刘徽割圆术

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割圆术——刘徽《九章算术注》

割圆术——刘徽《九章算术注》割圆术（cyclotomic method）所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。

这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。

中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比率为三比一）的数值来进行有关圆的计算。

但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。

正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。

东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。

这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。

刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。

在刘徽看来，既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆内接正六边形的周长，与圆周长相差很多；那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割为二，做出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长不就要比正六边形的周长更接近圆周了吗？如果把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周。

这就表明，越是把圆周分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。

如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周“合体”而完全一致了。

按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.14和 3.1416这两个近似数值。

这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据。

刘徽对自己创造的这个“割圆术”新方法非常自信，把它推广到有关圆形计算的各个方面，从而使汉代以来的数学发展大大向前推进了一步。

刘徽割圆术精品PPT课件

如图所示，四边形 OADB的面积和△OAB 的面积的差等于以AD和 DB为弦的两个直角三角形面积，而OADB的面积再加上这样两个直角三角形的面积，就有一部分超出圆周了。
第五，刘徽指出：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”（《九章算术》方田章圆田术刘徽注）这就是说，圆内接正多边形的边数无限增加的时候，它的周长的极限是圆周长，它的面积的极限是圆面积。
发，求得正十二边形的边长。根据勾股定理，从圆内接正n边形每边的长，可以求出圆内接正2n边形每边的长。
第三，从圆内接正n边形每边的长，可以直接求出圆内接正2n边形面积。如图所示，四边形OADB的面积等于半径 OD和正n边形边长AB乘积的一半。
第四，圆面积S满足不等式 S2n＜S＜S2n＋（S2n－Sn）。
因为《缀术》失传了，祖冲之究竟是用什么方法将π算到小数点后第七位，又是怎样找到既精确又方便的密率的呢？这至今仍是困惑数学家的一个谜。
祖冲之曾写过一本数学著作《缀术》，记录了他对圆周率的研究和成果。但当时“学官莫能究其深奥，是故废而不理”，以致后来失传。
很多人都知道用密率355/113表示π的近似值，是一项了不起的贡献。密率355／113传到了日本后， 1913年日本数学史家三上一夫建议将祖冲之圆周率的密率数值命名为“祖率”，得到一致赞同。祖冲之对圆周率的求索，超过了世界水平整整 1000年！直到16世纪德国人V·奥托和荷兰人A·安托尼斯才发现了圆周率的密率355/113。但是 “祖率”的妙处，和给今人留下的困惑，不少人却说不出来。
（二）圆周率的定义
指平面上圆的周长与直径之比。早在一千四百多年以前，我国古代著名的数学家祖冲之，就精密地计算出圆的周长是它直径的3.1415926--3.1415927倍之间。这是当时世界上算得最精确的数值----圆周率。

数学视野：经典算法割圆术

数学视野经典算法----割圆术根据刘徽的记载，在刘徽之前，人们求证圆面积公式时，是用圆内接正十二边形的面积来代替圆面积.应用出入相补原理，将圆内接正十二边形拼补成一个长方形，借用长方形的面积公式来论证《九章算术》的圆面积公式.刘徽指出，这个长方形是以圆内接正六边形周长的一半作为长，以圆半径作为高的长方形，它的面积是圆内接正十二边形的面积.这种论证“合径率一而弧周率三也”，即后来常说的“周三径一”，当然不严密.他认为，圆内接正多边形的面积与圆面积都有一个差，用有限次数的分割、拼补，是无法证明《九章算术》的圆面积公式的.因此刘徽大胆地将极限思想和无穷小分割引入了数学证明.他从圆内接正六边形开始割圆，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”也就是说将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差就越来越小，而当边数不能再加的时候，圆内接正多边形的面积的极限就是圆面积.刘徽考察了内接多边形的面积，也就是它的“幂”，同时提出了“差幂”的概念.“差幂” 是后一次与前一次割圆的差值.刘徽指出，在用圆内接正多边形逼近圆面积的过程中，圆半径在正多边形与圆之间有一段余径.以余径乘正多边形的边长，即2倍的“差幂”，加到这个正多边形上，其面积则大于圆面积.这是圆面积的一个上界序列.刘徽认为，当圆内接正多边形与圆是合体的极限状态时，“则表无余径.表无余径，则幂不外出矣.”就是说，余径消失了，余径的长方形也就不存在了.因而，圆面积的这个上界序列的极限也是圆面积.于是内外两侧序列都趋向于同一数值，即，圆面积.利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方法，其原理是当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周.早在公元前5世纪，古希腊学者安蒂丰为了研究化圆为方问题就设计一种方法：先作一个圆内接正四边形，以此为基础作一个圆内接正八边形，再逐次加倍其边数，得到正16边形、正32边形等等，直至正多边形的边长小到恰与它们各自所在的圆周部分重合，他认为就可以完成化圆为方问题.到公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德在《论球和圆柱》一书中利用穷竭法建立起这样的命题：只要边数足够多，圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小.阿基米德又在《圆的度量》一书中利用正多边形割圆的方法得到圆周率的值小于三又七分之一而大于三又七十分之十，还说圆面积与外切正方形面积之比为11：14，即取圆周率等于22/7.公元263年，中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说，他从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，直至圆内接正96边形，算得圆周率为3.14或157/50，后人称之为徽率.书中还记载了圆周率更精确的值3927/1250（等于3.1416）.刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.其思想与古希腊穷竭法不谋而合.割圆术在圆周率计算史上曾长期使用.1610年德国数学家柯伦用2^62边形将圆周率计算到小数点后35位.1630年格林贝尔格利用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最好结果.分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算圆周率最早的科学方法一直为人们所称道.。

刘徽割圆术的赏识与改进建议

刘徽割圆术的赏识与改进建议一、数学文化理念割圆术是由魏晋时期的数学家刘徽首创，所谓“割圆术”是用圆内接正多边形的面积（周长）去无限逼近圆的面积（周长），并以此求取圆周率的方法。

凭借其高超的对无限问题的理解和致用的处理方式,求得的圆周率的近似值徽率（3.14）.刘徽在世界上最先把无穷小分割和极限思想用于数学证明。

祖冲之（429-500）在刘徽“割圆术”的基础上，首次将“圆周率”精确到小数第七位，领先世界一千年。

这是中国古代数学家的骄傲，也反映了中国古代数学家的聪明才智和钻研精神。

（1）哲学是一切自然科学和社会科学的概括和总结，数学中充满了辩证法，数学学习需要用马克思主义哲学来指导。

要想深入探索刘徽割圆术，唯有2件武器，那就是马克思辩证思想和数学中的“清晰的直觉”和“严格的演绎”。

刘徽割圆术蕴含着丰富的马克思辩证统一思想，数列极限的学习中不光要学习知识，更重要的是提升辨证思维能力。

直与曲的统一：直与曲是两个完全不同的概念，二者的差别是明显的。

刘徽开创“割圆术”来计算圆周率，以圆内接正多边形的周长去逼近圆的周长，这种方法包含的由直线向曲线转化（以直代曲）和用近似值向精确值逼近的思想，在当时条件下是难能可贵的。

常量与变量的统一：常量与变量是数学中的两个基本概念，这两种量的意义有着严格的区分，但它们又是相互依存，相互渗透，依据一定条件相互转化。

圆的周长（面积）是一个常量，这个常量的计算并非轻而易举，它是通过逐次增加边数的内接正多边形的周长（变量）来实现的，即常量是变量的逼近的极限过程。

有限与无限的统一：有限与无限存在着本质的区别．然而两者之间并非存在不可逾越的鸿沟，而是在一定条件下可以相互转化，正是这种转化使得无限在数学世界中显示威力。

刘徽割圆正是体现有限与无限对立统一思想的例子，在无限的过程中得到了圆的面积或周长。

量变与质变的统一：刘徽割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”，内接正多边形的边数越来越多时，它与圆周偏差就会越来越小。

刘徽割圆术

（四）建议将3月14日定为祖冲之纪念日建议将月日定为祖冲之纪念日
美国麻省理工学院首先倡议将3日日寓意3﹒ ）美国麻省理工学院首先倡议将日14日（寓意 ﹒14）定为国际圆周率日(National p Day)。1736年，瑞士数学家歐拉 (Euler，圆周率日。年， 1707 – 1783) 提倡以希腊字母 p (音：pi) 来表示圓周率，p是圓周来表示圓周率，是圓周音的字頭。直到現在，的希腊文 perijereia (英文为 periphery) 的字頭。直到現在，p 已英文为成为圓周率的专用符號。在这一天，学生们会彼此祝福“ 成为圓周率的专用符號。在这一天，学生们会彼此祝福“圆周率日快乐！快乐！”用大家熟悉的生日歌旋律唱起 happy pi day to you！学！院众多对圆周率有兴趣的人聚在一起讨论圆周率问题，吃馅饼(英院众多对圆周率有兴趣的人聚在一起讨论圆周率问题，吃馅饼英同音)以及其他各种以圆周率为主题的食物文pie，与圆周率英文同音以及其他各种以圆周率为主题的食物，，与圆周率英文pi同音以及其他各种以圆周率为主题的食物，举行圆周率背诵比赛。举行圆周率背诵比赛。全球各地的一些著名大学的数学系，也在3月日举行日举行Party庆全球各地的一些著名大学的数学系，也在月14日举行庆在圓周率日當天，祝。在圓周率日當天，加拿大滑铁庐大学还会以供應免費的餡餅来庆祝。而3月14日恰好又是著名的物理学家爱因斯坦 (Albert 庆祝。月日恰好又是著名的物理学家爱因斯坦 Einstein，1879 – 1955) 的生日。所以他们还会「择时辰」以庆祝的生日。所以他们还会「择时辰」，圆周率日：选择在下午1時分开始庆祝分开始庆祝，圆周率日：选择在下午時59分开始庆祝，它代表 3.14159 (准确至准确至六位小数) 的圓周率近似值。六位小数的圓周率近似值。

刘徽和割圆术

刘徽和割圆术中国向来以文明古国自称，谈到中国古代文明，我们一定会说起以“经世致用”为信条，以筹算为主的中国古代数学史。

在这段曲折发展的历史中，我们的古代数学跟其他古文明一样，在一定程度上获得了发展，特别是在算法的深度和广度上有着卓越的发展。

但我们不得不提及，在中国古代长达2000多年的封建制度统治下，数学研究一直停留在计算层面，理论的严谨和系统却不尽如人意，这同时也导致了一些错误的结果的出现。

在这样的数学背景下，刘徽可谓是中国数学史上的一朵奇葩，他有着“为数学而数学”的价值观，曾令中国古代数学的严谨与系统达到前所未有的高度。

下面我将主要介绍刘徽及其最耐人寻味的一段成就——割圆术。

刘徽，生于公元250年左右，是魏晋时人。

他的一生为数学刻苦探求，虽然地位低下，但人格高尚。

他所撰的《九章算术注》是中国最宝贵的数学遗产。

刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观，是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。

他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人。

由于篇幅有限，对刘徽卓越的成就不能一一介绍，只能介绍其最耐人寻味的割圆术。

割圆术可谓是中国古代数学的奇迹，在后面与阿基米德求圆面积方法的比较中，您将发现割圆术的精妙与美丽。

在《九章算术》中曾提到“圆田术”---半周半径相乘得积步。

这就是著名的圆面积公式:(1) 其中S 表示圆面积，C 表示周长，R 表示半径。

我们今天可以得出这个公式是正确的，但在《九章算术》中只是提到了这一结论，却未给出严谨的证明。

在刘徽之前人们以圆内接正六边形的周长代替圆周长C ,以圆内接正十二边形的面积代替圆面积S ,用出入相补原理将正十二边形拼补成一个以正六边形的周长的一半作为长,以圆半径作为宽的长方形来推证上述公式。

在今天，我们可以看出用圆内12S CR接正六边形和圆内接正十二边形来近似代替圆是相当粗糙的，但在当时很少有人能指出这一算法的不严谨性，而刘徽却说此方法“合径率一而外周率三也”，一针见血的指出了这一方法的不严格性。

《刘徽割圆术》课件

形状，从而方便计算和推导。
割圆术与极限思想的关系
极限思想是数学中一个重要的概念，它描述了当某量变化时，其极限的存在性。
割圆术体现了极限思想的应用，即通过不断增加多边形的边数，使得多边形的周长无限接近于圆的周长。
这种极限思想的应用使得刘徽能够利用有限的手段来逼近无限的数值，从而得到圆周率的近似值。
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计算机图形学
在现代计算机图形学中，刘徽割圆术的思想被广泛应用于生成平滑的曲线和曲面，例如在制作动画、游戏、电影等领域。
数值分析
刘徽割圆术中的数值计算方法也被广泛应用于现代科学中的数值分析领域，例如在计算物理、工程等领域中，可以利用刘徽割圆术的方法进行数值模拟和计算。
04
刘徽割圆术的局限性与挑战
在数学史上的地位
推动了中国古代数学的发展
刘徽割圆术是中国古代数学发展史上的重要里程碑，它的出现标志着中国古代数学从经验型向理论型的转变。
对世界数学史的影响
刘徽割圆术的提出和应用，不仅对中国古代数学产生了深远影响，也对世界数学史的发展产生了重要影响，为后来的数学家提供了宝贵的启示和借鉴。
在现代科学中的应用
古代科学技术的局限性
缺乏精确的测量工具
古代科学技术的限制使得刘徽在进行割圆术时无法获得精确的数值和比例。
缺乏数学理论支持
受限于经验和实践
由于历史背景和知识体系的限制，刘徽只能通过直观和实践来验证割圆术，这使得其结果的可靠性和准确性存在一定问题。
当时的数学理论尚未发展到能够完全支撑刘徽割圆术的证明，这使得该方法在理论上的可靠性受到质疑。
刘徽割圆术在现代科学中的应用前景
数学建模
刘徽割圆术的基本思想和技巧可以应用于数学建模中，为解决实际问题提供新的思路和方法。例如，在物理、工程、经济等领域中，可以利用刘徽割圆术的思想来建立数学模型，解决复杂的问题。

刘徽割圆术和定积分方法

刘徽割圆术和定积分方法引言刘徽（224年-306年），字玄谟，东晋时期著名的数学家、天文学家、历书编纂家。

他在数学领域作出了许多重要的贡献，其中包括割圆术和定积分方法。

本文将详细介绍刘徽的割圆术和定积分方法，并探讨它们在数学发展史中的重要意义。

刘徽割圆术割圆术是刘徽最为著名的数学成果之一，它解决了许多关于圆的问题，尤其是平面几何中与圆有关的构造问题。

原理与方法刘徽的割圆术主要基于尺规作图，具体方法如下：1.在平面上画一横线，作为基准线。

2.在基准线上选取两个不同的点A和B，并连接。

3.以A为圆心、AB为半径，画一个圆，并记为圆O1。

4.在O1上取两个相等的弧长，并用尺子量取得这个弧长。

5.以B为圆心、AB为半径，再画一个圆，并记为圆O2。

6.使O2上的弧长等于步骤4中得到的弧长。

7.连接两个圆的交点和A B两个端点，得到一个正方形。

8.通过割几何构造，将正方形的边长平分，即可得到所需的圆。

应用与意义刘徽的割圆术广泛应用于解决与圆相关的问题，例如构建正多边形、棋盘格问题等。

它的应用范围涉及几何、代数和数论等多个数学领域，并对后来的数学发展产生了深远影响。

刘徽定积分方法刘徽提出了一种计算曲线下面积的方法，即定积分方法。

它的出现填补了求曲线下面积的空白，为微积分的发展奠定了基础。

原理与方法刘徽的定积分方法主要基于无穷累加的思想，具体方法如下：1.将曲线下面的区域近似分成若干个矩形，使每个矩形的面积接近曲线下面积。

2.缩小矩形的宽度，增加矩形的数量，使近似更为精确。

3.取极限，使矩形的宽度无限趋近于0，得到准确的曲线下面积。

应用与意义刘徽的定积分方法为计算曲线下面积提供了一种有效的工具，不仅在几何学中有广泛应用，在物理学、经济学等领域的科学研究中也起到了重要作用。

它是微积分学的基础概念之一，对后来的数学发展产生了深远影响。

结论刘徽的割圆术和定积分方法是他在数学领域的重要贡献，它们不仅解决了许多与圆和曲线相关的问题，还为后来的数学发展奠定了基础。

《刘徽割圆术》课件

刘徽割圆术在中国数学史上具有重要的地位，它不仅为后来的数学家提供了研究圆周率的方法，而且对整个数学的发展产生了深远的影响。
刘徽割圆术的提出标志着中国古代数学的发展达到了一个新的高度，为后来的数学家提供了研究数学的新思路和新方法。
01
刘徽割圆术的数学原理
圆周率的定义
圆周率：圆的周长与其直径的比值，记作π。圆周率在数学和科学中具有广泛的应用，是研究圆和其他几何图形的基础。
传承价值
刘徽割圆术的传承价值不仅在于其数学成果，更在于其背后所蕴含的数学思想和智慧，对于中国古代数学的发展和现代数学的研究都具有重要的意义。
刘徽割圆术的发展现状
学术研究
现代学者对刘徽割圆术的研究主要集中在对其数学思想和方法的探讨，以及其在现代数学中的应
用等方面。
普及教育
刘徽割圆术作为中国古代数学的瑰宝，已经被纳入到中小学数学教材中，成为学生了解中国古代数学的重要内容。
国际影响
随着中国数学文化的传播，刘徽割圆术也逐渐受到国际数学界的关注和认可，成为世界数学史上的重要篇章。
刘徽割圆术的未来展望
学术研究深化
随着数加深入，有望在数学史和数学思想方面取得更多的
突破。
文化传承与创新
刘徽割圆术作为中国传统文化的重要组成部分，未来需要在传承的基础上进行创新，以适应现代
03
刘徽割圆术的提出，使得中国数学在当时的国际数学界获得了
高度评价和认可。
对世界数学的影响
丰富了世界数学文化宝库
刘徽割圆术作为一种独特的数学思想和算法，为世界数学的发展做出了重要贡献，丰富了世界数学文化宝库。
促进了东西方数学的交流
刘徽割圆术的传播，使得东西方数学在圆周率研究方面得以相互借鉴和交流，推动了数学的发展。

刘徽割圆术介绍_刘徽的著作是什么

刘徽割圆术介绍_刘徽的著作是什么刘徽是魏晋时期最有名的数学家，刘徽在数学上有着极高的成就，割圆术的发明就是他其中的一个成就。

那刘徽还有哪些著作呢?下面是店铺为你搜集刘徽割圆术介绍的相关内容，希望对你有帮助!刘徽割圆术介绍何为割圆术呢?刘徽是这样形容的：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。

”通俗的说，不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法。

牛顿发现了万有引力定律，而刘徽发现割圆术的过程与牛顿有着异曲同工之妙。

有一天，刘徽在偶然中看到了石匠在切割石头，看着看着竟觉得十分有趣，就站在一边，细细地观察起来。

刘徽看到，一块方形的石头，先由石匠切去了四个角，四角的石头瞬间就有了八个角，然后再把这八个角切去，以此类推，石匠一直在把这些角一个一个地切去，直到无角可切为止。

到最后，刘徽就发现，本来呈现方形的石块，早在不知不觉中变成了一个圆滑的柱子。

石匠打磨石块的事情，每天都在发生，但就是这样的一件小事，让刘徽瞬间茅塞顿开，看到了别人没有看到的事情。

刘徽就像石匠所做的那样，把圆不断分割，终于发明了“割圆术”。

刘徽的著作刘徽生于250年左右，他一生醉心于数学，在数学的海洋中孜孜不觉，提出了许多重要的理论。

他总结了自己的研究，写下了《九章算术注》、《海岛算经》以及《九章重差图》。

可惜，年代久远，刘徽的后两部作品在宋代的时候就已经失去了踪迹，再也无处可寻。

但是，刘徽子啊数学界至关重要的地位却是无可动摇的。

《九章算术》大约著作于东汉之初，这部书提出了246个问题的解决方法。

但是这些解决的方法相对来说都显得比较原始，所以刘徽就专门对此做出了一定的补充说明。

在这些说明中，可以十分清晰的看出刘徽在数学上的专研程度之深。

他首先提出了十进小数，以及将无理数的立方根与十进小数联系在了一起。

此外，他还对正负数做出了解释，在几何方面也有着巨大的贡献。

而《海岛算经》是中国最早的一部测量学著作，全书一共有九个利用测量来计算高深广远的问题。

刘徽与割圆术

②在筹式演算理论方面先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。 ③在勾股理论方面逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了中国特色的相似理论。 ④在面积与体积理论方面用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理，用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。这些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。
成就
刘徽的成就大致为两方面：
一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在《九章算是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在《
术注》术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系： ①在数系理论方面用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的运算法则；在开方术的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。
刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。其思想与古希腊穷竭法不谋而合。割圆术在圆周率计算史上曾长期使用。1610年德国数学家柯伦用圆术在圆周率计算史上曾长期使用。1610年德国数学家柯伦用 2^62边形将圆周率计算到小数点后35位。1630年格林贝尔格利 2^62边形将圆周率计算到小数点后35位。1630年格林贝尔格利用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最好结果。分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算圆周率最早的科学方法一直为人们所称道。

刘徽和割圆术

刘徽和割圆术中国向来以文明古国自称，谈到中国古代文明，我们一定会说起以“经世致用”为信条，以筹算为主的中国古代数学史。

在这段曲折发展的历史中，我们的古代数学跟其他古文明一样，在一定程度上获得了发展，特别是在算法的深度和广度上有着卓越的发展。

下面我将主要介绍刘徽及其最耐人寻味的一段成就——割圆术。

刘徽，生于公元250年左右，是魏晋时人。

他的一生为数学刻苦探求，虽然地位低下，但人格高尚。

他所撰的《九章算术注》是中国最宝贵的数学遗产。

刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观，是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。

他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人。

由于篇幅有限，对刘徽卓越的成就不能一一介绍，只能介绍其最耐人寻味的割圆术。

割圆术可谓是中国古代数学的奇迹，在后面与阿基米德求圆面积方法的比较中，您将发现割圆术的精妙与美丽。

在《九章算术》中曾提到“圆田术”---半周半径相乘得积步。

这就是著名的圆面积公式:(1) 其中S 表示圆面积，C 表示周长，R 表示半径。

我们今天可以得出这个公式是正确的，但在《九章算术》中只是提到了这一结论，却未给出严谨的证明。

在今天，我们可以看出用圆内接正六边形和圆内接正十二边形来近似代替圆是相当粗糙的，但在当时很少有人能指出这一算法的不严谨性，而刘徽却说此方法“合径率一而外周率三也”，一针见血的指出了这一方法的不严格性。

关于刘徽的割圆术

关于刘徽的割圆术关键词九章算术, 刘徽, 割圆术, 圆周率1 刘徽割圆术的内容刘徽的割圆术, 是刘徽在为《九章算术》第一卷方田中的圆田术所作的注中提出来的[ 1] , 包括如下内容:1) 刘徽首先解释了圆田术求圆面积的方法, 然后指出“周三径一”是不对的, 他说: 以半周乘半径而为圆幂, “此以周径谓至然之数, 非周三径一之率也. 周三者, 从其六觚之环耳, 以推圆规多少之较, 乃弓之与弦也. ”2) 刘徽提出用割圆内接正六边形为正十二边形等步骤, 使圆内接正多边形的面积逐次逼近圆的面积. 进而又指出: “割之弥细, 所失弥少. 割之又割, 以至于不可割, 则与圆周合体而无失矣. 觚面之外, 又有余径. 以面乘余径则幂出弧表. 若夫觚之细者, 与圆合体, 则表无余径. 表无余径, 则幂不外出矣. ”3) 刘徽详述了割圆的算法, 例如, 关于割圆内接正六边形为正十二边形, 他说: “令半径一尺为弦, 半面五寸为勾, 为之求股. 以勾幂二十五寸减弦幂, 余七十五寸, 开方除之, 下至秒忽, 又一退法求其微数, 微数无名者以为分子, 以下为分母, 约为五分忽之二, 故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二. 以减半径, 余一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三, 谓之小股, 为之求弦, 其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽, 余分弃之, 开方除之, 即十二觚之一面也. ”4) 刘徽在计算了圆内接正一百九十二边形的面积后, 对圆面积进行了大胆推断, 从而获得了当时世界上最精确的圆周率的值. 他说: “差幂六百二十五分寸之一百五, 以十二觚之幂为率消息, 当取此分寸之三十六以增于一百九十二觚之幂( 即三百一十四寸六百二十五分寸之六十四) , 以为圆幂三百一十四寸二十五分寸之四. ”5) 刘徽验证了自己获得的结果的正确性, 为此, 他继续用割圆术, 直到求出圆内接正三千零七十二边形的面积. 他说: “当求一千五百三十六觚之一面, 得三千七十二觚之幂, 而裁其微分, 数亦宜然, 重其验耳. ”2 刘徽割圆术的历史地位2. 1古希腊已有割圆思想古希腊巧辩学派的学者Ant iphon ( 约公元前五世纪) 提出用边数不断增加的圆内接正多边形来接近圆, 并提出把圆看作是无穷多边的正多边形; 另一个古希腊巧辩学派的学者Br yso n( 约公元前五世纪) 类似地提出用边数不断增加的圆外切正多边形来接近圆; 而古希腊的一位大数学家Eudox us( 约公元前四世纪) 则依据这一思想创立了穷竭法这种著名的获取定理和证明定理的方法.虽然刘徽不是人类历史上第一个提出割圆思想的人, 但是, 他没有简单地重复任何人, 而是独立地、完整地、创造性地提出了割圆术, 和古希腊的数学家们一样, 刘徽的思想同样是辉煌的.2. 2刘徽用割圆术获得了当时世界上最精确的圆周率值古希腊的Ant iphon, Br yso n, Eudo xus 虽然先于刘徽提出割圆思想, 但他们都没有用它去求圆周率的值. 然而, Archimedes[ 3] ( 公元前287～公元前212年) 继承了割圆思想, 并根据圆周长大于圆内接正多边形周长而小于圆外切正多边形周长, 得到圆周率P满足223/ 71 < P< 22/ 7 的结果. 古希腊的Ptolemy[ 2] ( 公元?～168年) 并没有专门研究圆周率的值, 他依据他的定理( Ptolemy 定理) 提出一种特殊的割圆技巧, 求出了各圆心角所对的弦长的六十进制数值, 其中1/ 2度圆心角所对弦长的数值为31′2 5″,相当于求得P的值为P≈377/ 120. 这是刘徽以前有据可考的圆周率的最好结果.我国古代很早就知道“周三径一”误差很大, 需要改进, 不少人在这方面作过工作[ 4] :汉代的刘歆( 约公元前50～公元23年) 所用圆周率的值为P≈3. 1547; 汉代的张衡( 公元78～139年) 所用圆周率的值为P≈3. 1623; 三国的王蕃( 公元219～257年) 所用圆周率的值为P≈3. 1556. 这些P的近似值都不如Archimedes 和Ptolemy 的结果好, 并且都未提供出正确的算法, 缺乏理论根据.而刘徽根据他所提出的割圆术, 运用勾股定理, 设计出一个完整的求圆周率P近似值的算法.设n= 6 ( 术曰: 割六觚以为十二觚) , 又设r= 1, 则有s= 1( 术曰: 置圆径二尺, 半之为一尺, 即六觚之面也) , 算法步骤如下:¹设弦为r , 勾为s/ 2, 求股, 赋予a( 此为小股, 术曰: 令半径为弦, 半面为勾, 为之求股) ;º将r - a 赋予b( 此为余径, 术曰: 觚面之外, 又有余径, 又曰: 以减半径, 谓之小股) ; » 设勾仍为s/ 2, 股为b, 求弦, 赋予s( 实为圆内接正2n 边形的边长, 术曰: 为之求小弦, 即十二( 2n) 觚之一面也) ;¼求S n= nõs 圆周率的近似值( 实为圆内接正2n 边形的半周长, 亦为圆内接正4n 边形的面积, 术曰: 得二十四( 4n) 觚之幂) ;½将2n 赋予向¹ .上述算法为计算出更精确的圆周率值奠定了基础. 刘徽所获得的“圆幂三百一十四寸二十五分寸之四”,即P≈3. 1416, 这是当时世界上最精确的圆周率的值.顺便指出, 祖冲之[ 5] ( 公元429～500年) 研究过刘徽的割圆术, 再加上自己的创造, 他获得了当时世界上最精确的圆周率的值: 3. 1415926 < P< 3. 1415927. 此外, 他还用最佳近似分数给出所谓疏率和密率: P≈22/ 7, 这一结果与Archimedes[ 3] 的上限结果相同; P ≈355/ 113, 这一结果在西方迟至1573年才由Otho 重新获得.2. 3在中国刘徽首次比较准确地描述了极限概念在中国战国时代的著作《庄子》中记录了名家惠施的话: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭. ”这段话已经有了极限思想的雏形[ 5] . 但名家所表现出的极限思想是不自觉的、模糊的. 名家的目的仅仅是为了在辩论中强调名词概念的相对性, 因而不可能形成数学上的清晰的极限概念.但是, 刘徽在割圆术中比较准确地描述了极限概念. 他说: “割之弥细, 所失弥少. 割之又割, 以至于不可割, 则与圆周合体而无失矣. ”这明确地肯定了lim S n= P. 这里S n是圆内接正2n 边形的半周长, 亦为圆内接正4n 边形的面积.他又说: “觚面之外, 又有余径. 以面乘余径则幂出弧表. ”这表明刘徽实际上建立了不等式S 2n< P< S2n+ e n, 其中e n= S2n- S n, 此即刘徽所说的“差幂”.刘徽的这一不等式明显地优于Archimedes 的不等式, 这是因为: 第一, Archimedes 既要用到圆内接正多边形, 也要用到圆外切正多边形, 而刘徽用“差幂”,只需要用圆内接正多边形, 可以减少大约一半运算次数; 第二, 由于S 2n等于圆内接正4n 边形的半周长, 并且容易证明, S2n+ e n小于圆外切正4n 边形的半周长, 因而, 刘徽的这一不等式比Archimedes 的不等式更精确. 刘徽显然和Archimedes 一样, 已经意识到这里存在类似夹逼定理这样的极限性质, 由此既可以推断极限的存在, 还可以确定极限值各数位上的准确的有效数字. 刘徽正是这样做的, 他用圆内接正一千五百三十六边形和圆内接正三千零七十二边形的面积, 依据他的不等式, 验证了他的结果直到第四位小数都是正确的.刘徽接着说: “觚之细者, 与圆合体, 则表无余径, 表无余径, 则幂不外出矣. ”他正是根据这一点, 解释了圆田术求圆面积的方法( 半周半径相乘得积步) . 刘徽的解释方法, 与Eudox us 证明圆面积之比等于半径平方比的穷竭法如出一辙.3 刘徽割圆术的局限性刘徽的极限概念是不彻底的刘徽的割圆术虽然比较准确地描述了极限概念, 而且, 很可能进行了真正的极限运算, 但刘徽的数学素养还不足以完整地描述这个无限的趋向过程. 他采用了“割之又割, 以至于不可割, 则与圆周合体而无失矣”,“觚之细者, 与圆合体, 则表无余径”等绝对的、不准确的言词. 实际上, 刘徽的思想陷入了矛盾之中, 一方面, 他像惠施那样意识到割圆的过程是无限的, 是万世不竭的, 另一方面, 他又竭力回避无限, 不愿意正视无限, 相信总有“不可割”,“表无余径”,“幂不外出”,“与圆周合体而无失”之时. 这就足以说明刘徽的极限概念是不彻底的. 事实上, 我国古代还有不少学者虽具有极限思想的雏形, 但在描述中都毫无例外地不得不采用绝对的、不准确的言词. 极限概念的不彻底, 限制了刘徽对极限概念的挖掘和应用, 也限制了刘徽在数学上的创造性. 纵观刘徽在数学上的工作可以看出, 虽然他在圆周率的计算等方面取得了令世人瞩目的成果, 但是, 刘徽在整个数学史上的地位, 则不可能超过Ar chimedes 等人.参考文献1 刘徽注. 九章算术. 上海: 上海古籍出版社, 19902 Morris Kl ine 著; 张理京, 张锦炎译. 古今数学思想. 上海: 上海科学技术出版社, 19793 How ard Eves . An In tr od uct ion to the His tory of Mathemat ics. New York: Saunders Coll ege Pub lish ing, 19834 李俨. 中算史论丛. 北京: 中国科学院出版, 19545 钱宝琮. 中国数学史. 北京: 科学出版社, 19816 邓建中, 葛仁杰, 程正兴. 计算方法. 西安: 西安交通大学出版社, 19857 王乃信，王树林，西北农业大学学报，1997年8月。

刘徽与割圆术

摘要：刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家，他在公元263年撰写的著作《九章算术注》以及后来的《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产，从而奠定了他在中国数学史上的不朽地位。

他通过割圆术中极限思想，进而引入数列极限的描述定义。

刘徽借“割圆术”方法，凭借其高超的对无限问题的理解和致用的处理方式，以“不可分量可积”前提、“夹逼准则”等知识证明了圆的面积公式，运算中包含着微积分的思想。

关键词：刘徽割圆术极限微积分徽率英文题目Abstract:Liu Hui is the third Century the world's most eminent mathematician，in the year 263writings" arithmetic in nine sections。

" and later" island art"，is China's most valuable mathematical legacy，and laid him in Chinese history of mathematics in the immortal status。

He by cutting a circle limit thought in the limit of a sequence，and then introduce the definition。

Liu Hui" by cutting a circle" method，with its superb to infinite problem understanding and using manner，with " notcomponent integrable" premise，" squeeze rule" knowledge that the area of a circle formula，computing contains calculus ideas。

割圆术

简述刘徽的割圆术1、刘徽的“割圆术”我国古代数学经典《九章算术》第一章“方田”中有我们现在所熟悉圆面积公式“半周半径相乘得积步”．魏晋时期数学家刘徽为证明这个公式，于公元263 年撰写《九章算术注》，在这一公式后面写了一篇长约1800 余字的注记——“割圆术”．“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣！觚面之外，犹有余径，以面乘余径，则幂出弧表．若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径．表无余径，则幂不外出矣．以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍，故以半周乘半径而为圆幂．”刘徽在证明这个圆面积公式的时候有两个重要思想,一个就是我们现在所讲的极限思想；第二个是无穷小分割思想.如图：设圆面积为0s ，半径为r ，圆内接正n 边形边长为n l ，周长为n L ，面积为n S .将边数加倍后，得到圆内接正2n 边形，其边长、周长、面积分别为2n l ，2n L ，2n S .刘徽从圆内接正六边形开始割圆，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”也就是说将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差就越来越小，而当边数不能再加的时候，圆内接正多边形的面积的极限就是圆面积.刘徽考察了内接多边形的面积，也就是它的“幂”，同时提出了“差幂”的概念.“差幂” 是后一次与前一次割圆的差值.同时，它与两个小三角形的面积和相等.刘徽指出，在用圆内接正多边形逼近圆面积的过程中，圆半径在正多边形与圆之间有一段余径.以余径乘正多边形的边长，即2倍的“差幂”，加到这个正多边形上，其面积则大于圆面积.这是圆面积的一个上界序列.刘徽认为，当圆内接正多边形与圆是合体的极限状态时，“则表无余径.表无余径，则幂不外出矣.”就是说，余径消失了，余径的长方形也就不存在了.因而，圆面积的这个上界序列的极限也是圆面积.于是内外两侧序列都趋向于同一数值，即，圆面积.即：2n l AD ===知道了内接正n 边形的周长n L ，又可求得正2n 边形的面积：211222n n n l r S n AB OD n L r ⎛⎫=⋅=⋅=⋅ ⎪⎝⎭得2022()n n n n S S S S S <<+-刘徽再把与圆周合体的这个正多边形，就是不可再割的这个正多边形，进行无穷小分割，再分割成无穷多个以圆心为顶点，以多边形每边为底的无穷多个小等腰三角形，这个底乘半径为小三角形面积的两倍，把所有这些底乘半径加起来，应该是圆面积的两倍.那么就等于圆周长乘半径等于两个圆面积.所以一个圆面积等于半周乘半径，所以刘徽说故半周乘半径而为圆幂.那么他的原话就是“以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍.故以半周乘半径而为圆幂”.最后完全证明了圆面积公式.随着圆面积公式的证明，刘徽也创造出了求圆周率精确近似值的科学程序.刘徽在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割为二，做出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长就要比正六边形的周长更接近圆周了.如果把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周.这就表明，越是把圆周分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周.如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周“合体”而完全一致了.根据圆周率=圆周长/圆直径，可以求出圆周率.2、割圆术的意义及刘徽对后世数学发展的作用刘徽的“割圆术”是为证明圆面积公式而设计出来的一种方法，割圆术是《九章算术》中作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽是中算史上第一次建立可靠的理论来推算圆周率的科学家.刘徽在《九章算术注》的自序中表明，把探究数学的根源，作为自己从事数学研究的最高任务.他注《九章算术》的宗旨就是“析理以辞，解体用图”.“析理”就是当时学者们互相辩难的代名词.刘徽通过析数学之理，建立了中国传统数学的理论体系.众所周知，古希腊数学取得了非常高的成就，建立了严密的演绎体系.然而，刘徽的 “割圆术”却在人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明，成为人类文明史中不朽的篇章.。

刘徽割圆术的数学原理

刘徽割圆术，又称为“徽割圆术”或“刘徽圆周率计算法”，是中国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出的一种计算圆周率的方法。

这个方法的数学原理涉及到对圆的割线和三角函数的概念。

刘徽的割圆术基于圆周率与圆的直径的关系，即π（圆周率）等于圆的周长与直径的比值。

他提出了一种通过割圆得到近似值的方法，主要涉及到正多边形的内接和外接。

具体步骤如下：
1. 内接正六边形的构造：在圆内作一个正六边形，使其顶点分别位于圆的周上，这个六边形的直径等于圆的直径。

2. 内接正十二边形的构造：在内接正六边形的每个边上取一点，连接这些点，得到一个内接正十二边形。

3. 内接正二十四边形的构造：在内接正十二边形的每个边上再取一点，连接这些点，得到一个内接正二十四边形。

4. 迭代过程：重复上述步骤，每次构造的多边形边数翻倍，从而逐渐逼近圆。

5. 圆周率的逼近：当多边形的边数越来越多时，多边形的周长将逐渐接近圆的周长。

刘徽认为，当多边形的边数非常大时，多边形的周长与圆的周长的比值即为π。

这个方法虽然在原理上是正确的，但是在实际计算中，随着多边形边数的增加，计算的复杂性也增加，所以其实用性相对有限。

现代数学中，我们更常用其他方法如莱布尼茨级数、无穷级数等来计算圆周率π。

刘徽求圆周率的方法

刘徽求圆周率的方法
刘徽是三国时期的数学家，他提出的割圆术是一种巧妙的求圆周率的方法。

这种算法通过在圆内接正多边形，然后逐步分割，使得多边形的边数越来越多，最后收敛于圆，从而达到计算圆周率的目的。

首先，刘徽从圆内接正6边形开始，他将正6边形的边数加倍，得到了圆内接正12边形。

接下来，他又将正12边形的边数加倍，得到了圆内接正24边形。

以此类推，他继续将圆内接正多边形的边数加倍，直至圆内接正192边形。

刘徽发现，圆内接正192边形的边长已经非常接近于圆的半径，因此他断定，如果再继续分割，就会与圆周合体而无所失矣。

这就是说，圆内接正192边形的周长已经非常接近圆周，可以近似地认为是圆周的长度。

通过这种方法，刘徽计算出了圆周率约为3.14159，这是中国古代数学家在圆周率计算方面取得的重要成果。

刘徽的割圆术包含了求极限的思想，为我国古代的圆周率计算确立了理论基础，对后世的数学发展产生了深远的影响。