．(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)·…·(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)的值为( )A ．222B ．223C ．224D ．225解析：选B (1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋tan 44°＋tan 1°＋tan 44°tan 1°，∵tan 45°＝tan (1°＋44°)＝tan 1°＋tan 44°1－tan 1°tan 44°＝1， ∴(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋1－tan 1°tan 44°＋tan 44°tan 1°＝2，同理，得(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝(1＋tan 2°)(1＋tan 43°)＝ (2)∴原式＝222×(1＋tan 45°)＝223.5．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是__________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)解析：由已知得⎩⎨⎧ tan A ＋tan B ＝53，tan A·tan B ＝13. ∴tan (A ＋B)＝tan A ＋tan B 1－tan A·tan B ＝531－13＝52，在△ABC 中，tan C ＝tan [π－(A ＋B)]＝－tan (A ＋B)＝－52<0，∴C 是钝角，∴△ABC 是钝角三角形．答案：钝角6．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的最小正值为______________________________．解析：(tan α－1)(tan β－1)＝2⇒tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2⇒tan α＋tan β＝tan αtan β－1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1，即tan (α＋β)＝－1，∴α＋β＝k π－π4，k ∈Z. 当k ＝1，α＋β取得最小正值3π4. 答案：3π4 7．已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解：(1)因为tan(π＋α)＝－13，所以tan α＝－13，因为tan(α＋β)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α，所以tan(α＋β)＝－13＋25＋13＝516.(2)因为tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α，所以tan β＝516＋131－516×13＝3143.8．在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知点A ，B 的横坐标分别为13，255. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan (α＋β)－tan α2＋2tan (α＋β)·tan α的值．解：(1)由题意，得cos α＝13，cos β＝255. 因为α，β为锐角，所以sin α＝223，sin β＝55，因此tan α＝22，tan β＝12，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝22＋121－22×12＝－9＋522. (2)tan (α＋β)－tan α2＋2tan (α＋β)·tan α＝12×tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝12×tan[(α＋β)－α]＝12×tan β1 2＝1 4.＝1 2×。

数学人教A版必修4教材习题点拨31两角和与差的正弦余弦和正切公式Word版含解析

教材习题点拨练习1．证明：(1)cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos π2cos α＋sin π2sin α＝0×cos α＋1×sin α＝sin α. (2)cos(2π－α)＝cos 2πcos α＋sin 2πsin α＝1×cos α＋0×sin α＝cos α.2．解：∵cos α＝－35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin α＝1－cos 2α＝45. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－35＋22×45＝210. 3．解：∵sin θ＝1517，θ是第二象限角， ∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－817. ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3 ＝cos θcos π3＋sin θsin π3＝⎝⎛⎭⎫－817×12＋1517×32＝153－834. 4．解：∵sin α＝－23，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， ∴cos α＝1－sin 2α ＝－1－⎝⎛⎭⎫－232＝－53. 又∵cos β＝34，β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴sin β＝－1－cos 2β ＝－1－⎝⎛⎭⎫342＝－74. ∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝34×⎝⎛⎭⎫－53＋⎝⎛⎭⎫－74×⎝⎛⎭⎫－23＝27－3512. 练习1．解：(1)sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝6－24； (2)cos 75°＝cos (45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝6－24； (3)sin 75°＝sin (45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24； (4)tan 15°＝tan (45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝2－ 3. 2．解：∵cos θ＝－35，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin θ＝1－cos 2θ ＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45；所以sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3 ＝sin θcos π3＋cos θsin π3＝45×12＋⎝⎛⎭⎫－35×32＝4－3310. 3．解：因为sin θ＝－1213，θ是第三象限角，所以cos θ＝－1－sin 2θ ＝－1－⎝⎛⎭⎫－12132＝－513，所以cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ ＝cos π6cos θ－sin π6sin θ＝32×⎝⎛⎭⎫－513－12×⎝⎛⎭⎫－1213 ＝12－5326. 4．解：tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4 ＝3＋11－3＝－2. 5．解：(1)原式＝sin (72°＋18°)＝sin 90°＝1；(2)原式＝cos (72°－12°)＝cos 60°＝12； (3)原式＝tan (12°＋33°)＝tan 45°＝1；(4)原式＝sin (14°－74°)＝sin (－60°)＝－sin 60°＝－32； (5)原式＝－(cos 34°cos 26°－sin 34°sin 26°)＝－cos (34°＋26°)＝－cos 60°＝－12； (6)原式＝－sin 20°cos 70°－cos 20°sin 70°＝－(sin 20°cos 70°＋cos 20°sin 70°)＝－sin (20°＋70°)＝－sin 90°＝－1. 6．解：(1)原式＝cos π3cos x －sin π3sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x ； (2)原式＝2⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝2⎝⎛⎭⎫sin x cos π6＋cos x sin π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6； (3)原式＝2⎝⎛⎭⎫22sin x －22cos x ＝2⎝⎛⎭⎫sin x cos π4－cos x sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4； (4)原式＝22⎝⎛⎭⎫12cos x －32sin x＝22⎝⎛⎭⎫cos π3cos x －sin π3sin x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x .7．解：由已知，得sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝35. 所以sin(α－β－α)＝35. 所以sin(－β)＝35. 所以sin β＝－35. 又因为β是第三象限角，所以cos β＝－1－sin 2β ＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45. 所以sin ⎝⎛⎭⎫β＋5π4 ＝sin βcos 5π4＋cos βsin 5π4＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－22＋⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫－22＝7210. 练习1．解：∵cos α8＝－45，8π<α<12π， ∴π<α8<32π ∴sin α8＝－1－cos 2α8 ＝－1－⎝⎛⎭⎫－452＝－35. ∴sin α4＝2sin α8cos α8＝2425， cos α4＝2cos 2α8－1＝725， tan α4＝sinα4cos α4＝247. 2．解：由sin(α－π)＝35，得sin α＝－35，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝725.3．解：由sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α≠0，从而有cos α＝－12.∴sin α＝32，tan α＝－ 3.4．解：由tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝13，∴tan 2α＋6tan α－1＝0.∴tan α＝－3±10.5．解：(1)原式＝12×2sin 15°cos 15° ＝12sin 30°＝14；(2)原式＝cos π4＝22；(3)原式＝12×2tan 22.5°1－tan 222.5° ＝12tan 45°＝12；(4)原式＝cos 45°＝22.习题3.1A 组1．解：(1)∵cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝cos 3π2cos α＋sin 3π2sin α＝－sin α，∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α.(2)∵sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝sin 3π2cos α－cos 3π2sin α＝－cos α，∴sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos α.(3)∵cos(π－α)＝cos πcos α＋sin πsin α＝－cos α，∴cos(π－α)＝－cos α.(4)∵sin(π－α)＝sin πcos α－cos πsin α＝sin α，∴sin(π－α)＝sin α.2．解：∵cos α＝35，且0<α<π， ∴sin α＝1－cos 2α＝45. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝cos αcos π6＋sin αsin π6＝4＋3310. 3．解：∵sin α＝23， cos β＝－34，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， ∴cos α＝－53，sin β＝－74. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－53×⎝⎛⎭⎫－34＋23×⎝⎛⎭⎫－74 ＝35－2712. 4．解：∵α，β都是锐角，∴0<α＋β<π.又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin α＝437，sin(α＋β)＝5314. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1114×17＋437×5314＝12. 5．解：∵60°<α<150°，∴90°<α＋30°<180°.又∵sin(α＋30°)＝35，∴cos(α＋30°)＝－45. 于是cos α＝cos[(30°＋α)－30°]＝cos(α＋30°)cos 30°＋sin(α＋30°)sin 30° ＝3－4310. 6．解：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－7π12＝－sin 712π ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π3 ＝－sin π4cos π3－cos π4sin π3＝－22×12－22×32＝－6＋24； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－61π12＝cos 61π12＝cos ⎝⎛⎭⎫5π＋π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π12 ＝－cos π12＝－cos ⎝⎛⎭⎫π4－π6 ＝－cos π4cos π6－sin π4sin π6＝－22×32－22×12＝－6＋24； (3)tan 35π12＝tan ⎝⎛⎭⎫3π－π12 ＝tan ⎝⎛⎭⎫－π12＝－tan π12＝－tan ⎝⎛⎭⎫π4－π6＝tan π6－tan π41＋tan π6tan π4＝33－11＋33＝3－2.7．解：∵sin α＝23且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫232＝－53. 又∵cos β＝－34，β是第三象限角，∴sin β＝－1－cos 2β ＝－1－⎝⎛⎭⎫－342＝－74. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－53×⎝⎛⎭⎫－34－23×⎝⎛⎭⎫－74 ＝35＋2712， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝23×⎝⎛⎭⎫－34－⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－74 ＝－6＋3512. 8．解：因为cos B ＝35，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45且B 为锐角，B ∈(45°，90°)．∵sin A ＝513<12， ∴0<A <30°或150°<A <180°(不可能) ∴0<A <30°，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1213. ∵A ＋B ＋C ＝180°，∴C ＝180°－(A ＋B )∴cos C ＝cos[180°－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－1665. 9．解：∵θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π且sin θ＝35， ∴cos θ＝－45，tan θ＝－34. 又∵tan φ＝12， ∴tan(θ＋φ)＝tan θ＋tan φ1－tan θtan φ＝－211， tan(θ－φ)＝tan θ－tan φ1＋tan θtan φ＝－2.10．解：由已知，得tan α＋tan β＝－32， tan α＋tan β＝－72. 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β ＝－321－⎝⎛⎭⎫－72＝－13. 11．解：tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan （α＋β）＋tan （α－β）1－tan （α＋β）tan （α－β）＝3＋51－3×5＝－47； tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]＝tan （α＋β）－tan （α－β）1－tan （α＋β）tan （α－β）＝3－51＋3×5＝－18. 12．解：由题设有BD ∶AD ＝13， DC ∶AD ＝12. 设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β，则tan α＝BD AD ＝13，tan β＝DC AD ＝12. 所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝1.又0°<∠BAC <180°，因此∠BAC ＝45°.13．解：(1)原式＝65⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝65⎝⎛⎭⎫sin x cos π6＋cos x sin π6 ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6； (2)原式＝3⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x ＝3⎝⎛⎭⎫sin π3cos x －cos π3sin x＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ；(3)原式＝2⎝⎛⎭⎫32sin x 2＋12cos x 2 ＝2⎝⎛⎭⎫sin x 2cos π6＋cos x 2sin π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6； (4)原式＝22⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋32cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22⎣⎡⎦⎤cos π3sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋sin π3cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋π3 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫7π12－x ； (5)原式＝sin (360°－13°)cos (180°－32°)＋sin (90°－13°)cos (90°－32°)＝－sin 13°(－cos 32°)＋cos 13°sin 32°＝sin 13°cos 32°＋cos 13°sin 32°＝sin (13°＋32°)＝sin 45°＝22； (6)原式＝sin (180°－16°)sin (180°＋44°)＋sin (180°＋74°)sin (360°－46°)＝sin 16°(－sin 44°)＋(－sin 74°)(－sin 46°)＝－sin 16°sin 44°＋sin (90°－16°)sin (90°－44°)＝－sin 16°sin44°＋cos 16°cos 44°＝cos (44°＋16°)＝cos 60°＝12； (7)原式＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin(α＋β－β＋γ)＝sin(α＋γ)；(8)原式＝sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(β－γ)＝－cos(α－β＋β－γ)＝－cos(α－γ)；(9)原式＝tan ⎝⎛⎭⎫π＋π4＋tan 5π121－tan π4tan 5π12＝tan π4＋tan 5π121－tan π4tan 5π12＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋5π12＝tan 23π＝－3； (10)原式＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝cos αsin β－sin αcos βsin αsin β＋cos αcos β ＝sin （β－α）cos （β－α）＝tan(β－α)． 14．解：因为sin α＝0.80，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝1－0.802＝0.60.所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×0.80×0.60＝0.96，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×0.802＝－0.28.15．解：因为cos φ＝－33，180°<φ<270°，所以sin φ＝－1－cos 2φ ＝－1－⎝⎛⎭⎫－332＝－63. 所以sin 2φ＝2sin φcos φ ＝2×⎝⎛⎭⎫－63×⎝⎛⎭⎫－33＝223， cos 2φ＝2cos 2φ－1＝2×⎝⎛⎭⎫－332－1 ＝－13， tan 2φ＝sin 2φcos 2φ＝－2 2. 16．解：设底角为α，顶角为β，则2α＋β＝π，且sin α＝513. ∵α为等腰三角形的底角，∴0<α<π2. ∴cos α＝1213. ∴sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝120169. cos β＝cos(π－2α)＝－cos 2α＝－1＋2sin 2α＝－119169. tan β＝sin βcos β＝－120119. 17．解：∵tan α＝17，tan β＝13， ∴tan 2β＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34. ∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝17＋341－17×34＝1. 18．解：∵cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α＝13，又∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴sin α＝－223. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－429， cos 2α＝－79. ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4 ＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4 ＝22⎝⎛⎭⎫－79＋429＝8－7218. 19．解：(1)原式＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α；(2)原式＝(cos 2θ＋sin 2θ)(cos 2θ－sin 2θ)＝cos 2θ； (3)原式＝12sin 2x cos 2x ＝14sin 4x ； (4)原式＝1＋tan θ－1＋tan θ（1－tan θ）（1＋tan θ）＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ. B 组1．证明：(1)左边＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α＝2sin αcos 2α＋(1－2sin 2α)sin α＝2sin α(1－sin 2α)＋sin α－2sin 3α＝2sin α－2sin 3α＋sin α－2sin 3α＝3sin α－4sin 3α＝右边，所以sin 3α＝3sin α－4sin 3α.(2)左边＝cos(2α＋α)＝cos 2αcos α－sin 2αsin α＝(2cos 2α－1)cos α－2sin 2αcos α＝2cos 3α－cos α－2(1－cos 2α)cos α＝4cos 3α－3cos α＝右边，所以cos 3α＝4cos 3α－3cos α.2．解：由已知tan A ＋tan B ＝－p ，tan A tan B ＝p ＋1，又∵C ＝180°－(A ＋B )，∴tan C ＝tan[180°－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－－p 1－（p ＋1）＝－1. 又∵∠C 为三角形内角，∴∠C ＝34π. 3．解：反映一般规律的等式：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34. 证明如下：左边＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝sin 2α＋cos(30°＋α)[cos(30°＋α)＋sin α]＝sin 2α＋⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α· ⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α＋sin α＝sin 2α＋⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α· ⎝⎛⎭⎫32cos α＋12sin α ＝sin 2α＋34cos 2α－14sin 2α ＝34(sin 2α＋cos 2α) ＝34＝右边，故sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34. 4．解：由题图知，∠P 1OP 2＝α＋β， OP 1→·OP 2→＝1×1×cos ∠P 1OP 2＝cos(α＋β)．又因为OP 1→·OP 2→＝(cos α，sin α)·(cos β，－sin β)＝cos αcos β－sin αsin β，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.。

高中数学人教A版必修四课时训练：3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 Word版含答案.docx

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)课时目标 1.能利用两角和与差的正、余弦公式导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和与差的正切公式及变形运用．1．两角和与差的正切公式(1)T (α＋β)：tan(α＋β)＝_____________________________________________________. (2)T (α－β)：tan(α－β)＝______________________________________________________. 2．两角和与差的正切公式的变形 (1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝____________________________________________________________. tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝____________. tan α·tan β＝______________________________________________________________. (2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝______________________________. tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝____________.tan αtan β＝______________________________________________________________.一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( )A.43B ．－43C ．－7D ．－173．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π44．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定 5．化简tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于( ) A ．1B ．2C ．tan10°D.3tan20°6．在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )A.14B.13C.12D.537.1＋tan75°1－tan75°＝________.8．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为________．9．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝________.10．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.三、解答题11．在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，试判断△ABC 的形状．12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.求tan(α＋β)的值．能力提升13．已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．14．已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15.(1)求证：tan A ＝2tan B ；(2)设AB ＝3，求AB 边上的高．3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)答案知识梳理1．(1)tan α＋tan β1－tan αtan β (2)tan α－tan β1＋tan αtan β2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－tan α＋tan βtan (α＋β)(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) tan α－tan βtan (α－β)－1作业设计1．A 2.C 3.C4．A [tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝13，∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52，∴C 为钝角．]5．A [原式＝tan10°tan20°＋3tan20°＋3tan10°＝3(tan10°＋tan20°＋33tan10°tan20°)＝3tan30°＝1.]6．B [tan(A ＋B )＝－tan C ＝－tan120°＝3，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝3，即2331－tan A tan B＝3，解得tan A ·tan B ＝13.]7．－ 3 8.23解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13.∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23. 9．－32解析 sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋(－3)＝－32.10．1解析 tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α.∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α. ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β. ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1. 11．解由tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，得tan B ＋tan C ＝3(1－tan B tan C )．∴tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C1－tan B tan C＝3，又∵B ＋C ∈(0，π)，∴B ＋C ＝π3.又3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，∴tan A ＋tan B ＝－33(1－tan A tan B )，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－33，而A ＋B ∈(0，π)，∴A ＋B ＝5π6，又∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝2π3，B ＝C ＝π6.∴△ABC 为等腰三角形．12．解由条件得cos α＝210，cos β＝255.∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55.因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12.tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.13．解 tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝13>0.而α∈(0，π)，故α∈(0，π2)．∵tan β＝－17，0<β<π，∴π2<β<π.∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝12>0，∴－π<α－β<－π2.∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．∵tan(2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝1，∴2α－β＝－3π4.14．(1)证明 ∵sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15，∴⎩⎨⎧sin A cos B ＋cos A sin B ＝35sin A cos B －cos A sin B ＝15⇒⎩⎨⎧sin A cos B ＝25cos A sin B ＝15⇒tan Atan B ＝2，所以tan A ＝2tan B .(2)解 ∵π2<A ＋B <π，sin(A ＋B )＝35，∴tan(A ＋B )＝－34，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－34.将tan A ＝2tan B 代入上式并整理得，2tan 2B －4tan B －1＝0.解得tan B ＝2±62，舍去负值，得tan B ＝2＋62.∴tan A ＝2tan B ＝2＋ 6.设AB 边上的高为CD .则AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CD tan B ＝3CD2＋6.由AB ＝3，得CD ＝2＋ 6.∴AB 边上的高等于2＋ 6.。

高三数学两角和与差二倍角公式1

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(二) 公式逆用例1.P(53) ( 双基题1)
例2、已知
tan tan tan tan tan
3, 4
cos 0, 求 sin 3
(三).用边角关系的公式解三角形
例4、(P53例2)在三角形ABC中,角A..B.C对边a,b,c
tan
2
2 tan 1 tan 2
（1）两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型：
求值题，化简题，证明题。
（2）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使用”。
（3）掌握“角的演变”规律，如
2 ,
(一)公式正用
例1、求值: 1sin 555 2cot 5 12
例2 P(53 例1)
设 .cos 1 ,sin 2 ,
2 9 2 3
2
,0
2
,
求 cos
.
怪芽疯速膨胀起来……一簇簇亮橙色糖块模样的腐烂巨大枝叶疯速向外扩张……突然！一朵火橙色猩猩模样的受伤巨蕾恐怖地钻了出来……随着金红色鲇鱼模样的腐臭巨花狂速盛开，无数粉红色闪电模样的阴森花瓣和暗橙色花蕊飞一样伸向远方……突然，无数绿宝石色恐龙模样的阴暗果实从巨花中窜出，接着飞一样射向魔墙！只见每个巨大果实上都骑着一个奖章铜翅仙的小替身，而那伙校精的真身也混在其中……“哇！真有小康性！”壮扭公主道。“还多少带点贿赂性！咱们让他们看看什么高层次！嘻嘻！”月光妹妹和壮扭公主一边说着一边念动咒语……只见巨大奖章铜翅仙猛然间长啸一声！巨大果实的飞速顿时变得慢如蜗牛，只见镊子驴脚鬼抖动活像香肠似的铃铛，整个身体快速变成一枚巨大的缤纷奇蛋，这枚奇蛋一边旋转一边射出万道奇光……突然，整个奇蛋像巨大的金红色花蕾一样绽开……七条淡橙色瓜子模样的奇妙尾巴急速从里面伸出……接着，一颗鲜红色琵琶模样的恐怖巨大鹰头快速探了出来……一簇簇紫红色糖块模样的奇妙巨大翅膀飘然向外伸展……突然！两只浅黑色瓜子模样的受伤巨爪威武地伸了出来……随着金红色鲇鱼模样的奇特亮光的狂速飞舞，无数暗青色闪电模样的飘然羽毛和粉红色鳞甲飞一样射出…… 突然，无数亮橙色铁锅模样的明丽鳞片从奇蛋中窜出，飞一样射向个个巨果！只见每只巨大鳞片上都站着一个奖章铜翅仙模样的武士……与此同时壮扭公主朝奖章铜翅仙变成的巨大植物根基飞去，而月光妹妹则朝那伙校精的真身冲飞去……奖章铜翅仙的所有果实和替身都被撞得粉碎！而巨大的植物已经被壮妞公主一顿肥拳猛腿弄得稀烂，再看奖章铜翅仙的真身也被月光妹妹一顿飞拳云腿，直玩得满脸桃花开，浑身别样肿……“算你们狠，俺们还是走吧！”女樵夫Ｍ．翁贝叶娆仙女见无法取胜，急忙变成长着离奇大腿的亮白色古怪锁孔朝西南方向飞去……月光妹妹笑道：“嘻嘻！除非你们往回走！想过去是不可以的！”月光妹妹一边说着一边变成长着怪异下巴的水红色超级小号追了上去……女樵夫Ｍ．翁贝叶娆仙女“见月光妹妹快要追上，又急忙变成长着离奇犄角的纯红色古怪小旗朝正南方向飞去……月光妹妹笑道：“嘻嘻！又换一套马甲，我的存货能让你们欣赏到万年以后……”月光妹妹一边说着一边变成长着怪异舌头的暗青色超级药片追了上去……只见Ｘ．妮什科招待和另外四个校精怪突然齐声怪叫着组成了一个巨大的梨妖凤趾仙！这个巨大的梨妖凤趾仙，身长四百多米，体重二百多万吨。最奇的是这个怪物长着十分温柔的凤趾！这巨仙有着亮红色怪藤一般的身躯和淡橙色细

高中数学人教A版必修四课时训练：3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 Word版含答案

第三章三角恒等变换§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.1 两角差的余弦公式课时目标 1.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式.2.掌握两角差的余弦公式．两角差的余弦公式C (α－β)：cos(α－β)＝____________________________，其中α、β为任意角．一、选择题1．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝( )A ．－12 B.12C ．0D ．1 2．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α得( )A ．cos αB ．cos βC ．cos(2α＋β)D ．sin(2α＋β)3．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)得( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－324．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( ) A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π65．若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( )A ．－55 B.55 C.11525D. 5 6．若sin α＋sin β＝1－32，cos α＋cos β＝12，则cos(α－β)的值为( ) A.12 B ．－3 C.3 D ．1二、填空题7．cos 15°的值是________．8．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________. 9．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．10．已知α、β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，则α－β的值为________．三、解答题11．已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114，α、β均为锐角，求cos β的值．12．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求β的值．能力提升13．已知cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求cos α＋β2的值．14．已知α、β、γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，求β－α的值．1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.1 两角差的余弦公式答案知识梳理cos αcos β＋sin αsin β作业设计1．C 2.B3．A [原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝12.] 4．C [sin(α－β)＝－255(－π2<α－β<0)．sin 2α＝31010， ∴cos(α＋β)＝cos [2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝1010·55＋⎝⎛⎭⎫31010·⎝⎛⎭⎫－255＝－22， ∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4.] 5．B [∵sin(π＋θ)＝－35， ∴sin θ＝35，θ是第二象限角， ∴cos θ＝－45. ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，∴cos φ＝－255， φ是第三象限角，∴sin φ＝－55. ∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫－255＋35×⎝⎛⎭⎫－55＝55.]6．B [由题意知⎩⎨⎧ sin α＋sin β＝1－32 ①cos α＋cos β＝12②①2＋②2⇒cos(α－β)＝－32.] 7.2＋64 8.83解析原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos(α－β)＝83. 9．－12解析由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γ ①cos α＋cos β＝－cos γ ②①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1⇒cos(α－β)＝－12. 10．－π4解析 ∵α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝255，sin β＝31010， ∵sin α<sin β，∴α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255·1010＋55·31010＝22， ∴α－β＝－π4. 11．解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝43， ∴sin α＝437，cos α＝17. ∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin(α＋β)＝5314. ∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12.12．解 ∵π2<α－β<π，cos(α－β)＝－45， ∴sin(α－β)＝35. ∵32π<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－35， ∴cos(α＋β)＝45. ∴cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝45×⎝⎛⎭⎫－45＋⎝⎛⎭⎫－35×35＝－1.∵π2<α－β<π，32π<α＋β<2π，∴π2<2β<3π2，∴2β＝π，∴β＝π2. 13．解 ∵π2<α<π，∴π4<α2<π2. ∵0<β<π2，∴－π2<－β<0，－π4<－β2<0. ∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2. 又cos(α－β2)＝－19<0， sin(α2－β)＝23>0， ∴π2<α－β2<π，0<α2－β<π2. ∴sin(α－β2)＝1－cos 2(α－β2)＝459. cos(α2－β)＝1－sin 2(α2－β)＝53. ∴cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)]＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β)＝(－19)×53＋459×23＝7527. 14．解由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.平方相加得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1.∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝12， ∴β－α＝±π3. ∵sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，∴β－α＝π3.。

高中数学人教版必修四课后练习(含解析)：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课后练习 · 练习案♒♒♒♒♒♒♒基础过关1．已知tanα、tanβ是方程x 2+3√3x +4=0的两个根，且−π2<α<π2，−π2<β<π2，则角α+β的大小为．A.π6B.−2π3C.π6或−5π6D.−π3或2π32．已知sin2α=35(π2<2α<π)，tan(α−β)=12，则tan(α+β)等于 A.−2B.−1C. −211D. 2113．若tan α=3，tanβ=43，则tan(α−β)等于 A.−3B. −13C.3D. 134．tan20º+tan40º+√3tan20ºtan40º的值是____________．5．在△ABC 中，若tanA: tanB: tanC=1:2:3，则A=_______________.6．已知tan(α−β)=12，tanβ=−17，且α，β∈(0，π)，求2α−β的值．7．(2013·广东培正中学检测)已知sin(α+β)=23,sin(α-β)=15,求tanαtanβ的值.8．已知α,β均为锐角，且tanβ=cosα−sinαcosα+sinα，求tan(α+β)的值. 能力提升1．已知sin(α+β)=23,sin(α−β)=34，则tanαtanβ= .2．已知tanα，tanβ是方程6x2−5x+1=0的两根，且0<α<π2，π<β<3π2．求：tan(α+β)及α+β的值．3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)【基础过关】 1．B【解析】本题主要考查了两角和与差的正切函数的化简求值．考查了基础知识的运用. 由题意，知tanα+tanβ=−3√3，tanα⋅tanβ=4>0，∴tanα<0，tanβ<0．又∵−π2<α<π2，−π2<β<π2，∴−π2<α<0，−π2<β<0，−π<α+β<0．又∵tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=√3，∴α+β=−2π3．选B. 2．A 【解析】33sin 22,tan 2,524πααπα⎛⎫=<<∴=- ⎪⎝⎭()tan 2tan ()ααβαβ=++-⎡⎤⎣⎦()()tan()tan 3,1tan()tan 4αβαβαβαβ++-==--+-又()1tan ,tan() 2.2αβαβ-=∴+=-故选A. 3．D 4．√3【解析】tan60º=(tan20º+tan40º)/(1-tan20ºtan40º)= √3,则tan20º+tan40º=√3−√3tan20ºtan40º，所以tan20º+tan40º+√3tan20ºtan40º=√3 5．π4【解析】本题考查和角公式，诱导公式.令tanA=x (x ≠0),可得tanB=2x ，tanC=3x ；所以−tanA =tan (B +C )=tanB+tanC 1−tanBtanC ，带入可得−x =2x+3x 1−2x×3x ，解得x =1；所以tanA =1，即A =π4.6．解：∵tan(α−β)=12，∴tan2(α−β)=2tan(α−β)1−tan 2(α−β)=43．又∵2α−β=2(α−β)+β，且tanβ=−17， ∴tan(2α−β)=tan2(α−β)+tanβ1−tan2(α−β)tanβ=1，∵α，β∈(0，π)且tanβ=−17<0，tanα=tan(α−β)+tanβ1−tan(α−β)tanβ=13∈(0，1)，∴0<α<π4，π2<β<π，∴0<2α<π2，−π<−β<−π2，∴−π<2α−β<0．而在(−π，0)内使正切值为1的角只有一个，即−3π4，∴2α−β=−3π4．【解析】本题主要考查了两角和公式的正切函数．解题的关键是通过α和β的范围确定2α−β的值。

高中数学人教版必修四讲义：第三章 3.1 3.1.1 两角和与差的余弦 Word版含答案

和角公式3．1.1两角和与差的余弦预习课本P133～134，思考并完成以下问题(1)如何用α的三角函数与β的三角函数表示cos(α－β)，cos(α＋β)?(2)两角和与差的余弦公式是如何推导的？[新知初探]两角和与差的余弦公式[点睛] 公式的左边是和(差)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的差(和)式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.( )(2)对于任意实数α，β，cos(α＋β)＝cos α＋cos β都不成立．( ) (3)对任意α，β∈R ，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√2．cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( ) A.12 B.13C.32D.33 答案：A3．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.75 B.15 C ．－75D ．－15答案：B4．化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π4sin α＋cos α＝________.答案：22[典例] 求下列各式的值． (1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°； (2)sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°； (3)12cos 15°＋32sin 15°. [解] (1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195° ＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°) ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.(2)原式＝sin(180°－17°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋73°)·sin(360°－47°)＝－sin 17°sin 43°＋sin 73°sin 47°＝－sin 17°sin 43°＋cos 17°cos 43°＝cos 60°＝12.(3)∵12＝cos 60°，32＝sin 60°，∴12cos 15°＋32sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15° ＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22.利用公式C (α＋β)，C (α－β)求值的方法技巧在利用两角和与差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差)，正用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值．[活学活用]计算下列各式的值：(1)cos 55°cos 20°－sin 55°sin 20°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos θ＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θsin θ. 解：(1)cos 55°cos 20°－sin 55°sin 20°＝cos 75° ＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° ＝22×32－22×12＝6－24. (2)cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos θ＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θsin θ ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋θ－θ＝cos π4＝22.[典例] (1)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β是第三象限角，sin α＝45，cos β＝－513.求cos(α＋β)的值． (2)已知cos α＝45，cos(α＋β)＝35，且α，β均为锐角，求cos β的值．[解] (1)∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝45， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－ ⎝⎛⎭⎫452＝－35. ∵β是第三象限角，cos β＝－513， ∴sin β＝－1－cos 2β＝－1－⎝⎛⎭⎫－5132＝－1213， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－513－45×⎝⎛⎭⎫－1213＝6365. (2)∵α，β均为锐角， ∴0<α＋β<π，∴sin(α＋β)>0. 由cos α＝45，cos(α＋β)＝35，得sin α＝35，sin(α＋β)＝45.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝35×45＋45×35＝2425.给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β； ②α＝α＋β2＋α－β2；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)． [活学活用] 1．已知cos θ＝－1213，θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ的值为________．解析：∵cos θ＝－1213，θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， ∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－⎝⎛⎭⎫－12132 ＝－513，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝cos π4cos θ－sin π4sin θ＝22×⎝⎛⎭⎫－1213－22×⎝⎛⎭⎫－513＝－7226.答案：－72262．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－45，且5π4<α<7π4，求cos α的值．解：∵5π4<α<7π4，∴3π2<α＋π4<2π，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ 1－1625＝35， ∴cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin π4＝35×22－45×22＝－210.[典例(2)已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则β＝________. [解析] (1)∵α，β均为锐角， ∴cos α＝55，cos β＝31010. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝55×31010＋255×1010＝22. 又∵sin α>sin β，∴0<β<α<π2，∴0<α－β<π2.故α－β＝π4.(2)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)． ∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝437，sin(α＋β)＝5314，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝12.∵0<β<π2，∴β＝π3.[答案] (1)π4 (2)π3[一题多变]1．[变条件]若本例中(1)中“sin α”变为“cos α”，“sin β ”变为“cos β ”，则α－β＝________.解析：∵α，β均为锐角，∴sin α＝55，sin β＝31010，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255×1010＋55×31010＝22.又∵sin α<sin β，∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0，故α－β＝－π4.答案：－π42．[变条件]若本例(2)变为：已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值．解：由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437.由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又因为cos(α－β)＝1314，所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12，所以β＝π3.已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角．层级一学业水平达标1．cos5π24cos π24＋sin 5π24sin π24的值为( ) A.12 B ．22C.32D ．1解析：选C 原式＝cos ⎝⎛⎭⎫5π24－π24＝cos π6＝32.故选C.2.12sin 15°－32cos 15°的值是( ) A.22 B ．－22 C.62D ．－62解析：选B 原式＝sin 30°sin 15°－cos 30°cos 15° ＝－(cos 30°cos 15°－sin 30°sin 15°) ＝－cos(30°＋15°)＝－cos 45°＝－22. 3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)的值为( )A ．－6365B ．－3365C.6365D.3365解析：选A ∵α为锐角，且cos α＝1213，∴sin α＝1－cos 2α＝513.∵β为第三象限角，且sin β＝－35，∴cos β＝－1－sin 2β＝－45，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1213×⎝⎛⎭⎫－45＋513×⎝⎛⎭⎫－35＝－6365.故选A. 4．已知向量a ＝(cos 75°，sin 75°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，那么|a －b |等于( ) A.12 B.22C.32D ．1解析：选D |a －b | ＝(cos 75°－cos 15°)2＋(sin 75°－sin 15°)2 ＝2－2(cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°) ＝2－2cos 60°＝1.5．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫7π4＋α等于( ) A.425B.7210C ．－425D ．－7210解析：选B 由题意可知cos α＝45，cos ⎝⎛⎭⎫7π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos α cos π4＋sin α·sin π4＝45×22＋35×22＝7210. 6．化简：cos(α－55°)cos(α＋5°)＋sin(α－55°)sin(α＋5°)＝________. 解析：原式＝cos[(α－55°)－(α＋5°)]＝cos(－60°)＝12.答案：127．若cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan αtan β＝________.解析：∵cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝13， ①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝15， ②由①②得cos αcos β＝415，sin αsin β＝－115，∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－115415＝－14.答案：－148．已知sin α＝1517，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为________．解析：∵sin α＝1517，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫15172＝－817， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎫－817＋22×1517＝7234. 答案：72349．已知α，β为锐角，且cos α＝45，cos(α＋β)＝－1665，求cos β的值．解：因为0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π.由cos(α＋β)＝－1665，得sin(α＋β)＝6365.又因为cos α＝45，所以sin α＝35.所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1665×45＋6365×35＝513. 10．若x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，且sin x ＝45，求2cos ⎝⎛⎭⎫x －2π3＋2cos x 的值．解：∵x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，sin x ＝45，∴cos x ＝－35. ∴2cos ⎝⎛⎭⎫x －2π3＋2cos x ＝2⎝⎛⎭⎫cos x cos 2π3＋sin x sin 2π3＋2cos x ＝2⎝⎛⎭⎫－12cos x ＋32sin x ＋2cos x＝3sin x ＋cos x ＝435－35＝43－35.层级二应试能力达标1．若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为( ) A.32 B ．12C.34D ．1解析：选A 由已知得(sin α－sin β)2＝⎝⎛⎭⎫1－322，① (cos α－cos β)2＝⎝⎛⎭⎫122，②①＋②得2－2cos(α－β)＝1－3＋34＋14，∴cos(α－β)＝32.故选A. 2．已知α为钝角，且sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π12的值为( ) A.2 2＋36 B.2 2－36C ．－2 2＋36 D.－2 2＋36解析：选C ∵α为钝角，且sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－223， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π12＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12cos π3－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12sin π3 ＝⎝⎛⎭⎫－223×12－13×32＝－22＋36. 3．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos(2π－β)的值为( )A.3365 B ．－3365 C.5465D ．－5465解析：选A ∵α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，∴sin α＝45，sin(α＋β)＝1213，∴cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－513×35＋1213×45＝3365. 4．设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4D.5π4或7π4解析：选C 因为α，β为钝角，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫552＝－255.由cos β＝－31010，得sin β＝1－cos 2β＝1－⎝⎛⎭⎫－310102＝1010，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010 ＝22. 又因为π<α＋β<2π，所以α＋β＝7π4.5．已知cos α＝45，cos(α－β)＝－45，3π2<α<2π，π2<α－β<π ，则cos β＝________.解析：由条件知sin α＝－35，sin(α－β)＝35，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－1625－925＝－1.答案：－16．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0和cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．解析：由已知得，－sin γ＝sin α＋sin β，① －cos γ＝cos α＋cos β，②①2＋②2得，1＝1＋1＋2sin αsin β＋2cos αcos β，化简得cos αcos β＋sin αsin β＝－12，即cos(α－β)＝－12.答案：－127．已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求角β的值．解：由α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513.由α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝1213×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－513×513＝－1. 又∵α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴2β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，∴2β＝π，则β＝π2.8．已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 求：(1)cos(2α－β)的值； (2)β的值．解：(1)因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010>0， ∴0<α－β<π2.所以sin α＝ 1－cos 2α＝255， cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝55×31010－2 55×1010＝210. (2)cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×31010＋255×1010＝22，又因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4. ∴tan α＋β2＝sin α＋β2cosα＋β2＝－533.∴tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan 2α＋β2＝5311. 22．(本小题满分12分)已知向量OA uuu r＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0]，向量m ＝(2,1)，n＝(0，－5)，且m ⊥(OA uuu r－n )．(1)求向量OA uuu r；(2)若cos(β－π)＝210，0<β<π，求cos(2α－β)的值．解：(1)∵OA uuu r＝(cos α，sin α)， ∴OA uuu r－n ＝(cos α，sin α＋5)．∵m ⊥(OA uuu r－n )，∴m ·(OA uuu r －n )＝0，∴2cos α＋sin α＋5＝0.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②得sin α＝－55，cos α＝－255， ∴OA uuu r ＝⎝⎛⎭⎫－255，－55. (2)∵cos(β－π)＝210，∴cos β＝－210. 又0<β<π， ∴sin β＝1－cos 2β＝7210.又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－55×⎝⎛⎭⎫－255＝45，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35，∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝35×⎝⎛⎭⎫－210＋45×7210 ＝25250＝22.。

高一-三角函数的和差公式与二倍角含答案

课程主题：三角函数的和差公式与二倍角教学内容知识精讲知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)()βαtan tan 1∙ ； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛±4πa .4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．例题精讲题型1：三角函数的给值求值例1.已知0β<<344παπ<<，335cos(),sin()45413παπβ-=+=，求的sin(α＋β)的值．分析：比较所要求的角和已知角，可以发现3()()()442πππβααβ+--=++或由cos()sin 4πα-=()4πα+，再由3()()()44παπβπαβ+++=++求解. 解（一）：33,,0444424ππππαππαα<<∴-<-<--<-<，又34cos(),sin().4545ππαα-=∴-=-33353120,,sin(),cos()444413413πβππβππβπβ<<∴<+<+=∴+=-.sin(α＋β)=3cos[()]cos[()()]244ππαβπβα-++=-+--33cos()cos()sin()sin()4444πππβαπβα=+--+-1235456()()13513565=--⨯-⨯-=.解（二）：cos()sin 4πα-=()4πα+35=，4,cos()2445πππαπα<+<∴+=-.33353120,,sin(),cos()444413413πβππβππβπβ<<∴<+<+=∴+=-.sin(α＋β)333sin[()()][sin()cos()cos()sin()]444444πππαπβαπβαπβ=-+++=-+++++3124556[()()]51351365=-⨯-+-⨯=.解题思路：我们在计算、化简或证明一些三角函数式时，充分所求的角和已知角之间的联系，如：()()()αβαββαβαα-+=-++=,2，33ππαα-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，244παπαπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+，()⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=+44πββαπα，这一点非常重要它可以有效的帮助我们解题，更重要的是它可以让许多问题变得非常简单.课堂检测如图，点P 是单位圆上的一个顶点，它从初始位置0P 开始沿单位圆按逆时针方向运动角α（02πα<<）到达点1P ，然后继续沿单位圆逆时针方向运动3π到达点2P ，若点2P 的横坐标为45-，则cos α的值等于。

高中必修4三角恒等变换

高中必修4：三角恒等变换一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；（注意变形） ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．（注意变形）注意：三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍； ②2304560304515oooooo=-=-=；问：=12sin π ；=12cos π ； ③ββαα-+=)(；④)4(24αππαπ--=+；⑤)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。

如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。

（弦化切很常见）（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： oo45tan 90sin cot tan cos sin 122===+=αααα（4）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。

高考第一轮复习数学：4.3 两角和与差、二倍角的公式(二) 答案

4.3 两角和与差、二倍角的公式（二）答案●知识梳理1.在公式S （α+β）、C （α+β）、T （α+β）中，当α=β时，就可得到公式S 2α、C 2α、T 2α，在公式S 2α、C 2α中角α没有限制在T 2α中，只有当α≠2πk +4π且α≠k π+2π时，公式才成立.2.余弦二倍角公式有多种形式即cos2α=cos 2α－sin 2α=2cos 2α－1=1－2sin 2α.变形公式sin 2α=22cos 1α-，cos 2α=22cos 1α+.它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂作用.●点击双基 1.下列各式中，值为21的是 A.sin15°cos15°B.2cos 212π－1C.230cos 1︒+D.︒-︒5.22tan15.22tan 2解析：︒-︒5.22tan15.22tan 2=21tan45°=21.答案：D2.设a =sin14°+cos14°，b =sin16°+cos16°，c =66，则a 、b 、c 的大小关系是A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜c ＜aD.b ＜a ＜c解析：a =2sin59°，c =2sin60°，b =2sin61°，∴a ＜c ＜b . 答案：B3.若f （tan x ）=sin2x ，则f （－1）的值是 A.－sin2B.－1C.21 D.1解析：f （－1）=f ［tan （－4π）］=－sin2π=－1.答案：B4.（春季上海，13）若cos α=53，且α∈（0，2π），则tan2α=____________.解析一：由cos α=53，α∈（0，2π），得sin α=α2cos 1-=54，tan2α=2cos2sinαα=2cos2sin22sin22ααα=ααsin cos 1-=54531-=21.解析二：tan2α=ααcos cos 1+1-=531531+-=21. 答案：215.（春季北京，11）已知sin 2θ+cos2θ=332，那么sin θ的值为____________，cos2θ的值为____________.解析：由sin 2θ+cos2θ=332，得1+sin θ=34，sin θ=31，cos2θ=1－2sin 2θ=1－2·91=97.答案：3197●典例剖析【例1】试求函数y =sin x +cos x +2sin x cos x +2的最大值和最小值，若x ∈［0，2π］呢？剖析：注意sin x +cos x 与sin x ·cos x 之间的关系，进行换元可将原函数转化成一元二次函数来解. 解：令t =sin x +cos x =2sin （x +4π）∈［－2，2］，则y =t 2+t +1∈［43，3+2］，即最大值为3+2，最小值为43.当x ∈［0，2π］时，则t ∈［1，2］，此时y 的最大值是3+2，而最小值是3.评述：此题考查的是换元法，转化思想，在换元时要注意变量的取值范围. 【例2】已知sin （x －4π3）cos （x －4π）=－41，求cos4x 的值.剖析：4x 为2x 的二倍角，2x 为x 的二倍角. 解：由已知得sin （x －2π－4π）cos （x －4π）=－41，∴cos 2（x －4π）=41.∴sin2x =cos （2π－2x ）=2cos 2（4π－x ）－1=－87.∴cos4x =1－2sin 22x =1－6498=－3217.【例3】已知α为第二象限角，cos 2α+sin2α=－25，求sin2α－cos2α和sin2α+cos2α的值.解：由cos 2α+sin2α=－25平方得1+2sin2αcos2α=45，即sin α=41，cos α=－415.此时k π+4π＜2α＜k π+2π.∵cos 2α+sin2α=－25＜0，sin2αcos2α=81＞0，∴cos 2α＜0，sin 2α＜0.∴2α为第三象限角.∴2k π+4π5＜2α＜2k π+2π3，k ∈Z .∴sin2α＜cos2α，即sin 2α－cos 2α＜0.∴sin2α－cos2α=－αsin 1-=－23，sin2α+cos2α=2sin αcos α+1－2sin 2α=8157-.评述：由三角函数值判断2α的范围是关键.●闯关训练夯实基础1.已知f （x ）=x -1，当θ∈（4π5，2π3）时，f （sin2θ）－f （－sin2θ）可化简为 A.2sin θB.－2cos θC.－2sin θD.2cos θ解析：f （sin2θ）－f （－sin2θ）=θ2sin 1-－θ2sin 1+=｜sin θ－cos θ｜－｜sin θ+ cos θ｜.∵θ∈（4π5，2π3），∴－1＜sin θ＜－22＜cos θ＜0.∴cos θ－sin θ＞0，cos θ+sin θ＜0. ∴原式=cos θ－sin θ+cos θ+sin θ=2cos θ.答案：D2.（春季上海，14）在△ABC 中，若Aa cos =Bb cos =Cc cos ，则△ABC 是A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形解析：由A a cos =Bb cos ，得ba =BA cos cos .又Aa sin =Bb sin ，∴ba =BA sin sin .∴BA sin sin =BA cos cos .∴sin A cosB =cos A sin B ，sin （A －B ）=0，A =B .同理B =C . ∴△ABC 是等边三角形. 答案：B 3.若8cos （4π+α）cos （4π－α）=1，则sin 4α+cos 4α=_______.解析：由已知得8sin （4π－α）cos （4π－α）=1，∴4sin （2π－2α）=1.∴cos2α=41.sin 4α+cos 4α=（sin 2α+cos 2α）2－2sin 2αcos 2α=1－21sin 22α=1－21（1－cos 22α）=1－21（1－161）=1－21×1615=3217.答案：32174.若tan x =2，则xx x xcos sin 1sin 2cos22+--=_______. 解析：原式=xx x x sin cos sin cos +-=xx tan 1tan 1+-=2121+-=1212--）（=22－3.答案：22－3 5.化简xx x x x 2sin 1cos sin 1cos sin ））（（+--+.解：原式=xx x x x 2sin 12sin 21sin 12sin21sin 22））（（++---+=x x x x x x x x x cos 2cos2sin42sin22cos2sin 22sin22cos2sin222））（（+-=x x x x x x x cos 2cos2sin2sin 2cos 2sin 2cos ⋅+-））（（=xx x x x cos 2cos2sin 2sin 2cos22⋅-）（=xx x x cos 2cos 2sincos ⋅⋅=tan2x .6.（江苏，17）已知0＜α＜2π，tan2α+cot2α=25，求sin （α－3π）的值.解：由已知tan 2α+cot2α=αsin 2=25，得sin α=54.∵0＜α＜2π，∴cos α=α2sin 1-=53.从而sin （α－3π）=sin α·cos3π－cos α·sin 3π=54×21－53×23=101（4－33）.培养能力7.已知f （x ）=2a sin 2x －22a sin x +a +b 的定义域是［0，2π］，值域是［－5，1］，求a 、b 的值.解：令sin x =t ，∵x ∈［0，2π］，∴t ∈［0，1］，f （x ）=g （t ）=2at 2－22at +a +b =2a （t －22）2+b .当a ＞0时，则⎩⎨⎧=+-=，，15b a b解之得a =6，b =－5. 当a ＜0时，则⎩⎨⎧-=+=，，51b a b解之得a =－6，b =1.8.（湖北，17）已知6sin 2α+sin αcos α－2cos 2α=0，α∈［2π，π），求sin （2α+3π）的值.分析：本题考查三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能.解法一：由已知得（3sin α+2cos α）（2sin α－cos α）=0⇔3sin α+2cos α=0或2sin α－cos α=0. 由已知条件可知cos α≠0，所以α≠2π，即α∈（2π，π）.于是tan α＜0，∴tan α=－32.sin （2α+3π）=sin2αcos3π+cos2αsin 3π=sin αcos α+23（cos 2α－sin 2α）=αααα22sincoscos sin ++23×αααα2222sincossin cos +-=αα2tantan +1+23×αα22tantan 1+1-.将tan α=32代入上式得sin （2α+3π）=232132）（）（-+-+23×22321321）（）（-+--=－136+3265，即为所求.解法二：由已知条件可知cos α≠0，则α≠2π，∴原式可化为6tan 2α+tan α－2=0，即（3tan α+2）（2tan α－1）=0. 又∵α∈（2π，π）.∴tan α＜0，∴tan α=－32.下同解法一.探究创新9.将一块圆心角为120°，半径为20 cm 的扇形铁片截成一块矩形，如图，有2种裁法：让矩形一边在扇形的一半径OA 上或让矩形一边与弦AB 平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形，并求出这个最大值.A ABBMMO O 甲乙解：对图甲，设∠MOA =θ，则S 1=200sin2θ.∴当θ=45°时，（S 1）max =200 cm 2. 对图乙，设∠MOA =α，则S 2=33800［cos （2α－60°）－cos60°］.当α=30°时，（S 2）max =33400 cm 2.∵33400＞200，∴用乙种方法好.●思悟小结 1.化简要求：（1）能求出值的应求出值. （2）使三角函数种数尽量少. （3）使项数尽量少.（4）尽量使分母不含三角函数. （5）尽量使被开方数不含三角函数. 2.常用方法：（1）直接应用公式.（2）切割化弦，异名化同名，异角化同角.（3）形如cos αcos2αcos22α…cos2n α的函数式，只需将分子、分母分别乘以2n +1sin α，应用二倍角正弦公式即可.●教师下载中心教学点睛1.公式的熟与准，要依靠理解内涵，明确联系应用，练习尝试，不可机械记忆.2.要重视对遇到的问题中角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性，有利于缩短运算程序，提高学习效率.3.角的变换体现出将未知转化为已知的思想方法，这是解决三角中关于角的变换问题常用的数学方法之一.拓展题例【例1】若sin αcos β=21，求cos αsin β的取值范围. 解：令t =cos αsin β，则21t =41sin2αsin2β.∴t =21sin2αsin2β∈［－21，21］.【例2】（东北三校高三第一次联考题）已知a =（cos23x ，sin23x ），b =（cos2x ，－sin2x ），x ∈［0，2π］.（1）求a ·b 及|a +b |；（2）若f （x ）=a ·b －2λ|a +b |的最小值是－23，求λ的值.解：（1）a ·b =cos23x cos2x －sin23x sin2x =cos2x .|a +b |=222sin23sin2cos 23cos）（）（x x x x -++=2x2cos=2cos x （∵x ∈［0，2π］）.（2）f （x ）=cos2x －4λcos x =2（cos x －λ）2－1－2λ2. ∵x ∈［0，2π］，∴cos x ∈［0，1］.①当λ＜0，cos x =0时，f （x ）min =－1，矛盾.②当0≤λ≤1，cos x =λ时，f （x ）min =－1－2λ2，由－1－2λ2=－23，得λ=21.③当λ＞1，cos x =1时，f （x ）min =1－4λ，由1－4λ=－23，得λ=85＜1，矛盾.综上，λ=21为所求.。

人教版高中数学必修四3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.3含答案

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课时目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．1．倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝2sin αcos α，sin α2cos α2＝12sin α； (2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2．倍角公式常用变形(1)sin 2α2sin α＝__________，sin 2α2cos α＝__________； (2)(sin α±cos α)2＝__________；(3)sin 2α＝______________，cos 2α＝______________.一、选择题1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( )A.12B.22C.33D.322．函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数 3．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( ) A ．－13 B ．－79 C.13 D.794．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－2 D ．－125．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是( ) A ．－105 B.105 C ．－155 D.1556．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)等于( ) A.25 B.75 C.145 D ．－25题号 1 2 3 4 56 答案二、填空题7.3－sin 70°2－cos 210°的值是________． 8．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是______． 9．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______. 10．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，则α＝________.三、解答题11．求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A .12．若cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－45，5π4<x <7π4，求sin 2x －2sin 2x 1＋tan x的值．能力提升13．求值：cos 20°cos 40°cos 80°.14．求值：tan 70°·cos 10°·(3tan 20°－1)．1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2·α2n ＋1 (n ∈N *)． 2．二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式： ①1＋cos 2α＝2cos 2α，②cos 2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin 2α，④sin 2α＝1－cos 2α2. 3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式答案知识梳理2．(1)cos α sin α (2)1±sin 2α (3)1－cos 2α2 1＋cos 2α2作业设计1．B 2.A3．B [cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－cos[2(π6－α)] ＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝2sin 2(π6－α)－1＝－79.] 4．A [∵1－tan θ2＋tan θ＝1，∴tan θ＝－12. ∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ(sin θ＋cos θ)2＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－⎝⎛⎭⎫－121＋⎝⎛⎭⎫－12＝3.] 5．C [∵5π2<θ<3π，|cos θ|＝15， ∴cos θ<0，cos θ＝－15. ∵5π4<θ2<32π，∴sin θ2<0. 由sin 2θ2＝1－cos θ2＝35， ∴sin θ2＝－155.] 6．C [∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425，原式＝1＋2(cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4)cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145.] 7．2解析3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝2(3－cos 20°)3－cos 20°＝2. 8．2 解析 f (x )＝cos x －(1－cos 2x )－(2cos 2x －1)＋74＝－cos 2x ＋cos x ＋74＝－⎝⎛⎭⎫cos x －122＋2. ∴当cos x ＝12时，f (x )max ＝2. 9．3解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3. 10.π6解析 ∵sin 22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0.∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)．∴2cos 2α>0. ∴2sin 2α＋sin α－1＝0.∴sin α＝12(sin α＝－1舍)． ∴α＝π6. 11．证明 ∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 2 2A －13＋4cos 2A ＋2cos 2 2A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2 A 2cos 2 A 2＝(tan 2 A )2 ＝tan 4 A ＝右边．∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A . 12．解 sin 2x －2sin 2x 1＋tan x ＝2sin x (cos x －sin x )cos x cos x ＋sin x ＝sin 2x (cos x －sin x )cos x ＋sin x ＝sin 2x 1－tan x 1＋tan x＝sin 2x tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ， ∵5π4<x <7π4， ∴－3π2<π4－x <－π. 又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－34. ∴原式＝⎝⎛⎭⎫2×1625－1×⎝⎛⎭⎫－34＝－21100. 13．解原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18. 14．解原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1 ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎫3sin 20°－cos 20°cos 20°＝cos 20°sin 20°·cos 10°·2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin 20°－12cos 20°cos 20° ＝2cos 10°·sin (－10°)sin 20°＝－sin 20°sin 20°＝－1.附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。