五、材料力学切应力分析

2、计算各轴的最大切应力
max E
M x1 W P1
π
16 1114 70 3 10 -9
P a
16.54MPa
max H
M x2 WP2
π
16 557 50 3 10 -9
P a
22.69M P a
max C
M x3 W P3
π
16 185.7 353 10 -9
2、弯曲中心 对于薄壁截面，由于切应力方向必须平行于截面周边的切线方
向，故切应力相对应的分布力系向横截面所在平面内不同点简化， 将得到不同的结果。如果向某一点简化结果所得的主矢不为零而主 矩为零，则这一点称为弯曲中心。图示薄壁截面梁的弯曲中心并不 在形心上，因此外力作用在形心上时主矢不为零而主矩也不为零， 梁就会发生弯曲和扭转变形。
请判断轴受哪些力 将发生什么变形
请判断哪些截面 将发生剪切变形
Mn z
x 两类切应力：扭转切应力、弯曲切应力；
切应力互等定理、剪切虎克定律
考察承受切应力作用的微元体
M0；
dydzdx(dxd)zdy0;
y
A dy
C
dz
x
B
D
z
dx
切应力互等定理：在两个相互垂直的平面上，切应力成对存在 ，两应力垂直于两个平面的交线，共同指向或者背离该交线： τ = τˊ
请注意圆轴受扭转后表面的矩形将 发生什么变形？
Mx
´
A
C
A’
C’
B
D B’
Mx
´ D’
平面假设：圆轴扭转时，横截面 保持平面，并且只能发 生刚性转动。
横截面是刚性转动，直径始终是 直线。
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
1、应变特征 两轴向间距为dx的截面相对转角为 dφ ,考察微元 ABCD 的变形得：
P a
21.98M P a
薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力
1、切应力流 承受弯曲的薄壁截面杆件，与剪力相对应的切应力有下
列显著特征： 杆件表面无切应力作用，由切应力互等定理，薄壁截面
上的切应力必定平行于截面周边的切线方向，并且形成切应 力流。
切应力沿壁厚方向均匀分布。
薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力
以如图壁厚为 δ 的悬臂梁槽钢为例， 考察x方向平衡
Fx 0; FN* (FN* dFN* ) (dx) 0;(a)
其中：FN*
A*
x
dA;
FN* dFN*
(
A*
x
d
x )dA;
将 x
M z y*
/
I
z带入上式得：（注意到S
* z
y*dA; )
A
FN*
M
z
S
* z
Iz
; FN*
d
圆轴扭转时，切应变沿半径方向线性d分x布。
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
2、切应力分布特征
由剪切虎克定律得：
G
G
d
dx
圆轴扭转时，切应力沿半径方向线性分布。
由切应力互等定理，与横截面相垂直的平面上也存在着切应力。
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
3、切应力公式
切应力（A 在 圆 d轴A横）截面上A的G和 就dd是x d该A横截面上M的扭x 矩。
dFN*
(M z
dM
z
)S
* z
Iz
;
带入（a）式得：
FQ
S
* z
I z
薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力
FQ
S
* z
I z
FQ 横截面上的剪力； Iz 横截面对中性轴的惯性矩；
薄壁截面的壁厚；
S
* z
过所要求切应力点，沿薄壁
横截面厚度方向将横截面分为两部
分，其中一部分对中性轴的静矩；
薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力与弯曲中心
薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力与弯曲中心
弯曲中心： 以图示薄壁槽钢为例，先分别确定腹板和翼缘
上的切应力：
腹板：1
6F（Q bh h2
h2 (h
/4 6b)
y
2） ；
翼缘： 2
6FQ s
h2 (h 6b)
;
由积分求作用在翼缘上的合力FT ：
b
FT 0 2ds;
y
y
2
z
c
z c y 1 z
五、材料力学切应力分析
第五章 弹性杆件横截面上的切应力分析
1、切应力互等定理、剪切虎克定律 2、圆轴扭转时横截面上的切应力分析 3、薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力流与弯曲中心 4、基于最大切应力的强度计算 5、结论与讨论
切应力互等定理、剪切虎克定律 请判断哪些零件 将发生扭转变形
传动轴
切应力互等定理、剪切虎克定律
切应力互等定理、剪切虎克定律
剪切胡克定律： 弹性范围内，切应力与切应变成正比
G
A
C
´
B
D
´
式中 G 为材料的剪切弹性材料的模量， γ 为剪切应变。 弹性模量、泊松比、剪切弹性模量三个常数存在如下关系，只 有两个是独立的。
G E
2(1 )
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
观察圆轴表面平行轴线的直线和垂直这些直线的环线在扭矩作 用下的变化。 圆轴变形后表面的直线变成螺旋线；环线没有变化，小矩形 ABCD变形为平行四边形A’B’C’D’。
πD 4 1－ 4 32
,
πD 3 1－ 4
WP
16
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
例题5-1、图示传动机构，由B轮输入功率，通过锥型齿轮将其一半功率传递给C轴，另一半传递给 H轴。已知：P1＝14kW, n1= n2= 120 r/min, z1=36,z3=12;d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm. 求: 各轴横截面上的最大切应力。
c
பைடு நூலகம்
s
M
薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力与弯曲中心
y
y
2
z
c
z c y 1 z
c
作用在腹板上的剪力为FQ ;将FT 和FQ 向截面形心 C 简 化，可以得到主矢FQ 和主矩M ； 其中M=FT ×h+FQ×e’；
将FT 、FQ 向O点简化使e M=0e； 点OF即T为h弯;曲中心。 FQ
d M x
dx GIP
得：
M x
IP
圆形截面：IP
d 4 32
4、最大切应力 圆轴扭转时横截面上最大切应力在横截面的边缘上。
max
M x max IP
Mx WP
WP
IP
max
Wp 扭转截面系数
max
max
圆：IP
πd 4 32
；
πd 3 WP 16
圆 环 ： I P
3
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
解：1、计算扭矩
P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW
n1=n2= 120r/min
3
Mx1=9549×14/120=1114 N.m
nMM3＝xx23==n991554499zz××13 77＝//1326100==25105875.N7132.N6m.mr/min ＝360r/min ；