离散数学(邵秀丽,王孝喜编著)思维导图
合集下载
离散数学 图论-图的基本概念20页PPT
离散数学 图论-图的基本概念
51、山Байду номын сангаас日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
51、山Байду номын сангаас日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
第一章命题逻辑知识地图
《离散数学》知识地图第一章命题逻辑第一节命题与联结词命题的概念：能判断真假的陈述句称为命题。
命题的真值：一个命题的真或假称为命题的真值。
真用T或1表示，假用F或0表示。
原子命题：不能再分解为其他命题的命题称为原子命题。
复合命题：由原子命题与命题联结词构成的命题称为复合命题。
命题标识符：表示原子命题的符号称为命题标识符，常用大写字母、带下标的大写字母。
命题常元：一个表示确定命题的命题标识符。
命题变元：一个能指代任意命题的命题标识符。
五个命题联结词：否定⌝，合取∧，析取∨，条件→和双条件联结词↔。
命题符号化：目的在于用五个联结词将日常语言中的命题转化为数理逻辑中的形式命题，其关键在于对自然语言中语句之间的逻辑关系以及命题联结词的含义要有正确的理解，使用适当的联结词。
第二节命题公式、翻译与真值表命题公式：（1）一个命题变元是一个命题公式；（2）若A是一个命题公式，则⌝A也是一个命题公式；（3）若A、B是命题公式，则A∧B、A∨B、A→B和A↔B均为命题公式；（4）只有经过有限次地应用（1）、（2）、（3）所得的结果才是命题公式。
子公式：若命题公式B是命题公式A的一部分，则称B是A的子公式。
真值指派：设A是一个命题公式，P1，P2，…，P n是出现在A中的所有命题变元。
给P1，P2，…，P n指定一组真值，称为对公式A的一个真值指派（或解释或赋值）。
若指定的一组真值使A为真，则称这组值为成真指派，否则称之为成假指派。
真值表：一个命题公式A的真值表的左上角部分是A的所有命题变元，左下角部分是这些命题变元的所有可能的指派，右上角一般是公式A本身，右下角是A在对应指派下的真值。
五个常用联结词的真值表：第三节公式分类与等价式公式分类：永真式、永假式和可满足式。
永真式（重言式）：一个命题公式A，若对A所有可能的真值指派（解释），（1）A都为真，则称A为永真式（重言式）。
（2）A都为假，则称A为永假式（矛盾式）。
（3）至少存在一个真值指派使A为真，则称A为可满足式。
离散数学-第11章
离散数学讲义之
图 论
主讲:熊焕亮
图论简介
• 图论（graph theory）是研究节点和边组成的图 形的数学理论和方法，为离散数学的一个重要分 支。图论的基本元素是节点和边（也称线、弧、 枝），用节点表示所研究的对象，用边表示研究 对象之间的某种特定关系。因此，图论可用节点 和边组成的图形及其有关的理论和方法来描述、 分析和解决各种实际问题，已广泛地应用于物理、 化学、运筹学、计算机科学、电子学、信息论、 控制论、网络理论、管理科学、社会科学等几乎 所有学科领域的有关问题。图论与组合数学、线 性规划、群论、矩阵论、概率论、数值分析等数 学分支有密切的关系。
均为偶数，所以 d (v)为偶数，但因中顶点度数为奇数，
vV1
vV1
d (v ) d (v )
vV2
所以 | V1 |必为偶数。
14
11.1.2 简单图、多重图和同构图
V {v1 , v2 ,., vn } 设 G V , E 为一个阶无向图， 称 d (v1 ), d (v2 )d (vn ),为 G 的度数列。对于顶点标定的无向图，它的度数列是唯一的。反之， 对于给定的非负整数列d (d1 , d 2 ,d n )，若存在以 V (v1 , v2 ,, vn ) 为顶点 集的n阶无向图G,使得 d (vi ) d i ，则称d是可图化的。特别地，若所得 的图是简单图,则称d是可简单图化的。 例11.1.2 （1）（3，5，1，4），（1，2，3，4，5）能成为图的度 数列吗？为什么？ （2）已知图G 中有15条边，2个度数为4的结点，4个度数为3的结点， 其余结点度数均小于等于2，问G 中至少有多少个结点？为什么？ 解 （1）由于给定的两个度数列中奇度顶点个数均为奇数，由上述 推论可知，他们都不能成为图的度数列。 （2）图中边数为15，由握手定理可知，G 中所有结点度数和为30。 除去2个度数为4的结点和4个度数为3的结点，还剩下10度。其余结 点度数小于等于2，假设均为2，则至少要5个结点，所以总共至少要1 1个结点。
图 论
主讲:熊焕亮
图论简介
• 图论（graph theory）是研究节点和边组成的图 形的数学理论和方法，为离散数学的一个重要分 支。图论的基本元素是节点和边（也称线、弧、 枝），用节点表示所研究的对象，用边表示研究 对象之间的某种特定关系。因此，图论可用节点 和边组成的图形及其有关的理论和方法来描述、 分析和解决各种实际问题，已广泛地应用于物理、 化学、运筹学、计算机科学、电子学、信息论、 控制论、网络理论、管理科学、社会科学等几乎 所有学科领域的有关问题。图论与组合数学、线 性规划、群论、矩阵论、概率论、数值分析等数 学分支有密切的关系。
均为偶数，所以 d (v)为偶数，但因中顶点度数为奇数，
vV1
vV1
d (v ) d (v )
vV2
所以 | V1 |必为偶数。
14
11.1.2 简单图、多重图和同构图
V {v1 , v2 ,., vn } 设 G V , E 为一个阶无向图， 称 d (v1 ), d (v2 )d (vn ),为 G 的度数列。对于顶点标定的无向图，它的度数列是唯一的。反之， 对于给定的非负整数列d (d1 , d 2 ,d n )，若存在以 V (v1 , v2 ,, vn ) 为顶点 集的n阶无向图G,使得 d (vi ) d i ，则称d是可图化的。特别地，若所得 的图是简单图,则称d是可简单图化的。 例11.1.2 （1）（3，5，1，4），（1，2，3，4，5）能成为图的度 数列吗？为什么？ （2）已知图G 中有15条边，2个度数为4的结点，4个度数为3的结点， 其余结点度数均小于等于2，问G 中至少有多少个结点？为什么？ 解 （1）由于给定的两个度数列中奇度顶点个数均为奇数，由上述 推论可知，他们都不能成为图的度数列。 （2）图中边数为15，由握手定理可知，G 中所有结点度数和为30。 除去2个度数为4的结点和4个度数为3的结点，还剩下10度。其余结 点度数小于等于2，假设均为2，则至少要5个结点，所以总共至少要1 1个结点。
最新离散数学总结ppt课件
运用逻辑演算或利用已知的集合恒等式或包含式证明新的 等式或包含式 。
集合恒等式的证明方法
逻辑演算法 利用逻辑等值式和推理规则
集合演算法 利用集合恒等式和已知结论
逻辑演算法的格式
题目：A＝B 证明： x，
x∈A
… … x∈B 所以 A＝B 或证 AB ∧ AB
题目：AB 证明： x，
x∈A …… x∈B 所以 AB
掌握集合的交、并、（相对和绝对）补、对称差、广义交、 广义并的定义及其性质。 ❖A∪B＝{ x | x∈A ∨ x∈B } ❖A－B＝{ x | x∈A ∧ x B } ❖……
掌握基本的集合恒等式（等幂律、交换律、结合律、分配 律、德·摩根律、收律、零律、同一律、排中律、矛盾律、 余补律、双重否定律、补交转换律）。
命题符号化： ❖当给定个体域时，在给定个体域内将命题符号化。 ❖当没给定个体域时，应在全总个体域内符号化。 ❖在符号化时，当引入特性谓词时，注意全称量词与蕴含 联结词的搭配，存在量词与合取联结词的搭配。
逻辑有效式、矛盾式、可满足式 闭式的性质：在任何解释下均为命题。 对给定的解释，会判别公式的真值或不能确定真值。
关系性质的特点
自反性 反自反性
对称性
反对称性
传递性
定义
x∈A→ x∈A→ <x, x>∈R <x, x>R
集合表达式
IA R
R∩IA＝
<x, y>∈R → <y, x>∈R
R＝R-1
<x, y>∈R ∧<y, x>∈R
→ x=y
R∩R-1 IA
<x,y>∈R ∧<y,z>∈R
→<x,z>
集合恒等式的证明方法
逻辑演算法 利用逻辑等值式和推理规则
集合演算法 利用集合恒等式和已知结论
逻辑演算法的格式
题目：A＝B 证明： x，
x∈A
… … x∈B 所以 A＝B 或证 AB ∧ AB
题目：AB 证明： x，
x∈A …… x∈B 所以 AB
掌握集合的交、并、（相对和绝对）补、对称差、广义交、 广义并的定义及其性质。 ❖A∪B＝{ x | x∈A ∨ x∈B } ❖A－B＝{ x | x∈A ∧ x B } ❖……
掌握基本的集合恒等式（等幂律、交换律、结合律、分配 律、德·摩根律、收律、零律、同一律、排中律、矛盾律、 余补律、双重否定律、补交转换律）。
命题符号化： ❖当给定个体域时，在给定个体域内将命题符号化。 ❖当没给定个体域时，应在全总个体域内符号化。 ❖在符号化时，当引入特性谓词时，注意全称量词与蕴含 联结词的搭配，存在量词与合取联结词的搭配。
逻辑有效式、矛盾式、可满足式 闭式的性质：在任何解释下均为命题。 对给定的解释，会判别公式的真值或不能确定真值。
关系性质的特点
自反性 反自反性
对称性
反对称性
传递性
定义
x∈A→ x∈A→ <x, x>∈R <x, x>R
集合表达式
IA R
R∩IA＝
<x, y>∈R → <y, x>∈R
R＝R-1
<x, y>∈R ∧<y, x>∈R
→ x=y
R∩R-1 IA
<x,y>∈R ∧<y,z>∈R
→<x,z>
离散数学34章PPT课件
则: x+y=u+v
得: x=u
x-y=u-v
y=v
从而(x，y)=(u，v),与假设矛盾.故是单射.
⑵(满射性) 对任意<u,v>∈R×R,令: (x,y)=<x+y,x-y>= <u,v>,即:
x+y=u
解得: x=(u+v)/2
x-y=v
y=(u-v)/2
显然((u+v)/2, (u-v)/2)∈R×R,且满足 ((u+v)/2, (u-v)/2)= <u,v>,故是满射.总之, 是双射.
• 充分性：设是双射，考虑的逆关系，易知，对于B 中的每个元素y，都对应着A中唯一的一个在下以y 为映象的元素x，因此， 的逆关系是B到A的映射。
02.12.2020
离散数学
12
双射的逆也是双射
• 显然，若是A到B的双射，则其逆映 射 – 1也是B到A的双射，并且对任意 的x∈A，均有： – 1((x)) = x .
02.12.2020
离散数学
8
3、：N×NN，N是自然数集 (0∈N)，(<x,y>)=|x2-y2|
解: 取<1,1>,<2,2>∈ N×N
(<1,1>)=|12－12|=0
(<2,2>)=|22－22|=0 故不是单射.
又取2∈N, 因不存在自然数x,y∈N
满足: |x2－y2|=2
故不是满射.
• 设：N E，N 是自然数集合，E是自 然数中的所有偶数的集合，(n)= 2n，n ∈ N。 则是单射且是满射，所以是双射。
02.12.2020
离散数学
离散数学思维导图第一章
重言式
矛盾式可满足式非重言式的可满足式直接应用规则推理附加前提证明法
归谬法命题
命题变项和命题常项
简单命题（原子命题）、复合命题
联接词：否定、合取、析取、异或、蕴含、等价、与非、或非
什么是命题公式？
分类
真值表简单合取式、简单析取式
合取范式和析取范式
极小项和极大项
用途：
联接词可以等价替换
联接词全功能集
联接词的极小全功能集构造证明法真值表法
主合取范式和主析取范式
命题符号化及联接词命题公式及分类等值演算范式联接词及其全功能集推理理论第一章：命题逻辑。
离散数学关系2PPT课件
R1={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>},
2021/2/12
《集合论与图论》第6讲
2
定理6(证明(1))
(1) R1○(R2R3) = (R1○R2)(R1○R3) 证明: <x,y>,
<x,y>R1○(R2R3)
z(x(R2R3)zzR1y)z((xR2zxR3z)zR1y)
z((xR2zzR1y)(xR3zzR1y))
z(xR2zzR1y)z(xR3zzR1y) x(R1○R2)yx(R1○R3)yx((R1○R2)(R1○R
b
设 R1={<b,d>,<c,d>}, a
d
R2={<a,b>}, R3={<a,c>}. c 则R1○(R2R3) = R1○ = ,
R1○R2={<a,d>}, R1○R3={<a,d>}, (R1○R2)(R1○R3)={<a,d>}. #
2021/2/12
《集合论与图论》第6讲
5
定理7
定理7: 设F,G为二集合, 则 (F○G)-1 = G-1○F-1.
R1={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>}, R2={<a,b>,<a,c>,<b,c>}, 用M(R1), M(R2)确定M(R1-1), M(R2-2), M(R1○R1), M(R1○R2), M(R2○R1), 从而求出它们的集合表达式.
2021/2/12
《集合论与图论》第6讲
《集合论与图论》第6讲
2021/2/12
《集合论与图论》第6讲
2
定理6(证明(1))
(1) R1○(R2R3) = (R1○R2)(R1○R3) 证明: <x,y>,
<x,y>R1○(R2R3)
z(x(R2R3)zzR1y)z((xR2zxR3z)zR1y)
z((xR2zzR1y)(xR3zzR1y))
z(xR2zzR1y)z(xR3zzR1y) x(R1○R2)yx(R1○R3)yx((R1○R2)(R1○R
b
设 R1={<b,d>,<c,d>}, a
d
R2={<a,b>}, R3={<a,c>}. c 则R1○(R2R3) = R1○ = ,
R1○R2={<a,d>}, R1○R3={<a,d>}, (R1○R2)(R1○R3)={<a,d>}. #
2021/2/12
《集合论与图论》第6讲
5
定理7
定理7: 设F,G为二集合, 则 (F○G)-1 = G-1○F-1.
R1={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>}, R2={<a,b>,<a,c>,<b,c>}, 用M(R1), M(R2)确定M(R1-1), M(R2-2), M(R1○R1), M(R1○R2), M(R2○R1), 从而求出它们的集合表达式.
2021/2/12
《集合论与图论》第6讲
《集合论与图论》第6讲
离散数学PPT【共34张PPT】
15
18.4 点着色
定义17.9 (1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色，
使相邻顶点具有不同颜色 (2) 对G进行k着色（G是k-可着色的）——能用k种颜色给G
的顶点着色 (3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的，但不是(k1)-可着色
的.
16
关于顶点着色的几个简单结果
定理17.19 (G)=1当且仅当G为零图 定理17.20 (Kn)=n 定理17.21 若G为奇圈或奇阶轮图，则(G)=3，若G为偶阶轮 图，则(G)=4. 定理17.22 若G的边集非空，则(G)=2当且仅当G为二部图.
路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈
上图中，只有第一个图存在完美匹配
8
可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中，绿色边不在M中，则图(1)中的两条路 径均为可增广的交错路径；(2)中的全不是可增广的交错路 径；(3)中是一个交错圈. 不难看出，可增广交错路径中，不在M中的边比在M中的边 多一条. 交错圈一定为偶圈.
立集 (3) 最大点独立集——元素最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的元素个数，记为0
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2, 3.
(3)
2
极大独立集与极小支配集
定理18.1 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大点独立集都是 极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大点独立集，证明它也是支配集.
定理17.28 偶圈边色数为2，奇圈边色数为3. 定理17.29 (Wn) = n1, n4. 定理17.30 二部图的边色数等于最大度. 定理17.31 n为奇数（n1）时，(Kn)=n；
18.4 点着色
定义17.9 (1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色，
使相邻顶点具有不同颜色 (2) 对G进行k着色（G是k-可着色的）——能用k种颜色给G
的顶点着色 (3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的，但不是(k1)-可着色
的.
16
关于顶点着色的几个简单结果
定理17.19 (G)=1当且仅当G为零图 定理17.20 (Kn)=n 定理17.21 若G为奇圈或奇阶轮图，则(G)=3，若G为偶阶轮 图，则(G)=4. 定理17.22 若G的边集非空，则(G)=2当且仅当G为二部图.
路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈
上图中，只有第一个图存在完美匹配
8
可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中，绿色边不在M中，则图(1)中的两条路 径均为可增广的交错路径；(2)中的全不是可增广的交错路 径；(3)中是一个交错圈. 不难看出，可增广交错路径中，不在M中的边比在M中的边 多一条. 交错圈一定为偶圈.
立集 (3) 最大点独立集——元素最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的元素个数，记为0
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2, 3.
(3)
2
极大独立集与极小支配集
定理18.1 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大点独立集都是 极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大点独立集，证明它也是支配集.
定理17.28 偶圈边色数为2，奇圈边色数为3. 定理17.29 (Wn) = n1, n4. 定理17.30 二部图的边色数等于最大度. 定理17.31 n为奇数（n1）时，(Kn)=n；
离散数学--61图的基本概念幻灯片
为
顶点或结点; E是VV的多重子集, 称为边集, 其元素称为有 向边，简称边. 有时用V(D)和E(D)分别表示V和E
有限图: V, E都是有穷集合的图 n 阶图: n个顶点的图 零图: E=的图
平凡图: 1 阶零图
e1
a
e4
e2
d
e6e3
b
e7
e5
c
顶点和边的关联与相邻
设无向图G=<V,E>, ek=(vi, vj) E, 称vi, vj为ek的端点, ek与vi
顶点的度数
设G=<V,E>为无向图, vV,
v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和
悬挂顶点: 度数为1的顶点
悬挂边: 与悬挂顶点关联的边
G的最大度(G)=max{d(v)| vV}
G的最小度(G)=min{d(v)| vV}
例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4, (G)=4, (G)=1,
( vj)关联. 假设vi = vj, 那么称ek为环. 无边关联的顶点 称作孤立
点. 假设vi vj, 那么称ek与vi ( vj)的关联次数为1; 假 设vi = vj, 那么称ek
与vi 的关联次数为2; 假设vi不是边e的端点, 那么称e与vi 的关联
次数为0. 设vi,vj V, ek,el E, 假设(vi,vj) E, 那么称vi,vj相邻;
离散数学--61图的基本概 念幻灯片
本课件PPT仅供大家学习使用 学习完请自行删除，谢谢！ 本课件PPT仅供大家学习使用 学习完请自行删除，谢谢！
第6章 图
• 6.1 图的根本概念 • 6.2 图的连通性 • 6.3 图的矩阵表示 • 6.4 几种特殊的图
顶点或结点; E是VV的多重子集, 称为边集, 其元素称为有 向边，简称边. 有时用V(D)和E(D)分别表示V和E
有限图: V, E都是有穷集合的图 n 阶图: n个顶点的图 零图: E=的图
平凡图: 1 阶零图
e1
a
e4
e2
d
e6e3
b
e7
e5
c
顶点和边的关联与相邻
设无向图G=<V,E>, ek=(vi, vj) E, 称vi, vj为ek的端点, ek与vi
顶点的度数
设G=<V,E>为无向图, vV,
v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和
悬挂顶点: 度数为1的顶点
悬挂边: 与悬挂顶点关联的边
G的最大度(G)=max{d(v)| vV}
G的最小度(G)=min{d(v)| vV}
例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4, (G)=4, (G)=1,
( vj)关联. 假设vi = vj, 那么称ek为环. 无边关联的顶点 称作孤立
点. 假设vi vj, 那么称ek与vi ( vj)的关联次数为1; 假 设vi = vj, 那么称ek
与vi 的关联次数为2; 假设vi不是边e的端点, 那么称e与vi 的关联
次数为0. 设vi,vj V, ek,el E, 假设(vi,vj) E, 那么称vi,vj相邻;
离散数学--61图的基本概 念幻灯片
本课件PPT仅供大家学习使用 学习完请自行删除，谢谢！ 本课件PPT仅供大家学习使用 学习完请自行删除，谢谢！
第6章 图
• 6.1 图的根本概念 • 6.2 图的连通性 • 6.3 图的矩阵表示 • 6.4 几种特殊的图