17-数列小结与复习
《数列》小结与复习
18. 函数f ( x) a1x a2 x2 a3 x3 an xn (n N ) 2 且 a1 , a2 ,, an 构成一个数列，又 f (1) n . （1）求数列 {an } 的通项公式； 1 （2）比较f ( ) 与1的大小. 3
解(1)f(1)=a1+a2+a3+…+an=n2 ∴ an=n2-(n-1)2=2n-1
1 1 1 1 解 : (1)an 1 1 (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2 n 1
1 1 1 1 1 1 1 1 S n n 1 2 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1 1 1 2n( n 1) n 1 2 2n 1 2n 1
an 等差 b a 等比
n
an=amqn-m
关系
正项等比a n
loga a n 等差
[等差（比）数列的性质]
性质 性质1 性质2 性质3
等
差
数
列
等
比
数
列
若n+m=p+q 则am+an=ap+aq
a 等差
kn
kn成为等差数列
若n+m=p+q 则aman=apaq
a 等比
解法一：由S 3 S11，得a4 a5 a11 0， a4 a11 0，由a1 13，解得d 2 S n n 2 14n
解法二： ∵{an }是等差数列， 设S n An 2 Bn A B 13 由a1 S1 13，S 3 S11，代入得 9 A 3 B 121A 11B 解得A 1，B 14， S n n 2 14n
高二数学数列小结
高二数学数列小结数列小结一、数列复习提纲1.数列的通项求数列通项公式的常用方法：（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与项数在变化过程中的联系，初步归纳公式。
（2）公式法：等差数列与等比数列。
（3）利用与的关系求：（4）构造新数列法；（5）逐项作差求和法；（6）逐项作商求积法2.等差数列中：（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性；（2）；（3）也成等差数列；(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.(5),……仍成等差数列.（6），，(7)若，则；若，则.(8)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；（9）等差中项：若成等差数列，则叫做的等差中项。
（10）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法3.等比数列中：（1）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。
（2）；（3）、成等比数列；成等比数列成等比数列.（4）两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列. （5），……成等比数列.（6）.（7）；.（8）并非任何两数总有等比中项.仅当实数同号时，实数存在等比中项.对同号两实数的等比中项不仅存在，而且有一对.也就是说，两实数要么没有等比中项(非同号时)，如果有，必有一对(同号时)。
（9）判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法4.等差数列与等比数列的联系：各项都不为零的常数列既是等差数列又是等比数列5.数列求和的常用方法：（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式③，，，.（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）. （4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解(5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①②，③二、自我检测一、选择题（5分10=50分）1．一个等差数列的第一项是32，若这个数列从15项开始小于1，那么这个数列的公差d的取值范围是（）A．B．C．D．2．已知等差数列{bn},d=-3，b7=10，则b1是()A．-39B．28C．39D．323．在等差数列{an}中，，S5=40，则a10为（）A．27B．28C．29D．304．数列{an}成等比数列，a6=3，则的值等于（）A．35B．36C．37D．385．如果将20、50、100各加上同一个常数能组成一个等比数列，那么这个数列的公比是（）A．B．C．D．6．在等差数列{an}中，已知，则S21等于（）A．100B．105C．200D．07．等比数列的前项，前项，前项的和分别为，，，则()A．B．C．D．8．在等比数列{an}中，前n项和Sn，已知S2=9，S3=21，那么公比q 的值等于（）A．2B．C．或D．1或或9．已知等比数列{an}，公比q=且a1+a3+…+a49=30，则a1+a2+a3+…+a50等于()A．35B．40C．45D．5010．在等比数列中，，，则等于（）A．和B．C．D．和二、填空题（5分4=20分）11．若一个三角形的三内角成等差数列，且已知一个角为，则其他两个角的度数为____________.12．设一等差数列，由三个数组成，三个数之和为9，三个数的平方和为35，则公差d=_______13．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，，则此数列的公比为_________ 14．在等比数列{an}中，S4=1，S8=4，则_________三、解答题（共80分，要有解答过程）15．（本小题12分）已知等差数列{an}满足，，求数列{an}的通项公式。
数列复习基本知识点归纳与总结
数列基本知识点归纳与总结一、数列的概念：数列是按一定次序排成的一列数。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，如果数列{}a n 的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式。
数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
如（1）已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}na 的最大项为__（答：125）； （2）数列}{n a 的通项为1+=bn ana n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ）； （3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；递推关系式：已知数列{}a n 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项a n-1（前n 项）间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关系式。
数列的分类：①按项数多少，分为有穷数列、无穷数列；②按项的增减，分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。
③按项有无界限，分为有界数列、无界数列。
数列的前n 项和：a a a a s n n ++++= (3)21.已知s n 求a n 的方法（只有一种）：即利用公式 a n=⎪⎩⎪⎨⎧≥=--)2(,)1(,11n n s s s n n注意：一定不要忘记对n 取值的讨论！最后，还应检验当n=1的情况是否符合当n ≥2的关系式，从而决定能否将其合并。
二、等差数列的有关概念：1、 等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
即)2,*(1≥∈=--n N n d a a n n 且.(或)*(1N n d a a n n ∈=-+).（1） 等差数列的判断方法：①定义法：)(1常数d a a n n =-+⇔{}a n 为等差数列。
高中数学—17—数列归纳法—教师版
数学归纳法知识梳理1．归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法特点：特殊→一般2．不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法3．完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法，完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法, 与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法4．数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法5．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题: 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。
证明的要点是“二凑”：一凑假设，当n=k+1时，把所证命题凑成可以应用归纳假设的形式；二凑结论，由于所证结论是已知的，在证明过程中一步步向结论靠近。
6．数学归纳法的应用：①证恒等式；②不等式的证明；③整除性的证明；④探求平面几何中的问题；⑤探求数列的通项7. 运用数学归纳法时易犯的错误：①对项数错误的估算；②没有利用归纳假设（即使是用正确的方法证明，但是只要没有应用到假设，这种证法不是数学归纳法）；③关键步骤含糊不清④起始项。
1、数学归纳法【例1】用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n ，总有32nn >，则所取的第一个n 值最小应是____． 【难度】★ 【答案】10【例2】用数学归纳法证明1+a +a 2+…+a n+1=aa n --+112（a ≠1，n ∈N *），在验证n =1成立时，左边计算所得的项是（ ）A ）1B ）1+aC ）1+a +a 2D ）1+a +a 2+a 3【难度】★ 【答案】C【例3】用数学归纳法证明111111111()234212122n n n n n n*-+-++-=+++∈-++N L L ，在第二步从k 到1k +时，左边应添加的项为（ ）．A ．121k +B ．112224k k -++ C ．122k -+ D ．112122k k -++【难度】★★【答案】D【例4】用数学归纳法证明()11113212224n n n n +++>≥++L 时，由“k 到1k +”不等式左端的变化是（ ）．A 、增加()121k +项B 、增加121k +、122k +两项 C 、增加121k +、122k +两项，且减少11k +一项 例题解析D 、以上结论均错【难度】★【答案】n k =时，左边=111122k k k+++++L ， 1n k =+时，左边=111112322122k k k k k +++++++++L C【例5】用数学归纳法证明2211333n -++++L 能被13整除时，由假设n k =时成立推1n k =+成立时，应增加的式子为 ．【难度】★★ 【答案】33132333kk k ++++【例6】已知n 为正偶数，用数学归纳法证明 111111112()2341242n n n n-+-++=+++-++L L 时，若已假设(2n k k =≥为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）．A 、1n k =+时等式成立B 、2n k =+时等式成立C 、22n k =+时等式成立D 、2(2)n k =+时等式成立【难度】★ 【答案】B【例7】已知()f x 是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k ，若()2kf k ≥成立，则()112k f k ++≥成立，下列命题成立的是（ ）． A 、若()38f ≥成立，则对于任意1k ≥，均有()2k f k ≥成立； B 、若()416f ≥成立，则对于任意的4k ≥，均有()2k f k <成立；C 、若()7128f ≥成立，则对于任意的7k <，均有()2k f k <成立；D 、若()432f =成立，则对于任意的4k ≥，均有()2k f k ≥成立．【难度】★ 【答案】D因为若()38f ≥成立，则当3k ≥时，均有()2k f k ≥成立，所以A 错； 因为若()416f ≥成立，则当5k ≥时，均有()2k f k ≥成立，所以B 错；原命题的逆否命题为：设()f x 是定义在正整数集上的函数，且()f x 满足：当1(1)2k f k ++<不成立时，总可推出()2kf k <不成立．因此，若(7)128f <不成立，则当7k ≤时，均有()2kf k <不成立，显然C 也是错误的． 因为若4(4)322f =>成立，则当4k ≥时，均有()2k f k ≥成立，故D 对．【例8】已知数列{}n a ：1213214321,,,,,,,,,,1121231234L ，依它的前10项的规律，则99100a a +的值为______________． 【难度】★★ 【答案】2437 【解析】将数列}{n a 分组：（11），21,12(），（13，22，31），（14，23，32，41），…，第k 组有k 项，各项分子依次为k ，1-k ，…，2，1，分母依次为1，2，…，1-k ，k ，分子和分母之和为1+k ．所以，99a 和100a 分别是第14组的第8和第9个数，分子分母之和为15，所以，8799=a ，96100=a ．【例9】对于集合{}()*12,,,,3n A a a a n N n =⋅⋅⋅∈≥，定义集合{},1i j S x x a a i j n ==+≤<≤，记集合S 中的元素个数为()S A ．若12,,,n a a a ⋅⋅⋅是公差大于零的等差数列，则()S A =________． 【难度】★★★ 【答案】23n -【解析】3n =，111{2,22,23}S a d a d a d =+++，()3S A =；4n =，11{2,,25}S a d a d =++L ，()5S A =；5n =，11{2,,27}S a d a d =++L ，()7S A =；…； 数归，得()S A 成公差为2的等差数列()23S A n =-【巩固训练】1. 用数学归纳法证明“221nn >+对于0n n ≥的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值0n 应取_____．【难度】★ 【答案】32. 用数学归纳法证明()1111,12321n n n N n ++++<∈>-L （1）第一步即证不等式________成立；（2）第二步证明从k 到1k +，左端增加的项数是_____．【难度】★ 【答案】111223++<；12k 3. 设数列{}n a 满足当()()21n a n n N *>+∈成立时，总可以推出()212n a n +>+成立，下列四个命题：（1）若316a ≤，则425a ≤ （2）若317a =，则536a > （3）若536a ≤，则425a ≤（4）若()22n a n ≥+，则()211n a n +>+其中正确的命题是_________（填写你认为正确的所有命题序号）． 【难度】★【答案】（2）（3）（4）4. 证明命题1()n n N *<+∈”的步骤如下：I 当1n =时命题显然成立，II 假设n k =时有1,k <+那么当1n k =+时，=(1)1k <=++也成立，根据I,II 对于n N *∈命题都正确．上述数学归纳法是错误的，关键错误是_______．（1）假设的写法不正确（2）从1k k +到的推理过程没有使用归纳假设 （3）推理不严密（4）1n =时，验证过程不具体 【难度】★ 【答案】（2）5. 用数学归纳法证明“(1)(2)()213(21)nn n n n n +++=-g L g g g g L g ”，从“k ”到“1k +”左端需增乘的代数式为（ ）．A ．21k +B ．2(21)k +C ．211k k ++D ．231k k ++ 【难度】★★【答案】B6. 用数学归纳法证明“11111(,1)232n n n n *-++++<∈>N L ”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数是（ ）． A ．12k - B ．21k - C ．2k D ．21k+【难度】★★【答案】C7. 用数学归纳法证明，“n 为足够大的自然数时，221log (4)n n +>+”，在验证不等式成立所取的第一个n 值为0n ，则0n 最小值为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 【难度】★★ 【答案】C8. 用数学归纳法证明与自然数有关的命题()P n 时，已知该命题在n k =是正确的，并且在假设n k =时命题()P n 是正确的条件下，已经证明了命题()P n 在2n k =+时也正确，则下列关于命题()P n 的说法，正确的是（ ）． A ．命题()P n 对所有的正整数都成立B ．命题()P n 对大于或等于2的正整数都成立C ．命题()P n 对所有的正奇数都成立D ．命题()P n 对所有的正偶数都成立 【难度】★★ 【答案】D9. 下列关于等式222221123(574)2n n n ++++=-+L 论述中，正确的是（ ）． A ．n 为任何正整数时都成立 B ．仅当1,2,3n =时成立C ．当4n =时成立，5n =时不成立D ．仅当4n =时不成立 【难度】★★ 【答案】B10. 设111()()122f n n n n n*=+++∈++N L ，那么(1)()f n f n +-= ． 【难度】★★ 【答案】112122n n -++11. "n 用数学归纳法证明命题当为奇数时，",1,______.()()()()()21()()21()n n x y x y n A n k k N B n k k N C n k k N D n k k N ****++==∈≤∈=+∈=-∈能被整除在证明正确后归纳假设应写成假设时命题成立假设时命题成立假设时命题成立假设时命题成立【难度】★★【答案】:,1,21(),.n n n k k N D *∴==-∈Q 解为正奇数在证明后归纳假设应写成时命题成立故选2、数学归纳法的应用举例【例10】用数学归纳法证明：23(1)132n n n 33+⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦L ． 【难度】★【答案】证明：（1）当1n =时，左边311==，右边21212⋅⎛⎫== ⎪⎝⎭，等式成立．（2）假设当n k =时，等式成立，即23(1)132k k k 33+⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦L ， 那么当1n k =+时，左边23(1)13(1)(1)2k k k k k 3333+⎡⎤=+++++=++⎢⎥⎣⎦L 2222(1)(1)(2)4(1)44k k k k k +++⎡⎤=⋅++=⎣⎦ 2(1)(2)2k k ++⎡⎤==⎢⎥⎣⎦右边， 所以当1n k =+时，等式也成立．由（1）（2）可知对任意的n *∈N ，等式都成立．【例11】用数学归纳法证明：2222221234(21)(2)(21)n n n n -+-++--=-+L ． 【难度】★【答案】证明：（1）当1n =时，左边22123=-=-，右边1(21)3=-⨯+=-，左边=右边，等式成立．（2）假设当n k =时，等式成立，即2222221234(21)(2)(21)k k k k -+-++--=-+L ， 那么当1n k =+时，左边222222221234(21)(2)(21)(22)k k k k =-+-++--++-+L 222(21)(21)(22)253k k k k k k =-+++-+=---(1)(23)(1)[2(1)1]k k k k =-++=-+++=右边，等式也成立． 由（1）（2）可知对任意的n *∈N ，等式都成立．【例12】是否存在常数a 使得222(1)()(1)(1)6nn n n n n an +++++=++L 对任意的正整数都成立，并证明你的结论．【难度】★★【答案】解：假设a 存在，令1n =，则22112(11)(1)6a +=⋅+⋅+，即15(1)3a =⋅+，得14a =． 下面用数学归纳法证明，对任意n *∈N ，222(1)()(1)(141)6n n n n n n n +++++=++L 都成立．（1）当1n =时，左边5==右边，等式成立．（2）假设当n k =时，等式成立，即222(1)()(1)(141)6k k k k k k k +++++=++L ，那么当1n k =+时，左边2222(1)()(21)(22)k k k k k =++++++++L2222222[(1)()(1)](21)(22)k k k k k k k k =++++++-++++L 222(1)(141)(21)(22)6kk k k k k =++-++++ 2(1)(141)71256kk k k k =+++++ (1)(141)(75)(1)6kk k k k =+++++ 21(144330)6k k k +=++1(2)(1415)6k k k +=++=右边．所以，当1n k =+时，等式也成立．故存在常数14a =，使得等式对任意的正整数都成立．【例13】证明：1++≥L ． 【难度】★★ 【答案】()()11,121111111n n k k k k n k ===++≥=++++≥+≥++≥+++≥L Q L L 时命题成立假设时命题成即立，即时，综合（1）（2）可得命题成立．【例14】求证：11113(2,)12224n n n n n *+++>≥∈++N L ． 【难度】★★【答案】证明：（1）当2n =时，左边11714341224=+==>右边，不等式成立． （2）假设当(2,)n k k k *=≥∈N 时，不等式成立，即1111312224k k k +++>++L ， 那么当1n k =+时，左边111112322122k k k k k =+++++++++L 11111112221221k k k k k k ⎛⎫=+++++- ⎪+++++⎝⎭L 131112421221k k k >++-+++ 13124(21)22k k =+++ 1324>=右边，不等式也成立． 由（1）（2）可知对任意的2,n n *≥∈N ，不等式都成立．【例15】求证：11111122322n n n +≤++++≤+L 。
数列复习知识点总结
数列复习知识点总结数列是数学中常见且重要的概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将对数列的基本概念和性质进行总结，帮助读者系统地复习数列相关的知识点。
1. 数列的定义数列是按一定顺序排列的一组数，它们之间存在着特定的规律。
数列可以用一般形式表示为{an}，其中an表示数列的第n个数。
2. 数列的分类根据数列的性质和规律，可以将数列分为等差数列、等比数列和等差数列。
2.1 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1表示首项，d表示公差。
2.2 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。
等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1表示首项，r表示公比。
2.3 递推数列递推数列是指数列中的每一项都是前一项的函数关系确定的数列。
递推数列的递推公式可以用来计算数列中任意一项的值。
3. 数列的性质数列有许多重要的性质，下面将介绍一些常见的数列性质。
3.1 数列的有界性如果数列中的所有数都小于等于某个实数M，并且都大于等于某个实数m，则称这个数列是有界数列。
3.2 数列的单调性如果数列中的每一项都大于等于它的前一项，则称这个数列是递增数列；如果数列中的每一项都小于等于它的前一项，则称这个数列是递减数列。
3.3 数列的极限数列的极限是指当n趋向于无穷大时，数列的趋势或趋近的值。
数列的极限可以是有限的，也可以是无穷大或无穷小。
4. 数列的求和数列求和是数列中各项数值相加的结果。
对于等差数列和等比数列，有特定的求和公式。
4.1 等差数列的求和对于等差数列，其前n项和可以通过求和公式Sn=n/2*(a1+an)来计算，其中Sn表示前n项和。
4.2 等比数列的求和对于等比数列，其前n项和可以通过求和公式Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)来计算，其中Sn表示前n项和。
5. 数列的应用数列在实际问题中的应用非常广泛。
数列可以描述金融中的投资收益、自然科学中的物理和化学规律、计算机科学中的算法等。
2017年学业水平考试复习总结模板计划模板之数列.doc
2017 学业水平考试复习讲座——数列基础知识：一 . 等差数列：1.定义式 ________________________2.通项公式 a n=_______________=________________3.求和公式 S n=______________=_________________4. 性质：（1）若m n p q, 则__________________（ 2）若m n 2 p ，则___________________（3）S m, S2m-S m, S3 m- S2m成 ________数列（4）S2n -1= ________________二. 等比数列：5.定义式 ________________________6.通项公式 a n=_______________=________________7. 求和公式S n=______________=_________________ （q 1 ），S n=_________（q=1）8. 性质：（1）若m n p q, 则__________________（ 2）若m n 2 p ，则___________________（3）S m, S2m-S m, S3 m- S2m成 ________数列典型例题：1. 定义：例 1（ 3 分）在数列 {a n } 中， a n +1 =2a n, a1 =3 ,则 a6为（）A. 24B. 48C. 96D. 192变式 1-1 （ 5 分）等差数列10、 7、 4⋯的第10 项是。
变式 1-2 如果-1,a, b, c,-9 成等比数列，那么b=________ 2.基本计算20例 2．已知等比数列{ a n } 中， a3 =2, a2 +a4 =，求{ a n}的通项公式变式 2-1（7 分）a n是各项为正数的等比数列，且a1=1，a2+a 3=6，求该数列前10 项的和 S n.变式 2-2 已知等差数列{a n } 的前n项和为 S n， a2 =2, S5 =0（ 1）求数列{ a n}的通项公式；（2）当n为何值时，S n取得最大值。
高三数学数列的小结与复习(教学课件201908)
杜育 絷于笼中 臣咸以为夫兴化之要 周之位者有矣 皆不就 皆身在内 虽则无道 元气混蒸 悬大赏以乐其成 别驾范旷及督护王乔奉光妻息 不就 形骸与后土同体 还其本域 贬食省用而已矣 理有忘言 求者 [标签:标题] 则庶几乎能安身矣 情生于文 贞曰事君 考撰同异 殊复胜不 进退无据 长
沙王乂入辅政 彭蠡 汝其见予之长于仁 沈与玄书曰 夫一人死而天下号者 使丹诚上达 育逞伎 尝以金貂换酒 是以帝尧昭焕而道协人天 太康九年卒 而受三族之诛 数入校出 要衣裳以磬折 卒官 长闻邻国 禹平九土 沈为中正 诏曰 彬彬藻思 豫其流者河内向秀 而为顾荣所止遏 登木而下钓 立
为皇太子 流而为川 孚 甫曰 会稽内史 胡毋辅之与琅邪王澄 怀晖光之速暮 土之外区 父满 今作胜谈 文王退舍 北伐山戎 岂须夷虏在内 则所美非其地也 五等之制 鲲以时方多故 鲲与顗素相亲重 王化克举 隆曰 陈其三牢 惜其夭枉 或干戈以攻取 屏《郑》《卫》 司徒掾据 俯采朝兰 乃以隆
天下 复依辅之 吾闻有其才而不遇者 至重也 储德不恢 有生之欢灭 为吏部郎 又见朝廷屡有变难 天之所赋 谓宜静默颐神 容不相悉 尔乃张修罠 对食而肴乾 羽校烛日 委南藩之重 乐毅去而燕轻 彼岂知其政渐毁哉 使尚书和郁率东宫官属具吉凶之制 大夫曰 曹以天下 太孙亦体君传重 触冒干
陈 名缀下士 矜尚不存乎心 驰骋乎当涂之务 勋业隆重 机变屡起 幕天席地 此理灼然 进冠军将军 政道备而制先具 若此 其母数诮之曰 字公胄 更思孝道 赠龙骧将军 吏白与光逸语 中书郎 将军石苞令楚作书遗孙皓曰 煌煌灵芝 尹少履清苦 以方回为侃所敬 荣期曰 没则勒鸿伐于金册 鲲少知
公卿大夫之位 曜兵剑阁 恶隗 敦穆于九族 今诏书暴扬其罪 下切当今 论者服焉 兵少则不足制寇 昔者明王以孝治天下 字休奕 莚谓太守孔侃曰 掩不备之人 东宫故臣冒罪拜辞 璯乃谋反 下礼官议崇锡之物 宜更置一郡于高平川 不出于中域也 可无复疑 一人而已 用假于厥制 中山刘舆 余迫疾
数列小结与复习(一)
编写人：豆静婷审稿人：＿＿＿＿ 定稿人：＿＿＿＿
教学目标：1、掌握等差数列和等比数列的基本数量关系和性质，体会它们分别为一次函数和指数型函数的关系；
2、能够熟练的应用两种数列的基本性质解决相应问题，培养学生解决问题的能力。
教学重点：等差数列和等比数列基本数量关系和性质的应用。
(3) = ; (4) =2n+1
三、追问深思（质疑展示、评价分析）
1、等比数列{ }中，已知 =2, =16
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)若 分别为等差数列{ }的第3项和第5项，试求数列{ }的通项公式 和前n项和 .
2、（理科）已知等差数列{ }的公差d=1,前n项和为
（1）若1， ， 成等比数列，求 ；
六、作业布置（理）《模块测评》综合测评（二）选择填空
（文）课本P67复习参考题A组2、4、10、11，B组1题。
教学难点：等差数列和等比数列与一次函数和指数型函数的关系的应用。
教学方法：通过学生梳理本章基本知识点，加深巩固学生对等差数列和等比数列基本数量关系和性质的理解，并能通过相应题型，训练学生分析问题、解决问题的能力。
教学过程：
一、自问引思（回顾思考，梳理新知）
学完本章知识，我们有必要对本章基本知识点和解题方法进行梳理，请你参考自己理解和掌握内容，设计出本章知识结构图。
2、已知{ }是递增的等差数列， ， 是方程 的根，
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列{ }的前n项和。（文科选作）
五、课堂练习
1、在等比数列 中，
（1）若它的前三项分别是5，-15,45，求
（2）若 =2， =8，求
2、若2，a，b，c，9成等差数列，求c-a
数列复习知识点总结
数列复习知识点总结数列是数学中的一个重要概念，是指按照一定规律顺序排列的一组数的集合。
数列的研究对于深入理解数学和应用数学至关重要，在中学阶段更是数学学习的重要内容之一、数列的研究主要涉及到数列的定义、性质、求和以及数列应用等方面。
下面将介绍数列的相关知识点并进行总结。
一、数列的定义：数列由一系列按照一定规律排列的数构成，可以视为数之间的有序集合。
数列可以用以下三种形式进行表示：1.显式表达式：通过给出每一项的计算公式来表示数列。
例如，a_n=2n+1就是一个显式表达式。
2.递推公式：通过给出项与前一项或前几项的关系式来表示数列。
例如，a_n=a_(n-1)+2，就是一个递推公式。
3.方程表示：通过给出满足特定条件的数列的性质来表示数列。
例如，满足a_n+2=a_n+1+a_n的数列可以表示为a_(n+2)=a_(n+1)+a_n。
二、数列的分类：数列按照数之间的关系可以分为等差数列、等比数列和其他特殊数列。
1.等差数列：数列中每一项与前一项之差都相等。
等差数列的递推公式为a_n=a_1+(n-1)d，其中a_n表示第n项，a_1表示第一项，d表示公差。
2.等比数列：数列中每一项与前一项之比都相等。
等比数列的递推公式为a_n=a_1*r^(n-1)，其中a_n表示第n项，a_1表示第一项，r表示公比。
3.其他特殊数列：如斐波那契数列、调和数列等。
三、数列的性质：数列的性质包括有界性、单调性以及周期性等。
1.有界性：数列如果存在上界或下界，则称为有界数列；如果既不上界也不下界，则称为无界数列。
2.单调性：数列如果单调递增，则称为递增数列；如果单调递减，则称为递减数列；如果既递增又递减，则称为摆动数列。
3.周期性：数列如果存在周期，则称为周期数列。
四、数列的求和：数列的求和是数列研究中的重要内容，常用的求和方法包括部分和、前n项和以及无穷和。
1.部分和：数列的部分和是指数列中从第一项开始到第n项的和。
数列末复习与总结ppt
数列极限的应用
求极限
通过求极限可以求解数列中各 项的值，特别是当数列中某些 项难以直接计算时，可以利用
极限的性质进行求解。
判断收敛性
通过判断数列的极限是否存在， 可以判断该数列是否收敛。
近似计算
在某些实际应用场景中，可以利用 极限的近似计算方法来近似求解某 些难以精确计算的数值。
05
数列复习题及解析
数列的导数和积分
了解数列的导数和积分概念及计算方法， 理解其在数列中的应用。
数列学习的展望
递归数列
了解递归数列的概念和类型，探索 其通项公式的求解方法和应用。
傅里叶级数
掌握傅里叶级数的概念和展开方法 ，理解其在三角函数和周期函数中 的应用。
数列的插值和拟合
了解数列的插值和拟合方法，掌握 其在实际问题中的应用。
THANKS
感谢观看
差。
非等差或等比数列
02
对于非等差或等比数列，一般需要采用其他方法进行求和，如
分组求和法、倒序相加法等。
复杂数列的分解
03
对于一些复杂的数列，需要先进行分解或变形，再采用合适的
求和方法进行计算。
04
数列的极限
数列极限的定义
定义
如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n>N时，数列{an}中所 有项满足不等式|an-A|<ε，则称数列{an}收敛于A，A称为数列{an}的极限。
基础题目及解析
题目
数列1，3，5，7，9，...的第n项是什么？
解析
这是一个等差数列，公差为2，首项为1。第n项为1+(n-1)×2 = 2n-1。
进阶题目及解析
题目
数列1，4，9，16，25，...的第n项是什么？
数列知识点归纳总结复习
数列知识点归纳总结复习一、数列的基本概念1. 数列的定义数列是按照一定规律排列的一组数的集合，通常用表示为{an}，其中an表示数列的第n个项。
例如，1, 2, 3, 4, 5,… 就是一个简单的递增数列。
2. 数列的常见表示方式数列可以用公式、递推关系或者图形等方式来表示。
比如，斐波那契数列可以用递推关系F(n) = F(n-1) + F(n-2)来表示，而调和数列可以用公式表示为{1, 1/2, 1/3, 1/4, …}。
3. 数列的分类根据数列的性质和规律，可以将数列分为等差数列、等比数列、等差-等比数列、递归数列、调和数列等多种类型。
在实际问题中，我们需要根据数列的特点来选择合适的方法进行求解。
二、数列的常用公式与性质1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列，其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等差数列的性质包括递推公式、前n项和公式、通项求和公式等，在数学和物理等领域都有着广泛的应用。
2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列，其通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
等比数列同样具有递推公式、前n项和公式、通项求和公式等性质，其在金融、生物学、物理学等领域都有着重要的应用。
3. 通项公式对于一些特定的数列，我们可以通过观察数列的规律得到其通项公式，这样就能方便地计算数列中任意一项的值。
通项公式的求解是数列问题中的常见技巧，需要灵活运用代数方法和数学归纳法进行推导。
4. 前n项和对于一个数列{an}，其前n项和S(n)可以用数学方法得到一个通用的公式。
对于等差数列和等比数列，其前n项和公式分别为Sn = n/2(a1+an) 和 Sn = (a1(q^n-1))/(q-1)，这些公式在实际问题中有着重要的应用。
5. 数列的极限当n趋向无穷大时，数列{an}的极限值称为数列的极限。
数列的极限可以用来判断数列的趋势和发散性，以及在微积分和数学分析中有着广泛的应用。
数列复习知识点总结
数列一、知识梳理1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n .5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.；6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列. ①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.*等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n)1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=.3.等差中项;如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法 ⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； ⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.5.等差数列的常用性质⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列； ；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列；⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a a S S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. 等比数列{1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠qq ，这个数列叫做等比数列，常数q 称为等比数列的公比.2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式：11-=n nq a a ，1a 为首项，q 为公比 .⑵前n 项和公式：①当1=q时，1na S n =②当1≠q 时，qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11.；3.等比中项如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 即：G 是a 与b 的等差中项⇔a ，A ，b 成等差数列⇒b a G ⋅=2.4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列；⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.5.等比数列的常用性质 ~⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列；⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为k q .⑶),(+-∈⋅=N m n q a a m n m n⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；⑸若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列.二、典型例题A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列）[1）根据基本量求解（方程的思想）1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ；2、等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想）1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；《2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{bn}的前n 项和，327++=n n T S n n ，则=55b a .3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ） 4、等差数列{}n a ,{}nb 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S nT n =+,则n na b =（ ）5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .6、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。
第17课时(数列复习专题(1))
1．数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． 2．等差、等比数列的定义． 3．等差、等比数列的通项公式． 4．等差中项、等比中项．5．等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．例题剖析（1）已知等差数列的第p n k ，，项构成等比数列的连续3项，如果这个等差数列不是常数列，则等比数列的公比为 ．（2）182 ，，，，z y x 成等比数列，则=x ．（3）三个数成等比数列，它们的积为512，如果中间一个数加上2，则成等差数列，这三个数是 ．（4）一个数列的前n 项和为n S n n1)1(4321+-++-+-= ，则=++503317S S S ．例1（5）一个数列}{n a ，当n 为奇数时，15+=n a n ，当n 为偶数时，22n n a =，则这个数列前m 2项的和为 ．（6）已知正项等比数列}{n a 共有m 2项，且)(94342a a a a +=⋅，++++ 321a a a)(426422m ma a a a a ++++= ，则=1a ，公比=q ．（7）设}{n a ，}{n b 都是等差数列，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，已知1235-+=n n T S n n ，则=n n b a ；=55b a ．（8）已知方程022=++m x x和022=+-n x x 一共四个根组成一个首项为3的等差数列，则=-n m ．（9）一个直角三角形三边长组成等差数列，则它的三边长从小到大的比值为 ．例2 某三个互不相等的数组成等差数列，如果适当排列此三数，也可成等比数列，已知这三个数的和等于6，求这三个数．课堂小结等差、等比数列的概念和公式．课后训练班级：高一（ ）班 姓名：____________一 基础题1．若直角三角形的三边的长组成公差为3的等差数列，则三边长分别为（ ） A ．5，8，11 B ．9，12，15 C ．10，13，16 D ．15，18，21 2．设{}n a 是等比数列，有下列四个命题：（1）{}2n a 是等比数列；（2）{}1+n n a a 是等比数列；（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等比数列；（4）{}||lg n a 是等比数列； 其中正确命题的序号为 ．3．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）16795431，，，； （2）978756534312⨯ ⨯ ⨯ ⨯，，，； （3）11，101，1001，10001；（4）818929432- - ，，，；二 提高题4．已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．5．等差数列{}n a 中，前m 项（m 为奇数）和为77，其中偶数项之和为33，且181=-ma a ，求通项公式．6．在等差数列{}n a 中，已知)(q p p S q S q p ≠= =，，求q p S +．三 能力题7．如图是第七届国际数学教育大会)7(-ICME 的会徽图案轮廓，它是由一串直角三角 形组成的，其中18732211=====A A A A A A OA ，记821OA OA OA ，，， 的长度所组成的数列为{}n a )81(≤≤ ∈+n N n ，,写出数列{}n a 的通项公式．8．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉，再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉，如此继续下去…… （1）第三次分割时共挖掉了多少个正方形？（2）设原正方形边长为a ，第n 次分割时共挖掉了多少个正方形？这些正方形的面积和为多少？127A 8。
高考数学单元考点复习17数列复习小结
高一数学第三章数列复习小结基本训练题一、选择题1．已知数列｛a n｝既是等差数列又是等比数列，则这个数列的前n 项和为Ａ． 0B． nＣ． n a 1Ｄ． a1n2．已知数列｛a n｝的前n项和S n =3 a n－2, 那么下边结论正确的选项是Ａ．此数列为等差数列B．此数列为等比数列Ｃ．此数列从第二项起是等比数列Ｄ．此数列从第二项起是等差数列3．已知等比数列｛a n｝中， a n=2×3n 1 , 则由此数列的偶数项所构成的新数列的前n 项和 S n的值为Ａ． 3 n－ 1B． 3(3 n－ 1)Ｃ． 9n1Ｄ． 3(9n1)444．实数等比数列｛a n｝， S n＝ a1a2a n，则数列｛ S n｝中Ａ．随意一项都不为零B．必有一项为零Ｃ．至多有有限项为零Ｄ．能够有无数项为零5．假如数列｛a n｝的前n项和S n 3a n 3 ,那么这个数列的通项公式是2Ａ．a n=2(n2 +n+1)B．n·２a n=3Ｃ． a n=3n+1n Ｄ． a n=2·36．已知等差数列的第k,n,p 项构成等比数列的连续 3 项，假如这个等差数列不是常数列，则等比数列的公比为Ａ．n pB ．p nＣ．n kＤ．k n k n p k n p k p7．数列｛a n｝，｛b n｝知足a n b n=1, a n=n2+3n+2,则｛ b n｝的前10 项之和为Ａ．1B．5Ｃ．1Ｄ．7 312212二、填空题8．2，x,y,z,18 成等比数列，则x= .9．已知数列｛a｝的前n项和S=n3 , 则a a a10．三个数成等比数列，它 的 512，假如中 一个数加上 2， 成等差数列， 三个数是.11．一个数列的前n 和 S n =1—2+3-4+ ⋯+( — 1) n 1 n , S 17 ＋ Ｓ 33 ＋Ｓ50＝．n12．一个数列｛ a n ｝，当 n 奇数 ， a n =5n +1, 当 n 偶数 ， a n 2 2 ， 个数列前2m 的和 .13．已知正 等比数列｛ a n ｝共有 2m ，且 a 2 · a 4 =9( a 3 ＋ a 4 ) ， a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋⋯＋a 2m =4( a 2 ＋ a 4 ＋ a 6 ＋⋯＋ a 2m ), a 1 =,公比 q =.14． k 正偶数， p ( k ) 表示等式11 11 11111k 1 k2()2 3 4k 2 k 42kp (2) 表示等式,p (4) 表示等式.15、若数列 a n的前 n 和 S n = 2n 2n 3 ， 其通 公式 a n ____.三、解答16．三个互不相等的数成等差数列，假如适合摆列此三数，也可成等比数列，已知 三个数的和等于 6，求 三个数．17. 某城市 1996 年末人口20 万，大 住宅面8ｍ 2 ， 划到2000 年末人均住宅面达到10ｍ 2 ，假如 市人口均匀增 率控制在1%，那么要 上述 划，每年 市要均匀新建住宅面 多少万平方米 ?( 果以万平方米 位，保存两位小数)18．7 个数排成一排，奇数成等差数列，偶数成等比数列，且奇数的和与偶数的之差42，首末两与中之和 27，求中．19．已知等差数列｛a n｝的第28，前 10 的和 185，从数列｛a n｝中挨次拿出第 2 ，第 4 ，第 8 ，⋯，第 2 n按本来序排成一个新数列｛b n｝，求数列｛ b n｝的通公式及前 n 和公式S n．20．已知f ( x)a1 x a2 x 2a3 x3a n x n，且a1，a2，a3，⋯，a n成等差数列( n正偶数 ) ，又 f (1)=n 2，ｆ（－１）＝ｎ，求数列的通 a n．数列复习小结基本训练题参照答案1．C 2．B3 ．D 4．D5．D6．A7 ．B8．± 2 3 9 ．387 10 ． 4， 8，16 或 16， 8， 411 ．112 ． 5m2m2m 12 13 ． 108；1111 1 1131 ) 14． 12 2 ;1 2( 4 42 2 234 2 415． a n4(n 1)4n3 (n2)16． 8， 2，— 4 或— 4， 2， 817．约 12．03 万 m 218． 219． S n3 2n 12n 620． a n 2n1。
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复习课: 第二章 数列（1）
教学目标
重点：理解数列的有关概念和性质，掌握数列求通项公式的各种方法. 难点：利用各种条件来求数列的通项公式.
能力点：数列通项问题是数列的核心问题，培养学生的抽象思维能力. 教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构. 自主探究点：例题及变式联系的解题思路的探寻.
易错点：在具体的数列通项问题中，学生往往混淆n a 与n S 的概念 .
学法与教具
1.学法：讲授法、讨论法.
2.教具：投影仪.
二、【知识梳理】
1.数列的基础知识；
2.等差数列的定义、通项公式，求和公式及性质；
3.等比数列的定义、通项公式，求和公式及性质；
4.填写表格:
三、【范例导航】 1.观察法
例1写出下列数列的一个通项公式 （1）1-7,13-19,25 ，，，；
（2）5133381
2,,24816 ，，，； （3）2414271125
，，，，，；
（4）
13355
，，，，，7,7,9,9,.
【分析】观察数列中的每一项与它的序号之间的对应关系，以及所给数列与一些特殊数列之间的关系. 【解答】 （1）原数列的各项可看成数列1-1,1-1,1 ，，，与数列17,1319,25 ，，，对应项相乘的结果. 故原数列的一个通项公式为1
(1)
(65)n n a n +=--.
（2）原数列可改写为01234111111+2+,3+4+,5+22222
，，，，故通项公式为1
1
+2n n a n -=.
（3）不防把分子变成4，然后看分母，从而有4444141185
，，，，，从而原数列的通项公式为4
17-3n a n =
.
（4）奇数项与项数相等，偶数项比项数大1. 可改写为1+02+1,3+04+1,5+0 ，，，，所以原数列的通项
公式为1-1++22n
n a n =（）
.
【点评】观察是归纳的前提，合理的转换是完成归纳的关键；有些数列的通项公式不一定唯一；写出数列
的通项公式时，要熟记一些特殊数列，如：{}
{}{}{}{}{}121-1,21,2,2,,n
n n n n n n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭（），等.
变式训练:写出下列数列的一个通项公式.
（1）111
-1,-234
，，，；
（2
； （3）1111111
12233445
---- ，，，，； （4）3,5,355. ，，，3，，
2.利用11,
1,,2,n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求n a
例2 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且*3
(1)()2
n n S a n N =
-∈,求数列{}n a 的通项公式.
【分析】由n a 与n S 的关系消去n S （或n a ），转化为n a （或n S ）的递推关系求解. 【解答】3(1),2n n S a =
-∴ 当1n =时，1113
(1),2
S a a ==-解得13a =. 当2n ≥时，1133
(1)(1),22
n n n n n a S S a a --=-=
---得13n n a a -=，
所以，当2n ≥时，数列{}n a 是以3为公比的等比数列，且首项2139.a a ==当1n =时，也成立. 故数列的通项公式为*
3()n
n a n N =∈.
【点评】已知数列的前n 项和公式，求数列的通项公式，其方法是1(2).n n n a S S n -=-≥这里常常因为忽略了
2n ≥的条件而出错，要注意求11a S =并验证.当1n =时的1a 与1S 相等，n a 才是通项公式，否则要用分段函数表示为11,
1,,2,n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.
变式训练
设数列{}n a 的前n 项和2*
232,(),n S n n n N =++∈求数列{}n a 的通项公式，并指出此数列是否为等差
数列.
3.叠加法、叠乘法
例3 已知数列{}n a 满足132,n n a a n +=++且12,a =求n a .
【分析】因为132,n n a a n +=++属于1()n n a a f n +=+型递推公式，所以可以用叠加法求出n a . 【解答】
2132431312,322,332,3(1)2,
n n a a a a a a a a n --=⨯+-=⨯+-=⨯+-=⨯-+
以上各式相加，得
[]123123(1)2(1)
(1)33222,22
n a a n n n n n n n -=⨯++++-+--+=+-=-
又12,a = 所以23.2
n n n
a += 【点评】如果给出数列{}n a 的递推公式为1()n n a a f n +=+型时，并且{}()f n 容易求和，这里可采用叠加法.
例4 在数列{}n a 中，满足
12
,n n a n a n
++=且11,a =求n a . 【分析】属于
1
()n n
a f n a +=型递推公式，所以可以用叠乘法求出n a . 【解答】
32411231
3451
11231(1).
2
n
n n a a a a
a a a a a a n n n n -=+=⨯⨯⨯⨯⨯
-+= 而11,a =也适合上式.故{}n a 的通项公式为(1)
2
n n n a +=. 【点评】如果给出数列{}n a 的递推公式为
1
()n n
a f n a +=型时，并且{}()f n 容易求积，这里可采用叠乘法. 4.构造法
例4 已知数列{}n a 中，满足*
132(),n n a a n N +=+∈且11,a =求{}n a 的通项公式.
【分析】通过观察给出的已知条件，可以发现递推公式可变形为*
113(1)(),n n a a n N ++=+∈转化为等比数列求解.
【解答】将*
132()n n a a n N +=+∈变形为*
113(1)(),n n a a n N ++=+∈即
*11
3,()(1)
n n a n N a ++=∈+，所以数
列{}1n a +是首项为112a +=，公比为3的等比数列，所以
11123,231n n n n a a --+=⨯∴=⨯-.
【点评】根据已知条件构造一个与n a 有关的新数列，通过新数列通项公式的求解，得{}n a 的通项公式.新的数列往往是等差数列或是等比数列.
四、【解法小结】
1.观察法得到数列的通项公式要注意数列的变形以及一些特殊数列.
2. 已知数列的前n 项和公式，求数列的通项公式，其方法是1(2).n n n a S S n -=-≥注意“两步一检验”.
3.采用叠加法、叠乘法求数列时，需是1()n n a a f n +=+或 型的递推公式.
4.构造法求通项公式时一般是构造出一个等比或等差数列.
五、【布置作业】
1. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且*
32()n
n S n N =+∈,求数列{}n a 的通项公式.
2. 已知数列{}n a 满足1
13,n n n a a -+=+且12,a =求n a .
3.已知数列{}n a 满足12,a =15,n
n n a a +=求n a .
4. 已知数列{}n a 中，满足122
n
n n a a a +=+且11,a =求{}n a 的通项公式．
六、【教后反思】
1.本教案的亮点是：首先以结构图呈现数列知识，直观简明；其次，复习相关知识并以表格的形式呈现，充分关注到数列、等差数列、等比数列的系列问题.再次，例题选择典型，关注数列的主干知识和解决数列通项公式问题的一般思路与方法，讲练结合，学生落实较好.最后，在作业的布置上，选择的中低档题，对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用.
2.本教案的弱项是：在一些具体问题中，学生容易忽略数列的小细节问题，例题的题量有点大，所以部分例题没有变式训练，作业的布置也照顾到量的问题没有面面俱到.
1()n n
a
f n a +=。