有限元第五章-有限元动力学基本原理
有限元分析-动力学分析PPT课件
目录
• 引言 • 有限元分析基础 • 动力学分析基础 • 有限元分析在动力学中的应用 • 案例分析 • 结论与展望
01 引言
目的和背景
01
介绍有限元分析在动力学分析中 的应用和重要性。
02
阐述本课件的目标和内容，帮助 读者了解有限元分析在动力学分 析中的基本概念、方法和应用。
随着工程复杂性和精确度要求的提高，有限元分析在动力学分析中的 应用将更加重要和必要。
02
未来需要进一步研究有限元分析算法的改进和优化，以提高计算效率 和精度。
03
未来需要加强有限元分析与其他数值计算方法的结合，如有限差分、 有限体积等，以实现更复杂的动力学模拟和分析。
04
未来需要加强有限元分析在多物理场耦合和多尺度模拟中的应用，以 更好地解决工程实际问题。
有限元分析的优点和局限性
• 精确性：对于某些问题，可以得到相当精确的结 果。
有限元分析的优点和局限性
数值误差
由于离散化的近似性，结果存在一定的数值误 差。
计算成本
对于大规模问题，计算成本可能较高。
对模型简化的依赖
结果的准确性很大程度上依赖于模型的简化程度。
03 动力学分析基础
动力学简介
动力学是研究物体运 动过程中力与运动关 系的科学。
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求解等。
02 有限元分析基础
有限元方法概述
01
有限元方法是一种数值分析方法，通过将复杂的物理系统离散化为有 限个简单元（或称为元素）的组合，来模拟和分析系统的行为。
02
它广泛应用于工程领域，如结构分析、流体动力学、热传 导等领域。
动力学有限元
6.2结构动力有限元法理论与模型一、基本原理在实际问题的求解中，应用最广的是基于位移的有限元素法。
此法的基本思想是把本来为连续的工程结构分割成在结点上相联的单元组合体。
取这些结点的位移为基本未知量，并假定每个单元中的位移用单元位移函数来描述，这实质上是假定了单元的模态。
在此基础上，利用能量变分原理进行单元分析的全结构分析，得到全结构的振动平衡方程，从而把连续体的动力学问题化为多自由度系统的振动问题。
有限元动力分析的基本过程是首先将工程结构离散化，通过选择合理的单元确定出分析模型，在此基础上选择位移函数，进行单元分析，确定单元的刚度、质量、阻尼、载荷矩阵，再经过坐标变换，通过能量变分原理，进行全结构分析，建立系统的振动平衡方程。
最后运用有限元数值方法进行方程的求解。
结构动力有限元法采用的单元位移函数与静力分析相同，基本原理和求解过程也与静力分析相同，不同之处仅在分析模型的确定与运动方程的建立方面。
二、动态分析模型的确定由于结构动态分析中除考虑弹性力外，还要考虑惯性力和阻尼力，其运动方程是常微分方程组，所以动态分析的复杂程度高，计算工作量大，有限元分析模型要尽量精炼、简单。
1.模型确定的基本原则•分析模型应与分析的目的相适应。
动力分析的目的各不相同，有的是为了提供固有特性计算动态响应或供控制系统用；有的是为了舱内提供振动环境。
不同的目的，通常要求不同的模态数与计算精度。
显然，用于估算基本固有频率的模型应当比计算冲击响应的模型简单。
用于设计计算的模型应当比用于校核计算的模型简单。
•分析模型要与选用的计算工具与计算条件相适应。
计算机软件种类日益丰富，选择分析模型要与所用程序、所用计算机容量相适应。
如对于容量大的计算机，可选用较为复杂的有限元模型，而对于容量小的计算机则在能反映结构动态性能的前提下尽量简化模型，使求解规模尽量小。
对于大模型，可选用子结构模型，采用模态综合方法求解。
应注意, 不一定模型愈精细精度就愈高。
有限元法的基本原理
有限元法的基本原理有限元法（Finite Element Method）是一种用于求解工程和物理问题的数值计算方法。
它将复杂的结构或物理系统分割成若干个小的、简单的部分，这些部分被称为有限元。
通过对每个有限元进行数学建模和描述，再根据各个有限元之间的相互关系，最终得到整个系统的数学模型，并通过求解模型得到所需的结果。
有限元法的基本原理可以总结为以下几个步骤：1.离散化：将需要分析的实际物体或系统划分为多个小的部分，每个小部分称为有限元。
每个有限元都有自己的几何形状和物理特性。
2.建立方程：对每个有限元进行数学建模，设定适当的假设和方程，并将其转化为一个或多个待求解的方程。
这些方程描述了物体各点之间的关系和行为。
3.组装和边界条件：将所有有限元的方程组合起来形成整个系统的方程。
在这个过程中，考虑到边界条件，如约束和加载，以使系统模型更接近实际情况。
4.求解方程：通过数值解法或迭代算法，对系统方程进行求解。
常用的方法有直接法、迭代法、矢量或矩阵求逆等。
5.后处理：根据求解结果，得到所需的物理量和信息，并进行数据分析和可视化，以获得更深入的认识。
有限元法的最大优点之一是其适用性广泛。
它可以应用于各种复杂的结构和物理系统，包括静力学、动力学、热传导、电磁学等。
通过适当的选择有限元类型和参数，可以对各种材料和结构进行准确的分析和预测。
此外，有限元法对于学术和工程研究的意义也非常重大。
它提供了一种理论和实践相结合的方法，可以对实际问题进行数值模拟和优化设计。
通过对有限元模型的分析，可以预测物体或系统的行为和响应，从而为实际工程项目的决策提供有力的支持。
然而，有限元法也存在一些局限性和挑战。
首先，有限元法在建立数学模型和求解方程时需要一定的理论基础和数值计算技术。
其次，模型的精确性和结果的准确性依赖于有限元的选择和划分，以及材料参数和边界条件的准确性。
最后，有限元法的计算量通常很大，特别是对于复杂的结构和多物理场问题，需要高性能计算和有效的算法来提高计算效率。
有限元分析的基本原理
有限元分析的基本原理有限元分析法是一种通用的数值分析技术，它利用有限数目的计算元素来对结构的应力、变形以及失效的可能性进行分析，它简化了复杂的工程结构在实际受力情况下的模拟计算，可以预测出构件的性能、变形和可能失效等。
有限元分析是用数学模型来模拟生活用来模拟工程中结构抗压、抗弯、抗剪、抗疲劳等性能。
有限元分析有三个基本原理：结构变形、力学方程和材料本构方程。
首先，有限元分析的基础原理是结构变形。
结构变形是指在施加外力作用下，受力的结构的空间变形和大小的变化，它是有限元分析的基础，该原理说明了满足力学方程的解决方法如何以有限元的形式出现。
通常情况下，我们会把构件的耦合变形分成很多小的计算元(这些计算元之间有连接约束)，减少变形的不确定性，从而提高分析的准确性。
其次，有限元分析的基础原理是力学方程。
满足力学方程条件的解决方案就是有限元分析，也就是把问题分解成很多小的子问题来求解。
力学方程最常见的形式是基于有限元技术的动态和静态结构分析。
动态结构分析是指结构在某个加载下的振动反应，涉及到施加外力、弹性和惯性效应。
静态结构分析则指结构在不同类型外力作用下的变形。
最后，有限元分析的基础原理是材料本构方程。
材料本构方程是指材料受拉力作用而形成变形和应力的关系，它可以用来描述材料在承受外力时的作用。
本构方程有很多不同的形式，最常用的形式是弹性体的本构方程，它说明了当受到外力作用时，材料的拉伸和压缩的反应，从而将其应用于有限元分析技术。
以上就是有限元分析的基本原理，它是构成有限元分析的基础，而且这些基本原理也被广泛应用于工程中对结构性能进行模拟和分析。
有限元分析可以帮助工程师准确地估算出结构在特定加载条件下的变形和应力，也可以帮助他们判断结构在疲劳荷载作用下是否会发生破坏。
有限元分析也可以帮助设计者更好地分析结构在复杂（多变）条件下的性能，以确定结构的最优设计。
所以，有限元分析的基本原理是工程分析的基础，合理的运用可以节约大量的时间和精力，从而达到性能最优的结构设计。
有限元法PPT课件
如何克服局限性
改进模型
通过更精确地描述实际 结构，减少模型简化带
来的误差。
优化网格生成
采用先进的网格生成技 术，提高网格质量，降
低计算误差。
采用高效算法
采用并行计算、稀疏矩 阵技术等高效算法，提
高计算效率。
误差分析和验证
对有限元法的结果进行误 差分析和验证，确保结果
的准确性和可靠性。
05 有限元法的应用实例
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目 录
• 引言 • 有限元法的基本原理 • 有限元法的实现过程 • 有限元法的优势与局限性 • 有限元法的应用实例 • 有限元法的前沿技术与发展趋势 • 结论
01 引言
有限元法的定义
01
有限元法是一种数值分析方法， 通过将复杂的结构或系统离散化 为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来模拟和分析其行为。
有限元法在流体动力学分析中能够处理复杂的流体流动和 压力分布。
详细描述
通过将流体域离散化为有限个小的单元，有限元法能够模 拟流体的流动、压力、速度等状态，广泛应用于航空、航 天、船舶等领域。
实例
分析飞机机翼在不同飞行状态下的气动性能，优化机翼设 计。
热传导分析
总结词
有限元法在热传导分析中能够处理复杂的热传递过程。
实例
分析复杂电磁设备的电磁干扰问题，优化设备性能。
06 有限元法的前沿技术与发 展趋势
多物理场耦合的有限元法
总结词
多物理场耦合的有限元法是当前有限元法的重要发展方向， 它能够模拟多个物理场之间的相互作用，为复杂工程问题提 供更精确的解决方案。
详细描述
多物理场耦合的有限元法涉及到流体力学、热力学、电磁学 等多个物理场的耦合，通过建立统一的数学模型，能够更准 确地模拟多物理场之间的相互作用。这种方法在航空航天、 能源、环境等领域具有广泛的应用前景。
第五章 有限元法-1-泛函与变分
设待求变分问题（5-4）的解答（极值函数）为 y=y(x) （5-7）
因y是x的函数，但讨论的是y的变化
设想函数y从极值解（5-7）稍稍变动到y+dy，并把变分dy改记为：eh(x)，
e是一个任意给定的微量实参数（实变量）；
h(x)是定义于区间[x1，x2]，且满足齐次边界条件的任意选定的可微函数，即有： h(x1)=h(x2)=0。
15
与多元函数的极值问题相对应，在几何、力学上的求解泛 函极值的问题。 最速降线问题。
研究当质点从定点A自由下滑到定点B时，为使滑行时间最短，试 求质点应沿着怎样形状的光滑轨道y=y(x)下滑。 取A点为坐标原点，y轴竖直向下（图5-1）。
则沿曲线y=y(x)滑行线段ds所需的时间为
16
18
在最速下降问题，在端点x1和x2给定的无数个函数之中， y ( x) 仅有一个函数 能使式（ 5-2a）中的定积分达到极小 y ( x) 值函数，这一函数 被称为极值函数。 所谓变分问题就在于寻求使泛函达到极值的该极值函数， 即分析研究泛函的极值问题。 物理学各分支都存在有相应的变分问题（变分原理），例 如
因此
式中
26
故可得
简写为
将上式与式（5-6）相比较，只相差一个数值因子e。
27
故（5-8）等价于变分方程
也即
（线性主部）
利用分部积分，根据变分与微分顺序可以互换的原理，即 dy’=(dy)’，得
28
在变分问题中，变分dy在端点保持为零
于是，必要条件（5-12）成为
有限元分析-动力学分析
1.为何傅里叶变换要换成正弦函数余弦函数这样的三角级数？ 2. 谐振运动的特征是什么？谐振运动有阻尼存在吗？
梁结构瞬态动力学分析实例
A steel beam of length and geometric properties shown in Problem Specifications is supporting a concentrated mass, m. The beam is subjected to a dynamic load F(t) with a rise time tr and a maximum value F1. If the weight of the beam is considered to be negligible, determine the time of maximum displacement response tmax and the response ymax. Also determine the maximum bending stress σbend in the beam.
谱分析
谱分析是一种将模态分析结果与已知的谱分析联系起来的 计算位移和应力的分析技术。它主要用于时间历程分析，以 便确定结构在任意时间变化载荷下的动力学响应，简单而言 就是载荷的谱不再是简谐运动。
简支梁的两端作垂直运动，也就是地震时的作用，确定其 响应频率。
梁对地基地震时的谱分析
A simply supported beam of length , mass per unit length m, and section properties shown in Problem Specifications, is subjected to a vertical motion of both supports. The motion is defined in terms of a seismic displacement response spectrum. Determine the nodal displacements, reactions forces, and the element solutions.
有限元法基本原理
有限元法基本原理
有限元法是一种在工程和物理学中用于模拟复杂几何体的数值计算方法。
它的基本原理是将一个复杂几何体分解成一些小的几何体，然后用有限元方法来解决问题，这种方法可以提供一个更精确的解决方案。
有限元法的基本原理是将复杂的几何体拆分成一些小的几何体，每个小的几何体称为有限元。
有限元可以是点、线、多边形、三角形或其他形状，每个有限元都可以用一个或多个称为单元函数的数学表达式来描述。
使用这些单元函数，可以计算出该有限元的位置、速度和加速度等物理量。
有限元法的基本原理是，假定每个有限元的物理量的变化情况，即每个有限元上的力，受其他有限元的影响。
通过求解这些有限元之间的力学关系，可以计算出所有有限元上物理量的变化情况，从而求出整体几何体的物理变化。
有限元法可以用来解决复杂的力学问题，如固体力学、流体力学、热力学和电磁学等。
由于不同的有限元可以通过表达式来描述，因此有限元法可以用来模拟任意复杂的几何体。
有限元法是一种有效的建模方法，它可以帮助人们更好地理解几何体的力学变化，并可以用来解决复杂的物理问题。
因此，有限元法
是一种有效、可靠的模拟方法，它已经成为工程和物理学中不可缺少的分析工具。
第五章偏微分方程的有限元法
有限元空间与基函数
针对椭圆型方程的特点，构造适当的有限元空间及 基函数，使得近似解能够较好地逼近真实解。
刚度矩阵与载荷向量
利用有限元基函数对椭圆型方程进行离散化 ，得到以刚度矩阵和载荷向量为未知量的线 性方程组。
抛物型偏微分方程的有限元法
时间离散与空间离散
抛物型偏微分方程涉及时间变量，需要采用合适的时间离散方案， 并结合空间有限元离散进行求解。
刚度矩阵反映了单元内部节点间的相 互作用力，需要根据形函数和单元刚 度矩阵进行组装得到整体刚度矩阵。
载荷向量组装
载荷向量反映了作用在节点上的外力 ，需要根据形函数和节点载荷进行组 装得到整体载荷向量。
边界条件处理与方程求解
边界条件处理
对于给定的边界条件，需要在整体刚度矩阵 和载荷向量中进行相应的处理，以保证求解 的正确性。常见的边界条件有Dirichlet边界 条件和Neumann边界条件。
分片插值
在每个单元内，选择基函数，用 单元基函数的线形组合来逼近单 元中的真解。
求解线性方程组
将问题的控制方程转化为等效的 线性方程组进行求解，得到每个 节点的待求量。
有限元法的发展历程
起源
有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其 方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。
素。
有限元法的实现过
04
程
网格划分与单元构造
网格划分
将求解区域划分为有限个互不重叠的子 区域，即单元。常见的网格划分方法有 结构化网格和非结构化网格。
VS
单元构造
对于每个单元，需要确定其形状、大小、 节点数及节点坐标等信息。常见的单元类 型有三角形、四边形、四面体等。
有限元方法-第五章--平面三角形单元
D
E
1 2
1
0
对 1 0
称
1
(i)
2
所以，[S]的子矩阵可记为
Si DBi
E
2 1 2
bi
1
bi
2
ci
ci
1
ci
2
bi
（ i
,
j
,
m轮换） (5-19)
对于平面应变问题，只要将 (i) 式中的E换成E/1-2 ， 换成 /1-，即得到其弹性矩阵
D
1
E1 1 2
1
1
起来，便可近似地表示整个区域的真实位移函数。这种 化繁为简、联合局部逼近整体的思想，正是有限单元法 的绝妙之处。
基于上述思想，我们可以选择一个单元位移模式，
单元内各点的位移可按此位移模式由单元节点位移通过
插值而获得。线性函数是一种最简单的单元位移模式，
故设
u 1 2x 3y
v 4 5x 6y
(b)
0
(b)
Ni xm
,
ym
1 2
ai
bi xm
ci ym
0
(c)
类似地有
N j xi , yi 0 , N j x j , y j 1 , N j xm , ym 0 (d) Nm xi , yi 0 , Nm x j , y j 0 , Nm xm , ym 1
式中 1、2、…6是待定常数。因三角形单元共有六个
自由度，且位移函数u、v在三个节点处的数值应该等于 这些点处的位移分量的数值。假设节点i、j、m的坐标分 别为（xi , yi ）、（xj , yj ）、（xm , ym ），代入 (b) 式， 得：
ui 1 2 xi 3 yi
有限元动力学问题有限单元法
动力学问题在物理领域中也有着广泛的应用，如力学、电磁学、光学等。例如，力学中的弹性力学问题、电磁学中的 电磁场问题、光学中的光束传播问题等。
其他领域
动力学问题在其他领域中也有着广泛的应用，如生物学、化学、地球科学等。例如，生物学中的生物力 学问题、化学中的化学反应动力学问题、地球科学中的地震动力学问题等。
03
有限元方法在多个领域都有广泛的应用，如机械、建筑、 航空航天、电子等。通过对不同领域动力学问题的有限元 分析，可以为相关领域的研究和应用提供重要的参考和指 导。
研究限制与不足
有限元方法虽然具有广泛的应用前景，但仍存在一些 限制和不足之处。例如，对于一些复杂结构和多尺度 问题，有限元方法的计算量和计算成本可能会较高， 需要进一步优化算法和计算流程。
有限元方法是一种有效的数值计算方法，可以精确地解决 结构动力学问题。通过对结构进行离散化，将连续的物理 问题转化为离散的数学问题，可以更方便地进行数值计算 和模拟。
02
有限元方法具有广泛的适用性，可以应用于各种材料和结 构的动力学问题。通过对不同材料和结构的有限元分析， 可以得到其动力学特性和响应规律，为工程设计和优化提 供依据。
02
有限元法基础
有限元法概述
有限元法是一种数值分析方法，用于 求解各种物理问题，如结构力学、流 体动力学、热传导等。它通过将连续 的求解域离散化为由有限个简单单元 组成的集合，从而将连续的偏微分方 程转化为离散的线性方程组，降低了 问题的复杂性和难度。
VS
有限元法在工程领域应用广泛，可以 用于分析复杂结构、设备和系统的动 力学行为，进行结构优化和设计等。
04
有限元法在动力学问 题中的应用
动力学问题的有限元法求解步骤
有限元分析第五章(第二部分)
§5-5数值积分１、问题的提出在上一节中对等参元进行单元分析时要进行下列积分： (i) 单元刚度矩阵(ii)体积力的等效结点力(iii)边界力的等效结点力(iv)温升载荷的等效结点力式（5-4-5）~（5-4-8）分别归结为计算以下两种形式的积分对于上述积分仅在单元的形状十分规则的情况下才能得到解析的结果（精确值），一般情况只能用数值积分方法（主要是高斯求积法）求近似值。
虽然数值积分是“被迫“采用的，但后来发现：有选择地控制积分点的个数和位置，可以方便地实现我们的某些特殊意图。
这样一来，数值积分就成为有限元分析的一个重要组成部分，以至本来可以精确积分的三角形单元也常常采用数值积分。
２、数值积分的基本概念任何积分工作取决于三个要素：给定的积分区间，给定的被积函数，具体的积分方法。
下面以一维情况为例介绍数值积分的基本概念 (i) 梯形法函数()x f 在区间(a,b)的积分可以表达为 ()()ini ibax f W dx x f I ∑⎰=≈=1⎰⎰⎰---111111),()(dxdxy x f dx x f 、 [][][][][][][]ηξd d J t B E B tdxdyB E B k T Te det 1111⎰⎰⎰⎰--=={}[][]ηξσd d J t f f N td f f N r y xT y x T eV det 1111⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎰⎰⎰⎰--{}[]{}ηξσγd Jd t B T det 01111T ⎰⎰--={}[]()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎰⎰⎰--dy y f dx x f tds q p N r T 1111,ΓΓ(5-4-5)(5-4-8) (5-4-7) (5-4-6)i W ：权系数；i x ：积分样点；()i x f ：积分样点的函数值。
梯形法的求积公式为其中，1--=n ab h ，而a b W ni i -=∑=1(ii) 当被积函数为n-1次多项式P n-1(x )时，则由n 个样点及其样点值（x i , P n-1(x i ),i=1,n ）可以精确重构这个多项式，从而可以得到精确解。
有限元基本原理与概念
有限元基本原理与概念有限元分析是一种数值计算方法，用于求解连续体力学中的边界值问题。
它是通过将连续体划分为有限数量的离散单元，然后在每个单元内进行力学行为的近似计算来实现的。
有限元基本原理和概念是进行有限元分析的关键。
有限元方法的基本原理包括以下几个方面：1.连续体离散化：连续体被分割为许多有限数量的小单元，例如三角形或四边形，这些小单元被称为有限元。
离散化的目的是将大问题转化为小问题，简化求解过程。
2.描述形函数：在每个有限元内，通过选择适当的形函数来描述位移、应力和应变之间的关系。
它们通常是基于其中一种插值函数，用于近似描述连续体内的位移场。
3.线性方程系统：通过应力和位移之间的平衡关系，可以得到与每个有限元相关的线性方程系统。
该方程系统可以通过组装所有单元的贡献来得到，其中每个单元内的节点位移被认为是未知数。
4.边界条件：为了解决线性方程系统，必须定义适当的边界条件。
这些条件通常包括位移或力的给定值，并且用于将无法由方程系统唯一解决的自由度限制为已知值。
5.求解方程系统：通过解决线性方程系统，可以得到每个节点的位移。
这可以使用各种求解线性方程系统的方法，如直接法（例如高斯消元法）或迭代法（例如共轭梯度法）来实现。
有限元方法的基本概念包括以下几个方面：1.单元：连续体被划分为有限数量的单元，在每个单元内进行近似计算。
常见的单元类型包括一维线元、二维三角形和四边形元，以及三维四面体和六面体元。
2.节点：单元的连接点被称为节点，每个节点在有限元分析中是一个自由度。
节点的数量与单元的选择密切相关，节点的位置和数量会影响结果的精确度。
3.局部坐标系：为了描述单元内的位移和应力，通常引入局部坐标系。
在局部坐标系中，单元的尺寸和形状可以更容易地进行描述和计算。
4.材料特性：有限元分析中需要定义材料的特性参数，例如弹性模量、泊松比、屈服强度等。
这些参数用于描述材料的力学行为和应力-应变关系。
5.后处理：通过有限元分析所得到的结果通常以节点或单元的形式给出，这些结果还需要进行后处理以得到更有意义的结果，如应变、应力分布或变形情况。
有限元方法基本原理
有限元方法基本原理有限元方法被广泛应用于工程领域中对复杂结构力学问题的求解。
其基本原理是将一个复杂的实体分割成连续的小元素，并在每个小元素内近似描述结构的力学行为。
然后根据各个小元素的相互连接关系，通过求解各个小元素的力学方程，得到整个结构体系的力学响应。
在有限元方法中，划分成小元素的实体被称为有限元。
每个有限元内会选择一个适当的数学函数形式来近似描述该元素内的过程变量（如位移、应力等）。
通常，利用多项式函数或三角函数来近似描述是较为常见的选择。
有限元法的基本思想是利用小元素内的力学方程来建立元素间的联系。
这一联系通过引入节点来实现。
节点是在有限元网格上选取的特殊位置，在节点处的位移和应力是所有相邻元素的位移和应力的加权平均。
在整体结构体系上，所有节点只有两种运动自由度（如平面问题为两个：水平和垂直方向），我们将节点处对应的变量称为自由度。
有限元分析的过程可以分为网格划分、单元插值、力学方程建立和边界条件处理四个主要步骤。
首先，将整个结构体系划分成小的有限元。
然后，在每个有限元内部选择一个插值函数，并利用插值函数得到相应的位移和应力的近似解。
接下来，根据物体在各个小元素上的力学原则，建立每个小元素的力学方程。
最后，在整个结构体系上，应用边界条件将自由度限制在给定的边界条件下。
通过求解各个小元素的力学方程，可以得到整个结构体系的应力、应变和位移分布。
这些分析结果可以用来评估结构的强度、刚度和稳定性等重要参数。
有限元方法的优点在于它能够处理复杂的几何形状和边界条件，并提供了精确的力学响应。
因此，它被广泛用于各个工程领域中的结构设计和分析中。
有限元分析及应用第五章_第二部分
其中系数
∫ Cm
=
2m + 2
1
1 −1
Lm
(
x)q(
x)dx
特别，对于 n 次多项式 Pn(x)有
４、一维情况
n
∑ Pn (x) = Cm ⋅ Lm (x) m=0
设需要计算积分
1
I = ∫ f (x)dx −1
我们可以取 x1=0 为积分点（图 5-2４(a)），以常量 f(0) 代替 f(x) 进行积分，作为Ｉ的近似值
−1
−1
−1
−1
Rn−1 (x)为 n-1 阶多项式，因此仅需 n 个样点及其样点值即可精确重构该多项式，进而给出
精确的积分值，若取 Ln (x) 的 n 个零点为积分样点，则
( ) ( ) P2n−1 xi = Rn−1 xi (i = 1 ~ n)
结论：用 n 个 Legendre 多项式的零点作为积分样点，式(5-5-1)可以给出精确的积分值，这
)
根
x1、4 = m
15 + 120 , 35
x2、3 = m
15 − 120 35
L0=1
L1=x
L2
L3
1
1
x
x
x1
x2 x
x
-1
1 -1
1 -1
1 -1
1
-1/2
图 5-23
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有限元分析与应用
霍战鹏
一般 n 阶 Legendre 多项式的定义为
Ｌ n
(x)
=
2
1 n⋅
n!
L２( x)
=
3 2
(x2
−
1) 3
有限元法的原理及应用
有限元法的原理及应用1. 引言有限元法是一种数值计算方法，广泛应用于工程和科学领域，用于解决复杂的物理问题。
本文将介绍有限元法的基本原理和其在不同领域的应用。
2. 原理有限元法基于数学原理和工程实践，将复杂的连续体分割为许多小的有限元，然后使用离散化的方法对每个有限元进行数值计算。
具体原理如下：2.1 有限元离散化有限元法将连续问题离散化为离散的有限元问题。
首先，将连续域划分为有限个互不重叠的有限元。
每个有限元由一个或多个节点和连接节点的单元组成。
节点是问题的离散点，而单元是问题的局部区域。
2.2 描述方程在每个有限元内，使用形函数来近似描述问题的解。
形函数是定义在某个节点上的函数，它可以以节点为中心表示整个有限元的解。
然后，在每个有限元内，建立描述问题的偏微分方程，通常是通过泛函求解所得。
2.3 组装方程组将每个有限元的形函数和描述方程组装成整个问题的方程组。
通过施加边界条件和合理选择形函数的类型和数量，可以得到与原问题相对应的离散化方程组。
2.4 求解方程组将离散化的方程组转化为代数方程组，并应用数值方法求解。
通常采用矩阵运算等技术，利用计算机进行求解。
3. 应用有限元法在多个领域有重要的应用，以下列举了一些常见的应用：3.1 结构力学有限元法在结构力学领域广泛应用，用于分析和优化结构的强度、稳定性和刚度。
通过建立合适的有限元模型，可以计算结构的应力、应变和变形等重要参数。
有限元法在建筑、航空航天和汽车等工程领域具有广泛应用。
3.2 流体力学有限元法在流体力学领域用于模拟流动的行为，如气体和液体的流动、湍流和传热等。
通过将流体领域离散为小的有限元，可以计算流体的速度、压力和温度分布等参数。
有限元法在船舶设计、空气动力学和燃烧等领域得到了广泛应用。
3.3 热传导有限元法可应用于热传导问题，用于分析材料内部的温度分布和热流。
通过建立材料的有限元模型，可以计算材料的温度变化、热传导和热辐射等参数。
有限元法基本原理与应用
有限元法基本原理与应用有限元法（Finite Element Method, FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域中的结构分析、流体力学、热传导等问题的数值模拟。
它的基本原理是将连续的物理问题转化为离散的有限元组装问题，通过对离散的有限元进行数值计算，得到问题的近似解。
有限元法的基本原理可以简要概括为以下几个步骤：1.建立问题的数学模型：将实际问题抽象为一个数学模型，例如线性弹性力学、热传导方程等。
模型包括物理量的表达式、边界条件和初始条件等。
2.离散化：将连续的物理问题离散化为一系列有限元。
有限元是由一些简单的几何形状（如三角形、四边形）组成的子区域，称为单元。
整个问题区域被划分为许多单元。
3.处理边界条件：在模型中，边界条件是非常重要的，它们描述了问题在边界上的行为。
有限元法通过施加适当的边界条件来模拟实际问题的边界行为。
4.建立单元模型：针对每个单元，建立其适当的数学模型。
常用的有线弹性力学的单元模型有三角形和四边形元素、梁单元、壳单元等。
5.组装方程：通过将所有单元的方程组合在一起，形成整个问题的方程组。
这个方程组通常是一个矩阵方程，可以通过求解该方程组来得到问题的数值解。
6.求解方程：有限元法适用于大规模、复杂的问题，可以通过迭代的方式求解。
常用的求解方法有直接法、迭代法、预处理共轭梯度法等。
7.后处理：对求解结果进行后处理，包括分析和可视化。
这些结果可以用来评估结构的安全性、优化设计等。
有限元法的应用非常广泛，涵盖了许多工程领域。
它可以用于结构分析，例如建筑物、桥梁、飞机等的强度和刚度分析、应变和位移分析等。
在流体力学中，有限元法可以用于模拟空气动力学、水动力学等。
在热传导问题中，有限元法可以用于计算物体在不同温度条件下的热传导情况。
有限元法的优点在于可以处理较为复杂的几何形状和边界条件，能够提供准确的数值结果。
它还具有良好的可扩展性，可以适应不同规模和复杂度的问题。
同时，有限元法还可以与其他数值方法相结合，如有限差分法和有限体积法，以提高数值计算的精度和效率。
有限元法基本原理
有限元法基本原理
有限元法是解决偏微分方程数值分析问题的重要方法，它根据力
学原理将构件表示成一系列有限个拉普拉斯单元，采用有限个有限量
节点在某种元素的基质上建立的模型来近似求解构件的本构关系。
它
将复杂的本构关系准确地还原为有限数量的有限单元，以此分析不同
物理状态下物体受力和变形机制，可用于弹性、非线性动力学分析及
多物理场耦合场景等复杂问题的分析。
有限元法由三部分组成：网格划分、体积单元的本构建立及节点
的采样，它将整个物体划分成几种封闭的体积单元，选取合适的节点
对每一种单元进行采样，并为各种单元类型形成有适用的本构关系方程，以串联每个构件的局部分析结果。
首先，在网格划分方面，有限元法可以通过不同的体积单元划分、节点采样及本构关系来处理复杂的问题，如曲面、孔洞等，形成封闭
的有限元网格，随后，对复杂的本构关系准确地还原为有限个有限单元，即针对每一种单元类型的形变量，采取合适的节点、布点一系列
的坐标。
最后，有限元法利用耦合方程作为求解强度和变形问题的基础，
在此基础上，有限元法可以应用于多物理场、非线性动力学分析及其
他复杂的物理状态场景。
另外，它还可以帮助测量构件受力和变形机制，使得构件能正确适应环境变化。
由于有限元法处理方法较为简单，而且力学原理深入，因此，它已在工程计算中得到广泛的应用，有效
提高了模型的准确性和精确度，为进一步探索物理现象带来了巨大的
方便。
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3.常用单元的一致质量矩阵
●三次梁单元
156 22l 54 13l
me
Al
22l
4l 2
13l
3l 2
420 54 13l 156 22l
13l 3l 2 22l
4l 2
一、单元质量矩阵的计算
3.常用单元的一致质量矩阵
●三角形平面问题单元
2 0 1 0 1 0
2 0 1 0 1
第五章 有限元动力学分析基本原理
在前面的介绍中，我们均假设作用在弹性体（或结
构）上的载荷与时间无关，与此相应的，位移、应力
及应变等也都和时间无关，即前面介绍的全部内容皆
称结构静力学有限元方法。但工程实际中还存在着另
外一类载荷与时间有关的动载荷作用于结构或弹性体，
此时，相应的位移、应力、应变等都与时间有关，而
(0) 1 1 1T 3 2 0 1 1
于是有
求得 (21)和 （1）
再代入
S
（1）
2 (2)
(2)
以此类推
S （i）
2 (i1)
(i1)
收敛条件 （k） (k1)
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
例题：已知一振动系统的质量矩阵、刚度矩阵用迭 代法计算其最高阶固有频率和振型。
1 0 0
二、单元阻尼矩阵的计算
对于组合阻尼，如已知结构的阻尼比及结构的固 有频率，其计算方法有：
2(i
2 j
j
ji i2
)
i
j
如果 i j
2( j j ii )
2 j
i2
则 2i j i j
2 i j
三、机械结构固有频率与振型
机械结构的振动固有频率和振型问题，在有限元方 法求解释，对应的数学问题既是矩阵的特征值和特 征向量问题。关于矩阵的特征值及特征向量问题， 是矩阵理论中比较热门的研究领域，下面我们仅简 单地罗列以下常见方法的名称，具体的方法求解步 骤，可以参考有关书籍，有大量的软件保重均包含 求解特征值和特征向量的软件程序。
阻尼矩阵非常复杂，主要是阻尼本身的复杂性引 起的，一般均为假设，如阻尼力正比于单元的运动 速度，此时得到的阻尼矩阵正比于单元质量矩阵； 也可以假设阻尼力正比于单元的应变速度，此时得 到的阻尼矩阵则正比于单元刚度矩阵，还有一些其 他类型的假设，如上述两者的组合，分别有：
ce me ce ke ce me ke
在工程实际中，为了求解方便，有人把单元质量 平均分到单元的各个节点上，如平面三角形单元的 质量可分配为：
mi
mj
mk
3
V
dV
一、单元质量矩阵的计算
2.集中质量矩阵 单元质量矩阵为：
me diag mi mi mj mj mk mk
3.常用单元的一致质量矩阵
●一次杆单元
me
Al
N
T
N
dx
M 0 2 0
0 0 3
3 2 0
K 2 5 3
0 3 3
解：
1 0 0
M 1 0 1/ 2
0
0 0 1/ 3
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法 3 2 0
S M 1S 1 2.5 1.5
0 1 1
在开始迭代时，需选取初始迭代向量，可以按经验 估计，也可以用静力学特性的位移值，选得合适可 以减少迭代时间。先假设：
且必须考虑惯性力和加速度等因素，这类分析或问题，
成为动力学分析。
对于质点—弹簧系统的振动，大家比较熟悉，例如
一个自由度为n的质点—弹簧振系，其动平衡方程为
M
&
&
C
&
K
P
第五章 有限元动力学分析基本原理
上式中每一项的含义不同
M
&
&
C 为阻尼力
K 为弹性力
对于单元体而言，可以得到类似的上述方程
第五章 有限元动力学分析基本原理
一、单元质量矩阵的计算
1.单元一致质量矩阵
2.单元集中质量矩阵
3.常用单元的一致质量矩阵
二、单元阻尼矩阵
1.速度阻尼矩阵
2.应变阻尼矩阵
三、机械结构的固有频率和振型
1.无阻尼自由振动方程 2.矩阵迭代法
3.其他方法
四、机械结构的动力响应计算
1.振型叠加法
2.直接积分法
一、单元质量矩阵的计算
1.一致质量矩阵
Rqe N T qdV
V
V
N
T
N
2 t 2
e
dV
N T N dV e
V
于是，令 me NT NdV
V
一、单元质量矩阵的计算
1.一致质量矩阵
me 的计算式是通式，并因为计算质量矩阵和刚度矩
阵使用的形状函数一致，因此被称为一致质量阵。
2.集中质量矩阵
这是计算方法中最典型的特征值问题。 2.矩阵迭代法
这种方法用于求解基频或最高阶频是很有效的，并 且能得到相应的特征向量。
将无阻尼自由振动方程改写 K 0 M 20
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
即有 M 1K0 20 S0 20
●迭代步骤
令
(0) 代入
S
(0)
2 (1)
(1)
me
t
12
2 0 1 0 2 0 1
对称
2 0
2
一、单元质量矩阵的计算
3.常用单元的一致质量矩阵
●矩形平面问题单元 4 0 2 0 1 0 2 0
4 0 2 0 1 0 2
4 0 2 0 1 0
me
abt
9
4 0 2 0 1
4 0 2 0
对称
4 0 2
4 0
4
二、单元阻尼矩阵的计算
Al
12
1
2dx
A l 112 2
12 22
dx
l
6
2 1
1 2
一、单元质量矩阵的计算
3.常用单元的一致质量矩阵
●二次杆单元
me
A
N T
l
N dx
A
l
222122
1 2
412
222122
1 2
412
T
dx
4 1 8
Al
30
1
8
4 8
8 16
一、单元质量矩阵的计算
1.结构无阻尼自由振动的运动方程
结构在无外力作用时，得到的是自由振动，此时 阻尼影响不大，结构的自由振动可简化为：
M K 0
三、机械结构固有频率与振型
1.结构无阻尼自由振动的运动方程
设结构作简谐运动 0sin t
代入无阻尼振动方程，可得 K 2M 0 0
上式解存在的条件为 K2M 0
me
&
& e
ce
&e
ke
e
pe
一、单元质量矩阵的计算
单元质量矩阵根据其形成过程分为一致质量阵和 集中质量阵，各有自身的优点和缺点。
1.一致质量矩阵
在离散后的结构中，取出一个单元，根据达朗贝 尔原理，单位体积上作用的惯性力为：
q
2 t 2
2 t 2
N
e
N
2 t 2
e
惯性力是分布力，按分布力向节点等效的原则和 实施过程，有：