17-数列小结与复习

复习课: 第二章 数列（1）
教学目标
重点：理解数列的有关概念和性质，掌握数列求通项公式的各种方法. 难点：利用各种条件来求数列的通项公式.
能力点：数列通项问题是数列的核心问题，培养学生的抽象思维能力. 教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构. 自主探究点：例题及变式联系的解题思路的探寻.
易错点：在具体的数列通项问题中，学生往往混淆n a 与n S 的概念 .
学法与教具
1.学法：讲授法、讨论法.
2.教具：投影仪.
二、【知识梳理】
1.数列的基础知识；
2.等差数列的定义、通项公式，求和公式及性质；
3.等比数列的定义、通项公式，求和公式及性质；
4.填写表格:
三、【范例导航】 1.观察法
例1写出下列数列的一个通项公式 （1）1-7,13-19,25 ，，，；
（2）5133381
2,,24816 ，，，； （3）2414271125
，，，，，；
（4）
13355
，，，，，7,7,9,9,.
【分析】观察数列中的每一项与它的序号之间的对应关系，以及所给数列与一些特殊数列之间的关系. 【解答】 （1）原数列的各项可看成数列1-1,1-1,1 ，，，与数列17,1319,25 ，，，对应项相乘的结果. 故原数列的一个通项公式为1
(1)
(65)n n a n +=--.
（2）原数列可改写为01234111111+2+,3+4+,5+22222
，，，，故通项公式为1
1
+2n n a n -=.
（3）不防把分子变成4，然后看分母，从而有4444141185
，，，，，从而原数列的通项公式为4
17-3n a n =
.
（4）奇数项与项数相等，偶数项比项数大1. 可改写为1+02+1,3+04+1,5+0 ，，，，所以原数列的通项
公式为1-1++22n
n a n =（）
.
【点评】观察是归纳的前提，合理的转换是完成归纳的关键；有些数列的通项公式不一定唯一；写出数列
的通项公式时，要熟记一些特殊数列，如：{}
{}{}{}{}{}121-1,21,2,2,,n
n n n n n n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭（），等.
变式训练:写出下列数列的一个通项公式.
（1）111
-1,-234
，，，；
（2
； （3）1111111
12233445
---- ，，，，； （4）3,5,355. ，，，3，，
2.利用11,
1,,2,n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求n a
例2 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且*3
(1)()2
n n S a n N =
-∈,求数列{}n a 的通项公式.
【分析】由n a 与n S 的关系消去n S （或n a ），转化为n a （或n S ）的递推关系求解. 【解答】3(1),2n n S a =
-∴ 当1n =时，1113
(1),2
S a a ==-解得13a =. 当2n ≥时，1133
(1)(1),22
n n n n n a S S a a --=-=
---得13n n a a -=，
所以，当2n ≥时，数列{}n a 是以3为公比的等比数列，且首项2139.a a ==当1n =时，也成立. 故数列的通项公式为*
3()n
n a n N =∈.
【点评】已知数列的前n 项和公式，求数列的通项公式，其方法是1(2).n n n a S S n -=-≥这里常常因为忽略了
2n ≥的条件而出错，要注意求11a S =并验证.当1n =时的1a 与1S 相等，n a 才是通项公式，否则要用分段函数表示为11,
1,,2,n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.
变式训练
设数列{}n a 的前n 项和2*
232,(),n S n n n N =++∈求数列{}n a 的通项公式，并指出此数列是否为等差
数列.
3.叠加法、叠乘法
例3 已知数列{}n a 满足132,n n a a n +=++且12,a =求n a .
【分析】因为132,n n a a n +=++属于1()n n a a f n +=+型递推公式，所以可以用叠加法求出n a . 【解答】
2132431312,322,332,3(1)2,
n n a a a a a a a a n --=⨯+-=⨯+-=⨯+-=⨯-+
以上各式相加，得
[]123123(1)2(1)
(1)33222,22
n a a n n n n n n n -=⨯++++-+--+=+-=-
又12,a = 所以23.2
n n n
a += 【点评】如果给出数列{}n a 的递推公式为1()n n a a f n +=+型时，并且{}()f n 容易求和，这里可采用叠加法.
例4 在数列{}n a 中，满足
12
,n n a n a n
++=且11,a =求n a . 【分析】属于
1
()n n
a f n a +=型递推公式，所以可以用叠乘法求出n a . 【解答】
32411231
3451
11231(1).
2
n
n n a a a a
a a a a a a n n n n -=+=⨯⨯⨯⨯⨯
-+= 而11,a =也适合上式.故{}n a 的通项公式为(1)
2
n n n a +=. 【点评】如果给出数列{}n a 的递推公式为
1
()n n
a f n a +=型时，并且{}()f n 容易求积，这里可采用叠乘法. 4.构造法
例4 已知数列{}n a 中，满足*
132(),n n a a n N +=+∈且11,a =求{}n a 的通项公式.
【分析】通过观察给出的已知条件，可以发现递推公式可变形为*
113(1)(),n n a a n N ++=+∈转化为等比数列求解.
【解答】将*
132()n n a a n N +=+∈变形为*
113(1)(),n n a a n N ++=+∈即
*11
3,()(1)
n n a n N a ++=∈+，所以数
列{}1n a +是首项为112a +=，公比为3的等比数列，所以
11123,231n n n n a a --+=⨯∴=⨯-.
【点评】根据已知条件构造一个与n a 有关的新数列，通过新数列通项公式的求解，得{}n a 的通项公式.新的数列往往是等差数列或是等比数列.
四、【解法小结】
1.观察法得到数列的通项公式要注意数列的变形以及一些特殊数列.
2. 已知数列的前n 项和公式，求数列的通项公式，其方法是1(2).n n n a S S n -=-≥注意“两步一检验”.
3.采用叠加法、叠乘法求数列时，需是1()n n a a f n +=+或 型的递推公式.
4.构造法求通项公式时一般是构造出一个等比或等差数列.
五、【布置作业】
1. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且*
32()n
n S n N =+∈,求数列{}n a 的通项公式.
2. 已知数列{}n a 满足1
13,n n n a a -+=+且12,a =求n a .
3.已知数列{}n a 满足12,a =15,n
n n a a +=求n a .
4. 已知数列{}n a 中，满足122
n
n n a a a +=+且11,a =求{}n a 的通项公式．
六、【教后反思】
1.本教案的亮点是：首先以结构图呈现数列知识，直观简明；其次，复习相关知识并以表格的形式呈现，充分关注到数列、等差数列、等比数列的系列问题.再次，例题选择典型，关注数列的主干知识和解决数列通项公式问题的一般思路与方法，讲练结合，学生落实较好.最后，在作业的布置上，选择的中低档题，对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用.
2.本教案的弱项是：在一些具体问题中，学生容易忽略数列的小细节问题，例题的题量有点大，所以部分例题没有变式训练，作业的布置也照顾到量的问题没有面面俱到.
1()n n
a
f n a +=。