五、材料力学切应力分析
材料力学第五章 弯曲应力分析
B
D
1m
1m
1m
y2
20
120
FRA
F1=9kN FRB F2=4kN
A C
BD
1m
1m
1m
2.5 Fs
+
+
4 kN
-
6.5 2.5
M
kNm
-
+
4
解： FRA 2.5kN FRB 10.5kN
88
52
-
+
C 2.5
4 B 80
z
20
120
20
B截面
σ t max
M B y1 Iz
4 • 52 763
20
+
-
+
10
Fs
kN
10
20
30
30
25
25
M
kNm
max
M max W
[ ]
W Mmax 30 187.5cm3
[ ] 160
1)圆 W d 3 187.5
32
d 12.4cm
A d 2 121cm2
4
2）正方形
a3 W 187.5
6
3）矩形
a 10.4cm
A a2 108cm2
压，只受单向拉压. （c）同一层纤维的变形相同。 （d）不同层纤维的变形不相同。
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性轴
中性轴⊥横截面对称轴
中性层
横截面对称轴
二、变形几何关系
dx
dx
图（a）
O
O
zb
O yx b
y
图（b）
五材料力学切应力分析资料讲解
五材料力学切应力分析资料讲解材料力学中的切应力分析是研究材料在受到切剪力作用下的应变和应力分布的一门学科。
切应力是物体内部各部分之间相对运动时产生的应力，常见于剪切变形过程中。
在进行切应力分析时，我们需要考虑以下几个关键因素：材料力学性质、应力方向、应变状态和材料结构。
首先，材料力学性质是进行切应力分析的基础。
不同材料在受到力作用时会发生不同的变形和断裂行为。
常见的材料力学性质包括弹性模量、屈服强度、断裂强度等。
这些性质决定了材料在受到力作用时的应变和应力分布规律。
其次，应力方向是进行切应力分析时需要考虑的因素之一、应力方向决定了材料内部产生的应力大小和分布情况。
常见的应力方向有横向应力、纵向应力和切向应力。
切向应力是材料在受到切剪力作用下产生的应力，它导致材料内部的断裂和形变。
应变状态是进行切应力分析时的另一个重要因素。
应变状态描述了材料在受到外力作用时的形变程度和方向。
常见的应变状态有线性应变、剪切应变和体积应变。
线性应变描述了材料在受到拉伸或压缩力作用下的变形情况，剪切应变描述了材料在受到切剪力作用下的变形情况，而体积应变描述了材料在受到体积力作用下的变形情况。
最后，材料的结构对切应力分析也有重要影响。
材料的结构决定了其内部微观结构和组织特征，从而影响了材料的力学性能和切应力分布。
常见的材料结构有晶体结构、非晶结构和多晶结构等。
不同的结构会导致材料在受到力作用时产生不同的应变和应力分布。
综上所述，材料力学切应力分析是研究材料在受到切剪力作用下的应变和应力分布的一门学科。
在进行切应力分析时，需要考虑材料力学性质、应力方向、应变状态和材料结构等因素。
通过深入研究材料在受到切剪力作用下的响应行为，可以有效提高材料的使用寿命和性能。
材料力学切应力
材料力学切应力材料力学是研究材料在外力作用下的力学性能和变形规律的学科，其中切应力是材料力学中的重要概念之一。
切应力是指材料内部受到的切削力，是材料在受到外力作用时发生形变的一种力学性质。
在材料力学中，切应力的研究对于材料的强度、塑性变形和破坏等方面具有重要的意义。
首先，我们来了解一下切应力的概念。
切应力是指材料内部受到的切削力，它是由于外力作用而引起的材料内部相对位移所产生的应力。
在材料受到外力作用时，内部各层之间会产生相对位移，从而产生切应力。
切应力的大小与外力的大小、材料的形状和材料的性质有关。
其次，我们来探讨一下切应力的计算方法。
在材料力学中，切应力的计算通常采用横截面上的切应力公式，τ=F/A，其中τ表示切应力，F表示作用力，A表示横截面积。
通过这个公式，我们可以计算出材料在外力作用下所受到的切应力大小。
除了切应力的计算方法，我们还需要了解切应力的影响因素。
切应力的大小受到多种因素的影响，包括外力的大小、作用角度、材料的性质、形状等。
在实际工程中，我们需要综合考虑这些因素，合理地选择材料和设计结构，以减小切应力对材料的影响，保证材料的强度和稳定性。
另外，切应力还与材料的塑性变形和破坏有着密切的关系。
在材料受到外力作用时，如果切应力超过了材料的极限强度，就会导致材料的塑性变形和最终的破坏。
因此，对于切应力的研究对于材料的强度和稳定性具有重要的意义。
在工程实践中，我们需要根据不同材料的特性和外力的作用情况，合理地计算和分析切应力，以保证材料的安全可靠性。
同时，我们还需要通过实验和模拟等手段，深入研究切应力对材料性能的影响规律，为材料的设计和应用提供科学依据。
总之，切应力是材料力学中的重要概念，它对于材料的强度、塑性变形和破坏等方面具有重要的影响。
通过对切应力的研究和分析，我们可以更好地理解材料的力学性能，为工程实践提供科学依据。
因此，我们需要深入研究切应力的计算方法、影响因素和对材料性能的影响规律，以提高材料的使用效率和安全可靠性。
应力分析的基本知识
5、了解三组特殊方向面与三向应力状态应力圆，掌握一点处的最大正应力、最大切应力的计算。
6、掌握广义虎克定律及其应用。
7、了解应变能密度、体积改变能密度与畸变能密度的概念和计算。
重点、难点重点：一点处应力状态的概念、描述与研究目的；平面应力状态的应力坐标变换式与应力圆，主应力、主方向与面内最大切应力；广义虎克定律及其应用。
难点：对构件内危险点处的最大切应力（）、第一主方向与最大切应力及其作用方位客观存在的理解。
广义虎克定律的应用（解决应力分析与应变分析的工程实际问题）教学方法安排三次课堂讨论：1、材料破坏与应力状态的关系：塑性材料与脆性材料在相同外力作用下的破坏形式为什么不同？塑性材料与脆性材料在相同外力作用下的机械性能（屈服滑移线、颈缩、断口等）2、应力圆是否描述了一点的应力状态，包含了一点应力状态的各种信息？3、如何应用广义虎克定律解决应力分析和应变分析问题？课外作业第五章应力状态分析前面两章的分析结果表明，一般情形下杆件横截面上不同点的应力是不相同的。
本章还将证明，过同一点的不同方向面上的应力，一般情形下也是不相同的。
因此，当提及应力时，必须指明"哪一个面上哪一点"的应力或者"哪一点哪一个方向面"上的应力。
此即"应力的点和面的概念"。
所谓"应力状态"又称为一点处的应力状态，是指过一点不同方向面上应力的集合。
应力状态分析是用平衡的方法，分析过一点不同方向面上应力的相互关系，确定这些应力中的极大值和极小值以及它们的作用面。
与前几章中所采用的平衡方法不同的是，平衡对象既不是整体杆或某一段杆，也不是微段杆或其一部分，而是三个方向尺度均为小量的微元局部。
此外，本章中还将采用与平衡解析式相比拟的方法，作为分析和思考问题的一种手段，快速而有效地处理一些较为复杂的问题，从而避免死背硬记繁琐的解析公式。
§5-1一点处应力状态描述及其分类对于受力的弹性物体中的任意点，为了描述其应力状态，一般是围绕这一点作一个微六面体，当六面体在三个方向的尺度趋于无穷小时，六面体便趋于所考察的点。
了解材料力学中的应力分析方法
了解材料力学中的应力分析方法材料力学是研究材料行为及其力学特性的学科，应力分析方法是其中的重要内容之一。
在材料力学中，应力是描述物体内部受力情况的力学参数，而应力分析方法则是利用各种数学和物理手段来确定物体内部应力分布的过程。
本文将介绍几种常见的应力分析方法，并探讨其适用范围和基本原理。
1. 等效应力法等效应力法是最常用的应力分析方法之一，其基本原理是将复杂的三维应力状态简化为等效应力的一维问题。
等效应力通常使用了一些特定的理论假设，如弹性体材料的等效应力假设和受力高度假设。
通过计算等效应力，可以得出物体是否会发生破裂或变形的结论，从而指导工程实践。
2. 应力分量法应力分量法是应力分析的另一种常见方法，它将应力状态表示为各个坐标轴方向上的应力分量。
常见的应力分量包括正应力、切应力和主应力等。
通过计算和分析这些应力分量，可以更直观地理解和描述物体的内部应力状态，准确判断材料的强度和破坏机制。
3. 应变能法应变能法是一种基于能量原理的应力分析方法。
它假定物体的变形过程是一种能量的转化过程，通过计算和分析物体在外力作用下的应变能量和应力能量的变化情况，可以得出物体的内部应力分布。
应变能法在分析复杂的弹性和塑性变形问题时具有一定的优势，被广泛应用于材料力学和结构力学领域。
4. 有限元法有限元法是一种基于数值计算的应力分析方法，它通过将物体划分为无数个小区域，将连续的应力分析问题转化为离散的微分方程组。
通过求解这个方程组，可以得到物体各个小区域的应力状态，进而得出整体的应力分布情况。
有限元法具有计算精度高、适用范围广的优点，是现代材料力学研究中最常用的方法之一。
综上所述，材料力学中的应力分析方法有很多种，每种方法都有其独特的优点和适用范围。
在实际工程中，应根据具体情况选择合适的方法，结合实际问题进行应力分析，为材料设计和工程实践提供科学的依据。
通过深入了解和掌握应力分析方法，可以更好地解决材料力学中的问题，推动科学技术的进步和发展。
材料力学弯曲切应力ppt课件
F*
B N2 n
dFs
FN*2
FN*1
dM Iz
S
* z
3 求纵截面 AB1 上的切应力 ’
S dFs 1 dM *
b dx bI z dx z
Fs
S
* z
bI z
z x
y
A1
FN*1
m
B1 dFs
A
n
bm
dx
B FN*2 n
Fs
S
* z
bI z
4 横截面上距中性轴为任意 y 的点，其切应力 的计 算公式。
*
z max [ ]
I zb
式中 ：[] 为材料在横力弯曲时的许用切应力。
S* z max
为中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩
F S s,max
*
z max [ ]
I zb
在选择梁的截面时，通常先按正应力选出截面， 再按切应力进行强度校核。
例题3 ： 简支梁受均布荷载作用，其荷载集度 q 3.6 kN m
Fs,max 所在的横截面上，而且一般说是位于该截面的中性轴上。 全梁各横截面中最大切应力可统一表达为
S Fsmax
* z max
max
Izb
S Fsmax
* z max
max
Izb
S* z max
—— 中性轴一侧的横截面面积对中性轴的静矩
b —— 横截面在中性轴处的宽度
Fs max —— 全梁的最大剪力
q
m
C
E
G
H D
m
l 2
l
Fs 图 F
M图
ql 2
ql 2 8
E
τ max
材料力学-应力状态分析
+
σ x σ y
2
cos 2α τ x sin 2α
sin 2α + τ x cos 2α
注意： 的正负号， 注意：1）σx 、σy 、τx 和 α的正负号， 2） 公式中的切应力是τx ，而非τy， 而非 的正负号。 3） 计算出的σα和τα 的正负号。
τα τ α>0
τα τ α<0
图示圆轴中， 已知圆轴直径d=100mm， 轴向拉 例 ： 图示圆轴中 ， 已知圆轴直径 ， 力 F=500kN，外力矩Me=7kNm。求 C点α = 30°截 ， 外力矩 。 点 ° 面上的应力。 面上的应力。 y
σy
τ
D
x
τx τy
σx
o A2
C
A1
σ
D
y
σ1 =
σ x +σ y
2
σ x +σ y + 2
2 +τ x
2
2
σ2 =
σ x +σ y
2
σ x +σ y 2 +τ x 2
σy
τ
D
x
τx τy
σx
o A2
2α0
C
A1
σ
D
y
2τ x 2α 0 = arctan σ x σ y
σ x σ y R= 2
+τ x2
2
σ x +σ y σ α 2
σy
σ x σ y 2 2 + τα = +τ x 2 τ
2 2
D
x
τx τy
σx
o
C D
y
σ
50MPa
材料力学之应力与应变分析
3.截取原始单元体的方法、原则
①用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体
②单元体各个面上的应力已知或可求； ③几种受力情况下截取单元体方法：
P
P
Me B
Me
A
s A s=P/A
B t=Me/Wn
Байду номын сангаасa) 一对横截面，两对纵截面 P
⑥
ss"'
a0 *
ttxyxy a0 *
ss"'
4.极值切应力：
应力与应变分析
①令：
，可求出两个相差90o 的
a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。
②极值切应力：
③
(极值切应力平面与主平面成45o)
例一 图示单元体，试求：①a=30o斜
截面上的应力； ②主应力并画出主单元
体；③极值切应力。
s" 40
txy
ssxtxxy
sα
a
a
dA
tα
x
tyx sy
sy tyx
得
符号规定：
应力与应变分析
a角—以x轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负
s拉为正，压为负
t—使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负
3.主应力及其方位：
①由主平面定义，令t =0，得：
可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。
④单向应力状态又称简单应力状态，平面和空间应 力状态又称复杂应力状态。
第二节 平面应力状态下的 应力研究、应力圆
一、平面应力分析的解析法
1.平面应力状态图示：
正应力和切应力
正应力和切应力正应力和切应力是材料力学中的两个重要概念，它们分别描述了材料受力时的压缩和剪切情况。
本文将从理论和实际应用两个方面介绍正应力和切应力的概念、计算方法以及在工程中的应用。
一、正应力和切应力的概念正应力是指垂直于物体截面的压缩或拉伸力，通常用σ表示。
正应力是材料受力时的一种普遍情况，比如压力容器内部的压力、桥梁上的车辆重量等都会导致正应力的发生。
正应力的计算方法是将受力的大小除以截面积，即σ=F/A，其中F为受力大小，A为截面积。
切应力是指沿物体截面方向的剪切力，通常用τ表示。
切应力是材料受力时的另一种情况，比如钳子夹住物体时的剪切力、车轮在地面上滚动时的剪切力等都会导致切应力的发生。
切应力的计算方法是将受力的大小除以截面面积和截面法向的夹角的正切值，即τ=F/(Acosθ)，其中F为受力大小，A为截面积，θ为截面法向与受力方向的夹角。
二、正应力和切应力的计算方法正应力和切应力的计算方法都是根据受力大小和截面积来计算的，但是由于受力方向不同，它们的计算方法也不同。
对于正应力，我们需要确定受力方向垂直于截面的面积，然后将受力大小除以该面积即可。
例如，一根直径为10cm的钢杆受到1000N 的拉力，那么它所受的正应力为：σ = F/A = 1000N/(π×(10/2)^2cm^2) ≈ 63.7MPa对于切应力，我们需要确定受力方向沿截面方向的面积和截面法向的夹角，然后将受力大小除以该面积和夹角的正切值即可。
例如，一个梁柱上的支撑受到200N的水平力，如果该支撑是倾斜的，与竖直方向成30度的角度，那么它所受的切应力为：τ = F/(Acosθ) = 200N/(10cm×10cm×cos30°) ≈ 115.5kPa三、正应力和切应力的应用正应力和切应力在工程中有着广泛的应用，下面分别介绍它们的一些应用场景。
1. 正应力的应用正应力的应用场景包括：（1）压力容器：在压力容器内部，液体或气体的压力会导致容器内部的壁面受到正应力的作用。
切应力基本概念
注意事项
利用材料力学性质判断法时，需要对材料的力学性质有充分的了解，并且能够准确地将其 应用到实际问题中。同时，还需要注意不同材料之间力学性质的差异，避免出现误导。
弯曲与扭转切应力叠加
弯曲引起的切应力和扭转引起的切应力在横截面上叠加，形成总的 切应力分布。
考虑变形协调条件
在分析组合变形时的切应力方向时，需要考虑变形协调条件，即各 部分的变形需要相互协调，以形成整体的平衡状态。
04
实验方法测定材料内 部切应力方向
光学显微镜观察法
01
02
03
制备试样
选取具有代表性的材料试 样，并进行必要的预处理 ，如研磨、抛光等。
注意安全问题
在判断切应力方向时，需要注意安全问题。特别是在处理大型或复杂结构时，应确保人员和设备的安全，避 免发生意外事故。同时，还需要对可能出现的风险进行充分评估，并采取相应的措施进行防范。
03
典型结构中切应力方 向分析
梁弯曲时横截面上的切应力方向
中性轴附近切应力方向相反
01
在梁的中性轴附近，由于弯曲引起的切应力方向相反，一侧为
03
注意事项
在使用坐标系判断法时，需要注意坐标系的选取应尽可能简单、直观，
以便于理解和计算。同时，还需要注意切应力方向与坐标系切线方向的
关系，避免出现错误。
利用材料力学性质判断法
了解材料力学性质
不同的材料具有不同的力学性质，如弹性、塑性、脆性等。了解材料的力学性质有助于判 断切应力的方向。
判断切应力方向
材料力学(第五版)扭转切应力
(
)
d 2 = 0.8D2=43 mm π 2 d1 A1 452 4 = = =1.95 2 2 A2 π D2 1 α2 53.7 1 0.8 2 4
(
)
(
)
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。
理由？ 理由？
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因： 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因：
(
)
五、圆轴扭转时的强度条件 圆轴扭转时的最大切应力不能超过 材料的许用切应力
τmax
T ax m = ≤ [τ] W p
例题 d2
A
B
C
d1 mA mB mC
已知： 已知：阶梯轴尺寸如图 mA = 22 kN m, mB = 36 kN m, mC =14 kN m
[τ]= 80 MPa
d1 =120 m , d2 =100m m m
对于钢材: 对于钢材:
200 G= = 80GPa 2(1+ 0.25)
§3-4 圆轴扭转时的应力
一、变形几何条件 1、变形观察： 变形观察：
圆周线不变（大小、 圆周线不变（大小、 间距都不变） 间距都不变） 纵向线倾斜， 纵向线倾斜， 倾斜角相同 表面矩形变成 平行四边形
薄壁圆筒由于壁很薄， 薄壁圆筒由于壁很薄，表 面变形即为内部变形。 面变形即为内部变形。
圆轴内部任意一点的切应力 圆轴内部任意一点的切应力 τ ρ 与该点到圆心的距离ρ 与该点到圆心的距离ρ成正比
d τ ρ = Gρ dx
(c)
ρ =0
τρ = 0
ρ=R
τ ρ =τ max
d = GR dx
三、静力关系
材料力学应力分析
应力状态
-
yx
即又一次证明了切应力的互等定理。
xy
y
§2 平面应力状态分析
应力状态
３、平面应力状态的极值与主应力
x
+ y
2
+ x
- y
2
cos 2
- xy sin 2
x
- y
2
sin 2
+ xy cos 2
x
- y sin
2
tan 20
2 -
+ xy cos 2 xy
x - y
2＝0
得到xy 的极值
＝ 1 2
x
- y
2
+
4
2 xy
应力状态
需要特别指出的是，上述切应力极值仅对垂直 于xy坐标面的方向面而言，因而称为面内最大切应 力与面内最小切应力。二者不一定是过一点的所有 方向面中切应力的最大和最小值。
§2 平面应力状态分析
应力状态
过一点所有方向面中的最大切应力
为确定过一点的所有方向面上的最大切应力，可以
(
-
x
+
2
y
)
x
-
2
y
cos 2
-
xy
sin
2
(1)
x
- y
2
sin 2
+ xy
cos 2
x
- y
2
sin 2
+ xy cos 2
(2)
§2 平面应力状态分析
应力状态
(
-x
+ y
2
)2
+
2
a( a , a )
材料力学应力状态知识点总结
材料力学应力状态知识点总结材料力学是研究物体在外力作用下的力学性质和变形规律的学科。
而材料的应力状态是材料力学中的重要概念，它描述了材料内部的力学状态和应力分布情况。
本文将对材料力学应力状态的相关知识点进行总结和讨论。
一、概述材料力学中的应力状态描述了材料受到力的情况，主要包括应力的类型、作用面以及应力的大小和方向等。
常见的应力类型有正应力、剪应力和法向应力等。
二、正应力正应力是指材料内部单位截面上的内力除以该截面的面积所得到的值。
正应力的作用面垂直于该面，并且指向该面。
根据正应力的作用面，可以将正应力分为法向应力和切应力。
1. 法向应力法向应力是指与作用面垂直的应力，主要包括拉应力和压应力两种类型。
拉应力是指作用面上的拉力对单位面积的分布情况，用正值表示；压应力则是指作用面上的压力对单位面积的分布情况，用负值表示。
2. 切应力切应力是指作用面上的切力对单位面积的分布情况。
切应力的方向沿着作用面的切向，它可以使物体出现剪切变形。
切应力常常与正应力相互作用，共同影响材料的力学行为。
三、剪应力剪应力是指作用在材料内部引起切变形的内力作用于单位面积的横截面积。
在材料内部的应力矢量图中，剪应力是与作用面方向垂直的应力分量。
四、应力的大小和方向应力的大小和方向对材料的力学性质和变形规律具有重要影响。
在材料受到外力作用时，应力的大小会决定材料的强度和变形能力；应力的方向则会影响材料的断裂方向和裂纹扩展方向。
根据材料力学的原理和实际应用，可以通过引入应力变换理论和应力变形关系来具体分析和计算材料内部的应力状态。
应力变换理论可以将复杂的应力状态转化为简单的应力状态，并通过研究力的平衡条件和变形规律，求解出具体的应力分布情况。
总结：材料力学应力状态是研究材料受力情况的重要内容。
正应力包括法向应力和切应力，它们分别描述了材料受到的拉应力、压应力和剪应力；而剪应力则是引起切变形的内力作用于单位面积的横截面积。
应力大小和方向对材料力学性质和变形规律具有重要影响。
材料力学(第五版)扭转切应力 PPT课件
pq
da
Me
cb
pq
pq
d’ a’
Me
c’
b’
pq
切应力互等定理
切应力互等定理
d
a
d
a
c
b
c
b
在相互垂直的两个截面上，切应力 必然成对出现，且大小相等，方向为共 同指向或共同背离两个截面的交线。
二、剪切胡克定律
d
a
Me
c
b
d’
γ
a’
pq
da
Me
cb
pq pq
T3 158.7 N m
Wp1
d13 16
703 109 16
67.34 106 m3
Wp 2
d32 16
503 109 16
24.54 106 m3
Wp3
d33 16
353 109 16
8.418106 m3
(max )E
D4 d 4 32
D
I p
πD4
1 α4 32
d
O
式中: d
D
D
圆轴扭转最大切应力
max
|R
TR IP
令:
Wp
IP R
抗扭截面系数
圆轴扭转最大切应力为:
max
T Wp
实心圆轴的抗扭截面系数为:
D3 Wp 16
空心圆轴的抗扭截面系数为:
Wp
A1
4
d12
A2
4
切应力的分解
切应力的分解切应力是材料力学中的一个重要概念，用来描述材料在受到切割力作用时的应力状态。
切应力的分解是将切应力分解为正应力和剪应力两个分量，通过分解可以更好地理解和分析材料在切割过程中的应力分布和变化规律。
一、正应力的分解正应力是指垂直于截面的应力分量，分解为法向应力和切向应力两个分量。
法向应力是指垂直于截面的应力，也称为压应力或拉应力。
切向应力是指平行于截面的应力，也称为剪应力。
在切应力的分解中，我们可以将正应力分解为垂直于切割方向的法向应力和平行于切割方向的切向应力。
这样的分解有助于我们研究材料在不同方向上的应力分布和变化规律。
二、剪应力的分解剪应力是指平行于截面的应力分量，分解为剪切应力和剪压应力两个分量。
剪切应力是指平行于切割方向的应力，剪压应力是指垂直于切割方向的应力。
在切应力的分解中，我们可以将剪应力分解为平行于切割方向的剪切应力和垂直于切割方向的剪压应力。
这样的分解有助于我们理解材料在切割过程中的应力分布和变化规律。
三、切应力的分解原理切应力的分解原理基于力学原理和应力平衡条件。
根据力学原理，切应力可以分解为正应力和剪应力。
根据应力平衡条件，正应力和剪应力之和在各个方向上都为零。
通过切应力的分解，我们可以更好地理解材料在切割过程中的应力状态。
正应力描述了材料在垂直于切割方向上的应力分布，剪应力描述了材料在平行于切割方向上的应力分布。
分解后的应力分量有助于我们分析材料的强度和变形特性，进而指导材料的设计和加工。
四、切应力的影响因素切应力的大小和分布受到多种因素的影响，包括切割力的大小、切割速度、材料的性质和几何形状等。
切割力的大小和方向决定了切应力的大小和分布。
切割速度越大，切应力越大。
材料的性质和几何形状也会影响切应力的大小和分布。
五、切应力的应用切应力的分解是材料力学中的基本概念，广泛应用于工程设计和材料加工。
在工程设计中，切应力的分解可以帮助我们评估材料的强度和稳定性，指导结构的设计和优化。
材料力学——应力分析
,则α1
405(τx0) 405(τx0)
7-2 二向应力状态分析--解析法
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MP，a txy 30MPa, y 40MP,a 30。
试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
y t xy
x
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
t
ty(xdsAin)co sy(dsAin)sin0
y
Ft 0
td Atx(ydc Ao )sco sx(dc Ao )ssin ty(xdsAin)siny(dsAin)co s0
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
{ 利用三角函数公式
co2 s 1(1co2s)
2
sin 21(1co2s)
d d (x y)si2 n2 txc y o 2 s
设α＝α0 时，上式值为零，即
t (xy )s2 i0 n 2xc y 2 o 0 s 0
2 (x σ 2 σ y) si0n τ x 2 c yα o0s 2 2α α 0 τ 0
即α＝α0 时，切应力为零 目录
2
2 s ic n o s si2 n
并注意到 t yx t xy 化简得
t 1
1
2 (xy) 2 (xy)c2 o s xs y 2 in
t1 2(xy)si2 ntxy co 2s
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
3. 正应力极值和方向
确定正应力极值
t 1 2 (xy ) 1 2 (xy )c2 o s xs y 2 in
（2）主平面的位置
tg2α0
2τ xy σx σy
材料力学第五章__弯曲应力
矩(中性轴以下或以上面积对中性轴的静矩)
的比值(Iz/S),因此工程中经常采用的最大
剪应力的计算公式为:
max
bIz
FS / Smax
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3.圆截面梁的剪应力
整理课件
假设
1.假设AB弦上各点的剪 应力作用线都通过k点。
2.假设AB弦上各点剪应 力的垂直分量τy相等, 亦即假设τy沿AB弦均 匀分布。
整理课件
1、矩形截面梁弯曲剪应力
初等剪应力理论是由俄罗斯工程师茹拉夫斯基（ 1844-1850）设计木梁时提出。 1856年圣维南提出精确剪应力理论。 1.矩形截面梁的剪应力 分析步骤: 1.提出假设； 2.在假设的基础上推导公式； 3.找出剪应力沿截面高度分布的规律。
整理课件整理课件来自理课件P yz Q
x
整理e课件
h
e Hh R
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
*§5．5 关于弯曲理论 的基本假设
自学
整理课件
§5．6 提高弯曲强度的 措施
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
F
S
S
* z
整理课件
I zb
整理课件
整理课件
工字钢截面：
max
Q Af
min
Af —腹板的面积。
max
结论： 翼缘部分max«腹板上的max，只计算 腹板上的max。
铅垂剪应力主要腹板承受（95~97%），且
max≈ min
故工字钢最大剪应力
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薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力与弯曲中心
弯曲中心： 以图示薄壁槽钢为例，先分别确定腹板和翼缘
上的切应力：
腹板：1
6F（Q bh h2
h2 (h
/4 6b)
y
2） ；
翼缘： 2
6FQ s
h2 (h 6b)
;
由积分求作用在翼缘上的合力FT ：
b
FT 0 2ds;
y
y
2
z
c
z c y 1 z
πD 4 1－ 4 32
,
πD 3 1－ 4
WP
16
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
例题5-1、图示传动机构，由B轮输入功率，通过锥型齿轮将其一半功率传递给C轴，另一半传递给 H轴。已知：P1＝14kW, n1= n2= 120 r/min, z1=36,z3=12;d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm. 求: 各轴横截面上的最大切应力。
请判断轴受哪些力 将发生什么变形
请判断哪些截面 将发生剪切变形
Mn z
x 两类切应力：扭转切应力、弯曲切应力；
切应力互等定理、剪切虎克定律
考察承受切应力作用的微元体
M0；
dydzdx(dxd)zdy0;
y
A dy
C
dz
x
B
D
z
dx
切应力互等定理：在两个相互垂直的平面上，切应力成对存在 ，两应力垂直于两个平面的交线，共同指向或者背离该交线： τ = τˊ
2、计算各轴的最大切应力
max E
M x1 W P1
πHale Waihona Puke 16 1114 70 3 10 -9
P a
16.54MPa
max H
M x2 WP2
π
16 557 50 3 10 -9
P a
22.69M P a
max C
M x3 W P3
π
16 185.7 353 10 -9
五、材料力学切应力分析
第五章 弹性杆件横截面上的切应力分析
1、切应力互等定理、剪切虎克定律 2、圆轴扭转时横截面上的切应力分析 3、薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力流与弯曲中心 4、基于最大切应力的强度计算 5、结论与讨论
切应力互等定理、剪切虎克定律 请判断哪些零件 将发生扭转变形
传动轴
切应力互等定理、剪切虎克定律
dFN*
(M z
dM
z
)S
* z
Iz
;
带入（a）式得：
FQ
S
* z
I z
薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力
FQ
S
* z
I z
FQ 横截面上的剪力； Iz 横截面对中性轴的惯性矩；
薄壁截面的壁厚；
S
* z
过所要求切应力点，沿薄壁
横截面厚度方向将横截面分为两部
分，其中一部分对中性轴的静矩；
薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力与弯曲中心
请注意圆轴受扭转后表面的矩形将 发生什么变形？
Mx
´
A
C
A’
C’
B
D B’
Mx
´ D’
平面假设：圆轴扭转时，横截面 保持平面，并且只能发 生刚性转动。
横截面是刚性转动，直径始终是 直线。
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
1、应变特征 两轴向间距为dx的截面相对转角为 dφ ,考察微元 ABCD 的变形得：
2、弯曲中心 对于薄壁截面，由于切应力方向必须平行于截面周边的切线方
向，故切应力相对应的分布力系向横截面所在平面内不同点简化， 将得到不同的结果。如果向某一点简化结果所得的主矢不为零而主 矩为零，则这一点称为弯曲中心。图示薄壁截面梁的弯曲中心并不 在形心上，因此外力作用在形心上时主矢不为零而主矩也不为零， 梁就会发生弯曲和扭转变形。
d
圆轴扭转时，切应变沿半径方向线性d分x布。
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
2、切应力分布特征
由剪切虎克定律得：
G
G
d
dx
圆轴扭转时，切应力沿半径方向线性分布。
由切应力互等定理，与横截面相垂直的平面上也存在着切应力。
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
3、切应力公式
切应力（A 在 圆 d轴A横）截面上A的G和 就dd是x d该A横截面上M的扭x 矩。
c
s
M
薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力与弯曲中心
y
y
2
z
c
z c y 1 z
c
作用在腹板上的剪力为FQ ;将FT 和FQ 向截面形心 C 简 化，可以得到主矢FQ 和主矩M ； 其中M=FT ×h+FQ×e’；
将FT 、FQ 向O点简化使e M=0e； 点OF即T为h弯;曲中心。 FQ
d M x
dx GIP
得：
M x
IP
圆形截面：IP
d 4 32
4、最大切应力 圆轴扭转时横截面上最大切应力在横截面的边缘上。
max
M x max IP
Mx WP
WP
IP
max
Wp 扭转截面系数
max
max
圆：IP
πd 4 32
；
πd 3 WP 16
圆 环 ： I P
3
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
解：1、计算扭矩
P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW
n1=n2= 120r/min
3
Mx1=9549×14/120=1114 N.m
nMM3＝xx23==n991554499zz××13 77＝//1326100==25105875.N7132.N6m.mr/min ＝360r/min ；
切应力互等定理、剪切虎克定律
剪切胡克定律： 弹性范围内，切应力与切应变成正比
G
A
C
´
B
D
´
式中 G 为材料的剪切弹性材料的模量， γ 为剪切应变。 弹性模量、泊松比、剪切弹性模量三个常数存在如下关系，只 有两个是独立的。
G E
2(1 )
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
观察圆轴表面平行轴线的直线和垂直这些直线的环线在扭矩作 用下的变化。 圆轴变形后表面的直线变成螺旋线；环线没有变化，小矩形 ABCD变形为平行四边形A’B’C’D’。
以如图壁厚为 δ 的悬臂梁槽钢为例， 考察x方向平衡
Fx 0; FN* (FN* dFN* ) (dx) 0;(a)
其中：FN*
A*
x
dA;
FN* dFN*
(
A*
x
d
x )dA;
将 x
M z y*
/
I
z带入上式得：（注意到S
* z
y*dA; )
A
FN*
M
z
S
* z
Iz
; FN*
P a
21.98M P a
薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力
1、切应力流 承受弯曲的薄壁截面杆件，与剪力相对应的切应力有下
列显著特征： 杆件表面无切应力作用，由切应力互等定理，薄壁截面
上的切应力必定平行于截面周边的切线方向，并且形成切应 力流。
切应力沿壁厚方向均匀分布。
薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力